湖南省郴州市资兴矿务局第一职工子弟中学2019年高一数学理测试题

湖南省郴州市资兴矿务局第一职工子弟中学2019年高
一数学理测试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （5分）已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）
A．a＞B．﹣12＜a≤0C．﹣12＜a＜0 D．a≤
参考答案：
B
考点：函数的定义域及其求法．
专题：计算题．
分析：由函数f（x）=的定义域是R，表示函数的分母恒不为零，即方程
ax2+ax﹣3=0无解，根据一元二次方程根的个数与判断式△的关系，我们易得数a的取值范围．
解答：由a=0或
可得﹣12＜a≤0，
故选B．
点评：求函数的定义域时要注意：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使
这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）对于（4）题要注意：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．
2. 已知数列{a n}中, a1=, a n+1=, 则a2012=（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
3. 不等式的解集为（）
A．或 B．
C． D．或
参考答案：
C
略
4. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个
面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份面包是
A. 2个
B. 13个
C. 24个
D. 35个
参考答案：
A
【分析】
由题意可设五个人所分得的面包数为：，，a，，其中，然后由已知列式求得a，d的值，则答案可求．
【详解】解：设五个人所分得的面包数为：，，a，，其中，
则有，
，得．
又，
，得．
最小的一份为个，
故选：A．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．
5. 函数y=的单调增区间是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
6. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点
（）
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
参考答案：
D
【分析】
通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.
【详解】根据题意，故只需把函数的图象
上所有点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.
7. 如果棱长为的正方体的八个顶点都在
同一个球面上，那么球的表面积是
A．8π cm2 B．12π cm2
C．16π cm2D．20π cm2
参考答案：
B
8. 学校组织学生参加英语测试,成绩的频率
分布直方图如图,数据的分组依次为
,,若低于
60分的人数是15人,则该班的学生人数是
A．B．C．D．
参考答案：
B
略
9. 函数f（x）=a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图
象上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）
A．4 B．5 C．6 D．
参考答案：
D
【考点】3O：函数的图象．
【分析】根据指数函数的性质得出A点坐标，代入一次函数得出m+n=1，利用基本不等式得出答案．
【解答】解：f（x）=a x﹣1﹣2恒经过点A（1，﹣1），
∴m﹣1=﹣n，即m+n=1．
∴=+=3++≥3+2（当且仅当时取等号）．
故选D．
10. 设函数f（x）的图象如图，则函数y=f′（x）的图象可能是下图中的（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】由题意可知，导函数y=f′（x）的图象应有两个零点，且在区间（﹣∞，0）上导函数f′（x）＞0，结合选项可得答案．
【解答】解：由函数f（x）的图象可知，函数有两个极值点，
故导函数y=f′（x）的图象应有两个零点，
即与x轴有两个交点，故可排除A、B，
又由函数在（﹣∞，0）上单调递增，
可得导函数f′（x）＞0，即图象在x轴上方，
结合图象可排除C，
故选D
【点评】本题考查函数的单调性和导函数的正负的关系，属基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若在上恒成立，则实数的取值范围为▲．
参考答案：
12. 计算：tan120°= .
参考答案：
13. 已知扇形的面积为平方厘米，弧长为厘米，则扇形的半径r为_______厘米．参考答案：
2
由题意得，解得。

答案：2
14. 已知实数满足,则的最大值是 .
参考答案：
5
15. （5分）若f（x）=sin（ωx﹣）的最小正周期是π，其中ω＞0，则ω的值是．
参考答案：
2
考点：三角函数的周期性及其求法．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：根据三角函数的周期公式进行求解即可．
解答：∵f（x）=sin（ωx﹣）的最小正周期是π，
∴T=，解得ω=2，
故答案为：2
点评：本题主要考查三角函数的周期的计算，根据周期公式是解决本题的关键．
16. 如图，当点P、Q三等份线段AB时，有；如果点A1，A2，……，
A n– 1是AB的n（n≥3）等份点，则= （）。

参考答案：
略
17. （3分）函数的定义域为．
参考答案：
（，2]
考点：对数函数的图像与性质．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由0＜2x﹣1≤3，即可求得不等式log3（2x﹣1）＜1的解集．
解答：解：∵log3（2x﹣1）≤1，
∴0＜2x﹣1≤31=3，
∴＜x≤2，
∴不等式log3（2x﹣1）≤1的解集为（，2]，
故答案为：（，2]．
点评：本题考查对数不等式的解法，掌握对数函数的性质是关键，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知点O（0，0），A（4，0），B（0，3）为矩形的三个顶点，求矩形的两条对角线所在的直线的方程．
参考答案：
【考点】待定系数法求直线方程．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】利用截距式可得对角线AB所在直线的方程为： +=1，利用中点坐标公式可得对角线AB的中点M（2，），即可得出另一条对角线所在的直线方程．
【解答】解：对角线AB所在直线的方程为： +=1，即3x+4y﹣12=0．
∵对角线AB的中点M（2，），∴另一条对角线所在的直线方程为y=x，
因此矩形的两条对角线所在直线的方程分别为：3x+4y﹣12=0，y=x．
【点评】本题考查了截距式、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
19. （12分）（1）log363﹣2log3
（2）÷a2．
参考答案：
考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）利用对数的运算法则即可得出；
（2）利用指数的运算法则即可得出．
解答：（1）原式==log39=2．
（2）原式==a2．
点评：本题考查了指数与对数的运算法则，属于基础题．
20. 在△ABC中，，边AC上的高BE所在的直线方程为，边AB上中线CM所在的直线方程为.
（1）求点C坐标；
（2）求直线BC的方程.
参考答案：
（1）（2）
【分析】
（1）由AC边上的高BE所在的直线方程可得k AC．利用点斜式可得AC方程,与CM方程联立解得C坐标．（2）设B点坐标，可得中点M坐标代入CM方程，与BE方程联立，可得点B坐标，利用点斜式即可得出所求直线方程．
【详解】（1）边上的高为，故的斜率为，
所以的方程为，
即，
因为的方程为
解得
所以.
（2）设，为中点，则的坐标为，
解得，
所以，又因为，
所以的方程为
即的方程为.
【点睛】本题考查两条直线垂直的应用、考查中点坐标公式以及直线方程的求法，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
21. (1)计算
(2)已知,求的值
参考答案：
(1)1+；（2）.
【分析】
（1）利用对数的运算法则计算得解；（2）先化简已知得,再把它代入化简的式子即得解.
【详解】（1）原式=1+；
（2）由题得，
所以.
【点睛】本题主要考查对数的运算，考查诱导公式化简求值和同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
22. 已知函数的图象过原点，且关于点成中心对称.
(1)求函数的解析式；
(2)若数列满足：，求，，的值，猜想数列的通项公式，并证明你的结论；
参考答案：
解析：(1)∵函数的图象过原点，
∴即，∴.
又函数的图象关于点成中心对称，
∴， .
(2)解：由题意有即，
即，即.
∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列.
∴，即. ∴.
∴，，，.
(3)证明：当时，
故。