根据状态方程计算R143a音速第2、第3维里系数
理论力学习题答案 谢传峰、王琪 高等教育出版社
− F4 cos 450 ⋅ a − F6 cos 450 ⋅ a = 0 F1 ⋅ a + F6 cos 450 ⋅ a − F sin 450 ⋅ a = 0 F1 ⋅ a + F3 ⋅ a − F sin 450 ⋅ a = 0 F3 ⋅ a + F5 ⋅ a − F4 cos 450 ⋅ a = 0
静力学部分
1-3 试画出图示各结构中构件 AB 的受力图
FA y FAx
FB
FA
FB
(a)
(a)
FD FBy FBx FB
FD
FC FBy FBx
FC FB
1
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1-4 试画出两结构中构件 ABCD 的受力图
即棒料左侧脱离 V 型槽，与题意不符，故摩擦系数
8
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2-33 均质杆 AB 长 40cm，其中 A 端靠在粗糙的铅直墙上，并用绳子 CD 保持平衡，如图所示。设
BC = 15cm, AD = 25cm ，平衡时 α 角的最小值为 45o 。试求均质杆与墙之间的静摩擦因数 f s 。
FBx
1-8 在四连杆机构的 ABCD 的铰链 B 和 C 上分别作用有力 F1 和 F2， 机构在图示位置平衡。 试求二力 F1 和 F2 之间的关系。 解：杆 AB，BC，CD 为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。 解法 1(解析法) 假设各杆受压，分别选取销钉 B 和 C 为研究对象，受力如图所示： 由共点力系平衡方程，对 B 点有：
F4 = F1 =
2 F 2
饱和水气压的计算公式及常用值
饱和是一种动态平衡态，在该状态下，气相中的水汽浓度或密度保持恒定。
在整个湿度的换算过程中，对 于饱和水蒸气压公式的 选取显得尤为重要，因此下面介绍几种常用的。
（1）、克拉柏龙-克劳修斯方程该方程是以理论概念为基础的，表示物质相平衡的关系式，它把饱和蒸汽压随温度的变化、容积的 变化和过程的热效应三者联系 起来。
方程如下：T-为循环的温度;dT-为循环的温差;L-为热量，这里为汽化潜热（相变热）;ν-为饱和蒸 汽的比容;ν^-为液体的比容;e-为饱和 蒸汽压。
这就是著名的克拉柏龙-克劳修斯方程。
该方程不但适用于水的汽化，也适用于冰的升华。
当用于 升华时，L 为升华潜热。
（2）、卡末林-昂尼斯方程实际的蒸汽和理想气体不同，原因在于气体分子本身具有体积，分子间存在吸引力。
卡末林 - 昂 尼斯气体状态方程考虑了这种 力的影响。
卡末林-昂尼斯于 1901 年提出了状态方程的维里表达式（e 表示水汽压）。
这些维里系数都可以通过实验测定，其中的第二和第三维里系数都已经有了普遍的计算 公式。
例如接近大气压力，温度在 150K 到 400K 时，第二维里系数计算公式：一般在我们所讨论的温度范围内，第四维里系数可以不予考虑。
（3）、Goff-Grattch 饱和水汽压公式从 1947 年起，世界气象组织就推荐使用 Goff-Grattch 的水汽压方程。
该方程是以后多年世界公 认的最准确的公式。
它包括两 个公式，一个用于液 - 汽平衡，另一个用于固 - 汽平衡。
对于水平面上的饱和水汽压式中，T0 为水三项点温度 273.16 K 对于冰面上的饱和水汽压以上两式为 1966 年世界气象组织发布的国际气象用表所采用。
（4）、Wexler-Greenspan 水汽压公式1971 年，美国国家标准局的 Wexler 和 Greenspan 根据 25 ～ 100 ℃范围水面上饱和水汽压的 精确测量数据，以克拉柏龙 一克劳修斯方程为基础，结合卡末林 - 昂尼斯方程，经过简单的数学运算并参照试验数据作了部分修正， 导出了 0 ～ 100 ℃ 范 围内水面上的饱和水汽压的计算公式，该式的计算值与实验值基本符合。
高考物理 临界状态的假设解决物理试题 推断题综合题含答案
高考物理 临界状态的假设解决物理试题 推断题综合题含答案一、临界状态的假设解决物理试题1．如图所示，M 、N 为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值。
静止的带电粒子带电荷量为＋q ，质量为m （不计重力），从点P 经电场加速后，从小孔Q 进入N 板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外，CD 为磁场边界上的一绝缘板，它与N 板的夹角θ＝45°，孔Q 到板的下端C 的距离为L ，当M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，求：（1）两板间电压的最大值U m ；（2）CD 板上可能被粒子打中区域的长度s ； （3）粒子在磁场中运动的最长时间t m 。
【答案】（1）两板间电压的最大值m U 为222qB L m；（2）CD 板上可能被粒子打中的区域的长度x 为(22)L ； （3）粒子在磁场中运动的最长时间m t 为mqBπ。
【解析】 【分析】（1）粒子恰好垂直打在CD 板上，根据粒子的运动的轨迹，可以求得粒子运动的半径，由半径公式可以求得电压的大小；（2）当粒子的运动的轨迹恰好与CD 板相切时，这是粒子能达到的最下边的边缘，在由几何关系可以求得被粒子打中的区域的长度．（3）打在QE 间的粒子在磁场中运动的时间最长，均为半周期，根据周期公式即可求解。
【详解】（1）M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，所以圆心在C 点，CH=QC=L ，故半径R 1=L ，又因211v qvB m R =2m 112qU mv =所以22m 2qB L U m=（2）设轨迹与CD 板相切于K 点，半径为R 2，在△AKC 中：22sin 45R R L ︒=- 所以2(21)R L =-即KC 长等于2(21)R L =-所以CD 板上可能被粒子打中的区域即为HK 的长度12(21)(22)x HK R R LL L -===-=﹣﹣ （3）打在QE 间的粒子在磁场中运动的时间最长，均为半周期：2mT qBπ=所以m 12m t T qBπ==【点睛】本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了。
维里状态方程
维里状态方程1901年海克·卡末林·昂内斯提出的以幂级数形式表达的真实气体状态的方程维里状态方程是海克·卡末林·昂内斯(Heike Kamerlingh Onnes)于1901年提出的以幂级数形式表达的真实气体状态的方程，它是对理想气体状态方程式进行了修正的纯经验方程。
中文名维里状态方程外文名Virial equation of state表达式pVm = RT(1 + B/Vm + C/Vm^2 + D/Vm^3 + ）提出者海克·卡末林·昂内斯提出时间1901年适用领域真实气体应用学科热力学目录.1定律定义.2推导过程.3适用范围.4定律影响定律定义维里方程的一般表达式：维里方程也可以用压力p的幂级数来表示其中V m是气体分子的摩尔体积，计算式：V m=V/n；B2、B3分别称为第二、第三维理系数，它们与气体的种类有关，而且是温度的函数，在某一温度下，维理系数为0，实际气体行为就和理想气体近似。
而且从以上两式可以看出摩尔体积越大，气压越低，则气体的行为越趋近于理想气体。
当压力p→0,体积V m→∞时，维里方程还原为理想气体状态方程。
推导过程理想气体状态方程的表达式：引入压缩因子Z，其大小反映出真实气体对理想气体的偏差程度，计算定义是Z等于Vm（真实）除以Vm（理想），Z 是一个趋近于1的数字，在后面加入级数来进行修正即得到维里方程。
理论上, 任何气体的状态方程, 都可以用维里形式描述:维里状态方程具有清楚的物理意义, 方程中第一项对应理想气体; 第二项描述了两个分子的相互作用; 第三项考虑了三个分子的作用, 余此类推. 对于处在高温、中高压状态下的气体, 多分子同时碰撞相互作用的情况已不可忽略,必须考虑高阶维里项. 但是, 随着维里系数阶数的提高, 计算的复杂性迅速增大, 甚至变得极其困难。
适用范围维里方程有坚实的理论基础。
用统计力学方法能导出维里系数，并赋予维里系数明确的物理意义：第二维里系数表示气体两个分子相互作用的效应，第三维里系数表示三个分子的相互作用，等等。
信号与系统王明泉1-8章完整答案
第1章信号与系统的概述1.1 学习要求（1）了解信号与系统的基本概念与定义，会画信号的波形；（2）了解常用基本信号的时域描述方法、特点与性质，并会灵活应用性质；（3）深刻理解信号的时域分解、运算的方法，会求解；（4）深刻理解线性是不变系统的定义与性质，会应用性质求解系统1.2 本章重点（1）基本的连续时间信号的时域描述和时域特性；（2）单位冲激信号的定义、性质与应用；（3）信号的时域运算及其综合应用；（4）线性时不变系统的性质与应用。
1.3 本章的知识结构1.4 本章的内容摘要1.4.1信息、消息和信号的概念所谓信息，是指存在于客观世界的一种事物形象，一般泛指消息、情报、指令、数据和信号等有关周围环境的知识。
消息是指用来表达信息的某种客观对象，如电报中的电文、电话中的声音、电视中的图像和雷达探测的目标距离等等都是消息。
所谓信号，是指消息的表现形式，是带有信息的某种物理量，如电信号、光信号和声信号等等。
信号代表着消息，消息中又含有信息，因此信号可以看作是信息的载体。
1.4.2信号的分类以信号所具有的时间函数特性来加以分类，可以将信号分为确定信号与随机信号、连续时间信号与离散时间信号、周期信号与非周期信号、能量信号与功率信号、实信号与复信号等等。
1.4.3 常用信号 （1）正弦型信号)cos()(ϕω+=t A t f (1-3)（2）指数信号st Ae t f =)( (1-8)（3）矩形脉冲⎪⎩⎪⎨⎧><=2/02/1)(ττt t t f（4）三角脉冲⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=2/02/21)(τττt t tt f (1-18)（5）抽样信号ttt sin )Sa(=(1-19)性质：（1）)Sa()Sa(t t =-，偶函数 （2）1)Sa(,0==t t ，即1)Sa(lim 0=→t t（3）π,0)Sa(n t t ±==， 3,2,1=n （4）⎰∞=02πd sin t t t ，⎰∞∞-=πd sin t tt（5）0)Sa(lim =±∞→t t该函数的另一表示式是辛格函数，其表示式为ttsi t c ππn )(sin =(1-20) (6) 斜变信号⎩⎨⎧≥<=000)(t t t t f (1-24)（7）单位阶跃信号⎩⎨⎧><=0100)(t t t u 或⎩⎨⎧><=-0100)(000t t t t u如果矩形脉冲对于纵坐标左右对称，则可用)(t G T)2()2()(Tt u T t u t G T --+=下标T 表示其矩形脉冲宽度。
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第零章 数学准备一 泰勒展开式1 二项式的展开()()()()()m 23m m-1m m-1m-2f x 1x 1mx+x x 23=+=+++！！2 一般函数的展开()()()()()()()()230000000f x f x f xf x f x x-x x-x x-x 123!''''''=++++！！特别:00x =时,()()()()()23f 0f 0f 0f x f 0123!x x x ''''''=++++！！3 二元函数的展开(x=y=0处)()()00f f f x y f 0x+y x y ⎛⎫∂∂=++ ⎪∂∂⎝⎭，22222000221f f f x 2xy+y 2x x y y ⎛⎫∂∂∂++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭！评注：以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线性问题的转化。
在理论力问题的简单处理中，一般只需近似到三阶以内。
二 常微分方程1 一阶非齐次常微分方程： ()()x x y+P y=Q通解：()()()P x dx P x dx y e c Q x e dx -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰注：()()(),P x dx P x dx Q x e dx ⎰±⎰⎰积分时不带任意常数，()x Q 可为常数。
2 一个特殊二阶微分方程2y A y B =-+ 通解：()02B y=K cos Ax+Aθ+注：0,K θ为由初始条件决定的常量 3 二阶非齐次常微分方程 ()x y ay by f ++=通解：*y y y =+；y 为对应齐次方程的特解，*y 为非齐次方程的一个特解。
非齐次方程的一个特解 （1） 对应齐次方程0y ay by ++=设x y e λ=得特征方程2a b 0λλ++=。
解出特解为1λ，2λ。
*若12R λλ≠∈则1x 1y e λ=，2x 2y e λ=；12x x 12y c e c e λλ=+*若12R λλ=∈则1x 1y e λ=，1x 2y xe λ=； 1x 12y e (c xc )λ=+*若12i λαβ=±则x 1y e cos x αβ=，x 2y e sin x αβ=；x 12y e (c cos x c sin x)αββ=+（2） 若()2000x f a x b x c =++为二次多项式*b 0≠时，可设*2y Ax Bx C =++ *b 0≠时，可设*32y Ax Bx Cx D =+++注：以上1c ,2c ,A,B,C,D 均为常数，由初始条件决定。
飞行器流动仿真讲稿第7章-拟一维喷管流动的数值模拟
本章对三个拟一维喷管定常流动问题，使用MacCormack两 步显式方法计算：
亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法； 全亚声速喷管等熵流动的CFD解法； 用激波捕捉法求解含激波的喷管流动。
第7章 拟一维喷管流动的数值模拟
第7.1节 拟一维喷管流动的三个物理问题
一、流动模型
拉瓦尔喷管横截面积A是轴向距离x的函数： 喷管入口接驻室，其截面积足够大(理论上无穷大)，驻室 内流速V≈0→驻室内压强和温度p0、T0为总压和总温； 喷管出口处流体参数 为：pe、Te、Ve、Mae 等； 喷管出口外环境压强 （反压）为pa。
第7章 拟一维喷管流动的数值模拟 本章以拟一维喷管流动为例，讨论CFD方法的具体应用； 通过实际编写拟一维喷管流动数值模拟程序，掌握程序的调 试手段与技巧，包括错误排除等，体会CFD求解问题的基本 过程和步骤，加深对CFD方法的理解。为进一步学习和运用 计算流体力学，自行开发流体力学数值程序或使用商业软件 奠定必要的基础；
1 2 AV pA VA 1 p A t x x e e 2 2 1 2 V A 1 2 V VA pAV 0 t x
量热状态方程 e=cvT，cv=Const
T T ln A V cv Vc v RT V t x x x
第7.1节 拟一维喷管流动的三个物理问题
四、控制方程组的无量纲化
无量纲化更容易观察流动，并可把流动规律推广到同类问题。 合理使用无量纲量，使参与计算的各量具有差不多的量级， 还可避免在计算中出现大小相差悬殊的数值； 使用无量纲控制方程组计算完毕后，根据需要可将无量纲量 重新化为有量纲量。 选择如下参考量：
根据状态方程计算音速
（1.5）
E V P dV dT E T
压强的微分式为
（1.6）
dP
P P dT dV T V
（1.7）
（1.6）代入（1.7）得到
dP dV
s
E P P P V E V T T
E P RT V V V V
（0.5）*
（0.1）（0.5）孰优孰劣最终只有实验检验。首先根据（0.5）推导状态方程和音速的关系。
1 状态方程和音速的关系的推导
状态方程可以改写为
P
RT b 2 ... V V
（1.1）
缪波 zbl1905@
对照（0.4），可以得到
1
0 引 言
热力学第 2 定律建立了内能和状态方程的关系,比如
E P T P V T
音速和状态方程的关系如下：
（0.1）*
dB 0 1 2 d 2B a 2B 2 1 T T dT 0 dT 2
0
2
（0.2）*
a ---音速第 2 维里系数， B ---状态方程的第 2 维里系数；
0 0 0
验值来自于文献[2],处理结果作图如图 2 从图 1 图 2 看到““在重力场中考察真实气体的内能”一文给出公式正确。公式如下
E P RT V V V V
注：里面公式较多，带*略微重要一些。
（2.3）*
缪波 zbl1905@
参考文献 [1] Chang Zhang,Yuan-Yuan Duan 等 Speed of sound, ideal-gas heat capacity at constant pressure, and second virial coefficients of HFC-227ea 10.3.2000. [2] 何茂刚 赵小明 刘志刚，丙烷气相音速与理想气体比热的实验研究 工程热物理学报 2001
2-4三次样条函数系数的求解
整理得：
s i 1 ( x i )
y i y i 1 x i x i 1
( 2 c i c i 1 )( x i 1 x i )
y i y i 1 x i x i 1
( x i x i 1 )( 2 c i c i 1 )
y i 1 y i x i 1 x i
i
x i x i 1
M
x xi
i 1
x i 1 x i
对上式进行不定积分二次，可以得到三次样条插值 多项式：
s ( x ) M
x x i 1
i
x i x i 1
( x i 1 x )
i
M
x xi
i 1
x i 1 x i
(x xi )
di c i 1 c i 3 ( x i 1 x i )
y i 1 y i x i 1 x i ( 1 3 c i 1 2 3 c i )( x i 1 x i )
bi
这样就将所有的bi和di用ci表示了，只要能够求出 ci就可以了。
2、s ( x
x i 1
c i c i 1 x i x i 1 ( x i x i 1 )
2
s i 1 ( x i )
y i y i 1 x i x i 1
( 2 c i -1 c i )( x i x i -1 ) 2 c i 1 ( x i x i 1 ) 3
i
将相邻两点用直线段连接
M
i
采用分段线性插值
M (x) M
x x i 1
i
x i x i 1
M
应用弹塑性力学习题解答
应用弹塑性力学习题解答张宏编写西北工业大学出版社目录第二章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第三章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第四章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第五章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
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第十章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第十一章习题答案 ... 错误!未定义书签。
第二章 习题答案设某点应力张量ijσ的分量值已知，求作用在过此点平面ax by cz d ++=上的应力矢量(,,)n nx ny nz p p p p ，并求该应力矢量的法向分量n σ。
解 该平面的法线方向的方向余弦为l a d m b d n c d d ====，，，而应力矢量的三个分量满足关系nx x xy xz ny xy y yz nz xz yz z p l m n p l m n p l m nστττστττσ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩ 而法向分量n σ满足关系n nx ny nx p l p m p n σ=++最后结果为()()()()22222222222nx x xy xz ny xy y yz nx xz yz z n x y z xy yz zx p a b c d p a b c a p a b c da b c ab bc ca d d a b c στττστττσσσσστττ=++=++=++=+++++=++利用上题结果求应力分量为0,2,1,1,2,0x y z xy xz yz σσστττ======时，过平面31x y z ++=处的应力矢量n p ，及该矢量的法向分量n σ及切向分量n τ。
解求出l m n ===,,nx ny nz p p p 及n σ，再利用关系222222n nx ny nz n np p p p στ=++=+可求得n τ。
理论力学课后答案-谢传峰、王琪-动力学部分
《动力学 I》第一章 运动学部分习题参考解答
1－ 3 解： 运动方程： y l tan ，其中 kt 。 将运动方程对时间求导并将 30 代入得
0
vy
l lk 4lk 2 2 3 cos cos
a y
2lk 2 sin 8 3lk 2 9 cos 3
va2 v2 v 2 sin t n 因为 a ，所以根据上式可求出 aa aa tan 。 r r cos 2 r cos3
n a
根据矢量形式的质点运动微分方程有：
m(aat aan ) F FO mg
将该式分别在 x 轴上投影：
m(aat sin aan cos ) FO cos
aC 2vr 8r 2
根据加速度合成定理：
aa ae a r aC
将上式在 x' 轴上投影，可得： aa cos ae cos aC 由此求得： aa 14 r 2 , 1－21 解：求汽车 B 相对汽车 A 的速度是指以汽车 A 为参考系观察汽车 B 的速度。 取：动点：汽车 B； 动系：汽车 A（Ox’y’） ； 定系：路面。 运动分析 绝对运动：圆周运动； 相对运动：圆周运动； 牵连运动：定轴转动（汽车 A 绕 O 做定轴转动） 求相对速度，根据速度合成定理
取套筒 A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：
ma F FN mg
将该式在 x, y 轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：
mg F cos m x F sin FN m y
其中： cos
x x2 l 2
, sin
将上式两边对时间求导可得：
内弹道方程组及其变量的解释
内弹道方程组及其变量的解释内弹道方程组是描述飞行物体自由飞行过程中运动状态的数学模型。
它基于牛顿运动定律和空气动力学原理，包含一系列的微分方程，用来描述飞行物体在三维空间中的位置、速度和加速度随时间的变化。
在内弹道方程组中，有四个主要的变量：弹道角度、初始速度、质量和阻力系数。
下面将对这些变量进行详细解释。
1.弹道角度：弹道角度是弹道上升段与水平方向之间的夹角。
对于弹道角度的选择，需要考虑到不同的目标，例如最大射程、最大高度或特定的攻击目标。
据此角度的变化，会决定飞行物体的升力和阻力的大小，进而影响其飞行轨迹。
2.初始速度：初始速度是飞行物体脱离发射装置时的速度。
它是由申请的能量转化而来，包括燃烧产生的气体动能和弹射装置的助推等。
初始速度的大小和方向会直接影响飞行物体的飞行范围和轨迹。
3.质量：质量是飞行物体所具有的物质性质，表示飞行物体内部的物质含量。
在内弹道方程组中，质量通常会随着时间变化，主要是因为飞行物体在飞行过程中会逐渐消耗燃料。
质量的变化是通过质量消耗速率来描述的，在一定的时间间隔内，飞行物体的质量减少的速率与燃料的消耗有关。
4.阻力系数：阻力系数是衡量飞行物体与周围空气作用力的大小的物理量。
阻力系数的大小与飞行物体本身的形状、表面特性以及周围气流的动态特性有关。
不同的物体形状和空气动力学特性会导致不同的阻力系数，进而对飞行物体的飞行状态和轨迹产生影响。
除了这四个主要的变量，内弹道方程组还会涉及到其他一些辅助变量，如空气密度、重力加速度、角速度等。
这些变量与飞行物体的环境以及运动方式有关。
在内弹道方程组中，空气密度会影响飞行物体的空气动力学性能，重力加速度则主要影响飞行物体的垂直运动。
内弹道方程组的解是指飞行物体在给定初始条件下，根据方程组计算所得到的飞行状态的数值解。
解可以用来描述飞行物体的位置、速度以及加速度随时间的变化情况。
根据不同的应用需求，可以计算并优化，以得到最佳的飞行轨迹或其他性能指标。
onnes方程求第三位力系数
onnes方程求第三位力系数
一、解决二元二次方程组的步骤
（一）确定问题
在解决二元二次方程组时，首先要弄清楚问题，即所给二元二次方程组究竟有多少个未知数，方程组中有多少个变量，以及要求求解的是什么答案等。
（二）收集信息
收集了问题要求之后，要知道数学模型的具体形式，可以把二元二次方程组写成函数的一般项形式，将系数收集整理出来，这样便可以解出方程的解的具体式子。
（三）应用已知办法
因为要求第三位力系数，故可以选择已知办法，将方程化为力学矢量方程，用外力面积法来求解。
（四）整合求解
将外力对每个物体施加的垂直力和水平力归纳整理成力学矢量，以及力的模公式，分别用X、Y方向的解析法来求解，得出第三位力系数的结果。
二、如何求解第三位力系数
（一）将方程化为力学矢量方程
首先将拼写的力的方程写成矢量的形式，即以某一点为起始点，将力投射进相应的X、Y向量方向，即：F=Fx
（二）选择正确的参考轴系
参考轴系是指以X、Y轴为参考轴来表示力，可以根据实际情况，将参考轴系置于静止物体或力所作用的物体上来解方程组。
（三）利用外力面积法求解第三位力系数
使用外力面积法：可以利用受力物体的外力量积，分别由X、Y轴求出受力面积，然后根据求出的受力面积量积等于第三位力系数乘以质量时间方向积，就可以求得第三位力系数。
（四）结论
根据上述分析，可以得出第三位力系数的值，从而解决二元二次方程组求解第三位力系数的问题。
维里方程的系数之间的关系、
维里方程的系数之间的关系、
维里方程是经典力学中描述刚体运动的方程，其中涉及到多个系数，包括惯性矩阵、角速度、角加速度、转动惯量等。
这些系数之间存在着一定的关系，这种关系可以通过推导维里方程得到。
具体来说，维里方程可以表示为：
I ·α + ω× (I ·ω) = τ
其中，I是刚体的惯性矩阵，α是刚体的角加速度，ω是刚体的角速度，τ是刚体所受到的合外力矩。
这个方程中的系数之间存在着以下关系：
1. 惯性矩阵是一个对称矩阵，即Iij=Iji；
2. 惯性矩阵的行列式为刚体的质量乘以转动惯量的乘积，即det(I)=m·I0；
3. 角速度ω和角加速度α之间存在着如下关系：
dω/dt=α+ω×ω
其中，×表示向量叉乘。
维里方程的系数之间的关系能够帮助我们更好地理解刚体的运
动规律，同时也为研究刚体运动提供了重要的数学工具。
- 1 -。
声速与状态方程求偏导的关系
声速与状态方程求偏导的关系
首先，声速可以定义为声波在介质中传播的速度，通常可以表
示为c = sqrt(γP/ρ)，其中γ表示绝热指数，P表示介质的压力，ρ表示介质的密度。
状态方程则描述了介质的压力、体积和温度之
间的关系，通常可以表示为P = P(V,T)。
现在我们来求解声速与状态方程的偏导数关系。
首先，我们可
以通过状态方程对体积V和温度T求偏导数，得到P对V和T的偏
导数。
然后，我们可以利用声速的定义，对声速c分别对压力P和
密度ρ求偏导数。
通过链式法则，我们可以得到声速与状态方程对
V和T的偏导数之间的关系。
另外，我们也可以从物理的角度来理解声速与状态方程的偏导
数关系。
声速实际上是介质中声波传播的速度，而声波的传播速度
受介质的压力、密度和绝热指数的影响。
状态方程描述了介质的压力、体积和温度之间的关系，而声速则描述了声波在介质中传播的
速度。
因此，声速与状态方程之间的偏导数关系可以反映介质中声
波传播速度与介质状态的变化关系。
综上所述，声速与状态方程的偏导数关系可以通过声速的定义
和状态方程的关系来求解，也可以从物理的角度来理解声速与状态方程之间的关系。
通过求解偏导数关系，我们可以更好地理解介质中声波传播速度与介质状态的变化关系。
基于卡尔丹公式的三层平面刚架自振频率求解
基于卡尔丹公式的三层平面刚架自振频率求解卡尔丹公式（也称为卡伦公式）是一种用于计算三层平面刚架（也称为三层薄板结构）自振频率的公式。
它是在板理论的基础上发展起来的，可以较准确地预测三层平面刚架的自振频率。
三层平面刚架由上、中、下三层构成，其中上下两层为薄板，中间一层为薄板之间的粘结层。
为了方便计算，我们可以假设三层平面刚架是矩形形状，并且每层材料的厚度均为均匀分布。
根据这些假设，三层平面刚架的自振频率可以通过下面的卡尔丹公式进行计算：fn = (1/2π) * (D1 * ((m1/(A1 * ρ1))^0.5) + D2 * ((m2/(A2 * ρ2))^0.5) + D3 * ((m3/(A3 * ρ3))^0.5))在这个公式中，fn表示第n个模态的自振频率，D1、D2、D3分别表示上、中、下三层的厚度，m1、m2、m3分别表示上、中、下三层的弹性模量，A1、A2、A3分别表示上、中、下三层的面积，ρ1、ρ2、ρ3分别表示上、中、下三层的密度。
需要注意的是，在使用卡尔丹公式计算自振频率时，我们需要确保三层平面刚架的尺寸满足薄板假设，并且材料的物理性质准确无误，以确保计算结果的准确性。
现在我们来具体实例计算一个三层平面刚架的自振频率。
假设这个三层平面刚架的上层材料是铝板，中间粘结层是橡胶，下层材料是钢板。
已知三层各层的厚度、弹性模量和密度如下表所示：----------------------------------层次厚度（mm）弹性模量（GPa）密度（kg/m^3）----------------------------------上层D1 m1 ρ1中间D2 m2 ρ2下层D3 m3 ρ3----------------------------------根据上述公式，我们可以得到三层平面刚架的自振频率。
需要注意的是，在实际计算中，我们需要将所有物理量转化为国际单位制（SI）的单位，例如米、千克和秒。
【单元练】西安市高中物理必修2第八章【机械能守恒定律】经典测试题(培优练)(1)
一、选择题1．如图所示，一个质量为m ，均匀的细链条长为L ，置于光滑水平桌面上，用手按住一端，使链条2L 长部分垂在桌面下，（桌面高度大于链条长度），则链条上端刚离开桌面时的动能为（ ） A ．14mgL B ．38mgL C ．12mgL D ．34mgL B 解析：B以桌面为零势能面，开始时链条的重力势能为11428L mgL E mg =-⋅=- 当链条刚脱离桌面时的重力势能为 212E mg L =-⋅ 故重力势能的变化量2138ΔmgL E E E =-=- 根据机械能守恒定律可知，链条上端刚离开桌面时的动能增加量为38mgL ，即动能为38mgL ，故B 正确，ACD 错误。
故选B 。
2．如图所示，A 、B 两球质量相等，A 球用不能伸长的轻绳系于O 点，B 球用轻质弹簧系O ′点。
O 与O ′点在同一水平面上，分别将A 、B 球拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处于水平，弹簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球达到各自悬点的正下方时两球恰好仍处在同一水平面上，则（ ）A ．两球到达各自悬点的正下方时，两球动能相等B ．两球到达各自悬点的正下方时，B 球动能较大C ．两球到达各自悬点的正下方时，A 、B 两球机械能相等D ．两球到达各自悬点的正下方时，A 球机械能较大D解析：DA ．两个球都是从同一个水平面下降的，到达最低点时还是在同一个水平面上，AB 两球重力做的功相同，B 球在下落的过程中弹簧要对球做负功，B 球在最低点的动能要比A 的小，A 错误；B ．两个球都是从同一个水平面下降的，到达最低点时还是在同一个水平面上，AB 两球重力做的功相同，B 球在下落的过程中弹簧要对球做负功，B 球在最低点的动能要比A 的小，B 错误；C ．由于下落的过程中弹簧要对球做负功，B 的机械能减小，所以两球到达各自悬点的正下方时，A 球机械能较大，C 错误；D ．由于下落的过程中弹簧要对球做负功，B 的机械能减小，所以两球到达各自悬点的正下方时，A 球机械能较大 ，D 正确。
【单元练】【学生卷】徐州市高中物理必修2第八章【机械能守恒定律】经典习题(专题培优)(1)
一、选择题1．如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。
其正上方A 位置有一只小球。
小球从静止开始下落，在B 位置接触弹簧的上端，在C 位置小球所受弹力大小等于重力，在D 位置小球速度减小到零。
小球下降阶段下列说法中正确的是（ ）A ．在B 位置小球动能最大 B ．在C 位置小球动能最小C ．从A C →位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加D ．从A D →位置小球动能没有发生改变D 解析：DAB ．小球从B 至C 过程，重力大于弹簧的弹力，合力向下，小球加速运动；C 到D 过程，重力小于弹力，合力向上，小球减速运动，故在C 点动能最大，故AB 错误；C ．小球下降过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，即小球的重力势能、动能和弹簧的弹性势能总和保持不变，所以从A →C 位置小球重力势能的减少等于动能增加量和弹性势能增加量之和，故小球重力势能的减少大于小球动能的增加，故C 错误；D ．从A →D 位置，动能都为零，故动能没有变化，故D 正确。
故选D 。
2．直立在水平面上的轻弹簧上端位置为A ，如图甲所示。
在弹簧上放一个质量为2m 的物体a ，或者将质量为m 的物体b 与弹簧上端连接后再在b 上放质量为m 的物体c ，结果弹簧上端被压缩至位置O （图中未画出），A 、O 间距离为x 0；若同时对a 、c 施加竖直向下的压力将弹簧上端缓慢压缩至B 处，此时压力大小为F ，如图乙、丙所示，A 、B 间距离为x ；突然撤去压力F ，a 、b 、c 在向上运动的过程中，物体a 在某处脱离弹簧上端继续向上运动，重力加速度为g ，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能E p =21()2k x ∆，k 为弹簧的劲度系数，Δx 为弹簧的形变量，不计空气阻力。
下列说法正确的是（ ）A．压力F大于2mgB．物体c会在位置O脱离物体bC．撤去压力F瞬间，a、b处于超重状态，c处于失重状态D．向上运动过程中c对b的压力先增大后减小A解析：AA．物体a脱离弹簧时弹簧弹力为零，物体a只受重力，弹簧处于原长状态。
作业 流体力学张鸣远
2-28 用 U 形管测量汽车加速度，已知 l = 200mm。当汽车加速行驶时，测得 h = 100mm。 求汽车的加速度 a。
y
y
a
h
x
a
h
g
x a
l
(1)
l
(2)
解：参照图（1）所示建立坐标系。根据流体静力学基本方程式，
g
−
a
−
1 ρ
∇p
=
0
⇒
⎪⎪⎧− g ⎨ ⎪⎪⎩−a
− −
1 ρ 1 ρ
⎞1.4 ⎟ ⎠
=
596K
压缩开始时， Ev = κ p1 = 1.4× 3.4×105 = 4.76×105 Pa
压缩结束时， Ev = κ p2 = 1.4× 3.236×106 = 4.53×106 Pa
第二章
2-4 设液体中密度随深度 h 而增加， ρ = kh + ρ0 ，式中 k 为常数，ρ0 为液面处密度，试推
=
3xz3
+ 6y2z
解： ay
=
∂v ∂t
+u
∂v ∂x
+v
∂v ∂y
+
w
∂v ∂z
=
3 yz 3
+
xy
az
=
∂w ∂t
+u
∂w ∂x
+v
∂w ∂y
+
w ∂w ∂z
=
xz
3-9 （3） u = y, v = −a2 x, w = 0 ，a 为常数，求流线。
解：流线方程： dx = dy ⇒ dx = dy u v y −a2x
) Qr
=
化工热力学(第三版)答案
化工热力学（第三版）答案化工热力学（第三版）习题解答集朱自强、吴有庭编著1第二章流体的压力、体积、浓度关系：状态方程式2-1 试分别用下述方法求出400℃、4.053MPa下甲烷气体的摩尔体积。
（1）理想气体方程；（2） RK方程；（3）PR方程；（4）维里截断式（2-7）。
其中B用Pitzer的普遍化关联法计算。
[解] （1）根据理想气体状态方程，可求出甲烷气体在理想情况下的摩尔体积V为idVid?RT8.314?(400?273.15)??1.381?10?3m3?mol?1 6p4.053?10（2）用RK方程求摩尔体积将RK方程稍加变形，可写为V?其中RTa(V?b) ?b?0.5pTpV(V?b) （E1）0.42748R2Tc2.5a?pc0.08664RTcb?pc从附表1查得甲烷的临界温度和压力分别为Tc=190.6K, pc =4.60MPa，将它们代入a, b表达式得0.42748?8.3142?190.62.56-20.5a??3.2217m?Pa?mol?K64.60?10b?0.08664?8.314?190.6?53?1 ?2.9846?10m?mol64.60?10id以理想气体状态方程求得的V为初值，代入式（E1）中迭代求解，第一次迭代得到V1值为V1?8.314?673.15?2.9846?10?5 64.053?103.2217?(1.381?10?3?2.9846?10?5)?0.56?3?3?5673.15?4.053?10?1.381?10?(1.381?10?2.9846?10)?1.381?10?3?2.9846?10?5?2.1246?10?5 ?1.3896?10?3m3?mol?1第二次迭代得V2为23.2217?(1.3896?10?3?2.9846?10?5)V2?1.381?10?2.9846?10?673.150.5?4.053?106?1.38 96?10?3?(1.3896?10?3?2.9846?10?5)?3?5?1.381?10?3?2.9846?10?5?2.1120?10?5?1.389 7?10?3m3?mol?1V1和V2已经相差很小，可终止迭代。
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缪波zbl1905@
根据状态方程计算R143a 音速第2、第3维里系数
缪波
1
zbl1905@ 摘要：“在重力场中考察真实气体的内能”一文也提出气体内能和状态方程的关系，本文验证这一关系式，从根据R143a 状态方程，计算音速的第2、第3维里系数，第2维里系数和实验符合。
第3维里系数在超临界温区与实验符合，在亚临界温区与实验不符合，可能是气液在亚临界区域温相变造成的
关键词：音速第2维里系数状态方程热力学第2定律第3维里系数临界点分类号：O550引言
“在重力场中考察真实气体的内能”[1]给出出了状态方程和内能的关系，它建立在对流平衡和静力平衡基础上。
关系如下V RT V V P V E +∂∂=∂∂（0.1）
或者ρρρρRT P E -∂∂=∂∂（0.2）
文献[2]利用状态方程计算HFC-227ea、丙烷音速第2维里系数，和实验符合，公式如下
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--∂∂+=T b C T R C Rb T b C RT b RT v v v a 2202022020221γβ（0.3）
（0.1）（0.2）对更大密度的气体是否符合，需要计算音速第3维里系数。
音速的第3维里系数解析式比较复杂，这里先数值计算R143a 音速的第
2、第3维里系数。
1状态方程和音速的关系的推导
文献[3]给出了状态方程R143a 状态方程，下面图1为方程截图
图1：R143a 状态方程
缪波zbl1905@ 文献[3]同时给出了理想气体的比热和音速第2和第3维里系数。
图2：R143a 比热
利用matlab ，可以将某一温度下，密度0.1-100mol/m 3的压强
3
322ρρρa a RT P ++=（1.1）4
332232------=∂∂ρρρa a RT V
P （1.2）3
322ρρρT
a T a R T P ∂∂+∂∂+=∂∂（1.3）3
32262ρρa a V
E --=∂∂（1.4）2
32032ρρa a C E V ∂∂+∂∂+=∂∂（1.5）（1.4）（1.5）是反应了状态方程和内能的关系。
音速的计算公式为：
22
211V T E V E P T P V P M V V P M P w s
s ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-∂∂-=∂∂-=∂∂=ρ（1.6）将（1.1）-（1.5）代入（1.6）（在matlab 中进行），可以输出P 、2
w 两个变量，利用P 对2w 进行多项式拟合，得到2
2102P A P A A w ++=（1.7）
音速第2和第3维里系数，01A A a =β（1.8）
02A A a =
γ
（1.8）
缪波zbl1905@ 对不同温度温度点进行计算，可以得到连续的a β、a γ，和实验值进行作图比较如下：
从图3可知，理论和实验吻合得很好，图4中只有A 区3个点理论和实验比较吻合。
A 区3个点不能其它点形成有规律的分布。
那些理论和实验的点温度小于340K，而R143a 的临界温度346.25K,由此可以推断亚临界温区存在气液微相变对音速产生较大偏差（第2维里系数不受影响）。
只能从A 区三个点说明（0.1）在高密度区域保持较高的精度：
2.结论以上案例做到理论和实验相符，表明公式（2.1）是正确的。
V RT V V P V E +∂∂=∂∂（2.1）
参考文献[1]
缪波，在重力场中考察真实气体的内能中国科技论文在线2009.8中国科技论文在线2009.8
[2]缪波，根据状态方程计算音速百度文库2017.08.17
[3]W.M.Haynes,thermophysical properties of hfc-143a and hfc-152a.quarterly report,1994。