测量平差基础中的数学模型

~
L F(X)
n ,1
t ,1
B xl
上式就是间接平差的函数模型。尽管间接平差法 是选了t个独立参数，但多余观测数不随平差不同 而异，其自由度仍是r=n-t。
三、 附有参数的条件平差法
设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则 可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为参 数，而0<u<t，每增设一个参数应增加一个条件方程。
测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。
n 3 来自百度文库 2 r n t 1
~ ~~
180
实际上：
180
180
h1
B n 6 t 3 r n t 3
A
h6
h2
~~ ~
h1h2h60 h1h2h6 0
D h5 h4
h3
~~~
h2h3h40 h2h3h40
~~~
C
h6h4h50 h6h4h50
以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有
参数的条件平差法。
~~
F F(L, X)
c,1
n,1 u,1
A B x W 0
上式为附有参数的条件平差法的函数模型。
此平差问题，由于选择了u个独立参数，方程总数 由r个增加到c=r+u个，故平差的自由度为r=c-u。
四、 附有限制条件的间接平差法
为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差 所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻 求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模 型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。
数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量应具有无偏 性、一致性和有效性的要求。可以证明，这种估计为最小二乘 估计。
由于上式右边的第二项前是负号，所以只有当该项取得极小 值时，lnG才能取得极大值，换言之，X~ 的估计量应满足如下 条件：
(LBX)TD1(LBX)最小
由D 于 DLL0 2Q02P1， 0 2为常数，则
(LBX)TP(LBX)最小
设 V是 的估值 VB ， X则 L,有：
VTPV最小
即最小二乘原则。
第二节 测量平差的数学模型
一、条件平差法
以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。
~
F F(L)
r ,1
n ,1
AW0
即为条件平差的函数模型。 条件平差的自由度即为多
余观测数r，即条件方程个数。
二、间接平差法
选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观测
量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式， 以此为平差的函数模型，成为间接平差法。
三、 附有参数的条件平差法
A B x W 0
四、 附有限制条件的间接平差法
~
L F(X)
n ,1
u ,1
~
(X ) 0
s ,1 u ,1
B xl CxWx 0
第四节 参数估计与最小二乘原理
一、 参数估计及其最优性质
对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差
为例： AW0
条件的个数r=n-t <n，即方程的个数少，求解的参数多，方程多 解。其它模型同。
设观测向量为L，L为n维随机正态向量，其数学期望与方差分别 为：
1
L
E
(L)
2
n
D
DLL
2121
12 22
11n2
n1 n2
n2
其似然函数为：
G (2)n 1 /2D 1 /2ex 1 2( p L L )TD 1 (L L )
以间接平差法为例，顾及间接平差的模型与E（）=0得：
~
取 L 的初值： L
~
L L
将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及 以上项：
FF(L,X x)F(L,X0)
F
~
L,X0
F
~
x L,X0
L
X
F1
~
L1
A
c,n
F
~
L
F2 ~ L1
Fn
~
L1
F1
~
L2 F2
~
L2
Fn
~
L2
F1
~
L n
F2 ~
Ln
B
h1
B
h6
h2
D
h3
h5 h4
必要观测: 能够唯一确定一个几何模型所必要的观测 C 一般用t表示。
特点: 给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。 必要观测之间没有任何函数关系，即相互独立。 确定几何模型最大独立观测个数
确定几何模型最大独立观测个数为t, 那么再多进行一个观测就 相关了，即形成函数关系，也称为观测多余了。
6个元素中必须有选择地观测三个内角与
s1
s2
三条边的三个元素，因此，其必要元素
个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1 个角度、三个边。 C32C3 1C3 1C32C33
s3
确定如图四点的相对高度关系
必须有选择地观测6个高差中的3个， A 其必要元素个数为3。h1、h5、h6或h1、 h2、h3或h1、h2、h4等
~
L F(X)
n ,1
u ,1
B xl
~
(X ) 0
s ,1 u ,1
CxWx 0
五、 平差的随机模型
函数模型
数学模型
随机模型： D 0 2Q 0 2P1
第三节 函数模型的线性化
条件方程的综合形式为：
~~
F F(L, X)
c,1
n,1 u,1
为了线性化，取X的近似值：X 0
~
X X 0 x
c,u
F
~
X
Fn
~
Ln L,X 0
F1
~
X1
F2
~
X
1
Fn
~
X1
F1
~
X2 F2
~
X2
Fn
~
X2
F1 ~
Xu
F2 ~
Xu
Fn ~
X u L,X 0
F F (L ,X x ) F (L ,X 0 ) A Bx
一、条件平差法
AW0 WF(L)
二、间接平差法
~
LLF(X0)Bx B xl lF(X0)L
之三：测量平差基础中的数学模型
测量平差的数学模型及最 小二乘原理
第一节 测量平差概述 第二节 测量平差的数学模型 第三节 参数估计与最小二乘原理
第一节 测量平差概述
一、必要观测、多余观测
确定平面三角形的形状
观测三个内角的任意两个即可,称其必要
元素个数为2，必要元素有C
2 3
种选择
确定平面三角形的形状与大小
如果进行间接平差，就要选出t个独立量为平差参数，按每一 个观测值与所选参数间函数关系，组成n个观测方程。如果 在平差问题中，不是选t个而是选定u>t个参数，其中包含t个 独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数的函数，亦 即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用来约束参数 之间应满足的关系。在选定u>t个参数进行平差时，除了建立 n个观测方程外，还要增加s个约束参数方程，故称此平差方 法为附有限制件的间接平差法。
观测值: 为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际 观测，称为观测值，观测值的个数一般用n表示。
n<t，则无法确定模型 n=t，唯一确定模型，不能发现粗差。 n>t,，可以确定模型，还可以发现粗差。
多余观测: 观测值的个数n与必要观测个数t之差 一般用r表示，r=n-t。
二、测量平差
必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观
G (2)n 1 /2D 1 /2ex 1 2 p (L B X ~)TD 1 (L B X ~)
lG n ln 2)n / ( 2 D 1 /2 1 (L B X ~ ) T D 1 (L B X ~ ) 2
按最大似然估计的要求，应选取能使lnG取得极大值时的
~
X
作为X的估计量。
例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：
~
~
0
0
~
~
~
y
y
~
~
实际上： y
~
~
为了求与,在1，2， n测定其位
得y1, y2 yn,则：
i ~ ~yi,(i1 ,2n)
写成矩阵：
y1
1 1
1
Y
y2, yn
B1 2,
1 n
~
X
~~ , n2
~
BXY 间接平差函数模型
y
y
vi i
yi
o
i
vi2
( i
yi)2min 令：
v1
V
v
2
v
n
则 V T ： V(B X Y )T(B X Y )min
二、 最小二乘原理
按照最小二乘原理的要求，应使各个观测点观测值偏差的平方 和达到最小。测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最 小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释，两种估计 准则的估值相同。