测量平差基础中的数学模型
测量平差函数模型课件
编程语言与工具
编程语言
Python是最常用的编程语言，因为它具有简单易学、代码可读性强、拥有丰富 的科学计算库等特点。R语言也是一个常用的选择，特别是在统计分析方面。
开发工具
PyCharm、Jupyter Notebook、RStudio等集成开发环境（IDE）提供了丰富 的功能，如代码高亮、自动补全、调试等，有助于提高开发效率。
评估模型在训练数据和测试数 据上的表现，以判断模型是否 过于复杂或过于简单。
鲁棒性
评估模型对异常值和噪声的抵 抗能力。
可解释性
评估模型是否易于理解，以及 是否能够提供有意义的解释。
模型性能优化
01
02
03
04
特征选择
通过选择与目标变量最相关的 特征，降低特征维度，提高模
型性能。
超参数调整
调整模型学习过程中的参数， 如正则化强度、批大小、学习
遥感图像处理
在遥感图像处理中，平差函数模型 用于校正图像的几何畸变和辐射误 差，提高图像质量和识别精度。
平差函数模型的重要性
提高测量精度
通过平差函数模型对测量数据进 行处理和修正，可以减小误差、 提高测量精度，为各种应用领域
提供更准确的数据支持。
促进科技发展
平差函数模型是测量数据处理和 分析的重要工具，其研究和应用 有助于推动相关领域的科技进步
平面控制网平差的原理
平面控制网平差采用最小二乘法原理，通过构建误差方程 式和法方程式，求解各未知参数的最优解，从而实现平差 处理。
平面控制网平差的步骤
包括数据采集、数据预处理、构建数学模型、平差计算、 精度评定等步骤。
高程控制网平差
01
高程控制网平差的应用
高程控制网平差主要用于高程测量数据的处理，通过对高程数据进行平
第一讲测量平差中的误差处理概述(贵阳)
一、函数模型中未知参数太少对平差结果的影响 设正确选择未知数时平差模型为: X (1-2-1) 2 1
E (l ) A 1 n k
n(nk )
A2
X 2
1
D (l )
p
若选择未知数X2被漏掉,则平差模型为: E (l ) A X (1-2-2)
1
N 11 N 12 N 11 ~ 1 N 22
1
1
~ 1 1 N 22 N 22 N 21 N 11
ˆ 显然: D ( x1 ) 02 ( N 111 N 111 N 12 N 221 N 21 N 111 ) 3 单位权方差估值变大，当未知参数选择少时
~ 1 ~ 1 1 1 1 1 ( N 11 N 11 N 12 N 22 N 21 N 11 ) N 11 x 1 N 11 N 12 N 22 N 21 x 1
ˆ E ( x1 ) x1
无偏 即多选未知数对未知数的估值没有影响
2.未知数 x 1 的协方差变大 其协因素阵为:
T T T 所以 E (V PV ) E ( l PQ VV PQ VV Pl ) E ( l PQ VV Pl )
tr ( PQ VV ( P
2
1
)) ( A1 x 1 A 2 x 2 ) ( PQ VV P )( A1 x 1 A 2 x 2 )
T
T vv
tr ( PQ VV PP
1 1
D (l )
2
p
1
则由最小二乘有:
T 1 T ˆ X 1 ( A1 PA 1 ) A1 Pl
(1-2-3)
T 1 T
第四章平差数学模型与最小二乘法
几何模型中选定元素多于必要元素的元素 2、多余元素——几何模型中选定元素多于必要元素的元素 多余元素 几何模型中选定元素 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t时，独立量间会产生一个几 作为必要元素， 作为必要元素，则能唯一地确定 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ∆ABC形状与大小 。若选定了 L 1、 L 2 、 L 3 和 S 2 ，则有 L1 + L2 + L3 = 180° 形状与大小
函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。 函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。
一、条件平差法的函数模型
条件平差法： 观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 条件平差法：以观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 构成的条件方程为函数模型的平差方法 例如，在图 所示水准网中 所示水准网中， 为已知其高程的水准点 为已知其高程的水准点， 、 、 均为 例如，在图4-2所示水准网中，A为已知其高程的水准点，B、C、D均为 未知点。 未知点。网中观测向量的真值为 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T L = h1 h2 h3 h4 h5 h6
r ,n n,1 r ,1 r ,1
~ 为常数向量， A0为常数向量，将 L = L + ∆
代入上式， 代入上式，并令
W = AL + A0
(4-2-5) (4-2-6)
则有
A∆ +W = 0
多余观测数r。 （4-2-4）或（4-2-6）式为条件平差的函数模型。条件方程数 多余观测数 。 ） ）式为条件平差的函数模型。条件方程数=多余观测数
若用观测值组成上述两个条件方程，; L2 + L3 − 180° = ω ≠ 0
测量平差中各种模型的等价转换关系
第１８卷第１期测绘学院学擐ｖ０１．１８Ｎｏ．１捌年３月蛔ｌ丑ｌ０ｆⅫ蛐ｄｓＬ唰ｇ“＾．哪岵肚２００ｌ文章编号：１００９－４２７Ｘ（２００１）０１．０００１．０３测量平差中各种模型的等价转换关系周世健，减德彦，鲁铁定（华东地质学院洲量系。
江西临川３４４０００）摘要：基于测量平差中各种平差方法其函数模型的表达，文中重点论证了各种平差方法之闻的等价转换及箕相互关系，得到的结果有利于各种平差方法的理解与渗透，对测重教据处理理论曲分析和应用具有一定的参考价值。
关■词：平差方法；函数模型；等价转换；关系中图分类号：啪文献标识码：Ａ测量平差理论发展至今，其经典理论已趋于完善，特别是测量平差中各种平差方法的研究与实践，较为成熟。
众所周知，平差方法的不同是因函数模型而异，即函数模型确定了平差方法的异同，但随机模型对同一平差问题总是一致的。
目前对平差方法的研究，主要是概括平差模型的研究，用一概括模型从总体上来描述各种平差模型，各种平差方法的模型则为概括平差模型的特例，在这一方面的研究主要有文献［１，２］，且主要体现在一般与特殊的关系上，真正的平差计算仍按原有的平差方法进行，只是在公式的导出上可由概括平差模型简化导出。
在测量乎差的参考书中，对各种平差方法均进行了详细的公式导出，并说明了概括平差模型与各种平差模型的一般与特殊关系，对各种平差模型之间的关系未能进行论述。
这样在测量平差理解上有一定的问题，各种平差方法显得孤立，对初涉此领域的人，仍觉模糊，易于混淆与不解。
本文作者力求在各种平差方法（条件平差、间接平差、附有未知数的条件平差和附有条件的间接平差）之间的等价转换关系上进行必要的推导与论证，以利于得到各种平羞方法的等价性以及各种平差方法的联系性。
１各种平差方法的等价转换关系１．１条件平差与间接平差的关系对同一平差问题，不管用何种平差方法进行解算，结果应为一致。
考虑改正数向量的协因数矩阵，用条件平差解算为Ｑ。
‘＝ＱＡ’Ⅳ：Ａ口（１）式中，Ｑ为观测值向量的协因数矩阵；Ａ为条件平差中条件方程的系数矩阵（ｒ×ｎ），Ｒ（Ａ）＝ｒ；Ⅳ－＝Ａ舭１用间接平差进行解算，改正数向量的协因数矩阵为Ｑ：＝Ｑ一捌‰。
现代测量平差原理及其模型误差分析
D ( X q ) 0 2 ( A T q ) 1 A A T q 1 q ( A P T q ) 1A
D (X q)D (X )
E(02)E(vTfqq v)02
3)随机模型误差对函数模型的影响
函数模型
H 0 : E ( Y ) 0 ;H 1 : E ( Y ) Y
LA X G Y
阵不尽合理等原因都会造成函数模型和随机模 但在实际平差系统中，由于种种原因的建模近似，例如非线性观测方程的线性化；
权的正确值应为p，现定权为q
型产生误差。模型近似在回归拟合模型中则更
为突出。
4、模型误差若干理论问题
1）函数模型不完善参数估计性质
函数模型不完善或者说存在函数模型误差，可理
解为所建模型的参数个数过多或不足。当参数
DXˆ
Q2
0 XˆXˆ
秩亏自由网平差
R（A）=t<u
d=u-t R(Q)=n X非随机
V T P V minX T X min
Xˆ Nm- ATP V AXˆ
QXˆXˆ N
ˆ02
VT PV nR(A)
VT PV nt
DXˆ 02QXˆXˆ
具有奇异协方差的平差模型
R（Q）=g<n R(A)=u X非随机
为核心的数据采集技术。 4、模型误差若干理论问题
4〕函数模型误差和随机模型误差相互转化
1、测量平差数学模型
函数模型是描述观测量与待求参数间的
数学函数关系的模型，是确定客观实际的本 质或特征的模型。
随机模型是描述平差问题中的随机量
（如观测量）及其相互间统计相关性质的模 型。
经典平差模型
LAX
n1 nuu1 n1
测绘技术中的平面网平差法原理与应用技巧
测绘技术中的平面网平差法原理与应用技巧测绘技术在日常生活中扮演着重要的角色，它不仅用于土地规划、建筑设计等方面，还广泛应用于地图制作、资源勘探和遥感测量等领域。
而平面网平差法作为测绘技术的一种重要方法，具有高精度和高效率的特点，被广泛应用于地理信息系统、导航系统等领域。
本文将介绍平面网平差法的原理和应用技巧。
平面网平差法是一种基于误差传递原理的数学模型，用于解决测量数据中的误差问题。
它的基本原理是通过建立数学模型，将各个观测点的观测值和误差之间的关系进行求解，从而得到更准确的测量结果。
平面网平差法主要包括两个阶段：观测值的平差和坐标的平差。
观测值的平差是指根据测量数据和误差理论，采用最小二乘法对观测值进行修正的过程。
在平差过程中，需要考虑到各个观测点的权重和相互之间的相关性，以减小误差对结果的影响。
观测值的平差可以分为两个步骤：一是建立观测方程，即观测数据与未知数之间的关系；二是通过最小二乘法求解观测方程，得到修正后的观测值。
坐标的平差是指将观测平差后的数据进行坐标平差，得到各个点的平差坐标。
坐标的平差主要包括坐标测量值的平差和坐标平差后的检查。
在坐标测量值的平差过程中，需要考虑到各个点的权重和角度、距离等要素的约束条件，以减小误差的累积。
而坐标平差后的检查主要是通过残差分析等方法，判断平差结果的可靠性和精度。
在实际应用中，平面网平差法还需要注意一些技巧和注意事项。
首先，在进行观测值的平差时，应根据实际情况选择合适的观测方法和观测仪器，以保证数据的准确性和可靠性。
其次，在进行坐标的平差时，应根据实际情况选择合适的平差模型和平差算法，以提高平差的精度和效率。
同时，还应注意数据的处理和分析过程中可能出现的误差和异常值，以保证结果的可靠性和准确性。
总而言之，平面网平差法是测绘技术中一种重要的数据处理方法，具有高精度和高效率的特点。
通过对测量数据的观测值和坐标进行平差，可以得到更准确的测量结果，为相关行业的决策和规划提供有力的支持。
中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程《测量平差》第二章课件 平差数学模型与最小二
(2-1-3)
(2-1-4)
由此可见，每增加一个多余观测，在它们中间就 必然增加且只增加一个确定的函数关系式，有多少 个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。这种 函数关系式，在测量平差中称为条件方程。
综上所述，由于有了多余观测，必然产生条件方 程，但由于观测不可避免地含有误差，故观测值之 间必然不能满足理论上的条件方程，即：
转折角度观测值 β1 = 85˚30′ 21.1″ β2 = 254˚32′ 32.2″ β3 = 131˚04′ 33.3″ β4 = 272˚20′ 20.2″ β5 = 244˚18′ 30.0″
解： 未知导线点个数n – 1 = 3，导线边数n = 4，观测角 个数n + 1 = 5 近似计算导线边长、方位角和各导线点坐标，列于表 3-2中 表3-3
0 0 0 1 1 1 1 1 0 A 0.3868 0.7857 0.0499 0.9959 1.8479 1.1887 0.7614 0.0857 0 0.9221 0.6186 0.9988 0.0906 1.2502 1.5267 0.9840 0.9417 0
一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任 何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测 元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。在上 述⑵情况中，任意三个必要观测元素，如 L1、L2、S1 之间，其中 S 1 不可能表达成 L1、L2 的函数，除非再 增加其它的量。这些彼此不存在函数关系的量称为 函数独立量，简称独立量。 在测量工作中，为了求得一个几何模型中的几何 量大小，就必须进行观测，但并不是对模型中的所 有量都进行观测。假设对模型中的几何量总共观测 n个，当观测值个数小于必要观测个数，即n<t,显然 无法确定模型的解；
平差计算的基本原理和方法
平差计算的基本原理和方法平差计算是一种广泛应用于测量和工程领域的数学方法，用于解决数据观测值中的误差和偏差问题。
平差计算的基本原理是通过最小二乘法，以最小化观测值与计算值之间的残差平方和来确定最优解。
本文将介绍平差计算的基本原理和常用方法。
一、平差的概念和意义平差是指将不准确或不完整的观测数据进行修正和处理，使其达到最优解或近似最优解的过程。
在测量和工程领域中，由于各种误差和偏差的存在，观测数据往往具有一定的不确定性，因此需要进行平差计算来提高数据的精度和可靠性。
平差计算的结果可以用来进行工程设计、地图测绘、导航定位等各种应用。
二、平差计算的基本原理平差计算的基本原理是基于最小二乘法。
最小二乘法的核心思想是将观测值与计算值之间的残差平方和最小化，通过调整未知量的值来逼近最优解。
残差是指观测值与计算值之间的差异，而平差计算的目标就是使这些差异最小化。
平差计算的基本模型可以表示为以下方程组：A * x = L其中，A为系数矩阵，x为未知量向量，L为观测值向量。
通过解这个方程组，可以求得最优的未知量估计值x。
最小二乘法的优点是可以利用观测数据中的权重信息，将准确性较高的观测数据给予更大的权重，进一步提高计算结果的准确性。
此外，最小二乘法还具有数学上的良好性质，可以通过数学推导和求解得到闭式解，而不需要采用迭代方法。
三、平差计算的常用方法1. 三角形平差法三角形平差法是一种常用的平差计算方法，适用于测量角度和距离的观测数据。
该方法基于三角形的相似性原理，通过解析几何和三角函数等方法，将观测数据转化为方程组，并利用最小二乘法求解未知量。
2. 存储器平差法存储器平差法是一种适用于大规模观测数据的平差计算方法。
该方法通过将观测值按照一定规律存储在存储器中，然后通过循环迭代的方式逐步修正观测值和未知量的估计值，直到最终收敛。
3. 参数平差法参数平差法是一种广泛应用于工程测量领域的平差计算方法。
该方法将未知量表示为参数的形式，并利用最小二乘法求解最优的参数估计值。
测量平差基础(修改)
cm1
cm2
cmn
将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。
用：
c11 c21 cn1
CT c12
c22
cn
2
nm
c1n
c2n
cnm
矩阵转置的性质：
(1)C DT ,则：D CT (2)( AT )T A (3)( A B)T AT BT (4)(kA)T kAT (5)( AB)T BT AT
L3=180°－L1－L2
L1
（2）观测了三角形三内角L1、L2、L3， 由于有误差，一般情况下：
L1+L2+L3≠180°
L2
存在闭合差（观测值与理论值之差）
L3
w=L1+L2+L3－180°
出现了三角形三内角观测值之和不等于
180°的矛盾。
那么，这些观测值之间的矛盾是怎么产生的呢？我们又如何 来解决这些矛盾呢？
（6）若 AT A 则A为对称矩阵。
三、矩阵的逆
给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶方阵 B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。 记为：
B A1
A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的 行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否 则为奇异矩阵
矩阵的逆的性质
(1)( AB)1 B1A1 (2)( A1)1 A
2．提出了相关平差 3．产生了顾及随机参数的最小二乘方法即最小二乘滤 波，
推估和配置。 4．形成了秩亏自由网平差理论 5．出现后验定权方法，形成了方差－协方差估计理论。 6．展开了对系统误差特性、传播、检验、分析的理论研究。 7．展开了数据探测法和可靠性理论的研究，提出了稳健估
测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理
大地四边形 t 2*44 4
中心多边形 t 2*7 4 10
扇形 t 2*5 4 6
r 84 4
r 18 10 8
r 11 6 5
观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测量 平差得以实现 由于观测不可避免地存在偶然误差，当n>t时，几何 模型中应该满足r=n-t个条件方程，实际存在闭俣差而并不 满足，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使 其达到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。 一
（1）两个相邻点坐标 （2）一个已知点坐标，一个相邻已知方位， 一个相邻已知边长。
L2
L1
L3
③测边网和边角网：
一个已知点坐标，一个相邻已知方位，
一个相邻已知边长或两个相邻点坐标。
L2
L1
L3
三、必要观测
必要观测/必要元素：唯一确定一个确定几何、物理模型 的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号 用符号t表示。
§4.5参数估计与最小二乘原理
Estimation of Parameters and Principles of Least Squares 一、参数估计及最优性质
测量平差资料
测量平差资料第⼀章绪论⼀、观测误差1、为什么要进⾏观测必要观测、多余观测2、误差存在的现象3、误差产⽣的原因观测条件：观测仪器、观测者、外界条件4、误差的分类粗差、系统误差、偶然误差5、误差的处理办法⼆、测量平差的简史和发展三、测量平差的两⼤任务及本课程的主要内容第⼆章误差分布与精度指标⼀、偶然误差的规律性1、随机变量2、偶然误差的分布正态分布3、偶然误差的统计特性由统计分析可以看出，偶然误差具有下列特性：1、在⼀定的观测条件下，偶然误差的绝对值有⼀定的限值，即超过⼀定限值的偶然误差出现的概率为零；2、绝对值较⼩的偶然误差⽐绝对值较⼤的偶然误差出现的概率⼤；3、绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；4、偶然误差的理论平均值为零⼆、随机变量的数字特征（1）反映随机变量集中位置的数字特征---数学期望（2）反映随机变量偏离集中位置的离散程度----⽅差（3）映两两随机变量x、y相关程度的数字特征---协⽅差3、协⽅差(a) 定义相关系数三、衡量精度的指标1、⽅差和中误差2、平均误差3、或然误差4、极限误差5、相对（中、真、极限）误差四、随机向量的数字特征1、随机向量2、随机向量的数学期望3、随机向量的⽅差-协⽅差阵协⽅差阵的定义协⽅差阵的特点4、互协⽅差阵协⽅差阵的定义协⽅差阵的特点五、精度准确度精确度观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统误差、粗差）的⼤⼩。
1、精度：描述偶然误差，可从分布曲线的陡峭程度看出精度的⾼低。
2、准确度：描述系统误差和粗差，可⽤观测值的真值与观测值的数学期望之差来描述，即：3、精确度：描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，精确度可⽤观测值的均⽅误差来描述，即：即观测值中只存在偶然误差时，均⽅误差就等于⽅差，此时精确度就是精度。
七、⼩结第三章协⽅差传播律⼏个概念1、直接观测量2、⾮直接观测量---观测值的函数⽔准测量导线测量三⾓形内⾓平差值3、独⽴观测值4、⾮独⽴观测值----相关观测值独⽴观测值各个函数之间不⼀定独⽴5、误差传播律6、协⽅差传播律⼀、观测值线性函数的⽅差设观测向量L及其期望和⽅差为：若观测向量的多个线性函数为三、两个函数的互协⽅差阵四、⾮线性函数的情况五、多个观测向量⾮线性函数的⽅差—协⽅差矩阵设观测向量的t个⾮线性函数为：对上式求全微分，得六、协⽅差传播律的应⽤1、⽔准测量的精度2、距离丈量的精度3、同精度独⽴观测值算术平均值的精度七、应⽤协⽅差传播律时应注意的问题（1）根据测量实际，正确地列出函数式；（2）全微分所列函数式，并⽤观测值计算偏导数值；（3）计算时注意各项的单位要统⼀；（4）将微分关系写成矩阵形式；（5）直接应⽤协⽅差传播律，得出所求问题的⽅差-协⽅差矩阵。
测量平差原理
间接平差： 选定t个独立的参数，将每个 观测值分别表示成这t个独立参数的函数， 组成观测方程，这种以观测方程为函数模 型的平差方法就是间接平差。
其数学模型为：
L B X d
n1 nt t1 n1
D
nn
2 0
Q
nn
P 2
1
0 nn
间接平差的数学模型
观测三角形内角，选择t=2个独立
参数A和B为平差参数，设为X1 、X2 则n=3个观测方程为：
针对偶然误差的测量平差中，利用最小二乘 法求得的估计量是最优估计量，具有以下性质：
（1）一致性；（2）无偏性；（3）有效性
数学模型 ：用数学关系描述几何模型的几何关系和内在 联系 。
函数模型 ：几何关系，描述观测量之间或观测量与待定 量之间的数学函数关系式 。
随机模型 ：内在联系，是描述观测量及其相互间的统计 相关性质。实际上，测量平差中所谓的随机模型，就是 观测值向量的权阵。
方程式不能由其他方程式线性组合得到） （3）形式简单
列方程依据：角度、边长、高差等几何关系
条件平差的函数模型举例 (1)
r=2
条件平差的函数模型举例 (2)
S1
1
A
C
已知点：A、B
观测值如图
3
S2
2 B
r=3
条件平差的函数模型举例 (3)
C
D
L3 L4
L6
已知点：A、B
L1
A
L2
L5
B
观测值： L1- L6
必要观测、多余观测
确定平面三角形的形状
观测三个内角的任意两个即可,称其必要
元素个数为2，必要元素有 C32种选择
确定平面三角形的形状与大小
计算平差的方法
计算平差的方法
计算平差是一种广泛应用于测量学和地理信息系统领域的方法，用于处理多个测量点之间存在的误差和杂乱因素。
计算平差的主要目的是通过消除误差来提高测量数据的准确性和可靠性，从而得到更加精确的测量结果。
计算平差的方法通常包括以下几个步骤：
1.建立数学模型：将测量数据以数学模型的形式表示出来，包括测量观测值、误差、测量点之间的关系等。
2.解算平差方程：利用最小二乘法等数学方法，将测量数据中的误差和杂乱因素消除，得到更加精确的测量结果。
3.检验平差结果：对平差结果进行检验，包括查看误差大小和分布情况、比较不同平差方法的优劣等。
4.输出平差结果：将平差结果输出为文本文件或图形文件，方便后续的数据分析和处理。
常见的计算平差方法包括：最小二乘法、最小二乘逆推法、高斯-马尔可夫模型、卡尔曼滤波等。
在实际应用中，应根据具体问题的特点和数据的性质选择合适的平差方法，以达到更好的效果。
总之，计算平差是一种非常重要的测量数据处理方法，可以提高数据的准确性和可靠性，为后续的数据分析和应用提供可靠的基础。
- 1 -。
现代测量平差简介
那么，一个测量平差问题又是怎样来达到消除 闭合差的目的呢？ 首先要由观测值和未知量间组成函数模型； 然后采用一定的平差原则对未知量进行估计。
2 函数模型
函数模型：是描述观测量与观测量之间、观 测量与未知量间的数学函数关系的模型。
建立不同的函数模型，就有了不同的平差方法： 1、条件平差； 2、间接平差；
3、附有参数的条件平差；
4、附有限制条件的间接平差。
一、条件平差的函数模型
n<t，则无法确定模型 n=t，唯一确定模型，不能发现粗差。 n>t,，可以确定模型，还可以发现粗差。 有一个多余观测，观测值间就会产生一个函数关系， 平差中称这种函数关系为条件方程。观测值的数学期望之 间的函数关系式。
条件平差 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差方法。
列立附有参数的条件 平差的函数模型：
ｎ=4，t=2，r=4-2=2
选ｕ=1个参数： H P
1
X
列立ｃ=r+ｕ=3个条件方程：
h2 h3 0 H A h1 h2 h4 H B 0 H A h1 X 0
0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 L 0 X H H 0 B A 1 0 0 0 1 HA
第六讲 平差数学模型
内 容 安 排
一、四大经典平差的函数模型
二、函数模型的线性化
三、测量平差的数学模型
第六讲 几个概念
平差数学模型
必要元素：能够唯一确定一个几何模型所必需的元素， 简称必要元素。（用t表示）
多余观测数：为了发现粗差和错误，并提高精度，需 要进行多余观测。(用r表示）
中南大学《误差理论与测量平差基础》考研复习重点笔记
考试复习重点资料（最新版）资料见第二页封面第1页第一章测量误差理论§1-1正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§1-2偶然误差的规律性2.直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3.误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4.偶然误差的特性第2章协方差传播律在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
§2—1数学期望的传播数学期望是描述随机变量的数字特征之一，在以后的公式推导中经常要用到它，因此，首先介绍数学期望的定义和运算公式。
其定义是：§2—2协方差传播律从测量工作的现状可以看出：观测值函数与观测值之间的关系可分为以下3种情况，下面就按这3种情况来讨论两者之间中误差的关系。
第3章最小二乘平差§3-1条件平差原理以条件方程为函数模型的方法称之条件平差。
二、按条件平差求平差值的计算步骤及示例计算步骤：1.列出r=n-t个条件方程；2.组成并解算法方程；3.计算V和的值；4.检核。
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h1
B
h6
h2
D
h3
h5 h4
必要观测: 能够唯一确定一个几何模型所必要的观测 C 一般用t表示。
特点: 给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。 必要观测之间没有任何函数关系，即相互独立。 确定几何模型最大独立观测个数
确定几何模型最大独立观测个数为t, 那么再多进行一个观测就 相关了，即形成函数关系，也称为观测多余了。
如果进行间接平差，就要选出t个独立量为平差参数，按每一 个观测值与所选参数间函数关系，组成n个观测方程。如果 在平差问题中，不是选t个而是选定u>t个参数，其中包含t个 独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数的函数，亦 即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用来约束参数 之间应满足的关系。在选定u>t个参数进行平差时，除了建立 n个观测方程外，还要增加s个约束参数方程，故称此平差方 法为附有限制件的间接平差法。
~
L F(X)
n ,1
u ,1
B xl
~
(X ) 0
s ,1 u ,1
CxWx 0
五、 平差的随机模型
函数模型
数学模型
随机模型： D 0 2Q 0 2P1
第三节 函数模型的线性化
条件方程的综合形式为：
~~
F F(L, X)
c,1
n,1 u,1
为了线性化，取X的近似值：X 0
~
X X 0 x
观测值: 为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际 观测，称为观测值，观测值的个数一般用n表示。
n<t，则无法确定模型 n=t，唯一确定模型，不能发现粗差。 n>t,，可以确定模型，还可以发现粗差。
多余观测: 观测值的个数n与必要观测个数t之差 一般用r表示，r=n-t。
二、测量平差
必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观
c,u
F
~
X
Fn
~
Ln L,X 0
F1
~
X1
F2
~
X
1
Fn
~
X1
F1
~
X2 F2
~
X2
Fn
~
X2
F1 ~
Xu
F2 ~
Xu
Fn ~
X u L,X 0
F F (L ,X x ) F (L ,X 0 ) A Bx
一、条件平差法
AW0 WF(L)
二、间接平差法
~
LLF(X0)Bx B xl lF(X0)L
以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有
参数的条件平差法。
~~
F F(L, X)
c,1
n,1 u,1
A B x W 0
上式为附有参数的条件平差法的函数模型。
此平差问题，由于选择了u个独立参数，方程总数 由r个增加到c=r+u个，故平差的自由度为r=c-u。
四、 附有限制条件的间接平差法
第二节 测量平差的数学模型
一、条件平差法
以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。
~
F F(L)
r ,1
n ,1
AW0
即为条件平差的函数模型。 条件平差的自由度即为多
余观测数r，即条件方程个数。
二、间接平差法
选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观测
量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式， 以此为平差的函数模型，成为间接平差法。
例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：
~
~
0
0
~
~
~
y
y
~
~
实际上： y
~
~
为了求与,在1，2， n测定其位
得y1, y2 yn,则：
i ~ ~yi,(i1 ,2n)
写成矩阵：
y1
1 1
1
Y
y2, yn
B1 2,
1 n
~
X
~~ , n2
~
BXY 间接平差函数模型
y
y
vi i
G (2)n 1 /2D 1 /2ex 1 2 p (L B X ~)TD 1 (L B X ~)
lG n ln 2)n / ( 2 D 1 /2 1 (L B X ~ ) T D 1 (L B X ~ ) 2
按最大似然估计的要求，应选取能使lnG取得极大值时的
~
X
作为X的估计量。
~
取 L 的初值： L
~
L L
将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及 以上项：
FF(L,X x)F(L,X0)
F
~
L,X0
F
~
x L,X0
L
X
F1
~
L1
A
c,n
F
~
L
F2 ~ L1
Fn
~
L1
F1
~
L2 F2
~
L2
Fn
~
L2
F1
~
L n
F2 ~
Ln
B
三、 附有参数的条件平差法
A B x W 0
四、 附有限制条件的间接平差法
~
L F(X)
n ,1
u ,1
~
(X ) 0
s ,1 u ,1
B xl CxWx 0
第四节 参数估计与最小二乘原理
一、 参数估计及其最优性质
对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差
为例： AW0
条件的个数r=n-t <n，即方程的个数少，求解的参数多，方程多 解。其它模型同。
yi
o
i
vi2
( i
yi)2min 令：
v1
V
v
2
v
n
则 V T ： V(B X Y )T(B X Y )min
二、 最小二乘原理
按照最小二乘原理的要求，应使各个观测点观测值偏差的平方 和达到最小。测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最 小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释，两种估计 准则的估值相同。
6个元素中必须有选择地观测三个内角与
s1
s2
三条边的三个元素，因此，其必要元素
个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1 个角度、三个边。 C32C3 1C3 1C32C33
s3
确定如图四点的相对高度关系
必须有选择地观测6个高差中的3个， A 其必要元素个数为3。h1、h5、h6或h1、 h2、h3或h1、h2、h4等
为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差 所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻 求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模 型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。
数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量应具有无偏 性、一致性和有效性的要求。可以证明，这种估计为最小二乘 估计。
测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。
n 3 t 2 r n t 1
~ ~~
180
实际上：
180
180
h1
B n 6 t 3 r n t 3
A
h6
h2
~~ ~
h1h2h60 h1h2h6 0
D h5 h4
h3
~~~
h2h3h40 h2h3h40
~~~
C
h6h4h50 h6h4h50
由于上式右边的第二项前是负号，所以只有当该项取得极小 值时，lnG才能取得极大值，换言之，X~ 的估计量应满足如下 条件：
(LBX)TD1(LBX)最小
由D 于 DLL0 2Q02P1， 0 2为常数，则
(LBX)TP(LBX)最小
设 V是 的估值 VB ， X则 L,有：
VTPV最小
即最小二乘原则。
设观测向量为L，L为n维随机正态向量，其数学期望与方差分别 为：
1
LE(L)源自2nDDLL
2121
12 22
11n2
n1 n2
n2
其似然函数为：
G (2)n 1 /2D 1 /2ex 1 2( p L L )TD 1 (L L )
以间接平差法为例，顾及间接平差的模型与E（）=0得：
之三：测量平差基础中的数学模型
测量平差的数学模型及最 小二乘原理
第一节 测量平差概述 第二节 测量平差的数学模型 第三节 参数估计与最小二乘原理
第一节 测量平差概述
一、必要观测、多余观测
确定平面三角形的形状
观测三个内角的任意两个即可,称其必要
元素个数为2，必要元素有C
2 3
种选择
确定平面三角形的形状与大小
~
L F(X)
n ,1
t ,1
B xl
上式就是间接平差的函数模型。尽管间接平差法 是选了t个独立参数，但多余观测数不随平差不同 而异，其自由度仍是r=n-t。
三、 附有参数的条件平差法
设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则 可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为参 数，而0<u<t，每增设一个参数应增加一个条件方程。