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时间序列课件第二章
Leabharlann Baidu
平稳性检验
特征统计量 平稳时间序列的定义 平稳时间序列的统计性质 平稳时间序列的意义 平稳性的检验
特征统计量
均值
t EX t xdt(F x)
方差 自协方差 自相关系数
D t X E (X tt)2 (xt)2 dt(F x )
(t,s ) E (X tt)X (ss)
极大地减少了随机变量的个数，并增加了待估 变量的样本容量
极大地简化了时序分析的难度，同时也提高了 对特征统计量的估计精度
平稳性的检验（图检验方法）
时序图检验
根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质， 平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一 个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、 无明显趋势及周期特征
(t,s) (t,s)
DXt DXs
平稳时间序列的定义
严平稳
严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它 认为只有当序列所有的统计性质都不会随着时 间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平 稳。
宽平稳
宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种 平稳性。它认为序列的统计性质主要由它的低 阶矩决定，所以只要保证序列低阶矩平稳（二 阶），就能保证序列的主要性质近似稳定。
Runs Test
Test Value a Cases < Test Value Cases >= Test Value Total Cases Number of Runs Z Asymp. Sig. (2-tailed)
（2）用游程检验方法检验时间序列平稳性 的基本思想
对于一个时间序{x列 t },设其样本均值x为 ,对序列中比 x小的观察值记"为"号,比x大
的观察值记"为 "号,这样就形成了一个符号
序列.并可求出这个序列的 程游 数.
如果符号序列是随机的，那么“+”和“-”将随机 出现，因此它的游程数既不会太多，又不会太 少；反过来说如果符号序列的游程总数太少或 太多，我们就可以认为时间序列存在某种趋势 性或周期性。
在大样本情况下 Z r E (r)
D (r)
(N
或
1
N
大于
2
15 ) 有
:
渐近服从 N ( 0 ,1 ) 服布 .
(3)检验方法
a.小样本情况
零假设：
H0：加号和减号以随机的方式出现 检验方法：取显著性水平α(一般取0.05),查
单样本游程检验表，得出抽样分布的临界 值rL、rU 判定：若rL <r< rU则不能拒绝零假设，即不 能拒绝序列是平稳的；若r> rU 或r< rL则拒 绝零假设，序列是非平稳的。
设序列长度为 为记号序列中
N ,N
N1
N
2
,
N
和
1
N
分别
2
" " 与 " " 出现的次数，游程
总数为 r ，对于随机序列可以证
明 : 游程总
数 r 的期望和方差分别如下
:
E (r) 2 N 1N 2 1 N1 N2
D (r ) 2 N 1N 2 (2 N 1N 2 1) N 2 (N 1)
kE(Xt EtX )(XtkEtX k)
EtX Xtk
相应的，自相关函数记为：
k
k 0
自相关系数的性质
规范性 对称性 非负定性 非唯一性
(1)k k (2)k 0
k k k 1
平稳时间序列的意义
时间序列数据结构的特殊性
可列多个随机变量，而每个变量只有一个样本 观察值
平稳性的重大意义
自相关图检验
平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相 关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳 序列的自相关系数会很快地衰减向零
例题
例2.1
检验1964年——1999年中国纱年产量序列的平稳性
例2.2
检验1962年1月——1975年12月平均每头奶牛月产奶 量序列的平稳性
例2.3
检验1949年——1998年北京市每年最高气温序列的平 稳性
平稳时间序列的统计定义
满足如下条件的序列称为严平稳序列
正 m ,整 t1 ,t2 , ,t 数 m T ， 正， 有 整数
F t 1 , t 2 t m ( x 1 , x 2 , , x m ) F t 1 , t 2 t m ( x 1 , x 2 , , x m )
b.大样本情况
零假设： 号和减号以随机的方式出现
H0：加
检验方法：给定显著性水平α(一般取0.05) 查标准正态分布表，得出抽样分布的临界
值-z α,+z α。并计算统计量:
Z r E(r) D(r)
判定：若-z α<z<+z α,则不能拒绝零假设，即 不能拒绝序列是平稳的;否则拒绝零假设，
例2.1时序图
例2.1自相关图
例2.2时序图
例2.2 自相关图
例2.3时序图
例2.3自相关图
非参数检验法：游程检验
(1)什么是游程 一个游程定义为一个具有相同符号的连续串，在
它前后相接的是与其不同的符号或完全无符号。 例如，观察的结果用加、减标志表示，得到一组
这样的记录顺序： ++---+----++-+ 这个样本的观察结果共有7个游程。
平稳时间序列的统计性质
常数均值 自协方差函数和自相关函数只依赖于时间
的平移长度而与时间的起止点无关
延迟k自协方差函数
(k)(t,tk),k为整数
延迟k自相关系数
k
(k) (0)
若{Xt}为平稳序列，假定EXt=0，由于 (t,s)(ts,0)
令s=t-k，于是我们就可以用以下记号表示平稳序列的自 协方差函数，即：
满足如下条件的序列称为宽平稳序列
1)EX t2,tT
2)EX t ,为常 数 tT， 3)(t,s)(k,kst)， t,s,k且 kstT
严平稳与宽平稳的关系
一般关系 严平稳条件比宽平稳条件苛刻，通常情况下， 严平稳（低阶矩存在）能推出宽平稳成立，而 宽平稳序列不能反推严平稳成立
特例 不存在低阶矩的严平稳序列不满足宽平稳条件 当序列服从多元正态分布时，宽平稳可以推出 严平稳
序列是非平稳的。
非参数检验可以很方便的通过SPSS软件进行， 实例：用游程检验S&T数据的平稳性；
步骤如下： 1.打开SPSS输入数据 2.依次单击Analyze—Nonparmetric Tests—Runs; 打开Runs对话框。 3.在源变量对话框中选择变量进入“Test Variable list”栏内 4.选中“cut point”栏中“mean”选项 5.单击“OK”按纽，开始进行统计分析。
Leabharlann Baidu
平稳性检验
特征统计量 平稳时间序列的定义 平稳时间序列的统计性质 平稳时间序列的意义 平稳性的检验
特征统计量
均值
t EX t xdt(F x)
方差 自协方差 自相关系数
D t X E (X tt)2 (xt)2 dt(F x )
(t,s ) E (X tt)X (ss)
极大地减少了随机变量的个数，并增加了待估 变量的样本容量
极大地简化了时序分析的难度，同时也提高了 对特征统计量的估计精度
平稳性的检验（图检验方法）
时序图检验
根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质， 平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一 个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、 无明显趋势及周期特征
(t,s) (t,s)
DXt DXs
平稳时间序列的定义
严平稳
严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它 认为只有当序列所有的统计性质都不会随着时 间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平 稳。
宽平稳
宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种 平稳性。它认为序列的统计性质主要由它的低 阶矩决定，所以只要保证序列低阶矩平稳（二 阶），就能保证序列的主要性质近似稳定。
Runs Test
Test Value a Cases < Test Value Cases >= Test Value Total Cases Number of Runs Z Asymp. Sig. (2-tailed)
（2）用游程检验方法检验时间序列平稳性 的基本思想
对于一个时间序{x列 t },设其样本均值x为 ,对序列中比 x小的观察值记"为"号,比x大
的观察值记"为 "号,这样就形成了一个符号
序列.并可求出这个序列的 程游 数.
如果符号序列是随机的，那么“+”和“-”将随机 出现，因此它的游程数既不会太多，又不会太 少；反过来说如果符号序列的游程总数太少或 太多，我们就可以认为时间序列存在某种趋势 性或周期性。
在大样本情况下 Z r E (r)
D (r)
(N
或
1
N
大于
2
15 ) 有
:
渐近服从 N ( 0 ,1 ) 服布 .
(3)检验方法
a.小样本情况
零假设：
H0：加号和减号以随机的方式出现 检验方法：取显著性水平α(一般取0.05),查
单样本游程检验表，得出抽样分布的临界 值rL、rU 判定：若rL <r< rU则不能拒绝零假设，即不 能拒绝序列是平稳的；若r> rU 或r< rL则拒 绝零假设，序列是非平稳的。
设序列长度为 为记号序列中
N ,N
N1
N
2
,
N
和
1
N
分别
2
" " 与 " " 出现的次数，游程
总数为 r ，对于随机序列可以证
明 : 游程总
数 r 的期望和方差分别如下
:
E (r) 2 N 1N 2 1 N1 N2
D (r ) 2 N 1N 2 (2 N 1N 2 1) N 2 (N 1)
kE(Xt EtX )(XtkEtX k)
EtX Xtk
相应的，自相关函数记为：
k
k 0
自相关系数的性质
规范性 对称性 非负定性 非唯一性
(1)k k (2)k 0
k k k 1
平稳时间序列的意义
时间序列数据结构的特殊性
可列多个随机变量，而每个变量只有一个样本 观察值
平稳性的重大意义
自相关图检验
平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相 关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳 序列的自相关系数会很快地衰减向零
例题
例2.1
检验1964年——1999年中国纱年产量序列的平稳性
例2.2
检验1962年1月——1975年12月平均每头奶牛月产奶 量序列的平稳性
例2.3
检验1949年——1998年北京市每年最高气温序列的平 稳性
平稳时间序列的统计定义
满足如下条件的序列称为严平稳序列
正 m ,整 t1 ,t2 , ,t 数 m T ， 正， 有 整数
F t 1 , t 2 t m ( x 1 , x 2 , , x m ) F t 1 , t 2 t m ( x 1 , x 2 , , x m )
b.大样本情况
零假设： 号和减号以随机的方式出现
H0：加
检验方法：给定显著性水平α(一般取0.05) 查标准正态分布表，得出抽样分布的临界
值-z α,+z α。并计算统计量:
Z r E(r) D(r)
判定：若-z α<z<+z α,则不能拒绝零假设，即 不能拒绝序列是平稳的;否则拒绝零假设，
例2.1时序图
例2.1自相关图
例2.2时序图
例2.2 自相关图
例2.3时序图
例2.3自相关图
非参数检验法：游程检验
(1)什么是游程 一个游程定义为一个具有相同符号的连续串，在
它前后相接的是与其不同的符号或完全无符号。 例如，观察的结果用加、减标志表示，得到一组
这样的记录顺序： ++---+----++-+ 这个样本的观察结果共有7个游程。
平稳时间序列的统计性质
常数均值 自协方差函数和自相关函数只依赖于时间
的平移长度而与时间的起止点无关
延迟k自协方差函数
(k)(t,tk),k为整数
延迟k自相关系数
k
(k) (0)
若{Xt}为平稳序列，假定EXt=0，由于 (t,s)(ts,0)
令s=t-k，于是我们就可以用以下记号表示平稳序列的自 协方差函数，即：
满足如下条件的序列称为宽平稳序列
1)EX t2,tT
2)EX t ,为常 数 tT， 3)(t,s)(k,kst)， t,s,k且 kstT
严平稳与宽平稳的关系
一般关系 严平稳条件比宽平稳条件苛刻，通常情况下， 严平稳（低阶矩存在）能推出宽平稳成立，而 宽平稳序列不能反推严平稳成立
特例 不存在低阶矩的严平稳序列不满足宽平稳条件 当序列服从多元正态分布时，宽平稳可以推出 严平稳
序列是非平稳的。
非参数检验可以很方便的通过SPSS软件进行， 实例：用游程检验S&T数据的平稳性；
步骤如下： 1.打开SPSS输入数据 2.依次单击Analyze—Nonparmetric Tests—Runs; 打开Runs对话框。 3.在源变量对话框中选择变量进入“Test Variable list”栏内 4.选中“cut point”栏中“mean”选项 5.单击“OK”按纽，开始进行统计分析。