正多边形和圆 公开课课件
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《正多边形和圆》课件
总结词
丰富多样的设计元素
详细描述
正多边形和圆的几何特性使得它们在视觉上具有独特的冲 击力。通过巧妙地运用正多边形和圆，可以创造出引人注 目的视觉效果，吸引人们的注意力。
详细描述
正多边形和圆作为基本的几何图形，在几何图形设计中有 着广泛的应用。它们可以单独使用或组合使用，创造出丰 富多样的设计元素，如标志设计、图案设计、图标设计等 。
。
圆的基本性质
01
02
03
圆心角与弧的关系
在同一个圆或等圆中，相 等的圆心角所对的弧相等 ，相等的弧所对的圆心角 相等。
弦与直径的关系
在同一个圆或等圆中，弦 的垂直平分线必经过圆心 ，经过圆心的弦是直径。
直径与半径的关系
在同一个圆或等圆中，直 径是半径的两倍，半径是 直径的一半。
圆的分类
按照半径的大小分类
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
《正多边形和圆》ppt课件
• 正多边形的定义和性质 • 圆的定义和性质 • 正多边形和圆的关系 • 正多边形和圆的实际应用
目录
CONTENTS
01
正多边形的定义和性质
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
正多边形和圆在日常生活中的应用
总结词
日常用品的设计
详细描述
交通工具的设计中也会经常运用到正多边形和圆。例如， 汽车、火车、飞机等交通工具的外形、轮毂、仪表盘等部 位都会涉及到正多边形和圆的应用。
详细描述
正多边形和圆在日常生活中有着广泛的应用。例如，一些 日常用品的形状、图案或纹理中会运用到正多边形和圆， 如餐具、服饰、家居用品等。
详细描述
人教版《正多边形和圆》PPT完美课件
正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积
3
60° 120° 2 2 3 1 6 3 3 3
4
90° 90° 2 2
1
8
4
6
120° 60° 2 2
3
12 6 3
P108习题24.3 第2题 2.要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形
铁片的半径至少是 周角相等（五边形的角相等）
正多边形的中心，正多边形的半径，
中心角O.. 半径R
边心距r
中心到正多边形的一边的距离.
练习 1.完成下面的表格：
正多边 形边数
3 4 6
内角
60 ° 90 ° 120 °
n
中心角
120 ° 90 ° 60 °
外角
120 ° 90 ° 60 °
正多边形的
ห้องสมุดไป่ตู้
外角=中心角
A
F
中心 B 中心角 O半径R E
正多边形的中心，正多边形的半径，
A
D
怎样找圆的内接正方形？
E
D
怎样找圆的内接正三角形？
O O 如图，☉O的半径是R，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长.
周角相等（五边形的角相等）
F
OC
B P C BPC
A PB
拓展提升
P109 第8题
把圆分成n（n≥3）等份，经过各分点作圆的切线，以相邻 切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.如图， ☉O的半径是R，分别求它的外切正三角形、外切正方形、 外切正六边形的边长.
边心距r
C
D
❖ 2.正n边形的半径R，边心距r，边长a又有
人教版数学九年级上册第二十四章《24.3 正多边形和圆》课件(共19张PPT)
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图. 再如，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作 出正方形.
用尺规等分圆： 用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这 种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上 讲是一种准确方法．
2.如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M. 求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M. 求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
归纳新知
正多边形 的画法
用量角器等分圆 用尺规等分圆
此方法可将圆任意n等分，所以用 该方法可作出任意正多边形，但边 数很大时，容易产生较大的误差.
度量法③：
用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦，连接其中的 AB， BC，CA 即可．
B
O
A
C
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图. 例如，我们也可以这样来作正六边形.由于正六边形的边长等于半径，所以 在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分 点即可得到半径为R的正六边形.
课堂练习
1.画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画 出一个五角星.
2.面积相等的正三角形与正六边形的边长之比为
.
中考实题
1.已知⊙O如图所示. (1) 求作⊙O的内接正方形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2) 若⊙O的半径为4，求它的内接正方形的边长.
此方法是一种比较准确的等分圆的方 法，但有局限性，不能将圆任意等分.
再见
合作探究
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形． 度量法①： 用量角器或 30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
正多边形和圆-ppt课件
“各边相等，各内角相等”是正多边形的两
个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，
缺一不可，否则多边形就不是正多边形.
感悟新知
3. 正多边形的有关概念
知1－讲
(1)正多边形的中心： 一个正多边形的外接圆的圆心叫作正
多边形的中心 .
(2)正多边形的半径： 正多边形的外接圆的半径叫作正多边形
的半径 .
心，OA 为半径作⊙ O，直径 FC ∥ AB， AO， BO
的延长线交⊙ O 于点 D， E.
求证：六边形 ABCDEF 为圆内接
正六边形 .
感悟新知
知1－练
思路导引：
感悟新知
知1－练
证明： ∵三角形 AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°， OB=OA.
∴点 B 在⊙ O 上 .
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
(2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°，其中 A， B，C
均为圆上的点；
(3)连接 AB， BC， CA，则△ ABC 为
所求作的正三角形 ，如图 24. 3－4所示.
感悟新知
作法二
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
知3－练
(2)作⊙ O 的任一直径 AB；
︵
︵
︵
︵
︵ ︵
∴BDE－CDE＝CDA－CDE，即BC＝AE.∴BC＝AE.
同理可证其余各边都相等，
∴五边形 ABCDE 是正五边形．
感悟新知
知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于
(－)· °
.
2. 正 n 边形的每个中心角都等于
24.3.正多边形和圆课件PPT(共22张)
24.3 正多边形(zhèngduōbiānxíng) 和圆
点击页面即可演示
第1页，共22页。
观察下列图形它们有什么(shén 特 me) 点？
第2页，共22页。
三条边相等,
四条边相等,四
正三 三个角相等 角形 (60°).
正方形 个角相等 (90°).
一、正多边形的定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做(jiàozuò)正多边 形.
边形ABCDE的 内切圆的半径(bànjìng). D
7.∠AOB叫做正五边形
ABCDE的 中心角,
它的度数是 72°.
E
C
.O
AF
B
第12页，共22页。
8.图中正(zhōnɡ zhènɡ)六边形ABCDEF的中心角∠是AOB
它的度数是 60°
9.你发现正六边形
ABCDEF的半径
与边长具有什么
数量关系?
第5页，共22页。
A
D
B
C
弧相等
弦相等 (多边形的边相等 ) (xiāngděng)
(xiāngděng)
圆周角相等(多边形的角相等)
—多边形是正多边形
第6页，共22页。
A
E B
H D
G
C
弧相等
F
全等三角形
边相等
(xiāngděng)
角相等
多边形是正多边形
第7页，共22页。
定理：
把圆分成n(n≥3)等份： ⑴依次连接各分点所得(suǒ dé)的多边形是这个圆 的
相等
E F
D
.O
C
A
B
第13页，共22页。
判断题
①各边都相等的多边形是正多边形.( ) ×
点击页面即可演示
第1页，共22页。
观察下列图形它们有什么(shén 特 me) 点？
第2页，共22页。
三条边相等,
四条边相等,四
正三 三个角相等 角形 (60°).
正方形 个角相等 (90°).
一、正多边形的定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做(jiàozuò)正多边 形.
边形ABCDE的 内切圆的半径(bànjìng). D
7.∠AOB叫做正五边形
ABCDE的 中心角,
它的度数是 72°.
E
C
.O
AF
B
第12页，共22页。
8.图中正(zhōnɡ zhènɡ)六边形ABCDEF的中心角∠是AOB
它的度数是 60°
9.你发现正六边形
ABCDEF的半径
与边长具有什么
数量关系?
第5页，共22页。
A
D
B
C
弧相等
弦相等 (多边形的边相等 ) (xiāngděng)
(xiāngděng)
圆周角相等(多边形的角相等)
—多边形是正多边形
第6页，共22页。
A
E B
H D
G
C
弧相等
F
全等三角形
边相等
(xiāngděng)
角相等
多边形是正多边形
第7页，共22页。
定理：
把圆分成n(n≥3)等份： ⑴依次连接各分点所得(suǒ dé)的多边形是这个圆 的
相等
E F
D
.O
C
A
B
第13页，共22页。
判断题
①各边都相等的多边形是正多边形.( ) ×
《正多边形与圆》PPT课件 (公开课获奖)2022年沪科版 (1)
结论：n边形的外角和等于360°
1．十边形的内角和为1440 度，正八 边形的内角和为 1080 度．
2．多边形的边数增加1，内角和就 增加180 度；多边形的边数由7增加 到10，内角和增加540 度．
3．已知一个多边形的内角和为 1620°，则它的边数为11 ．
4．每个内角都是108°的多边形是 5 边形．
正三角形 正四边形 正五边形 (或正三边形) (或正四边形)
正六边形
正八边形
如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么
这样的多边形就叫做正多边形． 如正三角形、正四
边形（正方形）、正五边形等等．
探究发现
n边形外角和是多少度？
外角和=n个平角-内角和
=n×180°-(n-2) × 180° =360 °
想一想：n 边形的外角和是多少 度呢？（n 的值是不小 于3的任意正整数）
n边形的外角和= n ×180°－ （n－2）×180°
=2×180°
=360° 由此可得：
多边形的外角和都等于 360°（与边数无关）
智慧小屋 动动脑筋？
有一张长方形的桌面，它的 四个内角和为360°，现在 锯掉它的一个角，剩下残余 桌面所有的内角和是多少？ 有几种情况？
３、边数是偶数的正多边形还是中心对称 图形，它的中心就是对称中心。
A
A
D
B
C
B
C
弦相等（多边形的边相等） 弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
证明：∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A ∴AB=BC=CD=DE=EA ∵B⌒CE=C⌒DA=3A⌒B
∴∠1=∠2
同理∠2=∠3=∠4=∠5
24.6 正多边形与圆 (第1课时)
1．十边形的内角和为1440 度，正八 边形的内角和为 1080 度．
2．多边形的边数增加1，内角和就 增加180 度；多边形的边数由7增加 到10，内角和增加540 度．
3．已知一个多边形的内角和为 1620°，则它的边数为11 ．
4．每个内角都是108°的多边形是 5 边形．
正三角形 正四边形 正五边形 (或正三边形) (或正四边形)
正六边形
正八边形
如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么
这样的多边形就叫做正多边形． 如正三角形、正四
边形（正方形）、正五边形等等．
探究发现
n边形外角和是多少度？
外角和=n个平角-内角和
=n×180°-(n-2) × 180° =360 °
想一想：n 边形的外角和是多少 度呢？（n 的值是不小 于3的任意正整数）
n边形的外角和= n ×180°－ （n－2）×180°
=2×180°
=360° 由此可得：
多边形的外角和都等于 360°（与边数无关）
智慧小屋 动动脑筋？
有一张长方形的桌面，它的 四个内角和为360°，现在 锯掉它的一个角，剩下残余 桌面所有的内角和是多少？ 有几种情况？
３、边数是偶数的正多边形还是中心对称 图形，它的中心就是对称中心。
A
A
D
B
C
B
C
弦相等（多边形的边相等） 弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
证明：∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A ∴AB=BC=CD=DE=EA ∵B⌒CE=C⌒DA=3A⌒B
∴∠1=∠2
同理∠2=∠3=∠4=∠5
24.6 正多边形与圆 (第1课时)
正多边形和圆ppt课件
D．60°或120°
随堂练习
2. 如图，点O是正五边形ABCDE的中心，求∠BAO的度数．
解：连接OB，则OB=OA，
∴∠BAO=∠ABO，
∵点O是正五边形ABCDE的中心，
∴∠AOB=360°÷5=72°，
∴∠BAO= （180°﹣72°）=54°.
随堂练习
3. 如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
知识讲解
知识点1 正多边形及有关概念
【例1】矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
解析：矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相
等；菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等.
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.
知识讲解
知识点3 正多边形的画法
②正六、三、十二边形的作法.
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….
知识讲解
知识点3 正多边形的画法
【例 4】如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内
接正三角形．
点拨：【度量法】用量角器量出圆心角是120度
而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧就可作出正八边形、正十六
边形等，边数逐次倍增的正多边形.
知识讲解
知识点3 正多边形的画法
②正六、三、十二边形的作法.
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，
任画一条直径AB， 分别以A、 B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O
相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.
274正多边形和圆PPT教学课件
第26页/共36页
你能尺规作出正六边形、正三角形、 正十二边形吗？
F
E
O
A
·
D
B
C
以半径长在圆周上 截取六段相等的弧， 依次连结各等分点， 则作出正六边形.
先作出正六边形， 则可作正三角形，正 十二边形，正二十四
边形………
第27页/共36页
小结：正多边形的画法
画正多边形的方法
1.用量角器等分圆 2.尺规作图等分圆
A. 12 3 m B.20m C.22m D.24m
A
B
D
C
第23页/共36页
怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的 内接正三角形.
A
①用量角器度量，使
∠AOB=∠BOC=∠COA
=120°．
120 ° O
②用量角器或30°角的 三角板度量，使
∠BAO=∠CAO=30°．
第33页/共36页
4、边数是偶数的正多边形还是中心 对称图形，它的中心就是对称中心。
第34页/共36页
小结
1.正多边形中的有关概念； 2.正多边形的对称性；
3.正多边形中的有关计算：
中心角=外角 = _3_6_0__ n
(n 2)180 内角= ______n_____
边长、半径、边心距 ：知一求二
D
B 第17页/共36页
C
当堂训练
1.认真填一填：
正多边形 内 中心 半 边 边心 周 面 边数 角 角 径 长 距 长 积
3
60° 120 2 2 3 1 6 3 3 3
4
90 90 2 2 1 8 4
6
120 60 2 2 3 12 6 3
相关主题
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A．1个 B．2个 C．3个 D 4个 7．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ） A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定
9．若一个正多边形的每一个外角都等于36°,那么这个正多边形的中
心角为（ ）
A．36°
B、 18°
C．72°
D．54°
10．将一个边长为a正方形硬纸片剪去四角，使它成为正n边形，那
( (
证明：连结OA、OB、OC，则：∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB ∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C为切点的⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB 又∵AB=BC ∴AB=BC ∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形。 ∴∠P=∠Q PQ=2PA 同理∠Q=∠R=∠S=∠T QR=RS=ST=TP=2PA
.
4．已知圆内接正方形的边长为2，则该圆 的内接正六边形边长为
__________．
5． 圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正六边形的半径为________；
边心距为________．
6．以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的四边形各边中点， 则所得的四边形是菱形；②等边三角形是轴对称图形，但不是中 心对称图形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相同的正多 边形都相似，其中正确的有（ ）
例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面 积(精确到0.1平方米).
F A
B
E
.. O
D
rR
PC
由 于A B CDE F是 正 六 边 形 ， 所 以
它的中心角等于360 60，
6
F
OB C是 等 边 三 角 形 ， 从 而 正
六边形的边长等于它的半径. A
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形， 它的中心就是对称中心。
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆. 2.怎样由圆得到多边形呢？ 思考1: 把一个圆4等分, 并依次连
接这些点,得到正多边形吗?
弧相等
弦相等（多边形的边相等） 圆周角相等（多边形的角相等）
A
D
B
C
多边形是正多边形
B
E
.O. r R=4 D
PC
在RtOPC 中，OC 4，PC BC 4 2 22
根据勾股定理，可得边 心距r 42 22 2 3
亭子的面积 S 1 Lr 1 24 2
2
2
3 41.6(m2)
例2:如图,M,N分别是⊙O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
么正n边形的面积为（ ）
A.(3 2 3)a 2
B.7 a 2 9
C. 2 a 2 2
D.(2 2 -2)a 2
11．正六边形螺帽的边长为a，那么扳手的开口b最小应是(
A、 3a
B、1 a 2
C. 3 a 2
)
D. 3 3
1、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。 （ × ） ②一个圆有且只有一个内接正多边形 （ × ）
复习： •点与圆、直线与圆、圆与圆、三角形与圆、 •四边形与圆、正多边形与圆的位置关系
（1）一个圆有无数个内接正多边形和无数个外切正多边形.
（2）一个正多边形只有一个内切圆和一个外接圆
观察下列图形他们有什么特点？
正三角 形
三条边相等，三个角 相等（60度）。
正方形
一.正多边形定义 1.各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形.
(1)求图①中∠MON的度数;
(2)图②中∠MON=
; 图③中∠MON=
;
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
A
A
M B
.O
M
N CB
E D
.O
A
.O
D
M
NC
B NC
思考3: 过圆的5等份点画圆的切线, 则以 相邻切线的交点为顶点的多边形是正多 边形吗?
P B Q
C
A
T
E O
S
D R
第24章
24.3圆与多边形（4）
E
正多边形和圆
人教版·九年级上册 A
D
B
C
学习目标：
• 1.了解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念，会判定正多边形。 • 2.理解正多边形的中心、半径、边长、边心距、中心角之间的关系，并
会进行正多边形的有关计算，并能够利用正多边形和圆的关系画正多边 形。 • 3.在探索正多边形与圆的关系及正多边形的有关计算的过程中，体会化 归思想在解决问题中的重要性。
三. 正多边形有关的计算
正多边形的内角:
内角 (n 2) 180 n
正多边形的半径:外接圆的半径
E
D
半径R
F 中心角 O
.
边心距r
C
正多边形的中心角:
A
B
中心角 360
n
正多边形的边心距： r R2（ a）2
1
1
2
正多边形的面积： S
n( 2
ar)
2
Lr
练习
完成下表中正多边形的计算(把计算结果填入表中)：
定义：把圆分成n（n≥3）等份：依次连结各分点所得的多边 形是这个圆的内接正多边形.
二. 正多边形有关的概念
正多边形的中心: 一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:外接圆的半径
E
D
半径R
F 中心角 O .
C
边心距r
A
B
正多边形的中心角:
正多边形的边心距：
正多边形的每一条 边所对的圆心角. 中心到正多边形的一边的距离.
2、证明题。
求证：顺次连结正六边形 各边中点所得的多 边形是正六边形。
A B
C
F E
D
证明： 在△BCD和△CDE中 ∵BC=CD ∠BCD=∠CDE CD=DE ∴△BCD≌△CDE ∴BD=CE 同理可证对角线相等。
A
B
E
C
D
3.求证：正五边形的对角线相等。
已知：ABCDE是正五边形， 求证：DB=CE
四条边相等，四个 角相等（900）。
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。
思考: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢?
菱形, 矩形都不是正多边形
正多边形的性质及对称性
3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都 通过n边形的中心。
1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等
又∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST的是O外切正五边形。
定义：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为 顶点的多边形是这个圆的外切正多边形.
四.拓展练习
1、正八边形的中心角是
度;它的外角是
度.
2．圆内接正方形的半径与边长的比值是________
3．正多边形的边心距与边长之比为 3:2,则此多边形的边是
思考2: 把一个圆5等分, 并依次连接这些点,得到正多边形吗? A
证明：∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A
B
E
∴AB=BC=CD=DE=EA
∵BCE=CDA=3A⌒B
C
D
∴∠A=∠B
同理∠B=∠C=∠D=∠E
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上
∴五边形ABCDE是⊙O的 内接正五边形.
A
B
E
C
D
小结：
1、怎样的多边形是正多边形？
①各边相等 ②各角相等
的多边形叫做正多边形。
2、怎样判定一个多边形是正多边形？
9．若一个正多边形的每一个外角都等于36°,那么这个正多边形的中
心角为（ ）
A．36°
B、 18°
C．72°
D．54°
10．将一个边长为a正方形硬纸片剪去四角，使它成为正n边形，那
( (
证明：连结OA、OB、OC，则：∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB ∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C为切点的⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB 又∵AB=BC ∴AB=BC ∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形。 ∴∠P=∠Q PQ=2PA 同理∠Q=∠R=∠S=∠T QR=RS=ST=TP=2PA
.
4．已知圆内接正方形的边长为2，则该圆 的内接正六边形边长为
__________．
5． 圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正六边形的半径为________；
边心距为________．
6．以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的四边形各边中点， 则所得的四边形是菱形；②等边三角形是轴对称图形，但不是中 心对称图形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相同的正多 边形都相似，其中正确的有（ ）
例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面 积(精确到0.1平方米).
F A
B
E
.. O
D
rR
PC
由 于A B CDE F是 正 六 边 形 ， 所 以
它的中心角等于360 60，
6
F
OB C是 等 边 三 角 形 ， 从 而 正
六边形的边长等于它的半径. A
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形， 它的中心就是对称中心。
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆. 2.怎样由圆得到多边形呢？ 思考1: 把一个圆4等分, 并依次连
接这些点,得到正多边形吗?
弧相等
弦相等（多边形的边相等） 圆周角相等（多边形的角相等）
A
D
B
C
多边形是正多边形
B
E
.O. r R=4 D
PC
在RtOPC 中，OC 4，PC BC 4 2 22
根据勾股定理，可得边 心距r 42 22 2 3
亭子的面积 S 1 Lr 1 24 2
2
2
3 41.6(m2)
例2:如图,M,N分别是⊙O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
么正n边形的面积为（ ）
A.(3 2 3)a 2
B.7 a 2 9
C. 2 a 2 2
D.(2 2 -2)a 2
11．正六边形螺帽的边长为a，那么扳手的开口b最小应是(
A、 3a
B、1 a 2
C. 3 a 2
)
D. 3 3
1、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。 （ × ） ②一个圆有且只有一个内接正多边形 （ × ）
复习： •点与圆、直线与圆、圆与圆、三角形与圆、 •四边形与圆、正多边形与圆的位置关系
（1）一个圆有无数个内接正多边形和无数个外切正多边形.
（2）一个正多边形只有一个内切圆和一个外接圆
观察下列图形他们有什么特点？
正三角 形
三条边相等，三个角 相等（60度）。
正方形
一.正多边形定义 1.各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形.
(1)求图①中∠MON的度数;
(2)图②中∠MON=
; 图③中∠MON=
;
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
A
A
M B
.O
M
N CB
E D
.O
A
.O
D
M
NC
B NC
思考3: 过圆的5等份点画圆的切线, 则以 相邻切线的交点为顶点的多边形是正多 边形吗?
P B Q
C
A
T
E O
S
D R
第24章
24.3圆与多边形（4）
E
正多边形和圆
人教版·九年级上册 A
D
B
C
学习目标：
• 1.了解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念，会判定正多边形。 • 2.理解正多边形的中心、半径、边长、边心距、中心角之间的关系，并
会进行正多边形的有关计算，并能够利用正多边形和圆的关系画正多边 形。 • 3.在探索正多边形与圆的关系及正多边形的有关计算的过程中，体会化 归思想在解决问题中的重要性。
三. 正多边形有关的计算
正多边形的内角:
内角 (n 2) 180 n
正多边形的半径:外接圆的半径
E
D
半径R
F 中心角 O
.
边心距r
C
正多边形的中心角:
A
B
中心角 360
n
正多边形的边心距： r R2（ a）2
1
1
2
正多边形的面积： S
n( 2
ar)
2
Lr
练习
完成下表中正多边形的计算(把计算结果填入表中)：
定义：把圆分成n（n≥3）等份：依次连结各分点所得的多边 形是这个圆的内接正多边形.
二. 正多边形有关的概念
正多边形的中心: 一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:外接圆的半径
E
D
半径R
F 中心角 O .
C
边心距r
A
B
正多边形的中心角:
正多边形的边心距：
正多边形的每一条 边所对的圆心角. 中心到正多边形的一边的距离.
2、证明题。
求证：顺次连结正六边形 各边中点所得的多 边形是正六边形。
A B
C
F E
D
证明： 在△BCD和△CDE中 ∵BC=CD ∠BCD=∠CDE CD=DE ∴△BCD≌△CDE ∴BD=CE 同理可证对角线相等。
A
B
E
C
D
3.求证：正五边形的对角线相等。
已知：ABCDE是正五边形， 求证：DB=CE
四条边相等，四个 角相等（900）。
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。
思考: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢?
菱形, 矩形都不是正多边形
正多边形的性质及对称性
3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都 通过n边形的中心。
1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等
又∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST的是O外切正五边形。
定义：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为 顶点的多边形是这个圆的外切正多边形.
四.拓展练习
1、正八边形的中心角是
度;它的外角是
度.
2．圆内接正方形的半径与边长的比值是________
3．正多边形的边心距与边长之比为 3:2,则此多边形的边是
思考2: 把一个圆5等分, 并依次连接这些点,得到正多边形吗? A
证明：∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A
B
E
∴AB=BC=CD=DE=EA
∵BCE=CDA=3A⌒B
C
D
∴∠A=∠B
同理∠B=∠C=∠D=∠E
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上
∴五边形ABCDE是⊙O的 内接正五边形.
A
B
E
C
D
小结：
1、怎样的多边形是正多边形？
①各边相等 ②各角相等
的多边形叫做正多边形。
2、怎样判定一个多边形是正多边形？