12高考数学数列经典荟萃

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2012年高考数学试题分类考点24 等比数列及其前n项和

考点24 等比数列及其前n 项和一、选择题1.（2012·新课标全国高考理科·T5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）（A ）7 (B)5 (C)-5 (D)-7【解题指南】利用等比数列的性质将56a a 替换为47a a ，然后联立方程组求得47,a a 的值，最后将47,a a 及公比q 的值整体代入110a a +求出其值. 【解析】选D.{}n a 为等比数列，∴5647a a a a =8=-，联立312q ∴=-或32q =-，故34110737a a a a q q +=+⋅=-.2.（2012·安徽高考理科·Ｔ4）公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则210log a =（）()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 7【解题指南】由等比数列的性质得到311a a ⇒311771072101616432log 5a a a a a a q a =⇔=⇔=⇒=⨯=⇔=，再结合等比数列中任意两项的关系即可解得.【解析】选B .23311771072101616432log 5a a a a a a q a =⇔=⇔=⇒=⨯=⇔=.3.（2012·安徽高考文科·Ｔ5）公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a =（）（A ） 1 （B ）2 （C ） 4 （D ）8【解题指南】由等比数列的性质得到31116a a =⇒3117710721016432log 5a a a a a a q a =⇔⇔=⇒=⨯=⇔=，再结合等比数列中任意两项的关系即可解得.【解析】选A .4.（2012·北京高考文科·Ｔ6）已知{n a }为等比数列，下面结论中正确的是（）（A ）a 1+a 3≥2a 2 （B ）2221322a a a +≥ （C ）若a 1=a 3，则a 1=a 2 （D ）若a 3＞a 1，则a 4＞a 2 【解题指南】利用等比数列的基本量和均值不等式进行计算. 【解析】选B. 选项具体分析结论 A 13,a a 不一定都是正数，所以不一定能使用均值不等式不正确 B 因为22130,0a a >>，所以由均值不等式可得2221313222a a a a a +≥= 正确 C 由13a a =可得1q =±，当1q =时，12a a =；当1q =-时，21a a =-.不正确D因为4321,a a q a a q ==，所以当0q >时，42a a >；当0q <时，42a a <. 不正确5.（2012·湖北高考理科·Ｔ7）与（2012·湖北高考文科·Ｔ7）相同定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f （a n ）}仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”.现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x ）=x²；②f（x ）=2x ；③；④f（x ）=ln|x |，则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为（） (A)①② (B)③④ (C)①③ (D)②④【解析】选 C. 1n na q a +=,则对于①:可知①符合题意;对于B 111()22()2n n nn a a a n a n f a f a ++-+==结果不能保证是定值;对于③:11()()n n n nf a a qf a a ++==,可知也符合题意.此时可知结果.二、填空题6.（2012·广东高考文科·Ｔ12）若等比数列{a n }满足241,2a a =则2135a a a =.【解题指南】本题考查了等比数列的性质：已知,,,m n p N *∈若2,m n p +=则2m n p a a a ⋅=.【解析】224311,22a a a =∴=，24135314a a a a ∴==. 【答案】147. （2012·浙江高考理科·Ｔ13）设公比为q （q ＞0）的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3a 2+2，S 4=3a 4+2，则q=______________.【解题指南】两式作差可由前n 项和间的关系得出项与项之间的关系，从而用等比数列的通项公式求出公比.【解析】由S 2=3a 2+2，S 4=3a 4+2相减可得，344233a a a a +=-，同除以2a 可得，2230q q --=，解得312q q ==-或，因为q ＞0，所以32q =．【答案】328.（2012·辽宁高考文科·Ｔ14）已知等比数列｛n a ｝为递增数列.若10a >,且212()5n n n a a a +++= ,则数列｛n a ｝的公比q = _____________________.【解题指南】利用等比数列的通项公式，将已知条件用首项和公比表示，解方程即可.【解析】由于{}n a 为等比数列，设其公比为q ，由212()5n n n a a a +++=得111112()5n n na qa qa q-++=，解得12q =或2q =.由于等比数列{}n a 为递增数列且10a >，所以2q =. 【答案】29.（2012·辽宁高考理科·Ｔ14）已知等比数列｛n a ｝为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，则数列｛n a ｝的通项公式n a =______________.【解题指南】利用等比数列的通项公式，将已知条件用首项和公比表示，解方程即可.【解析】由于{}n a 为等比数列，设其公比q ，由212()5n n n a a a +++=得111112()5n n na q a qa q-++=，解得12q =或2q =.又由2429510111()a a a q a q a q=⇒=⇒=，则10a >，由于等比数列{}n a 为递增数列且10a >，所以2q =，且12a =. 故112n nn a a q -==.【答案】2n10.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ14）等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若3S +32S =0，则公比q=_______.【解题指南】将所给等式转化为关于1,a q 的方程，消去1a ，解关于q 的方程，求出q. 【解析】由323S S =-可得()123123a a a a a ++=-+，即()()211131a q q a q ++=-+，化简整理得2440q q ++=，解得2q =-.【答案】-211.（2012·江西高考文科·Ｔ13）等比数列{n a }的前n 项和为n S ，公比不为1.若1a =1，且对任意的n N ,*∈都有a n ＋2＋a n ＋1-2a n =0，则S 5=______________.【解析】设公比为q ，则a n ＋2＋a n ＋1-2a n ＝1111120n n n a q a q a q +-+-=，即220q q +-=，解得2,1q q =-=（舍去），所以()()55121112S --==--.【答案】11 二、解答题12.（2012·福建高考理科·Ｔ13）已知△ABC的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.【解题指南】运用等比数列的定义设边，运用余弦定理求解．【解析】依次设三边为,2a a (a>0)，则最大边为2a ，最大角的余弦值为222cos 4θ==-.【答案】4-13.（2012·陕西高考文科·Ｔ16）已知等比数列{}n a 的公比为12q =-.（1）若314a =，求数列{}n a 的前n 项和.（2）证明：对任意k N +∈，ka ，2k a +，1k a +成等差数列.【解题指南】（1）求出等比数列的首项是关键.（2）用首项和公比表示21,,k k k a a a ++，再根据等差数列的定义证明. 【解析】（1）∵314a =，12q =-，∴2111144a q a ==14，解得11a =， ∴数列{}n a 的前n 项和11[1()]211()2n n S ⨯--=--1112()2112()3332n n --+-==+⋅-.（2）对任意k N +∈，1111121,,k k k k k k a a q a a q a a q -+++===， ∴11211112()2()k k k k k k a a a a q a q a q +-++-+=-+121(21)k a q q q -=--.∵12q =-，∴2211212()()1022q q --=⨯----=，即212()0k k k a a a ++-+=，∴212k k k a a a ++=+，∴对任意k N +∈，k a ，2k a +，1k a +成等差数列. 14.（2012·陕西高考理科·Ｔ17）设{}n a 是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且534,,a a a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的公比.（2）证明：对任意k N +∈，21,,k k k S S S ++成等差数列. 【解析】（1）设数列{}n a 的公比为q （0,1q q ≠≠），由534,,a a a 成等差数列，得3542a a a =+，即2431112a qa q a q =+，由10,0a q ≠≠得220q q +-=，解得12q =-，21q =（舍去），所以12q =-.（2）（方法一）对任意k N +∈，21212()()k k k k k k k S S S S S S S +++++-=-+-121k k k a a a +++=++112(2)0k k a a ++=+⋅-=，所以对任意k N +∈，21,,k k k S S S ++成等差数列. （方法二）对任意k N +∈，12(1)21k k a q S q-=-， 212111121(1)(1)(2)111k k k k k k a q a q a q q S S q q q++++++----+=+=---，∴2111212(1)(2)2()11k k k k k k a q a q q S S S q q++++----+=--- 211[2(1)(2)]1k k k a q q q q++=-----21(2)01k a q q q q =+-=-，因此，对任意k N +∈，21,,k k k S S S ++成等差数列.。

数列高考大题知识点归纳

数列高考大题知识点归纳数列是高中数学中的重要内容之一，也是高考数学中常考的知识点。

通过对数列的学习和理解，可以掌握数学思维和解题方法，提高数学成绩。

下面将就数列相关知识点进行归纳和解析。

一、数列的基本概念和性质数列是按一定顺序排列的一列数，可以用一个公式来表示，常见的数列有等差数列、等比数列等。

等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差。

等比数列的通项公式是an=a1*r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比。

数列有很多基本性质，我们需要掌握并运用于解题中。

例如，若数列an单调增加（减少），则其数列项an与an-1的大小关系为an>an-1（an<an-1）；若数列an单调有界，则其数列项an具有极限。

二、数列的前n项和数列的前n项和是指数列前n个数之和，常用Sn表示。

对于等差数列，其前n项和Sn可以用以下公式求解：Sn=n/2(a1+an)，其中a1是首项，an是第n项。

对于等比数列，其前n项和Sn可以用以下公式求解：Sn=a1(1-r^n)/(1-r)，其中a1是首项，r是公比。

三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列在实际问题中有广泛的应用。

在解决一些常见问题时，我们可以通过建立等差数列或等比数列来简化问题，进而求解。

例如，可以通过建立等差数列来计算连续整数的和，通过建立等比数列来解决与指数、增长等相关的问题。

四、常见数列及其性质和应用1. 斐波那契数列斐波那契数列是指从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

该数列具有许多有趣的性质，如黄金分割比例等。

斐波那契数列在数学和自然科学中有广泛的应用，如阿波罗尼斯的理发问题、植物的枝干生长规律等。

2. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。

等差数列具有简单的性质和运算规律，常用于排队问题和物体运动问题的求解。

3. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比恒定的数列。

等比数列在实际问题中有重要的应用，如连续衰减的物质含量、复利利息的计算等。

2012年高考数学试题分类汇编第七部分数列

第七部分数列(2012年安徽卷理)4.{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则（） ()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 7 【解析】选B29311771672161616432log 5a a a a a a q a =⇔=⇔=⇒=⨯=⇔=1. (2012年福建卷理等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 2. (2012年福建卷理数列}{n a 的通项公式12cos+=πn n a n ，前n 项和为n S ，则=2012S ___________。

（2012年广东卷理）11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =________．（2012年北京卷理）10．已知}{n a 等差数列n S 为其前n 项和。

若211=a ，32a S =，则2a =_______。

【解析】因为212111132132==⇒+=++⇒=+⇒=a d d a d a a a a a a S ，所以112=+=d a a ，n n d n n na S n 4141)1(21+=-+=。

【答案】12=a ，n n S n 41412+=（2012年上海卷文）14、已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是（2012年上海卷文）18、若2si n s in .s i n 777n nS πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（）A 、16B 、72C 、86D 、100(2012年安徽文) （5）公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a = （A ） 1 （B ）2 （C ） 4 （D ）8 【解析】选A2231177551616421a a a a a a =⇔=⇔==⨯⇔=（2012年浙江卷理）7．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是 A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项 B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意的n ∈N*，均有S n ＞0D ．若对任意的n ∈N*，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立．【答案】C（2012年浙江卷理）13．设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为{S n }．若2232S a =+，4432S a =+，则q ＝______________．【解析】将2232S a =+，4432S a =+两个式子全部转化成用1a ，q 表示的式子．即111233111113232a a q a q a a q a q a q a q +=+⎧⎨+++=+⎩，两式作差得：2321113(1)a q a q a q q +=-，即：2230q q --=，解之得：312q or q ==-(舍去)．【答案】32（2012年全国新课标文）（12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830（2012年全国新课标文）(14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______ （2012年北京卷文）（6）已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（A ）1322a a a +≥ （B ）2221322a a a +≥ （C ）若13a a =，则12a a = （D ）若31a a >，则42a a >（2012年北京卷文）（10）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若112a =，23S a =，则2a =____________， n S =_________________。

2012年高考真题理科数学解析汇编：数列

(Ⅲ)当时,比较与的大小,并说明理由.
．（2012年高考（四川理））已知数列的前项和为 ,且对一切正整数都成立.
(Ⅰ)求 , 的值;
(Ⅱ)设 ,数列的前项和为 ,当为何值时, 最大?并求出的最大值.
．（2012年高考（上海理））对于数集 ,其中 , ,定义向量集
.若对于任意 ,存在 ,使得 ,则称X
函数 .定义数列如下: 是过两点的直线与轴交点的横坐标.
(1)证明: ;
(2)求数列的通项公式.
．（2012年高考（北京理））设A是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记为所有这样的数表构成的集合.
对于，记为A的第行各数之和，为A的第列各数之和；
．（2012年高考（上海春））已知等差数列的首项及公差均为正数,令当是数列的最大项时, ____.
．（2012年高考（辽宁理））已知等比数列为递增数列,且 ,则数列的通项公式 ______________.
．（2012年高考（江西理））设数列都是等差数列,若 ,则 __________。
3.考点分析:本题考察等比数列性质及函数计算.
解析:等比数列性质, ,① ;② ;③ ;④ .选C
3.【答案】B
【解析】 ,而 ,解得 .
【考点定位】该题主要考查等差数列的通项公式,考查计算求解能力.
3.答案A
【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前项和的公式的运用,以及裂项求和的综合运用,通过已知中两项,得到公差与首项,得到数列的通项公式,并进一步裂项求和.
3.【解析】选
二、填空题
3.【解析】的前项和为
可证明:

2012年高考全国各省市理科数学(排列组合、二项式定理、概率统计)经典汇总

2012年高考全国各省市理科数学经典汇总（概率、统计、二项式定理、排列组合）一、上海 5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于。

11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）。

17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（） A ．21ξξD D > B ．21ξξD D =C ．21ξξD D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关二、全国必修+选修Ⅱ（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种（15）若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为_________。

（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。

每次发球，胜方得1分，负方得0分。

设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。

甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望。

三、北京 2．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 68.某棵果树前n 前的总产量S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高。

2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)4：数列

2(a1
代入
a2 2( a1 a2
)
a5 )
(cosa1 cos a2 a5 ) (cosa1 cosa2
cos( a3 5 , a3
cos a5 )
5 ，而 { an} 是公差为
8
的等差数列，
cosa5 )
)]
5 ，即 10a 3 [cos( a 3
2 cos (
4
)
cos(a 3
是
8
cos a 3 10a 3
n
为递增数列，且 a5 14】已知等比数列｛ a n｝ a n =______________。
2
a10 ,2( an
an 2 )
5 an 1 ，
a5
2
a10 , ( a1q ) 5an 1 ,
4 2
a1q ,
2
9
a1 5anq,
q,
an
q ,
2
n
2( a n
an 2 )
2 a n (1 q )
a4
a8
16,
s11
11 (a1 2
a11 )
88 ，答案为 B
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。 6. 【 2012 高考真题四川理 12 】设函数 f ( x )
n 项和公式，同时考查运算求解能
2 x cos x ， { an} 是公差为
a5 =5， 5】已知等差数列 {a n}的前 n 项和为 Sn， S5=15 ，则数列
(A)
100 101
(B)
99 101
(C)
99 100

2012年高考数学试题汇编(数列)

2012年高考数学试题汇编（数列）(北京卷)(理)10．已知}{n a 等差数列n S 为其前n 项和。

若211=a ，32a S =，则2a =_______。

【解析】因为212111132132==⇒+=++⇒=+⇒=a d d a d a a a a a a S ，所以112=+=d a a ，n n d n n na S n 4141)1(21+=-+=。

【答案】12=a ，n n S n 41412+=（湖南卷）19.（本小题满分12分）已知数列{a n }的各项均为正数，记A （n ）=a 1+a 2+……+a n ，B （n ）=a 2+a 3+……+a n +1，C （n ）=a 3+a 4+……+a n +2，n =1,2，…… （1）若a 1=1，a 2=5，且对任意n ∈N ﹡，三个数A （n ），B （n ），C（n ）组成等差数列，求数列{ a n }的通项公式.（2）证明：数列{ a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意N n *∈，三个数A （n ），B （n ），C （n ）组成公比为q 的等比数列. 【解析】解（１）对任意N n *∈,三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以 ()()()(),B n A n C n B n -=- 即112,n n a a a ++-=亦即2121 4.n n a a a a +--=-=故数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列.于是1(1)44 3.n a n n =+-⨯=-（Ⅱ）（１）必要性：若数列{}n a 是公比为ｑ的等比数列，则对任意N n *∈，有1.n nq a a -=由0n a >知，(),(),()A n B n C n 均大于０，于是12)2311212(......(),()......n n n nq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ 即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.（２）充分性：若对于任意N n *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列，则()(),()B n q A n C n q B n==，于是[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即212.n n a qa a a ++-=- 由1n =有(1)(1),B qA =即21a qa =，从而210n n a qa ++-=. 因为0n a >，所以2211n n a a q a a ++==，故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列，综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.（四川卷）理工类20、(本小题满分12分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n na a S S =+对一切正整数n 都成立。

2012年高考数学数列知识点及题型大总结_(1)

2012年高考数学数列知识点及题型大总结等差数列知识要点1．递推关系与通项公式m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a mn n n m n n n n --=--=--=-+=-+==-+1;)1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系：为常数）即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(),(1+==-+=),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

2．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2ca b +=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。

3．前n 项和公式2)(1n a a S n n +=； 2)1(1dn n na S n -+=),()(,)2(22212为常数即特征：B A BnAn S Bn An n f S n da n d S n n n +=+==-+=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

4．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。

⑵d m n a a m n)(-=- ⑶m n m n na a a +-+=2⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。

5．判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列②中项法：)221*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数列③通项公式法：),(为常数b k bkn a n +=⇒{}n a 是等差数列④前n 项和公式法：),(2为常数B A BnAn S n +=⇒{}n a 是等差数列练习：1．等差数列{}n a 中，)(31,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++A ．14B ．15C ．16D ．171651203232)(32)2(31318999119=⋅==-=+-=-a d a d a a a a2．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。

江苏12年高考数列解答题汇总(含答案)

江苏12年高考数列解答题汇总（2002）18.设}{n a 为等差数列，}{n b 为等比数列，34234211,,1a b b b a a b a ==+==，分别求出}{n a 及}{n b 的前10项的和10S 及10T 。

解：因为}{n a 为等差数列，}{n b 为等比数列。

2342342,2b b b a a a ==+∴ 已知342342,a b b b a a ==+ 23333,2b a a b ==∴ 得：2332b b = 因为03≠b 41,2133==∴a b由41,131==a a 知}{n a 的公差为83-=d , 855291010110-=⨯+=∴d a S 由21,131==b b 知}{n b 的公比为2222-==q q 或当22=q 时，)22(32311)1(10110+=--=q q b T 当22-=q 时，)22(32311)1(10110-=--=q q b T （2003）22.设0a >，如图，已知直线:l y ax =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为11(0).(1)n a a a C Q n <<≥从上的点作直线平行于x 轴，交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴，交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）（Ⅰ）试求1n n a a +与的关系，并求{}n a （Ⅱ）当111,2a a =≤时，证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑（Ⅲ）当1a =时，证明1211()3nk k k k a a a ++=-<∑（Ⅰ）解：∵).1,1(),,1(),,(422122121n n n n n n nn n a a a a Q a a a P a a Q ⋅⋅++-∴,121n n a a a ⋅=+ ∴2222122221)1()1(11-+--=⋅=⋅=n n n n a aa a a a a a ==⋅=-++-+3222222122321)1()1()1(n n a aa a a =1111221211221221)()1()1(---+-==-+++n n n n n a a a a a a a ， ∴.)(121-=n aa a a n（Ⅱ）证明：由a=1知,21n n a a =+ ∵,211≤a ∴.161,4132≤≤a a ∵当.161,132≤≤≥+a a k k 时∴∑∑=++=++<-=-≤-nk n k k n k k k k a a a a a a a 1111121.321)(161)(161)( （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，,121-=n a a n因此∑∑∑=++-==++-≤-=-+-nk i i i i nk k k k a a a aa aa a a n k k k 1221111121212121121)()()(11∑-=-⋅-<-=1213131211312111)1()1(n i i a a a a a a a =.31121151<++a a a （2004）20.设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S .(Ⅰ)若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立.解：（I ）当1,231==d a 时，n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1( 由22()k k S S =，得422211()22k k k k +=+，即 0)141(3=-k k 又0k ≠，所以4k =.（II ）设数列{}n a 的公差为d ，则在2)(2n n S S =中分别取k=1,2,得211242()()S S S S ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即211211,43214(2)22a a a d a d ⎧=⎪⎨⨯⨯+=+⎪⎩ 由（1）得 10a =或1 1.a =当10a =时，代入（2）得0d =或6,d =若10,0a d ==，则0,0n n a S ==，从而2()k k S S =成立若10,6a d ==，则6(1)n a n =-，由23318,()324,216n S S S ===知 293(),S S ≠故所得数列不符合题意.当11a =时，代入（2）得246(2)d d +=+，解得0d =或2d =若11,0a d ==，则1,n n a S n ==，从而22()k k S S =成立；（1）（2）若11,2a d ==，则221,13(21)n n a n S n n =-=+++-=，从而2()n S S =成立.综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{a n } : a n =0，即0，0，0，…； ②{a n } : a n =1，即1，1，1，…；③{a n } : a n =2n －1，即1，3，5，…，（2005）23. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数⑴求A 与B 的值；⑵证明：数列{}n a 为等差数列；⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立（Ⅰ）由已知，得111==a S ，7212=+=a a S ，183213=++=a a a S 由B An S n S n n n +=+--+)25()85(1，知⎩⎨⎧+=-+=--B A S S B A S S 2122732312，即⎩⎨⎧-+-=+48228B A B A , 解得8,20-=-=B A . (Ⅱ) 由（Ⅰ）得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ① 所以 2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ② ②-①得 20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ 所以 20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④ ④-③得 )25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n因为 n n n S S a -=++11 , 所以0)75()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n因为0)25(≠+n , 所以02123=+-+++n n n a a a ,所以1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n 又 51223=-=-a a a a , 所以数列}{n a 为等差数列（Ⅲ）由(Ⅱ) 可知，45)1(51-=-+=n n a n ，要证 15>-n m mn a a a , 只要证 n m n m mn a a a a a 215++>，因为 45-=mn a mn ，16)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m ，故只要证 >-)45(5mn n m a a n m mn 216)(20251+++-+，即只要证 n m a a n m 2372020>-+，因为 372020)291515(8558552-+=-++-+<-+=+≤n m n m n m n m a a a a n m n m 所以命题得证（2006）20.设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n=1,2,3,…），证明}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n=1,2,3,…）证明：必要性. 设}{n a 是公差为d 1的等差数列，则0)()()()(112312311=-=---=---=-+++++++d d a a a a a a a a b b n n n n n n n n n n所以 ,3,2,1(1=≤+n b b n n ）成立.又)(3)(2)(231211++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c1111632d d d d =++=（常数）（n=1，2，3，…），所以数列}{n c 为等差数列.充分性，设数列}{n c 是公差d 2的等差数列，且1b b n ≤（n=1，2，3，…）. 证法一：①－②得)(3)(2)(423122++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c ,3221++++=n n n b b b ，221122)()(d c c c c c c n n n n n n -=-+-=-++++ ,221232d b b b n n n -=++∴++，③从而有.2322321d b b b n n n -=+++++ ④④－③得.0)(3)(2)(23121=-+-+-+++++n n n n n n b b b b b b ⑤0,0,023121≥-≥-≥-+++++n n n n n n b b b b b b ，∴由⑤得).,3,2,1(01 ==-+n b b n n由此不妨设323),,3,2,1(d a a n d b n n n =-==+则（常数）.由此312132432d a a a a a c n n n n n n -+=++=+++，从而313211524324d a a d a a c n n n n n -+=-+=++++，两式相减得3112)(2d a a c a n n n n --=-++，因此),3,2,1)((21)(2132311 =+==-=-++n d d d c c a a n n n n 常数，所以数列}{n a 是等差数列.证法二：令由,1n n n a a A -=+,3121++++-≤-≤n n n n n n a a a a b b 知从而).,3,2,1(,2231 =≥-≥-++++n A A a a a a n n n n n n 即由32112132,32++++++++=++=n n n n n n n n a a a c a a a c 得)(3)(2)(231211++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c ，即22132d A A A n n n =++++. ⑥由此得243232d A A A n n n =+++++. ⑦ ⑥－⑦得0)(3)(2)(42312=-+-+-+++++n n n n n n A A A A A A . ⑧ 因为0,0,042312≥-≥-≥-+++++n n n n n n A A A A A A ，所以由⑧得).,3,2,1(02 ==-+n A A n n于是由⑥得， 22113224d A A A A A n n n n n =++=++++ ⑨ 从而.24422211d A A A A n n n n =+=++++ ⑩ 由⑨和⑩得,,4224111n n n n n n A A A A A A =+=++++故即),,3,2,1(112 =-=-+++n a a a a n n n n所以数列}{n a 是等差数列.（2007）20.已知 {}n a 是等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，11221,a b a b a ==≠，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，（1）若(,k m b a m k =是大于2的正整数)，求证：11(1)k S m a -=-；（2）若3(i b a i =是某一正整数)，求证：q 是整数，且数列{}n b 中每一项都是数列{}n a 中的项；（3）是否存在这样的正数q ，使等比数列{}n b 中有三项成等差数列？若存在，写出一个q 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；解：（1）设等差数列的公差为d ，则由题设得11a d a q +=，1(1)d a q =-，且1q ≠．由k m b a =得111(1)k b q a m d -=+-，所以11(1)(1)k b q m d --=-，11111(1)(1)(1)(1)(1)111k k b q m a q m d S m a q q q ------====----．故等式成立．（2）（ⅰ）证明q 为整数：由3i b a =得211(1)b q a i d =+-，即2111(1)(1)a q a i a q =+--，移项得11(1)(1)(1)(1)a q q a i q +-=--．因110a b =≠，1q ≠，得2q i =-，故q 为整数．（ⅱ）证明数列{}n b 中的每一项都是数列{}n a 中的项：设n b 是数列{}n b 中的任一项，只要讨论3n >的情形．令111(1)n b q a k d -=+-，即1111(1)(1)n a q a k a q --=--，得1221121n n q k q q q q ---=+=++++-．因2q i =-，当1i =时，1q =-，22n q q q -+++为1-或0，则k 为1或2；而2i ≠，否则0q =，矛盾．当3i ≥时，q 为正整数，所以k 为正整数，从而n k b a =．故数列{}n b 中的每一项都是数列{}n a 中的项．（3）取q =，21b b q =，341b b q =．331411121(1)11)22b b b q b b b ⎡⎤⎛⎫⎢⎥+=+=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．所以1b ，2b ，4b 成等差数列．（2008）19.（I ）设12,,n a a a 是各项均不为零的等差数列(4)n ≥，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：① 当4n =时，求1a d的数值；②求n 的所有可能值；（II ）求证：对于一个给定的正整数(4)n ≥，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,n b b b ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。

2012高考数学分类汇编-数列,带详细答案

2 2 xn1 xn c xn 0 xn c 1 0 x1 xn c
2 2 xn2 xn1 ( xn 1 xn ) ( xn1 xn ) ( xn1 xn )( xn1 xn 1)
当c
1 1 时， xn c xn xn 1 1 0 xn 2 xn 1 与 xn1 xn 同号， 4 2
a2,1 a2,2
t 2 t 1 ... a2,t , a2,t 1 a2,t 2 ... a2,2t 1 1 . t (t 2)
经计算知， A 中每个元素的绝对值都小于 1，所有元素之和为 0，且
| r1 ( A) || r2 ( A) |
2t 1 ， t2
4.北京 10．已知 {an } 等差数列 Sn 为其前 n 项和。若 a1 5.北京 20．（本小题共 13 分）设 A 是由 m n 个实数组成的 m 行 n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 1 ，且所有数的和为零 . 记 S m, n 为所有这样的数表组成的集合 . 对于 A S m, n ，记 ri ( A) 为 A 的第 i 行各数之和（ 1 剟i
2t 1 。 t2
）
6.福建 2 等差数列 {an } 中， a1 a5 10, a4 7 ，则数列 {an } 的公差为（ A．1 B．2 考点：等差数列的定义。 C．3 D．4
3
难度：易。分析：本题考查的知识点为复等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d 。解答：
0.1
0.3
（2）设数表 A S 2,3 形如
1Hale Waihona Puke 1c1a
求 k ( A) 的最大值；

12高考数学数列经典荟萃

高考数学数列经典荟萃1、在数1和100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作n T ，再令n n T a lg =，n ≥1.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan +⋅=n n na ab ，求数列{}n b 的前n 项和n S .答：本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，创新思维能力和运算求解能力。

解：（Ⅰ）设221,,,+n t t t 构成等比数列，其中100,121==+n t t ，则2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ① 1212t t t t T n n n ⋅⋅⋅=+⋅+②①×②并利用)21(,102213+≤≤=⋅=⋅+-+n i t t t t n i n i，得)2(2210+=n n T.1,2lg ≥+==∴n n T a n n（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n另一方面，利用kk kk k k tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan ⋅+--+=-+=得11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+kk k k所以nn kk kk b S n i n i n i i n --+=--+=⋅+==∑∑∑+=+==1tan 3tan )3tan()11tan tan )1tan((tan )1tan(232312、若数列12,,...,(2)n n A a a a n =≥满足111(1,2,...,1)n a a k n +-==-，数列n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++．（Ⅰ）写出一个满足10s a a ==，且()s S A 〉0的E 数列n A ；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由。

高考真题理科数学解析分类汇编4数列

2012年高考真题理科数学解析分类汇编4 数列一、选择题1.【2012高考重庆理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25【答案】B【解析】因为12=a ，54=a ，所以64251=+=+a a a a ，所以数列的前5项和156252)(52)(542515=⨯=+=+=a a a a S ,选B. 2.【2012高考浙江理7】设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D. 若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列【答案】C【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立．故选C 。

3.【2012高考新课标理5】已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【答案】D【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a ，又274=+a a ，所以2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a ，综上选D.4.【2012高考上海理18】设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S中，正数的个数是（）A ．25B ．50C ．75D ．100【答案】D【解析】当1≤n ≤24时，n a ＞0，当26≤n ≤49时，n a ＜0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值，当51≤n ≤74时，n a ＞0，当76≤n ≤99时，n a ＜0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值，∴当1≤n ≤100时，均有n S ＞0。