分式概念及意义知识讲解

分式的意义和性质

一、分式的概念

1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做

分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。

2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不

一定可以取任意值。分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有

意义。一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。

3.（1）分式：，当B=0时，分式无意义。

（2）分式：，当B≠0时，分式有意义。

（3）分式：，当时，分式的值为零。

（4）分式：，当时，分式的值为1。

（5）分式：，当时，即或时，为正数。

（6）分式：，当时，即或时，为负数。

（7）分式：，当时或时，为非负数。

三、分式的基本性质：

1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。

2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式）

3、学习基本性质应注意几点：

（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；

（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；

（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。

4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。

5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：

，。

四、约分：

1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。

2、约分的理论依据是分式的基本性质。

3、约分的方法：

（1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。

例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3）

（4）

（5）a2-a（6）。

解：根据分式定义知（1）、（2）、（3）是分式，（4）、（5）、（6）是整式。

说明：判断一个代数式是否是分式要紧紧抓住除式中含不含字母。这里是分式，不能因为==a+b，而认为是整式，a+b是分式的值。要区分分式的值和分式这两个不同的概念。另外是整式而不是分式。虽然分母中有π，但π不是字母而是无理数，是无限不循环小数，因此的除式中不含字母。

例2，在分式（1）（2）（3）中，字母x的值有什么限制？

解：（1）在中，当x=2时，使得分母x-2=0，∴x≠2,

（2）在中，当x=-2时，使得分母x+2=0, ∴x≠-2,

（3）在中，当x=-2或x=3时，使得分母(x+2)(x-3)=0，

∴x≠-2且x≠3。

例3，x为何值时，分式，（1）无意义；（2）值为零；（3）值为1；（4）值为非负数。

解：（1）∵当分母2x+3=0时分式无意义，∴x=-时，分式无意义。

（2）∵当时，分式值为零。∴，∴x=1时分式值为零。

（3）∵当时，分式值为1，∴x=-4时分式值为1。

（4）∵当或时，分式值为非负数。

∴或∴x≥1或x<-时分式值为非负数。

例4，当x取何值时，分式（1）值为零；（2）无意义；（3）有意义。

解：（1）∵当(x+3)(x-1)≠0时，分式有意义，∴当x≠-3且x≠1时分式有意义。

又∵6-2|x|=0时分式值为零，则3-|x|=0, ∴|x|=3, ∴x=±3。

∴，∴x=3时分式值为零。

（2）∵(x+3)(x-1)=0分式无意义，

即x+3=0或x-1=0，∴x=-3或x=1时分式无意义。

说明：对于（1）也可先令分子为零，求出字母的所有可能值为x=±3后，再逐一代入分母验证是否为零，不为零者即为所求。

对于（2）当x+3=0或x-1=0时，都会使分式的分母等于零，所以要注意“或”字的使用。

解：（3）∵(x+3)(x-1)≠0时分式有意义。

即x+3≠0且x-1≠0时，∴x≠-3且x≠1时分式有意义，

说明：对于（3）分母(x+3)(x-1)只有不为零时，分式有意义，而(x+3)(x-1)≠0，当x+3=0或x-1=0都会使(x+3)(x-1)=0，所以应将x=-3和x=1都同时排除掉，写成x≠-3且x≠1，用“且”字，而不用“或”字。意义为x不能为-3而且还不能为1，即-3和1都不能取。因为取任何其中一个值，分母(x+3)(x-1)都会为0，而使分式都会无意义。

例5，写出等式中未知的分子或分母：

（1）；（2）；（3）；

（1）分析：这类问题要从已知条件入手，根据分式的基本性质，分析变化的过程，如（1）右边分母x2-y2是(x+y)(x-y)，而左边分母为x+y，所以需将左式的分子和分母同乘以(x-y)。

解：，∴未知的分子是(x-y)2,

（2）分析：左边分子a2-ab=a(a-b)，而右边分子是a-b，所以需将左式的分子和分母同除以a。

解：=，未知的分母是b。

（3）∵a2+ab=a(a+b)（将分子因式分解）

∴（比较分子，发现分子、分母同乘以a）

=，2ab即为所求的分母。

例6，把下列分式的分子和分母中各项的系数都化为整数。

（1）；（2）；

（1）分析：先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍数为15，再据分数基本性质，分子和分母同乘以15。

解：=。

（2）解：==

注：必须乘以分子和分母的每一项，避免发生(0.2a+3b)×10=2a+3b这样的错误。

例7，不改变分式的值，使下列分式中分子与分母不含“-”号，（1）-；（2）-。