切比雪夫大数定理
34切比雪夫不等式与大数定律
如果X P E( X ), 则称{Xn }服从大数定律.
说明：
(1)X P E( X ), 即对 0, lim P{ X E( X ) } 1. n
或表为: 对 0,
lim P{
n
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E(Xi )
}
P( X E( X ) 2) P( X 7 2) 2
( X可取1, 6)
P( X 1) P( X 6) 2 1 63
1时,
D( X ) 35 2
2
P( X E( X ) 1) 12 3
2时,
D( X ) 1 35 35 1
(1)
另一种形式
lim P{
n
Xn
a
}
0
(2) 对N ,n N时,
落在邻域U
(a
,
)外的X
个数有限,测度为0.
n
(3) 设X n P a, Yn P b, 则X n Yn P a b. X n .Yn P a.b, X n / Yn P a / b(b 0)
1 ( 700 )2 1 1 8
2100
99
即估计每毫升白细胞数在5200~9400间的概率不小于8/9 .
二、依概率收敛简介
1、数列极限的定义
lim
n
X
n
a
对
0,
N ,
n
N时,
Xn a
n N时, P{ Xn a } 1, 必然事件.
p( A)
核心: X1, X2 , ..., Xn满足什么条件时,
切比雪夫大数定律 伯努利大数定律
切比雪夫大数定律伯努利大数定律
切比雪夫大数定律和伯努利大数定律是概率论中常用的两个定理，它
们都描述了随机事件的发展趋势，尤其是极端事件的发生概率，具有
重要的理论和实际意义。
切比雪夫大数定律指出：对于任何分布函数，其标准差的平方与样本
量的乘积之比取极限时，这个比值趋近于零，即样本落在均值周围的
概率逐渐逼近于1。
这个定理表明，随着样本量的增大，样本的分布越来越趋近于整体的分布，再大的偏离值也越来越难以发生。
因此，可
以通过增大样本量来减小随机误差，提高测量的准确性。
伯努利大数定律则是针对二项分布的一个定理。
它指出：对于一次成
功概率为p的伯努利试验，进行n次试验后，成功的次数与总次数之比，随着n的增大越来越逼近于成功概率p。
这个定理告诉我们，在
大量重复的实验中，成功的概率越来越接近于理论值，因此可以通过
大量重复实验来验证理论的可靠性。
这两个定理都反映了概率的大数规律，在实际应用中具有广泛的应用。
例如在测量学中，可以通过多次测量同一个物理量，来提高测量的准
确性；在金融风险管理中，可以通过多样化投资组合，来降低风险。
同时，这两个定理也为我们理解自然界和社会现象的变化趋势提供了
基础理论支持。
总之，切比雪夫大数定律和伯努利大数定律都是概率论中的重要定理，它们揭示了随机事件的规律性和可预测性，为我们提供了有效的统计
方法和决策依据。
我们应该深刻理解这些定理的实质和应用范围，掌
握它们在实际问题中的具体运用方法，以提高我们的分析和判断能力。
概率论与数理统计51切比雪夫不等式和大数定律课件
目录
• 切比雪夫不等式 • 大数定律 • 切比雪夫不等式与大数定律的联系 • 案例分析 • 习题与解答
01
切比夫不等式
Chapter
切比雪夫不等式简介
01
切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等式，它提供了在一定条件下，一个随 机变量的概率分布的上界和下界。
注意事项
使用切比雪夫不等式时，应注意其适用条件，特 别是随机变量的方差必须存在。
大数定律
要点一
总结词
大数定律描述了当试验次数趋于无穷时，随机事件的相对 频率趋于其概率的规律。
要点二
详细描述
大数定律表明，当试验次数n趋于无穷时，随机事件的相 对频率将以概率收敛于该事件的概率。具体来说，对于任 意小的正数ε，有$lim_{n to infty} P(| frac{X_n}{n} - p| < varepsilon) = 1$，其中$X_n$是n次试验中事件A发生的 次数，p是事件A的概率。
切比雪夫不等式的限制
虽然切比雪夫不等式在许多情况下都 很有用，但它也有一些限制。例如， 当随机变量的分布不是对称的或者偏 斜度较大时，切比雪夫不等式的估计 可能会不准确。
VS
因此，在使用切比雪夫不等式时，需 要考虑到这些限制，并根据具体情况 进行适当的调整和修正。
02
大数定律
Chapter
大数定律的定义
大数定律
定义
大数定律是指在独立同分布随机变量 序列中，当样本量趋于无穷大时，样 本均值的概率分布趋近于真实均值。
应用
大数定律在统计学中有着重要的应用 ，例如在样本均值的分布、置信区间 估计和假设检验等领域。
切比雪夫不等式与大数定律的联系
切比雪夫不等式及切比雪夫大数定律
第5 章
知识点名称：切比雪夫不等式及切比雪夫大数定律 主讲人：秦旭
切比雪夫大数定律
一、回顾
实验者
抛掷次数n
出现正面次数m
德·摩根 德·摩根 德·摩根 德·摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 维尼
2048 2048 2048 2048 4040 12000 24000 30000
n
X
i 1
n
i
1 n
i 1
E( Xi
)
| ε}
1 n
1
D( n i1 ε2
Xi )
1
C nε2
1,
(as n ).
切比雪夫大数定律 五、切比雪夫(Chebyshev)不等式
设随机变量 X 的数学期望 E(X ) 和方差D(X )都存在, 则对于
任意的 > 0, 有
P{| X E(X ) | ε}
变量, 若对于任意的＞ 0, 有
lim
n
P {| X n
X
| ε }
0
或
lim P{| X n X | ε} 1
n
称随机变量序列{Xn}依概率收敛于X，记为
X n P X
或者
lim
n
Xn
X,
( P)
切比雪夫大数定律
注1 在定义中, 随机变量 X也可以是常数 a, 称随机变量序列 {Xn} 依概率收敛于常数 a .
注2 随机变量序列依概率收敛不同于微积分中数列或函数列的 收敛性.
结论 随机变量序列{Xn}依概率收敛于X，指当 n 足够大时, 有
足够大的概率保证Xn 任意接近于X , 但Xn仍然有可能与X相差很大.
切比雪夫大数定理证明
切比雪夫大数定理证明1. 引言切比雪夫大数定理是概率论中的一条重要定理，它描述了随机变量与其期望值之间的关系。
本文将详细介绍切比雪夫大数定理的证明过程。
2. 定理表述设X是一个随机变量，E(X)表示X的期望值，Var(X)表示X的方差。
对于任意正数ε，有：P(|X - E(X)| >= ε) <= Var(X) / ε^23. 证明过程步骤1：引入辅助变量我们首先引入一个辅助变量Y，定义为Y = (X - E(X))^2。
这样，Y就是X与其期望值之间的差的平方。
步骤2：计算Y的期望值和方差根据辅助变量Y的定义，我们可以计算出它的期望值和方差：E(Y) = E((X - E(X))^2) = Var(X) Var(Y) = Var((X - E(X))^2) = 4Var^2(X)步骤3：应用马尔可夫不等式根据马尔可夫不等式，对于任意大于0的正数k，有：P(Y >= k) <= E(Y) / k将k替换为4Var^2(X)，得到：P(Y >= 4Var^2(X)) <= E(Y) / (4Var^2(X))由于E(Y) = Var(X)，我们可以得到：P(Y >= 4Var^2(X)) <= Var(X) / (4Var^2(X))化简得到：P(Y >= 4Var^2(X)) <= 1/4步骤4：转化回原问题我们知道，Y = (X - E(X))^2，因此有：|X - E(X)| >= ε 等价于Y >= ε^2将ε替换为2ε，得到：|X - E(X)| >= 2ε 等价于Y >= (2ε)^2 = 4ε^2我们可以得到：P(|X - E(X)| >= 2ε) <= P(Y >= 4ε^2)根据步骤3的结论，P(Y >= 4Var^2(X)) <= 1/4，因此有：P(|X - E(X)| >= 2ε) <= P(Y >= 4ε^2) <= 1/4步骤5：证明切比雪夫大数定理我们要证明的切比雪夫大数定理是：P(|X - E(X)| >= ε) <= Var(X) / ε^2根据步骤4的结论，有：P(|X - E(X)| >= ε) <= P(|X - E(X)| >= 2ε)再根据概率的单调性，有：P(|X - E(X)| >= 2ε) <= P(|X - E(X)| >= ε)我们可以得到：P(|X - E(X)| >= ε) <= P(|X - E(X)| >= 2ε) <= 1/4由于ε是任意正数，所以1/4可以用任意小的正数来代替。
切比雪夫不等式及大数定律 PPT课件
P{20 X 100 20} P{| X 100 | 20}
10 1 202 0.975
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
例2 在每次试验中事件A发生的概率为0.5 .试用切比
雪夫不等式估计在1000次独立的试验中,事件A发生的 的次数在450至550次之间的概率.
1
2
(x
)2
f
( x)dx
2 2
.
证毕.
例1 已知随机变量 X 的数学期望为 E( X ) 100 , 方差为 D( x) 10 2 ,试估计 X 落在( 80 , 120 )内的概率.
解: 由切比雪夫不等式有: P{80 X 120} P{80 100 X 100 120 100}
由切比雪夫不等式 ，对任意 0,
有：
0
P{|
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( Xi ) |
}
1 1 n
C
2
D( n
i 1
Xi)
n 2
.
从而：lim n
P{|
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E(Xi
)
|
0}
0
证毕 .
推论： 设相互独立的随机变量 X1, X2L , Xn,L 服从相同
即在进行精密测量时，为减少测量误差，可以重复 测量多次，然后用测量值的平均值来代替实际的真值. 当测量次数充分大时，这一平均值与其真值差的绝对 值大于任一小的正数几乎是不可能的,这样就保证了测 量的精度.
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
的分布，且 E( Xi ) , D( Xi ) 2, i 1, 2L ,
切比雪夫不等式与大数定律
第六讲切比雪夫不等式与大数定律主讲教师叶宏副教授概率论与数理统计的研究内容是随机现象的统计规律性，而随机现象的规律性是通过大量的重复试验才呈现出来的.研究大量的随机现象，常常采用极限方法，利用极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:大数定律与中心极限定理.设随机变量X 的期望E (X )与方差D (X )存在，则对于任意实数ε> 0,2)()|)((|εεX D X E X P ≤≥-切比雪夫不等式或2)(1)|)((|εεX D X E X P -≥<-理论价值证明大数定律等等实用价值估计概率例已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X ，则EX =7300, DX =7002≤P (5200 X 9400)≤= P (-2100 X -E (X ) 2100)≤≤= P ( |X -E (X )| 2100)≤≤=P (5200-7300 X -7300 9400-7300)≤2)2100()(1X D -≥98911=-=估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/92)(1)|)((|εεX D X E X P -≥<-2)()|)((|εεX D X E X P ≤≥-22140.5{6}_____X Y P X Y +≥≤例设随机变量和的数学期望分别为－和，方差分别为和，而相关系数为－，则{6}{()()6}P X Y P X Y E X Y +≥=+-+≥由切比雪夫不等式()()()220,E X Y E X E Y +=+=-+=解: ()()()2cov(,)D X Y D X D Y X Y +=++()()2()()3XY D X D Y D X D Y ρ=++=2()1612D X Y +≤=大数定律大量的随机现象中平均结果的稳定性大数定律的客观背景：大量抛掷硬币正面出现频率伯努利大数定律设n A 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数, p 是每次试验中A 发生的概率,则0>∀ε有0lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-∞→εp n n P A n 或1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∞→εp n n P A n 依概率收敛频率p伯努利大数定律的意义理论价值给概率的统计定义提供了理论依据在概率的统计定义中, 事件A发生的频率“稳定于”事件A在一次试验中发生的概率实用价值如命中率等在n足够大时, 可以用频率近似代替p. 这种稳定称为依概率稳定.切比雪夫大数定律且具有相同的数学期望和方差,2,1,)(,)(2===k X D X E k k σμ则0>∀ε有01lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-∑=∞→εμn k k n X n P 或11lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑=∞→εμn k kn X n P ,,,,21n X X X 相互独立，设随机变量序列辛钦大数定律且具有数学期望(),1,2,k E X k μ==,,,,21n X X X 相互独立同分布，设随机变量序列当n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.算术均值数学期望近似代替可被定理的意义平均数法则12~(2),(,,),,1_______n n i X E X X n Y X n→∞=∑ 例设总体为其简单随机样本则时依概率收敛于12,,,n X X X 因为独立同分布，22212,,,n X X X 所以也独立同分布，22()i i i E X DX EX =+（）2111=()422+=因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于21.2i EX =。
5-1切比雪夫不等式与大数定律
说明： 说明：
与(切)大数定律区别: 不要求 X1 , X2 ,..., Xn方差存在,但要求分布相同.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、切比雪夫大数定律 、
设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , ..., X n 相 互 独 立 , 各 有 数 学 期 望 E ξ i和 方 差 D ξ i . 同 时 存 在 常 数 C , 使 得 D ξ i ≤ C,i=1,2...n。 则 对 于 任 意 ε > 0 i=1,2...n 。 1 n 1 n lim P ∑ X i − ∑ EX i < ε = 1 n→ ∞ n i =1 n i =1 1 n 1 n 或 ∑ X i − ∑ EX i P → 0 ( n → ∞ ) n i =1 n i =1
证 明 : n A 代 表 n重 伯 努 利 试 验 中 A发 生 的 次 数 , n A ∼ b( n, p )
i A 生 第次 发 1 (i=1,2,...,n) X 令 i = i A 发 0 第 次 没 生
则
n A = X 1 + X 2 + ... + X n
X i ∼ b(1, p ), ⇒ E ( X i ) = p, D( X i ) = p(1 − p) (i=1,2,...,)
推论2、 推论 、伯努利大数定律
设 n A 为 n 次 独 立 重 复 试 验 中 随 机 事 件 A 发 生 的 次 数 , p是 事 件 A 在 每 次 试 验 中 发 生 的 概 率 , 则 对 任 意 ε > 0, 成 立 nA lim P { − p < ε } = 1, 即 n→ ∞ n nA P → p( A ) n
nA 1 n , 又 X = ∑ Xi = n i =1 n 1 n E( X ) = E( ∑ Xi ) = p n i =1
3-5切比雪夫不等式与大数定律
切比雪夫不等式与大数定律
主要内容（2学时）
一、切比雪夫不等式
二、依概率收敛简介
三、大数定律（难点） 1、切比雪夫大数定律
2、伯努利大数定律
3、辛钦大数定律
一、切比雪夫不等式
1、马尔科夫不等式
设X 是只取非负值的随机变量,且具有数学期望E ( X ), 则 对于任意正数 , 有 P{ X } E( X )
证 : nA代表n重伯努利试验中A发生的次数, nA
第i次试验中A发生 1 令X i 0 第i次试验中A没发生 (i 1, 2, ..., n)
B(n, p)
则
nA X1 X 2 ... X n
Xi
B(1, p) E( X i ) p, D( X i ) p(1 p) nA 1 n 1 n 又 X Xi = , E( X ) E( X i ) p n i 1 n n i 1
（证明见下页）
说明：
重要性在于: 不知道X的分布( f ( x ), pk )情况下,通过 E ( X )估计事件{ X }的概率下限.
证 : 以连续型X 证明, 设X的概率密度为f ( x ). X 只取非负值, 故x 0时, f ( x ) 0
E( X )
0
xf ( x )dx x f ( x )dx
P(0.01n X 0.75n 0.01n) P( X E ( X ) 0.01n)
D( X ) 0.1875n 1875 1 1 2 1 2 (0.01n) 0.0001n n
依题意，取 1
1875 0.9 n 1875 解得 : n 18750 1 0.9
切比雪夫大数定理
83 6 P(| X 1000 | 60) 1 2 0.7685 108 60
6
例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数 , 则 X ~ B(n,0.75)
14
例2：从某工厂的产品中任取200件来检查，结果发现 其中有6件次品，能否相信该工厂产品的次品率 p 1% ? 解：假设该工厂的次品率 p 1% ，则检查200件产品 其中次品率 X 6 的概率
x X P( X 6) C 200 (0.01) x (0.99) 200 x 1 C 200 (0.01) X (0.09) 200 X 200 5
并且方差是一致有上界的，即存在常数C，使得
DX i C, i 1,2,..., n,..., 则对于任意的正数
，有
1 n 1 n lim P(| X i EX i | ) 1 n n i 1 n i 1
10
证：我们用切比雪夫不等式证明该定理。
1 n 1 n E ( X i ) EX i n i 1 n i 1
因为n=200很大，且p=0.01较小，所以可按近似公式计 算，我们有 200 0.01 2 ；从而得到
2 x 2 P( X 6) 1 e 1 (0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 x 0 x! 0.0902 0.0361) 0.0166
大数定律与中心极限定理总结
大数定律与中心极限定理总结大数定律和中心极限定理是概率论中两个重要的基本定理，它们对于理解随机事件的规律性和统计推断具有重要的作用。
首先，大数定律是指当重复独立地进行同一试验时，随着试验次数的增加，样本平均值将趋近于总体均值的定理。
在统计学中，我们常常关注样本均值和总体均值之间的关系。
大数定律告诉我们，当样本容量足够大时，样本均值将逼近总体均值。
大数定律的核心思想是随机性的抵消效应。
随机性使得每次试验的结果都有一定的波动，但当试验次数足够多时，各种波动的效应会被抵消掉，使得样本均值逼近总体均值。
大数定律可以分为以下几种形式：1.切比雪夫大数定律：设随机变量X的方差存在，并且有限，那么对任意ε>0，有lim(n->∞) P[|X1+X2+...+Xn - nEX| > ε] = 02.伯努利大数定律：设X1，X2，…，Xn是n个独立同分布的0-1分布的随机变量，p=P(Xi=1), q=1-P(Xi=1)，那么对任意ε>0，有lim(n->∞) P[|X1+X2+...+Xn - np| > ε] = 03.辛钦大数定律：设X1，X2，…，Xn是n个独立同分布的随机变量，E(Xi)=μ，D(Xi)=σ^2(有限)，那么对任意ε>0，有lim(n->∞) P[|X1+X2+...+Xn/n - μ| > ε] = 0大数定律的应用非常广泛，可以用来解释各种现象，例如：抛硬币的结果、掷骰子的点数、随机抽样的样本均值等等。
它在统计学、经济学、物理学等领域都有应用。
与大数定律相对应的是中心极限定理。
中心极限定理是指当n趋向于无穷大时，独立同分布随机变量的和的分布趋近于正态分布的定理。
中心极限定理揭示了随机变量和的分布的稳定性。
中心极限定理可以分为以下几种形式：1.李雅普诺夫中心极限定理：假设X1，X2，…，Xn是n个独立同分布的随机变量，且具有有限的期望μ和方差σ^2，并且它们的方差和有界，那么当n趋向于无穷大时，lim(n->∞) P[(X1+X2+...+Xn - nμ)/σ√n ≤ x] = Φ(x)2.林德伯格-列维中心极限定理：假设X1，X2，…，Xn是n个独立同分布的随机变量，且具有有限的期望μ和方差σ^2，那么当n趋向于无穷大时，lim(n->∞) P[(X1+X2+...+Xn - nμ)/σ√n ≤ x] = Φ(x)3.棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理：当n趋向于无穷大时，二项分布B(n,p)的近似分布近似于正态分布N(np,npq)，其中p为成功的概率，q=1-p为失败的概率。
切比雪夫不等式及大数定律
随机变量的数字特征
切比雪夫不等式及大数定律
1.1 切比雪夫不等式
在随机变量 X 分布未知的情况下，可以利用切比雪夫不等式对随机事件 {| X E(X ) | } 的概率进行估计．例如，当 3 D( X ) 时，有
P{| X E(X ) | 3 D(X )} 8 0.888 9． 9
也就是说，随机变量 X 落在以 E(X ) 为中心，以 3 D( X ) 为半径的邻域内的概率很大，而 落在该邻域之外的概率很小．当 D( X ) 较小时，随机变量 X 的取值就越集中在 E(X ) 附 近，而这正是方差这个数字特征的意义所在．
概率论与数理统计
随机变量的数字特征
切比雪夫不等式及大数定律
随机事件在某次试验中可能发生也可能不发生， 但在大量的重复试验中随机事件的发生呈现出明显 的规律性．实际上，大量随机现象的结果均具有稳 定性，大数定律以严格的数学形式阐述了这种稳定 性，揭示了随机现象的偶然性与必然性之间的内在 联系．下面，我们先来介绍证明大数定律的重要工 具—切比雪夫（Chebyshev）不等式．
1， 在第k次试验中事件A发生， X k 0 ， 在第k次试验中事件A不发生，
其中， k 1，2， ，则
Xk
~
n
B(1，p) ，
k 1
Xk
nA
，1 n
n
Xk
k 1
nA n
，1 n
n
E(Xk )
k 1
p，
并且 X1 ，X2 ， ，Xn ， 满足切比雪夫大数定律的条件，于是由切比雪夫大数定律可证明伯努利大数 定律．
1，2 ，
)
，
由辛钦大数定律得
Yn
1 n
n k 1
切比雪夫大数定律
切比雪夫大数定律
切比雪夫大数定律指的是：假设存在n个相互独立的随机变量，当n趋近于无穷时，这n 个随机变量的平均值也会趋近于这n个随机变量期望的平均值。
切比雪夫大数定律是数学系概率论中的重要规律之一，切比雪夫大数定理的意义在于，为了估计随机变化的许多数学期望值，切比雪夫大数定律只需满足切比雪夫大数定理的条件即可，切比雪夫大数定律可近似置换值的算术平均值。
比起切夫大数定律，一般我们听到的大数定律更像，不仅可以解释独立同分布的随机变量的大数定律，也可以解释独立但不同分布的随机变量的大数定律。
在保险经营中，切比雪夫定律担保可能发生的风险及其损失，切比雪夫定律以过去和现在的观察值来预期未来，保险是进行风险长期交易的规则，根据切比雪夫大数定律切比雪夫大数定理，可以根据过去几年损失观察值的算术平均值来估计丧失权利的期望值。
切比雪夫大数定律方差有一致界
切比雪夫大数定律方差有一致界切比雪夫大数定律是数学中一个重要的定理，它可以用来预测一系列随机变量的行为。
该定理说明，当一系列随机变量的数量增加时，它们的方差也会增加，但有一个上界。
使当这系列随机变量的数量再增加，它们的方差也不会超过这个上界。
这一定理被称为切比雪夫大数定律的方差有一致界。
它的原理可以用一个理论模型来解释，即方差的最大值是由前一个随机变量和下一个随机变量之间的联系决定的。
换句话说，如果已知前一个随机变量和后一个随机变量之间的联系，则可以确定方差的上界。
实验研究也证明了切比雪夫大数定律的方差有一致界。
如Hemmingsen在《前沿的研究》一文中指出：“有各种实验方法可以用来证明切比雪夫大数定律的方差有一致界。
” Hemmingsen指出，“可以测量已知随机变量之间的关系，绘制他们的频率分布直方图，然后计算它们的标准差。
在大多数情况下，标准差不会超过切比雪夫大数定律的预测值，说明方差确实有一致界。
”切比雪夫大数定律的方差有一致界可以应用于多种领域。
例如，它可以用来构建概率模型，以便更好地预测市场行为；也可以用来研究物理系统中的随机现象，进而提出建议，帮助我们更好地理解和利用自然界中的运动。
此外，它还可以用于研究医学疾病的传播和治疗方法的发展。
切比雪夫大数定律的方差有一致界也可以应用于社会科学领域。
例如，它有助于研究社会结构的变化，揭示不同社会群体的社会行为特征，以及更好地理解这些社会群体之间的关系。
同样，切比雪夫大数定律的方差有一致界也可以帮助我们探索经济投资中复杂市场行为的规律，以避免投资风险。
总之，切比雪夫大数定律的方差有一致界是一个重要的数学定理，可以用来描述一系列随机变量的行为，并可以被广泛应用于不同的领域中。
因此，有关这一定理的研究仍然值得继续深入探讨。
切比雪夫弱大数定律的由来
切比雪夫弱大数定律的由来切比雪夫弱大数定律是概率论中的一个重要定理，它描述了随机变量与其数学期望之间的关系。
该定律是由俄罗斯数学家切比雪夫于1867年提出的，是概率论中的一项重要成果，对于理解随机变量的分布特性具有重要意义。
切比雪夫弱大数定律是概率论中的一个弱收敛定理，它是切比雪夫强大数定律的一个推论。
弱大数定律是指在某些条件下，随机变量序列的平均值以概率1收敛于其期望值。
而切比雪夫弱大数定律则是对于随机变量与其期望之间的差异进行了更为精细的刻画。
切比雪夫弱大数定律的核心思想是通过限制随机变量与其期望之间的差异来推导出收敛的概率。
具体而言，定律表明对于任意一个正数ε，当样本量足够大时，随机变量与其期望之间的差异小于ε的概率足够接近于1。
这一结果是通过切比雪夫不等式得到的。
切比雪夫不等式是概率论中的一个重要不等式，它给出了随机变量与其期望之间的差异的上界。
根据切比雪夫不等式，对于任意一个正数ε，随机变量与其期望之间的差异小于等于ε的概率不超过随机变量方差与ε的平方的比值。
通过调整ε的取值，可以得到不同精度下的收敛概率。
切比雪夫弱大数定律的应用非常广泛。
在实际问题中，往往需要对随机变量进行抽样观察，以了解其分布特性或进行统计推断。
切比雪夫弱大数定律为我们提供了一个判断样本均值与总体均值之间差异的度量标准，使得我们可以通过观察有限样本的均值来推断总体的均值。
这在工程、经济学、医学等领域都有着广泛的应用。
例如，假设我们想要估计某城市的平均年龄。
我们可以通过随机抽样的方式选取一部分居民进行调查，计算出他们的平均年龄作为样本均值。
根据切比雪夫弱大数定律，当样本量足够大时，样本均值与总体均值之间的差异小于某个给定的精度的概率足够接近于1。
因此，通过观察有限样本的均值，我们可以得到对总体均值的一个估计，并且可以通过调整样本量来控制估计的精度。
切比雪夫弱大数定律是概率论中的一个重要定理，它描述了随机变量与其期望之间的差异与收敛概率之间的关系。
概率论与数理统计 切比雪夫不等式和大数定律
3、定理5.3(辛钦定理): 设随机变量 X1 ,X2 , … , Xn , … 相互独立 , 服从 同一分布, 具有数学期望
E( Xk ) = (k = 1, 2,L ) ,
则对于任意正数 ε , 有
lim P n
1 n
n k =1
Xk
=1
.
伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况 . 在实际
问题的处理中辛钦定理十分有用也很重要 .
事实上, 由辛钦定理可知, 如果随机变量
X1 ,X2 , … , Xn … 相互独立, 服从同一分布且具有数
学期望 μ , 则前 n 个随机变量的算术平均值
依概率收敛于它们的数学期望 μ .
1 n
n
= lim P n
1n n k=1 X k
=
1
.
证 由于
E( 1 n
n k =1
Xk )
=
1 n
n k =1
E(Xk )
=
1 gn
n
=
D( 1 n
n k =1
Xk )
=
1 n2
n k =1
D( Xk )
=
1 gn 2
n2
=
12
n
由切比雪夫不等式, 得
= P X 7300 2100
1 7002 = 1 1 = 8
21002
99
注 切比雪夫不等式虽然不能准确地求出某事件 的概率, 只是给出一个估计值, 但这在实际 问题的处理中仍然十分有用 .
概率论与数理统计51切比雪夫不等式和大数定律课件
01 切比雪夫不等式
切比雪夫不等式介 绍
定义
作用
在概率论与数理统计中，切比雪夫不 等式是一种重要的工具，它可以帮助 我们了解随机变量的分布情况，从而 在实际问题中进行应用。
04 典型例题解析
例题一：利用切比雪夫不等式估计概率
切比雪夫不等式介 绍
题目解析
利用切比雪夫不等式求解
结果解释
例题二：验证大数定律成立条件
大数定律介绍 给出大数定律的定义和公式，解释其 含义和应用场景。
题目解析
分析题目要求，明确需要验证的大数 定律类型和条件。
利用样本数据进行验证
详细展示如何利用样本数据验证大数 定律的成立条件，包括样本选择、数 据处理和结果分析。
02 大数定律概述
大数定律定 义
大数定律意 义
理论意义 实践意义
大数定律分 类
01
伯努利大数定律
02
辛钦大数定律
03
切比雪夫大数定律
03 切比雪夫不等式与大数定 律关系
联系与区别
联系 区别
相互补充作用
切比雪夫不等式的作用
大数定律的作用
在实际问题中应用
切比雪夫不等式的应用
大数定律的应用
VS
提交方式
将书面作业扫描或拍照成电子版，通过学 校指定的在线平台提交。请确保作业清晰 可读，文件名格式为“学号+姓名+作业 名称”。
评分标准与反馈机制
评分标准
反馈机制
WATCHING
心得2
大数定律的学习使我明白了在大 量数据中寻找规律的重要性，对 于数据分析和决策具有重要意义。
切比雪夫大数定律理解
切比雪夫大数定律理解
嘿，朋友！今天咱来聊聊切比雪夫大数定律，这可真是个超级有趣的东西啊！
你想想看，就好像一群小朋友在分糖果。
有的小朋友拿得多，有的拿得少，但是如果分的次数足够多，那平均下来，每个小朋友拿到的糖果不就差不多了吗？这就是切比雪夫大数定律的一个简单例子呀！比如说，我们玩掷骰子游戏，一次两次你可能掷出各种不同的点数，有时候运气好，全是大点数，有时候运气差，都是小点数。
但要是你一直不停地掷下去，掷个几百上千次，那平均下来，每个点数出现的概率不就趋近于相等了吗？
再拿投篮来打比方，你投篮的时候，可能这一次特别准，百发百中，下一次却一个都投不进。
但如果你持续练习，投篮几千次几万次，你的命中率不就会慢慢稳定下来嘛，这不就是切比雪夫大数定律在起作用嘛！
切比雪夫大数定律可不只是在这些小游戏里有用哦！在现实生活中也有着广泛的应用呢。
比如保险公司算保费，他们就是依靠这个定律呀。
他们知道虽然个别客户可能会遭遇很大的风险，但从整体来看，风险是可以被平均和预测的呀！
哎呀，我就觉得这个定律真的太神奇了！它让我们看到在看似混乱和不确定的世界里，其实有着一种潜在的秩序和规律。
它就像一个隐藏的魔法，等着我们去发现和运用。
所以啊，切比雪夫大数定律真的是超级重要的，它能帮助我们更好地理解很多现象和问题，做出更明智的决策呢！。
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DX i C, i 1,2,..., n,..., 则对于任意的正数
，有
1 n 1 n lim P(| X i EX i | ) 1 n n i 1 n i 1
10
证：我们用切比雪夫不等式证明该定理。
1 n 1 n E ( X i ) EX i n i 1 n i 1
12
i 1
切比雪夫定理的一个重要推论就是著名的伯努利定理 定理3： 在独立试验序列中，设事件A的概率 P（A）=p，则对于任意的正数 ，当试验的次数 n 时，有 lim P(| f n ( A) p | ) 1
n
其中 f n ( A) 是事件A在n次试验中发生的频率 证明：设随机变量 X 表示事件A在第i次试验中发生 i
事件 X EX 的概率应该与DX有关。用数学式子表 示出来，就是下述的切比雪夫不等式。 定理1 设随机变量X具有数学期望EX=a，和方差 则对于任意正数ε ，不等式 成立，这一不等式称为切比雪夫不等式。下面只对连 续型随机变量的情形 证明该不等式。
4
证：设随机变量有密度函数 ，则
(因被积函数大于等于0)
1 n 1 n lim P(| X i p | ) 1 n n i 1 n i 1
第十一单元
§3.5切比雪夫不等式与大数定律
教学目的： 1.理解切比雪夫不等式与大数定律 2.会用切比雪夫不等式及大数定律解题 教学重点：用切比雪夫不等式及大数定律解题 教学难点：用切比雪夫不等式及大数定律解题
1
第五章 大数定律与中心极限定理 瑞士 策马特峰
2
切比雪夫( chebyshev)不等式
0.1875n P| X 0.75n | 0.01n 1 2 (0.01n) 令 0.1875n 1 0.90 2 (0.01n) 解得 n 18750
8
大数定律
在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率 的概率是指：
nA nA 频率 与 p 有较大偏差 p 是 n n
1 n 1 n P(| X i EX i | ) 1 所以有 lim n n i 1 n i 1 切比雪夫定理说明：若独立随机变量
的数学期望与方差存在，且方差一致有上界，则经过 n 1 算术平均后得到的随机变量 X X i ，当n充分大
n
时，它的值将比较紧密地聚集在它的数学期望 EX 的附近，这就是大数定律
DX
i 1
i
nC
，由此得
11
1 n 1 n C P(| X i EX i | ) 1 2 ，当 n i 1 n i 1 n
n 时，得
1 n 1 n lim P(| X i EX i | ) 1 ，但是概率不能大于1， n n i 1 n i 1
E ( X ) 0.75 n, D( X ) 0.1875 n
X 要使 P 0.74 0.76 0.90 ，求 n n
7
ห้องสมุดไป่ตู้
即 P0.74 n X 0.76 n 0.90 即 P| X 0.75n | 0.01n 0.90 由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
5000 E ( X ) 1000, D( X ) 6 1 X P 0.01 6000 6 5000
83 6 P(| X 1000 | 60) 1 2 0.7685 108 60
6
例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数 , 则 X ~ B(n,0.75)
nA n “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生
小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频 率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.
9
定理2：设随机变量
相互独立，且数学期望
和方差分别为，EX 1 , EX 2 ,..., EX n ,... DX 1 , DX 2 ,..., DX n ,...
由
1 n 1 D( X i ) 2 n i 1 n
的相互独立性，
DX
i 1
n
i
应用切比雪夫不等式，得
1 n 1 n 1 P(| X i EX i | ) 1 2 2 n i 1 n i 1 n
n
DX
i 1
n
i
因为 DX i C (i 1,2,..., n) ，所以
的次数（i=1,2,…,n,…），则这些随机变量相互独， 服从相同的“0-1”分布，并有数学期望与方差：
1 EX i p, DX i p(1 p) , i 1,2,..., n,... 4 于是，有切比雪夫定理得
13
易知 X i 就是事件A在n次试验中发生的次数 n A
i 1
(由方差的定义)
切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下， 只利用X的期望和方差，即可对X的概率分布进行估值。
5
例1 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试 估计在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比 例与1/6 比较上下小于1%的概率. 解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数 , X ~ B (6000,1/6 )
设随机变量 X 的方差 D ( X )存在， 则对于任意实数 > 0,
P(| X E ( X ) | ) D( X )
2
D( X )
当 2 D(X) 无实际意义,
或 P(| X E ( X ) | ) 1
2
3
一、切比雪夫不等式 我们已知，随机变量X的方差DX表明X在其数学期望 EX的周围取值的分散程度。因此，对任意的正数