【高考数学】《常考二级结论及其应用》文科版

(完整版)高中高考数学所有二级结论《完整版》

高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩1+≥x e x、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx①过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222b k a mb +21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线 23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n )25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的①ABC 在平面α内的射影为①ABO ，分别记①ABC 的面积和①ABO 的面积为S 和S′ ，记①ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若是的不动点，满足递推关系，则x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a ),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则（这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k(2)若πC B A =++，则：①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+ (3)在任意①ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A③232sin 2sin 2sin ≤++C B A④2332cos 2cos 2cos ≤++C B A⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++C B A⑪32tan 2tan 2tan≥++CB A ⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角①ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A ③9tan tan tan 222≥++C B A④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么①OAC ,①BAC ,①OAB 三角的余弦关系为：cos①OAC=cos①BAC ·cos①OAB (①BAC 和①OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+ 35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长) 42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心 (3)O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M n X D49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+。

【高考文数常考21+55+30个二级结论】高考文科数学常考21+55+30个二级结论及应用含答案

常考二级结论及其应用纵观中学数学教材,基本上是由题组成的(除了部分概念的介绍),而高考试题大部分都源于教材.编教材离不开题,授课离不开题,学数学离不开题,考试更离不开题.实际上,高考试题大都是通过对教材例题和习题加工㊁改造㊁引申㊁推广而成的.不仅如此,试题的表示方式和语言表达也尽可能与教材保持一致,使考生有一种似曾相识的感觉,所以我们要仔细琢磨,把教材上的题研究到位.结合高考真题,最终我们独创了题型+模型的全新教学法.在本篇中,我们把高考试题中经常出现而且教材上有所体现的部分二级结论呈现给大家,部分结论对学生的解题有很好的指导作用,同时对演算结果有精准的验证作用,以使同学们在解答高考题时能做到准确㊁快捷.结论一设集合A =(x ,y )x 24+y 216=1{},B =(x ,y )|y =3x{},则A ɘB 的子集的个数是( ).A.4B .3C .2 D.1变式1 已知集合A =x |x 2-3x +2=0,x ɪR {},B =x |0<x <5,x ɪN {},则满足条件A ⊆C ⫋B 的集合C 的个数为( ).A.1B .2C .3D.4结论二已知M ,N 为集合I 的非空子集,且M ,N 不相等,若N ɘ∁IM =∅,则M ɣN =( ).B .N C .I D .∅变式1 已知集合P =x |x 2ɤ1{},M ={a },若P ɣM =P ,则a 的取值范围是( ).A .(-ɕ,-1]B .[1,+ɕ)C .[-1,1]D .(-ɕ,-1]ɣ[1,+ɕ)变式2 设集合A =x |x 2-6x +5=0{},B =x |a x -1=0{},若A ɘB =B ,则实数a 所有可能取值组成的集合C 为( ).A .1,15{}B .12,13{}C .0,1,15{}D .0,12,13{}高考文科数学结论三设全集U ={a ,b ,c ,d },集合A ={a ,b },B ={b ,c ,d },则∁U A ()ɣ∁UB ()=.变式1 若全集U ={1,2,3,4,5,6},集合M ={2,3},N ={1,4},则集合{5,6}等于( ).A .M ɣNB .M ɘNC .∁U M ()ɣ∁U N ()D .∁U M ()ɘ∁U N ()变式2 已知全集U =A ɣB 中有m 个元素,∁U A ()ɣ∁UB ()中有n 个元素.若A ɘB 非空,则A ɘB 的元素个数为( ).A .m nB .m +nC .n -mD .m -n结论四设函数f (x )=(x +1)2+s i n xx 2+1的最大值为M ,最小值为m ,则M +m =.变式1 设f (x )为定义在R 上的奇函数.当x ȡ0时,f (x )=2x+2x +b (b 为常数),则f (-1)=( ).A .3B .1C .-1D .-3变式2 已知函数f (x )=l n 1+9x 2-3x ()+1,则f (l g 2)+f l g 12æèçöø÷=( ).A .-1B .0C .1D .2结论五已知函数f (x )对任意实数x 都满足f (x +2)=1f (x),若f (3)=5,则f (2017)=.变式1 已知定义在R 上的函数f (x )满足f x +32æèçöø÷=-f (x ),且f (-2)=f (-1)=-1,f (0)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+ +f (10)+f (11)=( ).A .-2B .-1C .0D .1结论六对于定义域为[0,1]的连续函数f (x ),如果同时满足以下3个条件:对任意的x ɪ[0,1]总有f (x )ȡ0;②f (1)=1;③若x 1ȡ0,x 2ȡ0,x 1+x 2ɤ1,都有f (x 1+x 2)ȡf (x 1)+f (x 2)成立,则称函数f (x )为理想函数.若函数f (x )为理想函数,假定存在x 0ɪ[0,1],使得f (x 0)ɪ[0,1],且f f (x 0)[]=x 0.求证:f (x 0)=x 0.变式1 设函数f (x )=e x+x -a (a ɪR ,e 为自然对数的底数),若存在b ɪ[0,1],使f [f (b )]=b 成立,则a 的取值范围是( ).A .[1,e ]B .[1,1+e ]C .[e ,1+e ]D .[0,1]变式2 若函数y =l o g a (x 2-a x +1)(a >0且a ʂ1)在(1,2)上为增函数,则实数a 的取值范围是.第二篇常考二级结论及其应用结论七已知a>0,则x0满足关于x的方程a x=b的充要条件是().A.∃xɪR,12a x2-b xȡ12a x20-b x0B.∃xɪR,12a x2-b xɤ12a x20-b x0C.∀xɪR,12a x2-b xȡ12a x20-b x0D.∀xɪR,12a x2-b xɤ12a x20-b x0变式1已知函数f(x)=x2+a x+b(a,bɪR)的值域为[0,+ɕ),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为.变式2定义m i n[f(x),g(x)]=f(x),f(x)ɤg(x)g(x),f(x)>g(x){,若函数f(x)=x2+t x+s的图像经过两点(x1,0),(x2,0),且存在整数m,使得m<x1<x2<m+1成立,则().A.m i n[f(m),f(m+1)]<14B.m i n[f(m),f(m+1)]>14C.m i n[f(m),f(m+1)]=14D.m i n[f(m),f(m+1)]ȡ14结论八已知函数f(x)=1l n(x+1)-x,则y=f(x)的图像大致为().变式1已知函数f(x)=e x,xɪR.求证:曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点.变式2设函数f(x)=1-e-x.求证:当x>-1时,f(x)ȡx x+1.第二篇常考二级结论及其应用结论九已知函数f(x)=A s i n(ωx+φ)的图像如图2-2所示,fπ2æèçöø÷=-23,则f(0)=().A.-23B.23C.-12D.12图2-2图2-3变式1已知函数y=g(x)的图像由f(x)=s i n2x的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位得到,这两个函数的部分图像如图2-3所示,则φ=.结论十在әA B C 中,A B ң=c ,A C ң=b .若点D 满足B D ң=2D C ң,则A D ң=( ).A.23b +13c B .53c -23b C .23b -13c D.13b +23c 变式1 若在直线l 上存在不同的三点A ,B ,C ,使得关于实数x 的方程x 2O A ң+xO B ң+B C ң=0有解(点O 不在直线l 上),则此方程的解集为( ).A.∅B .{-1,0}C .{-1} D.-1+52,-1-52{}变式2 已知两个单位向量a ,b 的夹角为60ʎ,c =t a +(1-t )b ,若b ㊃c =0,则t =.结论十一第二篇常考二级结论及其应用在әA B C 中,M 是B C 的中点,AM =3,B C =10,则A B ң㊃A C ң=.变式1 在әA B C 中,设P 0是边A B 上一定点,满足P 0B =14A B ,且对于边A B 上任一点P ,恒有P B ң㊃P C ңȡP 0B ң㊃P 0C ң,则( ).A .øA B C =90ʎB .øB AC =90ʎC .A B =A CD .A C =B C变式2 在R t әA B C 中,点D 是斜边A B 的中点,点P 为线段C D 的中点,则|P A |2+|P B |2|P C |2=( ).A .2B .4C .5D .10变式3 已知圆M :x 2+(y -1)2=1,圆N :x 2+(y +1)2=1,直线l 1,l 2分别过圆心M ,N ,且l 1与圆M 相交于点A ,B ,l 2与圆N 相交于上点C ,D ,点P 是椭圆y 24+x 23=1上的任意一动点,则P A ң㊃P B ң+P C ң㊃P D ң的最小值为 .结论十二已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 33-S 22=1,则数列{a n }的公差是( ).A.12B .1C .2 D.3变式1 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=100,S 100=10,则S 110=.结论十三在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列的前11项和S 11=( ).B .88C .143D .176变式1 在等差数列{a n }中,2(a 1+a 4+a 7)+3(a 9+a 11)=24,则此数列的前13项和S 13=().A .13B .26C .52D .156变式2 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45n +3(n ɪN *),则a 5b 5=( ).A .7B .8C .9D .10结论十四已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列1a n{}的前5项和为( ).A .158或5B .3116或5C .3116D .158变式1 在等比数列{a n }中,公比为q ,其前n 项和为S n .已知S 5=3116,a 3=14,则1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5=.变式2 等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知对任意的n ɪN *,点(n ,S n )均在函数y =b x+r (b >0且b ʂ1,b ,r 为常数)的图像上,求r 的值.变式3 设f (n )=3+33+35+37+ +32n +9n ɪΝ(),则f (n )=.第二篇常考二级结论及其应用结论十五设等比数列{an}的前n项和为S n,若S6S3=3,则S9S6=().A.2B.73C.83D.3变式1设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=().A.63B.45C.36D.27结论十六1高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积)2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a b y ax 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy axx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y ax x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y ax x ④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=⑤二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y ax 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2max 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-=14.任意满足r by ax nn=+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为ry by xax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，bax x f x =-∝+→])([lim 16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πabV 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中CB AC B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222b k a mb +21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S z A C y C B x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n )25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为22(k k 和)2,2(k k --，k <027.面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC 在平面α内的射影为△ABO ，分别记△ABC 的面积和△ABO 的面积为S 和S′，记△ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ=S′:S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线29.数列不动点：定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系)1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.定理2：设)0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，初值条件)(11a f a ≠(1)若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则qa pa k q a p a n n n n --⋅=----11（这里qca pca k --=）(2)若)(x f 只有唯一不动点p ，则k pa p a n n +-=--111（这里da ck +=2）定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 有两个不同的不动点21,x x ,且由)(1n n u f u =+确定着数列}{n u ,那么当且仅当a e b 2,0==时,2212111(x u x u x u x u n n n n --=--++30.(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N∈k (2)若πC B A =++，则：①2sin2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin C B AC B A C B A =++++②2sin2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin 4sin4sin 412sin 2sin 2sin C B A CB A ---+=++πππ⑤2sin2sin 2sin 4sin sin sin C B AC B A =++⑥2cot2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A=++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+(3)在任意△ABC 中，有：①812sin 2sin 2sin ≤⋅⋅C B A②8332cos 2cos 2cos≤⋅⋅C B A③232sin 2sin 2sin ≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos ≤++C B A⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A ⑩12tan 2tan 2tan222≥++C B A⑪32tan 2tan 2tan ≥++C B A⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A⑬332cot 2cot 2cot≥++C B A⑭3cot cot cot ≥++C B A (4)在任意锐角△ABC 中，有：①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A ②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A ③9tan tan tan 222≥++C B A ④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2H h =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么∠OAC ,∠BAC ,∠OAB 三角的余弦关系为：cos ∠OAC=cos ∠BAC ·cos ∠OAB (∠BAC 和∠OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2c b a -+35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=-立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OCOB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a 38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt ②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长)42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心OOC OB OA ⇔=0为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，1111()(----=N n N M N M n X D 49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n 项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n 50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n kn nC kC 53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心(4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+高考数学考前必备——二级结论1.任意的简单n 面体的内切球半径为3VS 表（V 是简单n 面体的体积，S 表是简单n 面体的表面积）. 2.在Rt ABC ∆中，C 为直角，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的内切圆半径为2a b c+−.3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的4倍. 4.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和.5.函数()f x 具有对称轴,()x a x b a b ==≠，则()f x 为周期函数且一个正周期为2||a b −.6.导数题常用放缩1xe x ≥+，111x x x x−−<≤−，(1)x e ex x >−. 7.点(,)x y 关于直线0Ax By C ++=的对称点坐标为22222()2(),A Ax By C B Ax By C x y A B A B ++++⎛⎫−− ⎪++⎝⎭8.若圆的直径端点为1122(,),(,)A x y B x y ，则圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y −−+−−=.9.椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的面积S ab π=.10.若,,,A B C D 是圆锥曲线上顺次的四点，则四点共圆（常用相交弦定理）的一个充要条件是：直线AC BD 、的斜率存在且不等于零，并有0AC BD k k +=（AC BD k k ，分别表示AC 和BD 的斜率） 11.已知椭圆方程为22221(0,0)x y a b a b +=>>，两焦点分别为12,F F ，设焦点三角形12PF F θ=,则22min cos 12(cos 12)e e θθ≥−=−.12.椭圆的焦半径（椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离）公式 1.20r a ex =±.13.椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>绕Ox 轴旋转所得的旋转体的体积为43V ab π=.14.过双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab . 15.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆与A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值. 16.过原点的直线与椭圆交于A,B 两点，椭圆上不与左右顶点重合的任一点与点A,B 构成的直线的斜率乘积为定值22(0)a a b b−>>.推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值22(0)a a b b−>>.17.抛物线焦点弦的中点，在准线上的摄影与焦点F 的连线垂直于该点的焦点弦. 18.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a （长半轴长）.19.对于任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两直线斜率之积为定值，两直线交曲线A,B 两点，则直线AB 恒过定点.20.y kx m =+与椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>相交于两点，则纵坐标之和为22222mb a k b +.21.{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，则数列{}n c 的前n 项和为2112(1)n n n c q c c S q +−+=−.22.在锐角三角形中，sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++23.在任意的ABC ∆内，都有tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅ 推论：在ABC ∆内，若tan tan tan 0A B C ++<,则ABC ∆为钝角三角形 24.正弦平方差公式：22sin sin sin()sin()αβαβαβ−=−+.25.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一个圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线），那么它的三条对边的交点在同一条直线上.26.,,A B C 三点共线⇔OD mOA nOC =+,1OB OD m n=+ （同除以m+n ）. 27.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，则222=2a b c AB AC +−⋅ .28.已知ABC ∆，O 为其外心，H 为其垂心，则OH OA OB OC =++ 29.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式为11kk n n kC nC −−=30.超几何分布的期望：若(,,),X H n N M 则()=nM E X N （其中MN为符合要求元素的频率），1()(1)(1)1M M n D X nN N N −=−−−.。

高中数学常考二级结论及其应用

{ } 例 1 设集合A = (x,y)x42 +y162 =1 ,B ={(x,y)|y=3x },则A ∩B 的子集的个数是( ).
A.4
B.3
C .2
D.1
变式1 已知集合A ={x|x2 -3x +2=0,x ∈ R} ,B ={x|0<x <5,x ∈ N} ,则满足条件A
⊆ C ⫋ B 的集合C 的个数为( ).
B.min[f(m ),f(m
+1)]>
1 4
C.min[f(m ),f(m
+1)]=
1 4
D.min[f(m ),f(m
+1)]≥
1 4
{ 变式3
设
max{f(x),g(x)}=
定义在
R
上的函数 f(x )满足 f(x )=
log2(1-x)(x ≤0) f(x -1)-f(x -2)(x
> 0),则 f(2017)=
( ).
A.-1
B.0
C.1
D.2
变式2
已
知
定
义
在
R
上
的
函
数f(x
)满
足f
æ èçx
+
3 2
ö
÷
ø
=
-f(x
),且f(-2)=f(-1)=
-1,f(0)=
(4)若f(x)=f(x +a)+f(x -a)
①
则f(x +a)=f(x +2a)+f(x)
②
① + ② 得,f(x)+f(x +a)=f(x +a)+f(x -a)+f(x +2a)+f(x),

高中数学常用二级结论

高中数学常用二级结论
高中数学中，常常会遇到一些二级结论，这些结论是在一级结论的基础上进行推理和拓展得到的。

下面列举几个常用的二级结论。

1. 三角形内角和定理：在任意三角形中，三个内角的和等于180度。

这个结论可以通过任意一条内角的补角与180度的关系来证明。

2. 三角形外角定理：在任意三角形中，一个三角形的外角等于其不相邻的两个内角之和。

这个结论可以通过利用内角和定理以及补角的性质来证明。

3. 相似三角形的性质：如果两个三角形的对应角相等，则称它们为相似三角形。

相似三角形有很多重要的性质，比如对应边的比例相等，对应边的长度成等比例等。

4. 三角形中位线定理：在任意三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段称为中位线，三条中位线交于一点，这个点被称为三角形的重心。

重心将每条中位线分成2：1的比例。

5. 圆的性质：圆是一个非常重要的几何形状，它具有很多特殊的性质，如切线与半径垂直，半径相等的弧对应的圆心角相等等。

6. 平行线的性质：平行线具有很多重要的性质，如平行线与直线交角为等角，平行线与平行线之间的对应角相等等。

这些二级结论在解决数学问题和证明过程中起到了重要的作用，掌握它们可以帮助我们更深入地理解和应用数学知识。

在学习过程中，我们应该通过推理和证明来加深对这些结论的理解，并运用它们解决各种问题。

高中高考数学所有二级结论《完整版》

高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩1+≥x e x、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx①过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222b k a mb +21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于123.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则tan θ=24.A 、B 、C 三点共线⇔nm n m +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的①ABC 在平面α内的射影为①ABO ，分别记①ABC 的面积和①ABO 的面积为S 和S′ ，记①ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则（这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k(2)若πC B A =++，则：①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++(3)在任意①ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++C B A⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角①ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A ③9tan tan tan 222≥++C B A④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么①OAC ,①BAC ,①OAB 三角的余弦关系为：cos①OAC=cos①BAC ·cos①OAB (①BAC 和①OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABCcb a -+35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e Λ 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长) 42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心 (3)O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M nX D 49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+。

高中数学常用二级结论

高中数学常用二级结论在高中数学的学习中，掌握一些常用的二级结论，往往能够帮助我们在解题时节省时间，提高效率。

下面就为大家介绍一些常见且实用的高中数学二级结论。

一、函数部分1、若函数＼（f(x)＼）的图像关于直线＼（x ＝ a\）对称，则＼（f(a ＋ x) ＝ f(a x)＼）；反之，若＼（f(a ＋ x) ＝ f(a x)＼），则函数＼（f(x)＼）的图像关于直线＼（x ＝ a\）对称。

这个结论在解决函数对称性问题时非常有用，例如判断函数的对称轴或者根据对称性来简化函数表达式。

2、若函数＼（f(x)＼）是偶函数，则＼（f(x) ＝ f(x)＼）；若函数＼（f(x)＼）是奇函数，则＼（f(x) ＝ f(x)＼）。

利用奇偶性可以简化函数的运算和分析函数的性质。

3、对于函数＼（f(x) ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a ＼neq 0\）），当＼（a ＞ 0\）时，函数在＼（x ＝＼frac{b}｛2a}＼）处取得最小值；当＼（a ＜ 0\）时，函数在＼（x ＝＼frac{b}｛2a}＼）处取得最大值。

这有助于快速找到二次函数的最值点。

二、三角函数部分1、在三角形＼（ABC\）中，＼（A ＋ B ＋ C ＝＼pi\），则＼（sin(A ＋ B) ＝ sinC\），＼（cos(A ＋ B) ＝ cosC\）。

这对于在三角形中求解三角函数值很有帮助。

2、＼（sin^2\alpha ＋ cos^2\alpha ＝ 1\），＼（tan\alpha ＝＼frac{sin\alpha}｛cos\alpha}＼）（＼（cos\alpha ＼neq 0\））。

这是三角函数中最基本的恒等式，许多问题的解决都基于此。

3、＼（sin(2k\pi ＋＼alpha) ＝ sin\alpha\），＼（cos(2k\pi ＋＼alpha) ＝ cos\alpha\）（＼（k ＼in Z\））。

周期性是三角函数的重要性质之一，这个结论可以帮助我们快速化简一些复杂的三角函数表达式。

[全]高考高中数学必考50个二级结论总结

高考高中数学必考50个二级结论总结
5. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和.
12. 过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点.
13. 圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导.
推论：
14.切点弦方程：平面弦方程.
(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心；
(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.
32. 角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线.
39. 帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上.
22. 过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值.
24. 抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F的连线垂直于该焦点弦.
25. 双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a(长半轴长).
26. 对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两直线斜率之积为定值，两直线交曲线于A，B两点，则直线AB恒过定点.
45. 三角形五心的一些性质：
(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；
(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
(4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心；
(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心；

高考二轮复习文科数学课件培优拓展9圆锥曲线的常用二级结论及其应用

2
连的两直线的斜率之积为定值 2 .
M 与过双曲线中心的弦的两端点所
推论1证明如下:如图,由椭圆的“垂径定理”,得kAM·kMB=kAM·kON=
可证推论2.
2
- 2

.同理
2
2
例 1(1)(2023 陕西渭南二模)已知直线 l 过双曲线 C:x - =1 的左焦点 F 且与
2
C 的左、右两支分别交于 A,B 两点,设 O 为坐标原点,点 P 为 AB 的中点,若
x+ 2y-2 2=0.
(方法二利用椭圆的“垂径定理”)设直线 l 的方程为 y=kx+m,k<0,m>0,则

M(- ,0),N(0,m),设线段
AB 的中点为 E,又|MA|=|NB|,则线段 MN 的中点也为

1
1
2
2 1
E,所以 E(- , ).由结论 kOE·
kAB=kOE·

E(-2 , 2 ).因为|MN|=2
= + ,
2
6
2
+ 3
= 1,
消去 y,整理得(1+2k2)·
x2+4mkx+2m2-6=0,其中
Δ=(4mk) -4(1+2k )(2m -6)>0,即 6k -m +3>0,x1+x2=2
2
2
2
2
4
1+2
点 E 的横坐标 xE=-
1
1+

2-1)
-1
,可得+1=3-2
2
tan 22.5°= 2-1,则 tan2∠MA1A2

常考二级结论及其应用(含答案)

(1)如果f(x +a)=-f(x)(a ≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期 T =2a;
(2)如果f(x +a)=f(1x)(a ≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期 T =2a; (3)如果f(x +a)+f(x)=c(a ≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期 T =2a; (4)如果f(x)=f(x +a)+f(x -a)(a ≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期 T =6a. 证明 :(1),(2),(3)略 .
-f[(x +4a)-a]=-f(x +3a)= -f[(x +a)+2a]=f[(x +a)-a]=f(x).
故f(x)是周期函数,其中的一个周期 T =6a.
6
已知
函数
f(x)满
足 :f(5)=
1 4
,4f(x)f(y)=f(x
+y)+f(x
-y)(x,y
∈
R),
则f(2015)=
.
{ 变式1
{ } A. 1,1 5
{ } B.
1 ,1 23
{ } C. 0,1,15
{ } D. 0,12,13
࢝ଌབྷᆓ
临门一脚(含密押三套卷)(理科版)
结论二
交、并、补 (且、或、非 )之间的关系 (德 · 摩根定律 ). (1)集合形式:∁I(A ∩ B)= (∁IA ) ∪ (∁IB ) ,∁I(A ∪ B)= (∁IA ) ∩ (∁IB ) ; (2)命题形式:��(p ∧q)=(��p)∨ (��q),��(p ∨q)=(��p)∧ (��q).

高中高考数学所有二级结论《完整版》(经典实用)

高中高考数学所有二级结论《完整版》（经典实用）
一、绝对值的性质：
1、绝对值的值总是非负的，即
|a|≥0
2、绝对值的值等于它的相反数的绝对值，即
|-a|= |a|
3、如果a和b为两个实数，则
|a+b|≤|a|+|b|
4、绝对值的值等于双端括号内括号内的表达式的实部，即
|a+bi|=√(a^2+b^2)
若a≥0，则|a^n|=a^n
6、幂律性质：
若a≠0，则
|a^m/a^n|=|a|^m-n 或|a|^n-m
7、约分式的绝对值性质：对于幂的约定法则有
二、不等式的性质：
1、交换律：
若x＞y，则y＜x
2、累加律：
(1)、ax＞ay，其中x＞y
(1)、a mod b＞0
6、乘方不等式：
若x≥0，n为奇数，则
(1)、x^n＞0
若x>1，y>0，则
三、函数的性质：
1、一次函数的特点：
若f(x)为一次函数，则对于任意x1，x2∈D，都有：
f(x1)＞f(x2)，当且仅当x1＞x2
2、函数的上下界：
设f(x)在[a,b]上存器，M为f(x)在[a,b]上的最⼤值，m为f(x)在[a,b]上的最⼤值，则称M为f(x)在[a,b]上的上⼤界，m为f(x)在[a,b]上的下⼤界
3、函数的最⼤值：
若f(x)在[a,b]上有最⼤值m，则在[a,b]上必存器⼤个使f(x)的导数为0的点x1，
满⼤f′(x1)=0。

《常考二级结论及其应用》文科版含答案

2 ( ) x+1 + s i n x 的最大值为 M , 最小值为 m , 则 M +m = . 2 x +1 x , ) 变式 1 设f( 为定义在 R 上的奇函数. 当xȡ 则f( x) 0时, x) = 2 + 2 x+ b( b 为常数) 1 =( f(
, ( , ( 则 f( 所以 f( x) x0) x0) ȡf( x) xɪD ) -x0) =-f( x0) ɤ-f( x) =f( -x) -xɪ m a x= f( f( , 即f( 由 f( 得 f( D) x) -x0) . x0) +f( -x0) =0, x) x) . m i n= m a x+ m i n=0 f( f( 设函数 f( x) = ) .
例4
æ 1ö ) 变式 2 已知函数 f( 则 f( x) = l n( 1+9 l 2 +f ç l g g ÷ =( x2 -3 x ) +1, è 2ø A. -1 B. 0 C. 1
A. 3
B. 1
C. -1
D. -3 D. 2
) .
结论五
, 函数的周期性问题 : 已知定义在 R 上的函数 f( 若对任意的 xɪR, 总存在非零常数 T , 使得 x) ( ) ( ) , ( ) , , 除周期函数的定义外还有一些常见的 f x+T =f x 则称 f x 是周期函数 T 为其一个周期 . 与周期函数有关的结论 : ( ) ( ) , 如果 f( 那么 f( 是周期函数 , 其中的一个周期 T =2 1 x+ a) =-f( x) aʂ0 x) | a |; 1 ( ) ( ) , 如果 f( 那么 f( 是周期函数 , 其中的一个周期 T =2 2 x+ a) = () aʂ0 x) | a |; fx ( ) ) , 如果 f( 那么 f( 是周期函数 , 其中的一个周期 T =2 3 x+ a) +f( x) = c( aʂ0 x) | a |.

《常考二级结论及其应用》文科版

常考二级结论及其应用纵观中学数学教材,基本上是由题组成的(除了部分概念的介绍),而高考试题大部分都源于教材.编教材离不开题,授课离不开题,学数学离不开题,考试更离不开题.实际上,高考试题大都是通过对教材例题和习题加工㊁改造㊁引申㊁推广而成的.不仅如此,试题的表示方式和语言表达也尽可能与教材保持一致,使考生有一种似曾相识的感觉,所以我们要仔细琢磨,把教材上的题研究到位.结合高考真题,最终我们独创了题型+模型的全新教学法.在本篇中,我们把高考试题中经常出现而且教材上有所体现的部分二级结论呈现给大家,部分结论对学生的解题有很好的指导作用,同时对演算结果有精准的验证作用,以使同学们在解答高考题时能做到准确㊁快捷.结论一设集合A =(x ,y )x 24+y 216=1{},B =(x ,y )|y =3x{},则A ɘB 的子集的个数是( ).A.4B .3C .2 D.1变式1 已知集合A =x |x 2-3x +2=0,x ɪR {},B =x |0<x <5,x ɪN {},则满足条件A ⊆C ⫋B 的集合C 的个数为( ).A.1B .2C .3D.4结论二已知M ,N 为集合I 的非空子集,且M ,N 不相等,若N ɘ∁IM =∅,则M ɣN =( ).B .N C .I D .∅变式1 已知集合P =x |x 2ɤ1{},M ={a },若P ɣM =P ,则a 的取值范围是( ).A .(-ɕ,-1]B .[1,+ɕ)C .[-1,1]D .(-ɕ,-1]ɣ[1,+ɕ)变式2 设集合A =x |x 2-6x +5=0{},B =x |a x -1=0{},若A ɘB =B ,则实数a 所有可能取值组成的集合C 为( ).A .1,15{}B .12,13{}C .0,1,15{}D .0,12,13{}结论三设全集U ={a ,b ,c ,d },集合A ={a ,b },B ={b ,c ,d },则∁U A ()ɣ∁UB ()=.变式1 若全集U ={1,2,3,4,5,6},集合M ={2,3},N ={1,4},则集合{5,6}等于( ).A .M ɣNB .M ɘNC .∁U M ()ɣ∁U N ()D .∁U M ()ɘ∁U N ()变式2 已知全集U =A ɣB 中有m 个元素,∁U A ()ɣ∁UB ()中有n 个元素.若A ɘB 非空,则A ɘB 的元素个数为( ).A .m nB .m +nC .n -mD .m -n结论四设函数f (x )=(x +1)2+s i n xx 2+1的最大值为M ,最小值为m ,则M +m =.变式1 设f (x )为定义在R 上的奇函数.当x ȡ0时,f (x )=2x+2x +b (b 为常数),则f (-1)=( ).A .3B .1C .-1D .-3变式2 已知函数f (x )=l n 1+9x 2-3x ()+1,则f (l g 2)+f l g 12æèçöø÷=( ).A .-1B .0C .1D .2结论五已知函数f (x )对任意实数x 都满足f (x +2)=1f (x),若f (3)=5,则f (2017)=.变式1 已知定义在R 上的函数f (x )满足f x +32æèçöø÷=-f (x ),且f (-2)=f (-1)=-1,f (0)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+ +f (10)+f (11)=( ).A .-2B .-1C .0D .1结论六对于定义域为[0,1]的连续函数f (x ),如果同时满足以下3个条件:对任意的x ɪ[0,1]总有f (x )ȡ0;②f (1)=1;③若x 1ȡ0,x 2ȡ0,x 1+x 2ɤ1,都有f (x 1+x 2)ȡf (x 1)+f (x 2)成立,则称函数f (x )为理想函数.若函数f (x )为理想函数,假定存在x 0ɪ[0,1],使得f (x 0)ɪ[0,1],且f f (x 0)[]=x 0.求证:f (x 0)=x 0.变式1 设函数f (x )=e x+x -a (a ɪR ,e 为自然对数的底数),若存在b ɪ[0,1],使f [f (b )]=b 成立,则a 的取值范围是( ).A .[1,e ]B .[1,1+e ]C .[e ,1+e ]D .[0,1]变式2 若函数y =l o g a (x 2-a x +1)(a >0且a ʂ1)在(1,2)上为增函数,则实数a 的取值范围是.第二篇常考二级结论及其应用结论七已知a>0,则x0满足关于x的方程a x=b的充要条件是().A.∃xɪR,12a x2-b xȡ12a x20-b x0B.∃xɪR,12a x2-b xɤ12a x20-b x0C.∀xɪR,12a x2-b xȡ12a x20-b x0D.∀xɪR,12a x2-b xɤ12a x20-b x0变式1已知函数f(x)=x2+a x+b(a,bɪR)的值域为[0,+ɕ),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为.变式2定义m i n[f(x),g(x)]=f(x),f(x)ɤg(x)g(x),f(x)>g(x){,若函数f(x)=x2+t x+s的图像经过两点(x1,0),(x2,0),且存在整数m,使得m<x1<x2<m+1成立,则().A.m i n[f(m),f(m+1)]<14B.m i n[f(m),f(m+1)]>14C.m i n[f(m),f(m+1)]=14D.m i n[f(m),f(m+1)]ȡ14结论八已知函数f(x)=1l n(x+1)-x,则y=f(x)的图像大致为().变式1已知函数f(x)=e x,xɪR.求证:曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点.变式2设函数f(x)=1-e-x.求证:当x>-1时,f(x)ȡx x+1.第二篇常考二级结论及其应用结论九已知函数f(x)=A s i n(ωx+φ)的图像如图2-2所示,fπ2æèçöø÷=-23,则f(0)=().A.-23B.23C.-12D.12图2-2图2-3变式1已知函数y=g(x)的图像由f(x)=s i n2x的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位得到,这两个函数的部分图像如图2-3所示,则φ=.结论十在әA B C 中,A B ң=c ,A C ң=b .若点D 满足B D ң=2D C ң,则A D ң=( ).A.23b +13c B .53c -23b C .23b -13c D.13b +23c 变式1 若在直线l 上存在不同的三点A ,B ,C ,使得关于实数x 的方程x 2O A ң+xO B ң+B C ң=0有解(点O 不在直线l 上),则此方程的解集为( ).A.∅B .{-1,0}C .{-1} D.-1+52,-1-52{}变式2 已知两个单位向量a ,b 的夹角为60ʎ,c =t a +(1-t )b ,若b ㊃c =0,则t =.结论十一第二篇常考二级结论及其应用在әA B C 中,M 是B C 的中点,AM =3,B C =10,则A B ң㊃A C ң=.变式1 在әA B C 中,设P 0是边A B 上一定点,满足P 0B =14A B ,且对于边A B 上任一点P ,恒有P B ң㊃P C ңȡP 0B ң㊃P 0C ң,则( ).A .øA B C =90ʎB .øB AC =90ʎC .A B =A CD .A C =B C变式2 在R t әA B C 中,点D 是斜边A B 的中点,点P 为线段C D 的中点,则|P A |2+|P B |2|P C |2=( ).A .2B .4C .5D .10变式3 已知圆M :x 2+(y -1)2=1,圆N :x 2+(y +1)2=1,直线l 1,l 2分别过圆心M ,N ,且l 1与圆M 相交于点A ,B ,l 2与圆N 相交于上点C ,D ,点P 是椭圆y 24+x 23=1上的任意一动点,则P A ң㊃P B ң+P C ң㊃P D ң的最小值为 .结论十二已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 33-S 22=1,则数列{a n }的公差是( ).A.12B .1C .2 D.3变式1 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=100,S 100=10,则S 110=.结论十三在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列的前11项和S 11=( ).B .88C .143D .176变式1 在等差数列{a n }中,2(a 1+a 4+a 7)+3(a 9+a 11)=24,则此数列的前13项和S 13=().A .13B .26C .52D .156变式2 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45n +3(n ɪN *),则a 5b 5=( ).A .7B .8C .9D .10结论十四已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列1a n{}的前5项和为( ).A .158或5B .3116或5C .3116D .158变式1 在等比数列{a n }中,公比为q ,其前n 项和为S n .已知S 5=3116,a 3=14,则1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5=.变式2 等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知对任意的n ɪN *,点(n ,S n )均在函数y =b x+r (b >0且b ʂ1,b ,r 为常数)的图像上,求r 的值.变式3 设f (n )=3+33+35+37+ +32n +9n ɪΝ(),则f (n )=.第二篇常考二级结论及其应用结论十五设等比数列{an}的前n项和为S n,若S6S3=3,则S9S6=().A.2B.73C.83D.3变式1设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=().A.63B.45C.36D.27结论十六过点(3,1)作圆(x -1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线A B 的方程为( ).y -3=0B .2x -y -3=0C .4x -y -3=0D .4x +y -3=0变式1 已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线a x +b y =1与圆O 的位置关系是( ).A .相切B .相交C .相离D .不确定变式2 若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的焦点在x 轴上,过点1,12æèçöø÷作圆x 2+y 2=1的切线,切点分别为A ,B ,直线A B 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 .结论十七直线m 与椭圆x 22+y 2=1分别交于点P 1,P 2,线段P 1P 2的中点为P ,设直线m 的斜率为k 1(k 1ʂ0),直线O P 的斜率为k 2,则k 1㊃k 2的值为( ).A .2B .-2C .12D .-12变式1 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线与此抛物线相交于P ,Q 两点,那么线段P Q 中点的轨迹方程是( ).A .y 2=2x -1B .y 2=2x -2C .y 2=-2x +1D .y 2=-2x +2变式2 若直线x -y =2与抛物线y 2=4x 交于A ,B 两点,则线段A B 的中点坐标是 .变式3 若焦点是0,ʃ22()的椭圆截直线3x -y -3=0所得弦的中点的横坐标为12,则椭圆方程为 .结论十八已知椭圆C :x 24+y 23=1,A 为椭圆上的定点,其坐标为A 1,32æèçöø÷,E ,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线A E 的斜率与A F 的斜率互为相反数.求证:直线E F 的斜率为定值,并求出这个定值.变式1 已知抛物线C :y 2=2x ,定点P (8,4)在抛物线上,设A ,B 是抛物线上的两个动点,直线P A ,P B 的斜率分别为k P A ,k P B ,且满足k P A +k P B =0.求证:直线A B 的斜率k A B 为定值,并求出该定值.结论十九A B为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.变式1已知抛物线y2=2p x(p>0)上异于顶点的两动点A,B满足以A B为直径的圆过顶点.求证: A B所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.变式2如图2-9所示,O为坐标原点,直线l在x轴上的截距为a(a>0)且交抛物线y2=2p x(p>0)于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.当a=2p时,求证:øM O N=π2.图2-9结论二十已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若㊃M Bң=0,则k=().A.12B.22.2D.2变式1过抛物线y2=2p x(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N两点,自点M,N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为点M1,N1.当a=p2时,求证:AM1ʅA N1.结论二十一如图2-12所示,F 1,F 2是椭圆C 1:x 24+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二㊁四象限的公共点.若四边形A F 1B F 2为矩形,则C 2的离心率是( ).A.2B .3.32D.62图2-12变式1 已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且P F 1ңʅP F 2ң.若әP F 1F 2的面积为9,则b =.变式2 F 1和F 2是椭圆x 24+y 2=1的两个焦点,P 是椭圆上的一点,当әF 1F 2P 的面积为1时,P F 1ң㊃P F 2ң= .变式3 已知双曲线x 2-y 22=1的焦点为F 1,F 2,点M 在双曲线上且M F 1ң㊃M F 2ң=0,则点M 到x 轴的距离为( ).A .43B .53C .233D .3。