九年级数学等腰梯形的性质和判定
苏科版九年级上1.4等腰梯形的性质和判定
B
C
自主展示
1．证明：两条对角线相等的梯形是等腰梯形．
2．证明：等腰梯形一底的中点到另一底两端的
距离相等．
3．若等腰梯形两底之差等于一腰的长，求腰 与两底夹角的度数．
自主拓展
如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5， AD=6，BC=12．动点P从D点出发沿DC以每秒1个单 位的速度向终点C运动，动点Q从点C出发沿CB以每 秒2个单位的速度向点B运动，两点同时出发，当点P 到达C点时，点Q随之停止运动． （1）梯形ABCD的面积是 ； （2）当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于 秒 （3）当P、Q、C三点构成直角三角形时，P点离开 A D D点几秒？
A
D
C
自主合作
（方法一：） 分析：因为∠B和∠C不在同一个三角形内，所 以考虑延长BA、CD交于点E，构造一个 以∠B、∠C为底角的等腰三角形，由于 AD∥BC，则△EAD也是等腰三角形， 从而 EB=EC,EA=ED,得出AB=CD.
E
A D
B
①
C
自主合作
（方法二：） 分析：如图②，过点D作DE∥AB，交BC 于E，得∠DEC=∠B=∠C，所以得 DE=DC .
A D
B
E ②
C
自主合作
（方法三：） 分析：如图③作高AE、DF，通过证 Rt△ABE ≌ Rt△DFC推出AB=DC．
A
D
B
E
F
C
③
自主合作
（一）等腰梯形的性质 1.定理： 等腰梯形在同一底上的两个角相等． 等腰梯形的两条对角线相等． 2.如何证明这两个性质定理？ 已知：在梯形ABCD中，AD∥BC ，AB=DC. 求证：AC=BD ．． ∠B=∠C
九年级数学上册 等腰梯形的性质与判定导学案 苏科版
等腰梯形的性质和判定一．学习目标：1．能证明等腰梯形的性质定理和判定定理，并能用之解决问题；2．经历证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径；3．感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法．二．学习重点：等腰梯形的性质和判定；学习难点：转化思想．以及正确的添加辅助线．三．教学过程（一）预习自学：我们曾用等腰三角形剪出了等腰梯形并探索得到等腰梯形的性质和判定，请你回忆等腰梯形的相关知识．1．等腰梯形定义：_______________________________的图形叫做等腰梯形．2．根据上图，我们得知了等腰梯形的一个性质：______________________________．同样我们也可以通过图①、图②得到这样的性质，你知道这些线是如何添加的吗？有何帮助？ 图①______________________________．图②______________________________．3．若按照图③________________________的添法，我们又能得到一个性质：________ _____．4．等腰梯形性质：①________ _____；②________ _____．5．等腰梯形的判定：________________________________________________ ________________________ （二）探索活动：1. 若等腰梯形的一个锐角为40°，则其他三个角的度数分别是________ _____．变式1：若等腰梯形两角之和为100°，则等腰梯形的四个角度数分别是________ _____． 思考：有两个内角．．相等的梯形是________ _____． ①通过“平移一腰．．．．”找寻等腰梯形的边角关系．已知等腰梯形的上底是4cm ，下底是10cm ，一个底角是60°，则腰长为______ __．变式1： 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝4，∠C ＝70°，∠B ＝40°，则AB 的长为______ ． 变式2：如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝5，AD ＝2，BC ＝7，则∠B ＝_____ 变式3：如图2，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠A ＋∠B =90°．若AB =10，AD =4，DC =5，则梯形ABCD 的面积为 ．②熟记一个常规的题型．图① 图② 图③ 的梯形．．是等腰梯形 图1 图2梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=AD =2，∠B =60°，则下底BC 的长是 .变式1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD =CD . 若∠ABC =60°，BC =12，则梯形ABCD 的周长为 .变式2：如图2，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DB ⊥AD ，AD =DC =BC =2cm ，那么梯形ABCD 的面积是 ．变式3：如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，BD 平分∠ABC ，∠A ＝60°．（1）求∠ABD 的度数；（2）若AD ＝2，求对角线BD 的长．变式4：如图4，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，∠ABD =30°，AC ⊥BC , AB ＝8cm ，则△COD 的面积为 ．（三）典型例题：③通过“平移对角线．．．．．”找寻梯形两条对角线与两底和关系． 如右图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AC ＝6，BD ＝8．Ⅰ．AD ＋BC ＝ ．Ⅱ．梯形ABCD 的高＝ ．Ⅲ．S 梯形ABCD ＝ ．变式1．如图1，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ．若CD ＝3，AB ＝5，则AC 的长为 ．变式2．如图2，在等腰梯形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC ＝6cm ，则等腰梯形ABCD 的面积为_____cm 2. 变式3．如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 于点O ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AD ＝4，BC ＝8，则AE ＋EF 等于 ．（四）课堂作业：A 组：1．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AD 延长线上一点，DE ＝BC ．（1）求证：∠E ＝∠DBC ； 图1 图2 图 3 图4图1 图2 图3 A B CD EDC BA （2）判断△ACE 的形状（不需要说明理由）．2．如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上的一个动点（点E 不于B 、C 两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．（1）求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；（2）请将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG 的周长等于2OB ”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明3．如图，是小红设计的钻石形商标，△ABC 是边长为2的等边三角形，四边形ACDE 是等腰梯形，AC ∥ED ，∠EAC =60°，AE =1．（1）证明：△ABE ≌△CBD ；（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；（3）小红发现AM =MN =NC ，请证明此结论；（4）求线段BD 的长．4．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =3cm ，BC =7cm ，∠B =60°，P 为下底BC 上一点(不与B 、C 重合)，连结AP ，过P 点作PE 交DC 于E ，使得∠APE =∠B .（1）求证：△ABP ∽△PCE .（2）求等腰梯形的腰AB 的长.B 组：1将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD ，则四边形ABCD 的形状是 ．依据： ．2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC边的中点，EM⊥AB，EN⊥CD，垂足分别为M、N且 EM=EN．求证：梯形ABCD是等腰梯形3．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=900，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿AD边以1cm/秒的速度向D运动，动点Q从C点开始沿CB边以3cm/秒的速度向B运动，P、Q 分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，t 分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形、等腰梯形?5．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．。
学案等腰梯形的判定和性质
3.若等腰梯形两底之差等于一腰长，那么这个梯形的一内角是（ ）
四.积累与总结
1.本节课你认为自己解决的最好问题是什么？
2.本节课学完后你知道等腰梯形有哪些性质和判定？
3.梯形中有哪些重要辅助线？
五.课堂检测.
（4）观察你自己画的梯形，我们在共同探讨一下，梯形还有那些性质？
提示：类比平行四边形的性质，从边、角、对角线方面去考虑。
可得出等腰梯形的两条的对角线相等。
教学反思
第1页
九年级数学学科等腰梯形的判定和性质学案10月10日 主备：陈晓丽
学习内容
等腰梯形的判定和性质
教学导引
2.证明：等腰梯形的两条对角线相等。
学生自己完成，小组讲评。总结等腰梯形有哪些性质。
3.提出问题：（1）等腰梯形在同一底上的两个角相等的逆命题是什么？
他成立吗？如果成立，请证明。
三.巩固应用.
1.在梯形ABCD中，AD∥BC，若AC=BD，求证：AB=CD
1.在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=3,BD=4,AC⊥BD,求梯形ABCD的面积。
学习目标
能够运用综合法证明等腰梯形的判定和性质
重点
等腰梯形的判定和性质
难点
探索寻求பைடு நூலகம்理的证明过程
一.巧设现实情景，引入新课
在前面我们已经学习了平行四边形，知道了两边平行的四边形是平行四边形，我们同学回想一下，我们生活有哪些四边形是一边平行，而另一边不平行？这类图形是什么图形呢？什么是等腰梯形呢？这就是我们这节课学习的等腰梯形的判定和性质。
二.探究新知（合作学习）
1.证明：等腰梯形在同一底上的两个角相等。
九年级数学等腰梯形的性质和判定
九年级数学等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线华东师大版知识精讲
九年级数学等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线1. 等腰梯形：性质：等腰梯形的同一底边上的两个内角相等。
等腰梯形的两条对角线相等。
判定：同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形，两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
2. 三角形的中位线定义：我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
3. 梯形的中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
定理：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。
【典型例题】例1. 已知等腰梯形ABCD 中，AB=CD ，∠===B AD cm BC cm 601549°，，，求它的腰长。
A D分析：要求腰长，也就是求AB 的长，通过作辅助线将已知条件集中到一个三角形中，过A 作AE//CD 交BC 于E ，得到一个平行四边形AECD 和△ABE ，易知△ABE 是等边三角形，由BE=BC －AD ，这样问题就解决了。
解：过A 作AE//DC 交BC 于E∵四边形ABCD 是等腰梯形 ∴∠=∠=B C 60°又∵AD//BC ，AE//DC ∴四边形AECD 是平行四边形。
∴====∴=AD EC cm AE DCAB CD AB AE 15，，∴△ABE 是等边三角形。
又 BC cm =49∴=-=∴==BE cm AB BE cm49153434() A DC例2. 已知：如图所示，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC=BC+AD ，求∠DBC 的度数。
分析：由等腰梯形的性质得AC=BD ，又题设与对角线有关，考虑平移对角线BD 到AE 的位置，则∠=∠DBC E ，需求∠E ，猜想△ACE 是等边三角形。
解：过A 作AE//BD 交CB 的延长线于E ，则四边形AEBD 是平行四边形。
∴==∴=+=+=AE DB AD BE CE BC BE BC AD AC， ∵梯形ABCD 是等腰梯形。
九年级数学等腰梯形的性质和判定(PPT)3-3
等腰梯形的判定定理：
在同一底上的两个角相等的梯形 是等腰梯形．
学习目标：
1、会能证明等腰梯形的性质定理和判定定理。 2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展思考能力。 3、经历证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情
推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。 4、感受探索活研究指出：“每餐只吃马铃薯和全脂牛奶就可获得人体所需要的全部营养元素”，可以说：“马铃薯是接近全价的营养食 物。” [] 但是，马铃薯中所含氧化酶和茄素等直接影响了马铃薯的加工和食用。氧化酶主要有过氧化酶、细胞色素氧化酶、酪氨酸酶、葡萄糖氧化酶、抗坏 血酸氧化酶等，这些酶； 炒股配资 ； 主要分布在马铃薯能发芽的部位。马铃薯在空气中的褐变就是其氧化底物绿原酚和酪 氨酸在氧化酶的参与下发生的生化反应。茄素是一种含氮配糖体，很难溶于水，有剧毒。马铃薯的茄素含量以未成熟的块茎为多，占鲜重的.%～.8%。如果 每g鲜块茎中茄素含量达到了mg，食用后人体就会出现中毒症状。因此，在块茎发芽和表皮变绿时一定要把芽和芽眼挖掉，把绿色部分去除干净后才能食用。 [] 经济价值 马铃薯产量高、营养丰富，是粮、菜、饲、工业原料兼用 马铃薯 马铃薯 的农作物。在我国东北的南部、华北和华东地区，马铃薯作为早春蔬菜 成为农村致富的重要作物；在华东的南部和华南大部，马铃薯作为冬种作物与水稻轮作，鲜薯出口可以获得极大的经济效益；在西北地区和西南山区，马铃 薯作为主要的粮食作物发挥着重要的作用。 [] 近几年来，马铃薯食品加工、淀粉加工业迅速发展。在食品加工业中，以马铃薯为原料，可加工成各种速冻方 便食品和休闲食品，如脱水制品、油薯片、速冻薯条、膨化食品等，同时其还可深加工成果葡糖浆、柠檬酸、可生物降解塑料、黏合剂、增强剂及医上的多 种添加剂等。 [] 马铃薯淀粉在世界市场上比玉米淀粉更有竞争力，马铃薯高产国家将大约总产量的%用于淀粉加工，全世界淀粉产量的%来自马铃薯。马铃 薯淀粉与其他作物的淀粉相比，马铃薯淀粉糊化度高、糊化温度低、透明度好、黏结力强、拉伸性大。马铃薯变性淀粉在许多领域都有应用，如衍生物的加 工、生产果葡糖浆、制取柠檬酸、生产可生物降解的塑料等。 [] 据专家测算：马铃薯加工成普通淀粉可增值一倍，特种淀粉可增值十几倍，生产生物胶可增 值多倍，加工成油薯条、薯片、膨化食品可增值～倍。 [] 用及保健价值 马铃薯不但营养价值高，而且还有较广泛的用价值。我国中医学认为，马铃薯有和 胃、健脾、益气的功效，可以预防和治疗多种疾病，还有解毒、消炎之功效。 [] ⒈预防中风 马铃薯中含有丰富的B族维生素和优质纤维素，这在延缓人体衰 葱油洋芋擦擦 葱油洋芋擦擦 老过程中有重要作用。马铃薯富含的膳食纤维、蔗糖有助于防治消化道癌症和控制血液中胆固醇的含量。马铃薯中
中考数学专题二十二：梯形(含详细参考答案)
中考数学专题复习第二十二讲梯形【基础知识回顾】一、 梯形的定义、分类、和面积：1、定义：一组对边平行，而另一组对边的四边形，叫做梯形。
其中，平行的两边叫做两底间的距离叫做梯形的2、分类：梯形3、梯形的面积：梯形= （上底+下底） X 高【赵老师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有一组对边外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】二、等腰梯形的性质和判定：1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等，相等⑵等腰梯形的对角线⑶等腰梯形是对称图形一般梯形特殊梯形等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形2、判定：⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等⑵同一底上两个角的梯形是等腰梯形⑶对角线的梯形是等腰梯形【赵老师提醒：1、梯形的性质和判定中同一底上的两个角相等“不被成”两底角相等2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形3、解决梯形问题的基本思路是通过做辅助线将梯形转化为形式常见的辅助线作法有要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】【重点考点例析】考点一：梯形的基本概念和性质例1 （2012•内江）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，则S梯形ABCD= 9．思路分析：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B 作BF⊥DC于点F，判断出△BDE是等腰直角三角形，求出BF，继而利用梯形的面积公式即可求解．解答：解：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B 作BF⊥DC于点F，则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6，又∵BD=AC 且BD⊥AC，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BF=DE=3，故可得梯形ABCD的面积为（AB+CD）×BF=9．故答案为：9．点评：此题考查了梯形的知识，平移一条对角线是经常用到的一种辅助线的作法，同学们要注意掌握，解答本题也要熟练等腰直角三角形的性质，难度一般．对应训练1.（2012•无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED 的周长等于（）A．17B．18C．19D．201．考点：；．分析：由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD，继而求得答案．解答：解：∵CD的垂直平分线交BC于E，∴DE=CE，∵AD=3，AB=5，BC=9，∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．考点二：等腰梯形的性质例2 （2012•呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（）A．25B．50C．25 D．思路分析：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC 于F，证平行四边形ADEC，推出AC=DE=BD，∠BDE=90°，根据等腰三角形性质推出BF=DF=EF= BE，求出DF，根据梯形的面积公式求出即可．解答：解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，∵AD∥BC （已知），即AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE=3，AC=DE，在等腰梯形ABCD中，AC=DB，∴DB=DE （等量代换），∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE，∴△BDE是等腰直角三角形，作DF⊥BC于F，则DF=BE=5，S梯形ABCD=（AD+BC）•DF=（3+7）×5=25，故选A．点评：本题主要考查对等腰三角形性质，平行四边形的性质和判定，等腰梯形的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出高DF的长是解此题的关键．对应训练2．（2012•厦门）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，若OB=3，则OC= 3．2．3考点：．分析：先根据梯形是等腰梯形可知，AB=CD，∠BCD=∠ABC，再由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DCB，由全等三角形的对应角相等即可得出∠DBC=∠ACB，由等角对等边即可得出OB=OC=3．解答：解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠BCD=∠ABC，在△ABC与△DCB中，∵,∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∴OB=OC=3．故答案为：3．点评：本题考查的是等腰梯形的性质及全等三角形的判定与性质，熟知在三角形中，等角对等边是解答此题的关键．考点三：等腰梯形的判定例3 （2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．考点：；；．分析：（1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，继而证得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AG⊥BE 于点G，易得△ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积．解答：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=，∴S菱形AECD=EC•AG=2×=2。
苏科版九年级数学等腰梯形的性质和判定3
过
程
解决 梯形 问题 的基 本思 想和 方法 就是 通过 添加 适当 的辅 助线， 把梯 形问 题转 化为 已经 熟悉 的平 行四 边形 和三 角形 问题 来解 决．
小结：（以提问的方式总结） （1）梯形性质和判定定理 （2）解决梯形问题的基本思想和方法． （3）解决梯形问题时，常用的几种辅助线． 板书设计
标题 一、等腰梯形的判定定理 例 1 ----------------------二、等腰梯形的性质定理 性质 1——————— 例 2-------------------------性质 2———————— 三、解决梯形问题常用的方法 方法的说明
教 后 记
教
分析： 要证 理得出 ，即可得出
， 只要用等腰梯形的性质定 ，然后再利用 ．
解决梯形问题常用的方法
学
在证明梯形性质定理时，我们采取的方法是 过点 作 交 于 ，从而把梯形问 题转化成三角形来解，实质上是相当于把采取 平行移动到 的位置， 这种方法叫做平行 移动（也可移对角线），这是解决梯形问题常用 的方法之—（1）“作高”：使两腰在两个直角 让 学 生 想 一 三角形中． 想，还可以 用什么样的 （2）“移对角线”：使两条对角线在同一个 方 法 作 辅 助 三角形中． 线来解决梯 形问题，多 （3）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰 找几名学生 三角形． 回答，然后 教师总结， 可借助多媒 体 演 示 见 图） ． （4）“等积变形”，连结梯形上底一端点 和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点， 构成三角形．
课题
等腰梯形的性质和判定
日期
教 学 目 标 重 难 点 教 法
角色
1. 掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念 2. 能够运用等腰梯形的性质和判定进行有关问题的论证和计算，进 一步培养学生的分析能力和计算能力． 3. 通过添加辅助线， 把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题， 使学生体会图形变换的方法和转化的思想 教学重点：等腰梯形的性质和判定． 教学难点： 解决梯形问题的基本方法 （将梯形转化为平行四边形和三角 形及正确运用辅助线）． 小组讨论，引导发现、练习巩固
数学等腰梯形
数学等腰梯形知识点总结归纳等腰梯形（isosceles trapezium）是一组对边平行（不相等），另一组对边不平行但相等的四边形。
等腰梯形是一个平面图形，是一种特殊的梯形。
一、等腰梯形的性质1. 等腰梯形的两条腰相等。
2. 等腰梯形在同一底上的两个角相等。
3. 等腰梯形的两条对角线相等。
4. 等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线（过两底中点的直线）。
二、等腰梯形的判定1. 两腰相等的梯形是等腰梯形；2. 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3. 对角线相等的梯形是等腰梯形。
三、等腰梯形的其他相关性质1. 等腰梯形中，高、中线、角平分线重合（即“三线合一”）。
2. 等腰梯形对角线互相垂直。
3. 等腰梯形中位线长是上底加下底和的一半。
四、等腰梯形的面积公式设等腰梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，则等腰梯形的面积公式为：面积= (a + b) × h / 2。
五、等腰梯形与三角形的联系等腰梯形可以划分成三个等腰直角三角形。
等腰梯形的上底与下底的垂直平分线即为等腰三角形的高，上下底之间的距离即为等腰三角形的高，等腰三角形的底即为等腰梯形的腰。
等腰梯形的两腰即为两个等腰直角三角形的腰。
六、等腰梯形与平行四边形的联系若等腰梯形上底为0，即为平行四边形。
七、等腰梯形与矩形的联系若等腰梯形两腰垂直于底，则为矩形。
八、等腰梯形与正方形的联系若等腰梯形两腰垂直于底且上底为0，即为正方形。
九、实例解析1. 已知等腰梯形两腰长分别为5cm和5cm，上底长为3cm，下底长为7cm，求等腰梯形的面积。
解：根据等腰梯形的面积公式，面积= (a + b) × h / 2，其中a为上底长，b为下底长，h为高。
因为等腰梯形的两腰相等，所以梯形的高即为腰与上下底垂直平分线的长度。
这里可以使用勾股定理求解高，设高为h，则有h² = 5² - (2)² = 21，所以h = √21cm。
初中九年级数学 1.4等腰梯形的性质和判定
1．等腰梯形概念： _______________________________的图形叫做等腰梯形
2．等腰梯形的判定： ______________________________
3．等腰梯形的性质： _______________________________ _______________________________
定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。 A
D
定理2、等腰梯形的两条对角线相等。
证明定理2： 已知： 求证：
B
C
思路1：转化方向——全等三角形．
A
D
思路2：转化方向——平行四边形．
A
D
B
C
B
C
例题分析：
图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD 延长线 上一点，DE＝BC．
（1）求证：∠E＝∠DBC；
在同一底上的两个角相等的梯形BC， ∠B=∠C．
求证：梯形ABCD是等腰梯形． 思路1：转化方向——等腰三角形．
A
D
思路2：转化方向——平行四边形．
B
C
思路3：转化方向——全等三角形．
等腰梯形的判定定理：
在同一底上的两个角相等的梯形 是等腰梯形．
等腰梯形的性质定理：
思路2：转化方向——平行四边形．
证明：过点A作AE∥DC，交BC 于点E. 此时四边形AECD是平行四边形. 则AE∥CD且AE=CD， ∴∠AEB=∠C. 又∵∠B=∠C， ∴∠B=∠AEB. ∴AB=AE. ∴AB=CD. ∴梯形ABCD是等腰梯形.
思路3：转化方向——全等三角形．
证明：过点A作AE⊥BC，
DF⊥BC，垂足分别为点E，F， 则有∠AEB=∠DFC.
等腰梯形
等腰梯形的性质和判定知识体系：1．定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫等腰梯形．一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形．2、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个角相等;等腰梯形的对角线相等．3．等腰梯形的判定：①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．②对角线相邻的梯形是等腰梯形．4．等腰梯形常见的作辅助线的方法．（1）作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形，如图l－4－26（2）平移一腰，将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形．如图l－4－27．（3）平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形，如图l－4－28．（4）如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点，如图1－4－29．题型体系例1.如图l－4－30，请写出等腰梯形ABCD（AB∥CD）特有而一般梯形不具有的三个特征：解：∠A＝∠B；∠C=∠D；AD=BC等点拨：主要考查等腰梯形的性质，要把等腰梯形和一般梯形的性质区分开．例2.如图l－4－31有一直角梯形零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10cm，∠D=120o，则该零件另一腰AB的长为___________（结果不取近似值）解：5 3 点拨：平移腰AB，可以得到含30o角的直角三角形，再根据勾股定理，可得AB=5 3例3.已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm，则梯形的高是_________cm．解：5 点拨：通过平移对角线构造出等腰直角三角形，等腰直角三角形的高就是梯形的高．例4.同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形吗？如果是，请给出证明（要求画出图形，写出已知、求证、证明）；如果不是，请给出反例（只需画图说明）.已知：梯形ABCD，AD∥BC且∠B=∠C（或∠A=∠D）求证：梯形ABCD是等腰梯形证明：过点A作AE∥DC，交BC于E∵AD∥BC AE∥DC∴四边形AECD是平行四边形，∴∠AEB=∠C，AE=DC∵∠B=∠C ∴∠AEB=∠B∴AB=AE∴AB=DC ∴梯形ABCD是等腰梯形例5.某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图10-1）m，当△AMD地带种满花⑴他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/2后（图10-1中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用。
等腰梯形的性质定理判定定理及证明
推导等腰梯形的判定定理
通过严格的逻辑推导，得出等腰梯形的判定定理， 为解决实际问题和进行数学研究提供有力工具。
证明等腰梯形的性质定理
通过严谨的证明过程，验证等腰梯形性质定 理的正确性，加深对等腰梯形性质的理解和 掌握。
定义与性质
等腰梯形的定义
等腰梯形是一组对边平行且不相等，另一组对边相等的四边形。
回顾与总结
等腰梯形的性质定理
等腰梯形具有一系列独特的性质，包括两腰相等、同一底上的两个角相等、对角线相等以及中位线等于上下底之和的 一半等。这些性质使得等腰梯形在数学和实际应用中具有重要地位。
等腰梯形的判定定理
要判断一个四边形是否为等腰梯形，可以根据其定义和性质进行判定。具体方法包括比较两腰的长度、检查同一底上 的两个角是否相等、验证对角线是否相等以及使用中位线的性质进行判定等。
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03
等腰梯形的判定定理
基于边长的判定
定理
若梯形的一组对边平行且相等，则此 梯形为等腰梯形。
证明
设梯形ABCD中，AB//CD，且AB=CD。由于 AB和CD平行且相等，根据平行线的性质，我 们知道∠A+∠D=180°。又因为AB=CD，所以 ∠B=∠C。因此，∠A=∠D，从而证明了梯形 ABCD是等腰梯形。
证明
在等腰梯形ABCD中，由于∠BAD和∠CDA是内错角，因此∠BAD=∠CDA。又因为 AB=CD，AD=DA（公共边），所以△ABD≌△DCA（SAS）。从而BD=AC，即两条 对角线相等。
对称性
定理
等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线（所在直线）。
证明
在等腰梯形ABCD中，设E、F分别为AB、CD的中点，连接EF。由于AE=EB，CF=FD，且AD=BC，因此△AEF和 △BEF关于EF对称。同理，△CEF和△DEF也关于EF对称。因此，等腰梯形ABCD关于EF对称。
九年级数学等腰梯形的性质和判定教学反思
九年级数学等腰梯形的性质和判定教学反思本节课的教学目标是掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念;逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力;经历对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径;能够运用等腰梯形的性质和判定进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析能力和计算能力。
本节的教学重点等腰梯形的性质和判定。
教学难点是通过添加辅助线把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想。
等腰梯形的性质与判定定理的证明仅止于合情推理，但学生对梯形的题型中辅助线的添加已有了初步的认识，因此在教学设计中通过探索并证明梯形的性质与判定这些重要结论，从学生已有的知识水平出发，通过在同一梯形中不同类型辅助线的添加，不仅让学生理解等腰梯形的性质与判定定理，又让学生感觉通过添加辅助线，将梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，体现所学知识与已学知识的密切联系。
同时也让学生体验一题多解的乐趣，开阔学生的视野，提高解题的能力。
本节课始终以学生为中心，教师作为教学活动的组织者，引导者，合作者，体会用类比的思想研究腰梯形的性质和判定，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂，体现“动手实践，自主探索。
合作交流是学生学习数学的重要方式”这一思想，教学中为学生创造大量的操作。
思考和交流的机会，关注学生思考问题的过程，鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑，培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情。
因此，本节课的教学任务进行的很顺利，学生的学习积极性与参与度极高。
本节课进行中，个别学生的思路较奇特，由于出乎我的意料，方法也不是较简单，故我只是肯定了他们的做法，课后感觉我太吝啬对学生评价了。
学生有些地方做得很好，不能“好”或者“这种方法也可以”简单带过，这样无形中扼杀了孩子的一些很有创造性的想法，也降低了孩子们思考的积极性。
九年级数学等腰梯形的性质和判定
1．等腰梯形概念： _______________________________的图形叫做等腰梯形
2．等腰梯形的判定： ______________________________
3．等腰梯形的性质： _______________________________ _______________________________
（2）判断△ACE的形状
AD
E
B
C
例题分析：
已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC 边的中 点，EM⊥AB，EN⊥CD，垂足分别为M、N且 EM=EN． 求证：梯形ABCD是等腰梯形。
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
已知：在梯形ABCD中，AD//BC， ∠B=∠C．
求证：梯形ABCD是等腰梯形． 思路1：转化方向——等腰三角形．
A
D
思路2：转化方向——平行四边形．
B
C
思路3：转化方向——全等三角形．
等腰梯形的判定定理：
在同一底上的两个角相等的梯形 是等腰梯形．
等腰梯形的性质定理：
定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。 A
D
定理2、等腰梯形的两条对角线相等。
证明定理2： 已知： 求证：
B
C
思路1：转化方向——全等三角形．
A
D
思路2：转化方向——平行四边形．
A
D
B
C
B
C
例题分析：
图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD 延长线 上一点，DE＝BC．
（1）求证：∠E＝∠DBC；
初中数学九年级上册 （苏科版）
1.4 等腰梯形的性质和判定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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