极坐标的概念-极坐标的几何意义

2 A(3, ), B(1, ) 两点 ，求 3 3
极坐标系
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极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
① 平面上一点的极坐标是否唯一？
② 若不唯一，那有多少种表示方法？
③ 坐标不唯一是由谁引起的？
④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表 达式？
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极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
(1)给定（,）,在极坐标平面内可确定唯一的一点M； (2)给定平面上一点 M ，但却有无数个极坐标与之对应。
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这节课我们学到了什么？
极点 四 极轴 1.极坐标系的建立 要 单位长度 素 角度的正方向 2.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 （1）给定（,）,就可以在极坐标平面内 确定唯一的一点M. （2）给定平面上一点M，但却有无数个极坐 标与之对应.
作业设计
1.边长为a的正六边形OABCDE在极坐标 系中的位置如图所示，试建立适当极坐 标求这个正六边形各顶点的极坐标。
小结：在极坐标中，点 的坐标由表示距离的极 径 和极角确定，因此可以将它与 解三解形联系起来， 解决一些与三角形边长 和面积有关的问题。
极坐标系
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知识延伸
• 一般地，对于极坐标内不与极点重合的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则
P 1P 2 ? S OP1P 2 ?
请同学们自己推导。
原因在于：极角有无数个 一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则 (ρ,θ+2kπ)都可以作为它的极坐标. 如果限定ρ＞ 0, 0≤θ＜2π，那么除极点外,平面
内的点和极坐标就可以一一对应了. 特别强调： 一般情况下（若不作特别说明时），认为 ≥ 0.
范例剖析，应用概念
5 例1 ： 在 极 坐 标 系 中 ， 已点 知A 3， ，B 4， ， 6 6 求线段 AB的 长 和 ABO的 面 积 。
x
标分别为
3 120， ）， D（ 60 3， ）， E（ 50， ） A0,0 ， B60,0 ， C（ 3 2 4


深入探究，深化概念
在同一个极坐标中描出 以下各点： A(4, ), B(4, 2 ), C (4, 4 ), D(4, 2 ) 6 6 6 6
【思考】 （1）它们所表示的点有什么关系？ （2）你能体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？
抽象概括，形成概念
在上述问题中，你认为确定一个位置 需要哪些要素呢？ 距离与方向
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置：如台风预报、地震 预报、测量、航空、航海等. 这种用方向和距离表示平面上一点的位 置的思想，就是极坐标的基本思想.
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极坐标系
思考：
你认为建立一个极坐标系需要哪些 要素呢？
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2、中央气象如在2004年7月15日10：30发 布的一则台风消息：今年第9号热带风暴 “圆规”的中心今天上午八点钟已经移到 了广东省汕尾市东南方大约440公里的南 海东北部海面上，中心附近最大风力有9 级。请建立适当的坐标系，用坐标系表示 出该台风中心的位置。
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3、在极坐标系中，已知 A,B两点间的距离。 4、上网搜集极坐标系有关数学史，了解极 坐标的发展历程，并作好读书笔记。
π C (3, ) 2
E(3.5, π)
5 G (4, ) 3
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2.用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆, 图 书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的 极坐标系,写出各点的极坐标. C D 解:以点A为极点,AB所在 的射线为极轴(单位长
120m E 450 度为1 m),建立极坐标系. 50mA B 0 A ( O ) 60 则点A,B,C,D,E的极坐 60m
极坐标系
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极坐标系的建立：
(1)在平面内取一个定点O，叫做极点； (2)引一条射线Ox，叫做极轴； (4)规定角度的正方向(通常取逆时针方向). 这样建立的坐标系叫做极坐标系. · O
极坐标系
(3)选定1个长度单位、1个角度单位（常取弧度）；
θ x
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极坐标系内点的极坐标的规定
对于平面内任意一点M，用 表示极点 与点M的距离，叫做点M的极径, 表示以 Ox为始边,OM为终边的角，叫做点M的极角, 有序数对（，）就叫做M的极坐标。 .M(ρ,θ） 一般地，不特殊说明时 ，我们 认为 0，可取任意实数。 O x




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平面直角坐标与极坐标系的比较
类比 定位方式
点ຫໍສະໝຸດ Baidu形式
平面直角坐标系
两个距离
极坐标系
距离和角度
x, y x, y R
一一对应 两直线相交确定点的位 置
， 0， R
不是一一对应
与平面内点 的关系 数学本质
圆与射线相交确定点的 位置
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探究
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特别规定：
当 M 在极点时，它的极径=0，极角 可以取任意值.如：极坐标(0,π)，(0,-30º ), (0，0)，…等都是表示极点.
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小试牛刀，巩固新知
1. 说出下图中各点的极坐标
答： A(3, 0)
π B(2, ) 4 5π D(1, ) 6 4 F (5, ) 3
情景引入，思疑激趣
我们知道，平面直角坐标系 是一个常用的数学工具。平面直 角坐标系中的点与数对（x,y） 是一一对应的关系，也是最简单 最常用的一种坐标系。但它不是 唯一的一种坐标系，有时用别的 坐标系更加方便。
y
b
O
P(a,b)
.
a
x
还有什么坐标系呢？
我们先看下面的问题.
极坐标系
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如图，某校园的平面示意图.假设某同学在教学 楼A处，请回答下列问题： （1）他向东偏北600方向走120m后到达什么位置？ 该位置惟一确定吗？ （2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他 应如何描述？