定积分练习习题及标准标准答案.doc

第五章 定积分

(A 层次 )

1． 2 sin x cos 3 xdx ； 2 ． x 2

a 2 x 2 dx ； 3 ．

3 dx

；

a

1

x 2

1 x 2

1 4．

1

xdx

；

4

5．

5 4x 1

dx ；

1

dx ；

x 1

6． 3

1 x 1

4

e

2

7．

1

dx

；

dx

； 9

．

1 cos2xdx ；

8 ．

x 2

2x 2

x 1 ln x

2

10． x 4 sin xdx ；

11 ． 2 4 cos 4 xdx ；

12

． 3

sin 2 x dx ；

5

x

2

5

x 4

2x 2

1

13． 3 x dx ； 14

． 4

ln x dx ；

15

．

1 xarctgxdx ；

2

1

4 sin x

x

16． 2 e

2x

cosxdx ； 17

x sin x

2

dx ； 18 e

．

0 ． 1 sin ln x dx ； 0

19． 2

cos x cos 3 xdx ； 20 ． 4 sin x dx ； 21 ． x sin x dx ；

4 0 1 sin x 0

1 cos 2

x 1

1 x

1 x

2

2

x ln dx ；

23

．

24 ． 2

ln sin xdx

；

22． 0 1 x

1 x 4 dx ； 0

25．

dx

dx

0 。

1

x 2 1 x

(B 层次 )

y t

x

所决定的隐函数

对

的导数

dy

。

1．求由

cos

0 y x

e dt

tdt

dx

2．当 x 为何值时，函数 I x

x

te t 2 dt 有极值？

3．

d

cos x

2 dt 。

cos t dx

sin x

4．设 f x

x 1, x 1

2

，求 f x dx 。

1

2

, x 1 0

2 x

x

arctgt 2

5． lim 0

dt

。

x 2

x

1

6．设f x 1

sin x, 0 x

，求 x x

2 f t dt 。0, 其它0

1

当 x 0时

,

2

7．设f x 1 x ，求 f x 1 dx 。

1

, 当 x 0时0

1 e x

8．lim

1

n 2n

2

n 2

n 。

n

k

n e n

9．求lim 。

2 k

n k 1

ne n

n

10．设 f x 是连续函数，且 f x x 1 f t dt ，求 f x 。

2

11．若2ln 2 dt ，求 x 。

e t

x 1 6

1 1

12．证明：2e 2 12 e x2 dx 2 。

2

x a x

13．已知 lim

a 4x2 e 2x dx ，求常数a。

x x a

14．设f x 1 x 2 , x 0 ，求

3

f x 2 dx 。

x

1

e , x 0

15．设f x 有一个原函数为 1 sin 2 x ，求2 xf 2x dx 。

16．设f x ax b ln x ，在1,3 上 f x 0 ，求出常数 a ，b使 3 f x dx 最小。

1 17．已知 f x e x

2 ，求 1 f x f x dx。

18．设 f x x 2 2 1

x f x dx 2 f x dx ，求f x。

0 0

19． f cosx cosx f cosx sin 2 x dx 。

20．设 x 0 时， F x x x2 t 2 f t dt 的导数与x2是等价无穷小，试求 f 0。

(C 层次 )

1 ．设 f x是任意的二次多项式，g x是某个二次多项式，已知

f x dx

1 f 0 4 f

1

f 1 ，求

g x dx 。

1

b

6

2

a

2．设函数 f x 在闭区间 a,b 上具有连续的二阶导数，则在

a, b 内存在

，使得

f x dx

b a f

a b

1

b a f

。

b

3

a

2

24

3 ． f x 在 a, b 上 二 次 可 微 ， 且 f x

0 ， f x

。 试 证

b a f a f x dx b a f b f a 。

b

a

2

4．设函数 f x 在 a, b 上连续， f x 在 a,b 上存在且可积， f a

f b

0 ，试证

1 b

f x

f x dx ( a x b ) 。

2 a

5．设 f x 在 0,1 上连续，

1

0 ， 1

，求证存在一点 x ，

， 0 f x dx

xf x dx

1 0 x 1

使 f x

4 。

6．设 f x 可微， f 0

0 ， f 0

1 ， F

x x

x

2

t 2

dt ，求 lim F x

。

tf

x 0

x 4

7．设 f x 在 a, b 上连续可微， 若 f a

f b

0 ，则

4

b f x dx

max f x 。

b a 2

a

a x b

8．设 f x 在 A, B 上连续， A a b

B ，求证 lim

b

f

x k

f x dx

f b

f a 。

a

k

k 0

9．设 f x 为奇函数，在

,

内连续且单调增加， F x

x x

t f t dt ，证明：

3

(1) F x 为奇函数； (2) F

x 在 0,

上单调减少。

10．设 f

x 可微且积分

1 f x

xf xt dt 的结果与 x 无关，试求 f x 。 0

11．若 f x 在 0,

连续， f 0 2 ， f

1 ，证明：

f x f x sin xdx 3 。

12．求曲线 y x 1 t 2 dt 在点 (0,0) 处的切线方程。

t

13．设 f x 为连续函数，对任意实数 a 有

a x dx 0 ，求证 f

2

x f x

sin xf 。

a

x y

2

2

y

。

14．设方程 2x tg x

y

sec 2

tdt ，求

d

dx