构造函数法在导数不等式中应用

构造函数在导数不等式中的应用

构造函数是解决抽象不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数. 通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答.

1 真题

设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 取值范围（ ）.

A. (,1)(0,1)-∞-U

B. (1,0)(1,)-+∞U

C. (,1)(1,0)-∞--U

D. (0,1)(1,)+∞U

解析：设()()f x F x x =

， 则2()()'()xf x f x F x x

'-=. 因为0x >时，()()0xf x f x '-<，所以'()0F x <,即当0x >时，()F x 单调递减.

又因为()f x 为奇函数，且(1)0f -=，所以()()f x F x x

=

为偶函数，且(1)(1)0F F -==, 则当0x <时，()F x 单调递增.

当(,1)x ∈-∞-时，()0F x <，()0f x >.

当(0,1)x ∈时，()0F x <，()0f x >.

所以()0f x >成立的x 取值范围 (,1)(0,1)-∞-U ，即答案为A..

对题的解析过程进行回顾，本题是如何构造出()()f x F x x =

，从而给出极其巧妙的解答. 为了寻求问题的本质，这里对以下例题进行分析.

【典例】

例 1 已知函数()f x 的图像关于y 轴对称，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若0.20.22(2)a f =⋅，log 3(log 3)b f ππ=⋅，33log 9(log 9)b f =⋅，则,,a b c 的大小关系（ ）

A. b a c >>

B. c a b >>

C. c b a >>

D. a b c >>

解析：设()()F x xf x =，则'()()()F x f x xf x '=+.

因为0x <时，()()0f x xf x '+<，所以'()0F x <,则当0x <时，()F x 单调递减.

又因为函数()f x 的图像关于y 轴对称，所以()f x 为奇函数，当0x >时，()F x 单调递减. 又因为0.2122<<，0log 31π<<，3log 92=，则b a c >>，即答案为A.

例 2已知函数()f x 满足：()2()0f x f x '+>，那么系列不等式成立的是（ ） A. (1)f

>

B. (0)(2)f f e

<

C. (1)(2)f >

D. 2(0)(4)f e f >

解析：设12()2()x F x e f x =， 则1

112221'()2[()()][()2()]2

x x x F x e f x e f x e f x f x ''=+=+. 因为()2()0f x f x '+>，所以'()0F x >,则()F x 在定义域上单调递增，所以(1)(0)F F >, 则(1)f

>，即答案为A. 例 3 已知()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，且()()f x f x '<对于x R ∈恒成立且e 为自然对数的底，则（ ）

A. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f >⋅>⋅

B. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f <⋅>⋅

C. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f >⋅<⋅

D. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f <⋅<⋅

解析：设()()x

f x F x e =， 则22()()[()()]'()x x x

x x

f x e f x e f x f x e F x e e ''--==. 由()()f x f x '<，得()()0f x f x '-<，则'()0F x <,()F x 在定义域上单调递减，所以(1)(0)F F >,(2012)(0)F F >

即答案为A.

例4 定义在(0,)2

π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '>成立，则（ ）

()()43

ππ B. (1)2()sin16

f f π>

()()64

f ππ>

()()63f ππ

> 解析：因为(0,)2

x π∈，所以sin 0x >，cos 0>. 由()()tan f x f x x '>，

得()cos ()sin 0f x x f x x '->

设()()sin f x F x x =

， 则2()sin ()cos '()sin f x x f x x F x x

'-=，可得'()0F x <, 则()F x 在定义域上单调递减， 所以()()43

F F ππ>,

()()43

ππ>，即答案为A.

【方法解析】

仔细的观察和思考例1和例2的解法，它们有一个共同点：采用导数的积运算法则，即

[()()]'()()'()()f x g x f x g x g x f x '=+. 例3和例4的解法，

它们也有一个共同点：采用导数的商运算法则，即2()()()'()()[]'()()

f x f x

g x g x f x g x g x '-=.由此可见，对于含有()f x 和()f x '的不等式，将不等式的右边化0，若左边是()()x f x μ和()()x f x ν'相加得形式，其中()x μ和()x ν常见的变量或常量. 此时用导数的积运算法则；若左边是()()x f x μ和()()x f x ν'相减得形式，此时用导数的商运算法则.当然，这只是做题的起初思想，但是要做出试题，还远远不行，而问题的关键在构造函数. 波利亚：“观察可能导致发现，观察将揭示某种规则、模式或定律.”根据我们所学习的知识，通过观察，认识数学的本质特点，灵活的运用所学知识和技巧进行求解，从而将抽象复杂的问题转化为具体简单的问题，使解法顺利的完成。以下给出例1至例4的方法技巧

例1中，()()0f x xf x '+<，根据导数的积运算法则得(箭头指向方向为函数的导函数，后面不做说明)

)x <0

可以看出()f x 的导数为()f x '，x 的导数为1，从而构造出函数()()F x xf x =.

例2中，()2()0f x f x '+>，根据导数的积运算法则得

)x <0

可以看出()f x 的导数为()f x '，2的导数为1，显然不成立. 则不等式两边定约去了一个不为0的变量. 函数和本身的导函数有相同的变量，则猜想到函数x y e =. 但这里还要考虑系数1和2，进一步猜想到复合函数12x y e =. 给上述不等式两边同乘以12

x e ，则

12x e )x <0

从而构造出函数12()2()x F x e f x =⋅.

例3中，()()0f x f x '->，根据导数的商运算法则得

0<