差分方程方法分析
差分方程的解法分析及MATLAB实现(程序)
差分方程的解法分析及MATLAB 实现（程序）摘自：张登奇,彭仕玉.差分方程的解法分析及其MATLAB 实现[J]. 湖南理工学院学报.2014(03) 引言线性常系数差分方程是描述线性时不变离散时间系统的数学模型,求解差分方程是分析离散时间系统的重要内容.在《信号与系统》课程中介绍的求解方法主要有迭代法、时域经典法、双零法和变换域法[1].1 迭代法例1 已知离散系统的差分方程为)1(31)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y ,激励信号为)()43()(n u n x n =,初始状态为21)2(4)1(=-=-y y ，.求系统响应. 根据激励信号和初始状态,手工依次迭代可算出2459)1(,25)0(==y y . 利用MATLAB 中的filter 函数实现迭代过程的m 程序如下:clc;clear;format compact;a=[1,-3/4,1/8],b=[1,1/3,0], %输入差分方程系数向量,不足补0对齐n=0:10;xn=(3/4).^n, %输入激励信号zx=[0,0],zy=[4,12], %输入初始状态zi=filtic(b,a,zy,zx),%计算等效初始条件[yn,zf]=filter(b,a,xn,zi),%迭代计算输出和后段等效初始条件2 时域经典法用时域经典法求解差分方程:先求齐次解；再将激励信号代入方程右端化简得自由项,根据自由项形式求特解；然后根据边界条件求完全解[3].用时域经典法求解例1的基本步骤如下.（1）求齐次解.特征方程为081432=+-αα,可算出41 , 2121==αα.高阶特征根可用MATLAB 的roots 函数计算.齐次解为. 0 , )41()21()(21≥+=n C C n y n n h （2）求方程的特解.将)()43()(n u n x n =代入差分方程右端得自由项为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅==-⋅+-1,)43(9130 ,1)1()43(31)()43(1n n n u n u n n n 当1≥n 时,特解可设为n p D n y )43()(=,代入差分方程求得213=D . （3）利用边界条件求完全解.当n =0时迭代求出25)0(=y ,当n ≥1时,完全解的形式为 ,)43(213 )41()21()(21n n n C C n y ⋅++=选择求完全解系数的边界条件可参考文[4]选)1(),0(-y y .根据边界条件求得35,31721=-=C C .注意完全解的表达式只适于特解成立的n 取值范围,其他点要用)(n δ及其延迟表示,如果其值符合表达式则可合并处理.差分方程的完全解为)(])43(213 )41(35)21(317[)1(])43(213 )41(35)21(317[)(25)(n u n u n n y n n n n n n ⋅+⋅+⋅-=-⋅+⋅+⋅-+=δ MATLAB 没有专用的差分方程求解函数,但可调用maple 符号运算工具箱中的rsolve 函数实现[5],格式为y=maple('rsolve({equs, inis},y(n))'),其中:equs 为差分方程表达式, inis 为边界条件,y(n)为差分方程中的输出函数式.rsolve 的其他格式可通过mhelp rsolve 命令了解.在MATLAB 中用时域经典法求解例1中的全响应和单位样值响应的程序如下.clc;clear;format compact;yn=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=(3/4)^n+1/3*(3/4)^(n-1),y(0)=5/2,y(-1)=4},y(n))'),hn=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=0,y(0)=1,y(1)=13/12},y(n))'),3 双零法根据双零响应的定义,按时域经典法的求解步骤可分别求出零输入响应和零状态响应.理解了双零法的求解原理和步骤,实际计算可调用rsolve 函数实现.yzi=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=0,y(-1)=4, y(-2)=12},y(n))'),yzs=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=(3/4)^n+1/3*(3/4)^(n-1),y(0)=1,y(-1)=0},y(n))'),4 变换域法设差分方程的一般形式为)()(00r n x b k n y a r Mr k N k -=-∑∑==.对差分方程两边取单边z 变换,并利用z 变换的位移公式得])()([])()([1010m r m r r M r l k l k k N k z m x z X z b z l y z Y z a ---=-=---=-=∑∑∑∑+=+整理成)()()()()()(00z X z X z B z Y z Y z A +=+形式有. )(, )(110110M M N N z b z b b z B z a z a a z A ----+++=+++=. )()(, )()(110110∑∑∑∑=--=--=--=--==M r r m m r r N k k l l k k z m x b s X zl y a s Y可以看出,由差分方程可直接写出 )(z A 和 )(z B ,系统函数)(/)()(z A z B z H =,将系统函数进行逆z 变换可得单位样值响应.由差分方程的初始状态可算出 )(0z Y ,由激励信号的初始状态可算出 )(0z X ,将激励信号进行z 变换可得 )(z X ,求解z 域代数方程可得输出信号的象函数 , )()()()()()(00z A z Y z X z X z B z Y -+= 对输出象函数进行逆z 变换可得输出信号的原函数)(n y .利用z 变换求解差分方程各响应的步骤可归纳如下:（1）根据差分方程直接写出 )(z A 、 )(z B 和)(z H ,)(z H 的逆变换即为单位样值响应；（2）根据激励信号算出 )(z X ,如激励不是因果序列则还要算出前M 个初始状态值；（3）根据差分方程的初始状态 )(, ),2( ),1(N y y y -⋅⋅⋅--和激励信号的初始状态 )(, ),2( ),1(M x x x -⋅⋅⋅--算出 )(0z Y 和 )(0z X ；（4）在z 域求解代数方程)()()()()()(00z X z X z B z Y z Y z A +=+得输出象函数 )(z Y , )(z Y 的逆变换即为全响应；（5）分析响应象函数的极点来源及在z 平面中的位置,确定自由响应与强迫响应,或瞬态响应与稳态响应；（6）根据零输入响应和零状态响应的定义,在z 域求解双零响应的象函数,对双零响应的象函数进行逆z 变换,得零输入响应和零状态响应.用变换域法求解例1的基本过程如下. 根据差分方程直接写出2181431 )(--+-=z z z A ,1311 )(-+=z z B .系统函数的极点为41,21. 对激励信号进行z 变换得)43/( )(-=z z z X .激励象函数的极点为3/4. 根据差分方程的初始状态算出102123 )(-+-=z z Y .根据激励信号的初始状态算出 0)(0=z X . 对z 域代数方程求解,得全响应的象函数)323161123/()83243125( )(2323-+-+-=z z z z z z z Y . 进行逆z 变换得全响应为)(])43(213 )41(35)21(317[)(n u n y n n n ⋅+⋅+⋅-= 其中,与系统函数的极点对应的是自由响应;与激励象函数的极点对应的是强迫响应. )(z Y 的极点都在z 平面的单位圆内故都是瞬态响应.零输入响应和零状态响应可按定义参照求解.上述求解过程可借助MATLAB 的符号运算编程实现.实现变换域法求解差分方程的m 程序如下: clc;clear;format compact;syms z n %定义符号对象% 输入差分方程、初始状态和激励信号%a=[1,-3/4,1/8],b=[1,1/3], %输入差分方程系数向量y0=[4,12],x0=[0], %输入初始状态,长度分别比a 、b 短1,长度为0时用[]xn=(3/4)^n, %输入激励信号,自动单边处理,u(n)可用1^n 表示% 下面是变换域法求解差分方程的通用程序，极点为有理数时有解析式输出 %N=length(a)-1;M=length(b)-1;%计算长度Az=poly2sym(a,'z')/z^N;Bz=poly2sym(b,'z')/z^M;%计算A(z)和B(z)Hz=Bz/Az;disp('系统函数H(z):'),sys=filt(b,a),%计算并显示系统函数hn=iztrans(Hz);disp('单位样值响应h(n)='),pretty(hn),%计算并显示单位样值响应Hzp=roots(a);disp('系统极点:');Hzp,%计算并显示系统极点Xz=ztrans(xn);disp('激励象函数X(z)='),pretty(Xz),%激励信号的单边z 变换Y0z=0;%初始化Y0(z),求Y0(z)注意系数标号与变量下标的关系for k=1:N;for l=-k:-1;Y0z = Y0z+a(k+1)*y0(-l)*z^(-k-l);endenddisp('初始Y0(z)'),Y0z,%系统初始状态的z 变换X0z=0;%初始化X0(z),求X0(z)注意系数标号与变量下标的关系for r=1:M;for m=-r:-1;X0z = X0z+b(r+1)*x0(-m)*z^(-r-m);endenddisp('初始X0(z)'),X0z,%激励信号起始状态的z 变换Yz=(Bz*Xz+X0z-Y0z)/Az;disp('全响应的z 变换Y(z)'),pretty(simple(Yz)),yn=iztrans(Yz);disp('全响应y(n)='),pretty(yn),% 计算并显示全响应Yziz=-Y0z/Az;disp('零输入象函数Yzi(z)='),pretty(Yziz),%零激励响应的z 变换yzin=iztrans(Yziz);disp('零输入响应yzi(n)='),pretty(yzin),% 计算并显示零输入响应 Yzsz=(Bz*Xz+X0z)/Az;disp('零状态象函数Yzs(z)='),pretty(Yzsz),%零状态响应的z 变换yzsn=iztrans(Yzsz);disp('零状态响应yzs(n)='),pretty(yzsn),% 计算并显示零状态响应该程序的运行过程与手算过程对应,显示在命令窗的运行结果与手算结果相同.。
差分方程简介
差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
考研数学重难点之二阶常系数线性非齐次差分方程的通解分析
2018考研数学重难点之二阶常系数线性非齐次差分方程的通解分析
差分方程除了用于对离散变量建立离散数学模型外，也可用于将连续变量及其连续数学模型离散化，换句话说，就是将微分方程离散化为差分方程，这对于难以求出精确解的微分方程来说具有重要的作用，事实上微分方程的数值解法就是如此，它通过差分方程来求出微分方程的近似解。
下面本文对二阶常系数线性非齐次差分方程的求解方法做些分析总结，供有兴趣的2018考研的同学拓展思路参考。
一、二阶常系数线性非齐次差分方程的通解
从前面的分析我们看到，二阶常系数线性非齐次差分方程的通解与二阶常系数线性非齐次微分方程的通解有非常相似的结论，比如其通解都是其特解与对应齐次方程的通解之和，而齐次方程的通解可以通过特征根求出，对于几类常见的自由项blob.png类型，包括：多项式、指数函数及二者乘积，其相应差分方程的特解也与微分方程的情形很类似，当然，二者还是有有些差别的，这一点希望大家注意。
Z3.3 差分方程的经典解法
N
10.1(1 0.01)9 101(1 0.01)9 100
1.06(万元)
9
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
例3 某人向银行贷款M=10万元，月利率β=1%，他定 期于每月初还款数为f(k)，尚未还清的款数为y(k)，列 出y(k)的方程。如果他从贷款后第一个月(可设为k=0) 还款N，则有f(k)=Nε(k)万元和y(-1)=M=10万元。
(1) 如每月还款N=0.5万元，求y(k)。
(2) 他还清贷款需要几个月？
3.齐次解的常用函数形式(p.74)
表3-1 不同特征根所对应的齐次解
特征根 单实根 2重实根 一对共轭复根
1，2＝a jb e j
齐次解yh (k) Ck
(C1k C0 ) k k[C cos( k) D sin( k)]或A k cos( k )
其中Ae j C jD
4.特解的常用函数形式(p.74)
已知y(0)=0，y(1)= –1；f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。
解：特征根： λ1=λ2= –2
（how？）
设齐次解：yh(k)=(C1k+C2) (–2)k
设特解为：yp(k)=P (2)k , k≥0，代入得：P =1/4
故全解为：y(k)= yh+yp = (C1k+C2) (–2)k+2k–2, k≥0
特征根为1+an-1λ–1 + … +a0λ–n=0 的根λi(i=1，2，…， n)，由特征根可以设定齐次解的函数形式。
特解的函数形式与激励的函数形式有关。
3
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
差分方程及其稳定性分析
差分方程及其稳定性分析随着科技的不断发展和应用，数学作为一门基础学科，得到了越来越广泛的应用。
其中，差分方程作为一种离散化的微积分，被广泛地运用于电子、天文、生物、经济等领域中的模型计算和分析。
本文将介绍差分方程的基本概念和常见类型，以及如何对其进行稳定性分析。
一、差分方程的基本概念差分方程是指在内插点上的函数值之间的关系方程，其通常形式为：$$x_{n+1} = f(x_n)$$其中，$x_{n}$ 表示第 $n$ 个内插点的函数值，$f$ 是描述$x$ 的随时间变化关系的任意函数。
当然，差分方程还可以有更多的变量和函数，形式也可以更加复杂。
二、差分方程的类型根据差分方程的形式和特征，可将其分为以下几种类型：1、线性差分方程线性差分方程的一般形式为：$$x_{n+1} = ax_n+b$$其中，$a,b$ 为常数，$x_n$ 为第 $n$ 个内插点的函数值。
线性差分方程的求解可以采用常数变易法、特征方程法、生成函数法等多种方法。
2、非线性差分方程非线性差分方程是指其中的关系函数 $f$ 不是线性函数。
一般来说，非线性差分方程更难于求解。
3、线性递推方程线性递推方程是指卷积和形式的一类差分方程。
其形式为：$$x_{n+k} = a_1x_{n+k-1} + a_2x_{n+k-2} + \cdots + a_kx_n$$其中，$a_1,a_2,\cdots,a_k$ 为常数。
三、稳定性分析差分方程作为一种离散化的微积分，常常代表系统的动态演化过程。
因此，判断差分方程的解在过程中是否保持稳定性非常重要。
下面将介绍两种常见的差分方程稳定性分析方法。
1、线性稳定性分析法线性稳定性分析法是指对线性差分方程的解进行稳定性分析。
对于一般型的线性差分方程：$$\Delta x_{n+1} = a\Delta x_n$$其中，$\Delta x_n = x_{n+1} - x_n$，$a$ 为常数。
通过求解特征方程 $r-1=ar$，求得 $a$ 的值，便可判断差分方程解的稳定性。
差分方程的解法分析及MATLAB实现
差分方程的解法分析及MATLAB实现差分方程是描述离散时序系统行为的数学工具。
在离散时间点上，系统的行为由差分方程给出，这是一个递归方程，其中当前时间点的状态取决于之前的状态和其他外部因素。
解差分方程的方法可以分为两类：直接解法和转化为代数方程的解法。
直接解法通过求解差分方程的递归形式来得到解析或数值解。
转化为代数方程的解法则将差分方程转化为代数方程进行求解。
一、直接解法的步骤如下：1.将差分方程表示为递归形式，即将当前时间点的状态表示为之前时间点的状态和其他外部因素的函数。
2.根据初始条件，确定初始时间点的状态。
3.根据递归形式，计算出后续时间点的状态。
以下是一个简单的差分方程的例子：y(n)=2y(n-1)+1，其中n为时间点。
按照上述步骤求解该差分方程：1.将差分方程表示为递归形式：y(n)=2y(n-1)+12.根据初始条件，假设y(0)=1，确定初始时间点的状态。
3.根据递归形式，计算出后续时间点的状态：y(1)=2y(0)+1=2*1+1=3y(2)=2y(1)+1=2*3+1=7y(3)=2y(2)+1=2*7+1=15...依此类推计算出所有时间点的状态。
二、转化为代数方程的解法的步骤如下：1.假设差分方程的解具有指数形式，即y=r^n，其中r为待定参数。
2.将差分方程代入上述假设中，得到r的方程。
3.解得r的值后，再根据初始条件求解出常数值。
4.得到差分方程的解析解。
以下是一个复杂一些的差分方程的例子：y(n)=2y(n-1)+3y(n-2)，其中y(0)=1，y(1)=2按照上述步骤求解该差分方程：1.假设差分方程的解具有指数形式：y=r^n。
2.代入差分方程得到：r^n=2r^(n-1)+3r^(n-2)。
3.整理得到：r^2-2r-3=0。
4.解得r的值为：r1=-1，r2=35.根据初始条件求解出常数值：y(0)=c1+c2=1，y(1)=c1-c2=2、解得c1=1.5，c2=-0.56.得到差分方程的解析解：y(n)=1.5*(-1)^n+-0.5*3^n。
差分运算方法[003]
![差分运算方法[003]](https://img.taocdn.com/s3/m/b9c32b9db1717fd5360cba1aa8114431b90d8e2b.png)
差分运算方法差分运算方法是一种常用的数学工具，可用于求解差分方程或对数据序列进行分析和预测。
本文将详细介绍差分运算方法的原理、步骤以及应用范围。
通过学习本文，读者将能够掌握差分运算方法的基本概念和使用技巧。
差分运算方法是通过计算数据序列的差分值来实现的。
一阶差分表示相邻两个数据之间的差值，二阶差分表示一阶差分的差值。
差分运算方法可以将原始数据转化为差分序列，从而揭示数据序列的变化趋势和规律。
1. 收集数据：首先，我们需要收集相关的原始数据。
这些数据可以是时间序列数据、统计数据或其他有规律的数据。
2. 计算一阶差分：将收集到的原始数据按照时间先后顺序排列，然后计算相邻两个数据之间的差值。
具体计算方法为当前数据减去前一个数据。
得到一阶差分序列。
3. 计算二阶差分：将一阶差分序列按照相同的方法计算得到二阶差分序列。
4. 分析差分序列：通过对差分序列的统计分析、图表展示等方法，可以识别出其中的规律、趋势和异常点。
5. 预测或还原原始数据：根据对差分序列的分析结果，可以进行数据的预测或还原。
预测时可以使用差分序列的规律进行推断，还原时则利用差分序列与原始数据之间的关系进行计算。
三、差分运算方法的应用范围差分运算方法广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：1. 经济学：差分运算方法可用于经济数据的趋势分析和预测，如GDP增速、股票价格变化等。
2. 自然科学：差分运算方法可用于分析自然现象，如气象数据的周期性变化、地震活动的趋势等。
3. 信号处理：差分运算方法可用于信号处理领域，如音频、视频的差分编码等。
4. 金融工程：差分运算方法可用于金融数据的建模和预测，如股票收益率的变化趋势、利率曲线的形态等。
5. 数据挖掘：差分运算方法可用于数据挖掘中的特征提取和异常检测，如时间序列数据的周期性分析、离群点识别等。
差分运算方法是一种实用的数学工具，能够帮助我们从数据中找到有用的信息和规律。
通过计算一阶差分和二阶差分，我们可以获得差分序列，进而进行数据的分析和预测。
差分方程模型的稳定性分析
摘要I
AbstractII
目录III
引言1
1、差分方程的定义及其分类1
（1）差分算子：1
2.差分方程的求解与稳定性判断方法:2
（1）差分方程的求解：2
摘 要
微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。
（2)差分方程：
定义2：含有未知函数及未知函数差分的等式，我们称为差分方程，它的一般表达形式为：
由（1）与（2）的关系，可以将阶数为 的差分方程写为
或者
我们称 不显含 时的方程为自治差分方程。形如 表示一阶差分方程； 表示n阶差分方程。
（2）差分方程的分类：
差分方程可以分为两大类：其一为线性差分方程，它是指当 是 的线性函数时，称 为线性差分方程；也就是说 的次数都为 ，其二为非线性差分方程，它是指当 是 的非线性函数时，称 为非线性差分方程。显而易见，非线性差分方程求解比线性差分方程求解复杂，因此它的解的性态也比较难分析，本文我们只研究线性差分方程解的性态。
实验二差分方程的求解和离散系统频率响应的描述
实验二 差分方程的求解和离散系统频率响应的描述一、 实验目的1、掌握用MATLAB 求解差分方程的方法。
2、掌握绘制系统的零极点分布图和系统的频率响应特性曲线的方法。
3、 观察给定系统的冲激响应、阶跃相应以及系统的幅频特性和相频特性二、 实验内容1、已知描述离散新天地差分方程为：y(n+2)-0,25y(n+1)+0.5y(n)=x(n)+x(n-1)，且知该系统输入序列为)()2/1()(n u n x n =，试用MATLAB 实现下列分析过程：画出输入序列的时序波形；求出系统零状态响应在0～20区间的样值；画出系统的零状态响应波形图。
2、一离散时间系统的系统函数：5731053)(2323-+-+-=z z z zz z z H ，试用MA TLAB 求出系统的零极点；绘出系统的零极点分布图；绘出响应的单位阶跃响应波形。
三、 实验报告要求1、求出各部分的理论计算值， 并与实验结果相比较。
2、绘出实验结果波形（或曲线），并进行分析。
3、写出实验心得。
附录：本实验中所要用到的MATLAB 命令1、系统函数H(z)在MATLAB 中可调用函数zplane （），画出零极点分布图。
调用格式为： zplane （b,a ） 其中a 为H （z ）分母的系数矩阵，b 为H(z)分子的系数矩阵。
例2－1：一个因果系统：y （n ）－0.8y(n －1)＝x(n)由差分方程可求系统函数 8.0,8.011)(1>-=-z z z H零极点分布图程序：b=[1,0];a=[1,-0.8];zplane(b,a)2、求解差分方程在MA TLAB中，已知差分方程的系数、输入、初始条件，调用filter（）函数解差分方程。
调用filter（）函数的格式为：y=filtier(b,a,x,xic)，参数x为输入向量（序列），b,a分别为（1-30）式中的差分方程系数，xic是等效初始状态输入数组（序列）。
确定等效初始状态输入数组xic（n），可使用Signal Processing toolbox中的filtic（）函数，调用格式为：y=filtic(b,a,y,x) 。
差分方程的解法分析及其MATLAB实现
差分方程的解法分析及其MATLAB实现张登奇;彭仕玉【摘要】差分方程是描述离散时间系统的数学模型，求解差分方程是分析离散时间系统的重要内容，常用的求解方法有迭代法、时域经典法、双零法和变换域法。
文章根据各种方法的求解原理，分别介绍了不同方法的求解步骤，结合实例列出了这些方法的求解过程及MATLAB实现程序。
%The difference equation is mathematical model to describe discrete-time systems, to solve the differential equation is an important part to analyze discrete-time systems, commonly used methods are: iterative method, classical time-domain method, double zero response method and the transform-domain method. This paper introduces the solving steps of these different methods according to the corresponding principles with examples and lists these corresponding MATLAB programs.【期刊名称】《湖南理工学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】5页(P28-32)【关键词】离散时间系统;差分方程;时域分析法;变换域分析法;MATLAB【作者】张登奇;彭仕玉【作者单位】湖南理工学院信息与通信工程学院，湖南岳阳 414006;湖南理工学院信息与通信工程学院，湖南岳阳 414006【正文语种】中文【中图分类】TN911.72;O175.7线性常系数差分方程是描述线性时不变离散时间系统的数学模型, 求解差分方程是分析离散时间系统的重要内容. 在《信号与系统》课程中介绍的求解方法主要有迭代法、时域经典法、双零法和变换域法[1]. 迭代法可手工逐次代入求解, 也可编程用计算机求解, 该方法原理简单, 缺点是只能得到数值解.时域经典法先求齐次解和特解, 再用边界条件确定待定系数得完全解, 该方法数学过程清晰, 但求解过程麻烦. 双零法分别求零输入响应和零状态响应, 再通过叠加得到全响应. 该方法物理意义清晰, 但求解过程依然麻烦. 变换域法利用z变换将差分方程变换成代数方程求解, 该方法简便高效, 是求解差分方程的重要方法. 本文根据不同方法的求解原理, 分别介绍各种方法的求解步骤, 结合实例列出这些方法的求解过程和MATLAB实现程序.差分方程本身就是一个递推方程, 根据初始状态和激励信号依次迭代就可算出输出序列. 迭代法是解差分方程的基础方法, 如果所需输出序列个数较少（如计算边界条件）可手工直算, 如需计算大量输出可利用计算机编程实现.现结合实例介绍迭代法的计算过程.例1已知离散系统的差分方程为激励信号为初始状态为y(−1)=4,y(−2)=12.求系统响应.根据激励信号和初始状态, 手工依次迭代可算出利用MATLAB中的filter函数实现迭代过程的m程序如下:clc;clear;format compact;a=[1, -3/4, 1/8], b=[1, 1/3, 0], %输入差分方程系数向量, 不足补0对齐n=0:10;xn=(3/4).^n, %输入激励信号zx=[0, 0], zy=[4, 12], %输入初始状态zi=filtic(b, a, zy, zx), %计算等效初始条件[yn, zf]=filter(b, a, xn, zi), %迭代计算输出和后段等效初始条件MATLAB提供的filter函数是一个内建函数, 用type命令看不到程序代码.为了理解迭代思想, 下面根据图1所示的直接Ⅰ型结构[2], 重写实现迭代法的m程序. clc;clear;format compact;a=[1, -3/4, 1/8], b=[1, 1/3, 0], %输入差分方程系数向量, 不足补0对齐n=0:10;x=(3/4).^n, %输入激励信号zx=[0, 0], zy=[4, 12], %输入初始状态% 下面是按直接Ⅰ型结构迭代的通用程序 %N=length(a)-1, %计算数据存储长度L=length(x), %计算激励信号长度y=zeros(1, L);%输出信号初始化for i=1:L; %逐个计算输出信号for n=1:N;z(n)=b(n+1)*zx(n)-a(n+1)*zy(n);end %分算过去zz=sum(z);%计算输出中的过去分量y(i)=b(1)*x(i)+zz;% 计算当前输出y(n)for n=N:-1:2, zx(n)=zx(n-1);zy(n)=zy(n-1);end%过去数据下移zx(1)=x(i);zy(1)=y(i);%当前的激励和输出变为过去, 以便算下一个输出end%理解filter函数中zf参数的意义zf=zeros(1, N);%初始化zffor k=1:N; %逐个计算zf参数for n=1:N;z(n)=b(n+1)*zx(n)-a(n+1)*zy(n);end %算z(n)zf(k)=sum(z);% 计算第k个zffor k=N:-1:2, zx(k)=zx(k-1);zy(k)=zy(k-1);end;%过去数据下移zx(1)=0;zy(1)=0;% 没有当前的激励和输出变为过去, 算下一个zfendy, zf, %显示输出和zf参数该程序采用直接Ⅰ型结构实现迭代计算, 与filter函数计算的结果相同, zf参数可用于激励信号分段处理时，调用filter函数计算下一段输出所需的等效初始条件.用时域经典法求解差分方程与高等数学中求解微分方程的过程类似: 先求齐次解; 再将激励信号代入方程右端化简得自由项, 根据自由项形式求特解; 然后根据边界条件求完全解[3]. 用时域经典法求解例1的基本步骤如下.(1) 求齐次解. 特征方程为可算出高阶特征根可用MATLAB的roots函数计算. 齐次解为(2) 求方程的特解. 将代入差分方程右端得自由项为当n≥1时, 特解可设为代入差分方程求得(3) 利用边界条件求完全解.当n=0时迭代求出当n≥1时, 完全解的形式为选择求完全解系数的边界条件可参考文[4]选y(0),y(−1). 根据边界条件求得注意完全解的表达式只适于特解成立的n取值范围, 其他点要用δ(n)及其延迟表示, 如果其值符合表达式则可合并处理.差分方程的完全解为MATLAB没有专用的差分方程求解函数, 但可调用maple符号运算工具箱中的rsolve函数实现[5], 格式为y=maple('rsolve({equs, inis}, y(n))'), 其中equs为差分方程表达式, inis为边界条件,y(n)为差分方程中的输出函数式. rsolve的其他格式可通过mhelp rsolve命令了解. 在MATLAB中用时域经典法求解例1中的全响应和单位样值响应的程序如下:clc;clear;format compact;yn=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=(3/4)^n+1/3*(3/4)^(n-1),y(0)=5/2, y(-1)=4}, y(n))'),hn=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=0, y(0)=1, y(1)=13/12},y(n))'),如同时域经典法一样, 应用rsolve函数时要特别注意边界条件的选择问题，且边界条件要连续取点.本例求单位样值响应时的边界条件要选用y(0)和y(1)[6], 在命令窗中显示的结果也要分析n的取值范围.双零法是将完全解分解成物理意义明显的零输入响应和零状态响应分别计算. 零输入响应是激励为零, 由系统的初始状态所产生的响应; 零输入响应要求差分方程右端为零, 故特解为零; 完全解为齐次解形式, 系数可直接由初始状态确定. 零状态响应是初始状态为零, 由激励信号所产生的响应. 计算零状态响应可用时域经典法, 也可用卷积法. 根据双零响应的定义, 按时域经典法的求解步骤可分别求出零输入响应和零状态响应. 理解了双零法的求解原理和步骤, 实际计算可调用rsolve函数实现:yzi=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=0, y(-1)=4, y(-2)=12}, y(n))'), yzs=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=(3/4)^n+1/3*(3/4)^(n-1), y(0)=1, y(-1)=0}, y(n))'),边界条件和n的取值范围这里不再赘述, 各响应的计算结果在命令窗都有显示, 零输入响应和零状态响应之和与前面计算的全响应相等.变换域法是以z变换为数学工具, 先将时域差分方程变换成z域代数方程, 再在z 域求解响应的象函数, 最后将响应象函数逆变换成时域原函数, 是一种间接求解差分方程的计算方法.z变换的线性和位移性是变换域法求解差分方程的重要性质, 这里只列出双边序列的单边z变换位移公式[1]:设差分方程的一般形式为对差分方程两边取单边z变换, 并利用z变换的位移公式, 得整理成A(z)Y(z)+Y0(z)=B(z)X(z)+X0(z)形式, 有可以看出, 由差分方程可直接写出A(z)和B(z), 系统函数将系统函数进行逆z变换可得单位样值响应. 由差分方程的初始状态可算出Y0(z), 由激励信号的初始状态可算出X0(z), 将激励信号进行z变换可得X(z), 求解z域代数方程可得输出信号的象函数对输出象函数进行逆z变换可得输出信号的原函数y(n). 为了计算简单和便于对结果进行对比分析,例1列举的实例中, 系统函数的极点均为单根有理数极点, 且系统函数H(z)的零极点与激励象函数X(z)的零极点均不相同. 参照s域求解微分方程的方法[7], 利用z变换求解差分方程各响应的步骤可归纳如下:(1) 根据差分方程直接写出A(z),B(z)和H(z),H(z)的逆变换即为单位样值响应;(2) 根据激励信号算出X(z), 如激励不是因果序列则还要算出前M个初始状态值;(3) 根据差分方程的初始状态y(−1),y(−2),⋅⋅⋅,y(−N)和激励信号的初始状态x(−1),x(−2),⋅⋅⋅,x(−M)算出Y0(z)和X0(z);(4) 在z域求解代数方程A(z)Y(z)+Y0(z)=B(z)X(z)+X0(z)得输出象函数Y(z),Y(z)的逆变换即为全响应;(5) 分析响应象函数的极点来源及在z平面中的位置, 确定自由响应与强迫响应, 或瞬态响应与稳态响应;(6) 根据零输入响应和零状态响应的定义, 在z域求解双零响应的象函数, 对双零响应的象函数进行逆z变换, 得零输入响应和零状态响应.用变换域法求解例1的基本过程如下.根据差分方程直接写出系统函数的极点为对激励信号进行z变换得激励象函数的极点为根据差分方程的初始状态算出根据激励信号的初始状态算出X0(z)=0.对z域代数方程求解, 得全响应的象函数进行逆z变换得全响应为其中, 与系统函数的极点对应的是自由响应; 与激励象函数的极点对应的是强迫响应.Y(z)的极点都在z平面的单位圆内故都是瞬态响应. 零输入响应和零状态响应可按定义参照求解.上述求解过程可借助MATLAB的符号运算编程实现. 实现变换域法求解差分方程的m程序如下:clc;clear;format compact;syms z n %定义符号对象% 输入差分方程、初始状态和激励信号%a=[1, -3/4, 1/8], b=[1, 1/3], %输入差分方程系数向量y0=[4, 12], x0=[0], %输入初始状态, 长度分别比a、b短1, 长度为0时用[]xn=(3/4)^n, %输入激励信号, 自动单边处理, u(n)可用1^n表示% 下面是变换域法求解差分方程的通用程序，极点为有理数时有解析式输出 % N=length(a)-1;M=length(b)-1;%计算长度Az=poly2sym(a, 'z')/z^N;Bz=poly2sym(b, 'z')/z^M;%计算A(z)和B(z)Hz=Bz/Az;disp('系统函数H(z):'), sys=filt(b, a), %计算并显示系统函数hn=iztrans(Hz);disp('单位样值响应h(n)='), pretty(hn), %计算并显示单位样值响应Hzp=roots(a);disp('系统极点:');Hzp, %计算并显示系统极点Xz=ztrans(xn);disp('激励象函数X(z)='), pretty(Xz), %激励信号的单边z变换Y0z=0;%初始化Y0(z), 求Y0(z)注意系数标号与变量下标的关系for k=1:N;for l=-k:-1;Y0z = Y0z+a(k+1)*y0(-l)*z^(-k-l);endenddisp('初始Y0(z)'), Y0z, %系统初始状态的z变换X0z=0;%初始化X0(z), 求X0(z)注意系数标号与变量下标的关系for r=1:M;for m=-r:-1;X0z = X0z+b(r+1)*x0(-m)*z^(-r-m);endenddisp('初始X0(z)'), X0z, %激励信号起始状态的z变换Yz=(Bz*Xz+X0z-Y0z)/Az;disp('全响应的z变换Y(z)'), pretty(simple(Yz)),yn=iztrans(Yz);disp('全响应y(n)='), pretty(yn), % 计算并显示全响应Yziz=-Y0z/Az;disp('零输入象函数Yzi(z)='), pretty(Yziz), %零激励响应的z变换yzin=iztrans(Yziz);disp('零输入响应yzi(n)='), pretty(yzin), % 计算并显示零输入响应Yzsz=(Bz*Xz+X0z)/Az;disp('零状态象函数Yzs(z)='), pretty(Yzsz), %零状态响应的z变换yzsn=iztrans(Yzsz);disp('零状态响应yzs(n)='), pretty(yzsn), % 计算并显示零状态响应该程序的运行过程与手算过程对应, 显示在命令窗的运行结果与手算结果相同.求解差分方程有多种方法. 迭代法计算原理简单, 调用filter函数时要注意初始状态的等效变换. 经典法数学思路清晰, 调用rsolve函数时要注意边界条件的选择问题. 双零法物理意义清楚, 可根据定义用经典法计算. 变换域法简便高效, 适合计算各类响应. 本文列举的变换域法求解实例可作为课程教学的补充材料, 编写的变换域法求解程序对教学科研也有一定的应用价值.【相关文献】[1] 郑君里, 应启珩, 杨为理. 信号与系统[M]. 第2版. 北京: 高等教育出版社, 2000:16, 64[2] 高西全, 丁玉美. 数字信号处理[M]. 第3版. 西安: 西安电子科技大学出版社, 2008:129[3] 陈从颜, 翟军勇. 信号与系统基础[M]. 北京: 机械工业出版社, 2009:19[4] 朱玲赞. 差分方程的边界条件和离散系统的初始状态[J]. 电气电子教学学报, 2001(03): 35～37[5] 张志勇. 精通MATLAB6.5[M]. 北京: 北京航空航天大学出版社, 2003:229[6] 史林杰. 离散时间系统边界条件的确定准则[J]. 电工教学, 1997(02): 22～24[7] 张登奇, 张璇. 连续时间系统的s域分析及MATLAB实现[J]. 湖南理工学院学报(自然科学版), 2012(02): 26～29。
差分方程的解法1
差分方程的解法1第三节差分方程常用解法与性质分析高中数学新课标选修内容“一阶线性差分方程”的解法分析江西省高中数学课程标准研究组舒昌勇（341200）在高中数学新课标选修系列4的“数列与差分”专题中，一阶常系数线性差分方程x n+1=kx n+b (1)是讨论的重点，其一般形式为x n+1=kx n+f(n) (2)其中k为已知的非零常数，f(n)为n的已知函数．当f(n)≠0时，方程（2）称为非齐次的，f(n)=0时，方程x n+1=kx n(3)称为齐次的，并称（3）为（2）相应的齐次方程．方程（1）是方程（2）当f(n)为常数的情况，是方程（2）能用待定系数法求特解时所具有的几种特殊形式里最简单的一种．我们来讨论方程（1）和（3）通解的求法．1 求一阶齐次差分方程x n+1=kx n的通解用迭代法，给定初始值为x0，则一阶齐次差分方程x n+1=kx n 的通解为x1 = kx0，x2=kx1=k2x0，x3=kx2=k3x0，…，一般地，有x n= kx0-1= k(k n-1x0)= k n x0，n = 1，2，…，由于x0表示初始值，可任意给定，所以可视其为任意常数，不妨用c来表示．又根据差分方程通解的定义：如果差分方程的解中含有与方程的阶数相同个数的相互独立的任意常数，则为其通解，故一阶线性齐次方程x n+1=kx n的通解可表为x n=k n c（c为任意常数）.对于每一个任意给定的初始值x0，都能得到方程相应于该初始值的一个特解.而求特解只要将给定的初始值x0代入通解求出待定常数c 即可.2 求一阶非齐次差分方程x n+1=kx n+b的通解2．1探索一阶非齐次差分方程x n+1=kx n+b通解的结构设数列﹛y n﹜，﹛z n﹜为方程（3）的任意两个解，则y n+1=k y n +b (4)z n+1= k z n +b (5)(4)－(5) 得y n +1－z n +1=k(y n－ z n )这意味着一阶非齐次线性差分方程任意两个解的差为相应齐次差分方程的解．从而，若a n为非齐次方程（3）的任意一个解，b n为非齐次方程（3）的一个特解，则a n-b n就为相应齐次方程的一个解．为了探索一阶非齐次差分方程通解的结构，我们对它的任意一个解a n 作适当变形：a n=a n+b n- b n= b n +( a n - b n)这表明，一阶非齐次差分方程的任意一个解可表示为它的一个特解与相应齐次方程一个解的和的形式．从而非齐次方程的通解等于其一个特解加上相应齐次方程的通解．2．2 求一阶非齐次差分方程（3）的通解①用迭代法，设给定的初始值为x0，依次将n=0，1，2，…代入（3），有x1=kx0+bx2=kx1+b=k(kx0+b)+b =k2x0+b(1+k)x 3=kx 2+b= k[k 2x 0+b(1+k)]+b= k 3x 0+b(1+k+k 2) ……x n =k n x 0+b(1+k+k 2+…+k n-1)ⅰ）当k ≠1时, 1+k+k 2+…+k n-1 = kk n--11此时x n =k nx 0+kk b n--1)1(=k n (x 0－k b -1)+k b -1 由于x 0表示初始值，可任意给定，故可设其为任意常数，从而x 0－kb-1 也为任意常数．令x 0－kb-1=c ，则（3）的通解可表为 x n =k n c+kb -1 （c 为任意常数）ⅱ）当k=1时,1+k+k 2+…+k n-1=n 此时x n =x 0+nb由于x 0可任意给定，即其可为任意常数，故（3）的通解可写为x n =c+nb （c 为任意常数）②待定系数法与求解常微分方程类似，待定系数法也是求非齐次线性差分方程一个特解的一种较为简便、常用的方法．其基本思想是：根据方程的非齐次项f(n)的特点，用与f(n)形式相同但系数为待定的函数，作为方程的特解（称为试解函数），然后将该试解函数代入方程，以确定试解函数（特解）中的待定系数，从而求出方程的一个特解．ⅰ）当k ≠1时，设方程（3）有一特解x n =A ，其中A 为待定常数，将其代入（3），有A=kA+b ， A=k b -1 ，即x n =k b -1知此时方程（3）的通解为 x n = k n c+kb -1 （c 为任意常数）ⅱ）当k=1时，方程（3）为x n+1=x n +b ，知其解数列的一阶差分为常数，可设其有形如x n =An 的特解，代入（3），有A(n+1)=An+b ，得A=b ，即x n =bn 知此时方程（3）的通解为x n = k n c+bn= c+bn （c 为任意常数）例1 求差分方程2y t+1+5y t =0的通解，并求满足y 0=2的特解.解将原方程改写成y t+1=（-25）y t ，故其通解为y t =(-25)tc ， c 为任意常数. 用y 0=2代入通解：2=（-25）0c ，得 c = 2 .满足初值y 0=2的特解为y t =2(-25)t.例2 求下列差分方程的通解（1）x n+1=x n +4（2）x n+1+x n =4解（1）方程中有k=1，b=4 .其通解为x n =c+4n ，（c 为任意常数）. （2）原方程可化为 x n+1= －x n +4 ，方程中k=－1，b=4 ，其通解为 x n = (－1)n c+)1(14--= (－1)n c+2 ，（c 为任意常数）.例3 某学术报告厅的座位是这样的安排的：每一排比前一排多2个座位.已知第一排有30个座位，（1）若用y n 表示第n 排的座位数，试写出用y n 表示y n+1的公式. （2）第10排的座位是多少个？（3）若用S n 表示前n 排的座位数，试写出用S n 表示S n+1的公式. （4）若该报告厅共有20排，那么一共有多少个座位？解（1）y n+1= y n +2 n =1,2,… （2）解上述差分方程，其中k=1,b=2 ，通解为 y n =2n+c ，c 为任意常数 . 由已知y 1=30，代入，得c = 28 .特解为y n =2n+28 ，y 10=2×10+28=48(个) . （3）S n+1=S n +y n+1=S n +[2(n+1)+28]可得表达式为 S n+1=S n +2n+30 ， n=1，2，… （4）先解上述差分方程，由S n+1－S n =2n+30 ，即△S n =2n+30,知S n 的表达式为n 的二次函数，设S n =An 2+Bn+C ，则△S n =A （n+1）2+B （n+1）+C －An 2－Bn －C=2A n+ A+B = 2n+30 .可得A=1，B=29 . 又由初始条件y 1= 30= S 1，有30 =A+B+C ，故C=0 .因此本问题的特解S n = n 2+29n ，n =1,2,…S 20= 202+29×20=980（个）.注意：在本例小题（1）中每排座位数的表达式y n+1=y n +2 y n+1－y n =2,与小题（2）中前n+1排座位数表达式S n+1=S n +2n+30即S n+1-S n =2n+30都属一阶非齐次线性差分方程x n+1=kx n +f(n)类型，但前者属f(n)为常数的情况，而后者属f(n) 为n 的一次函数的情况，利用差分有关知识，知S n 的表达式是关于n 的二次函数．参考文献[1] 教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.83-85.[2] 严士健，张奠宙，王尚志. 普通高中数学课程标准（实验）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.218-228.[3] 张银生，安建业.微积分[M].北京：中国人民大学出版社，2004．431，448-460. [4] 黄立宏，戴斌祥.大学数学（一）[M]. 北京：高等教育出版社，2002.380-389 .（本文刊于中学数学教学(合肥)，2006，6．）1、常系数线性差分方程的解方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （ 8）其中ka a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。
数值分析在差分方程数值解中的应用
数值分析在差分方程数值解中的应用数值分析是一门研究如何利用计算机进行数值计算的学科，广泛应用于科学计算和工程实践中。
在差分方程的数值解中，数值分析方法可以提供高效且准确的数值计算，为实际问题的求解提供了有效的工具和技术。
本文将介绍数值分析在差分方程数值解中的应用。
一、差分方程的概念与数值解法差分方程是描述离散时间和连续状态之间关系的方程。
它可以用来求解许多实际问题，比如物理问题、生物问题和经济问题等。
差分方程的数值解法主要包括两类：直接法和迭代法。
1. 直接法直接法是一种求解差分方程的数值解的精确方法。
它通过将差分方程转化为代数方程组，然后使用数值代数方法求解方程组得到差分方程的数值解。
其中，矩阵运算是直接法的关键。
2. 迭代法迭代法是一种通过不断迭代逼近差分方程的数值解的方法。
常见的迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次上松弛迭代法等。
迭代法的优点是简单易行，但需要注意收敛性和稳定性的问题。
二、差分方程数值解中的数值分析方法差分方程的数值解中，数值分析方法可以提供精确、高效和稳定的数值计算。
以下是一些常用的数值分析方法在差分方程数值解中的应用：1. Euler法和改进的Euler法Euler法是一种基本的差分方程数值解法，通过使用线性逼近来近似求解。
然而，Euler法存在稳定性和精度的问题。
改进的Euler法通过使用更高阶的逼近技术来提高稳定性和精度。
2. Runge-Kutta法Runge-Kutta法是一种常用的差分方程数值解法，它通过使用多个插值点的加权平均来逼近差分方程的数值解。
Runge-Kutta法具有较高的精度和稳定性，被广泛应用于科学计算和工程实践中。
3. 有限差分法有限差分法是一种将微分方程转化为差分方程的方法，通过将函数的导数用差商表示来逼近微分方程的数值解。
有限差分法可以有效地处理复杂的偏微分方程，被广泛应用于计算流体力学和结构力学等领域。
4. 辛算法辛算法是一种保持哈密顿系统辛结构的差分方程数值解法。
时间序列分析讲义 第01章 差分方程
第一章差分方程差分方程是连续时刻情形下微分方程的特例。
差分方程及其求解是时刻序列方法的根底，也是分析时刻序列动态属性的全然方法。
经济时刻序列或者金融时刻序列方法要紧处理具有随机项的差分方程的求解咨询题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。
§1.1一阶差分方程假设利用变量t y 表示随着时刻变量t 变化的某种事件的属性或者结构，那么t y 便是在时刻t 能够瞧测到的数据。
假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的碍事，并满足下述方程：t t t w y y ++=-110φφ(1.1)在上述方程当中，由于t y 仅线性地依靠前一个时刻间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。
要是变量t w 是确定性变量，那么此方程是确定性差分方程；要是变量t w 是随机变量，那么此方程是随机差分方程。
在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。
例1.1货币需求函数假设实际货币余额、实际收进、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分不表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，那么能够估量出美国货币需求函数为： 上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。
能够通过此方程的求解和结构分析，判定其他外生变量变化对货币需求的动态碍事。
1差分方程求解：递回替代法差分方程求解确实是根基将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，能够通过往常的数据计算出方程变量的当前值。
由于方程结构关于每一个时刻点根基上成立的，因此能够将(1.1)表示为多个方程： 0=t ：01100w y y ++=-φφ1=t ：10101w y y ++=φφt t =：t t t w y y ++=-110φφ依次进行叠代能够得到：i ti i t t i i t w y y ∑∑=-=++=0111010φφφφ(1.2)上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，能够通过代进方程进行验证。
差分方程数学建模分析
规 律 和运 算关 系等式 ，建 立起 差分 方 程 。 １２ 对事 物 系统进 行 划分 ，划分 成若干 子 系统 ，在 每个 子 系统 ． 中 引入恰 当的 变量 或 向量 ，然 后分析 建 立起 子过 程 间的这 种 量 的关 系等式 ，从而 建立 起 差分 方程 ， 着重 强调 的是在 此过 程 中 ，时段 或子 系统 的 划分方 式是 非 常非 常 重要 的 ，应 当结 合 已有 的信 息和 分 析条 件 ，从 多种可 选方 式 中挑 选 易于 分 析 、针对 性 强的 划分 ，同时 ，对 划 分后 的时 段或 子过 程 ，引入 哪些 变量 或 向量 都是 至关 重要 的 ，要 仔 细分 析 、选择 ，尽 量 扩大 对 过程 或 系统 的数 量感 知范 围 ，包 括对 已有的 、 已知的 若干 量 进行 结 合运 算 、取 最运 算等 处理 方式 ， 目的 是 建立 起 简洁 、深 刻 、易于 求解 分析 的 差分方 程 。 ２ 模 型 举 例
Ｙ ＝ｆ ｈｙ ） ［（ 】
这就 是 两个 差分 方程 ， 属一 阶非 线性 差分 方程 。
于是 ２．１ ｘ＋＋
即 ２． ＋ ｘ＋ ２
一＋ａ ， ＝（＋ａ ）ｏ ｌ ｐｘ １ ￣ Ｘ
＋＋ ｌ ：（＋ ）。 １
３几 何模 型 分析
为了表现出两个变量 Ｘ 和 的变化过程， 我们可以借助已有的函 数 ｆ 和 ｇ ， 过对应 关系 的几何表现 把点列 （ ， ，和 ｎ 在 通 Ｙ） ＋Ｙ） ｌ 坐标 系 中描 绘 出来 ，进而 分析 它们的变化规 律 、 势、找稳 定点． 中 趋 其 （ｎＹ ） Ｘ， （ ） Ｙ） Ｘ ｇ ＋ ） Ｘ ， ＝（ｎｆ ｘ） （ ， ：（ｎ （ ） 将 点 列 Ｐ（ Ｉ 。 Ｐ （２Ｙ）Ｐ （３Ｙ ）Ｐ （４Ｙ ） … 一 接起来 ， １Ｘ， ） ２Ｘ １ ３Ｘ ３ ｘ ，，… Ｙ， ， ， 连 就会形成 象蛛 一样的折线，这个图形被称作为蛛网模型。
信号分析第五章第三节 常系数线性差分方程的求解法
X
第 5 页
例5-3-1 已知y(k ) + 3 y(k − 1) + 2 y(k − 2) = x(k)， 且y(0) = 0, y(1) = 2, x(k) = 2k ε (k), 求y(k)。
将差分方程变化为： 将差分方程变化为： y(k ) = −3y(k − 1) − 2 y(k − 2) + x(k) k = 2 y(2) = −3y(1) − 2 y(0) + x(2) = −2
提问:以上求解方法用 有问题吗 书上方法) 提问 以上求解方法用0-有问题吗 书上方法 以上求解方法用 有问题吗?(书上方法
X
第 1系数要用系统的 +值即 确定自由响应的待定系数要用系统的0 值即y(0),y(1) 确定自由响应的待定系数要用系统的 由差分方程从y(-1),y(-2)递推出 递推出y(0),y(1). 由差分方程从 递推出
k
y a 说明序列 (k)是一个公比为 1的几何级数可表示为 式中， 为常数， 定 A 式中， 为常数，由初始条件确
X
第 8 页
根据特征根(或解)的三种情况讨论
y(k) + a1 y(k − 1) + LL + an−1 y(k − n + 1) + an y(k − n) = 0
特征方程: 1 + a1r + a2 r + L + an r
2.零状态响应：系统初始状态为0，即
第 17 页
例5-3-6
y(k ) − 4 y(k − 1) + 3 y(k − 2) = 2k 已知： 已知： (其中k ≥ 0) y(− 1) = −1, y(−2) = 1 态响应法求解 利用零输入响应和零状
时间序列分析讲义 第01章 差分方程
第一章 差分方程差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。
差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。
经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。
§1.1 一阶差分方程假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。
假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程：t t t w y y ++=-110φφ (1.1)在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。
如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。
在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。
例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为：ct bt t t t r r I m m 019.0045.019.072.027.01--++=-上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。
可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。
1.1.1 差分方程求解：递归替代法差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。
由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程：0=t ：01100w y y ++=-φφ1=t ：10101w y y ++=φφt t =：tt t w y y ++=-110φφ依次进行叠代可以得到：1011211010110101)()1()(w w y w w y y ++++=++++=--φφφφφφφφ0111122113121102)1(w w w y y φφφφφφφ++++++=-i ti i t t i i t w y y ∑∑=-=++=0111010φφφφ (1.2)上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。
差分方法稳定性介绍
03
多尺度问题的求解
多尺度问题广泛存在于科学和工程领 域，对差分方法的稳定性提出更高要 求。未来研究中，将更加注重多尺度 问题的求解方法和技术研究。
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差分方法稳定性介绍
• 引言 • 差分方法的基本原理 • 差分方法的稳定性分析 • 差分方法的误差分析 • 提高差分方法稳定性的措施 • 差分方法稳定性的应用案例 • 总结与展望
01
引言
差分方法的概念
差分方法
差分方法是一种数值计算方法，用于求解微分方程的近似解。它通过构造差分 格式来逼近微分方程的导数，从而将微分方程转化为代数方程进行求解。
差分方法的稳定性分析
稳定性定义
数值稳定性
差分方法在数值计算过程中，对于初 始条件和边界条件的小扰动，解的变 化能够保持有界，即不会因计算步数 的增加而无限放大。
渐近稳定性
当计算步数趋于无穷时，差分方法的 解能够收敛到真实解，即误差能够逐 渐减小并趋于零。
稳定性判据
要点一
Lax-Richtmyer稳定性判据
对于线性偏微分方程，如果差分格式能够保持离散能量不 增长，则该格式是稳定的。该判据提供了判断差分格式稳 定性的一个充分条件。
要点二
Courant-Friedrichs-Lewy （CFL…
对于显式差分格式，为了保证计算的稳定性，时间步长与 空间步长之间需要满足一定的关系，即CFL条件。该条件 给出了时间步长的上限。
边界条件的处理
Dirichlet边界条件
直接给出边界上的函数值，处理简单。
Neumann边界条件
给出边界上的法向导数值，需要通过差分 近似进行处理。
Robin边界条件
周期边界条件
差分方程方法分析
差分方程方法分析差分方程方法的基本思想是将连续的问题转化为离散的问题，通过逐个计算离散点上的函数值来近似连续系统的演化过程。
它主要用于描述离散时间系统的时间演化，例如金融市场的价格变化、人口增长模型、物理系统的离散化等。
差分方程方法的主要步骤包括建立差分方程模型、选择合适的数值计算方法以及求解差分方程。
其中，建立差分方程模型是差分方程方法的第一步。
它涉及将连续系统的演化过程离散化为一个递推的差分方程，通过将时间或空间分割为若干个离散点，然后在离散点上计算系统的演化。
选择合适的数值计算方法是差分方程方法的关键。
常见的数值计算方法包括显式差分法、隐式差分法、Crank-Nicolson方法等。
显式差分法是一种计算简单但稳定性较差的方法，它根据已知的离散点上的数值计算出下一个离散点的数值；隐式差分法是一种计算复杂但稳定性较好的方法，它通过利用离散点上的数值，同时求解下一个点的数值和当前点的数值；Crank-Nicolson方法则是显式差分法和隐式差分法的结合，既考虑了计算简单性，又考虑了稳定性。
求解差分方程是差分方程方法的最后一步。
求解差分方程的方式取决于具体的问题和数值计算方法。
通常采用迭代法，从已知初始条件开始，依次计算离散点上的数值直到演化结束。
求解过程中需要注意稳定性和收敛性的问题，避免结果的发散或振荡现象。
总之，差分方程方法是一种常见的数学分析方法，适用于解决离散时间或空间系统的演化和变化问题。
它通过离散化连续系统，将其演化过程转化为离散点上的数值计算问题，并通过选择合适的数值计算方法和求解差分方程来得到问题的近似解析。
它在应用领域广泛，为解决实际问题提供了有效的数值计算手段。
n点平均器的差分方程 概述及解释说明
n点平均器的差分方程概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文详细介绍了n点平均器的差分方程，并对其进行了解释和说明。
n点平均器是一种常见的信号处理工具，可用于平滑数据、去除噪声和提取特征等应用中。
差分方程则是描述系统变化的数学方程，能够表达出系统在不同时间点的状态之间的关系。
1.2 文章结构文章主要分为引言、正文、实例分析、结论和结束语五个部分。
在引言部分，我们将概述文章内容、介绍文章结构以及明确研究目的。
接下来的正文部分将详细介绍n点平均器和差分方程的定义、作用以及求解方法。
在实例分析中，我们将解释n点平均器和差分方程在实际问题中的应用场景，并描述它们在实际问题中的具体应用案例。
最后，在结论部分，我们将总结n点平均器的优势与局限性，探讨差分方程在实际问题中的潜在应用价值，并提出进一步研究方向和可能改进措施。
1.3 目的本文旨在深入理解n点平均器和差分方程，并探讨它们在实际问题中的应用和潜在价值。
通过对n点平均器和差分方程的研究，我们可以更好地理解信号处理领域中的平滑技术，并为改进和优化现有算法提供新的思路和方法。
同时，本文也将为读者提供一个全面的概述，并为他们进一步深入研究和应用n点平均器和差分方程提供指导。
2. 正文：2.1 n点平均器介绍n点平均器是一种常用的信号处理技术，其目的是通过将n个连续信号值进行均值运算，得到平均值作为输出。
这样可以减少噪声的影响，平滑信号并提取其中的趋势信息。
在实际应用中，n通常表示采样窗口大小或时间窗口长度。
2.2 差分方程的定义和作用差分方程是描述离散系统行为的数学工具。
它使用差分近似方法来取代微分运算，适用于离散时间领域系统建模和分析。
差分方程能够描述信号或系统在各个离散时间点上的变化规律，并对系统进行预测和控制。
2.3 差分方程求解方法求解差分方程需要确定初始条件和差分方程本身。
常见的求解方法包括迭代法、递推法、特征根法、Z变换以及拉普拉斯变换等。
每种方法都有其适用范围和计算复杂度，在实际问题中需要根据情况选择合适的方法。
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常系数线性差分方程； 差分方程的平衡点及其稳定性；
连续模型的差分方法； 案例分析
2
2017 9月 2017 年年 9月 1919 日日
一 .常系数线性差分方程
1.常系数线性齐次差分方程
常系数线性齐次差分方程的一般形式为
xn a1 xn1 a2 xn2 ak xnk 0 (1) 其中 k 为差分方程的阶数， ai (i 1,2,, k ) 为差分方 程的系数，且 ak 0(k n) 。
1. 微分的差分方法
问题：已知 f ( x) 在点 xk 处的函数值 f ( xk )(k 0,1,, n 1) ，且
a x0 x1 xn1 b ，试求函数的导数值 f ( xk )(k 1,2,, n) 。
用差商代替微商，则有
f ( xk 1 ) f ( xk ) 向前差： f ( xk ) (k 1,2,, n) xk 1 xk f ( xk ) f ( xk 1 ) 向后差： f ( xk ) (k 1,2,, n) xk xk 1
b
a
n 1 h n1 h f ( x)dx f ( x k ) f ( x k 1) f (a) 2 f ( x k ) f (b) 2 k 0 2 k 1
类似地： 复化辛甫生（Simpson）公式; 复化柯特斯（Cotes）公式等。 （详见教材）
f ( xk 1 ) f ( xk 1 ) 中心差： f ( xk ) (k 1, 2,, n) xk 1 xk 1
13 2017 年 9 月 19日 2017 年9 月 19 日
三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
问题：已知 f ( x) 在点 xk 处的函数值 f ( xk )(k 0,1,, n) ， 且在 [a, b] 上可积，试求 f ( x) 在 [a, b] 上的积分值
四、案例:市场经济中的蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格.
消费者的需求关系
生产者的供应关系
y y0 0
需求函数 yk f ( xk )
减函数
供应函数 xk 1 h( yk ) 增函数
yk g ( xk 1 )
f g P0 x0
f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0,
P0是稳定平衡点
y y2 f P3 P2 P0 g P4 y
P0是不稳定平衡点
P3 f g P4
曲线斜率
y0 y3 y1 0
K f Kg
P1 x1 x
y0
0
P2 x0
P0
P1
K f Kg
x
x2 x0 x3
19
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四、案例:市场经济中的蛛网模型
方程模型
在P0点附近用直线近似曲线
x
xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
18 2017年9月19日
四、案例:市场经济中的蛛网模型
蛛网模型
设x1偏离x0
yk f ( xk ) xk 1 h( yk )
yk g ( xk 1 )
x1 y1 x2 y2 x3 xk x0 , yk y0 xk x0 , yk y0 P P P P P P P P0 1 2 3 1 2 3 0
ba h 为很小的数，则有常用的求积公式： n
(1)复化的梯形公式：
n 1
b
a
f ( x ) dx h
k 0
1 f a (k )h 2
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三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
（2）复化梯形公式：
如果 lim xk x ，则称平衡点
* k
x
*
是稳定的，否则是不稳定的。
研究平衡点 x 的稳定性问题，只需要研究 xk 1 axk
*
0
的平衡点 x ＝０的稳定性问题。则 x 要条件是：
*
*
a 1。
0 是稳定的平衡点的充
2017 9月 2017 年年 9月 1919 日日
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三 连续模型的差分方法
对应代数方程:
a1
k
k 1
a2
k 2
ak 0
称为差分方程(1)的特征方程，其特征方程的根 称为特征根。
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2017年9月19日
2017年9月19日
一 .常系数线性差分方程
2.常系数线性非齐次差分方程
常系数线性非齐次差分方程的一般形式 :
xn a1 xn1 a2 xn2 ak xnk f (n) (2) 其中 k 为差分方程的阶数，ai (i 1,2,, k ) 为差分
yk f ( xk )
yk y0 ( xk x0 ) ( 0) xk 1 x0 ( yk y0 ) ( 0)
16 2017 年 月 19 日 2017 年 99 月 19 日四、案例:市场经济中的蛛网模型供大于求价格下降
数量与价格在振荡
减少产量
现 象
增加产量
价格上涨
供不应求
问 题 • 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?
• 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?
17 2017年9月19日
• 描述商品数量与价格的变化规律.
根据定义，则有一般的求积公式:
b
a
f ( x)dx 。
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
其中 Ak 为求积系数，它与 xk 的选取方法有关。
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三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
一般取等距节点 xk a kh(k 0,1,, n) ，其中
方程的系数， ak 0(k n) ， f (n) 为已知函数。
7
2017 年 9 月 19日 2017 年9 月 19 日
二 差分方程的平衡点及其稳定性
1. 一阶线性常系数差分方程的平衡点
一阶线性常系数差分方程的一般形式 :
xk 1 axk b, k 0,1,2, * 它的平衡点为 x ax b 的解，不妨记为 x 。