“哥德巴赫猜想”证明(完整版)

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的数对
的个数。其中的 和
都与
互质，也就是说它
们的质因数都要大于等于
，因此它们的质因数个数至多有
个。所以对于 来说筛函数大于 0，等价于命题“a+a”成立。如果能证明 的时候筛函数大于 0，就等于证明了关于偶数的哥德巴赫猜想。 对于弱哥德巴赫猜想的解决，这两种思路都在二十世纪中得到了极大的发 展。1933 年，苏联数学家列夫·杰里科维奇·史尼尔曼同样基于筛法证明了存 在某个整数 K，使得每个偶数能够表示成 K 个素数的和，弥补了朗道的遗憾。史 尼尔曼给出的 K 的上限是 800000，不久后苏联数学家罗曼诺夫证明了这个 K 不 会超过 2208。1936 年，朗道和彼得·希尔克把结果改进到 71，一年后意大利数 学家吉奥凡尼· 里奇又将结果改良为 67。 1956 年尹文霖证明了 K 不超过 18。 1976 年，英国数学家罗伯特·查尔斯·沃恩证明了 K 小于等于 6。1937 年是弱哥德巴 赫猜想的研究取得重大突破的一年。首先，T·艾斯特曼证明了：每个充分大的 奇数都可以表示成两个奇质数和一个不超过两个质数的乘积的数的和： 或
“哥德巴赫猜想”证明
王若仲 （王洪）
务川自治县实验学校 贵州 564300
摘要：对于“哥德巴赫猜想” ，我们探讨一种简捷的初等证明方法，要证明任一不小
于 6 的偶数均存在有“奇素数+奇素数”的情形，我们把这样的情形转换到利用奇合数的个 数来加以理论分析，就是通过顺筛和逆筛的办法，顺筛就是筛除掉不大于偶数 2m（m≥3） 的全体奇合数，逆筛就是筛除掉偶数 2m（m≥3）分别减去不大于偶数 2m（m≥3）的全体奇 合数而得到的全体奇数， 其中主要是利用孙子—高斯定理以及同余的性质， 得到一个筛法公 式：Y=m（1-d1÷p1） （1-d2÷p2） （1-d3÷p3）…（1-dt-1÷pt-1） （1-dt÷pt） ，其中 di=1 或 2（i=1， 2，3，…，t） ，m 为任意给定的一个比较大的正整数（m≥3） ；p1，p2，p3，…，pt 均为不大 于 2m 的全体奇素数（pi＜ pj ，i＜j，i、j=1，2，3，…，t） ，t∈N。我们利用这个筛法 公式，就能够明确的判定在任意设定的集合{1，3，5，7，9，…， （2m-1）}中，完全可以筛 除掉集合{1，3，5，7，9，…， （2m-1）}中的全体奇合数，完全可以筛除掉偶数 2m 分别减 去集合{1，3，5，7，9，…， （2m-1）}中的每一个奇合数而得到的全体奇数；其中集合{1， 3，5，7，9，…， （2m-1）}通过这样筛除后，最后集合中剩下的奇数必定只满足“奇素数+ 奇素数=2m”的情形。并由此判定 “哥德巴赫猜想”成立。 关键词：哥德巴赫猜想；奇素数；奇合数；顺筛；逆筛 中图分类号：0156
引
言
哥德巴赫猜想：任何一个不小于 6 的偶数均可表为两个奇素数之和。 我们首先介绍“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法及其进展，德国数学家哥 德巴赫在 1742 年提出“哥德巴赫猜想”，历史上研究“哥德巴赫猜想”的方法 及进展。 对于 “哥德巴赫猜想” 历史上的研究方法， 比较有名的大致有下面四种： （1） 筛法，（2）圆法，（3）密率法，（4）三角求和法。其中：筛法是求不超过自 然数Ｎ（Ｎ＞1）的所有素数的一种方法，2m=a+b，a=p1p2p3…pi，b=q1q2q3… qj，筛法的基本出发点，即加权筛法；圆法是三角和（指数和）估计方法；密率 法（概率法）是函数估值法。 解决哥德巴赫猜想相当困难。直至今日，数学家对于强哥德巴赫猜想的完整 证明没有任何头绪。事实上，从 1742 年这个猜想正式出现，到二十世纪初期， 在超过 160 年的时间里，尽管许多数学家对这个猜想进行了研究，但没有取得任 何实质性的进展， 也没有获得任何有效的研究方法。二十世纪以前对哥德巴赫猜 想的研究，仅限于做一些数值上的验证工作，提出一些等价的关系式，或对之做 一些进一步的猜测。1900 年，德国著名数学家希尔伯特在第二届国际数学家大 会上提出的著名的二十三个希尔伯特问题之中的第八个问题， 就包括了哥德巴赫 猜想和与它类似的孪生素数猜想。希尔伯特的问题引发了数学家的极大兴趣，但 对于哥德巴赫猜想的研究仍旧毫无进展。1912 年第五届国际数学家大会上，德 国数论专家爱德蒙·朗道曾经说过，即使要证明每个偶数能够表示成 K 个素数的
，那么可以定义筛函数：
表示集合 里所有与
互质的数的个数， 也就是筛去了 内小于 的素数的所
有倍数之后还剩下的数字的个数。 布朗的方法是弱化哥德巴赫猜想中“素数”的要求，将它改为所谓的“殆 素数”，即“由不太多的质因数相乘得到的合数”，布朗在 1919 年证明了，每 个充分大的偶数都可以写成两个数之和， 并且这两个数每个都是不超过九个质因 数的乘积。这个命题可以转变为用筛函数来表达。假设有充分大的偶数 ，令 集合为 ，那么筛函数 ， 为所有素数的集合， 就是满足
1பைடு நூலகம்
和，不管 K 是多少，都是数学家力所不及的。1921 年，英国数学家戈弗雷·哈 罗德·哈代曾经在哥本哈根数学会议的一次演讲中声称： “哥德巴赫猜想的困难 程度可以与任何一个已知的数学难题相比”。 对于“哥德巴赫猜想”的研究进展，我们从四个途径来阐述。 途径一：1920 年挪威数学家布朗提供了一种证明的思路，即殆素数，他使 用推广的“筛法”证明了所有充分大的偶数都能表示成两个数之和，并且两个数 的质因数个数都不超过 9 个。这个方法的思路是：如果能将其中的 9 个缩减到 1 个，就证明了哥德巴赫猜想。布朗证明的命题被记作“9+9”，以此类推，哥德 巴赫猜想就是“1+1”。偶数 2m= a1·a2·a3·…·ai+ b1·b2·b3·…·bj。 殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设 N 是偶数，虽然现在不能证明 N 是两 个素数之和，但是可以证明它能够写成两个殆素数的和，N=A+B，其中 A 和 B 的 素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过 10。现在用“a+b”来表示如下 命题： 每个大偶数 N 都可表为 A+B，其中 A 和 B 的素因子个数分别不超过 a 和 b。 在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。 我们来看“a+b”问题的推进，布朗使用的“筛法”，其原型为埃拉托斯 特尼筛法， 早在公元前 250 年就出现在古希腊。原始的筛法可以用来寻找一定范 围内（比如说 2 到 100）的素数：先将第一个数 2 留下，将它的倍数全部划掉； 再将剩余数中最小的 3 留下，将它的倍数全部划掉；继续将剩余数中最小的 5 留下，将它的倍数全部划掉，┅，以此直至划无可划为止。这个过程就好像一遍 又一遍的筛掉不需要的数字， 故名筛法。布朗用到的推广筛法也是基于同样的理 念，给定一个需要筛选的集合 ，一个用来作为筛选标准的“筛孔”，即一系列 素数的集合 ，以及一个范围 。记为：