数学百炼 圆锥曲线中的存在性问题
圆锥曲线中的探究(存在)性问题-(通用版)(解析版)
圆锥曲线中的探究（存在）性问题圆锥曲线中探究（存在）性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，探索（存在）性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神.圆锥曲线中探索问题的求解策略1).此类问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．2)．求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． 题型1 探究点线关系问题1．（2020·上海市七宝中学高三期末）已知直线过椭圆：的右焦点，且直线交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交轴于点，且，当变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；（3）连接，试探究当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.【答案】（1）；（2）是定值，；（3）是，定点，证明见解析 【分析】（1）根据直线过定点，可求出椭圆的右焦点坐标，从而可求出椭圆中的值，再结合椭圆中，可求出的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线交椭圆于，联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，并结合及，可得到:1l x my =+C 22213x y a +=F lC ,A B ,,A F B :4l x '=,,D KE C l y M 12,MA AF MB BF λλ==m 12λλ+12λλ+,AE BD m AE BD 22143x y +=1283λλ+=-5(,0)2l ()1,0c 23b =a l ()()1122,,,A x y B x y 221431x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩y 1MA AF λ=2MB BF λ=的表达式，进而可证明；（3）令，可知直线与相交于，进而讨论时，直线与也相交于即可. 【详解】（1）直线过定点，所以椭圆的右焦点为，即，又椭圆中，所以，∴椭圆：.（2）易知，且直线与轴的交点为，直线交椭圆于， 联立，得，所以，所以，， 又，可得，所以，又，同理可得，所以， 因为， 所以，故的值是定值，且. （3）若，则直线为，此时四边形为矩形，根据对称性可知直线与相交于的中点，易知； 若，由（2）知，可知， 所以直线的方程为，12λλ+1283λλ+=-0m =AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭0m ≠AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭:1l x my =+()1,0C ()1,0F 1c =C 23b =222314a b c =+=+=C 22143x y+=0m ≠l y 10,M m ⎛⎫-⎪⎝⎭l ()()1122,,,A x y B x y 221431x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩()2234690m y my ++-=()()22236363414410m m m ∆=++=+>122634m y y m +=-+122934y y m =-+1MA AF λ=111111(,)(1,)x y x y mλ+=--1111my λ=--2MB BF λ=2211my λ=--12121112()m y y λλ+=--+212212121163423493y y m m my y y y m ⎛⎫+++==-⋅-=⎪+⎝⎭12121111282()233m m y y m λλ+=--+=--⋅=-12λλ+1283λλ+=-0m =l 1x =ABED AE BD ,F K N 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭0m ≠()()1122,,,A x y B x y ()()124,,4,D y E y AE 2121(4)4y y y y x x --=--当时，， 所以点在直线上，同理可知，点也在直线上. 所以时，直线与也相交于定点. 综上所述，变化时，直线与相交于定点. 【点睛】求定值问题，常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2．（2021·江苏高三）如图，在平面直角坐标系中，，是椭圆的左､右顶点，.是右焦点，过点任作直线交椭圆于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线与直线的交点落在定直线上.【分析】（1）根据题中条件，求出，即可得出椭圆方程；（2）设直线方程为，设，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得52x =211221122121112(4)3()2(41)3()3()422(4)2(4)y y x y y y my y y y y y x x x --------=+-==---211213()22(4)y y my y x +-=-2221169321818343402(4)2(4)(34)m m m m m m x x m --⨯-⨯-+++===--+5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭AE 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭BD 0m ≠AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭m AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭xOy A B 22221(0)x y a b a b+=>>AB =2e =F F l M N AM BN P 2212x y +=AM BN P 2x =,a b MN 1x my =+()11,M x y ()22,N x y到，，表示出直线和为定值，即可得出结果.【详解】（1），设焦距为，离心率，，，因此所求的椭圆方程为（2）设直线方程为，设，，由得，，，直线方程是，直线方程是，由，解得：此直线与直线的交点落在定直线上.【点睛】求解本题第二问的关键在于根据点为两直线交点，联立两直线方程，结合直线与椭圆联立12y y +12y y AMBN 2AB =2a ∴=a =2c 2e =2c a ∴=1c ∴=2221b a c ∴=-=2212x y +=MN 1x my =+()11,M x y ()22,N x y 22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222210m y my ++-=12222m y y m ∴+=-+12212y y m =-+AM y x =+BN y x =y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩212112211y x y my my y y ++++===212211212(1122221(12m m y m m m y m m m y m ⎛⎫⎛⎫-++--⎡⎤ ⎪ ⎪-+--+++⎝⎭⎝⎭==⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭21312m m y -+-++=((()(()()()21213121121m m y m m y ⎡⎤-+-++⎣⎦=⎡⎤-++⎣⎦()213121m m y ⎡⎤-+-++=()221121m m y ⎡⎤-+-++=(213=+=+3=+2x =AM BN P 2x =P MN，确定点横坐标为定值，即可求解.3．（2020·重庆八中高三月考）在直角坐标系内，点A ，B 的坐标分别为，，P 是坐标平面内的动点，且直线，的斜率之积等于.设点P 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程；（2）某同学对轨迹C 的性质进行探究后发现：若过点且倾斜角不为0的直线与轨迹C 相交于M ，N 两点，则直线，的交点Q 在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.【答案】（1）；（2）正确，证明见解析，直线. 【分析】（1）设点P 的坐标为，利用直接法，列方程即可求解.（2）根据题意，可设直线的方程为：，将直线与椭圆方程联立，整理可得，利用韦达定理可得，，直线的方程与直线的方程，直线，的交点的坐标满足：，整理可得，即证.【详解】（1）设点P 的坐标为， 由，得，即. 故轨迹C 的方程为：（2）根据题意，可设直线的方程为：，由，消去x 并整理得 其中，. 设，，则，. 因直线的倾斜角不为0，故，不等于（，不为0），P ()2,0-()2,0PA PB 14-()1,0l AM BN ()22104x y y +=≠4x =(),x y MN 1x my =+()224230m y my ++-=12224m y y m +=-+12234y y m =-+AM BN AM BN ()00,Q x y ()()()2100122222y x x x y x ++=⋅--04x =(),x y 1224y y x x ⋅=-+-2244y x =-()22104x y y +=≠()22104x y y +=≠MN 1x my =+22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()224230m y my ++-=()222412416480m m m ∆=++=+>()11,M x y ()22,N x y 12224m y y m +=-+12234y y m =-+l 1x 2x 2±1y 2y从而可设直线的方程为∴，直线的方程为∴， 所以，直线，的交点的坐标满足：而， 因此，，即点Q 在直线上. 所以，探究发现的结论是正确的.【点睛】本题主要考查轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力和创新意识；考查化归与转化等思想方法，属于中档题.4．（2020·江苏南通市·海安高级中学高三期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积．即椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为坐标原点，焦点，均在x 轴上，椭圆的面积为，且短轴长为．椭圆与椭圆有相同的离心率．（1）求m 的值与椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左顶点A 作直线l ，交椭圆于另一点B ，交椭圆于P ，Q 两点（点P 在A ，Q 之间）．∴求面积的最大值（O 为坐标原点）；∴设PQ 的中点为M ，椭圆的右顶点为C ，直线OM 与直线BC 的交点为N ，试探究点N 是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．AM ()1122y y x x =++BN ()2222yy x x =--AM BN ()00,Q x y ()()()2100122222y x x x y x ++=⋅--()()()()2121122121212123321y x y my my y y y x y my my y y +++==---()()2122121123239344433344m m y m m y m m m m m y y m -⎛⎫+-- ⎪--+++⎝⎭===---+-+04x =4x =1C 1F 2F 1C222:1(03)3x y C m m +=<<1C 1C 1C 1C 2C OPQ △1C【答案】（1）；；（2）∴；∴点N 在定直线运动． 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，求椭圆的标准方程，再根据两个椭圆有相同的离心率，求；（2）∴设直线AB 的方程为：且，与椭圆联立方程，利用韦达定理表示，转化为关于的函数求最值；∴首先求点的坐标，并求直线的方程，并利用直线与椭圆方程联立，求点的坐标，联立直线OM 和BC 的方程，求交点的坐标.【详解】（1）由题意可得解得， 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以的标准方程为椭圆的离心率为，椭圆得焦点在y 轴上，则 则 （2）∴当直线AB 与x 轴重合时，O ，P ，Q 三点共线，不符合题意 故设直线AB 的方程为：且 设，由（1）知椭圆的方程为：联立方程消去x 得： 由韦达定理得：； 又令 此时 ∴94m =22143x y +=4187x =-,a b 1C m 2x ty =-0t ≠2C OPQSt M OM PQ B 2ab b π⎧=⎪⎨⎪=⎩2a =b =1C 1C 22143x y +=1C 122C 12=94m =2x ty =-0t ≠()11,P x y ()22,Q x y 2C 224193x y +=2241932x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()22431670t y ty +-+=1221643t y y t +=+122743y y t =+12121||2POQ AOQ AOPS S S AO y y y y =-=⋅-=-△△△==243(3)t s s +=>==≤3233s =>OPQ △∴由∴知：，则∴ ∴直线OM 的斜率： 则直线OM 的方程为： 联立方程消去x 得：，解得： ∴ ∴则直线BC 的方程为： 联立直线OM 和BC 的方程解得：∴点N 在定值直线运动. 【点睛】定点问题解决步骤：（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程； （2）韦达定理列出两根和及两根积；（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积； （4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件.题型2 探究平面图形存在问题1.（2018·上海高考真题）设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．（1）用表示点到点距离；（2）设，，线段的中点在直线，求的面积；（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．1221643t y y t +=+1221243x x t -+=+2268,4343t M t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭43OM t k =-43ty x =-222143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234120t y ty +-=21234B t y t =+222126823443B t t x t t t -=⋅-=++222121233468164234BC tt t t kt t +==-=---+3(2)4t y x =--433(2)4t y x t y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩1824,77t N ⎛⎫- ⎪⎝⎭187x =-2t >xOy ()20F ，l x t =Γ()2800y x x t y =≤≤≥，l x A ΓB P Q ΓAB t B F 3t =2FQ =OQ FP AQP△8t =FP FQ FPEQ E ΓP【答案】（1）；（2）；（3）见解析. 【解析】（1）方法一：由题意可知：设，则，∴；方法二：由题意可知：设，由抛物线的性质可知：，∴； （2），，，则， ∴，设的中点，，，则直线方程：， 联立，整理得：，解得：，（舍去）， ∴的面积（3）存在，设，，则，， 直线方程为，∴，， 根据，则，∴，解得：， 2BF t =+1723S ==()B t 2BF t ==+2BF t =+()B t 22pBF t t =+=+2BF t =+()20F ，2FQ =3t =1FA =AQ =(3Q OQ D 322D ⎛ ⎝⎭，02322QFk ==-PF )2y x =-)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩2320120x x -+=23x =6x =AQP 1723S ==28y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，28m E m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2281628PF y y k y y ==--2168FQ y k y -=QF ()21628y y x y -=-()22164838284Q y y y y y --=-=248384y Q y ，⎛⎫- ⎪⎝⎭FP FQ FE +=2248684y y E y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2165y =∴存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且． 2．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>1C 的上顶点与抛物线2C ：()220x py p =>的焦点F 重合，且抛物线2C 经过点()2,1P ，O 为坐标原点．（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的标准方程；（2）已知直线l ：y kx m =+与抛物线2C 交于A ，B 两点，与椭圆1C 交于C ，D 两点，若直线PF 平分APB ∠，四边形OCPD 能否为平行四边形？若能，求实数m 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；24x y =；（2）四边形OCPD 不是平行四边形，理由见解析. 【分析】（1）由抛物线2C 经过点()2,1P ，可得抛物线方程为24x y =，其焦点为()0,1F ，可知1b =，再利用椭圆的离心率即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，由已知得120k k +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用两点求斜率公式求得直线l ：y x m =-+且1m >-，联立直线与椭圆方程得2258440x mx m -+-=，求得1m -<<OCPD 为平行四边形，则OP OC OD =+，即()()34342,1,x x y y =++，推出矛盾即可得结论.【详解】（1）由抛物线2C 经过点()2,1P ，得42p =，2p ∴=，故抛物线方程为24x y =．抛物线2C ：24x y =的焦点为()0,1F ，1b ∴=．又椭圆1C的离心率c e a ====解得：2a =所以椭圆1C 的标准方程为2214xy +=．（2）四边形OCPD 不是平行四边形，理由如下：将y kx m =+代入24x y =，消去y 并整理得：2440x kx m --=由题意知，216160k m ∆=+>，即2m k >-设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k因为直线PF 平分APB ∠，所以120k k += 设()11,A x y ，()22,B x y ，则121211022y y x x --+=-- FP FQ FPEQ EΓ25P ⎛ ⎝⎭又2114x y =，2224x y =，则22121212114440224x x x x x x --+++==--，124x x ∴+=- 2212121212124414ABx x y y x x k x x x x --+∴====---，所以直线l ：y x m =-+且1m >- 由2214y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 并整理得：2258440x mx m -+-= 由题意知()()2226445441650m m m ∆=-⨯⨯-=->解得：m <<1m -<<设()33,C x y ，()44,D x y ，则3485m x x +=，()3434225my y x x m +=-++=若四边形OCPD 为平行四边形，则OP OC OD =+，即()()34342,1,x x y y =++825215mm ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，显然方程组无解，所以四边形OCPD 不是平行四边形．【点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．3．（2021·湖南长沙市高三月考）如图，椭圆2222x y C :1(a b 0)a b +=>>的离心率e=2，且椭圆C 的短轴长为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P M N ，，椭圆C 上的三个动点.（i ）若直线MN 过点D 10,2⎛⎫-⎪⎝⎭，且P 点是椭圆C 的上顶点，求PMN ∆面积的最大值；（ii ）试探究：是否存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 椭圆C 的方程是22 1.4x y +=()()i 2PMN ∆()()ii 2不存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.【分析】(1) 利用离心率以及短轴长,求出椭圆中a b c 、、.即可求椭圆C 的方程;()()i 2由已知,直线MN 的斜率存在,设直线MN 方程，联立直线与椭圆方程,利用韦达定理,弦长公式,推出面积的表达式,通过换元,利用导数求出面积的最大值.()()ii 2假设存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.()1当P 在y 轴上时,推出与PMN ∆为等边三角形矛盾.()2当P 在x 轴上时,推出与PMN ∆为等边三角形矛盾.()3当P 不在坐标轴时，推出与PMN ∆为等边三角形矛盾.故得解.【详解】（1）由已知得22222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ，所以椭圆C 的方程是22 1.4x y +=()2i （）由已知可知直线MN 的斜率定存在，设直线MN 的方程为12y kx =-，()()1122,,,M x y N x y ，由221.412x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2214430k x kx +--=，所以122122414314k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ 所以()()22212121224163414k x x x x x x k+-=+-=+，又32PD =，所以()12212214PMN S PD x x k ∆=⋅-=+，令22316m m k -=≥=，所以2361321416PMN m S m m m ∆==⎛⎫-++⋅ ⎪⎝⎭， 令())1,g m m m m =+∈+∞，则()2'221110m g m m m-=-=> 所以()g m在)+∞上单调递增，所以当m 时，此时0k =，()g m此时PMN S ∆有最大值2.故得解. ()2ii （）不存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.理由如下： 假设存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.()1当P 在y 轴上时,P 的坐标为()0,1,则,M N 关于y 轴对称,MN 的中点Q 在y 轴上.又O 为PMN ∆的中心,所以2PO OQ =,可知1110,,,222Q M N ⎛⎫⎛⎫⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭,从而2MN PM ==即MN PM ≠.所以与PMN ∆为等边三角形矛盾. ()2当P 在x 轴上时,P 的坐标为()2,0,则,M N 关于x 轴对称,MN 的中点Q 在x 轴上.又O 为PMN ∆的中心,所以2PO OQ =,可知()1,0,1,,1,22Q M N ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而MN PM ==,即MN PM ≠.所以与PMN ∆为等边三角形矛盾. ()3当P 不在坐标轴时,设()00,P x y ,MN 的中点为Q ,则0OP y k x =, 又O 为PMN ∆的中心,则2PO OQ =,可知00,22x y Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.设()()1122,,,M x y N x y ,则12012022Q Q x x x x y y y y +==-⎧⎨+==-⎩, 又222112244,44x y x y +=+=,两式相减得01212121201144MN xy y x x k x x y y y -+==-⋅=-⋅-+,从而MN k =0014x y -⋅，所以000011144PO MN y x k k x y ⎛⎫⋅=⋅-⋅=-≠- ⎪⎝⎭, 所以OP 与MN 不垂直,与等边PMN ∆矛盾. 综上所述,不存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形. 【点睛】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想,属于难度题.4．（2021·四川绵阳市·（文））已知椭圆，直线交椭圆于两点，为坐标原点.（1）若直线过椭圆的右焦点，求的面积；（2）若，试问椭圆上是否存在点，使得四边形为平行四边形若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在， 22:12x C y +=:l y x m =+C ,A B O l C F AOB (0)OM tOB t =>C P OAPM t 23(0,2)【分析】（1）根据直线过右焦点求出直线方程，联立直线与椭圆方程，求出或，利用面积公式即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，根据四边形为平行四边形，且.又，，求出点的坐标为，代入椭圆方程，结合韦达定理计算求解.【详解】（1）设.直线过椭圆的右焦点，则，直线的方程为.联立得，解得或.的面积为. （2）联立得，，解得.由韦达定理得，. . 四边形为平行四边形，，且. 又，，点的坐标为.又点在椭圆上，即， 整理得.又，，即，，即. ，，综上所述，的取值范围是.113y =21y =-121||2S OF y y =-OAPM OP OA OM =+(0)OM tOB t =>()1212,OP OA tOB x tx y ty =+=++P ()1212,x tx y ty ++()()1122,,,A x y B x y l C F 1m =l 1x y =+2222,1,x y x y ⎧+=⎨=+⎩23210y y +-=113y =21y =-AOB ∴121112||1(1)2233S OF y y =-=⨯⨯--=2222,,x y y x m ⎧+=⎨=+⎩2234220x mx m ++-=()22(4)12220m m ∴∆=-->203m <1243m x x +=-212223m x x -=()()()221212121223m y y x m x m x x m x x m -∴=++=+++=OAPM 0m ∴≠OP OA OM =+(0)OM tOB t =>()1212,OP OA tOB x tx y ty ∴=+=++∴P ()1212,x tx y ty ++P ()()22121222x tx y ty +++=()()222221122121222242x y txy tx x ty y +++++=221122x y +=222222x y +=12122x x y y t +=-22222233m m t --∴+⨯=-2643m t -=20,03t m ><<02t ∴<<t (0,2)【点睛】此题考查根据直线与椭圆关系求三角形面积，将几何关系转化为代数关系，利用点的坐标结合韦达定理求解，综合性强.题型3 探究长度、面积（周长）相关问题1．（2020·山西高三月考（理））已知中心为坐标原点的椭圆C的一个焦点为)F，且经过点1,2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）若不经过点F 的直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆221x y +=相切，试探究ABF 的周长是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y += ；（2）ABF 的周长为定值4 . 【分析】（1）由椭圆的定义可知'42MF MF a +==，可得2a =，因为c =222b a c =-，所以1b =可得答案；（2）因为直线l 与圆相切，可得m 与k 的关系，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理可得弦长公式AB ，再利用两点间的距离公式可得AF 12x =-，22BF x =，所以AF BF AB ++可得答案.【详解】（1）设椭圆C 的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，由题可知另一个焦点为()'F .由椭圆的定义可知'42MF MF a +===，所以2a =，因为c =222b ac =-，所以1b =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）是定值，理由如下：因为直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与圆221x y +=相切，1=，即221m k =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得 ()222418440kx kmx m +++-=，所以()2221641480k m k ∆=-+=>，122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+，所以AB ====，又221m k =+，所以241AB k -=+.由于0,0k m <>，所以1202,02x x <<<<，因为AF =122x ==-，同理22BF x =，所以()1242AF BF x x +=-+2284424141km k k =+⨯=+++，所以44AF BF AB ++=+=，故ABF 的周长为定值4. 【点睛】本题考查了直线与圆、直线与椭圆的位置关系，第二问的关键点是利用韦达定理可得AB 和AF BF +，考查了分析问题、解决问题的能力.2．（2021·山西运城市·高三期末（理））已知A ，B 是椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，C 为E 的上顶点，3AC BC ⋅=-．（1）求椭圆的方程；（2）若M ，N ，P 是椭圆E 上不同的三点，且坐标原点O 为MNP △的重心，试探究MNP △的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）MNP △ 【分析】（1）分别写出点,,A B C 三点的坐标，求出AC 、BC 的坐标，利用数量积的坐标运算即可求解； （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率不存在时计算MNP △的面积，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，与2214xy +=联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理可得12x x +，12x x ，计算弦长||MN ，点P 到直线MN 的距离d ，计算1||2MNPS MN d =⋅即可求解. 【详解】（1）(,0),(,0),(0,1)A a B a C -，则(,1),(,1)AC a BC a ==-，因为3AC BC ⋅=-，所以213a -+=-，得24a =．所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为1x x =，设()11,M x y ，则()11,N x y -，因为O 为MNP △的重心，所以()12,0P x -．由M ，N ，P 在椭圆上，所以221114x y +=且21414x =，解得221131,4x y ==．易知1232MNPS =⨯=， 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由2214x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x kmx m +++-=，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+， ()121222241m y y k x x m k +=++=+．因为O 为MNP △的重心，所心2282,4141kmm P k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 因为P 在椭圆上，故2222182144141km m k k -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得22441m k =+．||MN =点P 到直线MN 的距离d 等于O 到直线MN距离的3倍，所以d =，所以11||22MNPSMN d =⋅=26|42m m ==，综上，MNP △的面积为定值2． 【点睛】本题解题的关键点是设直线MN 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，计算弦长||MN ，点P 到直线MN 的距离d ，计算1||2MNPSMN d =⋅，注意计算直线MN 的斜率不存在时，MNP △的面积. 3．（2021·河北保定市·高三二模）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、22:13y C x -=1F 2F P C 128PF PF +=P C PA与渐近线的交点分别是和.（1）求四边形的面积；（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1（2）是，且定值为.【分析】（1）求出点、的坐标，计算出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得四边形的面积；（2）设点，求出点的坐标，计算出点到直线的距离，利用平行四边形的面积公式化简可得结果.【详解】（1）因为双曲线，由双曲线的定义可得，又因为，，， 因为，所以，，轴，点的横坐标为，所以，，，可得，即点，过点且与渐近线平行的直线的方程为，PB A B OAPB ()2222:10,0x y C a b ab'-=>>P 'C 'P 'C 'P A ''P B ''A 'B 'OA P B '''a b 12ab P B B OP OAPB ()00,P x y 'B 'B 'OP 'd 22:13y C x -=122PF PF -=128PF PF +=15PF ∴=23PF =124F F ==2222121PF F F PF +=2PF x ∴⊥∴P 2P x =22213P y -=0P y >3P y =()2,3P P y =)32y x -=-联立，解得，即点，直线的方程为，点到直线的距离为， 且，因此，四边形的面积为； （2）四边形的面积为定值，理由如下： 设点，双曲线的渐近线方程为，则直线的方程为， 联立，解得，即点， 直线的方程为，即， 点到直线的距离为，且因此，（定值）. 【点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．4．（2020·安徽淮南市·高三二模）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与到定点的距离之比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于，两点，线段的中)32y y x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩132x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩312B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭OP 320x y -=B OP d ==OP =OAPB 22OAPBOBP S S OP d ==⋅=△OA P B '''12ab ()00,P x y '22221x ya b-=b y x a =±P B ''()00by y x x a-=--()00b y y x x a b y x a ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩00002222x a x y b y b y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩0000,2222x y a b B y x ba ⎛⎫++ ⎪⎝⎭'OP '0y y x x =000y x x y -=B 'OP 'd ==22==OP '=22OA P B OB P abSS OP d ''''''==⋅=△xOy P 4x =(1,0)F 2P E F E A B AB垂线与交于点，与直线交于点，设直线的方程为，请用含的式子表示，并探究是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）；存在； 【分析】（1）设，动点到直线的距离与到定点的距离之比为，列出方程求解即可；（2）设，联立，消去，得，利用韦达定理，结合弦长公式，求出，，然后求解即可. 【详解】（1）设，动点到直线的距离与到定点的距离之比为，化简整理得.动点的轨迹的方程为. （2）设，联立，消去x ，得，根据韦达定理可得：，， ，又，于是，令，解得存在，使. 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，采用“设而不求法”并进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决，属于难题.题型4 探究角度相关问题1．（2020·江苏省苏州高三月考）已知双曲线的方程22:21C x y -=．（1）求点(0,1)P 到双曲线C 上的点的AB C 4x =-D AB 1x my =+m AB CDm 35ABCD =m 22143x y +=AB CD =0m =(,)P x y P 4x =(1,0)F 2()()1122,,,A x y B x y 221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()2234690m y my ++-=AB CD (,)P x y P 4x =(1,0)F 2∴2=22143x y +=∴P E 22143x y +=()()1122,,,A x y B x y 221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my ++-=122634m y y m +=-+122934y y m =-+∴()212212134m AB y y m +=-==+2243,3434m C m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭()(22435434m CD m +=-=+∴ABCD =35AB CD ==0m =∴0m =35AB CD =距离的最小值；（2）已知直线:l y kx t =+与圆22:1M x y +=相切，①求k 和t 的关系②若l 与双曲线C 交于A 、B 两点，那么AOB ∠是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）（i ）221t k =+；（ii ）AOB ∠为定值90︒． 【分析】（1）设(,)Q a b 为双曲线上的点，代入双曲线的方程，结合两点的距离公式和二次函数的最值，可得最小值；（2）设直线l 的方程为y kx t =+，由直线和圆相切可得221t k =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立双曲线的方程，消去y 可得x 的二次方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算可得AOB ∠为定值．【详解】解：（1）设()00,Q x y 为双曲线上的点，则220021-=x y ，则||===PQ 当023y =时||PQ 最小，且为6，所以点(0,1)P 到从曲线C 上点的距离的最小值为6； （2）①设直线线l 的方程为y kx t =+，由直线l与圆相切，可得1==d ，即221t k =+，②设()()1122,,,A x y B x y ，联立得()22222221021y kx t k x ktx t x y =+⎧⇒----=⎨-=⎩， 则222121222221220,,222++-≠+==-=----kt t k k x x x x k k k， 所以()()()2212121212=++=+++y y kx t kx t k x x kt x x t 222222222222222222222--++--+===---k t k k t t k t t k k k k k， 所以2212122222022++⋅=+=-+=--k k OA OB x x y y k k，所以AOB ∠为定值90︒． 【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，以及直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和向量的坐标运算，考查方程思想和运算能力、推理能力．2．（2021·湖南高三三模）已知椭圆的右焦点为，离心率．（1）若为椭圆上一动点，证明到的距离与到直线的距离之比为定值，并求出该定值；（2）设，过定点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴始终平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；定值；（2）存在；． 【分析】（1）根据两点距离公式，结合已知进行证明即可；（2）根据求出椭圆的方程，将直线方程与椭圆方程联立得到一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数关系，结合直线的斜率公式进行求解即可.【详解】解：（1）设点，则．因为， 点到直线的距离，所以， 即到的距离与到直线的距离之比为定值．（2）因为，，所以，的方程为．假设存在这样的一点，设，直线，联立方程组，消去得，． 设，，则，．因为轴平分，所以直线与的斜率互为相反数， 即，2222:1(0)x y C a b a b+=>>(c,0)F 12e =P C P F P 2a x c=1c =(0,)c k l C M N y Q y MQN ∠Q 12(0,3)Q 1c =()00,P x y 2200221x y a b+=||PF ===0c a x a=-P 2a x c =20a d x c =-020||12c a x PF c a e a d a x c-====-P F P 2a x c=121c =12e =2a =b =C 22143x y +=Q (0,)Q t :1l y kx =+221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y ()2234880k x kx ++-=()296210k ∆=+>()11,M x y ()22,N x y 122834k x x k -+=+122834x x k-=+y MQN ∠QM QN 121211QM QN kx t kx t k k x x +-+-+=+()1212122(1)0kx x t x x x x +-+==所以， 因为与无关，所以．故在轴上存在一点，使得轴始终平分．【点睛】由轴平分，得到直线与的斜率互为相反数，这是解题的关键. 3．（2021·天津高三二模）已知抛物线：与离心率为的椭圆：的一个交点为，点到抛物线的焦点的距离为2.（∴）求与的方程；（∴）设为坐标原点，在第一象限内，椭圆上是否存在点，使过作的垂线交抛物线于点，直线交轴于点，且？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（∴），；（∴）不存在点. 【分析】（∴）由抛物线的定义可知到焦点的距离等于到准线的距离，代入准线方程可求出值，从而求出抛物线方程；代入抛物线方程可求出点坐标，代入椭圆方程，结合离心率联立可解出，从而求出椭圆方程；（∴）直线与轴交于点，因为，且有，可得出，，即为线段中点，则有，设直线的方程为：，求出直线的方程，分别与椭圆和抛物线联立，求出点坐标，代入求解即可.【详解】解：（∴）因为抛物线方程为，则准线方程为：，点到焦点的距离等于到准线的距离，所以有，解得：，抛物线方程为：. 则或，且点在椭圆上，有，又椭圆离心率为，即，即，联立求解：，所以椭圆方程为. （∴）由题意，直线斜率存在且大于0，设直线的方程为：，因为，则有22882(1)3434k k t k k --⋅+-⋅++22168(1)8(3)03434k k t k t k k----===++8(3)0k t -=k 3t =y (0,3)Q y MQN ∠y MQN ∠QM QN 1C ()220y px p =>22C ()222211x y a b a b+=>>()1,P t Р1C 1C 2C O 2C A O OA 1C B AB y E OAE EOB ∠=∠A 21:4C y x =222:1992x y C +=A p P ,a b AB x D OAE EOB ∠=∠90OAB EOD ∠=∠=OAD DOA ∠=∠DOB DBO ∠=∠D AB A B y y =-OA ()0y kx k =>OB ()220y px p =>2px =-()1,P t 122p+=2p =24y x =()1,2P ()1,2P -P 22141a b +=22212c a =2212b a =22992a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩221992x y +=OA OA ()0y kx k =>OA OB ⊥直线的方程为：， 由得：，即； 由得：，即. 设直线与轴交于点，因为在第一象限内，满足，又，所以有，，所以，即为线段中点，所以，无解，所以不存在点的坐标使得.【点睛】（1）抛物线经常利用定义转化，将到焦点的距离转化为到准线的距离，减少变量求解；（2）直线与圆锥曲线的问题，经常将所求问题转化为与根有关的问题，此题中将转化为，联立解出点坐标，代入等式可判断是否存在.4．（2021·上海高三专题练习）已知椭圆，是的下焦点，过点的直线交于、两点，（1）求的坐标和椭圆的焦距；（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程；（3）在轴上是否存在定点，使得恒成立若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），焦距为；（2），此时直线的方程为；（3）存在定点，使得恒成立．【分析】（1）利用椭圆方程求出，，然后求解，即可得到结果．（2）设直线，与椭圆方程联立．利用判别式以及韦达定理，结合弦长公式点到直线的距离公式，然后求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可推出直线方程．（3）由（2）得，，推出直线系方程，然后求解定点坐标．验证当直线的斜率不存在时，直线也过定点，即可．【详解】（1）椭圆，可得，，所以，焦距为；OB xy k=-221992x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩A ⎛⎫241y xy xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩244x k y k ⎧=⎨=-⎩()24,4B k k -AB x D OAE EOB ∠=∠90OAB EOD ∠=∠=OAD DOA ∠=∠DOB DBO ∠=∠AD OD BD ==D AB A B y y =-4k =314=<A OAE EOB ∠=∠OAE EOB ∠=∠A B y y =-22:1126y x Γ+=F Γ()0,6R l ΓM N F ΓMNF l y S RSM RSN π∠+∠=S (0,F 2c =MNF l 6y =+()0,2S RSM RSN π∠+∠=a b c :6l y kx =+122122kx x k -+=+122242x x k =+l l (0,2)S 22:1126y x Γ+=a =b =c =(0,F 2c =（2）由题意得直线的斜率存在，设直线，由得，所以，故， 设，，则，， 所以(或用） 点到直线的距离所以，令，则， 所以，当且仅当时取等号，所以，此时直线的方程为；（3）当直线的斜率存在时，由（2）得，， 因为，所以，即，所以， 所以，所以， 所以，因为，所以，所以， 当直线的斜率不存在时，直线也过定点，故轴上存在定点，使得恒成立．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，解决本题的关键点是将l :6l y kx =+2211266y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()22212240k x kx +++=()()2221449624840k k k ∆=-+=->240k ->()11,M x y ()22,N x y 122122kx x k -+=+122242x x k =+12MN x =-=====MN =F l d =)21622MNFS MN d k =⋅==+△0t =>))216666MNF tS t t t==++△6MNF S ≤=△k =MNF l 6y =+l 122122kx x k -+=+122242x x k =+RSM RSN π∠+∠=0MS NS k k +=12120y t y tx x --+=()()21120x y t x y t -+-=()()2112660x kx t x kx t +-++-=()()1212260kx x t x x +-+=()()2222412122620222k kkt t k k k -+-=-=+++0k ≠2t =()0,2S l l ()0,2S y ()0,2S RSM RSN π∠+∠=。
圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线中的探究性(存在性)问题
圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品圆锥曲线中的探究性（存在性）问题（一）存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题， 此类题目的条件和结论不完备， 要求学生结合已有的条件进行观察、分析、 比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学 方法的能力有较高的要求， 特别是在解析几何第二问中经常考到 “是否存在这样的点” 的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。
一、是否存在这样的常数例 1．在平面直角坐标系 xOy 中，经过点 (0， 2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆x2y 21有2两个不同的交点 P 和Q ． （I ）求 k 的取值范围；（ II ）设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数 k ，使得向量 OPOQ与 AB 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线 l 的方程为 y kx 2 ，代入椭圆方程得 x 2( kx2) 21．整理得 1 k 2x 22 2kx 1 0①22直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于8k 2 4 1 k 2 4k 22 0 ， 2 解得 k 2或 k2 ．即 k 的取值范围为 ∞ ， 2 2，∞ ．22 22（Ⅱ）设 P(x 1，y 1 )，Q(x 2，y 2 ) ，则 OP OQ ( x 1x 2，y 1 y 2 ) ，由方程①， x 1 x 2 4 2k ．②1 2k 2又y 1y 2 k ( x 1 x 2 ) 2 2 ．③而 A( 2，0)， B(01，)，AB ( 21)， ．所以 OPOQ 与 AB 共线等价于 x 1 x 22( y 1 y 2 ) ，将②③代入上式，解得k2．2圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品22，故没有符合题意的常数 k ．由（Ⅰ）知 k 或 k2 2练习 1：（ 08 陕西卷 20）．（本小题满分12 分） 已知抛物线 C ： y 2x 2，直线 ykx2交C 于 A ，B 两点， M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数 k 使 NA NB 0，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由．解 法 一 ：（ Ⅰ ） 如 图 ， 设 A( x 1，2x 1 2 ) ， B(x 2，2x 2 2) ， 把y k x 2 代 入 y 2x 2得2x 2kx 2 0 ， 由韦达定理得 x 1 x 2 k ， x x 1 ， 2 1 2 x N x M x 1 x 2 k ， k k 2N 点的坐标为 ， ． yM2B1A2 4 4 8设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 yk 2 m x k， 8 4 将 y 2x 2 代入上式得 2x 2 mx mk k 2 0 ， 4 8 直线 l 与抛物线 C 相切， m 2 8 mk k 2 m 2 2mk k 2 (m k) 20 ， 4 8 即 l ∥ AB ．（Ⅱ）假设存在实数 k ，使 NA NB 0，则 NA NB ，又 |MN | 1|AB|． 2 1 ( y 1 y 2 )1(kx 1 1[ k( x 1 由（Ⅰ）知 y M 2 kx 2 2) 2 2 2N x O 1m k ．M 是 AB 的中点，x 2 ) 4]1 k2 k 2． 2 4 2 2 4MN x 轴， | MN | |y My N | k 2 2 k 2 k 216 ．4 8 81 k2 |x1x2 | 1 k 2( x1x2 )24x1x2又|AB|圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品k 211 k 24(1) k2 1 k 2 16 ．22k216 1k2 1 k 216 ，解得k 2 ．8 4即存在 k 2，使 NA NB 0 ．解法二：（Ⅰ）如图，设A( x1，2x12 )， B( x2，2x22 ) ，把 y kx 2 代入 y 2x2得2x2kx 2 0 ．由韦达定理得x1x2k， x1 x2 1 ．2x N x M x1x2kN 点的坐标为k k 2．y 2x2y4x ，2，4，，4 8kk ，l ∥ AB ．抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 44 （Ⅱ）假设存在实数k ，使 NA NB 0 ．由（Ⅰ）知NA x1k ，2k2，x2k ， 2 k2，则2x18NB42x284NA NB x1kx2k 2 k2 2 k2 4 42x182x28x1kx2k42 k2 2 k 2 4 4x116x216x1kx2k1 4 x1kx2k 4 4 4 4x x k x x k 2 1 4x x k( x x ) k 2 1 2 4 1 216 1 2 1 2 41 k k k2 1 4 ( 1) k k k24 2 16 2 41 k233k2 16 40，1 k 20 ， 3 3 k2 0 ，解得 k2 ．16 4圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品即存在 k2，使 NANB0 ． 练习 2.直线 ax-y = 1 与曲线 x 2 - 2y 2= 1相交于 P 、 Q 两点。
圆锥曲线中的证明与存在性问题
1
1
2
同理，联立直线 BC 与抛物线 W 的方程，并消去 y 得 x ＋ x － x 0－ 02
＝0，且｜ BC ｜＝ 1 +
＝ 1+
1 1
2
+ 20 ，
1 2
−
·｜ x 2－ x 0｜＝
1+
1 2
1
−
·−
− 20
∴｜ AB ｜＋｜ BC ｜＝ 1 +
−4
−
3+2−6
−2
＝
9−6+18 −2 +4 3+2−6
，
−62 +4−8+24
−62 +4−8+24
＝ 2
＝ 2
2
9 +8 +6−12−36
9 +72−182 +6−12−36
2 −32 +2−4+12
−62 +4−8+24
｜，｜ ｜，｜ ｜成等差数列，并求该数列的公差.
(2)由题意得 F (1，0).设 P ( x 3， y 3)，
则( x 3－1， y 3)＋( x 1－1， y 1)＋( x 2－1， y 2)＝(0，0).
由(1)及题设得 x 3＝3－( x 1＋ x 2)＝1，
y 3＝－( y 1＋ y 2)＝－2 m ＜0.
圆锥曲线中的证明与存在性问题
考点一
例1
圆锥曲线中的证明问题
(2023·新高考Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，点 P 到 x 轴的距离等于点 P
专题16 圆锥曲线中的存在性问题(解析版)
专题16 圆锥曲线中的存在性问题1．（2022·上海黄浦·二模）已知双曲线Γ：221412x y -=，F 为左焦点，P 为直线1x =上一动点，Q 为线段PF与Γ的交点．定义：||()||FP d P FQ =． (1)若点Q()d P 的值；(2)设()d P λ=，点P 的纵坐标为t ，试将2t 表示成λ的函数并求其定义域； (3)证明：存在常数m 、n ，使得()||md P PF n =+． 【答案】(1)5(2)223612075t λλ=-+，5,+2λ⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭(3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先求出Q 点的坐标，即可得到直线PF 的方程，从而求出P 点坐标，即可得解； （2）设点Q 的坐标为(,)Q Q x y ，由FP FQ λ=，即可得到Q x 、Q y ，代入椭圆方程整理可得；（3）当点P 不在x 轴上时，过Q 作x 轴的垂线，垂足为Q '，设直线1x =与x 轴的交点为P '，点Q 的坐标为(,)Q Q x y ．依题意可得()(||)n d P m QF =-又5()4Q d P x =+，再由距离公式求出QF ，即可得到5(6)104Q m n x -=++，从而求出m 、n 的值，再计算点P 在x 轴上时的情形，即可得证； (1)解：由题意，点F 的坐标为(4,0)-，将y =221412x y-=中，可得221412x -=，所以3x =±， 不妨取Q的坐标为(-， 于是直线PF的方程为4)y x =+．将1x =代入直线PF 的方程，得点P的坐标为． 因此||()5||FP d P FQ ==． (2)解：由题意，点F 的坐标为(4,0)-，点P 的坐标为(1,)t ．设点Q 的坐标为(,)Q Q x y ，由FP FQ λ=，0λ>，又()5,FP t =、()4,Q Q x F y Q +=， 即()()5,4,Q Q x t y λ+=，所以54Q Q x ty λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入双曲线方程221412x y -=，得2253412t λλ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得223612075t λλ=-+．由20t ≥，即236120750λλ-+≥，结合0λ>，解得506λ<≤或52λ≥． 又2Q x ≤-，即542λ-≤-，结合0λ>，解得52λ≥．因此223612075t λλ=-+，5,+2λ⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭．(3)证明：点F 的坐标为(4,0)-．当点P 不在x 轴上时，过Q 作x 轴的垂线，垂足为Q '． 设直线1x =与x 轴的交点为P '，点Q 的坐标为(,)Q Q x y ．()||md P PF n =+，即()||()(||)n md P PF d P m QF =-=-．||||5()||||4Q FP FP d P FQ FQ x '==='+．由Q 为线段PF 与Γ的交点，得点Q 的坐标(,)Q Q x y 满足方程221412x y -=，即221412Q Q x y -=．于是||QF 2|1|Q x +，又2Q x <-，故||2(1)Q QF x =-+． 于是55(6)()(||)2(1)1044Q Q Q m n d P m QF m x x x -⎡⎤=-=++=+⎣⎦++． 故存在常数6m =、10n =，使得()||md P PF n =+． 当点P 在x 轴上时，()1,0P ，()2,0Q -，()4,0F -，所以5FP =，2FQ =，即||5()||2FP d P FQ ==，所以6()10d P PF ⨯=+，即上述结论亦成立．2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知椭圆M ：22221x y a b +=（a >b >0AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2. (1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点()2,0P ，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，当12111k k +=时，是否存在直线l 恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22142x y +=(2)存在，()2,4-- 【解析】 【分析】（1）由题意求出,,a b c ，即可求出椭圆M 的方程.（2）设直线l 的方程为m (x －2)+ny ＝1，()11,C x y ，()22,D x y ，联立直线l 的方程与椭圆方程()()222242x y x -+=--，得()22214420x x m n y y ⎛⎫--+++= ⎪⎝⎭，则12114114n k k m +=-=+，化简得14m n +=-，即可求出直线l 恒过的定点. (1)因为22221x y a b +=（a >b >0222b a =， 所以a ＝2，c =b M 的方程为22142x y +=.(2)设直线l 的方程为m (x －2)+ny ＝1，()11,C x y ，()22,D x y ， 由椭圆的方程2224x y +=，得()()222242x y x -+=--.联立直线l 的方程与椭圆方程，得()()()2222422x y x m x ny ⎡⎤⎣⎦-+=---+，即()()()221424220m x n x y y +-+-+=，()22214420x x m ny y ⎛⎫--+++= ⎪⎝⎭， 所以12121222114114x x nk k y y m--+=+=-=+， 化简得14m n +=-，代入直线l 的方程得()1214m x m y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭， 即()1214m x y y ---=，解得x ＝－2，y ＝－4，即直线l 恒过定点()2,4--. 3．（2022·上海青浦·二模）已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过F 的直线l 交Γ于,A B 两点．(1)若直线l 垂直于x 轴，求线段AB 的长；(2)若直线l 与x 轴不重合，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值；(3)若椭圆Γ上存在点C 使得||||AC BC =，且△ABC 的重心G 在y 轴上，求此时直线l 的方程． 【答案】(1)3 (2)32(3):1l x =、:0l y =或:1l x y =+ 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直x 轴，可得,A B 坐标，进而可求线段长度.（2）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，进而根据三角形面积求表达式，进而根据函数最值进行求面积最大值.（3）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，以及重心坐标公式，即可求解. (1)因为(1,0)F ，令1x =，得21143y+=，所以32y =±，所以||3AB =(2)设直线:1(0)l x my m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，不妨设210,0y y ><，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=， 2144(1)m ∆=+，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，21y y -==211122AOBSOF y y =⋅-=t =，则1t ≥，2661313AOB t S t t t==++△，记1()3h t t t =+，可得1()3h t t t=+在[)1,+∞上单调递增所以211322AOBSOF y y =⋅-≤当且仅当0m =时取到， 即AOB 面积的最大值为32；(3)①当直线l 不与x 轴重合时，设直线:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点为M ．由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 因为ABC 的重心G 在y 轴上，所以120C x x x ++=， 所以121228()234C x x x m y y m -=--=-+-=+，又()12122242234Mm y y x x x m +++===+，1223234M y y my m +-==+， 因为||||AC BC =，所以CM AB ⊥ ,故直线:()M M CM y y m x x -=--，所以29()34C M C M m y y m x x m =--=+，从而2289,3434m C m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 代入22143x y +=得22(31)0m m -=，所以0,m =:1l x =或:1l x y =+．① 当直线l 与x 轴重合时，点C 位于椭圆的上、下顶点显然满足条件，此时:0l y =． 综上，:1l x =，:0l y =或:1l x y =+． 4．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）圆O ：224x y +=与x 轴的两个交点分别为()12,0A -，()22,0A ，点M 为圆O 上一动点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点R 满足12NR NM = (1)求点R 的轨迹方程；(2)设点R 的轨迹为曲线C ，直线1x my =+交C 于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，试问：是否存在一个定点T ，当m 变化时，2A TS 为等腰三角形【答案】(1)2214x y +=(2)存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）设点()00,M x y 在圆224x y +=上，故有22004x y +=，设(),R x y ，根据题意得0x x =，012y y =，再代入圆224x y +=即可求解；（2）先判断斜率不存在的情况；再在斜率存在时，设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆联立得：()224230m y my ++-=，12224m y y m -+=+，12234y y m -=+，再根据题意求解判断即可. (1)设点()00,M x y 在圆224x y +=上，故有22004x y +=，设(),R x y ，又12NR NM =，可得0x x =，012y y =， 即0x x =，02y y =代入22004x y +=可得()2224x y +=，化简得：2214x y +=，故点R 的轨迹方程为：2214x y +=.(2)根据题意，可设直线l 的方程为1x my =+， 取0m =，可得P ⎛ ⎝⎭，1,Q ⎛ ⎝⎭， 可得直线1A P的方程为y x =+，直线2A Q的方程为y x =-联立方程组，可得交点为(1S ；若1,P ⎛ ⎝⎭，Q ⎛ ⎝⎭，由对称性可知交点(24,S ， 若点S 在同一直线上，则直线只能为l ：4x =上，以下证明：对任意的m ，直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线l ：4x =上. 由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()224230m y my ++-= 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12224m y y m -+=+，12234y y m -=+ 设1A P 与l 交于点()004,S y ，由011422y y x =++，可得10162y y x =+ 设2A Q 与l 交于点()004,S y '，由022422y y x '=--，可得20222y y x '=-，因为()()()()122112102126123622222y my y my y y y y x x x x --+'-=-=+-+- ()()()()()22121211121212464402222m mmy y y y m m x x x x ----+++===+-+-， 因为00y y '=，即0S 与0S '重合， 所以当m 变化时，点S 均在直线l ：4x =上，因为()22,0A ，()4,S y ，所以要使2A TS 恒为等腰三角形，只需要4x =为线段2A T 的垂直平分线即可，根据对称性知，点()6,0T . 故存在定点()6,0T 满足条件.5．（2022·上海交大附中模拟预测）已知椭圆221214x y F F Γ+=：，，是左、右焦点．设M 是直线()2l x t t =>：上的一个动点，连结1MF ，交椭圆Γ于()0N N y ≥．直线l 与x 轴的交点为P ，且M 不与P 重合．(1)若M 的坐标为58⎫⎪⎪⎝⎭，，求四边形2PMNF 的面积； (2)若PN 与椭圆Γ相切于N 且1214NF NF ⋅=，求2tan PNF ∠的值；(3)作N 关于原点的对称点N '，是否存在直线2F N ，使得1F N '上的任一点到2F N 求出直线2F N 的方程和N 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(3)存在；y x =；126N ⎫⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据点斜式方程可得1:MF l y x =，再联立椭圆方程得到12N ⎫⎪⎭，再根据2112PMNF PF M NF F S S S =-△△求解即可；（2）设:()PN l y k x t =-，根据相切可知，直线与椭圆方程联立后判别式为0，得到2214k t =-，再根据1214NF NF ⋅=，化简可得t =12N ⎫⎪⎭，再根据直角三角形中的关系求解2tan PNF ∠的值即可；（3）设()00,N x y ，表达出2NF l，再根据22O NF d -=列式化简可得2148k =，结合k =程即可求得N 和直线2F N 的方程 (1)由题意，()1F，故15MF k ==，所以1:MF l y x =与椭圆方程联立2214x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得：213450x +-=，即(130x x +=，又由题意N x >，故解得x =12N ⎫⎪⎭，故121122NF F S =⋅=△且11528PF M S ==△则2112PMNF PF M NF F S S S =-=△△(2)由于直线PN 的斜率必存在，则设:()PN l y k x t =-与椭圆方程联立2214()x y y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得：()22222148440k x k tx k t +-+-=由相切，()22216140k k t∆=+-=，则2214kt =- 同时有韦达定理21228214N k t x x x k +==+，代入2214k t =-有2244414Ntt x t -=+-，化简得4N x t =，故2222414N Nx t y t-=-=而222122122134N Nt NF NF x y t -⋅=+-==，解得2t =>则12N ⎫⎪⎭，所以2NF x ⊥轴，故在直角三角形2PNF中，2223tan 12PF PNF NF ∠===(3)由于N 与N '，1F 与2F 是两组关于原点的对称点，由对称性知 四边形12F NF N '是平行四边形，则2NF 与1N F '是平行的， 故1F N '上的任一点到2F N 的距离均为两条平行线间的距离d ．设()00,N x y，其中0(x ∈，易验证，当0x 时，2NF 与1N F '之间的距离为k =2(:NF y l k x =，即0kx y -=，发现当0x22O NF d d -==221914k k =+，整理得2148k =代入k =(220048y x =，代入220014x y =-整理得20013450x --=，即(00130x x -=由于0(x ∈，所以0x =126N ⎫⎪⎪⎝⎭，故1k =， 则2F N l的直线方程为y x =6．（2022·广东·华南师大附中三模）已知在①ABC 中，()2,0B -，()2,0C ，动点A满足AB =90ABC ∠>︒，AC 的垂直平分线交直线AB 于点P ． (1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)直线(x m m =>交x 轴于D ，与曲线E 在第一象限的交点为Q ，过点D 的直线l 与曲线E 交于M ，N 两点，与直线3x m=交于点K ，记QM ，QN ，QK 的斜率分别为1k ，2k ，3k ， ①求证：123k k k +是定值． ①若直线l 的斜率为1，问是否存在m 的值，使1236k k k ++=若存在，求出所有满足条件的m 的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2213x y x -=>(2)①证明见解析 ；①存在；m =【解析】 【分析】（1）利用几何知识可得PB PC BC -=<，结合双曲线定义理解处理；（2）根据题意设直线及点的坐标，①分别求1k ，2k ，3k ，利用韦达定理证明；①根据①结合题意求Q 的坐标，代入双曲线方程运算求解． (1)①90BAC ∠>︒，①AC 的垂直平分线交BA 的延长线于点P ．连接PC ，则PC PA =，①PB PC PB PA AB BC -=-==，由双曲线的定义知，点P 的轨迹E 是以()2,0B -，()2,0C为焦点，实轴长为除外），2c =，a =1b =，①E的方程是(2213x y x -=>．(2)①证明：由已知得(),0D m ，()0,Q m y ，满足22013m y -=，设直线l 方程为x ty m =+，()11,M x y ，()22,N x y ， 联立2213x ty m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2223230t y mty m -++-=， 12223mt y y t +=--，212233m y y t -=-，1010011111y y y y y k x m ty t ty --===--， 同理0221y k t ty =-，①000012122212122112221233y y y my y y mt k k t t y y t t y y t t m t m ⎛⎫+-⎛⎫+=-+=-⋅=-⋅=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 对x ty m =+，令3x m =，得23k m y tm-=， ①233,m K m tm ⎛⎫- ⎪⎝⎭，200323133m y my tm k m t m m -+==+--， ①1232k k k +=， ①1232k k k+=是定值．①假设存在m 的值，使1236k k k ++= 由①知，1232k k k +=， 则123336k k k k ++==， ①32k =，直线QK 的方程为()02y y x m -=-，令3x m=， 得032K y m y m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；直线l 的斜率为1，直线l 的方程为x y m =+， 令3x m =，得3K y m m=-； ①0332m y m m m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，①03y m m=-， 代入22013m y -=，得22313m m m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，整理得，42215270m m -+=，解得292m =，或23m =（①m >①m =，存在m ，使1236k k k ++=．7．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知①ABC 的顶点()4,0A -，()4,0B ，满足：9tan tan 16A B =． (1)记点C 的轨迹为曲线Γ，求Γ的轨迹方程；(2)过点()0,2M 且斜率为k 的直线l 与Γ相交于P ，Q 两点，是否存在与M 不同的定点N ，使得NP MQ NQ MP ⋅=⋅恒成立？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)()2214169x y x +=≠±(2)90,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）设(),C x y ，用坐标表示 9tan tan 16A B =，即可整理出Γ的轨迹方程； （2）设直线l 为2y kx =+，先讨论0k =，结合条件，由对称性易得点N 在y 轴上；再讨论0k ≠，此时结合条件以及角平分线定理可得y 轴为PNQ 的平分线，即0NP NQ k k +=，最后联立方程组()22214169y kx x y x =+⎧⎪⎨+=≠±⎪⎩，整理出1212,x x x x +，即可联立解出N 的纵坐标，即可得结果 (1)设(),C x y ，则9tan tan 4416y y A B x x =⋅=+-，整理得221169x y +=，故Γ的轨迹方程为()2214169x y x +=≠±； (2)设直线l 为2y kx =+，当0k =时，可得点P ，Q 关于y 轴对称，可得MQ MP =，要使NP MQ NQ MP ⋅=⋅恒成立，即1NP MPNQ MQ==成立，即点N 在y 轴上，可设为()0,,2N a a ≠.当0k ≠时，联立方程组()22214169y kx x y x =+⎧⎪⎨+=≠±⎪⎩，整理得()2291664800k x kx ++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则1212226480,916916k x x x x k k --+==++， 要使NP MQ NQ MP ⋅=⋅恒成立，即NP MP NQMQ=成立，由角平分线定理则只需使得y 轴为PNQ 的平分线，即只需0NP NQ k k +=，即()()()()1221122112120220y a y ax y a x y a x kx a x kx a x x --+=⇒-+-=+-++-=，即()()()()121222806422220288640916916kkx x a x x k a a k k k--+-+=⋅+-⋅=⇒-+=++，解得92a =，综上可得，存在与M 不同的定点90,2N ⎛⎫⎪⎝⎭，使得NP MQ NQ MP ⋅=⋅恒成立8．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且124A A =，离心率为12，过点()3,0M 的直线l 与椭圆C 顺次交于点Q ，P ．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在定直线:l x t '=与直线2A P 交于点G ，使1A ，G ，Q 共线．【答案】(1)22143x y += (2)存在4:3l x '=满足条件，分析见解析. 【解析】 【分析】(1)由条件列关于,,a b c 的方程，解方程可得椭圆C 的方程；(2)联立方程组，利用设而不求结论求直线2A P ，1A Q 的交点，由此确定l '的方程.(1)①124A A =，所以24a =，故2a =， ①12c e a == ①1c =，又222a b c =+，所以23b = ①椭圆C 的方程为①22143x y +=(2)由已知可得直线l 的斜率一定存在， 设直线l 的方程为3x my =+2233412x my x y =+⎧⎨+=⎩得：()223418150m y my +++=， ()()()2221841534169150m m m ∆=-⨯+=->． 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1221834m y y m +=-+，1221534y y m =+ ①()121256my y y y =-+ ()22,0A ，()11,P x y ，()121:22y A P y x x =-- ()12,0A -，()22,Q x y ，()212:22y AQ y x x =++ 令()()12122222y yx x x x -=+-+ ①()()()()21121212121211222152525526651522166y y y x y my my y y x x y x y my my y y y y -+++++=====---++-， ①43x =①存在直线4:3l x '=满足题意 9．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知1(2,0)F -，2(2,0)F 为椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点，且A 5(2,)3为椭圆上的一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线2y x t =-+与抛物线22(0)y px p =>相交于,P Q 两点，射线1F P ，1F Q 与椭圆E 分别相交于M ､N .试探究：是否存在数集D ，对于任意p D ∈时，总存在实数t ，使得点1F 在以线段MN 为直径的圆内？若存在，求出数集D 并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22195x y +=(2)存在，(5,)D =+∞，证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出点A 5(2,)3到两焦点的距离，再用椭圆的定义可得3a =，结合222=b a c -可得2b ，从而可得椭圆的方程；（2）直线l 与抛物线联立，结合判别式有40p t +>，要使得点1F 在以线段MN 为直径的圆内，根据题意，有110F P F Q ⋅<，结合韦达定理可得5p >，从而可证明问题. (1)由题意知2c =，5(2,)3A 为椭圆上的一点，且2AF 垂直于x 轴，则253AF =，1133AF ==，所以122135336a AF AF =+==+，即3a =，所以222=32=5b -，故椭圆的方程为22195x y +=；(2)l 方程为2y x t =-+，联立抛物线方程，得222y pxy x t⎧=⎨=-+⎩，整理得20y py pt +-=， 则240p tp ∆=+>，则40p t +>①，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则12y y p +=-，12y y pt =-， 则212122212(,4)24y y px t t x x x p +=+== ， 由1F 的坐标为(2,0)-，则11(2F P x =+，1)y ，12(2F Q x =+，2)y ， 由1F M 与1F P 同向，1F N 与1FQ 同向， 则点1F 在以线段MN 为直径的圆内，则110F M F N ⋅<，则110F P F Q ⋅<， 则1212(2)(2)0x x y y +++<，即1212112()40x x x x y y ++++<，则22()4042t p t pt +++-<，即2(2)404t p t p +-++<①， 当且仅当21(2)4(4)04p p ∆=--⨯+>，即5p >， 总存在t 4p>-使得①成立， 且当5p >时，由韦达定理可知2(2)404t p t p +-++=的两个根为正数，故使①成立的0t >，从而满足①，故存在数集(5,)D =+∞，对任意p D ∈时，总存在t ，使点1F 在线段MN 为直径的圆内．10．（2022·江西师大附中三模（理））已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为M ，O 为坐标原点，若OMF 的面积为12．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 点恰为PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1)2212x y +=(2)存在；43y x =-【解析】 【分析】(1)根据题意和椭圆离心率的定义可得c b =，由三角形的面积公式可得1122bc =，即可求出2212b a ==，；(2)设直线()()1122:,,l y x m P x y Q x y =+、、，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出1212+、x x x x 和12y y ，结合垂心的定义可得0QF MP ⋅=，根据平面向量数量积的坐标表示列出关于m 的方程，解之即可. (1)依题意得，222112b e a =-=，即a ，则c b =，又1122OMFSbc ==，则2212b a ==，， 所以所求椭圆的方程为2212x y +=．(2)由（1）知(0,1)(1,0)M F ，，故直线MF 的斜率为1MF k =-．若符合题意的直线l 存在，可设直线()()1122:,,l y x m P x y Q x y =+，，，由2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得2234220x mx m ++-=， 则()22(4)12220m m =-->，即m <又2121242233m m x x x x -+=-=，， 则()2212121223m y y x x m x x m -=+++=，由F 点恰为PQM 的垂心等价于QF MP ⊥，即0QF MP ⋅=．由于()()22111,,1QF x y MP x y =--=-，，故 ()()22121121212411033m QF MP x x y y x x m x x y y m ⋅=---=++--=--+=， 所以43m =-或1m =．当1m =时，直线PQ 经过点M ，此时不构成三角形，故舍去．故直线l 的方程为43y x =-．11．（2022·江苏·()2222:10x y M a b a b +=>>的左右顶点分别为A ､B ，P 是椭圆M 上异于A ､B 的一点，直线AP ､BP 分别交直线:4l x =于C ､D 两点.直线l 与x 轴交于点H ，且36AH AC ⋅=.(1)求椭圆M 的方程；(2)若线段CD 的中点为E ，问在x 轴上是否存在定点N ，使得当直线NP ､NE 的斜率NP k ､NE k 存在时，NP NE k k ⋅为定值？若存在，求出点N 的坐标及NP NE k k ⋅的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2214x y +=(2)(1,0)N ，13NP NE k k =-⋅ 【解析】 【分析】（1）先由36AH AC ⋅=求出AM 的方程； （2）设出,P N 坐标，表示出直线AP ､BP 的方程求得C ､D 两点坐标，进而求得E 坐标，表示出NP NE k k ⋅，由P 是椭圆M 上的一点化简得()()()0014NP NE x n n k x k =--⋅--，即可求解.(1)由题意知：2cos 36AH AC AH AC CAH AH ⋅=⋅∠==，则6AH =，又(4,0)H ，则(2,0)A -，故2a =-，又离心率为c a =c =2221b a c =-=，故椭圆M 的方程为2214x y +=；(2)易得(2,0),(2,0)A B -，设00(,)P x y ，(,0)N n ，由直线NP ､NE 的斜率NP k ､NE k 存在知0,4n x n ≠≠，又直线AP ､BP 斜率必存在，则直线00:(2)2y AP y x x =++，令4x =，得0062y y x =+，则006(4,)2y C x +， 直线00:(2)2y BP y x x =--，令4x =，得0022y y x =-，则002(4,)2y D x -，又00000002062224424y y x x x y y x ++--=-，则00020444,4x y y E x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，则()()()200000200002014444444NP NEk n n x y x y y x x k n x y x n -⋅--=⋅=---⋅--，又P 是椭圆M 上的一点，则220014x y +=，即220044y x =-， 故()()()0014NP NE x n n k x k =--⋅--，故当1n =时，NP NE k k ⋅为定值13-，此时(1,0)N .12．（2022·上海·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,1)A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-．(1)求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线y t =与第（1）问的曲线C 交于不同的两点E 、F ，以线段EF 为直径作圆D ，圆心为D ，设(),G G G x y 是圆D 上的动点，当t 变化时，求G y 的最大值；(3)设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点M 、N ，问：是否存在点P 使得PAB △与PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)()22341,1x y x y +=≠±≠±(2)G y =(3)存在，53P ⎛ ⎝⎭或5,3P ⎛ ⎝⎭ 【解析】【分析】（1）设P 点坐标，根据所给的条件列方程即可求解；（2）由于椭圆的对称性，圆D 的圆心必定在y 轴上，G 点纵坐标的最大值必定在y 轴上，立方程解出G y 的解析式，求导即可；（3）作图，运用弦长公式和三角形面积公式即可求解. (1)设(),P x y ，依题意有()1,1B - ，13AP BP k k =- ，即111113y y x x -+=-+- ， 整理得：221443x y += 或2234x y +=()1,1x y ≠±≠± ； (2)当y t =时，x =，即圆D，当G y 最大时， 必有G yt =，'Gy =，当t =时，'0G y = ， 当0t ＜时，'0G y ＞ t时，'0G y ＜ ，在t =时，G y 取最大值； (3)设(),P m n ，APB MPN ∠=∠ ，当APBMPNSS= 时，有AP BP MP NP = ,由弦长公式得221,13AP AP m MPk m =+=+- ，21,13BP BP m NP k m =-=+- ， ①2213m m -=- ，()22513,3m m m -=±-= ， 此时n = ，点P的坐标为53⎛ ⎝⎭ 或5,3⎛ ⎝⎭; 综上，轨迹C 的方程为2234xy +=()1,1x y ≠±≠± ，G y 取最大值存在，P 53⎛ ⎝⎭ 或P 5,3⎛ ⎝⎭. 13．（2022·江苏南京·模拟预测）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点⎛ ⎝⎭，直线l ：y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-0.5. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)当1m =时，椭圆C 上是否存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)22142x y +=；(2)不存在；理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用点差法，结合代入法进行求解即可；（2）利用假设法、点差法，根据点关于直线对称的性质、点与椭圆的位置关系进行求解即可. (1)设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，即121212OM y y k x x +==-+． 因为A ，B 在椭圆C 上，所以2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，即()()()()121222121210y y y y a b x x x x +-+=+-， 又12121AB y y k x x -==-，所以221102a b-=，即222a b =． 又因为椭圆C过点⎛ ⎝⎭，所以221123a b +=，解得24a =，22b =， 所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=； (2)由题意可知，直线l 的方程为1y x =+．假设椭圆C 上存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，设()33,P x y ，()44,Q x y ，PQ 的中点为()00,N x y ，所以3402x x x +=，3402y y y +=， 因为P ，Q 关于直线l 对称，所以1PQ k =-且点N 在直线l 上，即001y x =+．又因为P ，Q 在椭圆C 上，所以2233142x y +=，2244142x y +=，两式相减得()()()()34343434042x x x x y y y y +-+-+=，即()()()34343434042y y y y x x x x +-++=-，所以343442x x y y ++=，即002x y =． 联立000021x y y x =⎧⎨=+⎩，解得0021x y =-⎧⎨=-⎩，即()2,1N --．又因为()()2221142--+>，即点N 在椭圆C 外，这与N 是弦PQ 的中点矛盾，所以椭圆C 上不存在点P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称．14．（2022·重庆八中模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，不过原点的直线l 交抛物线C 于A ，B 两不同点，交x 轴的正半轴于点D ．(1)当ADF 为正三角形时，求点A 的横坐标； (2)若||||FA FD =，直线1//l l ，且1l 和C 相切于点E ； ①证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标；①ABE △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3(2)证明见解析，定点为（1,0），最小值为16 【解析】 【分析】（1）根据抛物线C 的方程，可以求得焦点坐标，由ADF 是正三角形，设点A 和D 的坐标，可以求解； （2）过点A ，作准线的垂线，得垂足P ，构造平行四边形，设A 点的坐标，以A 点的纵坐标为参变量，分别计算直线1l ，AE ，AB 的方程 以及三角形AEB 的面积即可. (1)①24,24,12py x p === ，①抛物线焦点坐标F （1,0），准线方程为x =-1， 设A (a ，t )，D (m ，0)，因为ADF 是正三角形，必有()1112a m m a ⎧--=-⎪⎨+=⎪⎩，解得3a = ，即A 点横坐标为3； (2)如图，设A 点在第一象限，过A 点作准线x =-1的垂线，得垂足P ，连接PF ，AF FD AP == ，//AP FD ， ①四边形APFD 是平行四边形，//PF AD ，设A (a ，t )()0,0a t ＞＞ ，则P (-1，t )，直线PF 的斜率为112t tk ==--- ， 设1l 的方程为2t y x b =-+ ，联立方程242y xty x b ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩， 消去x 得：2880y y b t t +-= ，因为1l 是抛物线C 的切线，28320bt t ⎛⎫∴∆=+= ⎪⎝⎭，2b t =- ，4y t =- ，24x t= ，即E 点的坐标为244,tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，直线AE 的方程为：224444t t y x t t a t ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭+=- ⎪⎝⎭- ，其中24t a = ， 化简得：()2414ty x t =--，故AE 过定点F （1，0）； 直线l 的方程为：()2t y t x a -=-- ，化简得：328t t y x t =-++ ，联立方程32284t t y x t y x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，消去x 得22880y y t t +--= ， 212128,8y y y y t t+=-=-- ，1242y y t t ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭，即A ，B 两点的纵坐标之差的绝对值为42t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，过E 点作x 轴的平行线交l 于H 点，则22842,4t H tt ⎛⎫++-⎪⎝⎭ ，22424t EH t =++ ，用铅垂高水平底的方法计算三角形AEB 的面积，2122114422224AEBt SEH y y t t t ⎛⎫⎛⎫=-=⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322162t t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭ ，当且仅当t =2时等号成立，AEBS的最小值为16；综上，A 点的横坐标为3，直线AE 过定点F （1,0），三角形AEB 的面积最小值为16.15．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，12,F F 分别为等轴双曲线()2222:10,0x ya b a bΓ-=>>的左、右焦点，若点A 为双曲线右支上一点，且12||||AF AF -=2AF 交双曲线于B 点，点D 为线段1F O 的中点，延长AD ，BD ，分别与双曲线Γ交于P ，Q 两点．(1)若1122(,),(,)A x y B x y ，求证：()1221214x y x y y y -=-； (2)若直线AB ，PQ 的斜率都存在，且依次设为12,k k ，试判断21k k 是否为定值，如果是，请求出21k k 的值；如果不是，请说明理出． 【答案】(1)证明见解析； (2)定值，7. 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，斜率不存在时，直接验证，斜率存在时，运用斜率公式可证明； （2）设直线AD 的方程为()1122y y x x =++，与双曲线联立得111138,33x y P x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，同理得222238(,)33x y Q x x ---++，由斜率公式及（1）中的结论可得结论. (1)由等轴双曲线知离心率ce a==12||||2AF AF a -=，及222c a b =+， 可得2228,8,16a b c ===，所以双曲线方程为22188x y -=，2(4,0)F . 当直线AB 的斜率不存在时，124x x ==，()12212121444x y x y y y y y -=-=-， 直线AB 的斜率存在时，22AF BF k k =，121244y y x x =--，整理得()1221214x y x y y y -=-，综上所述，()1221214x y x y y y -=-成立； (2)依题意可知直线AD 的斜率存在且不为0，设直线AD 的方程为()1122y y x x =++， 代入双曲线228x y -=并化简得：()()()2222211122820x x y x x +-+-+=，①由于22118x y -=，则22118y x =-代入①并化简得：2221111(412)4(8)12320x x x x x x +----=，设00(,)P x y ，则21110121101338,38x x x x x x x x x -=-+=-++，解得101383x x x --=+， 代入()1122y y x x =++，得1013y y x -=+，即111138,33x y P x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，同理可得222238(,)33x y Q x x ---++， 所以()()21122121212211221333383833y y x y x y y y x x k x x x x x x -------++==------++()()()212121112124377y y y y y y k x x x x -----==-⋅=--，所以217k k =是定值. 16．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）如图，过抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F 的直线1l 交抛物线于第一象限的点()02,Q y ，且3QF =，过点()(,00)P a a >（不同于焦点F ）的直线2l 与抛物线E 交于A ，B ，过A 作抛物线的切线交y 轴于M ，过B 作MP 的平行线交y 轴于N ．(1)求抛物线方程及直线1l 的斜率；(2)记1S 为,AM BN 与y 轴围成三角形的面积，是否存在实数λ使1=OABS S λ，若存在，求出实数λ的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)24y x =；(2)存在；2λ= 【解析】【分析】（1）由焦半径列出方程，求出2p =，得到抛物线方程，从而得到Q 点的坐标，求出直线1l 的斜率；（2）设出()2,2A t t ，得到切线2:=+AM ty x t ，得到(0,)M t ，设过P 的直线为x ny a =+，与抛物线联立，利用韦达定理得到222,⎛⎫- ⎪⎝⎭a a B tt ，表达出直线BN 方程，得到0,⎛⎫- ⎪⎝⎭a N t ，表达出OABS与1S ，求出实数λ的值.(1)由焦半径公式得：3222pQF p ==+⇒=， ①24y x =①0y =， ①(1,0)F ，①直线1l =(2)存在；2λ=，理由如下：设()2,2A t t ，切线2:(2)-=-AM m y t x t与抛物线联立得224840-+-=y my mt t ， 由相切得0∆=⇒=m t ，得2:=+AM ty x t ①， 令0x =得：y t =，所以(0,)M t设过P 的直线为x ny a =+，与抛物线联立得2440y ny a --=，由韦达定理4=-A B y y a ，得222,⎛⎫- ⎪⎝⎭a a B tt ，又①=-MP tk a， ①222:⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭a t a BN y x t a t ①， 令0x =得：a y t =-，故0,⎛⎫- ⎪⎝⎭a N t将①①联立，解得：x a =- 111||||22⎛⎫=⋅-=-- ⎪⎝⎭a S MN a a t t ， 112||222⎛⎫=⋅-=-- ⎪⎝⎭OABB A a SOP y y a t t 所以12=OABSS ，即存在实数2λ=使1=OABSS λ．17．（2022·全国·模拟预测（文））已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，()11,A x y ，()22,C x y 为Γ上不同的两点，且122x x +=，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)证明：AF ，BF ，CF 成等差数列；(2)试问：x 轴上是否存在一点D ，使得DA DC =？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，1,04D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)分别考虑直线AC 的斜率存在时和不存在时证明+=2AF CF BF 即可；(2)当直线AC 的斜率存在时，设存在点D ，使得DA DC =，记AC 的中点为M ，由此可得1MD k k ⋅=-，结合(1)解方程求出D 的坐标，再检验直线AC 的斜率不存在时点D 是否满足要求. (1)当直线AC 斜率不存在时，:1AC x =．不如令31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0F ．①32AF =，32BF =，32CF =，①AF ，BF ，CF 成等差数列； 当直线AC 的斜率存在时，设:AC y kx m =+．由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，①1228234km x x k +=-=+． ①()()111442AF e x x =-=-，()()221442CF e x x =-=-， ①()1214322AF CF x x BF +=-+==，①AF ，BF ，CF 成等差数列． (2)当直线AC 的斜率存在时设(),0D n ，AC 的中点为00(,)M x y ． ①DA DC =，①DM AC ⊥．①0120121222,222,x x x y y y kx m kx m k m =+=⎧⎨=+=+++=+⎩①001,,x y k m =⎧⎨=+⎩ ①001MD y k m k x n n +==--，①1MD k k ⋅=-，即11k m k n+⋅=--，①21k km n +=-． 由（1）知24430k km ++=，①234k km +=-，①314n -=-，①14n =，①存在点1,04D ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DA DC =． 当直线AC 的斜率不存在时，显然点1,04D ⎛⎫⎪⎝⎭，满足DA DC =．故总是存在点1,04D ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DA DC =．18．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）已知曲线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，曲线C 上有一点()0,Q x p 满足2QF =.(1)求抛物线C 的方程；(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线C 于异于原点的两点,A B ，直线AB 与x 轴相交于N ，试探究x 轴上存在一点是否存在异于N 的定点M 满足AM AN BMBN=恒成立.若存在，请求出M 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)24y x = (2)存在，()4,0M - 【解析】 【分析】（1）由焦半径公式代入求解p ，从而得抛物线方程；（2）设直线方程，联立方程组，将韦达定理代入所给条件求解. (1)Q 在曲线C 上，则202p px =，则02px =， 而022pQF x p ==+=，故抛物线C 的方程为24y x =. (2)易知直线AB 的斜率不为0，故设()()()1122:,,,,,,0AB l x ty n A x y B x y M m =+联立：224404x ty ny ty n y x =+⎧⇒--=⎨=⎩， 故12124,4y y t y y n +==-.222121244y y x x n =⋅=，因为OA OB ⊥，则2121240OA OB x x y y n n ⋅=+=-= 则4n =或0n =（舍），故()4,0N . 因为,M N 都在x 轴上，要使得AM AN BMBN=，则x 轴为AMB ∠的角平分线，若1mx ，则AM 垂直于x 轴，x 轴平分AMB ∠，则BM 垂直于x 轴，则直线AB 的方程为4x =，此时4m n ==，而,M N 相异，故1m x ≠，同理2m x ≠ 故AM 与BM 的斜率互为相反数，即12122112120y y x y x y m x m x m y y ++=⇒=--+ ()()1221121212442324444ty y ty y ty y t m y y y y t +++-⇒==+=+=-++为定值. 故当()4,0M -时，有AM AN BMBN=恒成立.19．（2022·广东·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 为线段1F O 的中点，过2F 的直线l 与C 的右支交于()()1122,,,M x y N x y 两点，延长,MD ND 分别与C 交于点,P Q 两点，若C(为C 上一点. (1)求证：()1221212x y x y y y -=-；(2)已知直线l 和直线PQ 的斜率都存在，分别记为121,,0k k k ≠，判断21k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)217k k =. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出22,a b ，即可求得双曲线的方程，分直线l 斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时，有122x x ==，代入左边即可验证得到右边，斜率存在时结合22MF NF k k =化简整理即可得证； （2）设直线MD 的方程为()1111y y x x =++，与双曲线方程联立求得点P 的坐标，同理可求得点Q 的坐标，进而表示出2k ，结合（1）的结论即可得出结论. (1)证明：由题意得：22222971ca abc a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⎩，解得2222,4a b c ===，所以双曲线C 的 方程为22122x y -=， 则()()122,0,2,0F F -，当直线l 的斜率不存在时，则122x x ==， 此时()12212121222x y x y y y y y -=-=-，当直线l 的斜率存在时， 因为22MF NF k k =，即121222y y x x =--， 整理得()1221212x y x y y y -=-， 综上所述，()1221212x y x y y y -=-； (2)解：因为点D 为线段1F O 的中点，所以()1,0D -，显然直线MD 的斜率存在且不为0，可设直线MD 的方程为()1111y y x x =++， 联立()112211122y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪-=⎪⎩，消y 整理得()22222211111112122420x x y x y x y x x ++------=， 又2211122x y -=，所以22112y x =-，所以()()22211112322340x x x x x x +----=，设()00,P x y ，则2111013423x x x x x --=+，所以1013423x x x --=+，代入()1111y y x x =++，得10123y y x -=+，即111134,2323x y P x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭， 同理222234,2323x y Q x x ⎛⎫---⎪++⎝⎭， 所以()()2112212121221122123232334342323y y x y x y y y x x k x x x x x x -------++==------++，又因()1221212x y x y y y -=-， 所以()()()122121211212122377k x x y x y y y k x x y y x ------===--，即217k k =是定值.20．（2022·辽宁大连·二模）已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，点P 在抛物线上，O 为坐标原点，且32OP PF ==. (1)抛物线E 的标准方程；(2)如图所示，过点(,0)M t 和点(2,0)(26)N t t ≤≤分别做两条斜率为k 的平行弦分别和抛物线E 相交于点A ，B 和点C ，D ，得到一个梯形ABCD .记梯形两腰AD 和BC 的斜率分别为1k 和2k ，且12120k k k k +-=.（i ）试求实数k 的值；（ii ）若存在实数λ，使得OAB ABCD S S λ=梯形△，试求实数λ的取值范围. 【答案】(1)24y x =(2)（i ）2；（ii ）1215⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】(1)设点00(,)P x y ，根据题意和抛物线的定义求出p 的值即可；(2)设点11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y 、44(,)D x y ，根据两点求直线斜率公式可得12k k k 、、的表达式，结合题意列出关于k 的方程，求出k ，进而得出直线AB 的方程，联立抛物线方程，利用弦长公式求出AB CD 、，由点到直线的距离公式求出点O 到直线AB 的距离，求出梯形ABCD 的面积，得到λ与t 的关系式，结合t 的范围计算即可. (1)设点00(,)P x y ，①32OP PF ==，①04px =，①3422p p PF =+=，①2p =，所以抛物线E 的标准方程为24y x =.(2)(i)设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则212122212112444y y y y k y y x x y y --===-+-，同理：1144k y y =+，2234k y y =+，344k y y =+. 又因为12120k k k k +-=，所以12111k k +=，即2314144y y y y +++=， 所以12344y y y y +++=，即444k k+=，①2k =.（ii ）由（i ）得：:2()AB y x t =-代入24y x =可得：2240y y t --=，所以12AB y =-==O 到直线AB的距离为d =.①1122OAB S AB d =⋅⋅==△同理可求得：CD = ①()1122ABCD S AB CD d t =+⋅==梯形，①λ=⋅11λ===①26t ≤≤，①1215λ≤≤. 综上，实数λ的取值范围为1215⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
2022-2023学年高中数学二轮复习冲刺圆锥曲线中的存在性问题解析版
2022-2023学年高中数学二轮复习冲刺圆锥曲线中的存在性问题解析版专题 圆锥曲线中的存在性问题方法总结：解决存在性问题的一些妙招：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示，并进行求解②间接法：若无法直接求出，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。
典型例题：例1．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点(P 在椭圆C 上，且满足2122PF PF PF ⋅=．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点2F 且斜率不为零的直线l 交椭圆C 于不同的两点A 、B ，则在x 轴上是否存在定点M ，使得MO 平分AMB ∠？若存在，求出M 点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)22184x y +=；(2)存在，()4,0M . 【解析】 【分析】（1）分析可知212PF F F ⊥，可得出椭圆C 的两个焦点的坐标，利用椭圆的定义可求得a 的值，可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）设直线:2l x my =+，设点()0,0M x 、()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，分析可知0MA MB k k +=，利用斜率公式结合韦达定理求出0x 的值，即可得出结论. (1)解：（1）因为2122PF PF PF ⋅=，所以，()2210PF PF PF ⋅-=，即2120PF F F ⋅=，所以，212PF F F ⊥又点(P 在椭圆C 上，()12,0F ∴-、()22,0F ，且由椭圆定义得122a PF PF =+=，则a =2244b a =-=，则椭圆C 的标准方程为22184x y +=.(2)解：假设存在定点M 满足要求，因为直线l 斜率不为零，所以设直线:2l x my =+， 设点()0,0M x 、()11,A x y 、()22,B x y ，联立22228x my x y =+⎧⎨+=⎩可得()222440m y my ++-=，则()()222161623210m m m ∆=++=+>， 由韦达定理可得12242m y y m +=-+，12242y y m =-+， 因为直线OM 平分AMB ∠，则0MA MB k k +=，即1210200y y x x x x +=--， 121020022y y my x my x ∴+=+-+-，整理得()()12012220my y x y y +-+=，()0224422022m m x m m ⎛⎫⎛⎫∴-+--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()040m x ∴-=，由于R m ∈，04x ∴=，所以存在()4,0M 满足要求．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.例2．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右准线x =A 、B ，且4tan 3AOB ∠=-．(1)求双曲线C 的方程；(2)设动直线l 与双曲线C 相交于点M 、N ，若OM ON ⊥，求证：存在定圆与直线l 相切，并求该定圆的方程．【答案】(1)2214y x -=；(2)证明见解析，定圆方程为2243x y +=. 【解析】 【分析】（1）由二倍角的正切公式可求得2b a=，可得出c ，利用双曲线C 的右准线方程可求得a 的值，可得出b 的值，由此可得出双曲线C 的方程； （2）分析可知直线OM 、ON 的斜率都存在，可设直线直线OM 的方程为()0y kx k =≠，设点()11,M x y ，将直线OM 的方程与双曲线C 的方程联立，求出2OM ，可得出2ON 的值，利用等面积法可求得原点O 到直线l 的距离，即可得出结论. (1)解：设渐近线by x a=的倾斜角为α，则tan b aα=， 由已知可得22tan 4tan tan 21tan 3AOB ααα∠===--，整理可得22tan 3tan 20αα--=，因为tan 0ba α=>，解得2ba=，则2b a =，所以，c =，双曲线C 的右准线方程为2a x c ===1a =，2b =， 故双曲线C 的方程为2214y x -=.(2)解：若直线OM 、ON 中有一条直线的斜率不存在时，则直线OM 、ON 分别与两坐标轴重合，则这两条直线中有一条直线不与双曲线C 相交，不合乎题意；若直线OM 、ON 的斜率都存在时，可设直线OM 的方程为()0y kx k =≠，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立2244y kx x y =⎧⎨-=⎩可得()2244k x -=，所以，21244x k =-，221244k y k =-， 所以，()2222112414k OM x y k +=+=-，()22222141411414k k ON k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--， 设点O 到直线l 的距离为d ，则()()222222222222221141144134141OM ON OM ON d k k MNOM ONOMONk k ⋅⋅=====--+++++，综上，存在定圆与直线l 相切，该定圆的方程为2243x y +=． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 例3．（2022·安徽合肥·高三期末（理））在平面直角坐标系xOy 中，()00,M x y 是抛物线E ：()220y px p =>上一点.若点M 到点,02p⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离､点M 到y 轴的距离的等差中项是054x +. (1)求抛物线E 的方程；(2)过点()(),00A t t <作直线l ，交以线段AO 为直径的圆于点AB ，交抛物线E 于点C ，D （点B ，C 在线段AD 上）.问是否存在t ，使点B ，C 恰为线段AD 的两个三等分点？若存在，求出t 的值及直线l 的斜率；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)210y x =(2)存在，12t =-，斜率为 【解析】 【分析】（1）由点M 到点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭的距离､点M 到y 轴的距离的等差中项是054x +可得p ，从而得到抛物线方程；（2）假设存在t ，设直线l 的方程为()y k x t =-，以线段AO 为直径的圆的方程为220x tx y -+=，联立方程得到B 点坐标，由2AC AB =得C 点坐标，由3AD AB =得D点坐标，代入抛物线E 的方程解得t ，k 可得答案. (1)因为,02p⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线E 的焦点，所以点M 到点,02p⎛⎫⎪⎝⎭距离为02px +.由已知得0005224p x x x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，解得5p =. ∴抛物线E 的方程为210y x =. (2)假设存在t 满足题意，由题意可以判断，直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，则直线l 的方程为()y k x t =-，以线段AO 为直径的圆的方程为220x tx y -+=，由()22x tx y y k x t ⎧-+=⎪⎨=-⎪⎩解得222,11k t kt B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由2AC AB =得()22212,11k t kt C k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭，由3AD AB =得()22223,11k t kt D k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭， 代入抛物线E 的方程得，()()422221,10421.109t k k k k t k ⎧-=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩解得12t =-，k = ∴当12t =-且直线l的斜率为B ，C 恰为线段AD 的两个三等分点. 例4．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））已知动点M 到直线4x =的距离是M 与点(2,0)M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程； (2)动直线:(0)2l y x m m =+≠与C 交于两点A ，B ，曲线C 上是否存在定点P ，使得直线,PA PB 的斜率和为零？若存在求出点P 坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)22184x y +=；(2)存在，定点P或(2,P -. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件列出方程，再化简作答.(2)把直线l 与曲线C 的方程联立，设出点P 的坐标，结合韦达定理、斜率坐标公式计算，再借助恒成立列式计算作答. (1)设动点M 的坐标为(,)x y ，由已知得4x -=化简整理得2228x y +=， 所以曲线C 的方程为22184x y +=.(2)由已知(0)y m m =+≠与2228x y +=联立，消去y 整理得：2240x m +-=， 由已知得2224(4)0m m ∆=-->，且0m ≠，解得：((0,22)m ∈-设()()1122,,,A x y B xy ，则12x x +=，2124x x m =-，假定曲线C 上存在定点()00,P x y 使得直线,PA PB 的斜率和为零，即010201020y y y y x x x x --+=--，则00010221))220y y m x x x x x m +---+-+=，整理得()()()001201212220y m x x x x x x x x --++-=⎡⎤⎤⎣⎦⎦，则有()20002()()2(4)0y m x x m ⎡⎤⎤----=⎣⎦⎦，整理得：00002)0x m x y -+-=，因当((0,22)m ∈-时恒有00002)0x m x y -+-=成立，则0000x x y -==⎪⎩，解得002x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或002x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩P或(2,P -在椭圆C 上， 所以曲线C 上存在定点P或(2,P -，使得直线,PA PB 的斜率和为零. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．例5．（2022·重庆·一模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点12⎫⎪⎭，且离心率(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()0,1P 的两条直线分别和椭圆C 交于不同两点A ，B （A ，B 异于点P 且不关于坐标轴对称），直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且121k k ⋅=.试问直线AB 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)2214x y +=(2)是，直线AB 恒过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 （12a b=，然后再将点12⎫⎪⎭代入椭圆方程中可求出,a b ，从而可求出椭圆方程，（2）设直线PA 的方程为11y k x =+，代入椭圆方程中可求出点A 的坐标，再由121k k ⋅=可得点B 的坐标，从而可表示出直线AB 的方程，化简可得结果(1)c a=2c =，得2243c a =，因为222c a b =-，所以得224a b =，2a b =，所以椭圆方程为222214x y b b +=，因为椭圆过点12⎫⎪⎭，所以2231144b b +=，得21b =，所以椭圆方程为2214x y +=，(2)设直线PA 的方程为11y k x =+，代入2214xy +=中，得2211(14)80k x k x ++=，解得0x =或121814k x k =-+，所以2112211814,1414k k A k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 由于121k k =，所以将点A 的坐标中的1k 换为11k ，可得211221184,44k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 则直线AB 的斜率为2211221111221114414488144A B ABA B k k y y k k k k k x x k k ----++==--+++4211211188124(1)3k k k k k -+==---， 所以直线AB 的方程为2211122111141814314k k k y x k k k ⎛⎫-+-=-+ ⎪++⎝⎭， 化简得2111533k y x k +=--， 所以直线AB 恒过点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 例6．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知离心率为12的椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，△PF 1F 2的周长为6，且F 1为抛物线C 2：()220y px p =->的焦点.(1)求椭圆C 1与抛物线C 2的方程；(2)过椭圆C 1的左顶点Q 的直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点，点O 为原点，射线OA ，OB 分别交椭圆于C ，D 两点，△OCD 的面积为S 1，△OAB 的面积为S 2.则是否存在直线l 使得21133S s =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=，24y x =-；(2)存在，20x y -+=或20x y ++=. 【解析】 【分析】（1）由题可得22222612a c c a a b c+=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，即求； （2）设直线l 的方程为2x my =-，联立抛物线方程利用韦达定理可得128y y =-，利用直线与椭圆的位置关系可求22234236448121y y m ⨯⋅=+，再利用三角形面积公式及条件列出方程，即得. (1)由题意得22222612a c c a a b c +=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2,1,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴ 椭圆的方程为22143x y +=，()11,0F -，所以抛物线的方程为24y x =-. (2)由题意得直线l 的斜率不为0，()2,0Q -，设直线l 的方程为2x my =-，设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ， 由224x my y x=-⎧⎨=-⎩，得2480y my +-=， ∴121248y y m y y +=-=-，， ∵21133S s =， ∴21212134341sin 132||||||13sin 2OA OB AOB OA OB S y y y y S OC OD y y y y OC OD COD ⋅∠⋅=====⋅⋅∠，∵2114y x =-，∴ 直线OA 的斜率为1114y x y =-，即直线OA 的方程为14y x y =-,由1224143y x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2321364364y y ⨯=+， 同理可得2422364364y y ⨯=+，()2222342222222121212364364364364364936464y y y y y y y y ⨯⨯⨯⋅=⨯=+++⨯++ ()2222223643644812196436441664m m ⨯⨯==+⎡⎤⨯+⨯⨯-++⎣⎦， ∴222221222134||1214813()||93S y y m S y y +===，得m =±1， ∴ 存在直线l ，方程为20x y -+=或20x y ++=.过关练习：1．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为()1F，)2F ，且椭圆C 上的点M 满足127MF =，12150MF F ∠=︒.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若在x 轴上存在一点E ，使得过点E 的任意一条直线l 与椭圆的两个交点P 、Q ，都有2211EPEQ+为定值，试求出此定值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和焦点三角形12MF F △中利用余弦定理建立方程，然后解出方程即可；（2）先联立直线和椭圆的方程，然后根据韦达定理表示出P 、Q 两点的纵坐标的关系，进而表示出2211EPEQ+，即可求得该定值，同时也对直线l 为x 轴时检验即可 (1)依题意得：c =122F F c ==由椭圆定义知：122MF MF a +=又127MF =，则2227MF a =-，在12MF F △中，12150MF F ∠=︒ 由余弦定理得：2222112112122cos MF MF F F MF F F MF F =+-⋅∠即(22222222cos150777a ⎛⎫⎛⎫-=+-⨯⨯︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：2a = 又2221b a c =-=故所求椭圆方程为：2214x y +=(2)设(),0E m 、()11,P x y 、()22,Q x y ，当直线l 不为x 轴时的方程为x ty m =+联立椭圆方程得：2214x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得：()()2224240t y tmy m +++-=根据韦达定理可得：12224tm y y t +=-+，212244m y y t -=+ ()()()()212122222222221212211111111y y y y y y t y t y t EP EQ +-+=+=⋅+++()()()22222232828114m m t t m -++=⋅+- 当且仅当2232828m m -=+，即m =22115EP EQ +=（定值）即在x 轴上存在点E 使得2211EPEQ+为定值5，点E的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭经检验，当直线PQ 为x 轴时，上面求出的点E 也符合题意 【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．2．（2022·河南·模拟预测（文））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，直线240x y +-=与椭圆仅有一个公共点. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：1x =，试问在x 轴上是否存在一定点M ，使得过M 的直线交椭圆于P ，Q 两点，交l 于N ，且满足MP NP MQNQ=，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=；(2)存在，(4，0). 【解析】 【分析】(1)根据离心率列出一个方程，联立直线方程和椭圆方程由0∆=再得一个方程，结合本身a 、b 、c 的关系即可解出a 、b 、c 的值，从而确定椭圆的标准方程； (2)设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),0M m ，()1,N n ，直线PQ 的方程为()0x ty m t =+≠，由MP NPMQNQ =，得1122y n y y y n -=-，即()12212y y n y y =+，联立直线PQ 与椭圆方程，得12y y +和12y y ，从而可求m 、n 、t 的关系，再结合N 是l 和直线PQ 的交点即可求出m 的值，从而可判定PQ 是否过定点. (1)∵12e =，∴2a c =，223b c =，将42 x y =-代入2222143x y c c+=，整理得224121230y y c -+-=，∴()2144441230c ∆=-⨯⨯-=，解得21c =，∴2a =，b =∴椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),0M m ，()1,N n ，直线PQ 的方程为()0x ty m t =+≠，由MP NP MQNQ =，得1122y n yy y n -=-，即()12212y y n y y =+. 将x ty m =+代入椭圆方程22143x y +=，整理得()2223463120t y tmy m +++-=，()()2222364343120t m t m ∆=-+->，即22340t m -+>， ∴122634tm y y t -+=+，212231234m y y t -=+. ∴222312623434m mt n t t --⋅=⋅++. 将(1，n )代入x ty m =+，可得1mn t-=，代入上式可得4m =.当直线PQ 的方程为0y =时，()4,0M 也满足题意. 故定点M 为(4，0).3．（2022·黑龙江大庆·高三阶段练习（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且C经过点. (1)求C 的方程.(2)过点(2,0)D 的直线l 交C 于P ，Q 两点，过点P 作直线3x =的垂线，垂足为G ，过原点O 作OM QG ⊥，垂足为M .证明：存在定点N ，使得MN 为定值.【答案】(1)22162x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据焦距求出2c =，代入，以及222a c b -=，解出22,a b ，进而求出椭圆方程；（2）设出直线l 的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，求出直线l 过的定点，结合垂直关系，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得到定点N ，使得MN 为定值. (1)由题意得：24c =，所以2c =，又C经过点，故222222311a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2262a b ⎧=⎨=⎩， 故C 的方程为22162x y +=.(2)证明：由题可知直线l 与x 轴不重合，可设:2l x my =+，联立222,1,62x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()223420m y my ++-=.设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12243m y y m +=-+，12223y y m =-+，224240m ∆=+>， 所以121112m y y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为()13,G y ，()222,Q my y +，所以直线QG 的斜率为2121122122111112y y y y y my y y y --==-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以直线QG 的方程为112(3)y y y x -=-，所以直线QG 过定点5,02H ⎛⎫⎪⎝⎭.因为OM QG ⊥，所以OHM 为直角三角形，取OH 的中点5,04N ⎛⎫⎪⎝⎭，则1|||5|24MN OH ==，即||MN 为定值.综上，存在定点5,04N ⎛⎫⎪⎝⎭，使得||MN 为定值【点睛】圆锥曲线求解存在定点满足定值问题，需要结合一些常见结论进行求解，比如直角三角形斜边中线等于斜边一半，或者圆的半径等，本题中就要先求出直线过定点，再使用直角三角形斜边中线等于斜边一半进行求解.4．（2022·福建三明·高三期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，焦距为P(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知过点（0，－12）的直线l 与C 交于A ，B 两点；线段AB 的中点为M ，在y 轴上是否存在定点N ，使得2AMN ABN ∠=∠恒成立？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2213x y +=；(2)存在，N （0，1）. 【解析】 【分析】（1）根据焦距求出c ，再将点P 的坐标代入椭圆方程，进而求得答案； （2）讨论斜率存在和不存在两种情况，若存在，根据2AMN ABN ∠=∠得到点N 在以AB 为直径的圆上，得到0NA NB →→⋅=，进而设出直线方程并代入椭圆方程并化简，然后结合根与系数的关系解决问题. (1)由焦距为c =又因为P，在椭圆上，所以22221a b ⎛ ⎝⎭+=，即222113a b +=，又因为222a b c =+，所以223,1a b ==，所以椭圆C 的方程为：2213x y +=．(2)假设在y 轴上存在定点N ，使得2AMN ABN ∠=∠恒成立，设N （0，0y ），A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）.①当直线l 的斜率存在时，设l ：12y kx =-，由221213y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()224121290k xkx +--=，()22144364120k k ∆=++>，12212412k x x k +=+，1229412x x k -=+． 因为2AMN ABN ∠=∠，所以||||BNM MBN MB MN ∠=∠⇒=，而点M 为线段AB 的中点，所以||||2AB MN =，则点N 在以AB 为直径的圆上，即0NA NB →→⋅=． 因为()()110220,,,NA x y y NB x y y →→=-=-，所以()()()212102012120120x x y y y y x x y y y NA N y B y y →→=+--=+-++⋅()()2212121201201124k x x k x x x x y k x x y =+-+-+-++⎡⎤⎣⎦ ()()()2220002212012002121448*********y k y y kx x k y x x y y k -++-⎛⎫=+-+++++== ⎪+⎝⎭，∴2020*******y y y ⎧-=⎨+-=⎩解得01y =，即存在N （0，1）满足题意. ②当直线l 的斜率不存在时A （0，1），B （0，－1），M （0，0），点N （0，1）满足20AMN ABN ∠=∠=.综上，存在定点N （0，1），使得2AMN ABN ∠=∠恒成立. 【点睛】本题需要解决两个问题：首先，2AMN ABN ∠=∠说明什么，千万不要硬去求角的三角函数值，而应找到线段关系或者角的关系；其次，在知道NA NB ⊥之后，最好通过平面向量来解决问题，进而会发现接下来需要通过根与系数的关系来处理.5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，A B ，分别是椭圆E 的左、右顶点，(1,0)D 为线段2OF 的中点，且2250AF BF +=．(1)求椭圆E 的方程；(2)若M 为椭圆E 上的动点（异于点A 、B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P ，Q ，连接PQ ，设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k ．试问是否存在常数λ，使得120k k λ+=恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)22195x y +=(2)存在满足条件的常数λ，47λ=-． 【解析】【分析】（1）由已知求得a ，b ，c ，由此求得椭圆的标准方程；（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，33()P x y ，，44()Q x y ，，则直线MD 的方程为1111x x y y -=+，与椭圆的方程联立整理得，2112115140x x y y y y ⎛⎫--+-=⎪⎝⎭，根据根与系数的关系求得点1111594(,)55x y P x x ---， 同理，求得点2222594(,)55x y Q x x ---，由三点1,M F N ，共线，得1221122()x y x y y y -=-，从而由两点的斜率公式求得21407k k -=，从而求得满足条件的常数λ． (1)解：∵2250AF BF +=，∴225AF F B =，所以5()a c a c +=-，化简得23a c =， 又点(1,0)D 为线段2OF 的中点，∴2c =，从而3a =，b =1(2,0)F -，故椭圆E 的方程为22195x y +=；(2)解：存在满足条件的常数λ，47λ=-， 设11()M x y ，，22()N x y ，，33()P x y ，，44()Q x y ，， 则直线MD 的方程为1111x x y y -=+，代入椭圆方程22195x y +=，整理得，2112115140x x y y y y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭， ∵11131(1)5y x y y x -+=-，∴13145y y x =-，从而131595x x x -=-，故点1111594(,)55x yP x x ---，同理，点2222594(,)55x yQ x x ---，∵三点1,M F N ，共线，∴121222y y x x =++， 从而1221122()x y x y y y -=-，从而()()1212213412121212341211212244557()759594()455+5 4y y y x y x y y y x x y y k k x x x x x y x x x x x -=-------====-------，故21407k k -=，从而存在满足条件的常数λ，47λ=-． 6．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线C ： x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ， P 为C 上的动点，Q 为P 在动直线y ＝t （t ＜0）上的投影．当△PQF 为等边(1)求C 的方程；(2)设O 为原点，过点P 的直线l 与C 相切，且与椭圆22142x y +=交于A ，B 两点，直线OQ 与线段AB 交于点M ．试问：是否存在t ，使得△QMA 和△QMB 面积相等恒成立？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)22x y = (2)存在，12t =- 【解析】 【分析】（1）设00,P x y ，根据等边三角形的面积公式得到2PQ =，再根据抛物线的定义得到2p t =-，即可得到02202002242p y x p x py⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，从而求出p ，即可得到抛物线方程；（2）设()()000,0P x y x ≠，()()1122,,,A x y B x y ，()0,Q x t ，利用导数求出切线l 的方程，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再求出直线OQ 的方程，从而求出M 点的横坐标，再根据△QMA 和△QMB 的面积相等，且A ，M ，B 在同一条直线上，可得点M 为AB 的中点，从而得到122M x x x =+，即可求出参数t 的值，即可得解； (1)解：设00,P x y ，∵PQF △0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭∴21||sin23PQ π⨯=2PQ =，∵Q 为P 在动直线()0y t t =<上的投影，∴()0,Q x t ；当PQF △为等边三角形时，PQ PF FQ ==，由抛物线的定义知，2p t =-，∴02202002242p y x p x py⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，解得1p =，∴C 的方程为22x y =；(2)解：设()()000,0P x y x ≠，()()1122,,,A x y B x y ，则2002x y =，()0,Q x t ，∵212y x =，∴y x '=，∴切线()000y y x x x -=-，即00:l y x x y =-，联立方程()00222220000124240142y x x y x x x y x y x y =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，∴001220412x y x x x +=+ ∵()0,Q x t ．∴0:OQ t l y x x =，0002000M t y x y x x x x t y x x y⎧=⎪⇒=⎨-⎪=-⎩， ∵△QMA 和△QMB 的面积相等，且A ，M ，B 在同一条直线上，则点M 为AB 的中点， ∴122M x x x =+，即000002204212x y x y x x t =+-，则12t =-， 所以存在12t =-，使得△QMA 和△OMB 的面积相等恒成立．7．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为点,A B ，且M 为椭圆E 上一点，M 关于x 轴的对称点为N ，14MA NB k k ⋅=. (1)求椭圆E 的离心率；(2)若椭圆E的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，斜率为1的直线l 与椭圆E 交于P Q 、两点，在y 轴上存在点R ，使得(),0RP RQ RP RQ PQ ⊥+⋅=，求直线l 的方程. 【答案】(2)1y x =± 【解析】 【分析】（1）设()00,M x y ，则()00,N x y -，由⋅MA NB k k 可得2214b a =，从而求出离心率； （2）求出椭圆E 的方程，设直线l 方程为()()()1122,0,,,,,y x m R t P x y Q x y =+，线段PQ 的中点为(),S S S x y ，直线与椭圆方程联立利用韦达定理得S ，由()0+⋅=RP RQ PQ 得t ，由⊥RP RQ 得()()12120+--=x x y t yt ，将12,y y 代入求得m 可得直线l 的方程. (1)由椭圆知()(),0,,0A a B a -，设()00,M x y ，则()00,N x y -，点M 在椭圆E 上，有()2222222200000222211x y x b y b a x a b a a⎛⎫+=⇒=-=- ⎪⎝⎭，所以220002220001=4MA NBy y y b k k x a x a x a a --⋅=⋅==+--， 故椭圆E的离心率c e a == (2)由题意知椭圆E的一个焦点为)，则椭圆E 的方程为2214x y +=，设直线l 方程为()()()1122,0,,,,,y x m R t P x y Q x y =+，线段PQ 的中点为(),S S S x y ，联立22225844014y x mx mx m x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩，则()()222212212Δ=6420441650585445m m m m m x x m x x ⎧--=->⇒<⎪⎪⎪+=-⎨⎪⎪-=⎪⎩，124=255S S S x x m m x y x m +∴=-=+=，，即4,55m m S ⎛⎫-⎪⎝⎭， 由()350114505-+⋅=⇒⊥⇒⨯=-⇒=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭mt m RP RQ PQ RS PQ t m ， 由()()121200RP RQ RP RQ x x y t y t ⊥⇒⋅=⇒+--=，将1122,y x m y x m ==++代入可得212122()()()0x x m t x x m t +-++-=，()2224488805555-⎛⎫⎛⎫∴+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m m m m ， 解得215m =<满足条件，所以1m =±， 故直线l 的方程为1y x =±.8．（2022·广东·模拟预测）已知动圆过点F （0，1），且与直线l ：1y =-相切． (1)求动圆圆心的轨迹E 的方程；(2)点P 一动点，过P 作曲线E 两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，且PA PB ⊥，直线AB 与圆224x y +=相交于C ，D 两点，设点P 到直线AB 距离为d ．是否存在点P ，使得24AB CD d =？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)24x y =； (2)不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义写出轨迹E 的方程；（2）设直线AB ：y ＝kx ＋m ，()()1122,,,A x y B x y ，联立抛物线方程应用韦达定理及PA PB ⊥求参数m ，进而写出切线PA ，PB 的方程并求交点P 的坐标，再应用点线距离公式、弦长公式、圆中弦长的求法求P 到直线AB 距离为d 、||AB 、||CD ，最后结合24AB CD d =求参数k ，判断存在性.(1)依题意，圆心的轨迹E 是以F (0,1)为焦点，l ：y ＝－1为准线的抛物线． 所以抛物线焦点到准线的距离等于2，故动圆圆心的轨迹E 为x 2＝4y ． (2)依题意，直线AB 斜率存在，设直线AB ：y ＝kx ＋m ，()()1122,,,A x y B x y ．由24y kx m x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx m --=，故12124,4x x k x x m +==-． 2Δ(4)160k m =-+>，由x 2＝4y ，得2xy '=，故切线 P A ，PB 的斜率分别为12,22PA PB x x k k == 由 P A ⊥PB ，得：1212412244PA PB x x x x mk k m -=⋅===-=-， 所以m ＝1，这说明直线 AB 过抛物线E 的焦点F ，则切线221122:,:2424x x x x PA y x PB y x =-=-．联立2112222424x x y x x xy x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y 得：1222x x x k +==，即2P x k =， 则()222112111112121244444P x x x x x x x x x y k kx +=⋅-=-=-==-，即(2,1)P k -， 于是P 到直线AB ：kx －y ＋1＝0的距离2d ==()21212||2444AB y y k x x k =++=++=+．设原点到直线kx －y ＋1＝0的距离为1d，则1d =，所以||CD ==因为2||||4AB CD d =，所以()(2241k +=， 化简整理得224344k k +=+，无解，所以满足条件2||||4AB CD d =的点P 不存在． 【点睛】关键点点睛：第二问，设直线并联立抛物线，应用韦达定理求所设直线的参数值，再根据点线距离、弦长公式及圆中弦长、半径、弦心距关系，分别求出P 到直线AB 距离为d 、||AB 、||CD ，求参数判断存在性.9．（2022·江西宜春·高三期末（文））已知椭圆C 222210x y a b a b+=>>：（）的离心率为12，，12F F ，分别为椭圆的左、右焦点. (1)求椭圆C 的方程；(2)过1F 的直线m 交椭圆C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，以O ，A ，B 三点为顶点作平行四边形OAPB，是否存在直线m，使得点P在椭圆C上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)221 43x y+=；(2)存在，1x=-.【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率以及椭圆过点⎭，列出,,a b c的方程组，求解即可；（2）当直线斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理以及OP OA OB=+，即可求得点P的坐标，根据其坐标满足椭圆方程，解方程即可确定存在k满足题意；当斜率不存在时，即可容易求得点P的坐标，根据题意，即可确定直线的方程.(1)椭圆C的离心率为12，12ca∴=2,a c b∴==，又由椭圆经过点⎭，223314a b∴+=，解得1,2,==c a b则椭圆C的方程为：22143x y+=(2)依题意()110F-，，当直线AB的斜率存在时，设直线m的方程为()1y k x=+，()11,A x y，()22,B x y，联立直线方程()1y k x=+与22143x y+=，整理得()22223484120k x k x k+++-=，则221212228412,3434k kx x x xk k--+==++，设()00,P x y，由四边形OAPB为平行四边形，得OP OA OB=+，则012012x x xy y y=+⎧⎨=+⎩，即22286,3434k kPk k⎛⎫-⎪++⎝⎭，若点P落在椭圆C上，则2200143x y+=，即22222863434143k kk k⎛⎫-⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得()42221612134k k k +=+，令()20k t t =≥，故上式等价于()22161234t t t +=+，解得34t =-（舍去）， 故斜率存在时，不存在直线满足题意；当直线AB 的斜率不存在时，直线m 的方程1x =-， 此时存在点()2,0P -在椭圆C 上.综上，存在直线m ：1x =-，使得点()2,0P -在在椭圆C 上 【点睛】本题考察椭圆方程的求解，以及椭圆中定直线问题的处理；解决问题的关键是利用向量合理的转化四边形OAPB 为平行四边形，从而求得点P 的坐标，属中档题.10．（2022·山东菏泽·高三期末）已知Rt ABC 中，()1,0A -，()10B ,，90CAB ∠=︒，AC =，曲线E 过C 点，动点Р在E 上运动，且保持PA PB +的值不变. (1)求曲线E 的方程；(2)过点()1,0的直线l 与曲线E 交于M ，N 两点，则在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅的值为定值？若存在，求出点Q 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2212x y +=(2)存在点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得QM QN ⋅为定值716-【解析】 【分析】（1）根据条件可知动点P 的运动轨迹满足椭圆定义，由椭圆的方程可的结果. （2）分直线的斜率为零和不为零两种情况分别计算. (1)解：由题意，可得PA PB CA CB +=+=而2AB =<所以点Р的轨迹为以A ，B 为焦点，长轴长为由2a =，1c =，得a =1b =，所以曲线E 的方程为2212x y +=.(2)当直线l 的斜率为不为0时，设直线l 的方程为1x my =+，设定点(),0Q t联立方程组22122x my x y =+⎧⎨+=⎩，消x 可得()222210m y my ++-=， 设()11,M x y ，()22,N x y ， 可得12221m y y m +=-+，12212y y m =-+， 所以()()()()1212121211QM QN x t x t y y my t my t y y ⋅=--+=+-+-+()()()()()2222222231121111222t m m m m t t t m m m ----=++-+-=+-+++. 要使上式为定值，则1232t -=-，解得54t =此时215712416QM QN ⎛⎫⋅=-+-=- ⎪⎝⎭当直线l 的斜率为0时，()M ，)N ，此时，716QM QN ⋅=-也符合. 所以，存在点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得QM QN ⋅为定值716-.11．（2022·江西赣州·高三期末（文））已知点M 是椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>上一点，1F ，2F 分别为椭圆C 的上、下焦点，124F F =，当1290F MF ∠=︒，12F MF △的面积为5.(1)求椭圆C 的方程：(2)设过点2F 的直线l 和椭圆C 交于两点A ，B ，是否存在直线l ，使得2OAF 与1OBF △（O 是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由.【答案】(1)22195y x +=(2)存在，2y =- 【解析】【分析】（1）根据焦距可求出c ,再根据1290F MF ∠=以及12F MF △的面积可求出a ,b ，即得椭圆方程；（2）设直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，根据2OAF 与1OBF △的面积比值为5：7，得到相关等式1257x x =-，联立根与系数的关系式化简，即可得到结论. (1)由12422F F c c ==⇒=, 由12121215102F MF S MF MF MF MF =⋅=⇒⋅=△, 1290F MF ∠=,故221216MFMF +=, ∴()222121212236MF MF MF MF MF MF +=++⋅=,∴12623MF MF a a +==⇒=, ∴2225b a c ，即椭圆的标准方程为22195y x +=.(2)假设满足条件的直线l 存在，当直线l 的斜率不存在时，不合题意，不妨设直线l ：2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，显然120x x < ，联立222195y kx y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()225920250k x kx +--=，所以()()1221222015925259k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 因为S △OAF 2=12⋅c ⋅|x 1|，1212OBF S c x =⋅⋅，得21112257OAF OBF S x x S x x ==-=△△， 即1257x x =-（3），由（1），（3），得227059kx k =+ （4），将（1）（4）代入（3）得2115k k =⇒=所以直线l 的方程为2y =-， 故存在直线l ，使得2OAF 与1OBF △的面积比值为5：7. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，涉及到椭圆中的三角形面积问题，解答时一般思路是要将直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，再将该关系式代入到相关等式中化简，其中计算量大,多是关于字母参数的运算，要求计算准确，需要细心和耐心.12．（2022·安徽六安·一模（理））已知椭圆()222:11x C y a a+=>的左右焦点分别是1F ，2F ，右顶点和上顶点分别为A ，B ，2BF A △的面积为32(1)求椭圆C 的标准方程；(2)以此椭圆的上顶点B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角BMN △，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2219x y += (2)存在，有三个 【解析】 【分析】（1）由()()2113222BF ASa cb ac =-=-=3a c -=- （2）设BM 边所在直线的方程为1y kx =+，联立直线与椭圆的方程，解出点M 的坐标，然后可得BM ，用1k-代替BM 中的k 可得BN ，然后由BM = BN求解即可. (1)由题意得 2221,b a c =-= ①因为()()2113222BF ASa cb ac =-=-=，所以3a c -=-②由①②得3a c +=+3,a c ==所以椭圆C 方程为2219x y +=；(2)假设能构成等腰直角BMN △，其中B (0， 1)，由题意可知，直角边,BM BN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设BM 边所在直线的方程为1y kx =+(不妨设0k >)联立直线方程和椭圆方程得：22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2291180k x kx ++=2222181818,,1919191M k k k x M k k k ⎛⎫∴=-∴--+ ⎪+++⎝⎭BM ∴=， 用1k -代替上式中的k，得21BN k ==+ 由BM BN ==， 即329910k k k -+-=，()()2181014k k k k k ∴--+=∴==或故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形.13．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，以其左顶点、上顶点及左焦点为顶点的三角(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且0OA OB ⋅=，证明：存在定点P ，使得点P 到直线l 的距离为定值．【答案】(1)22143x y +=；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）分析可得2a c =，b =，利用三角形的面积公式可求得c 的值，即可得出a 、b 的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ．对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l x ⊥轴时，直接计算出原点到直线l 的距离；在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，根据0OA OB ⋅=可得出k 、m 所满足的等式，再计算出原点到直线l 的距离，即可得出结论. (1)解：设椭圆C 的半焦距为c ，因为12c a=，所以2a c =，又22223b a c c =-=，所以b =． 由题意知()12a cb -⋅=1c =，所以2a =，b = 所以椭圆C 的方程为22143x y +=．(2)证明：设()11,A x y 、()22,B x y ．①若直线l 与x 轴垂直，不妨设点A 在第一象限，由对称性及0OA OB ⋅=可知OA 所在直线方程为y x =，联立{y =x 3x 2+4y 2=12x >0，可得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点A ⎝⎭， 此时直线l的方程为x =，则原点O 到直线l的距离为d = ②若直线l 不与x 轴垂直，设直线l 的方程为y kx m =+，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()2224384120k x kmx m +++-=，()()()2222226444341248430k m k m m k ∆=-+-=-++>，由韦达定理得122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+． 又0OA OB ⋅=，所以12120x x y y +=，所以()()2122412043m kx m kx m k -+++=+，()22212122412043m k x x km x x m k -++++=+， 222222241241280434343m m km k km m k k k ---+⋅+⋅+=+++，整理得2212127k m +=，满足0∆>．所以原点到直线l的距离为d ==，故存在定点()0,0P 到l（定值）． 综上所述，存在定点()0,0P ，使得P 到直线l 的距离为定值． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.14．（2022·湖北·荆州中学高三期末）如图所示，已知椭圆22:163x y C +=与直线:163x yl +=．点P 在直线l 上，由点P 引椭圆C 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，O 是坐标原点．(1)若点P 为直线l 与y 轴的交点，求PAB △的面积S ；(2)若⊥OD AB ，D 为垂足，求证：存在定点Q ，使得DQ 为定值. 【答案】(1)4； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）可得点()0,3P ，设切线方程为3y kx =+，将切线方程与椭圆方程联立，由判别式为零可求得k 的值，可知PA PB ⊥，求出两切点的坐标，可得出PA 、PB ，利用三角形的面积公式可求得结果；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，可得出切线PA 、PB 的方程，设点()P m n ,，求出直线AB 的方程，可得出直线AB 过定点T ，由⊥OD AB结合直角三角形的几何性质。
圆锥曲线存在性问题
圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。
再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。
二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 。
（1）求,a b 的值（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由解：（1）::3c e a b c a ==⇒=则,a b ==，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时:0l y x c x y c =-⇒--=2O l d -∴==解得：1c =a b ∴== 椭圆方程为：22132x y += （2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =-OP OA OB =+ 012012x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩ 联立直线与椭圆方程：()221236y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2222316x k x +-=，整理可得：()2222326360kx k x k +-+-=2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232k ky y k x x k k k k +=+-=-=-++22264,3232k k P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭因为P 在椭圆上22222642363232k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()2242222272486322432632k k k k k k ∴+=+⇒+=+()2224632k k k ∴=+⇒=当k =时，):1l y x =-，3,2P ⎛ ⎝⎭当k =):1l y x =-，3,22P ⎛ ⎝⎭当斜率不存在时，可知:1l x =，1,,1,33A B ⎛⎫⎛- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()2,0P 不在椭圆上∴综上所述：):1l y x =-，3,2P ⎛ ⎝⎭或):1l y x =-，32P ⎛ ⎝⎭例2：过椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B 的周长为8（1）求椭圆Γ的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点,P Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：（1）由1AF B 的周长可得：482a a =⇒=2c e c a ∴==⇒=2221b a c ∴=-= 椭圆22:14x y Γ+= （2）假设满足条件的圆为222x y r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内01r ∴<<若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x yPQ 与圆相切 ()2221O l d r m r k -∴==⇐=+0OP OQ OP OQ ⊥⇒⋅= 即12120x x y y +=联立方程：2244y kx mx y =+⎧⇒⎨+=⎩()222148440k x kmx m +++-=2121222844,4141km m x x x x k k -∴+=-=++()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++()()22121212121x x y y k x x km x x m ∴+=++++()2222244814141m km k km m k k -⎛⎫=⋅++⋅-+ ⎪++⎝⎭22254441m k k --=+ 225440m k ∴--=对任意的,m k 均成立将()2221m r k =+代入可得：()()22251410r k k +-+=()()225410r k ∴-+= 245r ∴=∴存在符合条件的圆，其方程为：2245x y +=当PQ 斜率不存在时，可知切线PQ 为x =若:PQ x =,5555P Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭0OP OQ ∴⋅= :PQ x ∴=若:PQ x = 综上所述，圆的方程为：2245x y +=例3：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>经过点(，离心率为12，左，右焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c（1）求椭圆C 的方程（2）设椭圆C 与x 轴负半轴交点为A ，过点()4,0M -作斜率为()0k k ≠的直线l ，交椭圆C 于,B D 两点（B 在,M D 之间），N 为BD 中点，并设直线ON 的斜率为1k ① 证明：1k k ⋅为定值② 是否存在实数k ，使得1F N AD ⊥？如果存在，求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由解：（1）依题意可知：12c e a ==可得：::a b c =∴椭圆方程为：2222143x y c c+=，代入(可得：1c =∴椭圆方程为：22143x y += （2）① 证明：设()()1122,,,B x y D x y ，线段BD 的中点()00,N x y 设直线l 的方程为：()4y k x =+，联立方程：()2243412y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 化为：()2222343264120k x k x k +++-= 由0∆>解得：214k < 且22121222326412,4343k k x x x x k k --+==++ 2120216243x x k x k +∴==-+ ()00212443k y k x k =+=+01034y k x k∴==- 13344k k k k ∴=-⋅=-② 假设存在实数k ，使得1F N AD ⊥，则11F N AD k k ⋅=-12022021243416114134F Nky k k k k x k k +∴===+--++ ()2222422AD k x y k x x +==++ ()1222441142F N AD k x kk k k x +⋅=⋅=--+即()222222224164182282k x k k x k x k +=-+-⇒=--<-因为D 在椭圆上，所以[]22,2x ∈-，矛盾所以不存在符合条件的直线l例4：设F 为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，直线0:34100l x y --=与以原点为圆心，以椭圆E 的长半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆E 的方程（2）过点F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由 解：（1）0l 与圆相切1025O l d r -∴=== 2a ∴= 将31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程22214x y b +=可得：b =∴椭圆方程为：22143x y += （2）由椭圆方程可得：()1,0F 设直线():1l y k x =-，则()3:12PQ y k x -=- 联立直线l 与椭圆方程：()2213412y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()22224384120k x k x k +-+-= ()()()2222218443412144144k k k k ∴∆=-+-=+()212212143k AB x k +∴=-==+同理：联立直线PQ 与椭圆方程：()223123412y k x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩消去y 可得：()()22224381241230k x k k x k k +--+--= ()()()222222181244123431444k k k k k k k ⎛⎫⎡⎤∆=----+=++ ⎪⎣⎦⎝⎭PQ ∴==因为四边形PABQ 的对角线互相平分∴四边形PABQ 为平行四边形AB PQ ∴= ()2212143k k +∴=+解得：34k =∴存在直线:3430l x y --=时，四边形PABQ 的对角线互相平分例5：椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，P 为椭圆1C 上任意一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c = （1）求椭圆1C 的离心率e 的取值范围（2）设双曲线2C 以椭圆1C 的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线2C 在第一象限上任意一点，当e 取得最小值时，试问是否存在常数()0λλ>，使得11BAF BF A λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由 解：（1）设()()()12,,,0,,0P x y F c F c -()()12,,,PF c x y PF c x y ∴=---=-- 22212PF PF x y c ∴⋅=+-由22221x y a b +=可得：22222b y b x a=-代入可得： 2222222222212221b c PF PF x y c x b c x b c a a ⎛⎫⋅=+-=-+-=+- ⎪⎝⎭[],x a a ∈- ()212maxPF PF b ∴⋅=222222222222334c ac b c c a c c c a⎧≤⎪∴≤≤⇒≤-≤⇒⎨≥⎪⎩21114222e e ∴≤≤⇒≤≤（2）当12e =时，可得：2,a c b = ∴双曲线方程为222213x y c c-=，()()12,0,,0A c F c -，设()00,B x y ，000,0x y >>当AB x ⊥轴时，002,3x c y c ==13tan 13c BF A c ∴== 14BF A π∴∠= 因为12BAF π∠= 112BAF BF A ∴∠=∠所以2λ=，下面证明2λ=对任意B 点均使得11BAF BF A λ∠=∠成立 考虑1001100tan ,tan 2AB BF y y BAF k BF A k x c x c∠=-=-∠==-+ ()()000101222210000222tan tan 21tan 1y y x c BF Ax cBF A BF Ax c yy x c ⋅+∠+∴∠===-∠+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭由双曲线方程222213x y c c-=，可得：2220033y x c =-()()()()2222222000000003322422x c y x c x c x cx c x c c x ∴+-=+-+=-++=+-()()()000110002tan 2tan 222y x c y BF A BAF x c c x c x +∴∠===∠+--112BAF BF A ∴∠=∠结论得证2λ∴=时，11BAF BF A λ∠=∠恒成立例6：如图，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率是2，过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得对于任意直线l ，QA PA QBPB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）2c e a ==::a b c ∴= ∴椭圆方程为222212x y b b+=由直线l 被椭圆E截得的线段长为点)在椭圆上22221122b b b+=⇒= 24a ∴= ∴椭圆方程为22142x y += （2）当l 与x 轴平行时，由对称性可得：PA PB =1QA PA QBPB∴==即QA QB =Q ∴在AB 的中垂线上，即Q 位于y 轴上，设()00,Q y当l 与x轴垂直时，则((,0,A B1,1PA PB ∴=-=+00QA y QB y ==+QA PA QBPB∴=⇒=可解得01y =或02y = ,P Q 不重合 02y ∴=()0,2Q ∴下面判断()0,2Q 能否对任意直线均成立若直线l 的斜率存在，设:1l y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩由QA PA QBPB=可想到角平分线公式，即只需证明QP 平分BQA ∠∴只需证明0QA QB QA QB k k k k =-⇒+=()()1122,,,A x y B x y ∴121222,QA QB y y k k x x --∴== ()()()21122112121212121222222QA QBx y x y x y x y x x y y k k x x x x x x -+-+-+--∴+=+==① 因为()()1122,,,A x y B x y 在直线1y kx =+上，112211y kx y kx =+⎧∴⎨=+⎩代入①可得：()()()()211212121212121122QA QB x kx x kx x x kx x x x k k x x x x +++-+-+∴+==联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩12122242,1212k x x x x k k ∴+=-=-++ 22224212120212QA QBkk k k k k k ⋅-+++∴+==-+ 0QA QB k k ∴+=成立QP ∴平分BQA ∠ ∴由角平分线公式可得：QA PA QBPB=例7：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为A ，4,33b P ⎛⎫⎪⎝⎭是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F （1）求椭圆C 的方程（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由解：由椭圆可知：()()0,,,0A b F cAP 为直径的圆经过F FA FP ∴⊥0FA FP ∴⋅= ()4,,,33b FA c b FP c ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭22244003333b b c c c c ⎛⎫∴--+=⇒-+= ⎪⎝⎭由4,33b P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，代入椭圆方程可得：222211611299b a a b ⋅+⋅=⇒= 22222401332b c c b c b c a ⎧-+=⎪⇒==⎨⎪+==⎩∴椭圆方程为2212x y +=（2）假设存在x 轴上两定点()()1122,0,,0M M λλ，()12λλ< 设直线:l y kx m =+12M l M l d d --∴==所以依题意：()12221212211M l M l k km m d d k λλλλ--+++⋅===+ ①因为直线l 与椭圆相切，∴联立方程：()2222221422022y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ 由直线l 与椭圆相切可知()()()2224421220km k m ∆=-+-=化简可得：2221m k =+，代入①可得：()()221212222121222112111k km k k km k k k λλλλλλλλ++++=⇒++++=++()()2121210k km λλλλ∴+++=，依题意可得：无论,k m 为何值，等式均成立121122121101λλλλλλλλ=-⎧=-⎧⎪∴+=⇒⎨⎨=⎩⎪<⎩所以存在两定点：()()121,0,1,0M M -例8：已知椭圆221:41C x y +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 是1C 上任意一点，O 是坐标原点，12OQ PF PF =+，设点Q 的轨迹为2C （1）求点Q 的轨迹2C 的方程（2）若点T 满足：2OT MN OM ON =++，其中,M N 是2C 上的点，且直线,OM ON 的斜率之积等于14-，是否存在两定点，使得TA TB +为定值？若存在，求出定点,A B 的坐标；若不存在，请说明理由（1）设点Q 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则220041x y +=由椭圆方程可得：12,F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12OQ PF PF =+ 且10020033,,,22PF x y PF x y ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()002,2Q x y ∴-- 00002222x x x x y y yy ⎧=-⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩代入到220041x y +=可得：2214x y += （2）设点(),T x y ，()()1122,,,M x y N x y2OT MN OM ON =++()()()()12121122,,2,,x y x x y y x y x y ∴=--++212122x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩设直线,OM ON 的斜率分别为,OM ON k k ，由已知可得：212114OM ON y y k k x x ⋅==- 121240x x y y ∴+=考虑()()222221214242x y x x y y +=+++()()222211221212444416x y x y x x y y =+++++,M N 是2C 上的点 221122224444x y x y ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩ 22444420x y ∴+=+⨯=即T 的轨迹方程为221205x y +=，由定义可知，T 到椭圆221205x y +=焦点的距离和为定值 ,A B ∴为椭圆的焦点()),A B∴所以存在定点,A B例9：椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的焦点到直线30x y -=抛物线()2:20G y px p =>的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E 交于,A B ，与G 交于,C D （1）求椭圆E 及抛物线G 的方程 （2）是否存在常数λ，使得1AB CDλ+为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由解：（1）设,E G 的公共焦点为(),0F c2F l d c -∴==⇒=5c e a a ∴==⇒= 2221b a c ∴=-= 22:15x E y ∴+=28y x ∴=（2）设直线():2l y k x =-，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y与椭圆联立方程：()()22222225120205055y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩ 2212122220205,1515k k x x x x k k -∴+==++)22115k AB k+∴==+直线与抛物线联立方程：()()22222248408y k x k x k x k y x⎧=-⎪⇒-++=⎨=⎪⎩ 234248k x x k +∴+= CD 是焦点弦 ()2342814k CD x x k+∴=++=()222222420181kk AB CD k λλ++∴+=+==+ 若1AB CDλ+为常数，则204= 5λ∴=- 例10：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为3直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 垂直于x 轴且点E为椭圆C 的右焦点时，弦AB 的长为3（1）求椭圆C 的方程（2）是否存在点E ，使得2211EA EB+为定值？若存在，请求出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由解：（1）依题意可得：3c e a ==::a b c ∴=当l 与x 轴垂直且E 为右焦点时，AB 为通径22b AB a ∴==a b ∴=22162x y ∴+= （2）思路：本题若直接用用字母表示,,A E B 坐标并表示,EA EB ，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与E 的坐标。
圆锥曲线的存在性问题
圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。
再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。
二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与C相交于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2。
（1）求,a b 的值（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由解：（1）::3c e a b c a ==⇒=则,a b ==，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时:0l y x c x y c =-⇒--=2O l d -∴==解得：1c =a b ∴==椭圆方程为：22132x y +=（2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =-OP OA OB =+ 012012x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩联立直线与椭圆方程：()221236y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2222316x k x +-=，整理可得：()2222326360kx k x k +-+-=2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232k ky y k x x k k k k +=+-=-=-++22264,3232k k P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭因为P 在椭圆上22222642363232k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()2242222272486322432632k k k k k k ∴+=+⇒+=+()2224632k k k ∴=+⇒=当k =):1l y x =-，3,22P ⎛- ⎝⎭当k =时，):1l y x =-，3,22P ⎛ ⎝⎭当斜率不存在时，可知:1l x = ，1,,1,33A B ⎛⎫⎛- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()2,0P 不在椭圆上∴综上所述：):1l y x =-，3,22P ⎛- ⎝⎭或):1l y x =-，322P ⎛ ⎝⎭例2：过椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B 的周长为8，椭圆的离心率为2（1）求椭圆Γ的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点,P Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：（1）由1AF B 的周长可得：482a a =⇒=2c e c a ∴==⇒= 2221b a c ∴=-= 椭圆22:14x y Γ+=（2）假设满足条件的圆为222x y r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内01r ∴<<若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x yPQ 与圆相切 ()2221O l d r m r k -∴==⇐=+0OP OQ OP OQ ⊥⇒⋅= 即12120x x y y +=联立方程：2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222148440k x kmx m +++-= 2121222844,4141km m x x x x k k -∴+=-=++()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++ ()()22121212121x x y y k x x km x x m ∴+=++++()2222244814141m km k km m k k -⎛⎫=⋅++⋅-+ ⎪++⎝⎭22254441m k k --=+ 225440m k ∴--=对任意的,m k 均成立将()2221m r k =+代入可得：()()22251410r k k +-+=()()225410r k ∴-+= 245r ∴=∴存在符合条件的圆，其方程为：2245x y +=当PQ 斜率不存在时，可知切线PQ 为x =若:PQ x =,5555P Q ⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0OP OQ ∴⋅= :PQ x ∴=若:PQ x = 综上所述，圆的方程为：2245x y +=例3：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，短轴两个端点为,A B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形（1）求椭圆的方程（2）若,C D 分别是椭圆长轴的左，右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ，证明OM OP ⋅是定值（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线,DP MQ 的交点。
圆锥曲线中的存在性问题
为解决实际问题提供更多思路和方法。
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圆锥曲线中的体存在性问题
体在圆锥曲线上的存在性定理
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圆锥曲线上的体存在性定理
在给定条件下，圆锥曲线上存在一个或多个满足 特定性质的点或物体。
适用范围
适用于椭圆、抛物线、双曲线等圆锥曲线。
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证明方法
利用数学分析、代数和几何等工具进行证明。
体在圆锥曲线上的存在性证明
线在圆锥曲线上的存在性证明
代数证明
通过代数方法，利用圆锥曲线的 方程和导数，证明切线和割线的 存在性。这种方法需要一定的数 学基础。
几何证明
通过几何方法，利用圆锥曲线的 性质和几何关系，证明切线和割 线的存在性。这种方法需要较强 的几何直觉和推理能力。
线在圆锥曲线上的存在性应用
几何作图
利用切线和割线的存在性定理，可以方便地进行几何作图，解决一些几何问题。
定理的适用范围
适用于不同类型和形状的圆锥曲线，但需满足特定的几何条件和约 束。
定理的证明方法
通常采用代数几何、微分几何或解析几何的方法进行证明。
面在圆锥曲线上的存在性证明
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证明过程
通过数学推导和证明，证 明在给定条件下，圆锥曲 线上确实存在满足特定性 质的平面。
关键步骤
确定合适的参数和方程， 利用代数、微分或解析技 巧进行推导和求解。
代数证明
通过代数方法，如解方程或不等 式，证明圆锥曲线上存在满足条 件的点或物体。
几何证明
利用几何性质和定理，如平行线、 相似三角形等，证明圆锥曲线上 存在满足条件的点或物体。
反证法
通过假设不存在满足条件的点或 物体，然后推导出矛盾，从而证 明存在性。
探究圆锥曲线中的存在性问题
ʏ广东省佛山市顺德区杏坛中学 张 鹏圆锥曲线中的存在性问题一直是高考命题的热点问题㊂该类问题具有较强的综合性,问题的求解对分析问题㊁逻辑推理㊁运算求解等能力要求都比较高㊂文章通过归纳梳理,结合实例,探究圆锥曲线中存在性问题的求解思路,目的是帮助同学们提高备考的针对性和有效性㊂一㊁是否存在这样的 点例1 已知双曲线C :x 2a 2-y2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F (c ,0),离心率为2,直线x =a2c 与C 的一条渐近线交于点P ,且P F =3㊂(1)求双曲线C 的方程㊂(2)设Q 为双曲线C 右支上的一个动点,试问:在x 轴上是否存在定点M ,使得øQ F M =ø2Q M F 若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由㊂解析:(1)双曲线C 的方程为x 2-y 23=1㊂(过程略)(2)假设存在点M (t ,0)满足题设条件㊂由(1)知双曲线C 的右焦点为F (2,0),设Q (x 0,y 0)(x 0ȡ1)为双曲线C 右支上一点,则x 2-y 23=1㊂若x 0=2,则y 0=ʃ3㊂因为øQ F M =ø2Q M F =90ʎ,所以øQ M F =45ʎ,于是M F =Q F =|y 0|=3,所以t =-1,即M (-1,0)㊂若x 0ʂ2,则t a nøQ F M =-k Q F =-y 0x 0-2,t a n øQ M F =k Q M =y 0x 0-t㊂因为øQ F M =ø2Q M F ,所以-y 0x 0-2=2ˑy 0x 0-t1-y 0x 0-t2㊂当y 0ʂ2时,上式化简可得3x 20-y 20-(4+4t )x 0+4t +t 2=0,又x 20=y 23=1,即3x 20-y 20=3,代入得-(4+4t )x 0+3+4t +t 2=0,所以-(4+4t )=0,3+4t +t 2=0,解得t =-1,即M (-1,0)㊂当y 0=0时,t =-1,即M (-1,0)也满足øQ F M =ø2Q M F ㊂综上可得,满足条件的点M 存在,其坐标为(-1,0)㊂评注:本题求解的关键是:假设存在点M (t ,0)满足题设条件后进行分类讨论,若x 0=2时,则y 0=ʃ3,由øQ F M =ø2Q M F =90ʎ,得øQ M F =45ʎ,结合M F =Q F =|y 0|=3,得t =-1,即M (-1,0)㊂若x 0ʂ2,则t a n øQ F M =-k Q F =-y 0x 0-2,t a n øQ M F =k Q M =y 0x 0-t,由øQ F M =ø2Q M F ,得-y 0x 0-2=2ˑy 0x 0-t1-y 0x 0-t2㊂当y 0ʂ2时,化简求得t =-1,即M (-1,0);当y 0=0时,t =-1,也满足øQ F M =ø2Q M F ㊂例2 已知圆O :x 2+y 2=4与x 轴的两个交点分别为A 1-2,0 ,A 22,0 ,M 为圆O 上一动点,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点R 满足N R ң=12NM ң㊂(1)求点R 的轨迹方程㊂(2)设点R 的轨迹为曲线C ,直线x =m y +1交C 于P ,Q 两点,直线A 1P 与A 2Q 交于点S ,试问:是否存在一个定点T ,当m 变化时,使得әA 2T S 为等腰三角形㊂解析:(1)设点M x 0,y 0在圆x 2+y 2=4上,故有x 20+y 20=4,设R x ,y,由N R ң=31知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.12NM ң,可得x =x 0,y =12y 0,即x 0=x ,y 0=2y ,代入x 20+y 20=4,可得x 2+2y2=4,化简得x 24+y 2=1,故点R 的轨迹方程为x 24+y 2=1㊂(2)根据题意设直线l 的方程为x =m y+1,取m =0,可得P 1,32 ,Q 1,-32,所以直线A 1P 的方程为y =36x +33,直线A 2Q 的方程为y =32x -3,联立两个直线方程,可得交点为S 14,3㊂若P 1,-32 ,Q 1,32,由对称性可知交点S 24,-3 ,若点S 在同一直线上,则直线只能为l :x =4㊂以下证明:对任意的m ,直线A 1P 与直线A 2Q 的交点S 均在直线l :x =4上㊂联立x =m y +1,x 24+y 2=1,消去x 整理得m 2+4 y 2+2m y -3=0㊂设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2,则y 1+y 2=-2m m 2+4,y 1y 2=-3m 2+4㊂设A 1P 与l 交于点S 04,y 0,由y 04+2=y 1x 1+2,可得y 0=6y 1x 1+2㊂设A 2Q 与l 交于点S 04,y 0' ,由y 0'4-2=y 2x 2-2,可得y 0'=2y 2x 2-2,故y 0-y 0'=6y 1x 1+2-2y 2x 2-2=6y 1m y 2-1 -2y 2m y 1+3 x 1+2 x 2-2=4m y 1y 2-6y 1+y 2 x 1+2 x 1-2 =-12m m 2+4--12mm 2+4x 1+2 x 2-2=0,所以y 0=y 0',即S 0与S 0'重合,所以当m 变化时,点S 均在直线l :x =4上㊂因为A 22,0 ,S 4,y,所以要使әA 2T S 恒为等腰三角形,只需x =4为线段A 2T 的垂直平分线,由对称性知点T 6,0㊂故存在定点T 6,0满足条件㊂评注:本题的第(2)问首先判断斜率不存在的情况,再分析斜率存在的情况,设直线l 的方程为x =m y +1,与椭圆方程联立得m 2+4 y 2+2m y -3=0,y 1+y 2=-2m m 2+4,y 1y 2=-3m 2+4,再根据әA 2T S 恒为等腰三角形,只需x =4为线段A 2T 的垂直平分线即可,由对称性知点T 6,0㊂二㊁是否存在这样的 常数例3 在平面直角坐标系x O y 中,已知点A (-2,2),B (2,2),直线A D ,B D 交于D ,且它们的斜率满足k A D -k B D =-2㊂(1)求点D 的轨迹Γ的方程㊂(2)设过点(0,2)的直线l 交曲线Γ于P ,Q 两点,直线O P 与O Q 分别交直线y =-1于点M ,N ㊂试问:是否存在常数λ,使得S әO P Q =λS әO MN 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由㊂解析:(1)设D (x ,y ),由A (-2,2),B (2,2),得k A D =y -2x +2,k B D =y -2x -2,所以k A D -k B D =y -2x +2-y -2x -2=-2,整理得x 2=2y (x ʂʃ2)㊂(2)存在常数λ=4,使得S әO P Q =λS әO MN ㊂证明如下:由题意,直线l 的斜率存在,且过点(0,2),设直线l 的方程为y =k x +2,P (x 1,x 2),Q (x 2,y 2),联立y =k x +2,x 2=2y,消去y 整理得x 2-2k x -4=0,所以x 1+x 2=2k ,x 1x 2=-4㊂|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4k 2+16=2k 2+4㊂所以S әO P Q =12㊃2㊃|x 1-x 2|=2k 2+4㊂直线O P 的方程为y =y 1x 1x ,取y =-1,41 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.得x M =-x 1y 1,直线O Q 的方程为y =y 2x 2x ,取y =-1,得x N =-x 2y 2㊂所以|x M -x N |=x 2y 2-x 1y 1=x 2y 1-x 1y 2y 1y 2=x 2(k x 1+2)-x 1(k x 2+2)(k x 1+2)(k x 2+2)=2(x 2-x 1)k 2x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4=4k 2+44=k 2+4㊂所以S әO MN =12㊃1㊃|x M -x N |=k 2+42,所以S әO P Q =4S әO MN ㊂故存在常数λ=4,使得S әO P Q =λS әO MN ㊂评注:本题首先由题意设直线l 的方程为y =k x +2,联立直线l 与点D 的轨迹方程,结合韦达定理求出әO P Q 的面积,再设点P (x 1,x 2),Q (x 2,y 2),推出点M ,N 的坐标,然后求出әO MN 的面积,最后根据两个面积的关系可确定λ的值㊂三㊁是否存在这样的 直线例4 已知椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A (-2,0),离心率e =32,过点A 的直线l 与椭圆交于点B ㊂(1)求椭圆C 的方程㊂(2)设A B 的中点为P ,射线P O 与椭圆C交于点M ㊂试问:是否存在直线l ,使得әA P M 的面积是әP O B 的面积的3倍若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明理由㊂解析:(1)椭圆C 的方程为x 24+y 2=1㊂(过程略)(2)由题意可知直线l 的斜率存在,故设直线l :y =k x +2k ,联立y =k x +2k ,x 24+y 2=1,消去y 整理得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2-4=0,设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),所以x A +x B =-16k 21+4k 2,x A x B =16k 2-41+4k 2,所以x P =-8k 21+4k2,y P =2k 1+4k 2,即P -8k 21+4k 2,2k1+4k2,故k O P =2k -8k2=-14k ,所以l O M :y =-14k x ㊂联立y =-14kx ,x 24+y 2=1,解得x 2M=16k21+4k2,y 2M =11+4k 2,所以|O M |2=16k 2+11+4k 2,|O P |2=64k 4+4k2(1+4k 2)2,由øM P A =øO P B ,|A P |=|B P |,且S әA M P =3S әO P B ,即12|A P |㊃|M P |s i n øM P A =3㊃12|O P |㊃|B P |㊃s i n øO P B ,即|M P |=3|O P |,所以|O P |=14|O M |,即|O P |2=|O M |216,所以16k 21+4k2+11+4k 2=16㊃4k 2(16k 2+1)(1+4k 2)2,解得k =ʃ1530,所以直线l 的方程为y =1530x +1515或y =-1530x -1515㊂评注:本题首先设直线l :y =k x +2x ,联立直线与椭圆方程,求出点P 的坐标及直线O M ,再将直线O M 与椭圆方程联立,求出x 2M ,y 2M ,得出|O M |2,再由S әA M P =3S әO P B ,得|M P |=3|O P |,即|O P |=14|O M |,最后代入方程求解即可㊂圆锥曲线中存在性问题的一般求解思路是:首先假设存在,然后充分利用这一假设列相关方程,最后通过化简㊁解方程,若方程有解,则假设成立,若方程无解,则假设不成立㊂设问形式比较直接,但不同的试题所结合的元素也不尽相同,因此导致试题千变万化,所以建议大家在平时的复习备考过程中,多分析,勤动手,多反思,体会试题的本质,掌握求解方法,积累解题活动经验,从而提高解题能力㊂(责任编辑 王福华)51知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高中生圆锥曲线的理解困难及对策研究
高中生圆锥曲线的理解困难及对策研究高中生在学习数学时，经常会遇到许多困难和挑战，尤其是在学习曲线和几何图形的时候。
圆锥曲线是数学中的一个重要部分，许多学生在学习圆锥曲线时会遇到困难。
本文将探讨高中生在学习圆锥曲线时的困难及对策，并提出一些解决困难的建议。
一、高中生在学习圆锥曲线时的困难1. 抽象性：圆锥曲线是一种抽象的数学概念，它并不是直观的物体，因此对于许多高中生来说，很难理解它的意义和性质。
2. 数学基础不扎实：学习圆锥曲线需要对数学的基本知识有很好的理解和掌握，包括代数、几何和三角学等方面的知识。
许多学生在这些方面并不扎实，导致他们在学习圆锥曲线时感到困难。
3. 缺乏实际应用：在日常生活中，学生很难看到圆锥曲线的实际应用，这也使得他们对这一概念的理解产生困难。
4. 数学推理能力不足：学习圆锥曲线需要具备一定的数学推理能力，能够从已知信息推断出未知信息。
许多学生在这方面仍然不够成熟，导致他们在学习圆锥曲线时遇到困难。
二、对策研究1. 创设情境：为了帮助学生理解圆锥曲线的抽象概念，可以设计一些与现实生活相关的情境，让学生通过观察、实验和讨论来理解圆锥曲线的性质和意义。
2. 强化基础知识：学校应该在教学中重视数学基础知识的教育，如代数、几何和三角学等方面的知识，帮助学生夯实基础，为学习圆锥曲线打下坚实的基础。
3. 引导学生思考：教师在教学中可以引导学生思考圆锥曲线在现实生活中的应用，让学生通过实际问题的解决来理解圆锥曲线的意义和作用。
4. 提高数学推理能力：教师可以通过一些有趣的数学推理题目来提高学生的数学推理能力，让他们在解决问题的过程中提高对圆锥曲线的理解。
5. 多种教学手段：在教学中尽量采用多种教学手段，如实物演示、图形展示、数学软件等，帮助学生通过多种角度来理解圆锥曲线的概念。
三、解决困难的建议1. 个性化教学：教师应根据学生的不同程度和学习特点，采用个性化教学方法，满足学生的学习需求，提高学生的学习兴趣和主动性。
圆锥曲线大题十个大招——存在性问题
招式十：存在性问题例1、设椭圆E: （a,b>0）过M （2） ，,1)两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M （2） ，,1)两点,所以解得所以椭圆E 的方程为 （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则△=,即,要使,需使,即,所以,所以22221x y a b+=OA OB ⊥22221x y a b+=2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2284a b ⎧=⎨=⎩22184x y +=OA OB ⊥y kx m =+22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩222()8x kx m ++=222(12)4280k x kmx m +++-=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++OA OB ⊥12120x x y y +=2222228801212m m k k k--+=++223880m k --=又,所以,所以,即,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足,而当切线的斜率不存在时切线为的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且.因为, 所以,,①当时因为所以,所以, 223808m k -=≥22840k m -+>22238m m ⎧>⎨≥⎩283m ≥m ≥m ≤y kx m =+r =222228381318m m r m k ===-++r =2283x y +=y kx m =+m ≥m ≤x =22184x y +=(OA OB ⊥2283x y +=OA OB ⊥12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩22222212121222224288(84)()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=+++||AB =====0k ≠||AB =221448k k ++≥221101844k k <≤++2232321[1]1213344k k<+≤++所以当且仅当时取”=”. ② 当时,.③ 当AB 的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |即:2、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ．（I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=-> ⎪⎝⎭，解得k <k >k 的取值范围为2⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12x x +=． ②又1212()y y k x x +=++0)(01)(A B AB =-，，．所以OP OQ +与AB 共线等价于46||233AB <≤22k =±0k =||AB =(||AB =||AB ≤≤||AB ∈1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得k =．由（Ⅰ）知k <或k >题意的常数k ．3、设1F 、2F 分别是椭圆22154x y 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.解：易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===，设P （x ，y ）， 则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF PF ，3511544222+=--+x x x ]5,5[-∈x ， 0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值3；当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k ，直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得依题意220(1680)0k k ∆=->-<<，得当5555<<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ，则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x.4520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k kk k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F12042045251)4520(0222222-=-=+-+--⋅=⋅∴k k k k k kk k k RF ∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|4、椭圆G ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25（1）求此时椭圆G 的方程；（2）设斜率为k （k≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于过点P （0，33）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心故该椭圆中,22c b a ==即椭圆方程可为22222b y x =+，H （x,y ）为椭圆上一点，则b y b b y y x HN ≤≤-+++-=-+=其中,182)3()3(||22222，30<<b ，则2||,HN b y 时-=有最大值962++b b ，25350962±-==++b b b 得（舍去），182||,3,322+-=≥b HN y b 有最大值时当，165018222==+b b 得∴所求椭圆方程为1163222=+y x（2）设),(),,(),,(002211y x Q y x F y x E ，则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+116321163222222121y x y x 两式相减得0200=+ky x ……③又直线PQ ⊥直线m ∴直线PQ 方程为331+=x k y 将点Q （00,y x ）代入上式得，33100+-=x k y ④由③④得Q （33,332-k ），Q 点必在椭圆内部116322020<+∴y x ，由此得00294,0,2472<<<-∴≠<k k k 或又故当)294,0()0,294(⋃-∈k 时，E 、F 两点关于点P 、Q 的直线对称5、已知椭圆F 的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到 （I ）求，的值；（II ）上是否存在点P ，使得当绕F 有成立？若存在，求出所有的P 的坐标与的方程；若不存在，说明理由。
千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第76炼 存在性问题
e=
c 3 = ⇒ a : b : c = 3 : 2 :1 a 3
第九章
第 76 炼 圆锥曲线中的
在性问题
解析几何
则a =
3c, b = 2c ，依题意可得
F ( c,0 ) ，当 l 的斜率为 1 时
l: y = x−c⇒ x− y−c=0
∴ dO − l =
c
2
=
2 解得 2
c =1 x2 y 2 + =1 3 2
∴0 < r < 1
若直线 PQ 斜率 在，设 PQ : y = kx + m ， P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) 圆相
Q PQ
∴ dO − l =
m k +1
2
= r ⇐ m2 = r 2 ( k 2 + 1)
uuu r uuur OP ⊥ OQ ⇒ OP ⋅ OQ = 0
∴ a = 3, b = 2
椭圆方程为
2 设 P ( x0 , y0 ) ， A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 当 l 斜率 在时，设 l : y = k ( x − 1)
uuu r uuu r uuu r Q OP = OA + OB
x0 = x1 + x2 ∴ y0 = y1 + y2
在时，可知 l : x = 1 ， A 1,
2 3 2 3 , B 1, − ，则 P ( 2,0 ) 3 3
第九章
第 76 炼 圆锥曲线中的
在性问题
解析几何
∴ 综 所述
3 3 2 2 l : y = 2 ( x − 1) ， P , − 或 l : y = − 2 ( x − 1) ， P , 2 2 2 2
圆锥曲线存在性问题
圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。
再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。
二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2。
（1）求,a b 的值（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由解：（1）::3c e a b c a ==⇒=则,a b ==，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时:0l y x c x y c =-⇒--=2O l d -∴==解得：1c =a b ∴== 椭圆方程为：22132x y +=（2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =-OP OA OB =+ 012012x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩联立直线与椭圆方程：()221236y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2222316x k x +-=，整理可得：()2222326360kx k x k +-+-=2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232k ky y k x x k k k k +=+-=-=-++22264,3232k k P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭因为P 在椭圆上22222642363232k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()2242222272486322432632k k k k k k ∴+=+⇒+=+()2224632k k k ∴=+⇒=当k =):1l y x =-，3,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭当k =):1l y x =-，322P ⎛⎫⎪⎝⎭当斜率不存在时，可知:1l x =，1,,1,33A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，则()2,0P 不在椭圆上∴综上所述：):1l y x =-，3,22P ⎛- ⎝⎭或):1l y x =-，32P ⎛ ⎝⎭ 例2：过椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B 的周长为8，椭圆的离心率为2（1）求椭圆Γ的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点,P Q ，且O P O Q ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：（1）由1AF B 的周长可得：482a a =⇒=c e c a ∴==⇒= 2221b a c ∴=-= 椭圆22:14x y Γ+= （2）假设满足条件的圆为222x y r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内01r ∴<<若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x yPQ 与圆相切 ()2221O l d r m r k -∴==⇐=+0OP OQ OP OQ ⊥⇒⋅= 即12120x x y y +=联立方程：2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222148440k x kmx m +++-=2121222844,4141km m x x x x k k -∴+=-=++()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++ ()()22121212121x x y y k x x km x x m ∴+=++++()2222244814141m km k km m k k -⎛⎫=⋅++⋅-+ ⎪++⎝⎭22254441m k k --=+ 225440m k ∴--=对任意的,m k 均成立将()2221m r k =+代入可得：()()22251410r k k +-+=()()225410r k ∴-+= 245r ∴=∴存在符合条件的圆，其方程为：2245x y +=当PQ 斜率不存在时，可知切线PQ 为x =若:PQ x =,5555P Q ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭0OP OQ ∴⋅= :PQ x ∴=若:PQ x = 综上所述，圆的方程为：2245x y +=例3：已知椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点(，离心率为12，左，右焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c（1）求椭圆C 的方程（2）设椭圆C 与x 轴负半轴交点为A ，过点()4,0M -作斜率为()0k k ≠的直线l ，交椭圆C 于,B D 两点（B 在,M D 之间），N 为BD 中点，并设直线ON 的斜率为1k ① 证明：1k k ⋅为定值② 是否存在实数k ，使得1F N AD ⊥？如果存在，求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由解：（1）依题意可知：12c e a ==可得：::2a b c =∴椭圆方程为：2222143x y c c+=，代入(可得：1c =∴椭圆方程为：22143x y += （2）① 证明：设()()1122,,,B x y D x y ，线段BD 的中点()00,N x y 设直线l 的方程为：()4y k x =+，联立方程：()2243412y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 化为：()2222343264120k x k x k +++-= 由0∆>解得：214k < 且22121222326412,4343k k x x x x k k --+==++ 2120216243x x k x k +∴==-+ ()00212443ky k x k =+=+01034y k x k ∴==- 13344k k k k ∴=-⋅=- ② 假设存在实数k ，使得1F N AD ⊥，则11F N AD k k ⋅=-12022021243416114134F Nk y k k k k x k k +∴===+--++ ()2222422AD k x y k x x +==++ ()1222441142F N AD k x kk k k x +⋅=⋅=--+即()222222224164182282k x k k x k x k +=-+-⇒=--<- 因为D 在椭圆上，所以[]22,2x ∈-，矛盾所以不存在符合条件的直线l例4：设F 为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，直线0:34100l x y --=与以原点为圆心，以椭圆E 的长半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆E 的方程（2）过点F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由 解：（1）0l 与圆相切1025O l d r -∴=== 2a ∴= 将31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程22214x y b +=可得：b =∴椭圆方程为：22143x y += （2）由椭圆方程可得：()1,0F 设直线():1l y k x =-，则()3:12PQ y k x -=- 联立直线l 与椭圆方程：()2213412y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()22224384120k x k x k +-+-= ()()()2222218443412144144k k k k ∴∆=-+-=+()212212143k AB x k +∴=-==+同理：联立直线PQ 与椭圆方程：()223123412y k x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩消去y 可得：()()22224381241230k x k k x k k +--+--= ()()()222222181244123431444k k k k k k k ⎛⎫⎡⎤∆=----+=++ ⎪⎣⎦⎝⎭PQ ∴==因为四边形PABQ 的对角线互相平分∴四边形PABQ 为平行四边形AB PQ ∴= ()2212143k k +∴=+解得：34k =∴存在直线:3430l x y --=时，四边形PABQ 的对角线互相平分例5：椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，P 为椭圆1C 上任意一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c = （1）求椭圆1C 的离心率e 的取值范围（2）设双曲线2C 以椭圆1C 的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线2C 在第一象限上任意一点，当e 取得最小值时，试问是否存在常数()0λλ>，使得11BAF BF A λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由 解：（1）设()()()12,,,0,,0P x y F c F c -()()12,,,PF c x y PF c x y ∴=---=--22212PF PF x y c ∴⋅=+-由22221x y a b +=可得：22222b y b x a=-代入可得： 2222222222212221b c PF PF x y c x b c x b c a a ⎛⎫⋅=+-=-+-=+- ⎪⎝⎭[],x a a ∈- ()212maxPF PF b ∴⋅=222222222222334c ac b c c a c c c a⎧≤⎪∴≤≤⇒≤-≤⇒⎨≥⎪⎩21114222e e ∴≤≤⇒≤≤ （2）当12e =时，可得：2,a c b == ∴双曲线方程为222213x y c c-=，()()12,0,,0A c F c -，设()00,B x y ，000,0x y >>当AB x ⊥轴时，002,3x c y c ==13tan 13c BF A c ∴== 14B F A π∴∠= 因为12BAF π∠= 112BAF BF A ∴∠=∠所以2λ=，下面证明2λ=对任意B 点均使得11BAF BF A λ∠=∠成立 考虑1001100tan ,tan 2AB BF y y BAF k BF A k x c x c∠=-=-∠==-+()()000101222210000222tan tan 21tan 1y y x c BF Ax cBF A BF Ax c yy x c ⋅+∠+∴∠===-∠+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭由双曲线方程222213x y c c-=，可得：2220033y x c =-()()()()2222222000000003322422x c y x c x c x cx c x c c x ∴+-=+-+=-++=+-()()()000110002tan 2tan 222y x c y BF A BAF x c c x c x +∴∠===∠+--112BAF BF A ∴∠=∠结论得证2λ∴=时，11BAF BF A λ∠=∠恒成立例6：如图，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率是2，过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得对于任意直线l ，QA PA QBPB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）2c e a ==:::1:1a b c ∴= ∴椭圆方程为222212x y b b+=由直线l 被椭圆E截得的线段长为点)在椭圆上22221122b b b+=⇒= 24a ∴= ∴椭圆方程为22142x y += （2）当l 与x 轴平行时，由对称性可得：PA PB =1QA PA QBPB∴==即QA QB =Q ∴在AB 的中垂线上，即Q 位于y 轴上，设()00,Q y当l 与x轴垂直时，则((,0,A B1,1PA PB ∴=-=00QA y QB y =-=+QA PA QBPB∴=⇒=可解得01y =或02y = ,P Q 不重合 02y ∴=()0,2Q ∴下面判断()0,2Q 能否对任意直线均成立若直线l 的斜率存在，设:1l y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩由QA PA QBPB=可想到角平分线公式，即只需证明QP 平分BQA ∠∴只需证明0QA QB QA QB k k k k =-⇒+=()()1122,,,A x y B x y ∴121222,QA QB y y k k x x --∴== ()()()21122112121212121222222QA QBx y x y x y x y x x y y k k x x x x x x -+-+-+--∴+=+==① 因为()()1122,,,A x y B x y 在直线1y kx =+上，112211y kx y kx =+⎧∴⎨=+⎩代入①可得：()()()()211212121212121122QA QB x kx x kx x x kx x x x k k x x x x +++-+-+∴+==联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩12122242,1212k x x x x k k∴+=-=-++ 22224212120212QA QBkk k k k k k ⋅-+++∴+==-+ 0QA QB k k ∴+=成立QP ∴平分BQA ∠ ∴由角平分线公式可得：QA PA QBPB=例7：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为A ，4,33b P ⎛⎫⎪⎝⎭是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F （1）求椭圆C 的方程（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由解：由椭圆可知：()()0,,,0A b F c AP 为直径的圆经过F F A F P∴⊥ 0FA FP ∴⋅=()4,,,33b FA c b FP c ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭22244003333b b c c c c ⎛⎫∴--+=⇒-+= ⎪⎝⎭由4,33b P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，代入椭圆方程可得：222211611299b a a b ⋅+⋅=⇒= 22222401332b c c b c b c a ⎧-+=⎪⇒==⎨⎪+==⎩∴椭圆方程为2212x y +=（2）假设存在x 轴上两定点()()1122,0,,0M M λλ，()12λλ< 设直线:l y kx m =+12M l M l d d --∴==所以依题意：()12221212211M l M l k km m d d k λλλλ--+++⋅===+ ①因为直线l 与椭圆相切，∴联立方程：()2222221422022y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ 由直线l 与椭圆相切可知()()()2224421220km k m ∆=-+-=化简可得：2221m k =+，代入①可得：()()221212222121222112111k km k k km k k k λλλλλλλλ++++=⇒++++=++()()2121210k km λλλλ∴+++=，依题意可得：无论,k m 为何值，等式均成立121122121101λλλλλλλλ=-⎧=-⎧⎪∴+=⇒⎨⎨=⎩⎪<⎩所以存在两定点：()()121,0,1,0M M -例8：已知椭圆221:41C x y +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 是1C 上任意一点，O 是坐标原点，12OQ PF PF =+，设点Q 的轨迹为2C（1）求点Q 的轨迹2C 的方程（2）若点T 满足：2OT MN OM ON =++，其中,M N 是2C 上的点，且直线,OM ON 的斜率之积等于14-，是否存在两定点，使得TA TB +为定值？若存在，求出定点,A B 的坐标；若不存在，请说明理由（1）设点Q 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则220041x y +=由椭圆方程可得：12,22F F ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12OQ PF PF =+ 且10020033,,,22PF x y PF x y ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()002,2Q x y ∴-- 00002222x x x x y y yy ⎧=-⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩代入到220041x y +=可得： 2214x y += （2）设点(),T x y ，()()1122,,,M x y N x y2OT MN OM ON =++()()()()12121122,,2,,x y x x y y x y x y ∴=--++ 212122x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩设直线,OM ON 的斜率分别为,OM ON k k ，由已知可得：212114OM ON y y k k x x ⋅==- 121240x x y y ∴+=考虑()()222221214242x y x x y y +=+++()()222211221212444416x y x y x x y y =+++++ ,M N 是2C 上的点 221122224444x y x y ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩ 22444420x y ∴+=+⨯=即T 的轨迹方程为221205x y +=，由定义可知，T 到椭圆221205x y +=焦点的距离和为定值 ,A B ∴为椭圆的焦点()),A B∴所以存在定点,A B例9：椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的焦点到直线30x y -=的距离为5，离心率为5，抛物线()2:20G y px p =>的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E 交于,A B ，与G 交于,C D （1）求椭圆E 及抛物线G 的方程 （2）是否存在常数λ，使得1AB CDλ+为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由解：（1）设,E G 的公共焦点为(),0F c2F l d c -∴==⇒=5c e a a ∴==⇒= 2221b a c ∴=-= 22:15x E y ∴+=28y x ∴=（2）设直线():2l y k x =-，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y与椭圆联立方程：()()22222225120205055y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩ 2212122220205,1515k k x x x x k k -∴+==++)22115k AB k+∴==+直线与抛物线联立方程：()()22222248408y k x k x k x k y x⎧=-⎪⇒-++=⎨=⎪⎩ 234248k x x k+∴+= CD 是焦点弦 ()2342814k CD x x k+∴=++=()222222420181kk AB CD k λλ++∴+=+==+ 若1AB CD λ+为常数，则204+= λ∴=例10：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时，弦AB （1）求椭圆C 的方程（2）是否存在点E ，使得2211EA EB+为定值？若存在，请求出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由解：（1）依题意可得：3c e a==::a b c ∴=当l 与x 轴垂直且E 为右焦点时，AB 为通径223b AB a ∴==,a b ∴==22162x y ∴+= （2）思路：本题若直接用用字母表示,,A E B 坐标并表示,EA EB ，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与E 的坐标。
圆锥曲线中最值、范围、定值及存在性问题
法 、函数 法 、不 等式 法．几 何 法是根 据 图形几 何性 质
求解 的方法 ；函数 法是指 将所 求 变量 表示成 某个 相
关 变量 的 函数 ，再 求 函数 的最 值 ；不 等式 法 是 根 据
曲线 性 质及条 件建 立一个 关 于所 求 变量 的不 等式 ，
再解 不 等式求 其最 值 的方法 ．
参 考 文 献
刘 清源．构建 高效教 学 探 求数 学本 质— — 如何 解好 三 角形 ［Ｊ］．数 学教 学与研 究 ，２０１１ （３６）：７８—７９． ［２］ 覃埋 基 ．一 类解三 角形 问题 的 另一 解 法 ［Ｊ］． 数 学通 讯 ，２００３（１２）：９．
圆 锥 曲 线 中 最 值 、范 围 、定 值 及 存 在 性 问 题
·３５ ·
显然 △＝（３ｍ） 一４×３（ｍ 一３）＝３（１２一ｍ ）＞０，
故
一 １２＜ｍ＜￣／／ｌ２且 ｍ≠Ｏ．
由韦 达定 理 ，得
ｍ 一３
Ｘａ＋ｘＢ ｍ，ＹＡ＋ＹＢ 丁 ’
因此 ｌＡＢ ｌ＝ｖ／１＋ｋＡＢ Ｉ Ａ一 Ｂ Ｉ＝
【
＝
பைடு நூலகம்
·
又 因为点 Ｐ（２，１）到直 线 Ｚ的距离 为
●Ｊ寞金 龙 （绍兴市第一中学 浙江绍兴 ３１２０００）
１ 考点 回顾
圆锥 曲线中最值 、范 围、定值及存在性 问题是 历年 高考 命题 的热 点之 一．此 类 问题 涉及 的知识 面
广、综合性大、隐蔽性强 、计算量大 ，常常令考生头
疼．解决 此类 问题 常 常 要 用 到 数学 思 想 方 法 ，有 时
【△＝（一４ｍ） 一４（ｍ ＋３）＞０，
解得
圆锥曲线解答题精选 存在性问题
存在性问题【定点的探索与证明问题】1.探索直线过定点时,可设出直线方程为y ＝kx ＋b ,然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点．2.从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关． 【一种方法】点差法:在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式Δ是否为正数．【一条规律】 “联立方程求交点,根与系数的关系求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘”． 1.已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,, 且1l 与2l 交于点P .（1）求椭圆1C 的方程；（2）是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由.(1) 解法1：设椭圆的方程为,依题意: 解得: …………2分 ∴ 椭圆的方程为. ……3分 解法2：设椭圆的方程为，根据椭圆的定义得，即， ……………1分 ∵， ∴. ……………2分∴ 椭圆的方程为. ……………3分 (2)解:显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去，得. ……………4分设,则. ……………5分由,即得. ……………6分 ∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ……………7分 ∵， ∴. 同理,得抛物线在点处的切线的方程为. ……………8分 1C 22221x y a b+=()0a b >>222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩1C 2211612x y +=1C 22221x y a b+=()0a b >>1228a AF AF =+=4a =2c =22212b a c =-=1C 2211612x y +=L L ()23y k x =-+()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩y 248120x kx k -+-=()()1122B x y C x y ,,,12124812x x k x x k ,+==-24xy =214y x ,=y '=12x 2C B 1l )(2111x x xy y -=-2111212x y x x y -+=21141x y =211124x y x x =-2C C 2l 222124x y x x =-由解得 ∴()223P k k ,-. …………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+ ∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上…………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点有两个. ……………14分2.（2014年福建高考理科） 已知双曲线的两条渐近线分别为. （1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。
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（2）设椭圆 C 与 x 轴负半轴交点为 A ，过点 M 4,0 作斜率为 k k 0 的直线 l ，交椭
圆 C 于 B, D 两点（ B 在 M , D 之间）， N 为 BD 中点，并设直线 ON 的斜率为 k1 ① 证明： k k1 为定值 ② 是否存在实数 k ，使得 F1N AD ？如果存在，求直线 l 的方程；如果不存在，请说明
例
1：已知椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1a b 0 的离心率为
3 ，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交 3
于 A, B 两点，当 l 的斜率为1时，坐标原点 O 到 l 的距离为 2 。 2
（1）求 a,b 的值
（2）C 上是否存在点 P ，使得当 l 绕 F 旋转到某一位置时，有 OP OA OB 成立？若存 在，求出所有的 P 的坐标和 l 的方程，若不存在，说明理由 解：（1） e c 3 a : b : c 3 : 2 :1
0 r 1
若直线 PQ 斜率存在，设 PQ : y kx m ， P x1, y1 ,Q x2, y2
PQ 与圆相切
dOl
m r m2 r2 k2 1 k2 1
OP OQ OP OQ 0 即 x1x2 y1y2 0
y kx m
OP OQ ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由
解：（1）由 AF1B 的周长可得： 4a 8 a 2
e c 3 c 3 b2 a2 c2 1 a2
椭圆 : x2 y2 1 4
（2）假设满足条件的圆为 x2 y2 r2 ，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内
3 2
消去
y
可得：
4k 2 3
x2
8k 2 12k
x 4k 2 12k 3 0
3x2 4 y2 12
2
8k 2 12k
2
4
4k 2 12k 3
4k 2 3
144
1 4
k
k
2
PQ 1 k 2
OP OQ 0 PQ : x 2 5 符合题意 5
若 PQ : x 2 5 ，同理可得也符合条件 5
综上所述，圆的方程为： x2 y2 4 5
例
3：已知椭圆
x2 a2
y2
b2
1a b 0 经过点
0,
3
，离心率为 1 ，左，右焦点分别为 2
F1 c,0 和 F2 c,0
（1）求椭圆 C1 的离心率 e 的取值范围
（2）设双曲线 C2 以椭圆 C1 的焦点为顶点，顶点为焦点， B 是双曲线 C2 在第一象限上任意
一点，当 e 取得最小值时，试问是否存在常数 0 ，使得 BAF1 BF1A 恒成立？
若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由
存在直线 l : 3x 4y 3 0 时，四边形 PABQ 的对角线互相平分
例
5：椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的左右焦点分别为 F1, F2 ，右顶点为 A ，P
为椭圆 C1
上任意一点，且 PF1 PF2 的最大值的取值范围是 c2,3c2 ，其中 c a2 b2
x
1
，
P
3 2
,
2
2
例
2：过椭圆 :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的右焦点 F2 的直线交椭圆于
A, B 两点， F1 为其左
焦点，已知
AF1B 的周长为 8，椭圆的离心率为
3 2
（1）求椭圆 的方程
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 P,Q ，且
kF1N
y0 x0 1
3 4k 2
16k 2 3 4k 2
1
4k 1 4k 2
k AD
y2 x2
2
k x2 4
x2 2
kF1N
kAD
4k 1 4k 2
k x2 4
x2 2
1
即 4k 2x2 16k 2 4k 2 1 x2 8k 2 2 x2 2 8k 2 2
当 l 斜率存在时，设 l : y k x 1
OP OA OB
x0 y0
x1 y1
x2 y2
联立直线与椭圆方程：
y
2
x
2
kx
3y2
1
6
消去 y 可得： 2x2 3k 2 x 12 6 ，整理可得：
3k 2 2 x2 6k 2x 3k 2 6 0
因为 D 在椭圆上，所以 x2 2, 2 ，矛盾
所以不存在符合条件的直线 l
例
4：设 F
为椭圆
E
:
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
的右焦点，点
P
1,
3 2
在椭圆
E
上，直线
l0 : 3x 4 y 10 0 与以原点为圆心，以椭圆 E 的长半轴长为半径的圆相切
（1）求椭圆 E 的方程 （2）过点 F 的直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点，过点 P 且平行于 AB 的直线与椭圆交于另一
a3
则 a 3c,b 2c ，依题意可得： F c,0 ，当 l 的斜率为1时
l: y xcx yc0
dOl
c
2
2 2
解得： c 1
a 3,b 2 椭圆方程为： x2 y2 1 32
（2）设 P x0, y0 ， A x1, y1 , B x2, y2
2 时， l : y
2
x
1
，
P
3 2
,
2
2
当斜率不存在时，可知 l : x 1
，
A1,
2
3 3
,
B
1,
2
3 3
，则
P
2,
0
不在椭圆上
综上所述： l : y
2
x
1
，
P
3 2
,
2 2
或
l
:
y
2
2
6
72k4 48k2 6 3k2 2 2 24k2 3k2 2 6 3k2 2 2
24k 2 6 3k 2 2 k 2
当k
2 时， l : y
2
x
1
，
P
3 2
,
2
2
当k
x1
x2
6k 2 3k 2
2
y1
y2
k
x1
x2
2k
6k 3 3k 2
2
2k
4k 3k 2
2
6k 2
4k
P
3k 2
2
,
3k 2
2
因为 P 在椭圆上
2
6k 2 3k 2
2
2
3
4k 3k 2
2
解：（1）设 P x, y, F1 c,0, F2 c,0
PF1 c x,y, PF2 c x,y
PF1 PF2 x2 y2 c2
由
x2 a2
y2 b2
1可得：
y2
b2
第 76 炼 圆锥曲线中的存在性问题
一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数） 存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成 立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替
（1）点：坐标 x0, y0
（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变 量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题：
4m2 4
4k 2 1
k2 1
km
8km 4k 2
1
m2
5m2 4k 2 4