图形的相似比例线段资料
苏科版九年级数学下册第六章《图形的相似》知识点总结+易错点汇总
第六章《图形的相似》知识点一：比例线段1.比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的基本性质：(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝m n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b+d …+n ≠0） 3.平行线分线段成比例定理：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例1：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为 cm 。
知识点二 ：相似三角形的性质与判定5. 相似三角形的判定：(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. FE DC B A学 班级 姓名 考试号-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC∽△DEF.6.相似三角形的性质：(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例2：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为 .(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG= .【学习目标】1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质．2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的坐标的变化规律.【重点难点】重点：利用相似三角形知识解决实际的问题；位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形．难点：如何把实际问题抽象为相似三角形、位似形这一数学模型.【知识回顾】1、相似三角形定义：_________________________．2、判定方法：__________________________3、相似三角形性质：（1）对应角相等，对应边成比例；（2）对应线段之比等于；（对应线段包括哪几种主要线段？）（3）周长之比等于；（4）面积之比等于．4、相似三角形中的基本图形．（1）平行型（X型，A型）; （2）交错型；（3）旋转型；（4）母子三角形.5、位似形的性质： .6、将一个图形按一定的比例放大或缩小的步骤为： . 【综合运用】1.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.（1）求证：△ADF∽△DEC（2）若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.2如图，在等腰三角形△ABC中，底边BC=60cm，高AD=40cm，四边形PQRS是正方形，S,R分别在AB,AC上，SR与AD相交于点E.（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS的边长.【矫正补偿】如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB = 2AD．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．【完善整合】1.通过本节课的学习你有那些收获?2.你还有哪些疑惑？第六章《图形的相似》易错疑难易错点1 对黄金分割的概念理解不清而出现漏解AB ，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长为.1. 已知线段20易错点2 找不准三角形的对应关系2. 如图，ACD ∆和ABC ∆相似需具备的条件是() A.AC AB CD BC =； B. CD BCAD AC=C. 2AC AD AB =g ；D. 2CD AD BD =g易错点3 混淆相似三角形的性质，误认为相似三角形的面积比等于相似比 3. 如图，若ADE ABC ∆∆:，DE 与AB 相交于点D ，与AC 相交于点E ，2DE =，5BC =，20ABC S ∆=，求ADE S ∆的值.易错点4 不能区分“相似”写“:”的含义4. 如图，在矩形ABCD 中，10,4AB AD ==，点P 是边AB 上一点，连接,PD PC ，若APD ∆与BPC ∆相似，则满足条件的点P 有 个.第4题第5题5. 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，16BC =cm ，12AC =cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm/s 的速度向点C 移动，点Q 从点C 出发，以1 cm/s 的速度向点A 移动，若点,P Q 分别从点,B C 同时出发，设运动时间为t s ，当t = 时，CPQ ∆与CBA ∆相似. 疑难点1 相似三角形的判定和性质的综合应用1. 如图是一块含30°角的直角三角板，它的斜边8AB =8cm ，里面空心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边间的距离都是1 cm ，那么DEF ∆的周长是( )A. 5cm ；B. 6cm ；C. (63)-cm ；D. (33)+cm第1题第2题2. 如图，已知矩形ABCD ，2,6AB BC ==，点E 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，点F 从点B 出发，沿射线AB 以每秒3个单位长度的速度运动，当点E 运动到点A 时，,E F 两点停止运动.连接BD ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，连接EF ，交BD 于点G ，交BC 于点M ，连接,CF EC .给出下列结论:①CDE CBF ∆∆:;②DBC EFC ∠=∠;③DE HGAB EH=;④GH 10.上述结论正确的个数为( )A.1B. 2C. 3D. 4 疑难点2 相似图形中的规律探索3.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边,OA OC 分别在x 轴和y 轴上，且2,1OA OC ==.在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O 为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形111A OC B ，再将矩形111A OC B 以原点O 为位似中心放大32倍，得到矩形222A OC B ……依此类推，得到的矩形n n n A OC B 的对角线交点的坐标为 .第3题 第4题4.如图，已知正方形11ABC D 的边长为1，延长11C D 到1A ，以11A C 为边向右作正方形1122AC C D ，延长22C D 到2A ，以22A C 为边向右作正方形2233A C C D ……依此类推，若112A C =，且点12310,,,,,A D D D D …都在同一直线上，则正方形991010A C C D 的边长是 .疑难点3 相似三角形与函数等知识的综合5. 反比例函数y ＝的图象在第一象限的分支上有一点A （3，4），P 为x 轴正半轴上的一个动点，（1）求反比例函数解析式．（2）当P 在什么位置时，△OP A 为直角三角形，求出此时P 点的坐标．疑难点4 动态问题中的相似三角形6.如图，在直角坐标系中，点(0,4),(3,4),(6,0)A B C --，动点P 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度在y 轴上向下运动，动点Q 同时从点C 出发以2个单位长度/秒的速度在x 轴上向右运动，过点P 作PD y ⊥轴，交OB 于点D ，连接DQ .当点P 与点O 重合时，两动点均停止运动.设运动的时间为t 秒.(1)当1t =时，求线段DP 的长;(2)连接CD ，设CDQ ∆的面积为S ，求S 关于t 的函数表达式，并求出S 的最大值; (3)运动过程中是否存在某一时刻，使ODQ ∆与ABC ∆相似?若存在，请求出所有满足要求的t 的值;若不存在，请说明理由参考答案例1. 5(5－1)；例 2.（1）9：4；（2）1：2 综合运用：1.分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，即得∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°，再由∠AFE +∠AFD =180°，∠AFE =∠B ，可得∠AFD =∠C ，问题得证； （2）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，CD =AB =4，再根据勾股定理可求得DE 的长，再由△ADF ∽△DEC 根据相似三角形的性质求解即可. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，AB ∥CD ∴∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°∵∠AFE +∠AFD =180，∠AFE =∠B ∴∠AFD =∠C ∴△ADF ∽△DEC ； 解：（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，CD =AB =4。
第四章 图形的相似(知识点)
第四章 图形的相似一．成比例线段1.线段的比※1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nm B A =. ※2.成比例线段及比例的性质： （1）成比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.※注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍； ②由于线段a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数； ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致.（2）比例的基本性质:若dc b a =, 则ad=bc ； 若ad=bc, 则d b c a d c b a ==或 ※合比性质:如果dc b a =，那么d d c b b a ±=±； ※等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么n d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝b a 注意：若没有“b+d+…+n ≠0”这个条件，需分类讨论.二.平行线分线段成比例※平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图1，1l //2l //3l ，则EFBC DE AB =.推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例.定理推论：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例.②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.三.黄金分割如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比， 一条线段有两个黄金分割点.≈-=215AB AC ：0.618:1；AB BC 253-=四．相似多边形一般地,形状相同的图形称为相似图形.1.概念：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.2.性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例；周长等于相似比；面积比等于相似比的平方.（3）判定：对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似.（两个条件缺一不可）五．三角形的相似（“∽”不需分类讨论，“相似”需分类讨论）1.探索三角形相似的条件※相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等；②两边对应成比例,且夹角相等；③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等；②两条边对应成比例；a. 两直角边对应成比例；b.斜边和一直角边对应成比例.2.相似三角形的判定定理的证明3.利用相似三角形测高（3种方法）（1）利用太阳光线平行运用方法1:可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高.（2）利用标杆运用方法2：观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度.（3）利用反射运用方法3：光线的入射角等于反射角.4.相似三角形的性质 （1）对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.（2）全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.（3）性质：①相似三角形对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形面积的比等于相似比的平方.※5.图形的位似：→位似图形的概念：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.→位似图形的性质：（1）位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；（2）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）.→位似图形的画法：（1）画出基本图形； （2）选取位似中心；（3）根据条件确定对应点，并描出对应点；（4）顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形.例题：如图，已知△ABC 和点O.以O 为位似中心，求作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长扩大到原来的两倍.注意：给出基本图形和位似中心，可以做两个图形与原图形位似，分别在位似中心同侧和异侧各有一个，在具体的题中需根据实际情况作图.→位似变换与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.例如：点A(x,y)的对应点为A ´，则A ´点的坐标可以这样确定xA ´=xA ×k ，yA ´=yA ×k 即A ´（kx,ky ）或xA ´=xA ×(-k)，yA ´=yA ×(-k) 即A ´（-kx,-ky ） 例题：在平面直角坐标系中, 四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O 为位似中心,相似比为21的位似图形.题：△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，点A的对应点A′的坐标为____________总结：至此，我们学过的图形变换有：平移，轴对称，旋转，位似.（1）平移：上下移：横坐标不变，纵坐标随之平移左右移：纵坐标不变，横坐标随之平移（2）轴对称:关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数（3）旋转:绕原点旋转180度（中心对称）：横坐标、纵坐标都互为相反数（4）位似:以原点为位似中心，相似比为k的位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.。
八年级数学相似图形知识点总结归纳
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八年级数学相似图形知识点总结归纳相似图形一、线段的比※1、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成 . ※2、四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d 的比,即 ,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.※3、注意点:①a:b=k,说明a是b的k倍;②由于线段 a、b的长度都是正数,所以k是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b之外,a:bb:a, 与互为倒数;⑤比例的基本性质:若 , 则ad=bc; 若ad=bc, 则二、黄金分割※1、如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分①两角对应相等;②两边对应成比例,且夹角相等;③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等;②两条边对应成比例:a. 两直角边对应成比例;b. 斜边和一直角边对应成比例.※2、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.※3、平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.八、相似的多边形的性质※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.九、图形的放大与缩小※1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.※2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.◎3. 位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.。
相似形及比例线段(基础) 知识讲解
相似形及比例线段（基础）知识讲解【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质；3、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形.要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；要点二、相似多边形相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．要点三、比例线段1．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc；（2）合比性质：如果++ ==.a c abc db d b d，那么如果--==.a c abc db d b d，那么（3）等比性质：如果+c c=====k.+da c a ab d b d bk，那么（4）比例中项：若a:b=b:c，则2b =ac，b称为a、c的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。
要点四、黄金分割如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点.12AP AB=≈).要点诠释：线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似图形1. 下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C.【解析】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个．故选：C．【总结升华】此题主要考查了相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们的相似性.类型二、相似多边形2. 如图，已知四边形相似于四边形，求四边形的周长.【答案与解析】∵四边形相似于四边形∴，即∴∴四边形的周长.【总结升华】先根据相似多边形的对应边的比相等，求出四边形的未知边的长，然后即可求出该四边形的周长举一反三：【变式】如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小.【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得，解得.3. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF 为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？【答案与解析】解：∵矩形MFGN与矩形ABCD相似，当时，S有最大值，为.【总结升华】借助相似，把最值问题转移到函数问题上，是解决这类题型最好方法之一. 类型三、比例线段4. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cmC．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d是成比例线段．5.主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点点C处，则下列结论一定正确的是（）①AB：AC=AC：BC；②AC≈6.18米；AC米；③1)④=10(31)BC-米或米．A.①②③④B.①②③C.①③D.④【答案】D.【解析】解：AB的黄金分割点为点C处，若AC＞BC，则AB：AC=AC：BC，所以①不一定正确；AC≈0.618AB≈12.36或AC≈20﹣12.36=7.64，所以②错误；若AC为较长线段时，AC=AB=10（﹣1），BC=10（3﹣）；若BC为较长线段时，BC=AB=10（﹣1），AC=10（3﹣），所以③不一定正确，④正确．故选D．【总结升华】黄金分割知识的理解和运用要结合生活实践.。
图形的相似 知识归纳+真题解析
(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相 似． 3.相似三角形的性质 (1)相似三角形周长的比等于相似比. (2)相似三角形面积的比等于相似比的平方. (3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比. 4.相似多边形的性质 (1)相似多边形周长的比等于相似比. (2)相似多边形面积的比等于相似比的平方. 5.位似图形 （1）定义 两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于一点，这个点叫做位似中 心，对应边的比叫做位似比．位似是一种特殊的相似. （2）性质 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比； (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于 (3)位似图形对应边成比例； (4)位似图形对应角相等. 一 点；
a c b d
AC AB
4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 （二）1．相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形．相似图形的性质：对应角相等， 对应边的比成比例． 2．相似三角形的判定 (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角夹角相等，那么 这两个三角形相似； (3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相 似；
AC AB
4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 （ 二 ） 1． 相 似 图 形 定 义 ： 形 状 相 同 的 图 形 称 为 相 似 图 形 ． 相 似 图 形 的 性 质 ： 对 应 角 ，对应边的比 ．
2．相似三角形的判定 (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应 似； (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应 个三角形相似； (3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 似； (4)平行于三角形一边的直线和其他两边 (或延长线 )相交，所构成的三角形与原三角 形 ． ，那么这两个三角形相 ，且夹角 ，那么这两 ，那么这两个三角形相
第24讲 图形的相似
两个角 ②_______对应相等的两个三角形相似.
夹角 ③两边对应成比例且_____相等的两个三角形相似.
【即时应用】
相似 1.两个正五边形一定_____(填“相似”或“不相似”).
2.△ABC与△DEF的相似比为3∶4，则△ABC与△DEF的周长比为 3∶4 9∶16 _____，面积比为______.
2．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形， 每个小正方形的顶点称为格点.若△ABC与△A1B1C1是位似图
(9,0) 形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ______ ．
【核心点拨】 1.成比例线段具有顺序性，即四条线段a,b,c,d成比例，则记
作a∶b=c∶d，不能写成其他形式.
第二十四讲 图形的相似
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1.了解：线段的比及比例线段的概念，比例的基本性质，相似 三角形、相似多边形、位似图形的概念. 2掌握：相似三角形的性质和判别条件. 3.能：灵活运用相似三角形知识进行有关的计算和证明，利用 图形的相似解决一些实际问题. 4.会利用位似将一个图形放大或缩小.
一、比例线段及其性质 1.线段的比： 同一长度单位 一般地，如果选用_____________量得两条线段PQ，P′Q′的长
3.△ABC∽△A′B′C′，且∠A=60°，∠B=70°，则 50° ∠C′=____.
相似 4.两个大小不同但有一锐角是30°的两个三角尺一定_____(填
“相似”或“不相似”).
三、位似变换
1.定义：(1)取定一点O,把图形上任意一点P对应到射线OP(或
OP 它的反向延长线)上一点P′，使得线段OP′与___的比等于常数 自身 k(k>0)，点O对应到它_____，这种变换叫做位似变换,点O叫做 位似中心 位似比 _________，常数k叫做_______. 位似 位似 (2)一个图形经过_____变换得到的图形叫做与原图形_____的图 形.
相似图形专题
相似图形基础知识回顾1.成比例线段：1、线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m 、n ，那么就说这两条线段的比nm CD AB =，其中线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项。
2、四条线段a 、b 、c 、d ，如果dc b a =，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线。
3、比例的基本性质：dc b a = ，那么bc ad =；反过来，如果bc ad =（a,b,c,d 都不等于0），那么d c b a =。
4、如果dc b a =，那么d d c b b a ±=±。
5、如果)0(b a ≠+++===n d b n m d c ，那么ba n db mc =++++++ a 6、点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ）如果ACBC AB AC =，点C 叫做线段AB 的 黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，即AC AB =21-5≈0.618 2.相似多边形：1、定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形2、性质：⑴相似多边形对应角相等，对应边成比例⑵相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方3.相似三角形：1、定义：如果两个三角形的三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形相似2、性质：⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应边的中线都等于相似比 ⑶相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似⑵两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似⑶两角相等的两个三角形相似⑷三组对应边成比例的两个三角形相似4.位似：1、定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时相似比又称为位似比。
相似形与比例线段
（2）若 ，则 ；
（3）若 ，则 ．
【解析】比例的性质、设k法
（1）根据比例的合比性， ；
（2）设 ，原式=
（3）设 ，原式=
【例】（1）已知： ，求 的值；
（2）已知： ，求 的值；
（3）已知： ，求 的值．
【解析】设k法
（1）令 ，得 ，原式= ；
（2）令 ，得 ，原式= ；
二、比例线段
1、比例的概念
一般来说，两个数或两个同类的量 与 相除，叫做 与 的比，记作 （或表示为 ）；如果 （或 ），那么就说 成比例．
在比例式 中， 叫做 和 的比例中项，
2、比例的性质
（1）基本性质：
如果 ，那么 ；
如果 ，那么 ， ， ．
（2）合比性质：
如果 ，那么 ；
2与6对应时，另外两边为： 和 ；
（3）2与8对应时，另外两边为：1和 .
【例】如图，矩形 中， ，线段 ，在 上取一点 ，分别以 、 为一边作矩形 、矩形 ，使矩形 与矩形 相似，且点 与点 、点 与点 ，点 与点 ，点 与点 分别是对应顶点，令 ．求出矩形 的面积 与 的函数关系式．
【解析】相似形性质的应用
【解析】相似的是（3）（4）（7）（9），选B
【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同，对于三角形来说，三个角的大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应．
【例】已知四边形 和四边形 是相似的图形，并且点 与点 、点 与点 、点 与点 、点 与点 分别是对应顶点，已知 ， ， ， ， ， ， ，求 ， 的长和 的度数．
（1） 时，根据比例的等比性 ；
（2） 时，可得 ，则 ．
【例】已知 ，则一次函数 的图像一定经过第几象限？
第22讲 图形的相似（含答案点拨）
第22讲图形的相似考纲要求命题趋势1．了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．2．了解相似多边形、相似比和相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用图形的相似解决一些简单的实际问题．3．了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.相似多边形的性质是中考考查的热点，其中以相似多边形的相似比、面积比、周长比的关系考查较多．相似三角形的判定、性质及应用是考查的重点，常与方程、圆、四边形、三角函数等相结合，进行有关计算或证明.知识梳理一、比例线段1．比例线段的定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即__________________，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称__________．2．比例线段的基本性质ab＝cd⇔ad＝bc.3．黄金分割把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，且使AC是AB和BC的__________，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点.⎝⎛AC＝5－12AB≈0.618AB，BC＝⎭⎪⎫3－52AB二、相似多边形1．定义对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做________，相似比为1的两个多边形全等．2．性质(1)相似多边形的对应角________，对应边成________；(2)相似多边形周长的比等于________；(3)相似多边形面积的比等于__________．三、相似三角形1．定义各角对应________，各边对应成________的两个三角形叫做相似三角形．2．判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与________相似；(2)两角对应________，两三角形相似；(3)两边对应成________且夹角________，两三角形相似；(4)三边对应成________，两三角形相似；(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．3．性质(1)相似三角形的对应角________，对应边成________；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于________；(3)相似三角形周长的比等于________；(4)相似三角形面积的比等于____________． 四、位似变换与位似图形 1．定义取定一点O ，把图形上任意一点P 对应到射线OP (或它的反向延长线)上一点P ′，使得线段OP ′与OP 的______等于常数k (k ＞0)，点O 对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点O 叫做________，常数k 叫做________，一个图形经过位似变换得到的图形叫做与原图形位似的图形．2．性质两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于________．3．画位似图形的步骤 (1)确定位似________；(2)连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线)； (3)按位似比进行取点；(4)顺次连接各点，所得的图形就是所求图形． 自主测试1．若相似△ABC 与△DEF 的相似比为1:3，则△ABC 与△DEF 的面积比为( ) A ．1:3 B ．1:9 C ．3:1 D ．1: 32．如图，点F 是ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是( )A ．ED EA ＝DF AB B ．DE BC ＝EF FBC ．BC DE ＝BF BED ．BF BE ＝BC AE3．如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A ′B ′C ′D ′E ′，已知OA ＝10 cm ，O A ′＝20cm ，则五边形ABCDE 的周长与五边形A ′B ′C ′D ′E ′的周长的比值是__________．4．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F .求证：(1)△ACB ∽△DCE ； (2)EF ⊥AB .考点一、相似图形的性质【例1】如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )A ．2 cm 2B ．4 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 2解析：根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，得S 阴影S 原矩形＝⎝⎛⎭⎫482，S 阴影4×8＝14，S 阴影＝8 cm 2.答案：C方法总结 相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，利用相似多边形的性质可求多边形的边长、角、周长或面积．触类旁通1 如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( )A ．87°B ．60°C ．75°D ．120°考点二、相似三角形的性质与判定【例2】如图，在ABCD 中，E ，F 分别是AD ，CD 边上的点，连接BE ，AF ，它们相交于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则图中相似三角形共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对解析：依据题中的条件，平行四边形的对边平行，由AD ∥BC ，可得△HED ∽△HBC ，由AB ∥CD ，可得△HED ∽△BEA ，△HFG ∽△BAG .根据相似的传递性，可得△HBC ∽△BEA ，一共有四对相似三角形．答案：C方法总结 判定两个三角形是否相似首先看是否存在平行线或能否作出相关的平行线，再看是否存在两组对应角相等，若只有一对对应角相等，再看夹这个角的两边是否成比例；若无内角相等，就考虑三组对应边是否成比例．触类旁通 2 已知如图(1)，(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB ，CD 交于O 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( )A ．都相似B ．都不相似C ．只有(1)相似D ．只有(2)相似 考点三、位似图形【例3】如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC 面积的14，那么点B ′的坐标是( )A ．(3,2)B ．(－2，－3)C ．(2,3)或(－2，－3)D ．(3,2)或(－3，－2)解析：分两种情况计算，即矩形OABC 和矩形OA ′B ′C ′在原点的同侧和两侧． 答案：D方法总结 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小．位似图形所有对应点的连线相交于位似中心．触类旁通3 如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1,0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是( )A ．－12aB ．－12(a ＋1)C ．－12(a －1)D ．－12(a ＋3)考点四、相似三角形的应用【例4】问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图(1)，测得一根直立于平地，长为80 cm 的竹竿的影长为60 cm. 乙组：如图(2)，测得学校旗杆的影长为900 cm.丙组：如图(3)，测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为200 cm ，影长为156 cm.任务要求：(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；(2)如图(3)，设太阳光线NH 与⊙O 相切于点M .请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．(提示：如图(3)，景灯的影长等于线段NG 的影长；需要时可采用等式1562＋2082＝2602)解：(1)如题图，△ABC ∽△DEF ，∴AB DE ＝ACDF.∵AB ＝80 cm ，AC ＝60 cm ，DF ＝900 cm ，∴80DE ＝60900.∴DE ＝1 200 cm ，即DE ＝12 m. 故学校旗杆的高度是12 m.(2)如题图(3)，连接OM ，设⊙O 的半径为r cm.与(1)类似得AB GN ＝AC GH ，即80GN ＝60156.∴GN ＝208 cm.在Rt △NGH 中，根据勾股定理得NH 2＝1562＋2082＝2602，∴NH ＝260 cm.∵NH 切⊙O 于M ， ∴OM ⊥NH .则∠OMN ＝∠HGN ＝90°.又∠ONM ＝∠HNG ，∴△OMN ∽△HGN .∴OM HG ＝ONHN .又∵ON ＝OI ＋IN ＝OI ＋(GN －GI )＝r ＋8， ∴r156＝r ＋8260，解得r ＝12. ∴景灯灯罩的半径是12 cm.方法总结 应用相似三角形解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，然后利用相似三角形对应边成比例或相似三角形的性质建立等量关系求解．触类旁通4 一个铝质三角形框架三条边长分别为24 cm,30 cm,36 cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27 cm,45 cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边．截法有( )A ．0种B ．1种C ．2种D ．3种1．(贵州铜仁)如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2:1，则下列结论正确的是( )A ．∠E ＝2∠KB ．BC ＝2HIC ．六边形ABCDEF 的周长＝六边形GHIJKL 的周长D ．S 六边形ABCDEF ＝2S 六边形GHIJKL2．(山东聊城)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论不正确的是( )A ．BC ＝2DEB ．△ADE ∽△ABCC ．AD AE ＝ABACD ．S △ABC ＝3S △ADE3．(山东泰安)如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若AB ＝5，CD ＝3，则EF 的长是( )A．4 B．3C．2 D．14．(重庆)已知，△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为__________．5．(湖南娄底)如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA＝1.52米，OB＝4米，OM＝5米，则林丹起跳后击球点N 离地面的距离NM＝__________米．6．(湖南张家界)已知△ABC与△DEF相似且面积比为4:25，则△ABC与△DEF的相似比为__________．1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()2．如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为()A．2 3 B．3 3C．4 3 D．6 33．已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2:3，则△ABC与△DEF的周长比为__________．4．如图，在△ABC中，DE∥AB，CD:DA＝2:3，DE＝4，则AB的长为__________．(第4题图)5．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2 m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6 m ，与树相距15 m ，则树的高度为__________ m.(第5题图)6．如图所示，正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点A 和点F 的坐标分别为(3,2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是__________．7．如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE ∽△ACB __________.8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝12，点E 在AD 边上且AE ＝8，EF ⊥BE 交CD 于点F .(1)求证：△ABE ∽△DEF . (2)求EF 的长．参考答案导学必备知识 自主测试1．B 2．C 3．1:24．证明：(1)∵AC DC ＝32，BC CE ＝64＝32，∴AC DC ＝BCCE ．又∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴△ACB ∽△DCE .(2)∵△ACB ∽△DCE ，∴∠ABC ＝∠DEC . 又∠ABC ＋∠A ＝90°，∴∠DEC ＋∠A ＝90°. ∴∠EF A ＝90°，∴EF ⊥AB . 探究考点方法 触类旁通1．A 触类旁通2．A 触类旁通3．D触类旁通4．B (1)假设以27 cm 为一边，把45 cm 截成两段，设这两段分别为x cm ，y cm(x ＜y )．则可得：24x ＝30y ＝3627①或24x ＝3027＝36y②(注：27 cm 不可能是最小边)，由①解得x ＝18，y ＝22.5，符合题意；由②解得x ＝1085，y ＝1625，x ＋y ＝1085＋1625＝2705＝54＞45，不合题意，舍去．(2)假设以45 cm 为一边，把27 cm 截成两段，设这两段分别为x cm ，y cm(x ＜y )．则可得：24x ＝30y ＝3645(注：只能是45是最大边)，解得x ＝30，y ＝752，x ＋y ＝30＋37.5＝67.5＞27，不合题意，舍去．综合以上可知，截法只有一种． 品鉴经典考题1．B ∵六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ， ∴∠E ＝∠K ，故A 错误；∵六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2:1， ∴BC ＝2HI ，故B 正确；∵六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2:1，∴六边形ABCDEF 的周长＝六边形GHI JKL 的周长×2，故C 错误； ∵六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2:1， ∴S 六边形ABCDEF ＝4S 六边形GHIJKL ，故D 错误． 故选B.2．D ∵在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点， ∴DE ∥BC ，BC ＝2DE ，故A 正确； ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，故B 正确；∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE ＝ABAC ，故C 正确；∵DE 是△ABC 的中位线，∴AD :AB ＝1:2， 又∵△ADE ∽△ABC ，∴S △ABC ＝4S △ADE ，故D 错误． 3．D 连接DE 并延长交AB 于H .∵CD ∥AB ，∴∠C ＝∠A ，∠CDE ＝∠AHE . ∵E 是AC 中点，∴EC ＝AE ， ∴△DCE ≌△HAE ， ∴DE ＝HE ，DC ＝AH . ∵F 是BD 中点，∴EF 是△DHB 的中位线，∴EF ＝12BH .∵BH ＝AB －AH ＝AB －DC ＝2，∴EF ＝1. 故选D.4．9:1 ∵△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，∴三角形的相似比是3:1，∴△ABC 与△DEF 的面积之比为9:1. 5．3.42 根据题意得AO ⊥BM ，NM ⊥BM ，∴AO ∥NM ，∴△ABO ∽△NBM ，∴OA NM ＝OBBM .∵OA ＝1.52米，OB ＝4米，OM ＝5米，∴BM ＝OB ＋OM ＝4＋5＝9(米)，∴1.52NM ＝49，解得NM ＝3.42(米)，∴林丹起跳后击球点N 离地面的距离NM 为3.42米． 故答案为3.42.6．2:5研习预测试题1．A 2．B 3．2:3 4．10 5．7 6．(1,0)或(－5，－2) 7．略．8．(1)证明：如图，∵EF ⊥BE ，∴∠EFB ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°. 在矩形ABCD 中，∠A ＝90°，∠D ＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.∵∠A ＝∠D ＝90°， ∴△ABE ∽△DEF .(2)解：在△ABE 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AE ＝8，11 / 11 ∴BE ＝AB 2＋AE 2＝62＋82＝10. 又∵DE ＝AD －AE ＝12－8＝4， 由(1)得△ABE ∽△DEF . ∴BE EF ＝AB DE. ∴EF ＝BE ·DE AB ＝10×46＝203.。
《成比例线段》图形的相似
《成比例线段》图形的相似汇报人：2023-12-18•成比例线段的概念与性质•相似图形的定义与性质•成比例线段与相似图形的关系目录•成比例线段与相似图形的综合应用•总结与展望01成比例线段的概念与性质0102成比例线段的定义成比例线段也可以理解为两个相似图形中的对应线段之间的比值相等。
成比例线段是指在平面上画两条线段，如果它们之间的比值等于另外两条线段之间的比值，则称这两组线段成比例。
如果两条线段成比例，则它们之间的比值是常数，即 a:b = c:d。
性质1性质2性质3如果两条线段不成比例，则它们之间的比值是无理数，不能用分数表示。
如果两条线段成比例，则它们之间的长度比值等于它们之间的面积比值。
030201方法2利用相似三角形的性质进行判定。
如果两个三角形相似，则它们的对应边之间的比值相等，从而可以判定四条线段是否成比例。
方法1利用定义进行判定。
如果四条线段a、b、c、d满足a:b = c:d，则它们成比例。
方法3利用平行线的性质进行判定。
如果两条线段平行，则它们之间的比值等于另外两条平行线段之间的比值，从而可以判定四条线段是否成比例。
02相似图形的定义与性质两个图形在大小和形状上完全相同。
两个图形形状相同两个图形对应角相等，即每个对应角都相等。
对应角相等两个图形对应边成比例，即每条对应边之间的长度比相等。
对应边成比例相似图形的定义相似比是两个图形对应边之间的长度比，它反映了两个图形的大小关系。
相似比由于相似图形对应边成比例，因此它们的面积比等于相似比的平方。
面积比由于两个图形形状相同，因此它们的对应角相等。
对应角相等根据相似图形的定义，直接判断两个图形是否相似。
定义法利用相似三角形的判定定理，通过比较三角形的三边长度或两边长度之比来判断两个三角形是否相似。
判定定理法通过比较两个图形的对应角和对应边的长度来判断它们是否相似。
SAS判定法通过比较两个图形的两个对应角和包含的边长来判断它们是否相似。
数学相似图形知识点总结归纳
数学相似图形知识点总结归纳※1、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成.※2、四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c 与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.※3、注意点:①a:b=k,说明a是b的k倍;②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b之外,a:b≠b:a,与互为倒数;⑤比例的基本性质:若,则ad=bc;若ad=bc,则※1、如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.※2、黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.三、相似多边形¤1、一般地,形状相同的图形称为相似图形.※2、对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.※1、在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3、全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1.注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.※4、相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※5、相似三角形周长的比等于相似比.※6、相似三角形面积的比等于相似比的平方.※1、相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等;②两边对应成比例,且夹角相等;③三边对应成比例.①一个锐角对应相等;②两条边对应成比例:a.两直角边对应成比例;b.斜边和一直角边对应成比例.※2、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.※3、平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.※1.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形;这个点叫做位似中心;这时的相似比又称为位似比.※2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.◎3.位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.。
九年级《图形的相似》知识点归纳
苏科版九下《图形的相似》知识点归纳知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即512AC BC AB AC == 简记为：512长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形（3）合、分比性质：a c a b c db d b d±±=⇔=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n mf e d c b a ， 那么ban f d b m e c a =++++++++ ． 知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（上图）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．5、判定定理4：直角三角形中，“斜边和一直角边对应成比例” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“斜边和一直角边对应成比例”（3如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则 ∽ ＝＝＞ AD 2=BD ·DC ，∽ ＝＝＞ AB 2=BD ·BC ，∽ ＝＝＞ AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）FE D CB A E BD E D(3)B C AE DBC(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
第二讲 平行线分线段成比例型相似.尖子班
一、相似图形1．定义：我们把形状相同的图形叫做相似图形．2．相似比：相似多边形对应边的比．3．相似多边形的特征：对应角相等，对应边的比相等．二、比例线段1．比例性质：（1）基本性质：a cad bcb d =⇔=（2）反比性质：ac b db d ac =⇔=（3）更比性质：a c a b b d c d =⇔=或d cb a =（4）合比性质：a c a b c db d b d ++=⇔=（5）分比性质：a c a b c db d b d --=⇔=（6）合分比性质：()a c abc dc d a b b d a b c d++=⇔=≠≠--（7）等比性质：312123k k a a a ab b b b ==== 121121k k a a a a b b b b +++⇒=+++ (其中k 为正整数，且b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ≠0)2．比例线段及相关概念（1）成比例线段：如果线段a 和b 的比等于线段c 和d 的比，那么线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，记作a cb d=或a ∶b ＝c ∶d 。
其中a，c 叫做比的前项，b ，d 叫做比的后项，b ，c 叫做比例内项，a ，d 叫做比例外项，d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。
（2）比例中项：若a bb c=，则称b 是a ，c 的比例中项。
3．黄金分割点如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC ＞BC )，若AC BCAB AC =，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，即512AC AB -=。
知识点睛模块一相似概念和比例线段相似——平行线分线段成比例【例1】（1）已知23a c b d ==，且b d ≠，则a c b d --=（）A ．23B ．25C ．35D ．15（2）设14a c e b d f ===，0b d f +-≠,则a c eb d f+-=+-_______（3）已知a b ck b c a c a b===+++，则直线2y kx k =+一定经过（）A ．1第，2象限B ．2第，3象限C ．3第，4象限D ．1第，4象限【巩固】（1）已知一张地图的比例尺是14000∶，若A 、B 两地的实际距离为200 m ，则画在地图上的距离是__________．（2）若k cb a dd b a c d c a b d c b a =++=++=++=++求k 的值.【例2】（1）已知：线段a ＝3，b ＝2，c ＝4，则b 、a 、c 的第四比例项d ＝；则a 、b 、(a －b)的第四比例项是；3a 、(2a －b)的比例中项是。
几何图形的相似比和黄金分割
几何图形的相似比和黄金分割相似比是几何学中一种重要的概念，用来描述两个相似图形之间的大小关系。
而黄金分割，则是一种特殊的比例关系，它具有美学和数学上的价值。
本文将介绍几何图形的相似比和黄金分割的原理和应用。
一、相似图形与相似比相似图形是指具有相同形状但大小不同的图形。
在几何学中，我们可以通过缩放、旋转或平移等方式来得到相似图形。
相似比是用来描述这种大小关系的比例。
对于两个相似的图形，我们可以用相似比来表示它们之间的大小关系。
假设两个相似图形的相似比为r，如果其中一个图形的线段长度为a，那么与之对应的另一个图形的线段长度为b，则有以下关系式成立：a:b = b:r。
这个比例关系可以简单地表示为a/b=r。
相似比的应用非常广泛。
例如，在地图制作中，为了使地图更加紧凑，我们可以将一个区域缩小到原来的1/10。
这时，我们就可以利用相似比，将原来的区域与缩小后的区域进行比例换算，从而得到适合的地图比例尺。
二、黄金分割的原理与特点黄金分割，又称黄金比例，是一种特殊的比例关系。
它可以用一个无理数表示，约等于1.618（通常用希腊字母φ(phi)表示）。
黄金分割具有以下特点：1. 黄金分割是一种无限不循环小数，无论怎么计算，它都无法精确地表示为有限的小数。
2. 黄金分割具有自相似性，即整体与部分的比例与部分与部分之间的比例相同。
这使得黄金分割在美学上具有特殊的吸引力。
3. 黄金分割在建筑、艺术和设计等领域中被广泛运用。
许多著名的建筑和艺术作品都采用了黄金分割的比例。
三、黄金分割在几何图形中的应用黄金分割在几何图形中有着广泛的应用，下面将介绍几个典型的应用案例。
1. 黄金长方形黄金长方形是指长宽比等于黄金分割比例的长方形。
由于黄金分割的美学特点，黄金长方形在设计中常常能够给人以美感。
许多著名画作和建筑作品中都可以看到黄金长方形的应用。
2. 黄金比例的平面分割将一条线段划分为两部分，使较短部分与较长部分的比等于黄金分割比例。
图形的相似成比例线段
图形的相似成比例线段contents •引言•图形的相似•成比例线段•图形相似与成比例线段的关系•典型例题与解题方法•总结与回顾目录如果两个图形对应角相等，对应边的长度成比例，那么这两个图形称为相似图形。
相似图形对应角对应边在两个相似图形中，相互对应的角称为对应角。
在两个相似图形中，相互对应的边称为对应边。
03相似图形定义0201成比例线段在同一平面内，四条线段a、b、c、d称为成比例线段，如果其中两条线段的长度比等于另外两条线段的长度比，即a/b=c/d。
交叉乘积定理在成比例线段中，交叉乘积相等，即ad=bc。
成比例线段定义学习目标通过学习图形的相似和成比例线段，我们应该达到以下目标能够运用这些知识解决简单的几何问题；掌握相似图形和成比例线段的基本概念和性质；培养空间思维能力和逻辑推理能力，为进一步学习几何学打下坚实基础。
相似图形的对应角相等，对应边成比例。
形状相同相似图形的大小可以不同，但形状必须相同。
大小可变对应线段之间的比值相等，即若a/b = c/d，则两图形相似，其中a、b、c、d分别为两图形的对应线段。
比例性质两角分别对应相等的两个图形相似。
AA判定两边对应成比例且夹角相等的两个图形相似。
SAS判定三边对应成比例的两个图形相似。
SSS判定建筑设计：建筑师利用相似图形来设计不同尺寸但风格统一的建筑物，如一个小区的房屋、围栏和公园设施。
艺术和设计：艺术家和设计师使用相似图形来创造分形艺术，以及在标志、海报和其他视觉设计中实现缩放效果。
这些性质、判定方法和应用展示了图形相似在几何学和现实生活中的重要性。
理解图形的相似有助于我们更好地分析、设计和应用各种形状和结构。
机械制图：在制造业中，相似的图形用于绘制不同比例的零件和装配图。
相似图形在生活中的应用等比性质在成比例线段中，若将其中两条线段作为一个整体，则其他两条线段的长度比等于这两条线段的长度比，即若a:b=c:d，则有(a+b):b=(c+d):d。
图形的相似线段成比例
思考：1.桌子长1.2m、宽60cm，则长与宽的比是多少？
2.安德烈·斯林诺夫身高1.81米，跳高最高纪录2.36米，
跳蚤身高约为２毫米，能跳0.6米，比较其跳跃能力．
a：b＝c：dad＝bc．
运用乘积式ad＝bc可以检验比例式a：b＝c：d的变形．
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1.已知a:d＝c:b，下列变形错误的是( ) A. b:d＝c:a B. a:b＝c:d C. d:a＝b:c D. a:c＝d:b 2.同一时刻，高２米的竿的影长为1.5米，某古塔的影长为 24米，则塔高是 ． 3.若2x＝3y则x＝ y；若a：b＝5：3，则a为b的 倍． 4.如图，点Ｃ把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC2 ＝AB·BC，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比 叫做黄金比，其比值是 ． 5.(99n)已知a＝24cm，b＝54cm，那么a和b的比例中项 是 cm．(定义：若a：b＝b：c，即b2＝ac，则b叫做 a、c的比例中项或几何平均数．) 6.已知1、 2 、2三个数，请你再添上一个数，写出一个比 例式．
3.已知A、B两地相距为25km，画在图上为10cm，在该
图上C、D相距18cm，两地的距离为
．
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定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的
比等于另外两条线段的比，如a：b＝c：d，那么这四条线
段叫做
，简称“比例线段”．此时又称这四条
线段
．其中a、b、c、d叫做比例的 ，a、d叫
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问题:任意两个相似的多边形有什么性质?
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
总结归纳
相似多边形性质: 相似多边形对应角相等，对应边的比相等．
相似多边形的判定方法: 如果两个多边形满足对应角相等，对应边
的比相等，那么这两个多边形相似.
作 者： 郭 春 港
F
G
—— 城 关 镇 中 学
问题探究
问题: 相似的正六边形，它们的对应角、 对应边有怎样的关系？
❖ 相似正多边形各对应角相等、各 对应边的比相等.
这个结论对于一般的相似多边形是否成立呢？
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
问题探究
1. 下图是两个相似的三角形，猜想它们的对 应角、对应边的比是否相等？
1.理解相似图形的定义； 2.明白线段的比； 3.掌握成比例线段；
学习目标
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学 作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学 作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学 作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学 作 者： 郭 春 港
—— 城 关例尺为1：10 000 000的地图上，量得甲、乙 两地的距离是30cm，求两地的实际距离
解：设两地的实际距离为xcm
1 30 10000000 x
x = 300000000
x = 3000千米
答： 甲，乙两地的实际距离为3000千米
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
定义2:
我们把形状相同的多边形，叫做 相似多边形。
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
观察思考
下图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同 镜像，它们相似吗？
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
问题探究
下列两个相似图形，它们的对应角、对 应边有怎样的关系？
（1）正三角形ABC与正三角形DEF； D
A
B
C
E
F
（1）
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
问题探究
∠A=∠Ｄ， ∠B=∠Ｅ，∠C=∠Ｆ
AB BC CA . DE EF FD
D
A
B
C
E
F
（1）
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
问题探究
（2）正方形ABCD与正方形EFGH.
E
H
A
D
B
C
F
G
（2）
作 者： 郭 春 港
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
问题探究
我们把相似多边形对应边的比称为相似比． 相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？
两图形全等
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
巩固训练
2. 如图所示的两个三角形一定相似吗？为什么？
5
5
10
10
不一定相似
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
请观察下面几组图片 你能发现它们有什么特点吗?
形状相同，大小不一定相同
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
定义1: 我们把这些形状相同的图形 叫做相似图形。
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
定义1: 我们把这些形状相同的图形 叫做相似图形。
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
巩固训练
3. 如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、
c、d的长度．
cd
6 9
35 2
答案
b
a
7.5
a = 3 b = 4.5 c = 4 d = 6
作 者： 郭 春 港
（2）正方形ABCD与正方形EFGH.
—— 城 关 镇 中 学
问题探究
解：∵四边形ABCD与四边形EFGH A
D
为正方形
∴∠A=∠E= 900， ∠B=∠F= 900
∠C=∠G= 900， ∠D=∠H= 900 B
C
∴AB=BC=CD=DA
E
H
EF=FG=GH=HE
∴ AB BC CD DA . EF FG GH HE