高中数学中转化与化归思想的应用
转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究
转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究【摘要】：随着科技、经济的迅速发展,数学在不同领域的应用日益广泛,数学教育成为世界各国关注的重点。
数学思想方法是数学学科的精髓,是分析与解决问题的理论基础,而转化与化归思想是数学中最重要的思想之一。
数学解题过程中处处渗透着转化与化归思想,学生解题能力的高低很大程度上也取决于其转化与化归能力的强弱。
笔者身处高中一线教学,结合教育教学实践经验以及调查分析,发现目前高中生数学解题中的转化与化归能力相对欠缺,影响学生解题能力的提升。
笔者希望本文的研究能够给一线教师提供一定的借鉴作用,对于提高学生的解题能力提供一定的帮助。
首先,笔者通过文献参考,了解转化与化归思想在国内外的研究现状,分析转化与化归思想的本质和内涵、转化与化归的原则、以及高中数学解题中转化与化归的常用方法。
简单来说,转化与化归思想就是通过观察、分析、类比、联想等思维过程把数学中需要解决的问题,遵循熟悉化、简单化、直观化等原则,选择合适的方法进行转化,然后归结到某些已经解决或比较容易解决的问题的一种思想方法。
其次,通过访谈和调查问卷,以我校部分教师和学生为研究对象,分别从教师和学生的角度研究转化与化归思想在高中数学中的应用现状。
研究表明,目前高中教师能够认识到转化和化归思想在高中数学解题中的重要作用。
但是,不少教师本身对于转化与化归思想缺乏系统深入的研究,教学过程渗透有限。
大部分学生的转化与化归能力仍然有待提高。
然后,结合教学实践经验,从高中数学中的数列、立体几何、函数、解析几何以及不等式几个方面,分析转化与化归思想的渗透策略。
这里重点选取近几年高考试题中一些具有代表性的问题,结合学生解题过程中存在的问题,具体分析老师在教学过程中的处理方式以及实践效果。
并提供《常见的递推数列通项公式的求法》解题教学案例,对课堂实践情况进行了详细分析。
最后,结合调查研究,笔者提出几点教学建议。
一要相信学生,给他们更多实践的机会;二要深入挖掘教材,感悟化归思想;三要注重概念、定理、公式等基础知识的教学,并注重知识之间的联系;四是通过变式训练引导学生应用化归思想;五是加强一题多解和多解归一的训练;六是引导学生及时归纳总结。
转化与化归思想在中学数学中的应用
转化与化归思想在中学数学中的应用转化思想和化归思想是中学数学中非常重要的两个思想，它们在解决问题和证明定理过程中起着至关重要的作用。
本文将分别探讨转化思想和化归思想在中学数学中的应用。
一、转化思想在中学数学中的应用转化思想是指通过变换问题的形式或等效变形，使问题转化为熟悉的或易于处理的问题。
它就像是把难题中的棘手一面剥离，使问题变得简单易懂，进而更好地解决问题。
在中学数学中，转化思想主要体现在以下几个方面：1.利用等量代换简化方程式在代数运算中，我们会遇到很多组长方程式，而这些方程式中经常出现相同的项。
这时候，我们可以采用等量代换的方法，将其化简，使问题更容易解决。
例如，我们可以利用x+y=1这个式子，将x^3+y^3转化为(x+y)^3-3xy(x+y)，从而简化计算过程。
2.利用等式变形证明定理在证明数学定理时，通过大量变量之间的等式变形，可以大大简化证明过程。
例如，在证明勾股定理中，我们可以把原方程式a^2+b^2=c^2转化为a^2+b^2-c^2=0，继续变形成(a+c)(a-c)+(b+c)(b-c)=0，再变形成其它等式，最终证明了定理。
3.利用变量的代数变换简化问题有些问题需要建立函数关系式，但是常见的函数关系式过于复杂，不容易解决。
这时候，我们可以尝试采用代数变换的方法，将其变成简单的函数关系式。
例如，在解决极值问题时，我们可以利用三角函数的性质进行变量的代数变换，将复杂的函数关系式变得简单清晰。
二、化归思想在中学数学中的应用化归思想是指将问题按一定规律，通过变形而归约成一个与原问题相关的子问题，然后逐步化简子问题，最终解决原问题。
通过化归，我们可以更容易地理解问题，从而更好地解决问题。
在中学数学中，化归思想主要体现在以下几个方面：1.将高阶次问题化归为低阶次问题有些问题是高阶次或高维的，很难直接解决。
这时候，我们可以采用化归的方法，将其化归为低阶次问题。
例如，在解决n阶递推数列时，我们可以将n阶递推数列化归为n-1阶递推数列，从而简化问题的处理。
例谈“转化与化归”思想在高中数学解题中应用
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即
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函 数 以 及 二 次 方 程 的 区 间 根 原 理 ． 想 可
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题 ． 利 于 运 用 熟 知 的 知 识 、 验 和 问 以 经
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例谈“ 转化与化归 ’ ’ 思想 在高中数学解题中应用
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李 文靖
江西瑞金 第一 中学 ３ ２ ０ ４ ５０
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点 评 ： 陌 生 问 题 转 化 为 熟 悉 的 问 将
点评 ： 题 看上去是 一个不等 式 问 本 题 ， 经 过 等价 转化 ， 它 化 归 为 关 于ｐ 但 把
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转化与化归思想在高中数学中的应用
考 点 聚 焦
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■ 曹利 霞
转化就 是数学命题 由一种形式 向另一种形式 的 变换过 程 ，化 归就是把待解决 的问题通过某种转化 过程归结 为一类 已经解决 或 比较容 易解决 的问题 。 转化与化 归思想是 中学数 学最基本 的思想方 法 ， 堪 称数学思想的精髓 所在 ， 因为数形结合思想 、 函数与 方程思想 、分类讨论 思想都是转化与化 归思 想的具 体体现 ， 各种变换 的方法 、 分析法 、 反证法 、 待定系数 法、 构造法等都是转化与化归 的手段 。 下面谈 谈转 化与化归思想 在高中数 学应 用中主 要 涉及 的 基 本类 型 。
１ ． 正 与 反 的 相 互 转 化
表 面看来似乎 只有相 等的数量关 系 ，根据这些相 等 关系又难以解决 问题 ， 但若能挖掘其 中的不等关系 ， 建立不等式（ 组） ， 往往能获得简捷求解的效果 。
例３ 已知都是实数 ，且０ 、 ｖ ／ Ｔ 二 ＋ ６ 、 嚼 ＝ １ ， 求证 ： ａ ２ ＋ ｂ ２ ： １ 。 分析 ： 利用均值不等式先得到一个不等关系 ， 再 结合已知中的相等关系寻求ｎ 与６ 之 间的关系 。
解： ． ． ． ０ ～
’ ． ．
≤
２
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２
．
ａ ｘ ／ １ 一 ｂ ＋ ６ ｘ ／ １ 一 ａ ２ ≤１ 。又 ａ ｘ ／ １ 一 ｂ ＋ ６ 、 ／ １ 一 ＝
对于那些从“ 正面进攻 ” 很难奏效或运算 比较繁 琐的问题 ， 可先攻其反 面， 运用补集思想从而使正面 得 以解 决 。 例 １ 某 射手射击 １ 次击 中目标 的概率 是０ ． ９ ， 他 连续射击４ 次且 他各次射击 是否击 中 目标是相 互独 立 的， 则他至少击 中 目标 １ 次的概率为— — 。 分析 ： 至少击 中 目标一次 的情况包括 １ 次、 ２ 次、 ３ 次、 ４ 次击 中 目标 共 四种情 况 ，可转 化 为其对 立事 件—— “ 一次都未 中” 来求解 。 略解 ： 由上述 分析可知 ， 他 四次射击 未中 １ 次 的 概率Ｐ ｉ ＝ Ｃ ４ ０ ． １ ＝ Ｏ ． １ ４ ， 他至少 射击 击 中 目标 １ 次 的概率 为 １ 一 Ｐ １ ＝ １ —
化归与转化思想在高中数学解题中的应用
所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。
在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这就是转化的思想方法。
转化思想方法的特点是实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决，其思维过程的形式如下图：转化具有多向性、层次性和重复性的特点。
为了实施有效的转化，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多向性，转化原则既可应用于沟通数学各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转化，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化的层次性，而解决问题中可以多次地使用转化，使问题逐次达到规范化，这是转化原则应用的重复性。
转化思想方法包含三个基本要素：1、把什么东西转化，即转化的对象；2、转化到何处去，即转化的目标；3、如何进行转化，即转化的方法。
转化思想方法应遵循以下五条原则：1、熟悉化原则，将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解。
2、简单化原则，将复杂问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
3、和谐化原则，转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。
4、直观化原则，将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
5、正难侧反原则，当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的可能性。
谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用研究
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０９谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用研究谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用研究Һ陈晓莉㊀（江苏省石庄高级中学，江苏㊀南通㊀２２６５００）㊀㊀ʌ摘要ɔ化归与转化思想是一种将复杂问题转化成简单问题，将抽象问题转化成直观问题的数学思想，也是一种基础的思维策略．教师将化归与转化思想用于高中数学教学中，有利于开阔学生的数学学习视野，提升学生的数学思维水平．文章深入分析了化归与转化思想的内涵，同时结合高中数学教学实际案例对化归与转化思想的应用展开研究，指出教师可以在预习㊁教学㊁练习㊁复习过程中应用化归与转化思想，并建议教师可以应用化归与转化思想设计问题㊁布置任务，希望为进一步提升高中数学教学质量，促进学生综合素养持续提升提供教学参考．ʌ关键词ɔ化归与转化思想；高中数学；教学应用‘普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）“（以下简称‘课程标准“）指出，现阶段的高中数学教学要以培养学生的数学学习关键能力为主．在此视域下，传统专注理论知识注入的教学模式不能满足学生能力发展㊁素养提升的学习需求，将数学思想与方法应用到课程教学中是非常有必要的．化归与转化思想是一种重要的数学思想．将其应用于高中数学教学课堂，有利于丰富教学课堂的内涵，培养学生多元分析㊁多元思考的学习习惯．教师只有认真研究化归与转化思想在高中数学教学中的应用策略，才能为学生的学习与发展创造更多可能性．一㊁化归与转化思想的内涵分析化归与转化思想是一种以快速解决问题为本质的思想，主要表现为学习者在研究数学问题㊁解决数学问题时采取某种方法将原问题转化为另外的数学问题，从而降低解题难度，达到快速解决问题的目的．在高中数学教学中，化归与转化思想具体体现为以下内容：第一，正反之间的转化．在高中数学教学中，学生经常会遇见具有一定复杂性的数学问题，或给出的信息不完整的数学问题．如果学生在解决这种问题时应用常规思路，那么就很难解答问题．为此，学生可以采取正反转化的方式，由问题求解目的出发反向思考数学问题，从而在逆向推理的过程中快速找出解题切入点．第二，特殊与一般之间的转化．在分析数学问题时，学生可以先分析问题是否为特殊问题，如果是特殊问题，观察问题中的特殊数量㊁特殊关系结构，并对其中蕴藏的数学知识㊁数学原理进行分析，通过 推广 的方式将特殊问题转化为一般问题，从而降低问题难度．第三，相等与不等之间的转化．这一思想主要用于解不等式问题．在高中数学教学中，很多不等问题可以借助化归与转化思想转变成相等问题，比如将不等式问题转化为求值问题㊁将不等式问题转化为函数问题等．通过将不等式问题转化为等式问题㊁函数问题降低了不等式问题的抽象性，从而提高了学生的解题效率．第四，数与形之间的转化．代数问题㊁几何问题是高中数学教学内容的主要构成部分．在部分学生的眼里，代数问题只能用代数方法解决，几何问题只能用几何方法解决．然而，这样的看法显然是不对的．针对一些过于抽象的数学问题，学生可以通过绘制解题示意图㊁建立数学模型的方式简化问题，从而快速求解问题答案；针对一些过于直观的几何问题，学生可以通过为几何要素赋值细节化问题，从而快速确定几何问题的求解方向．二㊁化归与转化思想在高中数学教学中的应用策略（一）在预习教学中应用思想，激活数学思维预习即正式教学前的自主学习．将化归与转化思想用于高中数学预习教学中，有利于解决注入教学㊁灌输教学所造成的学生惯性思维的问题，使学生学会主动发现数学问题，主动理解数学知识．在实际教学中，教师可以根据化归与转化思想的内涵对课程教学内容进行分析，挖掘新课教学与过去教学内容的关联，并依据具体关联设计导学问题．借助简单问题引导学生回顾旧知，接着提出复杂问题驱动学生应用转化的思想方法将复杂问题转化成已了解的简单问题，由此激活学生的迁移思维，提高其预习学习的效率．比如，在苏教版高一数学必修第一册 并集㊁交集 一课的预习教学中，教师可以根据过去教学内容设计回顾性问题： 你能说明子集㊁补集的概念吗？它们各涉及了几个集合？ 通过提出这两个问题激发学生的迁移意识，使学生认识到过去教学内容与即将要学习的内容之间的关联．之后，教师再要求学生在自学过程中思考下面的问题： 已知集合Ａ＝｛１，３，５｝，Ｂ＝｛２，４，６｝，Ｃ＝｛１，２，３，４，５，６｝，你能说出集合Ｃ与集合Ａ，Ｂ之间的关系吗？ 这一问题较为新颖，在过去的教学中并未出现过．要让学生在课前解决问题，教师可以在此过程中渗透化归与转化思想，让学生将未知问题转化成已知问题解决．比如，教师可以在导学案中为学生提供解题思路： 抛开集合这一限制，１，３，５是什么？２，４，６是什么？１，２，３，４，５，６又是什么？ 通过给予思路让学生感悟：１，３，５为奇数；２，４，６为偶数，１，２，３，４，５，６为正整数，奇数与偶数被包括在正整数的范围内．这样，将未知问题转化成已知问题，可以确定集合Ｃ是集合Ａ㊁集合Ｂ两个集合合在一起的结果．这样，学生能够在转化分析的过程中初步感受并集的内涵，为接下来的概念学习㊁性质学习以及并集与交集的深度学习做好准备．这样，教师通过在预习教学中先后提出复习性问题㊁探究性问题激活学生的数学思维，使学生学会从转化的角度将未知数学难题转化为已知数学问题，从而达到培养学生㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０９迁移学习能力，增强学生自主学习效果的预习教学目的．（二）在新知教学中应用思想，提高数学能力高中数学教学内容具有一定的抽象性，且难度较高．如果教师只采取注入式教学方法为学生讲解数学概念㊁数学性质㊁数学方法，很容易造成学生的浅层学习问题，不利于学生分析㊁判断㊁应用㊁创新能力的形成与发展．为此，教师可以将化归与转化思想应用于新知教学的过程中，根据思想内涵设计教学问题，布置教学任务，由此驱动学生主动联想数学知识，深入分析数学问题，合作探究数学规律等，使学生在转化问题的过程中达到深度学习的状态．１．应用思想设计问题，提高数学分析能力高中数学教学内容虽然具有一定的难度，但各部分教学内容的安排具有较强的逻辑性，教学内容的难度也呈阶梯特征增加．这样的教学安排为化归与转化思想的有效应用提供了更多机会．在实际教学中，教师可以应用相关思想设计旧知回顾问题与新知探析问题，由问题引导学生从将未知转化为已知㊁将一般转化为特殊的角度出发分析新课教学内容，探究新课教学问题，同时提高学生的逻辑推理㊁数学抽象等数学分析能力．比如，在苏教版高一数学必修第一册 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 一课的教学中，教师可以设计如下问题：问题１：求不等式３ｘ－２＞０的解集？这一问题较为简单，学生将原式转化为３ｘ＞２之后再计算，能够轻松得到ｘ＞２３的答案．在学生应用代数方法解决问题后，教师可以引导学生从几何角度解决该问题，指导学生绘制一次函数图像并找出函数图像与ｘ轴的交点坐标２３，０()，根据图像明确不等式３ｘ－２＞０的解集为ｘ＞２３．这样，学生在思考这一问题时不仅能够树立良好的数形转化学习观念，还可以初步体会不等式与函数之间的关系，为接下来的学习做好铺垫．问题２：二次函数ｙ＝ｘ２－２ｘ－３的图像是怎样的？一元二次方程ｘ２－２ｘ－３＝０的根是多少？不等式ｘ２－２ｘ－３＞０的解集是多少？不等式ｘ２－２ｘ－３＜０的解集是多少？二次函数ｙ＝ｘ２－２ｘ－３与一元二次方程ｘ２－２ｘ－３＝０㊁一元二次不等式ｘ２－２ｘ－３＞０有着怎样的关系？这一问题涵盖的内容较多，包括二次函数图像的绘制方法㊁一元二次方程根的求解方法㊁一元二次不等式解集的求解方法等．教师通过提出此问题，能够使学生从 数 形 两个角度出发分析数学问题，认识函数㊁方程与不等式三者之间的深度关联，进一步提高学生转化问题㊁简化问题的分析能力．问题３：对于一个具体的一元二次不等式，我们会求解集，如果反过来，已知不等式的解集，你能求出这个不等式吗？已知关于ｘ的不等式ｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜０的解集为（－１，３），求实数ｂ，ｃ的值？这一问题从逆向角度出发，需要学生根据题意将ｘ＝－１，ｘ＝３代入方程得到（－１）２＋ｂ㊃（－１）＋ｃ＝０，３２＋ｂ㊃３＋ｃ＝０，{即－ｂ＋ｃ＋１＝０，３ｂ＋ｃ＋９＝０，{解得ｂ＝－２，ｃ＝－３．{教师通过提出这一问题，能够进一步加深学生对一元二次函数㊁方程与不等式内在联系的理解，同时培养学生应用逆向转化方法解决问题的能力．教师通过设计问题串引导学生进行未知与已知的转化学习㊁ 数 与 形 的转化学习㊁ 正 与 反 的转化学习，使学生在转化学习的过程中真正理解新课教学内容，达到内化吸收的深度学习状态．２．应用思想布置任务，提高数学探究能力任务教学是一种围绕具体教学任务展开新知讲解㊁对话问答㊁合作探究等多项教学活动的教学模式．将任务教学法用于高中数学课程教学中，有益于增强学生的课堂学习主体性，进一步加深其数学课堂的学习深度．应用化归与转化思想进行数学教学时，教师可以根据思想内涵设计探究任务，并组织学生围绕具体任务进行分析㊁思考㊁讨论㊁交流，由此驱动学生拆分任务㊁转化任务㊁解决任务，从而锻炼学生的转化能力与应用能力．比如，在苏教版高一数学必修第二册 正弦定理 一课的教学中，教师可以基于化归与转化思想布置探究任务：船从港口Ａ航行到港口Ｃ，测得ＡＣ的距离为６００米，船在港口Ｃ卸货后继续向港口Ｂ航行，由于船员的疏忽没有测得ＢＣ距离，如果船上有测角仪，是否能计算出Ａ，Ｂ的距离？图１基于此任务，教师可以组织学生讨论交流，引导学生将具体问题转化为解三角形问题的数学模型，再应用数学模型解决问题．思路１：将任务问题转化为已知的三角形相似的数学问题．测量角Ａ，Ｃ，测得角øＢＡＣ＝７５ʎ，øＡＣＢ＝４５ʎ，确定计算ＡＢ两地距离的解题目的．绘制三角形ＡᶄＢᶄＣᶄ，使得ＢᶄＣᶄ为６厘米，øＢᶄＡᶄＣᶄ＝７５ʎ，øＡᶄＣᶄＢᶄ＝４５ʎ，量得ＡᶄＢᶄ距离约为４．９厘米，利用三角形相似性质可知ＡＢ约为４９０米．思路２：将任务问题转化为解直角三角形的数学问题．әＡＢＣ是斜三角形，如图２，过点Ａ作ＡＤʅＢＣ于Ｄ，把әＡＢＣ分为两个直角三角形．在ＲｔәＡＣＤ中，ｓｉｎøＡＣＢ＝ＡＤＡＣ，所以ＡＤ＝ＡＣˑｓｉｎøＡＣＢ＝６００ˑ２２＝３００２ｍ．øＡＣＢ＝４５ʎ，øＢＡＣ＝７５ʎ，所以øＡＢＣ＝１８０ʎ－øＡＣＢ－øＢＡＣ＝６０ʎ．在㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０９ＲｔәＡＢＤ中，ｓｉｎøＡＢＣ＝ＡＤＡＢ，所以ＡＢ＝ＡＤｓｉｎøＡＢＣ＝３００２３２＝２００６ｍ．图２在学生应用不同思路探究数学任务后，教师还可以应用转化思想引导学生推理正弦定理：在解决问题的过程中，若ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，能否用Ｂ，ｂ，Ｃ表示ｃ呢？在学生发现ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ这一数学规律后，教师还可以追问：这一公式是否适用于任意三角形呢？由具体任务驱动学生将实际问题转化数学问题，将未知问题转化为已知问题，进一步锻炼学生迁移应用能力．在学生完成学习任务后，教师再通过追问引导学生将特殊问题转化为一般问题，进一步提高学生数学归纳㊁数学分析的能力．（三）在练习教学中应用思想，丰富解题经验练习教学是高中数学教学的重要构成部分，教师只有做好练习教学的工作，才能进一步巩固学生对相关知识的理解与记忆，进一步加强学生对具体数学方法的掌握程度．为进一步提高化归与转化思想在教学中的应用效果，教师可以在课堂教学过程中组织练习教学活动．通过出示典型练习题㊁拓展练习题等多种方式引导学生从转化的角度思考数学问题，进一步提升学生对化归与转化思想的认知水平，同时丰富学生应用化归与转化思想解决问题的学习经验．比如，在苏教版高二数学选择性必修第一册 数列 一章的练习教学中，教师可以根据化归与转化思想，设计如下练习题组织学生解题：（１）已知｛ａｎ｝满足ａｎ＋１＝１２ａｎ，且ａ１＝２，求ａｎ．（将原递推公式转化为ａｎ＋１ａｎ＝ｆ（ｎ），利用累乘法求解）（２）已知在数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１，ａｎ＋１＝２ａｎ＋３，求ａｎ．（将原递推公式转化为ａｎ＋１－ｔ＝ｐ（ａｎ－ｔ），其中ｔ＝ｑ１－ｐ，再利用换元法转化为等比数列求解）（３）已知在数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１，ａ２＝２，ａｎ＋２＝２３ａｎ＋１＋１３ａｎ，求ａｎ．（先将原递推公式两边同时除以ｑｎ＋１，将其转化为ａｎ＋１ｑｎ＋１＝ｐｑ㊃ａｎｑｎ＋１ｑ的形式，再引入辅助数列｛ｂｎ｝ｂｎ＝ａｎｑｎæèçöø÷，得到ｂｎ＋１＝ｐｑｂｎ＋１ｑ，再使用第（２）题的方法求解）上述练习题均蕴藏着较为丰富的化归与转化思想教学要素．教师通过组织学生分析㊁思考㊁建模解答，有助于加深学生对转化思想的体会，强化学生对转化方法的掌握，进一步提高学生的数学应用能力．（四）在复习教学中应用思想，提升建构水平复习教学具有巩固学生学习基础，提高学生记忆能力的功能．但是，传统的复习教学以抄写教学㊁作业教学为主，将教学重点放在学生对教学内容的识㊁记㊁用方面，忽略了对学生建构能力的培养．要想改善原有复习教学环境，教师需要将化归与转化思想用于复习教学中，根据思想设计综合性强的复习作业，由作业驱动学生在课后联想㊁课后分析㊁课后关联，进而提升学生的关联建构思维水平，强化复习教学的效果．比如，在苏教版高二数学选择性必修第二册 计数原理 一章的复习教学中，教师可以设计复习作业：作业１：三边长分别为整数，且最大边长为１１的三角形的个数有多少？作业２：５名成年人带２名小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，共有多少种排法？这两项作业属于生活中常见的排列组合问题．教师通过布置上述作业，可以激发学生的数学应用意识，进一步锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力．同时，教师通过布置上述作业，可以进一步驱动学生回顾排列组合问题的解题途径（元素㊁位置等），解决排列组合问题的常见题型方法（相邻问题捆绑法㊁不相邻问题插空法㊁分排问题直排法㊁定序问题除法等）．结㊀语综上所述，将化归与转化思想用于高中数学教学中，对于拓宽教学课堂广度，加深课堂教学深度有着积极意义．要想在教学过程中真正发挥化归与转化思想的育人价值，教师需要确切掌握化归与转化思想的内涵，同时基于学生数学思维㊁数学能力的发展特点设计合理的教学方案，采取合理的教学方法，循序渐进地加深学生对化归与转化思想的认识．为此，教师应不断丰富自身知识储备，不断积累专业教学经验，在学习㊁实践㊁反思的过程中不断优化教学课堂，从而不断提高化归与转化思想在高中数学课堂教学中的应用效率．ʌ参考文献ɔ［１］马淑芳．转化思想在高中数学解题中的应用初探［Ｊ］．数学学习与研究，２０２２（３５）：１４４－１４６．［２］林世平，王珠芳．立足转化思想，培育核心素养 例谈转化思想在高中数学解题中的应用［Ｊ］．数学之友，２０２２（２０）：５８－６０．［３］薛超喜，张永松．转化思想方法在高中数学解题中的应用［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２２（１６）：２８－２９．［４］程新益．在高中数学解题中应用转化思想的几点思考［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（１８）：５２－５４．［５］李丽润，杜锦泽．高中数学解题中转化思想方法的应用［Ｊ］．课程教材教学研究（中教研究），２０２２（Ｚ３）：４７－４８．。
高中数学中转化与化归思想的运用
反 的转化 、 与 形 的 转 化 、 等 与不 等 的转 化 、 数 相 整
体 与局部 的转 化 、 问与平 面相 互转 化 、 空 复数 与实
数 相 互 转 化 、 量 与 变 量 的转 化 、 学 语 言的 转 常 数
化．
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高 中数 学 中转化 与化－ 思想 的运 用 归
（ 湖南省株 洲 市南方 中学 ４ ２ ０ ） 刘 菊秋 １０ ２
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所 谓 转 化 量化 归 思 想 ， 是 在 研 究 和 解 决 有 就
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关数 学问题 时采 用 某 种 手 段 ， 问题 通 过 变换 使 将 之转化 归结 为在 已有知识 范 围 内可 以解 决 的一种
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转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究
转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究摘要：转化和化归思想是高中数学思想中很重要的一种思想，运用好转化和化归思想对于提高学生的数学思维能力和发展学生的数学应用意识都有很大的帮助。
掌握常见的转化与化归方法、运用原则和解题策略，以及思考如何提高转化与化归思想的运用能力，这些都是促进学生学习高中数学的重要因素。
关键词：转化与化归思想；高中数学；应用转化和化归思想简单来说就是在处理问题时，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或者比较容易解决的问题，最终求解出原问题的思想方法。
转化和化归的目的是简化问题。
转化与化归思想从某种意义上来说培养了一种透过问题看本质的能力，促进学生运用已有的知识储备和缜密的思维去发现问题、转化问题，从而寻找更好的路线来解决问题。
转化与化归思想为各类问题的解决提供了不计其数的方法，以此可见掌握好转化与化归思想的意义重大。
在高中数学学习过程中熟练运用转化与化归思想，对于促进学生的数学学习是大有裨益的。
一、注重变量之间的转化与化归在高中数学中，各种变量和公式的运用都是比较开放的，这就需要学生全面掌握各个知识点，并达到灵活运用的程度，否则就会不断降低学生的学习效率，其问题也难以得到有效解决。
同时，学生还要找到问题的契合点，通过公式以及变量之间的转化和化归，以此来得到问题的最终答案。
如果满足了一定要求和条件，变量的值也可以作为常量来使用，这样就能使复杂的问题简单化，学生理解起来也比较容易。
对于问题的教学，以及数学转化与化归思想的学习，教师都要给予一定引导和帮助，尤其是在面对一些教学难点时，教师应该发挥自身的指导作用，帮助学生扫清障碍，从而实现数学变量之间的转化。
比如，在求不等式x2+px+1>2x+p恒成立的x的取值范围时，学生就可以利用变量之间的转换，把不等式看作是关于P的一次不等式，就能达到化繁为简的目的，问题的解决也会更加顺利。
高中阶段与函数有关的问题比较多，而且比初中和小学时期的知识更加复杂，更加难以理解，如果不通过转化与化归思想解决问题，会使其解决起来比较麻烦，也在一定程度上降低了学生的学习效率。
浅谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用
浅谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用作者：黄庆彬来源：《新课程》2021年第12期新课程标准明确提出了高中生通过数学课程的学习要达到获“四基”、提“四能”的目标。
获“四基”，即学生获得数学基础知识、基本的技能、思想和活动经验;提“四能”，即提高学生从数学角度发现并提出问题、分析和解决问題的四种能力。
纵观近年来高考数学试题的编制及考查的内容，都很好地反映了课程改革理念，加大了数学思维能力的考查，注重学科思想方法的运用，这就要求教师在数学教学中要“两手抓”，既要加强基础知识与基本技能的教学，又要注意以素养为导向，以能力为重，加大各种思想方法的渗透。
在中学数学思想方法中，最基本、最核心的就是化归与转化思想，它是解决数学问题思想方法的精髓。
化归与转化，即运用转化、归结的数学手段，通过一定的数学过程，把一个复杂、陌生或者未解决的问题转化到已解决或较易解决的问题上来，从而破解原问题的一种方法。
数学家笛卡尔对此方法给予了高度评价，称之为解决数学问题的万能方法。
它对培养学生的解题能力和数学素质起至关重要的作用，故教师在平时教学中应注意引导学生抓基础与注重转化能力的培养两者并重，这是学好数学的金钥匙。
以下便是其模式。
一、高中数学中应用转化与化归思想遵循的原则应遵循4个原则：（1）熟悉化原则，即“化生为熟”，把陌生问题转化成熟悉问题。
（2）简单化原则，即“化繁为简”，把复杂问题转化成简单问题。
（3）直观化原则，即“化抽象为直观”，把较抽象的问题转化为较直观的问题（如数形结合思想，立体几何问题转化成平面几何问题）。
（4）正难则反原则。
若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法，或用逆否命题间接地解决问题。
二、高中数学中常见的转化与化归方法共有10种：在解决数学问题时，有的可用直接转换法、换元法、数形结合法，有的可用参数法、构造法、坐标法，还有的可用类比法、特殊法、一般化、等价转换法来解。
这些方法在一些题目中可能单独使用，也可能相互交叉使用，是不能完全分割开的。
“转化与化归”的思想方法在数学教学中应用
“转化与化归”的思想方法在数学教学中应用作者：章传科来源：《文理导航·教育研究与实践》 2014年第8期浙江省苍南县桥墩高级中学章传科转化与化归思想是高中数学最重要的思想之一，它的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，数学问题的解决基本上是通过转化为已知或已解决问题实现的。
从这个意义上讲，一个数学问题的解答过程就是一个从未知向已知转化的过程。
数学思想的作用是无声的，蕴涵于一个个具体的数学问题的解答过程中，要寻找它的踪迹，也必须先深入到数学问题中。
现在让我们在一些具体的问题中去体会“转化化归”的思想方法。
一、在函数与不等式问题中的应用。
函数与不等式的内容在每年的高考中几乎占去了三分之二，函数与不等式问题的内容丰富多变，解法灵活多样，是高考考查的重点也是难点。
函数的三要素中定义域和值域都与不等式紧密相连，很多函数问题与不等式问题是相互交错的，一些特定的函数问题和不等式问题直接求解相对比较困难，可运用转化的方式进行等价求解。
如解分段函数的“最值”问题或求方程解的个数问题。
例如：“证明不等式，其中x≥1”这种问题，如果按照常规的思维用不等式的证明方法如比较法﹑分析法等很难下手，但是转换一个角度，将它视作要证明函数：的值恒大于0，只需要利用导数考查函数的单调性，求最小值，问题就很解决了。
证明一个数学命题，实际上是由假设经过推理以得出结论，当直接处理不容易时，往往我们会先考虑它的等价命题或者辅助命题，去寻求解题的思路。
原命题的等价命题或辅助命题的证明必须是我们所熟悉的知识和方法。
这种运用等价问题法和构造函数法在解答一些直接处理很难下手的函数或不等式问题时非常有用，体现了“转化与化归”思想的熟悉化原则和简单化原则。
从新课改的课程内容设计来看，作为数学的基础性内容，函数、不等式和方程仍然是比重最大的一块，这三者的关系密不可分，三者之间问题的相互转化也是其问题设计的一个重要指导思想，“转化与化归”的思想方法有着大量的运用和体现。
“转化与化归”思想在高中数学解题教学中的应用
解题研究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀转化与化归 思想在高中数学解题教学中的应用◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李㊀硕㊀㊀转化与化归 思想是高学数学中的一种重要的数学思想,运用非常广泛,尤其是一些特殊的问题,运用 转化与化归 思想解题可以提高效率,同时还可以降低问题解决的难度．因此,在数学课堂引入并应用转化与化归思想,能够让学生在学习数学及解题的过程中,加深对数学概念的理解,同时也能有效锻炼数学思维,提高学习效率,进一步发展数学核心素养．在高中数学的解题过程中,基于 转化与化归 思想的三大原则,主要运用的解题方法包括特殊与一般的转化㊁命题的等价转化,以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等一些常见的转化方法．１特殊与一般的转化将一般问题进行特殊化处理,可使问题的解决变得更为直接和简便,并且还能从特殊情况中寻找问题解决的常规思维;除此之外,对特殊性问题进行概括性研究,实现特殊问题一般化,也能从宏观与全局的角度把握特殊性问题的普遍规律,并能有效地解决特殊性问题．例１㊀ 蒙日圆 涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a ＝１(a ＞０)的离心率为１２,则椭圆C 的蒙日圆的方程为(㊀㊀)．A．x ２＋y ２＝９㊀㊀㊀㊀㊀B ．x ２＋y ２＝７C ．x ２＋y ２＝５D．x ２＋y ２＝４分析:根据题目中的已知条件,在椭圆上,两条相互垂直的切线可以随意选择,但其交点位于与椭圆同心的圆却是唯一的,也即答案是唯一的．由此,可以通过选取一般问题的特殊情形找到一般的解题思路,不妨利用过椭圆的右顶点和上顶点的两条切线进行解题．解:因为椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a＝１(a ＞０)的离心率为１２,所以１a ＋１＝１２,解得a ＝３．所以椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１,且椭圆C 的上顶点为A (０,３),右顶点为B (２,０),则椭圆在A ,B 两点的切线方程分别为y ＝３和x ＝２,这两条切线的交点坐标为M (２,３)．由题意可知,交点M 必在一个与椭圆C 同心的圆上,可得与椭圆C 同心的圆的半径r ＝２２＋(３)２＝７．所以椭圆C 的蒙日圆方程为x ２＋y ２＝７．故选:B ．以问题的特征为依据,对命题进行转化,将原问题转化为与之相关的㊁容易解决的新问题,这也是解决数学问题常见的转化思路,并且可以通过这种转化逐步培养识别关键信息的能力．２命题的等价转化把题目中已有的条件或者结论进行相应的转化,化难为易,是解决较难问题常用的转化手段．其主要方法包括:数与形的转化㊁正与反的转化㊁常量与变量的转化㊁图形形体及位置的转化等．例２㊀由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,得m 的取值范围是(－ɕ,a ),则实数a 的值是．分析:利用转化思想可以将命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０ 是假命题转化为 对任意x ɪR ,e|x －１|－m ＞０是真命题,由此得出m ＜e |x －１|恒成立,进而通过m 的取值范围来求a 的值．解:由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,可知 对任意x ɪR ,e |x －１|－m ＞０是真命题,由此可得m 的取值范围是(－ɕ,１),而(－ɕ,a )与(－ɕ,１)为同一区间,故a ＝１．例３㊀若对于任意t ɪ[１,２],函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是．分析:根据函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,可以利用正难则反的转化思想先找出g (x )在(t ,３)上单调的条件,再利用补集思想求出m 的取值范围．８５２０２３年１２月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀解:求得g ᶄ(x )＝３x ２＋(m ＋４)x －２．若g (x )在(t ,３)上单调递增,则g ᶄ(x )ȡ０,即３x ２＋(m ＋４)x －２ȡ０,亦即m ＋４ȡ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立．故m ＋４ȡ２t－３t 在t ɪ[１,２]上恒成立,则m ＋４ȡ－１,即m ȡ－５．若g (x )在(t ,３)上单调递减,则g ᶄ(x )ɤ０,即m ＋４ɤ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立,所以m ＋４ɤ２３－９,即m ɤ－３７３．综上,符合题意的m 的取值范围为－３７３＜m ＜－５．根据命题的等价性对题目条件进行明晰化处理是解题常见的思路;对复杂问题采用正难则反的转化思想,更有利于问题得到快速解答．３函数㊁方程㊁不等式之间的转化函数与方程㊁不等式之间有着千丝万缕的关联,通过结合函数y ＝f (x )图象可以确定方程f (x )＝０,不等式f (x )＞０和f (x )＜０的解集．例４㊀若２x －２y＜３－x －３－y ,则(㊀㊀)．A．l n (y －x ＋１)＞０B ．l n (y －x ＋１)＜０C ．l n |x －y |＞０D．l n |x －y |＜０分析:由题意,可将２x －２y＜３－x －３－y 转化为２x －３－x ＜２y－３－y ,进而实现不等式与函数之间的转化,从而解得答案．解:由２x －２y ＜３－x －３－y ,得２x －３－x ＜２y －３－y ．故构造函数y ＝２x －３－x ,即y ＝２x －(１３)x．由于函数y ＝２x－(１３)x 在R 上单调递增,因此x ＜y ,即y －x ＋１＞１．所以l n (y －x ＋１)＞l n １＝０．故选择:A ．例５㊀已知函数f (x )＝e l n x ,g (x )＝１ef (x )－(x ＋１)．(e ＝２．７１８ )(１)求函数g (x )的最大值;(２)求证:１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．分析:第(１)问要求函数g (x )的最大值,关键在于需要运用转化与划归思想,通过g ᶄ(x )得出函数g (x )单调性,即可求出g (x )的最大值．将第(１)问得出的g (x )最大值－２转化成l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立),再利用换元法最终证明出结论．解:(１)由g (x )＝１ef (x )－(x ＋１),即g (x )＝l n x －(x ＋１),得g ᶄ(x )＝１x－１(x ＞０)．令g ᶄ(x )＞０,则０＜x ＜１;令g ᶄ(x )＜０,则x ＞１．所以,函数g (x )在区间(０,１)上单调递增,在区间(１,＋ɕ)上单调递减．故g (x )的最大值为＝g (１)＝－２．(２)证明:由(１)知x ＝１是函数g (x )的极大值点,也是最大值点,故g (x )ɤg (１)＝－２．所以l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立)．令t ＝x －１,则有t ȡl n (t ＋１)(t ＞－１)．取t ＝１n (n ɪN ＋),则有１n ＞l n (１＋１n)＝l n(n ＋１n )．故１＞l n２,１２＞l n ３２,１３＞l n ４３,,１n＞l n(n ＋１n )．上面n 个不等式叠加,得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (２ˑ３２ˑ４３ˑ ˑn ＋１n)＝l n (n ＋１)．故１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．在分析此类题目的过程中,利用函数㊁方程㊁不等式进行转化与化归更有利于问题的解决,因此,利用转化与划归思想不仅能让整个数学知识的体系变得更加紧密,同时也能对学生从系统性角度掌握数学知识之间的联系提供非常大的帮助．转化与化归思想所蕴含的内容丰富且深奥,为高中数学问题的解决提供了多种思路,对高中数学的学习也有极大的指导与启发作用,值得我们不断地探索与研究．因此,在解决高中数学问题的过程中,要灵活运用 转化与化归 的解题思想．有些数学问题看似复杂,但通过分析可知出题者采用的是 障眼法 ,其中有的是多余或无用的条件．同时,在高中数学课堂教学中,教师可以在解题教学过程中渗透转化与化归思想,加强学生在特殊与一般转化㊁命题的等价转化以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等方面的技能,逐步锻炼学生简化题目内容的能力和意识,最大程度提高解题效率．Z９５。
转化与化归思想在数学解题中的应用
转化与化归思想在数学解题中的应用转化与化归思想，是将一个问题由难化易，由繁化简的过程。
是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。
化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。
转化与化归思想作为重要的数学思想之一，是中学数学中最重要的解题意识，在数学教学活动中充分注意这种意识的培养，可以提高学生的思维品质，培养学生的创新能力。
数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。
在初中数学学习过程中化归思想存在解决问题的各个方面，是在数学学习过程中快速解决问题的有效途径。
一、数与形的转化数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时，我们要把它们有机的结合起来，并相互转化。
化归思想在初中数学学习中的应用就是教会学生能够以动态的视角去学习相关的知识，能够发现知识之间的相关性，从而使得在初中数学中学习的知识都能够很好的融入到学生的知识体系中。
例如讲三角形、特殊四边形等形的问题时可以转化为数量关系来处理，就数论形；如图1两个正方形并列摆放，大正方形的边长是小正方形边长的2倍。
问题：只允许剪两刀，使裁剪后的图形能拼成一个大正方形。
这个问题很多学生看到后都进行了动手操作，这里画一条线，那里剪一下，试了很多次也不能找到正确答案。
实际上，我们只需把形转化为数，利用数的角度很容易就能理解明白，且迅速解决。
解决办法如图2.在学习函数问题时我们可以用函数图像来直观描述，以形究数，从而使问题简明易解。
例如，在讲解二次函数的性质及应用时，有这样一个问题：二次函数y=ax2+bx+c经过A（-1,0），B（0,4），C三点，C点在y轴正半轴上，且AB=OC,求（1）点C的坐标，（2）求出二次函数解析式，并求出顶点坐标，（3）当x取何值时，y＞0，y＜0，y=0？解决这个问题时一部分同学直接借助所给条件直接去求，这样既浪费时间，又不能清晰的理解。
化归与转化思想在高考数学解题中的运用
GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2化归与转化思想在高考数学解题中的运用■甘肃省秦安县第二中学罗文军yxo化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1．化归与转化的思想方法：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.2．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则；（2）简单化原则；（3）和谐化原则；（4）直观化原则；（5）正难则反原则3．化归与转化的途径：（1）从问题的反面思考；（2）局部向整体的转化；（3）未知向已知转化；（4）固定向重组的转化；（5）抽象向具体转化；（6）个别向一般的转化；（7）数向形的转化；（8）定量向定性的转化；（9）主元向辅元的转化.以下结合一些经典试题，谈谈化归与转化思想在高三解题中的运用.题型一：化归与转化思想简单化原则的体现化归与转化思想简单化原则在解题中的体现主要有：（1）将比较代数式的大小的问题，运用同构法，通过构造函数，化归为利用函数的单调性根据自变量的大小比较函数值的大小或者根据函数值的大小比较自变量的大小；（2）将概率与统计问题化归为集合间的基本关系与基本运算问题.例1.若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（）A.a ＞2b B.a ＜2b C.a ＞b 2 D.a ＜b 2【解析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质可得，2a +log 2a ＝4b +2log 4b ＝22b +log 2b ，又因为22b +log 2b ＜22b +log 22b ＝22b +1+log 2b ，所以2a +log 2a ＜22b +log 22b .令ｆ（ｘ）＝2x +log 2ｘ，由指数函数和对数函数性质以及函数单调性的性质可得ｆ（ｘ）在（0，+∞）上单调递增，由ｆ（a ）＜ｆ（2a ），可得a ＜2b .【评析】本题考查了指数幂和对数的运算，函数的单调性的性质，构造函数后，把问题化归与转化为根据函数单调性，由函数值的大小比较自变量的大小，体现了化归与转化思想的简单化原则.例2.设命题p ∶4x-3≤1，命题q ∶x 2-（2a+1）x +a （a +1）≤0.若劭p 是劭q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________.【解析】由4x-3≤1，得１２≤x ≤１，记A ＝{x │１２≤x ≤１}；由x ２-（２a+1）x+a （a+1）≤0，可得a ≤x ≤a +1，记B ＝{x │a ≤x ≤a +1}.因为劭p 是劭q 的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，所以A 芴B ，所以a ≤１２，a+１≥11，解得0≤a ≤１２，所以实数a 的取值范围是[0，１２].【评注】本题的解答中，先把两个命题中的不等式的解集分别用集合A 和集合B 表示，再由劭p 是劭q 是的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件，再转化为集合A 为集合B 的真子集，解得a 的范围.题型二：化归与转化思想直观化原则的体现化归与转化思想直观化原则在解题中的体现主要有：（1）画出函数图像后，利用函数图像研究函数的性质，进而直观的解决与函数有关的问题；（2）立体几何问题中，将立体问题平面化，画出轴截面或者中截面，利用平面几何问题破解题目.例3.设a ，b ∈R ，则|“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的（）A.充要不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要也不必要条件【解析】构造函数ｆ（ｘ）＝x x ＝ｘ２，ｘ≥0-x ２，ｘ＜1函数图像如图1，由图像可知ｆ（ｘ）＝x x 在R 上单调递增.当a ＞b 时，ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b ，a ＞b 圯a a ＞b b .当ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b 时，a ＞b ，a a ＞b b 圯a ＞b ，所以a ＞b 圳a a ＞b b ，“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的充要条件，故选C.【评注】本题是一道比较复杂的充分必要条件问题，通过观察题目，通过类比和联想，运用化归与转化思想，构造函数ｆ（ｘ）＝x x 后，画出这个函数的图像，运用图像法判断这个函数在其定义域R 上为单调递增函数，把a 和b 看成这个函数的两个自变量，a a 和b b 分别看成这个函数的函数值ｆ（a ）29数学有数和ｆ（b），由增函数的性质可以得出，ａ＞b圳a a＞b b，所以ａ＞b是a a＞b b的充分必要条件，体现了化归与转化思想的简单化和直观化原则.例4.已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h２，则h1+h２的最小值为________．【答案】22姨.【解析】由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R=1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面，E，F，G，H分别为切点，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，由题意可知AB⊥BC，AD⊥DC，AC＝h1+h2，R＝OE＝OF＝OG＝OH＝1，则S四边形ABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC＝１２R×AB+１２R×BC+１２R×CD+１２R×AD＝１２R（2AB+2BC）＝R（AB+BC），所以AB×BC＝AB+BC.由基本不等式可得AB×BC＝AB+BC≥2AB×BC姨，则AB×BC≥4，当且仅当AB＝BC时等号成立．所以（h1+h2）2＝AC2＝AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB＝BC时等号成立，故h1+h2的最小值为22姨.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题；（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5.若对任意的ｘ∈（0，+∞），ax-ln（2ｘ）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的ｘ∈（0，+∞），a≥ln（2ｘ）+1ｘ恒成立，令g（ｘ）＝ln（2ｘ）+1ｘ，g′（ｘ）＝１ｘ·ｘ-ln（2ｘ）ｘ2＝1-ln（2ｘ）ｘ2，令g′（ｘ）＝0，则1-ln（2ｘ）＝0，则ｘ＝e2，当0＜ｘ＜e2时，g′（ｘ）＞0，g（ｘ）单调递增；当ｘ＞e2时，g′（ｘ）＜0，g（ｘ）单调递减，所以当ｘ＝e2时，g（ｘ）取得最大值g（ｘ）max＝g（e2）＝ln e+1e2＝4e，所以a≥4e，所以a的最小值为4e.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（ｘ）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（ｘ）]max（ｘ∈（0，+∞）），转化为求函数g（ｘ）在（0，+∞）上的最大值问题，g（ｘ）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6.设数列{a n}的前n项为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k2n+1姨对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n，所以a n＝2S2n2S n-1，n≥2，所以（S n-S n-1）（2S n-1）＝2S2n，所以S n-S n-1＝-2S n S n-1，所以１S n-１S n-1＝2，n≥2，所以数列{１S n}是以１S1＝1为首项，以2为公差的等差数列，所以１S n＝1+2（n-1）＝2n-1，所以S n＝１2n-1，所以，当n≥2时，a n＝S n-S n-1＝１2n-1-１2n-３＝-2（2n-1）（2n-3），因为a1＝S1＝1，所以a n＝1，n=1-2（2n-1）（2n-3）.n≥≥2（2）设ｆ（n）＝（1+S1）（1+S2）…（1+S n）2n+1姨，则ｆ（n+1）ｆ（n）＝2n+22n+1姨2n+3姨＝4n2+8n+44n2+8n+3姨＞1，所以ｆ（n）在n∈N鄢上递增，要使ｆ（n）≥k恒成立，只需要ｆ（n）min≥k，因为ｆ（n）min＝ｆ（1）＝2３姨３，所以0＜k≤2３姨3.【评注】第（1）问运用了数列的前n项和S n与通项a n之间的关系a n＝S n-S n-1（n≥2），把a n转化为S n-S n-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{１S n}的通项公式，再得出数列{a n}的通项公式；第（2）问分离变量后构造函数ｆ（n），用作商法判断ｆ（n）的单调性，把不等式ｆ（n）≥k在n∈N鄢上恒成立等价转化为ｆ（n）min≥k（n∈N鄢），两问都运用到了化归与转化思想.AEBFHDGOC302021年第2GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化；（2）在三角函数问题中，将形如y=a sin x+b cos x 的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=A sin （棕x+渍）的函数问题；（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0；（4）将形如滋＝y -b x -a形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b -c ＝a ·cos C -c ·cos A .（1）求角A ；（2）若a ＝3，求b +2c 的最大值.【解析】（1）因为b -c ＝a ·cos C -c ·cos A ，由正弦定理可得，sin B -sin C ＝sin A cos C -sin C cos A ，所以sin B -sin C ＝sin （A -C ）所以sin （A +C ）-sin C ＝sin （A -C ），所以sin A cos C +cos A sin C -sin C ＝sin A cos C -cos A sin C ，所以cos A ＝１２，因为0＜A ＜仔，所以A ＝仔３.（2）由（1）可得，C ＝２仔３-B ，由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，所以３sin 仔３＝b sin B ＝c sin （２仔３-B ），所以b ＝2３姨sin B ，c ＝2３姨sin （２仔３-B ），所以b +2c ＝2３姨sin B +4３姨sin （２仔３-B ）＝2３姨（2sin B +３姨cos B ）＝221姨sin （B +渍），其中tan 渍＝３姨2，渍∈（0，仔2），由B ∈（0，２仔３），存在B 使得B +渍＝仔2，所以sin （B +渍）的最大值为1，所以b+２c 的最大值为221姨.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cos A 的值，得出角A 的值；第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题；两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.例8.已知函数f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，则f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）的值为_____.【解析】由于直接计算有困难，先探求一般的规律，因为f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，所以f （1-ｘ）＝1-ｘ2（1-ｘ）-1＝1-ｘ1-2ｘ＝ｘ-12ｘ-1，所以f （ｘ）+f （1-ｘ）＝1，倒叙相加可得f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）＝1009.【评注】本题的解答中体现了特殊问题转化为一般化，运用了化归与转化思想，先通过探究在宏观上把握问题的一般规律，再将特殊问题破解.题型五：化归与转化思想的正难则反原则在解题中的体现化归与转化思想的正难则反原则在高中数学解题中的体现主要有：（1）间接证明方法中的反证法在解题中的运用；（2）概率问题中对立事件和互斥事件的概率公式的运用.例9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a １＝1+2姨，S 3＝9+32姨.（1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；（2）设b n ＝S n n（n ∈N 鄢），求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解析】（1）设公差为d ，由已知得ａ1＝2姨+1，3ａ1+3d ＝9+32姨姨，所以d ＝2，故a n ＝2n -1+2姨，S n ＝n （n +2姨）．（2）证明：由（1）得b n ＝S n n＝n +2姨.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r （p 、q 、r 互不相等）成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即（q +2姨）2＝（p +2姨）（r +2姨），所以（q 2-pr ）+（2q -p-r ）2姨＝0.因为p ，q ，r ∈N 鄢，所以q ２-pr ＝0，2q-p-r ＝0姨，所以（p+r 2）２＝pr ，（p-r ）２＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【评注】本题的解答的第（2）问中运用了反证法，先反设假定要证的结论不成立，而设出结论的反面成立，将这个反设作为条件，运用等比数列的定义和通项公式，通过推理，得出p ＝r 与已知条件相矛盾，所以反设错误，所以要证明的结论成立，反证法归属于间接证明方法，第（2）问运用了化归与转化的思想.例10.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A +B 发生的概率为____.【答案】23.【解析】掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P （A ）＝26＝13，P （B ）＝46＝23，所以P （B ）＝1-P （B ）＝1-23＝13，显然A 与B 互斥，从而P （A+B ）＝P （A ）+P （B ）＝13+13＝23.【评注】先由古典概型概率公式求出事件A 和事件B 的概率，再由对立事件概率公式求出事件B 的对立事件B 的概率，再由互斥事件概率公式，把事件A+B 的概率化归为求P （A ）和P （B ）的和，运用了化归与转化思想.责任编辑徐国坚31。
高中数学中“转化与化归”思想的应用
８ １０ ） ４ ０ ０
互 为反 函数 ， 图像 关 于 直线 ｙ 对称 ， ｙ 其 又 ：
Ｘ
的 图 像 也 关
于直 线ｙ ） ＝【 对称 ， 由 对称 性 知 ， 。 ２— ０ 故 ｘ－ ： ０ ８ ｙ ２
—
，
得ｘ ＝ ０ ８。 ２０
） 【 ２
２一 般 与 特 殊 的转 化 ． 辩 证 唯 物 主 义 认 为 ：矛 盾 的 普遍 性寓 于矛 盾 的特 殊 性 之 中 。 类 的 认识 活 动 。 是先 认 识 个 别 的 、 人 总 特殊 的事 物 ， 通 过 再 概 括 和推 理 来 认 识 一般 事 物 的。 多数 学 问 题 ， 特 殊情 况 与 很 其 般情 况 存 在 共 性 ，通 过 对 特 殊 情 况 的研 究 常 能找 出一 般 问 题 的 规律 ， 到一 般 问题 的 结论 。 以 ， 得 所 当问 题 不 易处 理 时 ， 我 们 可 以 考虑 它 的特 殊情 况 ， 而 推导 出一 般 的 结论 。 进
＝ … ＝
，
—
若 为 填 空 题 ， 只需 计 算 ｆ０ ＋（ ） 则 （ ）ｆ１＝ ， （） 令Ｃｘ：
Ｘ
； 为大题 ， 若 则
Ｚ
／ 一
：
解 析 ： 已知 得ｌ ＝ 由 ｇ ｘ
ｌｘ ￡ ） —０ ８ ｇ ，＇ ：２ ０ （
—
，
在 同一 坐 标 系下 作 出
ｌ （ ）ｆ１： ｆ ｆｏ ＋ （ ） ￣
所以． 此题 的结果为１０ 、 ２。 ０４ ／
３正 与 反 的 转化 ． ． 有些 问题 ． 面 人 手 情 况 复 杂 ， 时 考 虑 反 面 ， 可 使 问 正 这 则
转换与化归思想的应用
（ ）在 同一直角 坐标 内作 出函数 ） ｙ ｌｇｘ ２ 和 ＝ｏＪ ｌ 的图像 ，如 图 １由图易知 ， ． ） ｙ ｌ ４ ｌ 图像 与 ＝ｏ ｌ的 ｇｘ
在 ｌ１ ，０ ＿ ０ ］有 两个 交 点 ，在 ［， １］内有 ９个 交 ０ ０
（２ 由 已 知 易 求 Ｉ ） ｘ
、 ＋ ，ａ Ａ，所 以 Ｉ～２ ￣ ３ ／ ８ ∈ ｘ Ｉ ＝ ． １ Ｉ ｍ
、（ ／＂ ） 乱ｌ ｉ — ：ｉ
于此有 （） ｍ＋ｍ ２ ｍ ＋ ｍ － ） （ ∈【１ １） ： ｔ － ＝ ｔ（ ２ ≥０ － ，］
恒成 立 ｌｐ 目
一
问题 ，不等 式有解或恒成立问题常转化为求函数 的最
值 问题等等． ： ∈ ，】 如 Ｖｘ ６
的等价性．
） ≥０
） 一≥０ ；
∈
、
ａ ｂｄ ｘ ≥０ ，］ （） 仁 ） Ｉ 一≥Ｏ解答这 类问题 时 ， ． 注意转化
化过程 中前因后果是充分必要的 ，才保证转化后的结 果仍为原问题的结果．非等价转 化其过程是充分或必 要的 ， 要对结论进行必要 的修正． 因此在应用转换化归 时一定要注意转化 的等价性与非等价性 的不 同要 求 ，
二
（，） Ａ（ ，） ００和点 １１的距离之和， 出其最小值为ｘ ２． 易求 ／ 注： ①此题也可直接利用三角形不等式求解 ； ②变
是正四面体的高的｝．
ｌ Ｊ 点评 一般性 与特 殊性既相 互依存 ，又 可以相互
转 化 ，一 般 性 寓 于 特 殊 性 中 ，特 殊 性 又 离 不 开 一 般
ｕ［， ∞） ２＋ ．
高中数学中转化与化归思想方法
高中数学中转化与化归思想方法转化与化归思想是高中数学中非常重要的解题方法之一、它通过转化和化归问题的方式，将原问题转化为已知问题或相对简单的问题，从而更方便地解决问题。
接下来，我们将详细介绍转化与化归思想的基本原理、步骤和一些常见应用。
转化与化归思想的基本原理可以总结为两点：一是利用数学中的等价关系，将问题中的未知量或条件转化为已知量或更简单的条件；二是通过变量代换、形式转化等方式，改变问题的表达方式或结构，使其更适合我们已知的解题方法。
在具体解题过程中，我们可以按照以下步骤进行：1.通读题目，理解问题的要求和条件。
这一步非常重要，要确保我们对问题的内容和目标有清晰的理解。
2.找到问题中的关键信息和未知量。
这些信息和未知量通常会包含在问题的描述、条件或要求中，我们需要将其抽象出来并进行变量表示。
3.分析问题的性质和特点。
我们需要考虑问题的数学特征、结构和求解方法，以便选择合适的转化和化归方法。
4.进行变量代换或形式转化。
基于问题的性质和特点，我们可以选择合适的变量代换或形式转化方式，将问题转化为已知问题或者更简单的问题。
常用的方法包括平移到原点、找到对称性、消元法等。
5.解决转化后的问题。
一旦将问题转化为已知问题或相对简单的问题，我们可以利用已有的数学知识和解题方法来解决问题。
6.反向思考，回归原问题。
解决了转化后的问题后，我们需要反向思考，将解答归还给原问题，确保解答符合原有的要求和条件。
转化与化归思想在高中数学中的应用非常广泛。
1.几何问题。
几何问题中涉及的角、线段、面积等都可以进行变量代换和形式转化，从而简化计算和求解。
2.代数问题。
代数问题中的方程、不等式、函数等可以通过变量代换和形式转化来简化计算和解决问题。
3.概率问题。
概率问题中涉及到的事件、概率等可以通过变量代换和形式转化来简化计算和求解。
4.数列问题。
数列问题中的数列、通项公式等可以通过变量代换和形式转化来简化计算和求解。
总之，转化与化归思想在高中数学中是一种非常重要的解题方法。
转化与化归思想在高中数学教学中的应用分析
转化与化归思想在高中数学教学中的应用分析摘要：在数学思想中，转化与化归思想是最为重要的组成部分，需要教师和学生都能引起重视。
为了进一步提高转化与化归思想的渗透效果，教师应全面分析高中学生的学习特点，遵从转化与化归思想的具体原则，提供不同类型的典型例题，开展多样化的教学活动，借此锻炼学生的应用能力，提高其解题效率。
关键词：转化与化归思想；高中数学；应用策略引言：在核心素养的影响下，教师不应将教学内容限制在知识的讲解、技能的传授上，而是要让学生学习并掌握数学思想，学会运用数学思想分析并解决问题。
因此，在高中数学教学中，教师应在教学过程中逐步渗透转化与化归思想，带领学生全方位了解这一思想，并利用多类型的活动提高思想渗透效果。
一、转化与化归思想的相关概述（一）转化与化归思想的概念在数学学科中，转化和化归思想是一种至关重要、不可缺少的思想方法，指的是利用某种转化过程，将需要解决的陌生问题转变成利用所学知识可解决的问题，或者将原本复杂、抽象的问题变得更加简单明了。
在不断转化过程中，学生能逐渐将不规范、不熟悉、复杂多变的问题变成规范、熟悉以及简单的问题，灵活运用所学知识解决问题。
（二）转化与化归思想的原则第一，熟悉化原则。
这一原则指的是运用积累的经验、方法和知识，寻找与题目相似的其他题目，将新题目中的条件向着旧题目进行合理转化，尝试运用已学知识解决问题；第二，简单化原则。
这一原则指的是最大程度简化陌生的题目，剔除题目中的无效信息，避免多余信息的感染；第三，难反原则。
这一原则指的是在遇到无法正向解决的问题时，学生应尝试采用逆向推理的方式，倒推题目内容，直到发现已知量与问题之间的关系，找到解决问题的思路和方法。
二、转化与化归思想的应用策略（一）基于熟悉化原则应用转化与化归思想在遇到一个新的数学问题时，学生通常会产生模糊、陌生的感觉；在应用转化与化归思想后，学生通常能产生全新认知，开始尝试将新问题转变成旧问题，运用熟悉的解题方法进行全方位分析。
高中数学化归与转化的思想在解题中的应用
高中数学化归与转化的思想在解题中的应用一、知识整合1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。
2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。
从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。
3．转化有等价转化和非等价转化。
等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。
4．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
二、例题分析例1．某厂2010年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（）A. m>NB. m<NC.m=ND.无法确定[分析]每月的利润组成一个等差数列{a n}，且公差d＞0，每月的投资额组成一个等比数列{b n}，且公比q＞1。
研究转化与化归思想在高考数学解题中的应用
研究转化与化归思想在高考数学解题中的应用摘要：转化与化归思想在高考数学解题中应遵循的原则有熟悉原则、直观性原则、和谐性原则。
为了提高高考数学解题效率，教师应用转化与化归思想时可从应用化归与转化思想将平面向空间转化、特殊向一般转化、陌生问题向数学转化等方面着手，提高学生解题效率。
关键词：转化与化归思想；高考；数学解题；应用自从实施新高考制度后数学试题的综合性明显提高，且贴近我们的日常生活，教师要引导学生解决数学问题时从本质上把握试题考察的要点，让数学试题的条件从陌生向熟悉转变，向数学知识与方法转变，这也是学生学习数学学科最基本的方法。
因此，教师在高考解题教学中可以指导学生应用转化与化归思想，降低解题难度，提高解题准确率。
1转化与化归思想在高考数学解题中应遵循的原则从本质上来说，转化与化归思想就是对各种联系进行把握，实现有效转化的目标，高效地解决问题。
转化的过程中通常有两种方法，一个是等价转化，另一个是非等价转化。
从非等价转化方面分析，受到条件方面的限制，若没有严格地规范条件，容易出现失去原有意义的问题。
这就要求就是在数学解题教学中应用转化与化归思想时提高重视，遵循以下几个方面的原则[1]。
1.1熟悉原则对高中数学难题进行解决时，教师可以将不熟悉与陌生的内容向熟悉的问题转变，明确解题思路，发挥现有知识点的作用，结合丰富的解题经验解决问题。
高中数学教学中有不少内容都是可以互相转化，给新旧知识建立联系，及时解决问题。
1.2直观性原则数学问题具有抽象复杂的特点，若缺乏优良的思维，无法解决数学难题。
将复杂抽象的数学问题向易于理解的内容转变，这种原则更多在图像与函数关联中凸显。
数学问题具有复杂抽象的特点，若将其向复杂抽象的问题转变，可以快速地解决数学问题。
1.3和谐性原则和谐原则的开展就是让化归问题逐步得到解决，同时得到相应的结论，和数形内部的主要形式构成统一[2]。
对于命题的转化，必须确保推理演变后快速找到问题的解决方法，转化时严格按照一定的思维规律，促进其更好地理解相关知识。
浅谈转化与化归的数学思想方法在高考数学中的应用
解 ： Ｂ， 的坐 标 分 别 为 （ ， （ ， 则 ＝ ａ ３ ｂ 设 Ｄ ｘ Ｙ）ａ ｂ） （＋ ，一２） ， ２利用反证法 的思想来实现转化 一１ Ｘ， Ｙ 如 果 一 个 命 题 从 正 面 解 决 不 好 入 手 或 比较 麻 烦 ，可 以从 命 题 的 《 一 ３一 ） 反面 入 手 来 解 决 。 ： 明命 题 的 唯 一 性 、 理 性 ， 如 证 无 或所 给 的命 题 以否 在 平 行 四边 形 Ａ Ｃ 中 ， ＝ Ｂ Ｄ Ｃ Ｂ 定形 式出现（ ： 存在、 如 不 不相 交等 ）并 伴 有 “ 少 ” 不都 ”都 不 ” 没 ， 至 “ “ “ （＋ ｂ ａ ３， 一２） 一１ Ｘ， Ｙ ＝（ 一 ３一 ）
知
函数 ｙ ｆ ）ｘ Ｊ ２ Ｉ Ｒ上 的最小值 为 ２ 。 ＝（＝ ＋ｘ ｃ在 ｘ 一 ｃ 不等式 ｘ Ｊ ２１１ ＋ 一 ｃ 的解集为 Ｒ￣ ｃ １ ＞Ｉ。 ｘ ＞ ￣２ ＞ 甘ｃ
如 果 Ｐ正确 且 Ｑ 不 正确 ， Ｏ ｃ 则 ＜＜Ｉ
ｆ
‘ ． ．
３ ， ３２， Ｄ在椭圆 ） 一 ，） （ 点
题 ， 能 建 立 描述 其 数 量特 征 的 函数 表 达 式 ， 如 或列 出表 示 其 数 量 关 系 的 方程 式 （ ）包 括 不 等式 （ ）， 一 般 可 使 问题 得 到解 答 。 组 （ 组 ）则 例 ４ 已知 平 行 四边 形 ＡＢ Ｄ 中 ，点 Ａ， 的 坐 标 分 别 为 （ １ 、 Ｃ Ｃ 一 ，
Ｑ： 不等式 ｘ Ｊ ２ ｊ ＋ｘ ｃ 一 ＞１的解集 为 Ｒ
铮 函数 ｙ ｆ ）ｘ ｌ ２ｌ Ｒ上恒大于 １ ＝（ ＝ ＋ 一 ｃ在 ｘ ｘ 。
…
‘ ． ．
４利用 函数与方程的思想来实现转 化 函数 与 方程 的思 想 是 求 数 量 关 系 的 主要 思想 方法 。 一 个 数 学 问
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高中数学中转化与化归思想的应用
【摘要】转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.
【关键词】高中数学；转化与化归；应用
转化与化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想
方法，化归与转化是通过某种转化过程，把待解决的问题或未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题或者容
易解决的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单的问题.
一、换元法
点评否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可，一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.
转化与化归思想遵循的原则：
（1）熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知
的知识和经验来解决.
（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过??简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.
（3）和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.
（4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.。