107484-概率统计随机过程课件-第八章(第四节)
随机过程课件
1
m X (t1 )][ x2 m X (t 2 )] f ( x1 x2 ; t1 , t 2 )dx1dx 2 f ( x1, x2 ; t1 , t 2 )dx1dx 2
x x
1 2
X(t) 协方差与相关函数的关系为 当 mx (t ) 0 时 C X (t 1 , t 2 ) R X (t 1 , t 2 ) 在协方差定义中取t1=t2=t,就有
为XT 的均值函数或数学期望。其中F(x,t)是过程 的一维分布函数。 若是连续型随机变量，有 mX (t) xf(x,t)dx 其中f(x,t)是一维分布密度。 12
2．随机过程的方差 若 DX (t) 2 (t) E[X(t) mX (t)]2 存在，t∈T， X 称为X（t）的方差。 x (t) Dx (t) 称为X（t）的标准差。 它们描绘过程的样本曲线在各个t时刻对均 值 m X ( t ) 的离散程度， 对每个t1∈T， EX (t1 ) 反映t1状态取值的概率平均。 DX (t1 ) 反映t1状态取值与 EX (t1 ) 离散程度。 在工程中随机过程的均方值具有物理意义，比 较有用。均方值定义为： E[ X 2 (t )] X (t ) DX (t ) E( X 2 (t )) E 2 ( X (t )) 有关系式： 13 Dx (t ) x (t ) [mx (t )]2 即
第一章. 随机过程的基本概念
§1.1 随机过程及其概率分布
在实际问题中，有时需要对随机现象的变化进 行研究，这时就必须考虑无穷个随机变量或一族 随机变量, 我们就称这种随机变量族为随机过程。 例1: 生物群体的增长问题。在描述群体的发展 或演变过程中, 以 Xt 表示在时刻 t 群体的个数, 则 对每一个 t ，Xt 是随机变量。假设我们从 t ＝0 开 始每隔24小时对群体的个数观测一次, 则{Xt , t ＝0, 1, 2, ...}是一个随机过程。 例2: 电话呼唤问题。某电话总机在[0，t]时间 内收到的呼唤次数用 Xt 来表示, 则对于固定的 t ， 1 Xt 是随机变量。于是{Xt , t ∈[0, ∞)}是随机过程。
随机过程的基本概念ppt课件
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
也称为归一化协方差函 数或标准协方差函数。
相关系数： rX()KXX 2 ()RX()X 2mX 2
相关时间：
0
0 rX()d
rX ( )
1
rX(0) 0.05
0
0
相关时间示意图
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
fX(x1,x2,t1,t2)2FX(xx11,xx22,t1,t2)
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
.
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n )co s( n/1 0 )
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
• 协方差函数
K X ( t 1 , t 2 ) E { [ X ( t 1 ) m X ( t 1 ) ] [ X ( t 2 ) m X ( t 2 ) ] } （1）如果 KX(t1,t2)0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。
.
2.3 平稳随机过程
一、定义
(1)严格平稳随机过程
f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n ) f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n )
一维概率密度： fX(x,t)fX(x)
二维概率密度： fX (x 1 ,x 2 ,t1 ,t2 ) fX (x 1 ,x 2 ,) t1 t2
接收机噪声
5
x1(t) 0
随机过程课件PPT资料(正式版)
☞随机事件：样本空间的子集,常记为 A ,B ,…它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
排队和服务系统 ◙A∩勤B 奋⇔、A刻B ：苦A、与合➢B作的、积探事索件；； 更新过程 为从事科学研究打下坚实的基础；
☞抽取的是精装中➢文版数学书 ⇒
➢ 时间序列分析
➢ 鞅过程
绪论
《随机过程》基础
概率(或然率或几率) ——随机事件出现的可能 性的量度；
概率论其起源与博弈、 、天气预报等问题有 关
⊕16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题；
⊕17世纪中叶，「现有两个赌徒相约赌若干 局，谁先赢S局就算赢了，当赌徒A赢K局(K<S)， 而赌徒B赢L局(L<S)时，赌博中止，赌资应怎 样分才合理呢？」
随机过程课件
《随机过程》
➢ 教材： ◙ 张卓奎,陈慧婵，随机过程.西安电子科技大 学.2003.
➢ 主要参考文献： ◙ 胡奇英编著,随机过程.西安电子科技大学.1998. ◙ 周荫清 ,随机过程习题集. 清华大学出版社, 2004. ◙ 林元纟金烈 ,应用随机过程. 清华大学出版社, 2002.
……
➢ 随机过程理论在社会科学中例如在社会统计， 学、经 济、金融工程、管理中也得到极其广泛的应用。
➢ 为从事科学研究打下坚实的基础；
绪论
教学目标
➢ 充分理解、熟练掌握教材的内容 ◙ 熟练掌握基本的数学概念和定理；
◙ 熟练掌握随机过程研究对象的数学描述；
Hale Waihona Puke ➢ 通过学习和练习，具备一定的分析、解决本专业具体 问题的能力；
☞拉普拉斯曾说：“生活中最重要的问题，其中 绝大多数在实质上只是概率的问题”。
☞概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。 在实际中，人们往往还需要研究在时间推进中某 一特定随机现象的演变情况，描述这种演变的就 是概率论中的随机过程。
随机过程课件.ppt
随机过程的统计描述 二 有限维分布族
两种描述
分布函数 特征数
设随机过程X (t),t T,对每一固定的t T ,随机变量X (t)的分布函数与t有关， 记为FX (x,t) PX (t) x，x R，称它为随机过程X (t),t T的一维分布函数 FX (x,t),t T称为一维分布函数族
为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计联系， 一般地，对任意n(n 2,3,L )个不同的时刻，t1,t2,L tn T
研究生课程
随机过程
汪荣鑫编 主讲教师：田ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ俊
2013年9月
第一章 随机过程基本概念
第1节 随机过程及其概率分布
1）随机过程概念 随机过程被认为是概率论的“动力学”部分，即
它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从 多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。
自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类： 确定性过程：事物变化的过程可用时间的确定函数表示；
4
x1 (t )
3
2
1
t1' t1 t2 t2' t3 t3' t4' t4
t
4
例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：
(1) 设X n是第n次(n 1)抛掷的点数，对于n 1, 2,L 的不同值，
X n是随机变量，服从相同的分布，P( X n
i)
1 6
,i
1, 2,3, 4,5, 6
因而X n , n 1构成一随机过程，称为伯努利过程或伯努利随机序列,
它的状态空间为1,2,3,4,5,6。
(2) 设Yn是前n次抛掷中出现的最大点数,Yn , n 1也是
一随机过程，它的状态空间仍是1, 2,3, 4,5, 6。
概率论与随机过程----第八讲
E / B PB
i i i 1
n 则： E Bi E Bi E B E / B PB i 1 i 1
n
附注：（ 1 ）E / B 的实际意义为 在B上的平均值； E B B ＝ PB PB
R 1
R 1
B dP P
B
定理3.3.（随机变量函数的数学 3 期望问题）设是（Ω,F, P）上的随 机变量，其分布函数为 F x ，g是R 1上的有限实可测函数， 则 g 的数学期望存在 g x 在R 1关于PF （或F x ）的积分存在，且： E E g
n 即E E E / Bi Bi i 1
— —全数学期望公式
i i
当 A，P A
PA / B PB — —全概率公式
i 1
n
2、随机变量 关于随机变量 x的条件数学期望 前面给出了在 x条件下的条件分布函数为 F / y / x ，由F / y / x 可以构造 B 1 上的L S测度，记为 P B / x ，B B 1 。我们将F / y / x 简记为 F y / x ，考虑积分
13
i 1, , n，且Bi i 1, , n 是B的一个划分，则： PB E / B E / Bi PBi
i 1 n
定理3.5.2 ( 全数学期望公式) 设Bi F，PBi 0，
特别地，当 Bi ，有：
i 1 n
2017/2/27
g xdFx
北京邮电大学电子工程学院 7
随机过程PPT课件
4、自相关序列性质
◆ 若平稳随机序列不含任何周期分量，则
lim
m
RX
(m)
RX
()
mX2
lim
m
K
X
(m)
K
X
()
0
◆ 如果Y (n) X (n n0 )，其中n0为某一个固定的离散时刻， 则有RY (m) RX (m)，KY (m) KX (m)
◆ K X (m) RX (m) mX2
概率密度函数
2020/2/18
fX (x1, x2,L
, xN ;1, 2,L
, N)
N FX (x1, x2,L , xN ;1, 2,L x1x2 L xN
, N)
3
4.1 离散时间随机过程基本概念
二、概率分布
4、相互独立
FX (x1, x2 ,L , xN ;1, 2,L , N ) FX (x1;1)FX (x2; 2)L FX (xN ; N )
FXn (xn; n) xn
概率分布函数 FXn (xn, xm;n, m) PXn xn, Xm xm
概率密度函数
3、n维情况
fXn
( xn
,
xm ;
n,
m)
2 FXn
(xn , xm; xnxm
n,
m)
概率分布函数 FX (x1, x2,L , xN ;1, 2,L , N) PX1 x1, X2 x2,L , XN xN
线性独立的含义是随机序列X n和Ym中的任意两个随机变量都互不相关。
统计独立一定线性独立，反之不一定
2020/2/18
随机过程
标准教材：随机过程基础及其应用/赵希人，彭秀艳编著索书号：O211.6/Z35-2备用教材：（这个非常多，内容一样一样的）工程随机过程/彭秀艳编著索书号：TB114/P50历年试题（页码对应备用教材）2007一、习题0.7（1）二、习题1.4三、例2.5.1—P80四、例2.1.2—P47五、习题2.2六、例3.2.2—P992008一、习题0.5二、习题1.4三、定理2.5.1—P76四、定理2.5.6—P80五、1、例2.5.1—P802、例2.2.2—P53六、例3.2.3—P992009（回忆版）一、习题1.12二、例2.2.3—P53三、例1.4.2与例1.5.5的融合四、定理2.5.3—P76五、习题0.8六、例3.2.22010一、习题0.4（附加条件给出两个新随机变量表达式，间二、例1.2.1三、例2.1.4四、例2.2.2五、习题2.6六、习题3.3引理1.3.1 解法纠正 许瓦兹不等式()222E XY E X E Y ⎡⎤⎡⎤≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明：()()()()222222222220440E X Y E X E XY E Y E XY E X E Y E XY E X E Y λλλ +⎡⎤⎡⎤=++≥⎣⎦⎣⎦∴∆≤⎡⎤⎡⎤∴-≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤∴≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦例1.4.2 解法详解已知随机过程(){},X t t T ∈的均值为零，相关函数为()121212,,,,0a t t t t et t T a --Γ=∈>为常数。
求其积分过程()(){},t Y t X d t T ττ=∈⎰的均值函数()Y m t 和相关函数()12,Y t t Γ。
解：()0Y m t =不妨设12t t >()()()()()()1212222112121122122100,,Y t t t t t t t t t EY t Y t E X d X d d d τττττττττΓ===Γ⎰⎰⎰⎰()()()()()222121122221222112222212221212121212000220022002200222211||111111||211t t t a a t t a a a a t t t a a at a t a at t a t t at at ed d ed de d e d a ae d e d a a t t e e a a a a t e e e a aττττττττττττττττττττττττ--------------=+-=+=---=+-+⎡=++--⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎤⎦同理当21t t >时()()2112112221,1a t tat at Y t t t e e e a a----⎡⎤Γ=++--⎣⎦ （此处书上印刷有误）例1.5.5解法同上例1.5.6 解法详解 普松过程公式推导：(){}()()()()()()()()()()()1lim !lim 1!!!1lim 1!!lim 1lim !lim lim !N k N N kkN N kkN N kN kq tqtN N kN kk k N N P X t k C P N q t q t k N k N q t q t N k k q t eeN N Nq t q t N k N →∞-→∞-→∞---∆-→∞→∞-→∞→∞===-∆∆-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-∆==⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⋅∆=∆⎢⎥--⎣⎦第一项可看做幂级数展开：第二项将分子的阶乘进行变换：()()()()!lim 1N k kk k k k N q t N qt qt -⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=∆⋅=⋅=(){}()()()()!1lim 1!!!N k kN kqtP X t k N q t q t N k k qt e k -→∞-∴=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦=例2.1.2 解法详解设(){},X t t -∞<<+∞为零均值正交增量过程且()()2212121,E X t X t t t t t -=->⎡⎤⎣⎦，令()()()1Y t X t X t =--，试证明(){},Y t t -∞<<+∞为平稳过程。
随机过程 课件
fY
y
f
X
0
h
y
h
'
y , y
其它情况
，
h(y)是g(x)的反函数， min g x ， max g x 。
1.2 二维随机变量及其概率分布
1.2.1 分布函数
定义1：二维分布函数
设X，Y为定义在同一概率空间 S,, P 上的两个随机变量，
则（X，Y）称为二维随机变量，对任意 x, y R ，令
，则n维向量 Y Y1,,Yn 的概率密度函数为
fY
y
fX hy
h
y
h1
h
y
y1
hn
y1
hn yn
hn yn
1.4 随机变量的数字特征
1.4.1数字期望（expected value, probabilistic average, mean） 1、一维随机变量的数学期望
E
X
x xpX
xf
则
P n1
An
n1
P
An
则称P(A)为事件A出现的概率，称(S, Ω, P)为一个概率空间。
定义2：随机变量
设已知一个概率空间 S,, P ，对于 s S ， X(s)是一个取实数值的单值函数，若对于任意实数x，s : X s x 是一个随机事件，也就是 s : X s x ，则称X(s)为随机变量。
1.3.2 边沿分布
F xk F ,, xk ,,
1.3.3 独立性
定义2：如果 P X1 x1,, X n xn P X1 x1 P Xn xn
，则 X1,, X n 是相互独立得。
离散型：
P X1 x1,, X n xn P X1 x1 P X n xn
《概率论》ppt课件
对于固定的 n ，我们称{FX (x1, x2, , xn;t1,t2, ,tn ),ti T}
为随机过程{X (t),t T}的 n 维分布函数族。
注:可以证明（柯尔莫哥洛夫），在一定条件下 ，随机过程的统计特性完全由它的有限维分布函 数族决定。
（二）二维随机过程的联合分布函数
p
2 (1, )
2 1 2
(0, 1 ) 4
1
2
三 随机过程的数字特征
1.单个随机过程的情况
① 函数 X (t) E[X (t)], t T
为{X(t),tT}的均值函数.
②
2 X
(t)
E[ X
2
(t )]
为{X(t),tT}的均方值函数.
③
2 X
(t
)
DX (t) D[ X (t)]
为{X(t),tT}的方差函数.
例3: 考虑抛掷一颗骰子的试验，(i)设 X是n 第n次 （n ）1 抛掷的点数，对于n=1,2…的不同值, 是X不n 同的随机变量，因而 { Xn构, n成 1一} 随机过程，称为 贝努利过程或贝努利随机序列，(ii)设Xn是前n次
抛掷中出现的最大点数，
也{是X一n , n随机1}过程。
例 4 在时间 [0,t]内某地段出现的交通事故次数
2. n维分布函数族
对 任 意 正 整 数 n 可 取 定 t1,t2, ,tn T 则 (X (t1), X (t2 ), , X (tn )) 是一个n 维随机变量，他的分 布函数为
FX (x1, x2 , , xn; t1, t2, , tn )
P( X (t1) x1, X (t2 ) x2, , X (tn ) xn ),
概率统计与随机过程.ppt
双边检验
第一步 提出假设 H0: =0(原假设); H1: 0(备选假设).
第二步 构建检验统计量
U X 0 ~ N 0,1
/ n
第三步 确定拒绝域
P{| U
|
z1
2
}
u
(, z12
)
(z12
, )
第四步 由样本提供的信息计算出 u x 0 的值,
n 1 2
25
所以，该体院男生脉搏的95%的置信区间为 [66.1 , 71.1]
例1 某糖厂有一台自动打包机打包, 额定 标准每包质量为100kg. 设包质量服从正态 分布,且根据以往经验, 其方差2＝(0.4)2. 某天开工后, 为检查打包机工作情况, 随机 地抽取9包,称得质量(单位：kg)如下：
从性能上看, 估计折断力的方差不会发生变化, 问这批铜丝的折断力是否比以往生产的铜丝的 折断力较大？(取=0.05)
解：(1)假设 H0 : 570 H1 : 570
(2)计算统计量 x 570 的值，
/ n
x 先算出 ＝575.2
x 570 575.2 570 2.055
由第七章定理四得 T x ~ tn 1 s/ n
所以在H0为真时,
T
x 0
~
tn 1
s/ n
类似于前面的讨论，采用双边检验，对于给
定的检验水平，查t(n-1)表得
t
n 1
1
2
使得
P{T t (n 1)} 1
1 2
2
P{| T | t1 (n 1)} 1
《随机过程教程》PPT课件幻灯片PPT
主要教学成果
编写出版了教材?通信与信息工程中的随 机过程? 开设的?随机过程?课程2002年12月被评为 江苏省优秀研究生课程 至今培养了7名硕士研究生获得硕士学位， 目前正在指导13名硕士研究生 协助指导5名博士研究生获得博士学位 指导本科毕业设计20名
教学理念
教者方面 认真、尽职 教的过程也是学的过程 学者方面 “贤良、喜悦、勤奋〞可使学习者臻于完善的 境地 共同方面 互换角度、互相尊重 互相配合、互相理解、互相学习
科研方向
主要科研方向
无线通信中的各种信号处理问题 无线通信系统中的无线资源管理问题
具体涉及的研究领越
DS/CDMA通信系统中的多用户检测 智能天线技术 MIMO系统中的空时编码技术 HSDPA技术 无线网络规划
完成的科研工程
1997年1月到12月，作为工程负责人完成了国 家863高技术开展工程“多址干扰抑制技术〞 1998年4月到2001年3月，作为工程技术负责人， 完成了本室与芬兰NOKIA移动 公司的国际合作 工程“移动通信中的新方法〞 2001年7月到2002年5月，作为工程负责人，完 成了深圳华为公司的委托工程 “WCDMA/HSDPA系统仿真分析〞
科研方向主要科研方向?无线通信中的各种信号处理问题?无线通信系统中的无线资源管理问题具体涉及的研究领越?dscdma通信系统中的多用户检测?智能天线技术?mimo系统中的空时编码技术?hsdpa技术?无线网络规划完成的科研项目1997年1月到12月作为项目负责人完成了国家863高技术发展项目多址干扰抑制技术1998年4月到2001年3月作为项目技术负责人完成了本室与芬兰nokia移动电话公司的国际合作项目移动通信中的新方法2001年7月到2002年5月作为项目负责人完成了深圳华为公司的委托项目wcdmahsdpa系统仿真分析2001年4月至今作为项目技术负责人负责本室与芬兰nokia移动电话公司的国际合作项目3g以后系统的基带算法研究2003年1月至今作为项目负责人正在进行深圳华为公司委托的开发项目hsdparrm调度算法建模和网络规划的建模2003年2月至今作为项目负责人正在进行和中国移动集团总公司的委托研究项目ngsobsss卫星系统和地面wcdma系统的干扰分析2002年9月至今作为项目副组长负责国家863高技术发展项目新型天线和分集技术研究的基带研究部分在研的科研项目主要教学成果编写出版了教材通信与信息工程中的随机过程开设的随机过程课程2002年12月被评为江苏省优秀研究生课程至今培养了7名硕士研究生获得硕士学位目前正在指导13名硕士研究生协助指导5名博士研究生获得博士学位指导本科毕业设计20名教学理念教者方面?认真尽职?教的过程也是学的过程学者方面?贤良喜悦勤奋可使学习者臻于完善的境地共同方面?互换角度互相尊重?互相配合互相理解互相学习一张去年的照片内容提要教者简介所教内容简介教学方式约定考核方式劝勉勤奋学习随机过程的内容随机对象
《随机过程》课件
泊松过程
定义
泊松过程是一种计数随机过程，其事件的发生是 相互独立的，且具有恒定的平均发生率。
例子
放射性衰变、电话呼叫次数、交通事故等。
应用领域
物理学、工程学、保险学等。
03
随机过程的变换与函数
随机过程的线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量或随机向量乘以一个常数 或矩阵，并加上另一个常数或矩阵。
应用
微分在随机过程的理论和应用中非常重要，例如在金融 领域中，可以通过计算股票价格的导数来预测股票价格 的变动趋势。
积分的定义
随机过程的积分是指对随机过程中的每个时间点，将该 点的随机变量进行积分。
积分的性质
积分运算可以改变随机过程的统计特性，例如期望、方 差和协方差等。
应用
积分在随机过程的理论和应用中也有重要应用，例如在 信号处理中，可以通过对信号进行积分来提取信号的特 征或进行信号的合成。
连续随机过程
01
定义
连续随机过程是在时间或空间上 连续取值的随机现象的数学模型 。
02
03
例子
应用领域
电子信号、温度波动、随机漫步 等。
物理、工程、金融等。
马尔可夫过程
定义
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程，其未来状态只依赖于当前 状态，与过去状态无关。
例子
赌徒输赢的过程、天气变化等。
应用领域
统计学、计算机科学、人工智能等。
将随机信号视为随时间变化的随机变量序列，具有时间和概率的统 计特性。
随机模型
根据实际需求建立信号的随机模型，如高斯过程、马尔可夫过程等 。
信号的滤波与预测
滤波器设计
根据随机模型设计滤波 器，用于提取有用信号 或抑制噪声。
随机过程_课件
第一章 概率论基础1.从传统的长度概念说起1.1 区间（a,b ）、[a,b]等都有长度，用字母L 表示,而且知道L (a,b)=b-a我们进而认为(*)L 是一种（函数）运算，自变量*为一维数轴上的区间，显然，(*)L 应满足：（1） L(*)0≥非负性；（2）有限可加性；（3）甚至要求满足可列可加性∑∞=∞==11)()(n n n n I L I L我们提出问题1：区间I 作为R 的子集，具有长度，那么R 的一般子集E 也有长度吗？答案是否定的。
因为传统长度是集合的右端点与左端点之差值，而只有区间这种集合才有端点。
问题2：是否可以推广L 为某*L 作为一般点集E 的长度呢？当然可以适当推广L 成为某种运算*L ，用以作为更广泛的一类集合（包含全体区间）的“长度”。
但是，事实表明，无论怎样改进*L ，都无法适应R 的全体子集。
1.2长度L 向某*L 推广的直接动力是，人们发现了Riemann积分的缺陷并希望加以改进。
Riemann 积分的缺陷1：()ba f x dx ⎰也可写成[,]()ab f x dx ⎰，积分符号的右下角就是积分区间，也就是积分范围，此范围不可以是一般的实数点集，只能是区间。
缺陷2：按照黎曼积分的定义（工科高数教材）：（1）分割区间[,]a b 成为若干小区间1[,]k k xx -，1,2,,k n = （2）任意取小区间1[,]k k x x -的点k ξ，求值()k f ξ，进而得到第k 个小矩形的面积()k k x f ξ∆（3）做和1()n k k k x f ξ=∆∑，也即全体小矩形面积之和（4）01lim ()n k k k x f λξ→=∆∑，这一步是对前三步工作的无穷细化。
这种方法的核心思想是微小范围内以直代曲，例如，第k 个小矩形的面积应是()k x f x dx ∆⎰，但这里却以()k k x f ξ∆加以代替，依据是在很小区间1[,]k k x x -上，函数()f x 的变化不大，可以近似看成常数()kf ξ。
概率统计课件 随机过程
n 个元素: t1,t2 , ,tn , 过程的 n 个状态:
X (t1) X (e,t1), X (t2 ) X (e,t2 ), , X (tn ) X (e,tn )
( n 个随机变量)的联合分布
F (x1, , xn ;t1, ,tn ) P{X (t1 ) x1, , X (tn ) xn}
一. 随机过程的概念 概率论复习： 随机试验 E , 样本空间 S {e}. 随机变量 X X (e) ,分布函数F(x) ； 二维随机变量 (X ,Y ) ，联合分布函数F(x, y)
n 维随机变量 (X1, X 2,, X n )，联合分布
函数 F (x1, x2 , , xn )
为了研究随机现象,引入了上述这些概念工具.但 这些还不够用,还有一些随机现象,上述工具无法描述.
数学期望(均值)
EX
xf X (x)dx
xf (x, y)dxdy
E[g( X ,Y )] g(x, y) f (x, y)dxdy
二阶原点矩
EX 2
x2
f
X
(x)dx
x 2 f (x, y)dxdy
方差
DX
E( X EX )2
(x
EX
)2
f
X
(x)dx
EX 2 (EX )2
,
t
' n
)
FX
(x1, ,
xm ; t1, , tm )
FY
(
y1 ,
,
yn
; t1' ,
,
t
' n
)
都成立,则称两个随机过程相互独立.
《随机过程》PPT课件
主要内容
随机过程的定义
随机过程的分类
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和非平稳随机过程 按照是否具有记忆性分为纯粹随机过程、Markov过程、独 立增量过程 按照一阶变差是否有限分类：若随机过程{t}t≥0的一阶 变差有限，称为有界变差过程。 按照二阶矩是否有限分类：若随机过程的均值和方差都有 限，称为二阶矩过程，例如前面提到的宽平稳过程。 3 按照概率分布特征分类：如Weiner过程，Poission过程等。
随机过程的分类——平稳随机过程
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和
非平稳随机过程
统计特性不随时间变化而变化的随机过程，
称为平稳过程，否则，统计特性随时间变化而变化
的随机过程，称为非平稳过程。
平稳过程的严格定义为：对于时间t 的n个
任意的时刻t1,t2,…,tn 和任意实数C，若随机过程
{t }t≥0的分布函数满足
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的 变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义 的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的， 而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现 为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果 关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。12
宽平稳的不变性表现在统计平均的一、二阶
矩上，而平稳过程的不变性表现在统计平均的概率
分布上，所以二者不同，并且不能由平稳随机过程
得到宽平稳随机过程。二阶矩存在的平稳随机过程
一定是宽平稳随机过程。
6
§3.1 时间序列的平稳性及其检验
一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的单位根检验 四、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
随机过程课件pdf
1．2
一、随机变量
随机变量及其概率分布
（用数学的方法研究随机试验，将实验结果与实数相对应）
1． 定义
设 (Ω, F, P ) 为一概率空间， X (ω ) 是一个定义在 Ω 上的实函数【对每一个实验结果 ω ∈ Ω ，有一个实数
X (ω ) 与 之 对 应
， X (ω ) 是 定 义 在 Ω 上 的 实 单 值 函 数 （ 定 义 域 Ω ， 值 域 为 实 数 ） 】 ，如果
3．随机矢量（多维随机变量）
一个随机试验的结果用多个随机变量描述 或多个随机变量按一定的顺序排列起来 如电流信号的振幅、相位、角频率，三维随机变量 一个 n 维矢量表示为 X = [ X 1 , X 2 ,... X n ]
二、概率分布
1．概率分布函数（累积分布函数）cumulative distribution function
6．概率公理
设样本空间 Ω 是一个任意给定的非空集合，事件的全体 F 是 Ω 的某些子集组成的一个事件 σ 域。 如果 P 是 F 上的一个实值函数，即每一个 A ∈ F ，有一实数 P( A) 与之对应，且满足 ① 非负性 ② 规范性
∀A ∈ F , P( A) ≥ 0 ；
P (Ω ) = 1 ；
2
随机过程讲义
山东大学信息科学与工程学院
2011-09
③ 可列可加性
若 Ai ∈ F ，且 i ≠ j 时 Ai A j = φ ，i, j =1,2,…, 两两不相容的事件
P (∪ Ai ) = ∑ P ( Ai )
i =1 i =1
∞
∞
则称 P 是（ Ω ，F ）上的一个概率测度， P( A) 为事件 A 的概率，而（ Ω ，F ，P）称为概率空间。
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第四节正态分布均值和方差的 区间估计我们知道，正态随机变量是最为常见的，特别是很多产品的指标服从或近似服从正态分布。
因此,我们主要研究正态总体参数的区间估计。
先研究均值的区间估计，然后再研究方差的区间估计。
这些在实际应用中是很重要的.一：均值EX 的区间估计 下面分两种情况进行讨论。
1． 方差DX 已知，对EX 进行区间估计设总体),(~2σμN X ，其中2σ已知。
又nx x x ,,,21为来自于总体的样本。
由第七章第三节中的结论可知),(~)x (121nN x nx nσμ++=-于是 )1,0(~/N nx U σμ-=-, 由标准正态分布可知， 对于给定的α， 可以找到一个数21α-z ，使21)(}{2121ααα-=Φ=≤--z z U P ,αα-=≤-1}|{|21z U P ,ασμα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤---1/21z n x P , 即ασμσαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤-----12121n zx nz x P ,也就是说，μ落在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-----n z x nz x σσαα2121,内的概率为α-1。
区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-----n zx nz x σσαα2121, , (8.11)即为μ的置信区间。
称21α-z 为在置信度α-1下的临界值，或称为标准正态分布的双侧分位点。
当α＝0.05时，查标准正态分布表得临界值975.021z z =-α＝1.96，此时μ的置信区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---n x n x σσ96.1,96.1 当α＝0.01时，查标准正态分布表得临界值995.021z z =-α＝2.58，此时μ的置信区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---n x n x σσ58.2,58.2 从上可知，α越大，则α-1越小,置信区间越小，(精度高,难于办到),μ落在区间内的把握也就越小。
因此，在实际应用中，要适当选取α。
例1：已知某种滚珠的直径服从正态分布，且方差为0.06，现从某日生产的一批滚珠中随机地抽取6只，测得直径的数据（单位mm ）为 14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1试求该批滚珠平均直径的95％置信区间。
解 当α＝0.05时，95.01=-α,查表得975.021z z =-α＝1.96 ,95.14)1.152.158.149.141.156.14(61=+++++=-x , 06.0,06.02==σσ, 6=n 于是nx σ96.1--＝14.95－1.9675.14606.0=， =+-nx σ96.114.95+1.9615.15606.0=，故所求置信区间为[]15.15,75.14。
对于不是服从正态分布的总体，只要n 足够大，则由中心极限定理，随机变量nDX EXX Y -=近似地服从标准正态分布，因此仍然可以用⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-----n DX z x nDXz x 2121,αα 作为EX 的置信区间，但此时仍然又多了一次误差。
2． 方差DX 未知，对EX 进行区间估计上面的讨论是在DX 已知的情况下进行的，但实际应用中往往是DX 未知的情况。
设nx x x ,,,21为正态总体),(2σμN 的一个样本，由于2σ未知，我们用样本方差2s 来代替总体方差2σ，),(~)(1221nN x x x n x n σμ+⋅⋅⋅++=, )1,0(~N nx U σμ-=,212)(11x x n s ni i--=∑=,)1(~)1(222--=n s n V χσ,独立与V U ,根据第七章定理四，统计量)1(~)1(/--=-=-n t n VU n s x T μ.于是，对给定的α，查t 分布表可得临界值)1(21--n t α，使得{}21)1(21αα-=-≤-n t T P ,αα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-1)1(21n t T P , αμα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤---1)1(/21n t n s x P , 即αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+≤≤------1)1()1(2121n s n t x n s n t x P ,故得均值μ的置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+------n s n t x n s n t x )1(,)1(2121αα,(8.12)当9,05.0==n α时，查t 分布表得临界值)8()1(975.021t n t =--α＝2.306。
因此，在方差2σ未知的情况下，μ的置信区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---9306.2,9306.2s x s x . 例2 设有某种产品，其长度服从正态分布，现从该种产品中随机抽取9件，得样本均值-x ＝9.28（cm ），样本标准差s ＝0.36（cm ），试求该产品平均长度的90％置信区间. 解：当9,10.0==n α时，查t 分布表得)1(21--n t α＝86.1)8(95.0=t ，于是nsn t x )1(21----α＝9.28－1.8606.9336.0= 50.9)1(21=-+--nsn t x α,故所求置信区间为〔9.06，9.50〕。
例 3 设灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机地抽取6只，测得寿命的数据（单位：h ）为 1020 , 1010 ,1050 , 1040 ,1050 ， 1030.求灯泡寿命平均值的置信度为0.95的单侧置信下限。
解 由于总体方差未知，故统计量)1(~/--=-n t ns x T μ于是对给定的α，查t 分布表可得临界值)1(1--n t α，使得{}αα-=-≤-1)1(1n t T P ,αμα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤---1)1(/1n t n s x P , 即αμα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--≥--1)1(1n s n t x P ,由此得到μ的置信度为α-1的单侧置信区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞----,)1(1n s n t x αμ的置信度为α-1的单侧置信下限为nsn t x )1(11--=--αθ .本例中，α-1＝0.95,n=6, )1(1--n t α= ,1050.2)5(95.0=t,69.18,3.1033==-s x代入得单侧置信下限为1θ＝9.10170150.2669.183.1033=⨯-.实际应用 例4:收获前如何预测水稻总产量问题问题：某县多年来一直种植某种水稻品种并沿用传统的耕作方法，平均亩产600千克，今年换了新的稻种，耕作方法也作了一些改进，收获前，为了预测产量高低，先抽查了具有一定代表性的30亩水稻的产量，平均亩产642.5千克，标准差为160千克，如何估算总产量。
解：由于总产量是随机变量，因此最有参考价值的是估算出总产量在某一个范围内，因而这是一个区间估计问题，设水稻亩产量X 为一随机变量，由于它受众多随机因素的影响，我们可设它服从正态分布，即),(~2σμX 。
只要算出水稻平均亩产量的置信区间，则下限与种植面积的乘积就是对总产量最保守的估计，而上限与种植面积的乘积则是对总产量最乐观的估计。
根据正态分布关于均值的区间估计，在方差未知时，μ的置信度为95%的置信区间为()96.1,96.1nS X nS X n n +---，其中nS 为样本标准差。
在例中，n=30,.160,5.642==-ns x ，将这些数据代入，有5.6423016096.15.64296.1=±=±-nS x n 2.2996.1⨯±=642.525.57±因此得到μ的95%的置信区间为(582.25,699.75)。
置信下限约为585.25千克/亩，小于以往的常数――总体均值600千克/亩，置信上限约为700千克/亩，则大于以往总体均值600千克/亩，由此得出的结论是：今年的产量未必比往年高。
最保守的估计为亩产585.25千克，比往年略低；最乐观的估计为亩产可达到700千克，比往年高出100千克。
因上、下限差距太大，这将不能做出准确的预测，要解决这个问题，可在抽查70亩，前后共抽样100亩，设平均亩产量与标准差不变，即.160,5.642==-ns x ,n=100，则μ的置信度为95%的置信区间为5.64210016096.15.64296.1=±=±-nS x n ±31.4，即(611.1,673.9)。
置信下限比往年亩产600千克多11.1千克，这样就可以预测，在很大程度上，今年水稻平均亩产至少比往年要高出11千克。
二.方差DX 的区间估计设总体),(~2σμN X ，nx x x ,,,21是来自于总体的样本。
现利用样本给出2σ的置信区间。
考虑统计量22)1(σsn Y -=,212)(11x x n s ni i--=∑=,由第七章定理三可知， 统计量 22)1(σsn Y -=)1(~2-n χ。
于是，对给定的)10(<<αα，查2χ分布表，可得临界值)1(22-n αχ及)1(221--n αχ,使得{}21)1(221αχα-=-≤-n Y P ,{}2)1(22αχα=-≤n Y P ,{}αχχαα-=-≤≤--1)1()1(22122n Y n P ,αχσχαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--1)1()1()1(2212222n sn n P,αχσχαα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤---1)1()1()1()1(22222212n s n n sn P , 因此，当总体),(2σμN 中的参数μ为未知的情况下，方差2σ的置信区间为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----)1()1(,)1()1(2222212n s n n s n ααχχ , (8.13) 注意这里选取的临界值)1(22-n αχ,)1(221--n αχ不是唯一的。
例如可以选取)1(),1(232123---n n ααχχ等等。
顺便指出，σ的置信区间是⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----)1()1(,)1()1(2222212n s n n s n ααχχ ，(8.14)例3：某自动车床生产的零件，其长度X 服从正态分布，现抽取16个零件，测得长度（单位：mm ）如下：12.15 ,12.12, 12.01 , 12.08, 12.16 ，12.09，12.17 ,12.16,12.03,12.01,12.06, 12.18 12.13 12.07 , 12.11, 12.08 , 12.01 ,12.03 , 12.06 试求DX 的置信度为95%的置信区间。
解：经计算可得 00244.0,075.122==-s x 查2χ分布表得,26.6)15()1(2025.022/==-χχαn ， ,45.27)15()1(2975.022/1==--χχαn0058.026.600244.015)1()1(222=⨯=--n s n αχ,0013.045.2700244.015)1()1(2212=⨯=---n s n αχ,故DX 的置信区间为[]0058.0,0013.0 .例 设正态总体),(2σμN 的方差2σ为已知,问容量n 为多大的样本,才能使总体均值μ的α-1的置信区间的长度不大于L ？ 解 因为ασμσαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤-----12121n z x nz x P ,所以, μ的α-1的置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-----n z x nz x σσαα2121, , 欲使区间长度 L nz ≤-σα212, n Lz ≤-σα212,即要求 22221)(4Lzn σα-≥.。