函数与方程教案

第四章

函数应用

§1 函数与方程

1．1 利用函数性质判定方程解的存在

教学目标： 1. 知识与技能

（1）正确认识函数与方程的关系，求方程0)(=x f 的实数解就是求函数)(x f 的零点，体会函数知识的核心作用。

（2）能够利用函数性质判定方程解的存在性。 2. 过程与方法

:

结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。 3. 情感、态度与价值观

通过本节课的学习，进一步拓展学生的视野，使他们体会数学不同内容之间的内在联系。 重点和难点

重点：函数的零点，函数零点存在性判断。

难点：函数的零点、方程的根、函数图像之间的关系。 教学过程 预习清单 1. …

2.

问题引入：

请同学们思考讨论以下问题：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与相应二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像有什么关系

3. 函数的零点：

（1）定义：函数)(x f y =的图像与横坐标的交点的横坐标称为这个函数的零点。 （2）意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数解。 3.函数的零点、方程的根、函数图像之间的关系

方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图像与x 轴有交点

⇔函数)(x f y =有零点．

。

4.函数零点存在性定理：

若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a )·f (b )<0，则在区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )至少有一个零点，即相应的方程f (x )＝0在区间(a ，b )内至少有一个实数解． 引导清单

题型一：求函数的零点 例1.

求下列函数的零点：

（1）)0(322>++-=x x x y （2）42-=x y 解：（1）由0322=++-x x 得31=-=x x 或 30=∴>x x

[

故函数)0(322>++-=x x x y 的零点为3. （2）由2042==-x x 得

故函数42-=x y 的零点为2.

总结：求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点． 题型二：判断零点所在的区间 例2.

已知函数 23)(x x f x -=,问：方程0=）（x f 在区间[-1,0]内有没有实数

解为什么

解：03

2

)1(3)1(21<-=--=--f

0103)0(20>=-=f

]

函数23)(x x f x -=的图像是连续曲线，所以)(x f 在区间[-1,0]内有零点，

即0)(=x f 在区间[-1,0]内有实数解。

总结：1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图像．

2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若)(x f 图像在[b a ,]上连续，且0)()(<⋅b f a f ，则)(x f 在(b a ,)上必有零点，若0)()(>⋅b f a f ，则)(x f 在(b a ,)上不一定没有零点． 题型三：判断函数零点的个数

例3.判断函数f (x )＝ln x ＋x 2－3的零点的个数．

解：方法一 函数对应的方程为ln x ＋x 2

－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图像交点个数．

在同一直角坐标系下，作出两函数的图像(如图)．

~

由图像知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图像只有一个交点．从而方程ln x ＋x2－3＝0有一个根，

即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．

方法二由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，

f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图像在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．

总结：判断函数零点个数的方法：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一直角坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像，利用图像判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数．

训练清单

1.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

/

(1)f(x)＝x2＋7x＋6； (2)f(x)＝1－log2(x＋3)；

(3)f(x)＝2x－1－3； (4)f(x)＝x2＋4x－12

x－2

．

解：(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，

得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6．

(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，

所以函数的零点是－1．

(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26．

(4)解方程f (x )＝x 2＋4x －12

x －2

＝0，得x ＝－6，所以函数的零点为－6．

；

2.已知函数f (x )＝x 3－x －1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( )

A ．(3,4)

B ．(2,3)

C ．(1,2)

D ．(0,1)

解∵f (0)＝－1<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝5>0，f (3)＝23>0，f (4)＝59>0． ∴f (1)·f (2)<0，此零点一定在(1,2)内． 答案 C

3．方程2x －x 2＝0的解的个数是________．

解：在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 及y ＝x 2的图像，可看出两图像有三个交点，故2x －x 2＝0的解的个数为3．

#

巩固清单

1.求下列函数的零点：

（1）;21

+=x

y （2）121

-=x y

（3）)22(log 22--=x x y （4）)4)(32(2--=x y x 答案：（1）-2

1

(2) 1 (3)-1或3 （4）3log 2-22，，

2.函数f (x )＝x 2－5x 的零点是________．

解：令x 2－5x ＝0，解得x 1＝0或x 2＝5，所以函数f (x )＝x 2－5x 的零点是0和5．

答案 0和5