简单的三角恒等变换(讲义)

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简单的三角恒等变换课件(经典公开课)

(或 asin x+bcos x= + cos(x-θ)).
.
2.在上述化简过程中,如何确定θ所在的象限?
提示:θ所在的象限由a和b的符号确定.
3.辅助角公式 asin x+bcos x= + sin(x+φ)= + cos
(x-θ).其中 cos φ=

+
+1,

-
∴f(x)的最小正周期为 T= =π.
-

+1
(2)当 f(x)取得最大值时,sin -
=1.
故 2x- =2kπ+(k∈Z),即 x=kπ+(k∈Z).
因此,所求 x 的取值集合为
= +

,∈ .
探究四三角恒等变换在实际问题中的应用
【例4】如图,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样
截取,才能使△OAB的周长最大?
解:设∠AOB=α,△OAB的周长为l,
则AB=Rsin α,OB=Rcos α.
∴l=OA+AB+OB=R+Rsin α+Rcos α
=R(sin α+cos α)+R= Rsin + +R.
∵0<α<,∴<α+ <
∴当 α+ = ,

.
即 α=时,l 取得最大值 R+R=( +1)R.
公式,若用α替换2α,则结果怎样?
提示:结果是 cos

2
α=2cos -1

2
2

简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)

思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信，行必果。 ——《论语》译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��

知识讲解_简单的三角恒等变换_基础

简单的三角恒等变换编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧；3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化；4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．【要点梳理】要点一：升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= 要点诠释：利用二倍角公式的等价变形：21cos 2sin2αα-=，21cos 2cos2αα+=进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．要点二：辅助角公式1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形：sin cos a x b x +x x ⎫⎪⎭令cos ϕϕ==，则sin cos a x b x +)sin cos cos sin x x ϕϕ+)x ϕ+（其中ϕ角所在象限由,a b 的符号确定，ϕ角的值由t a nb a ϕ=确定，或由sin ϕ=和cos ϕ=）2．辅助角公式在解题中的应用通过应用公式sin cos a x b x +=)x ϕ+（或sin cos a x b x +)αϕ-），将形如sin cos a x b x +（,a b)x ϕ+)αϕ-）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．【典型例题】类型一：利用公式对三角函数式进行证明例1．求证：αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=【思路点拨】观察式子的结构形式，寻找式子中α与2α之间的关系发现，利用二倍角公式即可证明．【证明】方法一：2tan 2cos2sin2cos 22cos2sin2cos 1sin 2αααααααα===+ 2tan 2cos2sin2cos2sin22sin 2sin cos 12αααααααα===- 方法二：sin sin2cossin 222tan 21cos cos cos 2cos 222ααααααααα⋅===+⋅sin sin2sin1cos 222tan2sin coscos 2sin 222ααααααααα⋅-===⋅【总结升华】代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换；对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点．举一反三：【变式1】求证：2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 【证明】2222sin cos2tan222sin 2sincos22sin cos 1tan 222ααααααααα===++22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222ααααααααα--=-==++2222sincos2tansin 222tan cos cos sin 1tan 222ααααααααα===--．例2．求证：（1）1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++- (2)cos cos 2coscos 22x y x y x y +-+= 【思路点拨】（1）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加即得左边．（2）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加，然后观察所得式子与要证明的式子之间的区别，最后令,x y αβαβ+=-=即可得证．【证明】（1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- ①又cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ②∴①+②得1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-结论得证．（2）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- ①又cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ②∴①+②得1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-令,x y αβαβ+=-=，则,22x y x yαβ+-== []1cos cos cos cos 222x y x y x y +-∴=+cos cos 2cos cos 22x y x yx y +-∴+=结论得证．【总结升华】当和、积互化时，角度重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值．正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段．举一反三：【变式1】求证：sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=【证明】sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-上面两式相加得：sin()sin()2sin cos αβαβαβ++-= 令,αβθαβϕ+=-=，则,22θϕθϕαβ+-==∴sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=结论得证．【变式2】求证：32sin tantan 22cos cos 2x x x x x-=+．【思路点拨】从消除恒等式左、右两边的差异入手，将右边的角x ，2x 凑成32x ，2x的形式，注意到322x x x =-，3222x xx =+，于是【证明】右边32sin 2sin 2233cos cos 2cos cos 2222x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3332sin cos cos sin sin 322222tan tan 3222cos cos cos 222xx x x xx x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-=左边． ∴等式成立．【总结升华】解答中右边分母拆角的目的是利用和（差）角公式．证明（化简）的本质上是一个寻找差异、消除差异、追求和谐的过程，应从消除差异入手．类型二：利用公式对三角函数式进行化简例3．已知322πθπ<<【思路点拨】根据化简的基本思想，本题需消去根式，联想到恒等式21sin sin cos 22θθθ⎛⎫±=± ⎪⎝⎭，于是利用此公式先化简．【解析】原式sincossincos2222θθθθ=+--，∵322πθπ<<，∴342πθπ<<，∴0sin 22θ<<，1cos 22θ-<<-，从而sincos022θθ+<，sincos022θθ->，∴原式sincos sin cos 2sin 22222θθθθθ⎛⎫⎛⎫=-+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结升华】从局部看（即每个式子本身）上述解法是唯一解法，但从整体看两个根号里面的式子相加得2，相乘得cos 2θ，因此可以“先平方暂时去掉根号”．注意到322πθπ<<，则sin 0θ<，cos 0θ>，设x =，则x ＜0，则2222cos x θ=-=-=-，又342πθπ<<，故sin02θ>，从而2sin2x θ==-．举一反三：【变式13,22αππ⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【解析】∵3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴cos α＞0cos α=，∴原式=3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 02α>，sin 2α=．即原式=sin2α．类型三：利用公式进行三角函数式的求值例4．已知1sin()2αβ+=，1sin()3αβ-=，求2tan()tan tan tan tan()αβαββαβ+--+的值．【解析】原式=2tan()(tan tan )tan tan()αβαββαβ+-++ =2tan()tan()(1tan tan )tan tan()αβαβαββαβ+-+-+=21(1tan tan )tan αββ-- =tan tan αβ =sin cos cos sin αβαβ由1sin()sin cos cos sin ,21sin()sin cos cos sin 3αβαβαβαβαβαβ⎧+=+=⎪⎪⎨⎪-=-=⎪⎩得51sin cos ,cos sin 1212αβαβ== 【总结升华】求解三角函数式的值时，一般先化简所给三角函数式，寻求它与条件的联系，以便迅速找出解题思路．举一反三：【变式1】已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x ，y 为锐角，则sin(x ＋y )的值是( ) A ．1 B ．－1C.13 D. 12【答案】A【解析】∵sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，两式相加得：sin x ＋cos x ＝sin y ＋cos y ， ∴sin2x ＝sin2y .又∵x 、y 均为锐角，∴2x ＝π－2y ，∴x ＋y ＝2π，∴sin(x ＋y )＝1. 【变式2】若sin cos 3sin cos αααα+=-，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________. 【答案】43【解析】∵sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα++==--，∴tan α＝2. 又tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝－tan[(α－β)＋α] ＝tan()tan 1tan()tan αβααβα-+---⋅=43类型四：三角恒等变换的综合应用【高清栏目：简单的三角恒等变换401793 例2】例5．求函数sin cos sin cos y x x x x =+-；3[,]44x ∈ππ的值域【思路点拨】设sin cos x x t +=，则21s i n c o s 2t xx -=，然后把y 转化为关于t 的二次函数，利用配方法求y 的最值．【解析】设3sin cos ,,44x x t x ππ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦))224t x x x π∴=+=+又344x ππ≤≤，24x πππ∴≤+≤，t ⎡∴∈⎣ 又212sin cos x x t +=，21sin cos 2t x x -∴=则22111222t y t t t -=-=-++ =21(1)12t --+ 当0t =时，min 12y =当1t =时，max 1y =1,12y ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦【总结升华】本题给出了sin cos ,sin cos θθθθ+-及sin cos θθ三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了22sin cos 1θθ+=这个隐含条件．举一反三：【变式1】已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．【解析】（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=+11sin 2cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤．因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．。

简单的三角恒等变换说课

率之间的关系。
电磁学
在电磁学中，电场和磁场的方向可以用三角恒等式表示，从而简
化问题的分析和计算。
三角恒等变换在三角函数极值问题中的应用
最大值和最小值问题
通过三角恒等式将函数表达式进行变换，求出函数的最大值和最小值。
极值点判断
利用三角恒等式判断函数的极值点，确定函数增减性的变化。
优化问题
通过三角恒等式将优化问题转化为易于解决的形式，如利用三角恒等式求解最短路径问题。
利用三角函数的性质，将一种三角函数名称替换为另一种三角函数名称，以简化表达式。
辅助角公式
三角函数的和差化积公式
利用三角函数的和差化积公式，将复杂的三角函数和差表达式化简为简单的积表达式。
利用辅助角公式，将一种三角函数表示为另一种易于计算的三角函数形式。
参数的变换技巧
参数的有理化
利用三角函数的性质，将参数有理化从而消除分母中的根号。综合素质和职业发展都具有重要意义。
未来三角恒等变换的发展方向和趋势
随着科学技术的不断发展，三角恒等变换的应用领域也在不断扩大。未来，三角恒等变换将会更加深入地应用到各个领域中，尤其是在大数据分析、人工智能、机器学习等领域，三角恒等变换将会发挥更加重要的作用。
未来三角恒等变换的发展方向也将更加多元化，包括算法优化、数值稳定性、应用拓展等方面。同时，随着计算机技术的不断发展，三角恒等变换的计算效率也将会得到进一步提高，从而更好地服务于实际问题。
半角公式用于将一个角的一半的正弦和余弦函数转化为
原角的函数。
三角恒等变换的应用
三角恒等变换在解决数学问题中有着广泛的应用，如代数、几何、物理等领域。
在几何中，三角恒等变换可以用于证明几何定理和解决几何问题。

三角恒等变换(讲义及答案)

5. 若 sin cos 1 ，cos sin 1 ，则 sin( ) ______．
2
3
6. 若 cos( ) 1 ，cos( ) 3 ，则 tan tan =________．
5
5
7. 在△ABC 中，若 2cos B sin A sin C ，则△ABC 一定是（）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
8. 求证：
（1） sin(2A B) 2cos(A B) sin B ；
sin A
sin A
（2）
1
sin 2 cos 2
.1cocsos
tan
2
．
4
9. 若 3sin x 3 cos x 2 3 sin(x ) ， ( ，) ，则 ____．
以代，可得到 C( ) ， S( ) ， T( )
C( ) ：________________________
S( ) ：________________________
T( ) ：________________________ C( ) ， S( ) ， T( ) 这三个公式叫做和角公式； C( ) ， S( ) ， T( ) 这三个公式叫做差角公式．
三角恒等变换（讲义）
知识点睛
一、两角差的余弦公式推导如图，在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O，以 Ox 为始边作角，，它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A，B．则
OA (cos ，sin ) ， OB (cos ，sin ) ，
∴ OA OB (cos ，sin ) (cos ，sin ) _____________．
1
三、倍角公式利用 C( ) ， S( ) ， T( ) ，令，得到 cos 2 =_____________=____________=____________ sin 2 =_____________________

简单的三角恒等变换说课稿

简单的三角恒等变换说课稿一、说教材（一）作用与地位本文《简单的三角恒等变换》是高中数学课程中的重要组成部分，属于三角函数章节。

它不仅承担着巩固学生对三角函数基础知识的掌握，而且肩负着培养学生逻辑思维能力和数学变换技巧的重任。

在数学教育中，三角恒等变换是联系实际应用与理论推导的桥梁，通过学习，学生能够更好地理解数学在自然科学和社会科学中的应用。

（二）主要内容本文主要围绕以下三个方面的内容展开：1. 三角恒等变换的基本概念：包括正弦、余弦、正切的和差公式、倍角公式、半角公式等。

2. 三角恒等变换的基本方法：运用上述公式进行三角函数式的化简、求值等。

3. 三角恒等变换在实际问题中的应用：结合实际案例，让学生体验三角恒等变换在解决具体问题时的作用。

二、说教学目标（一）知识与技能目标1. 理解并掌握三角恒等变换的基本概念和基本方法。

2. 能够熟练运用三角恒等变换解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学变换技巧。

（二）过程与方法目标1. 通过自主探究、合作交流，培养学生主动学习的习惯。

2. 通过问题解决，提高学生分析问题、解决问题的能力。

（三）情感态度与价值观目标1. 培养学生对数学的兴趣和热爱，提高学生的数学素养。

2. 引导学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强学生的应用意识。

三、说教学重难点（一）重点1. 三角恒等变换的基本概念和基本方法。

2. 三角恒等变换在实际问题中的应用。

（二）难点1. 理解并熟练运用三角恒等变换公式。

2. 解决实际问题时，能够灵活运用三角恒等变换。

四、说教法（一）启发法在教学过程中，我将以启发式教学为主，引导学生通过观察、思考、总结等环节，自主发现三角恒等变换的规律。

具体操作如下：1. 以实际问题导入，激发学生的好奇心和求知欲。

2. 引导学生回顾已学的三角函数知识，为新知识的学习做好铺垫。

3. 设计一系列具有启发性的问题，让学生在思考问题的过程中，自然地发现三角恒等变换的规律。

三角函数与三角恒等变换讲义

三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一象限角及终边相同的角[典例] (1)若α是第二象限角，试分别确定2α，2α，3α的终边所在的位置。

(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )2.在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．3.（1）用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示（不包括边界）。

三角恒等变换讲解

三角恒等变换讲解三角恒等变换是指在三角函数之间相互变换的一系列等式关系，常用于简化和证明三角函数的性质以及求解三角方程。

下面介绍一些常见的三角恒等变换：1. 基本恒等变换：-正弦与余弦的关系：sin²θ+ cos²θ= 1-正切与余切的关系：tanθ= sinθ/ cosθ，cotθ= cosθ/ sinθ-余割与正割的关系：cscθ= 1 / sinθ，secθ= 1 / cosθ2. 倍角恒等变换：-正弦的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ-余弦的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ- sin²θ= 2cos²θ- 1 = 1 - 2sin²θ-正切的倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)3. 和差恒等变换：-正弦的和差公式：sin(A ±B) = sinAcosB ±cosAsinB-余弦的和差公式：cos(A ±B) = cosAcosB ∓sinAsinB-正切的和差公式：tan(A ±B) = (tanA ±tanB) / (1 ∓tanAtanB)4. 反函数恒等变换：-正弦的反函数：sin⁻¹(x) = θ，其中sinθ= x，-π/2 ≤θ≤π/2-余弦的反函数：cos⁻¹(x) = θ，其中cosθ= x，0 ≤θ≤π-正切的反函数：tan⁻¹(x) = θ，其中tanθ= x，-π/2 < θ< π/2注意，上述恒等变换只是一部分常见的例子，实际上还有许多其他的三角恒等变换。

在解题或证明过程中，根据需要，可以根据题目的要求和三角函数的关系，使用适当的三角恒等变换来简化计算或推导出所需的结果。

三角恒等变换

三角恒等变换三角恒等变换是指一系列等效的三角函数表达式之间的变换关系。

这些变换关系对于解决三角函数的各种问题非常有用。

本文将介绍三角恒等变换的基本概念、常见的恒等变换公式以及应用案例。

一、三角恒等变换的基本概念三角恒等变换是指将一个三角函数的表达式通过等效变换转化为另一个等价的表达式的过程。

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。

恒等变换意味着两个表达式在任何实数取值范围内都成立，即两个表达式所代表的函数图像完全一致。

二、常见的三角恒等变换公式1. 余弦函数的恒等变换：- 余弦函数的平方与正弦函数平方的关系：cos^2θ + sin^2θ = 1。

- 余弦函数的两倍角公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ。

- 余弦函数的和差公式：cos(α ± β) = cosαcosβ - sinαsinβ。

2. 正弦函数的恒等变换：- 正弦函数的平方与余弦函数平方的关系：sin^2θ + cos^2θ = 1。

- 正弦函数的两倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ。

- 正弦函数的和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ。

3. 正切函数的恒等变换：- 正切函数的平方与余切函数平方的关系：tan^2θ + 1 = sec^2θ。

- 正切函数的两倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)。

- 正切函数的和差公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)。

4. 余切函数的恒等变换：- 余切函数的平方与正切函数平方的关系：cot^2θ + 1 = cosec^2θ。

- 余切函数的两倍角公式：c ot(2θ) = (cot^2θ - 1) / 2cotθ。

- 余切函数的和差公式：cot(α ± β) = (cotαcotβ ± 1) / (cotβ ± cotα)。

三角恒等变换讲义

三角恒等变换讲义(教师版)(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--三角恒等变换【知识要点】一、相关公式：（01）=+)cos(βα____________________．（02）=-)cos(βα____________________．（03）=+)sin(βα____________________．（04）=-)cos(βα____________________．（05）=+)tan(βα____________________．（06）=-)tan(βα____________________．（07）=α2cos ____________________．（08）=α2sin ____________________．（09）=α2tan ____________________．（10）=+ααcos sin b a ____________________．二、解题技巧：（01）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。

如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---）（02）常见公式变形①tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=± ②21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= ③21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-= （03）常值变换：“1”的变换221sin cos x x =+tan sin 42ππ===（04）辅助角公式：()sin cos a x b x x θ+=+辅助角的确定： (其中θ角所在的象限由a ，b 的符号确定，θ角的值由tan baθ=确定)基础热身1.已知4cos 5α=-，(,)2παπ∈，则cos()4πα-=（ B ）BC2.sin15cos15+=（ D ） A123.cos79cos34sin 79sin 34+=（ C ） A12B 14.已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则tan 2x =（ D ） A724B 724-C247D 247-5.下列各式中，值为12的是（ D ） A sin15cos15 B 22cos 151-D2tan 22.51tan 22.5-能力拔高技巧1：角变换典型例题1：已知3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,26ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ，求：（1）sin α （2）sin 2α答案：（1）sin α =10343)33sin(-=-+ππα（2）10334)33cos(+=-+ππα5037242sin +-=α变式1.已知3sin(30)5α+=，60150α<<，则cos α=（ A ）典型例题2：若α，β为锐角，且满足4cos 5α=，3cos()5αβ+=，则sin β的值是（ C ）。

简单的三角恒等变换PPT教学课件

a
2时
f
(x)大
a2 4
1 2
a 4
当a 2
1即a
2时
当sin x 1时
f
(x)大
3 4
a
1 2
当
a 2
0即a
0时
sin
x
0时 f
(x)大
1 2
a 4
3 4
a
1 2
(a
2)
即M
(a)
a2 4
a 4
1 2
(0
a
2)
1 2
a 4
(a
0)
(2)当M
(a)
2时,
解得a
10 3
或a
6
小结:
对公式我们不仅要会直接的运用，还要会逆用、还要会变形用，还要会与其它的公式一起灵活的运用。
2
log 1 (sin x cosx) f (x)
2
T 2
练习2.f(x)=cos2x+asinx-
a 4
-
1 2
(0≤x≤2 )
①用a表示f(x)的最大值M(a)
②当M(a)=2时，求a的值
解：
(1)
f
(x)
(sin
x
a 2
)2
a2 4
1 2
a 4
0
x
2
0
x
1
当0
a 2
1即0
2
sin2 cos2 1
2
解法2：
原式 1 (1 cos2 )(1 cos2 ) 1 (1 cos2 )(1 cos2 )
4
4
1 cos2 cos2
2
1 (1 cos2 cos2 ) 1 cos2 cos2

简单的三角恒等变换

简单的三角恒等变换三角恒等变换是指在三角函数中，通过一系列等价转换，将一个三角函数表达式转化为另一个等价的三角函数表达式的过程。

掌握三角恒等变换的关键是熟悉三角函数的基本性质和一些常见的恒等关系。

一、基本恒等变换：1.正弦函数和余弦函数的关系：sin^2(x) + cos^2(x) = 12.余弦函数和正弦函数的关系：cos(x) = sin(x + π/2)sin(x) = cos(x - π/2)3.正切函数的定义：tan(x) = sin(x) / cos(x)4.正切函数和余切函数的关系：tan(x) = 1 / cot(x)cot(x) = 1 / tan(x)5.正弦函数和余切函数的关系：sin(x) = cos(x) / cot(x)cot(x) = cos(x) / sin(x)6.余弦函数和余切函数的关系：cos(x) = sin(x) / csc(x)csc(x) = sin(x) / cos(x)7.倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x)) / (1 - tan^2(x))8.半角公式：sin(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / 2)cos(x/2) = ±√((1 + cos(x)) / 2)tan(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / (1 + cos(x)))二、和差角公式：1.正弦函数的和差角公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)2.余弦函数的和差角公式：cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)3.正切函数的和差角公式：tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y)) / (1 ∓ tan(x)tan(y))三、倍角公式与半角公式：1.正弦函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)2.余弦函数的倍角公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)3.正切函数的倍角公式：tan(2x) = (2tan(x)) / (1 - tan^2(x))4.正弦函数的半角公式：sin(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / 2)5.余弦函数的半角公式：cos(x/2) = ±√((1 + cos(x)) / 2)6.正切函数的半角公式：tan(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / (1 + cos(x)))四、和差化积公式：1.正弦函数的和差化积公式：sin(x) + sin(y) = 2sin((x + y)/2)cos((x - y)/2)sin(x) - sin(y) = 2cos((x + y)/2)sin((x - y)/2)2.余弦函数的和差化积公式：cos(x) + cos(y) = 2cos((x + y)/2)cos((x - y)/2)cos(x) - cos(y) = -2sin((x + y)/2)sin((x - y)/2)3.正切函数的和差化积公式：tan(x) + tan(y) = sin(x + y) / (cos(x)cos(y))tan(x) - tan(y) = sin(x - y) / (cos(x)cos(y))以上是一些常见的三角恒等变换，通过熟练掌握和灵活运用这些公式，可以在解决三角函数相关问题时简化计算过程，提高解题效率。

三角恒等变换简单的三角恒等变换ppt

电磁学
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用，提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以进一步揭示三角函数的性质和特点，为研究三角函数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要用到三角恒等变换来研究点、线、圆等几何对象的性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变换被广泛应用于解决与极坐标有关的问题，如计算面积、体积等。
等变换的应用。
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THANKS
总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出三角形中的角度和边的长度，以及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直线平行或垂直，从而得出线段之间的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证明恒等式等。

简单的三角恒等变换讲课文档

上面的公式①②③④统称为积化和差公式．
现在七页，总共三十三页。
上面四个式子中，设α＋β＝θ，α－β＝，则有
把α，β代入上面的式子得到：
sin θ＋sin ＝ ________________，⑤ sin θ－sin ＝ ________________，⑥ cos θ＋cos ＝ _______________，⑦ cos θ－cos ＝ _______________，⑧
为y＝Asin (ωx＋φ)＋k的形式，再求周期．
现在二十六页，总共三十三页。
三角恒等变换的综合应用分析：先根据倍角公式“降幂”，化为一个角的三角函数形式．
现在二十七页，总共三十三页。
现在二十八页，总共三十三页。
跟踪训练
4．已知 sin α＝12＋cos α，且 α∈0，π2，则sicnoαs－2απ4的值为________．
现在十八页，总共三十三页。

两角和与差公式的变形与应用已知锐角α，β满足条件cos 2α－cos 2β＝cos 2(α －β)－，求α－β的值．
分析：已知等式的左边是2α和2β的余弦函数差，右边是α－ β的二倍角函数，要求α－β的值，考虑先求出α－β的某个三角函数值，把已知等式左边用和差化积公式，右边用二倍角公式化开，就会出现α－β的三角函数，然后再化简求值．
现在二十一页，总共三十三页。
跟踪训练
现在二十二页，总共三十三页。
现在二十三页，总共三十三页。
辅助角公式的应用
现在二十四页，总共三十三页。
现在二十五页，总共三十三页。
跟踪训练
3．已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小
正周期是__________．

简单的三角恒等变换课件

2x＋(sin
x－cos
x)(sin
x＋cos
x)
＝12cos
2x＋
3 2 sin
2x＋sin2x－cos2x
＝12cos
2x＋
3 2 sin
2x－cos
2x＝sin2x－π6，
∴最小正周期 T＝22π＝π.
∵2x－π6＝kπ＋π2，k∈Z， ∴x＝k2π＋π3，k∈Z. ∴图象的对称轴方程为 x＝k2π＋π3，k∈Z. (2)∵x∈－1π2，π2， ∴2x－π6∈－π3，56π.
由αα＋－ββ＝＝2－3ππ4，
得αβ＝＝15221π44π
故当 α＝52π4，β＝1214π时，ymax＝ 42－12.
【正确解答】y＝
1＋cos α
2α α
－1＋cos2π2－2β
cosα2－
sin2 α
sin2 cos2
＝sincαocsoαs2 α－12－12sin 2β＝12sin 2α－12sin 2β－12. 2 分
(1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)求函数 f(x)在区间－1π2，π2上的值域．
• 【思路点拨】将已知函数通过三角函数恒等变换转化为y＝Asin(ωx＋φ) 的形式，再研究其性质．
解：(1)∵f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4sinx＋π4
＝12cos
2x＋
3 2 sin
• 解：如图，连接PB.
• ∵AB为直径，∴∠APB＝90°. • ∵∠PAB＝α，AB＝1， • ∴PB＝sin α，PA＝cos α. • 又PT切圆于P点， • 则∠TPB＝∠PAB＝α. • ∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝12PA·PB＋12PT·PB·sin α ＝12cos α·sin α＋12sin2 α ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝ 42sin2α－π4＋14. ∵0＜α＜π2，－π4＜2α－π4＜34π， ∴当 2α－π4＝π2，即 α＝38π 时，四边形 ABTP 的面积最大．