简单的三角恒等变换(讲义)

简单的三角恒等变换

【学习目标】

1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公

式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会 换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；

5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理 问题的能力．

要点梳理】

要点一：升（降）幂缩（扩）角公式

升幂公式：

22 1 cos2 2cos ， 1 cos2 2sin 降幂公式：

2

1 cos

2 2 1 cos2 cos ， sin 22

要点诠释：

利用二倍角公式的等价变形： 1 cos 2sin 2 ， 1 cos 2cos 2 进行“升、降幂”变换，即由左边的

22 “一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为

“降幂”变换． 要点二：辅助角公式

1．形如 asinx b cosx 的三角函数式的变形：

asin x bcosx

asin x b cosx = a 2 b 2 sin x cos

a 2

b 2 sin(x )

（其 中 角所在 象限由 a,b 的 符号确 定， 角的值 由 tan b 确定， 或由 sin b 和 a

确定， 或由

a 2

b 2

a

cos 共同确定．）

a

2 b

2

2．辅助角公式在解题中的应用

通过应用公式 asinx bcosx = a 2 b 2 sin （x ）（或 asinx bcosx = a 2 b 2 cos （ ） ），将形如 asinx bcosx （ a, b 不同时为零）收缩为一个三角函数

a 2

b 2 sin （x ）（或 a 2 b 2 cos （ ））．这种

恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数， 这样做有利于函数式的化 简、求值等．

a

a 2

b 2

sinx

cosx

令

cos

a

a 2

b 2

,sin

cosxsin

b

a 2

b 2

b

要点三：半角公式 （ 以下公式只要求会推导，不要求记忆 ）

以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．

sin 1 cos

tan ,tan

2 1 cos 2 sin

以上两个公式称作半角正切的有理式表示．

要点四：积化和差公式

2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如

能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式．

3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其 结果实质上是一样

的．

4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如

sin cos cos cos

要点诠释：

2

[sin( [cos(

2 ) sin( )] ) cos( )]

cos sin sin sin

2

[sin(

[cos( 2

) sin( )] ) cos( )]

规律 1： 公式右边中括号前的系数都有 1 ．

2

规律 2： 中括号中前后两项的角分别为

和

规律 3： 每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．

要点五：和差化积公式

x y x y sin x sin y

2sin cos 22 x y x y cosx cosy 2cos cos 22 要点

诠释：

规律 1： 在所有的公式中，右边积的系数中都有

2．

sin x sin y x y

x

y

2cos sin

2

2

2sin x y x y cosx cosy

sin

2

2

规律 2： A B 与 A

2 在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（ 在所有的公式中，左边都是角 A 与 B 的弦函数相加减，右边都是

规律 扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣” 规律

4： 两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘．

注意

1、公式中的“和差”与“积” ，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系．

3：

B 的弦函数相乘．

2

cos ）加扣等于俩

sin cos 就不

cos

2

2

1π cos cos cos

23

ππ

2sin sin

6 2 6 2

5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式．

典型例题】

类型一：利用公式对三角函数式进行证明

变式 1】求证： sin

sin 2sin

cos

2

2

类型二：利用公式对三角函数式进行化简 例 3 ． 已知 3

2 ，试化简 1 sin 1 sin

例 1．求证： tan

2 sin

1 cos

1 cos sin

2tan

1

tan 2

2

, cos

2

, tan

1 tan 2

1

tan 2

2

2

2tan 2

例 2．求证：（1） cos cos

[cos( 2

) cos( )]

(2) cosx cosy

2cos

x y cos

x y

22

变式 2】求证：

3x x tan tan

22

2sin x cosx cos2x

变式 1】求证： sin

1 tan

2 2