第三节排队模型

s
(0.75)2 0.375 5
Lq s!(1 )2 P0
2!(1 0.375)2
11
0.27 5 0.12人 11
L Lq (0.12 0.75)人 0.87人
W L 0.87 0.29h 17.4 min
3
Wq
Lq
0.12 3
0.04h
2.4 min
14
病人必须等候的概率即系统状态 N s ( 2) 的概率：
L m (1 P0 )
Lq
m
(
)(1
P0 )
L (1
P0 )
e (m L) (1 P0 )
W L / e
Wq Lq / e
32
例5、一个工人负责照 管6台自动机床。当机床需 要加料或刀具磨损时就自动停车，等待工人照管。设 每台机床平均每小时停车一次，每次需要工人照管的 平均时间为0.1h，试分析该系统的运行情况。
37
从经济角度考虑，排队系统的费用 应该包含以下两个方面：
一是服务费用，它是服务水平的递 增函数；
二是顾客等待的机会损失(费用)， 它是服务水平的递减函数。
两者的总和呈一条U形曲线。
38
系统最优化的目标就是寻求上述合 成费用曲线的最小点。
在这种意义下，排队系统的最优化 问题通常分为两类：
一类称之系统的静态最优设计，目 的在于使设备达到最大效益，或者说， 在保证一定服务质量指标的前题下，要 求机构最为经济；
0.85 ) 1 ]
2!
2!(1 0.8)
(11.6 1.28 2.49856)1 0.1568
Lq
s s!(1 )2
1 rs[1 (r s)(1 )] P0
0.8(1.6)2 0.1568 1 (0.8)52 [1 (5 2)(1 0.8)] 2!(1 0.8)2
0.7257(辆)
该店潜在顾客的损失率：
P4
1 e
1 80 0.01171 0.06 6%
21
2、当s>2时
服务强度：
s
与M/M/s/ 系统
一样
令 则：
P0
s
[
k
0
[
k ss(s r) k! s!(1 )
s sk (r s) ss ]1
]1
( 1) ( 1)
k0 k!
s!
22
n
L/
e
L
(1
P0 )
0.845 10(1 0.4845 )
0.1639
h
9.83 min
平均等待时间：
Wq
W
1
0.1639
0.1
0.0639 (h)
3.83 min
生产损失率： L 0.845 0.141 14.1%
m6
机床利用率： 1 85.9%
35
第四节 排队系统的优化目标 与最优化问题
(0.75)2 5
P(Q 0) P(N 2)
0.20
2!(1 0.375) 11
例1、例2 比较见教材P163表6-1
15
二．M/M/s/r 系统
又称有限队长、无限源系统 当r=s时为损失制系统；当r>s时为混合制系统
当顾客到达系统时，若系统已经满员 （N=r）,则后到的顾客就自动消失。
不需规定 1 就能保证系统达到稳态。
16
1、当s=1时
服务强度：
稳态概率为：
1
P0
1
1
r 1
r 1
( 1) ( 1)
Pn
n
P0
P0
( 1) ( 1)
nr
17
平均队长、平均等待队长：
L
1r
(r 1) r1 1 r1
2
( 1) ( 1)
Lq L (1 P0 )
解：这是M/M/1/6/6系统
m 6, 1台/ h , 1 台/ h 10 / h , 0.1
0.1
工人空闲的概率为：
33
P0
m
[
k 0
m!
(m k)!
k ]1
6
[
k 0
6! (0.1)k (6 k)!
]1
[1 6 0.1 6 5 (0.1)2 6 5 4 (0.1)3
到达的潜在顾客能进入系统的概率为 1 Pr 系统的有效平均到达率为：
e (1 Pr ) (1 P0 )
18
例3、某小型美容院只能安置3 个座位供顾客等 候，一旦满座则后平者不再进店等候。已知顾客到达
间隔与美容时间均为指数分布，平均到达间隔80min， 平均美容时间为50min。求一顾客期望等候时间及该 店潜在顾客的损失率。
顾客源
设（1） m台机器质量相同，每台机器连续运
转时间相互独立，都服务参数为 的指数分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ布。 是1台机器在单位时间内发生故障的平 均次数，每台机器连续运转时间为 1/ 。
29
（2）s名电工技术程度相同，每人对机器的修 复时间相互时间都服从参数为 的指数分布。 是1 工人在单位时间内修复机器的台次， 工人修复每台机器的平均时间为 1/ 。
病人在急诊室内外逗留的时间：
W 1 1 h 1h 60 min
43
9
病人平均等候的时间： Wq W 1 0.75h 0.75h 45 min
（4）为使病人平均逗留时间不超过半小时，那么平 均服务时间应减少多少？
W 1 1
2
代入 3
得平均服务时间： 1 1 h 12 min 5
服务台系统。
若系统内的顾客数n>s，则有n-s个顾客 在等待服务
3
服务强度：
s
令：
则系统的稳态概率为：
服务台全部空闲的概率：
P0
s 1
[
k 0
k
k!
s
s!(1
]1
)
任意时刻状态为n的概率：
n
Pn
n!
P0
n
s!sns
P0
(1 n (n
s) s)
4
4项主要工作指标： s
（1）平均等待队长： Lq s!(1 )2 P0
5(0.625)4 1 (0.625)5
1.1396(人)
Lq L (1 P0 ) [1.1396 (1 0.4145)] 0.5541(人)
20
e
(1
P0 )
1 (1 0.4145) 50
0.01171
故任一顾客期望等待时间为：
Wq
Lq
e
0.5541 47(min) 0.01171
Wq
( )
W
P(N k ) k1 P(U t) et(1 )
7
例1、某医院急诊室同时只能诊治一个病人，诊 治时间服从指数分布，每个病人平均需要15min，病 人按泊松分布到达，平均每小时到达3人。分析此排 队系统。
解：（1）确定参数：这是单服务台系统，有
3人 / h, 60 人 / h 4人 / h
r
n
P0
(n 0,1,2, , s) (n s 1, s 2, , m)
有效平均到达率： e (m L)
主要指标L等可由公式（4—2）和李特尔
公式求得。
31
特别地，当s=1时：
m
P0
m
[
k 0
m!
(m k)!
k ]1
Pn
m!
(m n)!
n P0
(n 0,1,2, , s)
（3）机器的正常运转与修复状态相互独立，修 复的机器具有与新机器相同的质量。
系统的服务强度： m
s
令：
, r
s
30
稳态概率为：
P0
s
[
k 0
m!
k!(m k)!
k
ss s!
m
m! r k ]1
ks1 (m k )!
Pn
(m
m!
n)!n!
n
P0
m!s (m
sn
n)!s!
解：这是一个 M/M/s/r 系统
r 3 1 4, 1 80(min/ 人), 1 50 (min/ 人)
故服务强度为： 1/ 80 0.625 1/ 50
19
P0
1 1 r1
1
1 0.625 (0.625 )5
0.4145
L
1
(r 1) r1 1 r1
1
0.625 0.625
（2）平均队长：
L Lq
（3）平均逗留时间： W L
（4）平均等待时间：
Wq
Lq
5
k
P(N k) nk Pn k!(1 ) P0
特别地，当S=1（单服务台系统）时：
( )
P0 1
Pn n (1 )
L 1
Lq
2 ( )
2 L 1
6
W L
第三节 泊松输入—指数服务排队模型
对于泊松输入—负指数分布服
务的排队系统的一般决策过程：
1、 求出 P0 及 Pn 。
2、计算各项数量运行指标。 3、用系统运行指标构造目标 函数，
对系统进行优化。
1
典型分布 —— 泊松分布及其 性质，负指数分布及其性质
2
一．M/M/s/∞ 系统
又称无限队长、无限源系统。 当s=1时为单服务台系统；当s>1时为多
复习提问： 一、常见的排队系统有哪些？如何表示？ 二、排队系统的主要指标有哪些？ 三、常见的排队模型分析法 四、排队系统的优化
36
第四节 排队系统的优化目标 与最优化问题
以完全消除排队现象为研究目标是 不现实的，那会造成服务人员和设施的 严重浪费，但是设施的不足和低水平的 服务，又将引起太多的等待，从而导致 生产和社会性损失。
或 P(N x 1) 0.1
从而 (x1)1 x2 0.1
11
两边取对数： (x 2) lg lg 0.1
1, x 2 lg 0.1 1 8 lg lg 0.75
所以
x6
即候诊室应安置6个座位。
12
例2、承上例，假设医院增强急诊室的服务能力， 使其同时能诊治两个病人，且平均服务率相同，试分 析该系统工作情况，并与例1进行比较.
6 5 4 3 (0.1)4 6!(0.1)5 6!(0.1)6 ]1
0.4845
停车机床平均数：
L
m
(1
P0
)
6
10
(1
0.4845)台
0.845(台)
等待照管的机床平均数：
Lq L (1 P0 ) 0.845 (1 0.4845 ) 0.3295 (台)
34
平均停车时间：
W
解：这相当于增加了一个服务台，从而有：
s 2, 3人 / h, 60 人 / h 4人 / h
15
0.75 , 3 0.375
s 2 4
P0
21
[
k 0
k
k!
s
s!(1
]1
)
[1
0.75
(0.75)2 1 ]
2!(1 0.375)
15
..
0.45
13
2.2 11
15
故服务强度为： 3 0.75 4
（2）计算稳态概率： P0 1 1 0.75 0.25
8
病人需要等待的概率为： P(Q 0) 1 P0 0.75
（3）计算系统主要工作指标：
急诊室内外的病人平均数：
L 3 人 3人 43
急诊室外排队等待的病人平均数：
Lq L 3 0.75人 2.25人
Pn
s
s
n!
n
P0
s!
(n 1,2, , s) (n s 1, s 2, , r)
Lq
s s!(1 )2
1 rs[1
(r
s)(r s 2(s!)
1)s s
P0
(r
s)(1
)]
P0
( 1) ( 1)
L Lq (1 Pr )
e (1 Pr )
23
特别地，当r=s（损失制）时，公式化简为：
1 (15 12) min 3min
平均服务时间至少 应减少3min
10
（5）若医院希望候诊的病人90%以上都有座位，则 候诊室至少应安置多少座位？ 设：应安置x个座位， 则有x+1个座位。
“要使90%以上的候诊病人有座位”相当于“来诊的病人 数不多于x+1个的概率不小于90%”，即：
P(N x 1) 1 P(N x 1) 0.9
26
系统潜在顾客损失率：
P5
ssn
s!
P0
22
(0.8)5 2!
0.1568
0.1028
L Lq (1 Pr )
0.7257 1.6 (1 0.1028) 2.1612(辆)
每辆汽车平均逗留时间：
W L L 2.1612 0.15(h) 9(min)
e (1 Pr ) 16(1 0.1028 )
解：这是一个 M/M/2/r 系统
s 2, r 23 5,
16(辆 / h), 60 10(辆 / h)
6
16 1.6, 1.6 0.8
10
s 2
25
P0
s
[
k 0
k
k!
ss ( s r ) ]1 s!(1 )
[11.6 1.62
22
0.8(0.82
P0
s
[
k 0
k ]1
k!
Pn
n
n!
P0
(n 0,1,2, , s)
1
Lq 0 ,
Wq 0 ,
W
使用的服务台的平均数： L (1 Ps )
24
例4、某街口汽车加油站可同时为两辆汽车加油， 并还可容纳三辆汽车等待，超过此限则不能等待而消 失。汽车到达间隔与加油时间均为指数分布，平均每 小时到达16辆，平均加油时间为每辆6min。求每辆汽 车的平均逗留时间。
27
三、M/M/s/m/m系统
又称有限源系统
典型情况：1、s名电工共同负责m台机器 的维修；2、m个车工共同使用s个电动砂轮； 3、m个教师共同使用计算机终端；4、一家人 共同使用一个卫生间等等。
顾客源即m台机器，机器发生故障表示顾 客到达； s名电工即服务台。
28
此排队系统是一个循环排队系统：