定义证明二重极限_1
证明二重极限不存在
证明二重极限不存在证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。
例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。
为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案2若用沿曲线，( ，y)一g( ，y)=0趋近于( ，y0)来讨论，一0g ，Y 。
可能会出现错误，只有证明了( ，)不是孤立点后才不会出错。
[关键词】二重极限;存在性;孤立点[中图分类号]o13 [文献标识码]A [文章编号]1673-3878(2008)0l__0l02__02 如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。
是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。
只是略谈一下在判断二重极限不存在时。
一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10 y—’y0 的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，Yo)的特殊曲线，如果动点(x，Y)沿这些曲线趋于(xo，Y。
多元函数极限不存在的判定法则
多元函数极限不存在的判定法则多元函数极限存在是微积分中的一个重要概念，它在很多领域中都有广泛的应用，如物理、经济、工程等。
但是，在实际问题中，存在很多情况下，多元函数极限并不存在，这就需要我们掌握一些判定法则来判断多元函数极限是否存在。
本文将介绍一些常见的多元函数极限不存在的判定法则。
1. 二重极限不存在的判定法则二重极限指的是一个多元函数在某一点的两个自变量分别趋于该点时的极限。
二重极限不存在的情况有很多种，下面将介绍其中的几种判定法则。
1.1 Cauchy准则如果一个多元函数在某一点的极限存在，那么它的二重极限也一定存在。
因此，我们可以通过Cauchy准则来判断二重极限是否存在。
Cauchy准则的表述如下：对于任意的正实数ε，存在正实数δ，使得当0<√((x-a)+(y-b))<δ时，|f(x,y)-L|<ε，其中L为函数f(x,y)在点(a,b)处的极限。
如果对于任意的δ>0，都存在(x,y)∈D且0<√((x-a)+(y-b))<δ，使得|f(x,y)-L|≥ε，那么函数f(x,y)在点(a,b)处的二重极限不存在。
1.2 极限路径不同如果函数f(x,y)在点(a,b)处的二重极限存在，那么不同的极限路径得到的极限值应该相同。
如果存在两个不同的极限路径得到的极限值不同，那么函数f(x,y)在点(a,b)处的二重极限不存在。
1.3 极限值不同如果函数f(x,y)在点(a,b)处的二重极限存在，那么任意一个沿着直线x-y=k的路径得到的极限值应该相同。
如果存在两个不同的路径沿着直线x-y=k得到的极限值不同，那么函数f(x,y)在点(a,b)处的二重极限不存在。
2. 三重极限不存在的判定法则三重极限指的是一个多元函数在某一点的三个自变量分别趋于该点时的极限。
三重极限不存在的情况也有很多种，下面将介绍其中的几种判定法则。
2.1 Cauchy准则与二重极限的情况类似，如果一个多元函数在某一点的极限存在，那么它的三重极限也一定存在。
二重极限的计算方法(学年论文)
二重极限的计算方法小结内容摘要本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。
及二重极限不存在的几种证明方法。
关键词：二重极限变量代换等不存在的证明目录序言 (1)一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证 (1)(一)利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (1)(二)由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)(三)采用对数法求极限 (2)(四)利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)(五)等价无穷小代换 (3)(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)(七)多元函数收敛判别方法 (4)(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)(九)极坐标代换法 (6)(十)用多元函数收敛判别的方法 (7)二、证明二重极限不存在的几种方法 (7)总结 (10)参考文献 (11)序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。
对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。
虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。
对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。
二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。
由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量),(y x 的不同变化趋势和函数),(y x f 的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。
一、二重极限的计算方法小结(一) 利用特殊路径猜得极限值再加以验证利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。
求二元函数极限的几种方法二元函数极限定理
1 / 151.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限．２.二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=．例１ 求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→.解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即()()221,1,21limy x y x +→=31.2 / 152．2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解: 00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4 ()()22220,0,321)31)(21(lim yx y x y x +-++→．解:原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数．在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→,有sin(,)(,)u x y u x y;2(,)1cos(,)2u x yu x y-;[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y;arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn;(,)1(,)u x ye u x y-；同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例５求xy→→解: 当x→,0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=这个例子也可以用恒等变形法计算,如:1.2xyxyxy→→→→→→===3 / 154 / 152.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广．例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+．解: 先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→,所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例７ 求 0sin()limx y axy x →→极限.解: 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →,所以 sin()1xy xy→,再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1＝a ．这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如: 当 0x →,y a →时，0xy → ,sin()xy xy ．5 / 15所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===２.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8 求0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是无穷小量, 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦ 是有界量，又 32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- ． 虽然这个方法计算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .２.６利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,6 / 15从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。
计算二重极限的几种方法00
lim f ( x , y ) 一定不存在。 x →x
0 y →y 0
例 8 求 lim
x - y + x + y 。 2 2 x →0 x + y y →0
2
2
3
3
解 由于 y ≠0 时恒有 lim f ( x , y ) = y - 1= Υ( y ) , 故 x →0
li m lim f ( x , y ) = - 1
(x , y →
li m ) (0,
x y
0) 2
2
2 2
x + y
= 0
4 利用无穷小量乘以有界量仍为无穷小量
定理 4 若 (
x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim
f ( x , y ) = 0, 而 g ( x , y ) 于 ( x 0 , y 0 ) 的邻域内有界, 则
(x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim
f (x , y ) = A ,
(x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim
g (x , y ) = B
则 ( ( (
y →∞
x , y ) → (x 0 , y 0 ) x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim lim lim
定理 3 若于点 P 0 ( x 0 , y 0 ) 的邻域内有 h ( x , y ) ≤f ( x , y ) ≤g ( x , y ) , 且
x →x 0 y →y 0
li m h ( x , y ) = lim g ( x , y ) = A
x →x 0 y →y 0 x →x 0 y →y 0
证明二重极限不存在
证明二重极限不存在证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。
例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。
为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案2若用沿曲线，( ，y)一g( ，y)=0趋近于( ，y0)来讨论，一0g ，Y 。
可能会出现错误，只有证明了( ，)不是孤立点后才不会出错。
[关键词】二重极限;存在性;孤立点[中图分类号]o13 [文献标识码]A [文章编号]1673-3878(2008)0l__0l02__02 如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。
是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。
只是略谈一下在判断二重极限不存在时。
一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10 y—’y0 的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，Yo)的特殊曲线，如果动点(x，Y)沿这些曲线趋于(xo，Y。
定义证明二重极限
定义证明二重极限证明二重极限的定义如下：设有二元函数 $f(x, y)$ 和点 $(x_0, y_0)$，若存在常数 $A$，对于任意正数 $\varepsilon$，存在正数 $\delta_1, \delta_2$，使得当$0 < ，x - x_0， < \delta_1$ 且 $0 < ，y - y_0， < \delta_2$ 时，有 $，f(x, y) - A， < \varepsilon$ 成立，那么称函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的二重极限为 $A$。
为了证明二重极限的定义，我们需要借助 $\varepsilon$-$\delta$ 的证明方法。
证明：设函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的二重极限为 $A$，则对于任意正数 $\varepsilon$，存在正数 $\delta_1, \delta_2$，使得当 $0 < ，x - x_0， < \delta_1$ 且 $0 < ，y - y_0， <\delta_2$ 时，有 $，f(x, y) - A， < \varepsilon$ 成立。
我们需要证明这一点。
首先，假设存在正数 $\varepsilon$，对于任意正数 $\delta_1,\delta_2$，存在点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，满足 $0 < ，x_1- x_0， < \delta_1$，$0 < ，y_1 - y_0， < \delta_2$，$0 < ，x_2- x_0， < \delta_1$，$0 < ，y_2 - y_0， < \delta_2$，但 $，f(x_1, y_1) - A， \geq \varepsilon$ 和 $，f(x_2, y_2) - A， \geq\varepsilon$。
二重积分定义
D
（二重积分估值不等式）
性质6 设函数 f ( x, y)在闭区域D上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , )使得
f ( x, y)d f (,)
D
（二重积分中值定理）
例 1 比较积分 ln( x y)d 与[ln( x y)]2 d
D
(2)f(x,y)在有界闭区域D上连续 f(x,y)在D上可积
5.二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体 积． 当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体 积的负值．
在直角坐标系下用平 y 行于坐标轴的直线网来划 分区域D，
则面积元素为 d dxdy
o
故二重积分可写为
D
练习题
一、填空题:
1、当函数 f ( x, y) 在闭区域D 上______________时, 则其在D 上的二重积分必定存在 .
2、二 重 积 分 f ( x, y)d 的 几 何 意 义 是
D
___________________________________.
3、若 f ( x, y) 在 有 界 闭 区 域 D 上 可 积 , 且
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),
(1,1), (2,0).
y
解 三角形斜边方程 x y 2
1
在 D 内有 1 x y 2 e,
故 ln( x y) 1,
D
o
12x
于是ln( x y) ln( x y)2,
因此 ln( x y)d [ln( x y)]2 d .
x
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D
多元函数的极限及连续性
返回 2
一、二重极限
定义1 设二元函数 f 定义在 D R2 上, P0 为 D 的
一个聚点, A 是一实数. 若 0, 0, 使得当
P U (P0; ) D 时, 都有 | f (P) A | ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时以 A 为极限, 记作 lim f (P) A.
的一个聚点. 若 M 0, 0, 使得 P( x, y)U (P0; ) D, 都有 f ( x, y) M ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时, 有非正常极限 , 记作 lim f ( x, y) ,
( x, y ) ( x0 , y0 )
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
x2 y2 0, 而并不要求 x y 0.
(证法二) 作极坐标变换 x r cos, y r sin. 这时
( x, y) (0, 0) 等价于 r 0 ( 对任何 ). 由于
| f (x, y) 0 |
x2 y2 xy x2 y2
1 r 2 | sin 4 | 1 r 2 ,
y2 y
lim lim
lim
lim( y 1) 1,
y0 x0
x y
y0 y
y0
x2 y2 x y
x2 x
lim lim
lim
lim( x 1) 1.
x0 y0
x y
x0 x
x0
当沿斜率不同的直线 y mx, ( x, y) (0, 0) 时, 有
x2 y2 x y 1 m
x)
lim ( x 1)
x0
1,
( y x2x)
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
大学高等数学B二 二重极限计算举例PPT
第9章多元函数微分法及其应用燕山大学高等数学课题组高等数学二重极限计算举例一、证明二重极限不存在的方法点P(x,y)以任何方式趋于点P 0(x 0,y 0)时，lim P→P 0f P =A 极限表示:f(x,y)都无限接近于常数A .方法一方法二选取P →P 0的一种方式，证明按此方式的极限不存在选取P →P 0的两种方式，证明按这两种方式的极限存在但不相等方法一若此极限不存在，选取P →P 0的一种方式：某条过P 0的曲线C当P 沿曲线C 趋于P 0时，考察极限lim P→P 0P∈Cf P =lim x,y →x 0,y 0y=φx f x,y=lim x→x 0f(x,φ(x))y =φ(x)lim P→P 0f P 不存在。
则二重极限例limx,y →0,0ln 1+xy x +tany 证明不存在。
分析limx,y →0,0y=kxln 1+xy x +tanylimx→0ln 1+kx2x +tankx==limx→0kx2x +tankx 等价无穷小=lim x→02kx 1+ksec 2kx洛必达法则=1+k1+k =01+k ≠0limx,y →0,0y=−xln 1+xy x +tany=limx→02x tan 2x =limx→0−2x1−sec 2(−x)=等价无穷小lim x→02x x2∞=limx→02x=证由此可见，点(x,y)沿直线y =−x 趋于(0,0)时，函数的极限不存在，所以函数的极限不存在。
方法二选取P→P0的两种方式，过P0的曲线C1过P0的曲线C2令P分别沿曲线C1和曲线C2趋于P0，若按这两种方式，函数的极限虽然存在但不相等，即lim P→P0 P∈C1f(P)≠limP→P0P∈C2f(P)limP→P0f P不存在。
则二重极限例已知二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x yx xy y x f 试证明：当()()0,0,→y x 时，这个函数没有极限。
定义证明二重极限
判断二重极限存在的常用方法
判断二重极限存在的常用方法
二重极限是指在二元函数中，当自变量趋近于某个点时，函数的极限存在或趋近于一个确定的值。
判断二重极限的存在性是解决二元函数问题的关键，下面介绍几种常用的方法。
1. 用极限定义法
二元函数f(x,y)在点P(x0,y0)的二重极限存在，当且仅当以下条件同时满足：
（1）对于任意给定的实数ε>0，都存在一个正实数δ>0，使得当(x,y)不等于(x0,y0)且(x,y)与(x0,y0)的距离小于δ时，有
|f(x,y)-A|<ε成立。
（2）存在一个实数A，使得当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的极限趋近于A。
2. 用夹逼定理
夹逼定理是指，如果函数g(x,y)≤f(x,y)≤h(x,y)，且g(x,y)和h(x,y)在点P(x0,y0)的二重极限都等于A，则f(x,y)在点P(x0,y0)的二重极限也等于A。
3. 用累次极限法
当二元函数f(x,y)在点P(x0,y0)的二重极限存在时，可以先将y看作常数，计算f(x,y0)关于x的一重极限，如果这个极限存在，则记为g(y0)；然后再将x看作常数，计算f(x0,y)关于y的一重极限，如果这个极限存在，则记为h(x0)。
如果g(y0)和h(x0)在点(x0,y0)的邻域内都存在且相等，则f(x,y)在点P(x0,y0)的二重极限存在，
且等于g(y0)=h(x0)。
以上是判断二重极限存在的常用方法，不同的方法适用于不同的问题。
在具体应用中，需要根据问题的特点选择合适的方法，以确保结果的准确性。
高等数学-第七章小结
1.用定义证二重极限的存在，二重极限定义：
例题
2.判定二重极限不存在的两种方法：
例题
3.多元函数连续性：
例题
4.二重极限的求取：
例题
5.多元函数的一阶及高阶偏导数： 例题
例题
例题
6.多元函数全微分：
例题
7.全微分的应用： （1）全微分在近似值计算上的应用； （2）全微分在相对误差与绝对误差计算上的应用。
例题
8.多元函数连续，可导，可微，偏导数连续 的关系：
例题
9.多元复合函数求导法则：
例题
10.全微分不变性：
例题
11.一个方程所确定的隐函数求导:
12.方程组所确定的隐函数求导：
定义证明二重极限
定义证明二重极限二重极限是数学分析中的一种极限概念，用于描述函数在逼近某点的过程中两个方向上的极限情况。
它是函数极限的一种特殊情况，用来研究函数的收敛性、连续性等性质。
本文将从极限的定义、性质、证明方法以及应用等方面来详细介绍二重极限。
一、极限的定义在介绍二重极限之前，我们先回顾一下一元函数极限的定义。
给定一个函数$f(x)$以及某点$x_0$，当对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在另一个正数$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$|f(x)-L|<\varepsilon$成立，那么称数$L$是函数$f(x)$当$x$趋向于$x_0$时的极限，记作$\lim_{x\tox_0}f(x)=L$。
在这个定义中，函数$f(x)$的极限是一个数$L$，点$x_0$称为自变量的极限点。
当有两个变量时，我们需要对两个变量同时进行无限接近某个点的过程，这就是二重极限的定义。
定义1：给定一个函数$f(x,y)$以及某点$(x_0,y_0)$，点$(x_0,y_0)$称为$(x,y)$的自变量极限点。
如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$\delta$，使得当$0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta$时，$|f(x,y)-L|<\varepsilon$成立，那么称数$L$为函数$f(x,y)$当$(x,y)$趋向于$(x_0,y_0)$时的二重极限，记作$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L$。
这个定义与一元函数极限的定义类似，只是在距离的计算上使用了二维平面上的距离公式$\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$来代替绝对值的差，同时对两个自变量进行控制。
二、二重极限的性质二重极限具有一些重要的性质，下面我们来逐一介绍。
性质1：唯一性。
如果$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L_1$且$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L_2$，那么$L_1=L_2$。
二重极限存在的一个充要条件
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定义证明二重极限
定义证明二重极限第一篇：定义证明二重极限定义证明二重极限就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与a的差的绝对值会灰常灰常的接近。
那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为a关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。
，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p(x，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数a就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于d 的点，若对于任意给定的正数。
，总存在正数a，使得对d内适合不等式0<户几卜8的一切点p，有不等式v(p)一周<。
成立，则称a为函数人p)当p～p。
时的极限.定义3设函数x一人工，”的定义域为d，点产人工。
，人)是d的聚点，如果对于任意给定的正数。
，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点p(x，…ed，都有成立，则称a为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人x，…在点p入x。
，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点p。
(x。
，入)的任一去心邻域内都有使人x，y)无定义的点，相应地，定义i要求见的去心邻域内的点p都适合/(p)一a卜利用极限存在准则证明：(1)当x趋近于正无穷时，(inx/x )的极限为0;(2)证明数列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1)用夹逼准则:x大于1时,lnx>0,x >0,故lnx/x >0且lnx1),lnx/x <(x-1)/x .而(x-1)/x 极限为0故(inx/x )的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0>√a时,xn-x(n-1)=/2<0,单调递减且xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为a,xn和x(n-1)极限都为a.对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a同理可求x0<√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
二次极限与二重极限
二次极限与二重极限内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
二重极限和二次极限
设，当时的极限是同时趋向于时所得到的．此外，我们还要讨论先后相继地趋于时的极限；前者称为二重极限，后者称为二次极限．
若对任一固定的，当时，的极限存在
而在时的极限也存在并等于A ，亦即，那末称A为
先对、后对的二次极限，记为
同样可定义先对、后对的二次极限
我们必须注意有以下几种情形：’
(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在．例如
由于和在和的函数极限不存在，故在(o，o)点的两个二次极限都不存在，但因为，
故
(2)两个二次极限存在而不相等．例如
由于时恒有·，
故
同理
(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在。
例如
当时，二重极限不存在，但两个二次极限都为零．
由此可知二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之问没有什么关系．但可以证明：若某个二次极限和二重极限都存在，则二者一定相等，因之若两个二次极限存在而不相等，则二重极限一定不存在．又，若两个二次极限存在并且相等，即若
我们说二次极限可以交换求极限的次序．
还应当注意，当时，的二重极限如果是A，则意味着P以任何方式(而不仅仅是任何方向)趋于时，均趋于A ，假若P仅从任何方向(而不是任何方式)趋于时，都趋于数A,的二重极限仍可能不存在．例如函数
便是如此．点以任何方向趋于点时，读者可以验证，均趋于零，但当点户沿曲线趋于时显然趋于1，故当时，的二重极限不存在．这正如有人所说，“从一元函数转换到多元函豢时，是会出现某些在原则上是新的东西的”．其所以如此，在于高维空间几何性质的复杂性．。
二重极限的脱帽定理
二重极限的脱帽定理
二重极限的脱帽定理指的是当函数在某点的二重极限存在时，该点的函数值等于极限值。
这个定理可以用来判断函数在某点的极限值是否存在，以及计算函数在某点的极限值。
脱帽定理的证明过程如下：
假设函数f(x,y)在点(x0,y0)的二重极限存在，即
lim(x,y)->(x0,y0) f(x,y)=L。
首先，我们可以根据极限的性质，选取一个充分小的正数ε，使得当|x-x0|<ε时，对于所有的y，都有|f(x,y)-L|<ε。
然后，我们选取一个充分小的正数δ，使得当|y-y0|<δ时，对于所有的x，都有|f(x,y)-L|<ε。
现在，我们考虑一个以(x0,y0)为中心，以ε和δ为半径的球S。
在这个球内，对于所有的(x,y)，都有|f(x,y)-L|<ε。
但是，由于二重极限的存在性，我们知道对于任意的(x,y)∈S，都有lim(t->0) f(x0+t,y0+t)=L。
因此，我们可以选取一个充分小的正数η，使得当|t|<η时，对于所有的(x,y)∈S，都有|f(x0+t,y0+t)-L|<ε。
最后，我们考虑函数g(t)=f(x0+t,y0+t)，当|t|<η时，有|g(t)-L|<ε。
根据连续函数的性质，我们可以得到
lim(t->0) g(t)=L。
由于g(t)在t=0处连续，所以g(0)=f(x0,y0)。
因此，我们有f(x0,y0)=L。
综上所述，当函数在某点的二重极限存在时，该点的函数值等于极限值。
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定义证明二重极限
定义证明二重极限就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝对值会灰常灰常的接近。
那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。
，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点P(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。
，总存在正数a，使得对D内适合不等式0户几卜8的一切点P，有不等式V(P)一周。
成立，则称A为函数人P)当P～P。
时的极限.定义3设函数X一人工，”的定义域为D，点产人工。
，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。
，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点P(X，…ED，都有成立，则称A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人X，…在点P 入x。
，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点P。
(X。
，入)的任一去心邻域内都有使人X，y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点P都适合/(P)一A卜利用极限存在准则证明：(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;(2)证明数列{Xn}，其中a0，Xo0,Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1)用夹逼准则:x大于1时,lnx0,x^20,故lnx/x^20且lnx1),lnx/x^2(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0故(Inx/x^2)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1) (a/Xn-1)]/20,单调递减且Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=[A (a/A)]/2.解得A=√a同理可求x0√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义, 的直观意义.定义( 和. )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“ ”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证例5 验证例6验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制, 就有例7验证例8验证( 类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有: 例10证明: 极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有= §2 函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性( 不等式性质):Th 4若和都存在, 且存在点的空心邻域,使，都有证设= ( 现证对有)註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:( 只证“ ”和“ ”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1( 利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 [ 利用公式]例5例6例7
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