高一数学函数单调性的定义图象及应用
高一数学必修一第三讲《函数的单调性与奇偶性》
注意：
①函数的奇偶性是函数的整体性质；
②定义域内的任意一个 x，则－x 也一定是定义域内的一个自变量
（即定义域关于原点对称）。
★★★利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定 f(－x)与 f(x)的关系；
③作出相应结论：
若 f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；
f (a2 1) f (a 1) 0 的实数 a 的取值范围.
家长签字：
第五讲 函数单调性与奇偶性的复习 一、必备基础
1.单调函数：增函数，减函数，单调性，单调区间 2.奇偶函数定义：奇偶函数图象性质
3.最值：设函数 y f x 定义域为 I，如果存在实数满足：①对于任意的 x I ，都有 f x M 。②存在 x0 I 使得 f x0 M ，那么称函数 y f x 有最大值为 M。
2、画出反比例函数 y 1 的图象。 x
（1）这个函数的定义域 是什么？ （2）它在定义域 上的单调性是怎样的？证明你的结论。
家长签字：
第3页共8页
一、偶函数
暑期预科:函数
第四讲 奇偶性
勤动笔，多思考！ 各位，加油！！
画出函数 f (x) x 2 和函数 f (x) | x | 的图象，思考并讨论以下问题：
你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y f (x) 的最小值 (min imum value ）的定义吗？ 例 5、求函数 f (x) x 1 在区间 (0,2) 上的最小值。
x
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暑期预科:函数
勤动笔，多思考！ 各位，加油！！
例
6、已知函数
y
2（ x 1
高一数学 函数单调性讲解
高中数学必修一函数——单调性考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。
能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。
利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。
掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。
知识要点：1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用一、单调性的定义（1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间（2）设函数)(x f y =的定义域为A如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值。
二、函数单调性的证明重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；定义法判断单调性：如果用定义证明)(x f y =在某区间I 上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号（关键化成因式的乘积）；④下结论。
高一数学单调性知识点总结
高一数学单调性知识点总结在高中数学学习中，单调性是一个非常重要的概念。
单调性可以帮助我们理解函数的增减趋势以及函数图像的形状。
在本文中，我们将总结高一数学中与单调性相关的知识点，并探讨其应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减趋势。
具体来说，我们可以分为递增和递减两种情况进行讨论。
1. 函数的递增性如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a<b时有f(a)<f(b)，那么我们称函数为递增函数。
简单来说，递增函数的函数值随着自变量的增大而增大。
通过求导可以帮助我们判断函数的递增性。
如果函数的导数大于零，则函数递增；如果导数小于零，则函数递减；如果导数等于零，则函数在该区间内的单调性不确定，需要进行进一步的分析。
2. 函数的递减性如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a<b时有f(a)>f(b)，那么我们称函数为递减函数。
递减函数的函数值随着自变量的增大而减小。
二、函数图像的单调性分析在图像上观察函数的单调性，可以通过以下几个方面来判断。
1. 函数图像在某个区间内递增或递减通过观察函数图像，在某个区间内如果图像整体上升，则该区间内函数递增；如果图像整体下降，则该区间内函数递减。
2. 函数图像在特定点的切线斜率通过求导函数，可以得到函数的导函数。
根据导函数的正负性，可以判断函数图像在特定点的切线斜率的正负。
如果导函数大于零，则函数图像在该点的切线斜率大于零，即函数递增；如果导函数小于零，则函数图像在该点的切线斜率小于零，即函数递减。
3. 函数图像的拐点与极值点在函数图像上，拐点和极值点可能对函数的单调性产生影响。
如果在拐点或极值点的左侧函数递增，在右侧函数递减，或者相反，那么拐点或极值点就是函数单调性发生改变的点。
三、应用举例单调性是数学中的一个重要概念，有许多实际应用。
1. 市场需求曲线在经济学中，市场需求曲线通常被认为是递减函数。
这意味着当商品价格上涨时，需求量下降；当价格下降时，需求量增加。
高一数学中函数的单调性4种求法
高一数学中函数的单调性4种求法-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高一数学中函数的单调性非常重要，分析函数的单调性方法有：定义法，图像法，性质法,复合法.下边结合例题加以说明：1.定义法例题已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+)上是增函数，求a的值。
解分析函数在R+上的单调性任取x1>x2>0Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1)令y1-y2>0 所以 X1^2+X1X2+X2^2-1>0因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1当3X2^2-1>=0时即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的同理当3X1^2-1<=0时即X1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3)因此 a=根号3/3一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。
2.图像法例题求y=x+3/x-1的单调区间解函数定义域为（-，1）并（1，+)Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1由图像可知函数在（-，1）和（1，+0）上递减。
函数的图像是解决这类问题的关键。
3.性质法性质：增+增=增减+减=减y=f(x)与y=kf(x) 当k>0 有相同的单调性当k<0有相反的单调性y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) 当k>0 有相反的单调性，当k<0 有相同的单调性例题求y=x^3+x的单调区间。
函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
新教材高中数学第三章函数的单调性课件新人教B版必修第一册ppt
【解析】选 C.对于 A，y＝－2x 在定义域上无单调性，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上 是增函数，所以 A 错误； 对于 B，y＝x2＋1 1 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，所以 B 错误； 对于 C，y＝－3x2－6x 图像是抛物线，对称轴是 x＝－1，所以函数在[－1，＋∞)上是 减函数，所以 C 正确； 对于 D，a>0 时，y＝ax＋3 在(－∞，＋∞)上为增函数，a<0 时，y＝ax＋3 在(－∞， ＋∞)上是减函数，所以 D 错误．
A．[1，2]
B．12，2
C．(1，2]
D．21，2
【思路导引】分别考虑 x>0，x<0，分界点三个方面的因素求范围．
【解析】选 A.因为函数 f(x)＝（ －2x2b＋－（1）2－x＋b）b－x，1，x≤x0>，0， 2b－1>0，
在 R 上为增函数，所以 2－2 b≥0， 解得 1≤b≤2. b－1≥0，
3．函数 y＝|x－1|的单调增区间是____________． 【解析】作出函数的图像，如图所示，所以函数的单调递增区间为[1，＋∞).
答案：[1，＋∞)
图像法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图像； (2)结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间．
【补偿训练】 画出函数 y＝|x|(x－2)的图像，并指出函数的单调区间． 【解析】y＝|x|(x－2)＝x－2－x22＋x＝2x（ ＝x－－（1）x－2－1）1，2＋x≥1，0，x<0， 函数的图像如图所示． 由函数的图像知：函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)， 单调递减区间为(0，1).
类型三 函数单调性的应用(数学运算、逻辑推理) 利用单调性解函数不等式 【典例】已知函数 f(x)的定义域为[－2，2]，且 f(x)在区间[－2，2]上是增函数， f(1－m)＜f(m)，则实数 m 的取值范围为________． 【思路导引】从定义域，单调性两个方面列不等式求范围．
人教版高一数学必修一1.3函数的基本性质(单调性)(共25张PPT)
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他பைடு நூலகம்脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
高一数学函数单调性的证明 图文
1、单调增函数与单调减函数
一般地，设函数y ＝ f(x) 的定义域为I，区间D I．
如果对于区间D内的任意两个值x1、x2，当当xx11＜＜xx22时时，，都都 有f(x1)＜f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间D上是单调增函数， D称为y＝f(x)的单调增区间． 如果对于区间D内的任意两个值x1、x2，当x1＜x2时，都 有f(x1)＞f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间D上是单调减函数， D称为y＝f(x)的单调减区间．
内y随x的增大而增 y随x的增大而减小；
例1：画出下列函数的图象
（1）y = x
x1
y y=x
1·
O 1· x
此函数在区间 大，在区间
f(x1)
内y随x的增大而增 y随x的增大而减小；
例1：画出下列函数的图象
（1）y = x
y
1·
x1 O
y=x
1· x
f(x1)
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 y随x的增大而减小；
取值
2(x1x2)
作差变形
∵ x1 x2
∴ x1x2 0, 2(x1x2)0 ∴ f(x1)f(x2)0,即 f(x1)f(x2).
定号
∴ f(x)2x2在R上是单调减函数． 下结论
例3 证明：函数 f(x)x22x 在3区间
(－1，＋∞）上是单调增函数．
证：在区间(－1，＋∞）上任意取两个值 x1,，x2且 ，
y
f(x2)
图 象 f(x1)
0
图象 特征 数量 特征
在区间I内
y=f(x)
·
y
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
高一数学函数的单调性知识点
高一数学知识点函数的单调性一、函数单调性知识结构【知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用二、重点叙述1. 函数单调性定义(一)函数单调性概念(1)增减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 :如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。
如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。
(2)函数单调性的内涵与外延⑴函数的单调性也叫函数的增减性。
函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。
⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D,① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小)③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。
(可用于比较自变量值的大小)2. 函数单调性证明方法证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。
实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。
(1)定义法:利用增减函数的定义证明。
在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。
⑴转化为求差比较证明程序:①设任意的x 1、x 2∈D,使x 1＜x 2 ;②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形大多要“因式分解”。
求差:; 变形:化简、因式分解; 判断:差的符号的正或负。
高一函数的单调性的知识点
高一函数的单调性的知识点函数是数学中的重要概念之一，而在高一阶段学习的数学中，函数的单调性是一个重要的知识点。
下面我们将详细介绍高一函数的单调性的相关知识。
一、函数的单调性定义函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
具体来说，若对于定义域上的任意两个数x₁和x₂，当x₁<x₂时，函数f(x₁)的值与函数f(x₂)的值之间的关系。
如果函数在定义域上满足这种关系，我们称之为函数的单调性。
二、单调递增与单调递减函数的单调性可分为单调递增和单调递减两种情况。
1. 单调递增函数f(x)在定义域上，当x₁<x₂时，如果f(x₁)≤f(x₂)，则函数f(x)是单调递增的。
例如，对于函数f(x)=x²，在整个实数范围上，无论取哪两个不相等的实数x₁和x₂，当x₁<x₂时，f(x₁)≤f(x₂)恒成立。
因此，函数f(x)=x²是单调递增的。
2. 单调递减函数f(x)在定义域上，当x₁<x₂时，如果f(x₁)≥f(x₂)，则函数f(x)是单调递减的。
例如，对于函数f(x)=1/x，在定义域(0，+∞)上，当x₁<x₂时，f(x₁)≥f(x₂)恒成立。
因此，函数f(x)=1/x是单调递减的。
三、判断函数的单调性的方法我们可以通过函数图像、导数和函数的增减性来判断函数的单调性。
1. 函数图像法通过画出函数的图像，观察图像随x的变化趋势，判断函数的单调性。
例如，对于函数f(x)=x³，我们可以绘制出函数的图像。
通过观察图像可知，当x₁<x₂时，f(x₁)≤f(x₂)恒成立，因此函数f(x)=x³是单调递增的。
2. 导数法对于一元函数f(x)，如果其导数f'(x)的值恒大于0（或小于0），则函数f(x)是单调递增的（或递减的）。
例如，对于函数f(x)=2x²-3x，我们首先求出其导数f'(x)=4x-3。
通过观察导数的值可知，f'(x)在整个实数范围上恒大于0，也就是说函数f(x)是单调递增的。
高一数学必修1函数的单调性
讨论函数f(x)＝
(a≠0，－1＜x＜1)的单调性.
解：设－1＜x1＜x2＜1，
那么f(x1)－f(x2)＝
＝
.
∵－1＜x1＜x2＜1， ∴|x1|＜1，|x2|＜1，x2－x1＞0，
－1＜0， －1＜0，|x1x2|＜1， 即－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0.
∴
＞0.
因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0. 即f(x1)＞f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为减函数； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为增函数.
讨论函数f(x)＝ [思路点拨]
(a＞0)的单调性.
[课堂笔记] ∵f(x)＝
，
∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠1}.
法一：(定义法)任取x1，x2∈R，且x1，x2均不为1，x1＜x2
，
那么f(x1)－f(x2)＝(a＋
)－(a＋
)
＝
＝
.
①设x1＜x2＜1，x1－1＜0，x2－1＜0，x2－x1＞0，a＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2). ②设1＜x1＜x2，x2－1＞0，x1－1＞0，x2－x1＞0，a＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2). ∴函数f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为减函数.
答案：D
4. y ＝ 的递减区间是
区间是
.
，y＝
的递减
解析：y＝
＝
＝－1＋
,
∴y＝
的递减区间是(－1，＋∞)和(－∞，－1).
要使函数y＝
有意义，那么
≥0，且1＋x≠0，
∴－1＜x≤1
高一数学 函数单调性与最值(含解析)
函数单调性引入对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间（0， ）上，随着 的增大，相应的 也随着增大”；在区间（0， ）上，任取两个 ， ，得到 ，，当 时，有 .这时，我们就说函数 在区间（0， ）上是增函数.一、 函数单调性的判断与证明 1、函数增减性的定义一般地，设函数 的定义域为 ： 如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是增函数（increasing function ）如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是减函数（decreasing function ）.【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 【解析】选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.【例2】判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．【解】任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 【例3】 求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|； (3)y ＝－x 2＋2|x |＋1.【解】(1)∵f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≥0，－3x ， x <0.图象如图所示．f(x )在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(3)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【例4】求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．【解】令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数．由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 【例5】证明：函数 在R 上是增函数【变式1】利用函数单调性的定义，证明函数 在区间 上是增函数。
高一数学上函数的单调性知识点
高一数学上函数的单调性知识点函数的单调性是高一数学中重要的知识点之一。
对于一个给定的函数，我们可以通过研究它的单调性来了解函数的增减变化规律。
在本篇文章中，将介绍函数的单调性的基本概念、判断方法和应用。
一、函数的单调性的概念函数的单调性是指函数在定义域内的增减变化规律。
基本上，函数的单调性可以分为三种情况：递增、递减和不变。
当函数的值随着自变量的增加而增加时，我们称该函数为递增函数。
相反地，当函数的值随着自变量的增加而减少时，我们称该函数为递减函数。
若函数在自变量取值范围内既递增又递减，或者在某些区间内递增，在其他区间内递减，我们则称该函数是不变函数。
二、函数单调性的判断方法判断函数的单调性，一般可以通过函数的导数、变化率和二阶导数等方法进行推导。
1. 函数的导数法对于给定的函数f(x)，我们通过求函数的导数f'(x)来判断函数的单调性。
若函数在定义域内的导数恒大于0，则函数递增；若导数恒小于0，则函数递减。
例如，对于函数f(x) = x^2，求导得到f'(x) = 2x。
由于函数的导数f'(x)在定义域内恒大于0，所以该函数是递增的。
2. 函数的变化率法利用函数的变化率来判断函数的单调性是另一种常用的方法。
对于给定的函数f(x)，通过计算任意两个点(x1, f(x1))和(x2, f(x2))之间的斜率来判断函数的单调性。
若对于任意两个不同的点(x1, f(x1))和(x2, f(x2))，斜率k = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1) 恒大于0，则函数递增；若斜率k恒小于0，则函数递减。
若存在某些点斜率为0，则表示函数的区间不变。
例如，对于函数f(x) = 2x + 1，选择两个不同的点(-1, f(-1))和(1,f(1))，计算斜率为(3 - (-1)) / (1 - (-1)) = 2 > 0，故该函数是递增的。
3. 函数的二阶导数法二阶导数法是判断函数的单调性的另一种常见方法。
高一数学函数的单调性与最值
§2.2函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对?x1，x2∈D，x1≠x2，f x1－f x2x1－x2>0?f(x)在D上是增函数；对?x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0?f(x)在D上是增函数．减函数类似．2．写出函数y＝x＋ax(a>0)的增区间．提示(－∞，－a]和[a，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(×)(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)所有的单调函数都有最大值和最小值．(×)题组二教材改编2.如图是函数y＝f(x)，x∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是()A．f(x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数B．f(x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2C．f(x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3D．当直线y＝t与f(x)的图象有三个交点时－1<t<2答案C3．函数y＝2x－1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)?[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三易错自纠5．函数f (x)＝12log (－2x 2＋x)的单调增区间是________；f (x)的值域是________．答案14，12[3，＋∞)6．函数y ＝f (x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f(2a)，则实数a 的取值范围是________．答案[－1,1)解析由条件知－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a<1.7．设函数f (x)＝x 2＋1x，x ≥1，ax ，x<1是单调函数．则a 的取值范围是________；若f (x)的值域是R ，则a ＝________.答案(0,2]2解析当x ≥1时，f (x)＝x 2＋1x＝x ＋1x ，则f ′(x)＝1－1x 2≥0恒成立，∴f (x)在[1，＋∞)上单调递增，∴f (x)min ＝f(1)＝2，当x<1时，f (x)＝ax ，由于f (x)是单调函数，∴f (x)＝ax 在(－∞，1)上也单调递增，且ax ≤2恒成立，∴a>0，a ≤2，故a 的取值范围为(0,2]，∵当x ≥1时，f (x)≥2，由f (x)的值域是R ，可得当x ＝1时，ax ＝2，故a ＝2.确定函数的单调性命题点1求具体函数的单调区间例1(1)(2019·郴州质检)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析由x2－2x－8>0，得f(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．∵函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.(2)设函数f(x)＝1，x>0，0，x＝0，－1，x<0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．答案[0,1)解析由题意知g(x)＝x2，x>1，0，x＝1，－x2，x<1，该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．命题点2判断或证明函数的单调性例2讨论函数f(x)＝axx－1(a>0)在(－∞，1)上的单调性．解方法一?x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，f(x)＝a x－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a 1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝a x2－x1x1－1x2－1，由于x1<x2<1，∴x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a>0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x)在(－∞，1)上单调递减．方法二f ′(x)＝a x －1－axx －12＝－a x －12，∵(x －1)2>0，a>0，∴f ′(x)<0，故a>0时，f (x)在(－∞，1)上是减函数．思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．跟踪训练1(1)(2019·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A ．y ＝12x B ．y ＝2－xC ．y ＝12log xD ．y ＝1x答案A解析y ＝12x ＝x ，y ＝2－x ＝12x ，y ＝12log x ，y ＝1x 的图象如图所示．由图象知，只有y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增．(2)函数f (x)＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f (x)＝x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x<2.画出f (x)的大致图象(如图所示)，由图知f (x)的单调递减区间是[1,2]．(3)函数f (x)＝110log(6x 2＋x －1)的单调增区间为________．答案－∞，－12解析由6x 2＋x －1>0得，f (x)的定义域为x |x<－12或x>13.由复合函数单调性知f (x)的增区间即y ＝6x 2＋x －1的减区间(定义域内)，∴f(x)的单调增区间为－∞，－12.函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3(1)若函数f (x)＝x 2，设a ＝log 54，b ＝15log 13，c ＝152，则f (a)，f (b)，f (c)的大小关系是()A ．f (a)>f (b)>f (c)B ．f (b)>f (c)>f (a)C ．f (c)>f (b)>f (a)D ．f (c)>f (a)>f (b)答案D解析因为函数f (x)＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，而0<15log 13＝log 53<log 54<1<152，所以f (b)<f (a)<f (c)．故选 D.(2)已知定义在R 上的函数f (x)＝2|x －m|＋1(m ∈R)为偶函数．记a ＝f (log 22)，b ＝f (log 24)，c ＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．c<a<bC．a<c<b D．c<b<a答案B解析∵定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|＋1(m∈R)为偶函数，∴m＝0，∴f(x)＝2|x|＋1，∴当x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数．∵a＝f(log22)＝f(1)，b ＝f(log24)＝f(2)，c＝f(2m)＝f(0)，∴a，b，c的大小关系为c<a<b.命题点2求函数的最值例4(1)函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y＝13x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.(2)(2020·深圳模拟)函数y＝x2＋4x2＋5的最大值为________．答案25解析令x2＋4＝t，则t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝tt2＋1＝1t＋1t，设h(t)＝t＋1t，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，∴h(t)min＝h(2)＝52，∴y≤152＝25(x＝0时取等号)．即y最大值为25.命题点3解函数不等式例5(1)已知函数f(x)＝x3，x≤0，ln x＋1，x>0，若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．答案(－2,1)解析根据函数f(x)的图象可知，f(x)是定义在R上的增函数．∴2－x2>x，∴－2<x<1. (2)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是______________．答案(－5，－2)∪(2，5)解析因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－5<x<－2或2<x< 5.命题点4求参数的取值范围例6(1)已知f(x)＝3a－1x＋4a，x＜1，log a x，x≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是()A．(0,1) B.0，13C.17，13 D.17，1答案C解析由f(x)是减函数，得3a－1＜0，0＜a＜1.3a－1×1＋4a≥log a1，∴17≤a＜13，∴实数a的取值范围是17，13.(2)已知函数f(x)＝x2＋12a－2，x≤1，a x－a，x>1，若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a－2≤0，则a≤2，又y＝a x－a(x>1)是增函数，故a>1，所以a的取值范围为1<a≤2.(3)已知函数y＝log a(2－ax)在[0,1]是减函数，则实数a的取值范围是________．答案(1,2)解析设u＝2－ax，∵a>0且a≠1，∴函数u 在[0,1]上是减函数．由题意可知函数y ＝log a u 在[0,1]上是增函数，∴a>1.又∵u 在[0,1]上要满足u>0，∴2－a ×1>0，2－a ×0>0，得a<2.综上得1<a<2.思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)求最值．(3)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．②需注意若函数在区间[a ，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)(2019·唐山模拟)已知函数f (x)为R 上的减函数，则满足f|1x |<f(1)的实数x的取值范围是________．答案(－1,0)∪(0,1)解析因为f (x)在R 上为减函数，且f 1|x|<f (1)，所以1|x|>1，即0<|x|<1，所以0<x<1或－1<x<0.(2)函数f (x)＝1x，x ≥1，－x 2＋2，x<1的最大值为________．答案2解析当x ≥1时，函数f (x)＝1x为减函数，所以f (x)在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x<1时，易知函数f (x)＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x)的最大值为 2.(3)已知函数y ＝12log (6－ax ＋x 2)在[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围为________．答案[4,5)解析设u ＝6－ax ＋x 2，∵y＝12log u为减函数，∴函数u在[1,2]上是减函数，∵u＝6－ax＋x2，对称轴为x＝a2，∴a2≥2，且u>0在[1,2]上恒成立．∴a≥4，6－2a＋4>0，解得4≤a<5，∴实数a的取值范围是[4,5)．1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是() A．y＝ln(x＋2)B．y＝－x＋1C．y＝12x D．y＝x＋1x答案A解析函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f(x)＝1－1x－1()A．在(－1，＋∞)上单调递增B．在(1，＋∞)上单调递增C．在(－1，＋∞)上单调递减D．在(1，＋∞)上单调递减答案B解析f(x)图象可由y＝－1x图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示．3．(2019·沧州七校联考)函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是() A．(3，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，－1)答案A解析由已知易得x＋1>0，x－3>0，即x>3，f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)＝log0.5(x＋1)(x－3)，x>3，令t＝(x＋1)(x－3)，则t在[3，＋∞)上单调递增，又0<0.5<1，∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1)D．(0,1]答案D解析因为f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，所以a≤1，又因为g(x)＝ax＋1在[1,2]上是减函数，所以a>0，所以0<a≤1.5．已知函数f(x)＝x|x＋2|，则f(x)的单调递减区间为() A．[－2,0]B．[－2,1]C．[－2，－1]D．[－2，＋∞)答案C解析由于f(x)＝x|x＋2|＝x2＋2x，x≥－2，－x2－2x，x<－2，当x≥－2时，y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，显然，f(x)在[－2，－1]上单调递减；当x<－2时，y＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，显然，f(x)在(－∞，－2)上单调递增．综上可知，f(x)的单调递减区间是[－2，－1]．6．(2020·青岛模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(x2－2x＋a)<f(x ＋1)对任意的x∈[－1,2]恒成立，则实数a的取值范围为()A.－∞，134B．(－∞，－3)C．(－3，＋∞) D.134，＋∞答案D解析依题意得f(x)在R上是减函数，所以f(x2－2x＋a)<f(x＋1)对任意的x∈[－1,2]恒成立，等价于x2－2x＋a>x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成立，等价于a>－x2＋3x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成立．设g(x)＝－x2＋3x＋1(－1≤x≤2)，则g(x)＝－x－322＋134(－1≤x≤2)，当x＝32时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g 32＝134，因此a>134，故选 D.7．(多选)已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则() A．πe<3e B．3e－2π<3πe－2 C．logπe<log3e D．πlog3e>3logπe 答案CD解析已知π为圆周率，e为自然对数的底数，∴π>3>e>2，∴π3e>1，πe>3e，故A错误；∵0<3π<1,0<e－2<1，∴3πe－2>3π，∴3e－2π>3πe－2，故B错误；∵π>3，∴logπe<log3e，故C正确；由π>3，可得log3e>logπe，则πlog3e>3logπe，故D正确．8．函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________．答案(－∞，－1]和[0,1](－1,0)和(1，＋∞)解析由于y＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x<0，即y＝－x－12＋2，x≥0，－x＋12＋2，x<0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．9．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是______________．答案－14，0解析当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－1a，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－1a ≥4，解得－14≤a<0.综上，实数a的取值范围是－14，0.10．(2019·福州质检)如果函数f(x)＝2－a x＋1，x<1，a x，x≥1满足对任意x1≠x2，都有f x1－f x2x1－x2>0成立，那么实数a的取值范围是________．答案32，2解析对任意x1≠x2，都有f x1－f x2x1－x2>0，所以y＝f(x)在R上是增函数．所以2－a>0，a>1，2－a×1＋1≤a，解得32≤a<2.故实数a的取值范围是32，2.11．试判断函数f(x)＝x3－1x在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．证明方法一设0<x1<x2，f(x)＝x3－1x＝x2－1x，f(x1)－f(x2)＝x21－x22－1x1－1x2＝(x1－x2)·x1＋x2＋1x1x2.∵x2>x1>0，∴x1－x2<0，x1＋x2＋1x1x2>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．方法二f′(x)＝2x＋1x2.当x>0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数．12．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且x>0时，f(x)<0.(1)求证：f(x)在R上是奇函数；(2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)若f(1)＝－23，求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，令x＝y＝0得f(0)＝0，令y＝－x得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)在R上是奇函数．(2)证明在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，∵x>0时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上是减函数．(3)解∵f(x)是R上的减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)和f(3)，而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2，∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－ 2.13．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则实数a的取值范围是________．答案(－1，＋∞)解析由题意可得，存在正数x使a>x－12x成立．令f(x)＝x－12x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a>－1时，存在正数x使原不等式成立．14．设函数f (x)＝－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x>4.若函数y ＝f (x)在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x)的图象如图所示，由图象可知f (x)在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.15．(2019·石家庄模拟)已知函数f (x)＝2021x－2021－x＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x)>2的解集为____________．答案14，＋∞解析由题意知，f (－x)＋f (x)＝2，∴f (2x －1)＋f (2x)>2可化为f (2x －1)>f (－2x)，又由题意知函数f (x)在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x>14，∴原不等式的解集为14，＋∞.16．已知函数f (x)＝lg x ＋ax －2，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x)的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x)>0，试确定实数a 的取值范围．解(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0.①当a>1时，x 2－2x ＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)；②当a ＝1时，定义域为{x|x>0且x ≠1}；③当0<a<1时，定义域为{x|0<x<1－1－a 或x>1＋1－a}．(2)设g(x)＝x＋ax－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g(x)＝x＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数．∴f(x)＝lg x＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数，∴f(x)＝lg x＋ax－2在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg a2.(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x＋ax－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．∴a>3x－x2，x∈[2，＋∞)．设h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)，则h(x)＝3x－x2＝－x－322＋94在[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2)＝2.∴a>2.即实数a的取值范围是(2，＋∞)．。
08.高一寒假数学讲义：函数的单调性(定义法、图象法、性质法)(应用)【讲师版】
高一寒假数学讲义“函数的单调性（定义法、图象法、性质法）（应用）”学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长这一部分知识一般是综合题中最基本的组成部分，先有正确的判断才会有后面一系列顺利的解题，所以相当重要。
函数的单调性1．函数的单调性我们把自变量在定义域中逐渐增加时，函数值逐渐增加(或减小)的性质叫做函数的单调性．对于某个区间上的自变量的任意两个值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f <，则函数)(x f 在这个区间上是增函数。
这个区间叫做函数)(x f 的单调增区间．对于某个区间上的自变量的任意两个值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f > 则函数)(x f 在这个区间上是减函数，这个区间叫做函数)(x f 的单调减区间．2．常见函数单调性的判断有关单调函数，我们还可以证明以下一些重要结论：(1)若函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )+g (x )在A 内是增(减)函数．(2)若两个正值函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )•g (x )在区间A 内也是增(减)函数．(3)若两个负值函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )•g (x )在区间A 内是减(增)函数．3．复合函数单调性的判断设有函数y =f (u ),及u =g (x ),则我们称形如y =f [g(x)]的函数是复合函数，例如32)(2-+=x x x f 以看作是由u y =和322-+=x x u 复合而成的复合函数，像这样的函数有很多，其中u =g (x )又称之为内层函数，y =f (u ),称之为外层函数．有关复合函数的单调性，我们很容易证明以下结论(证明留给读者自己完成)(见下表)。
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函数的单调性习题
一． 选择题：
1．函数1
1
--=x y 的单调区间是 （ ）
),.(+∞-∞A )0,.(-∞B ),1(),1,.(+∞-∞C ()+∞-∞,1)1,.(Y D
2．如果函数)(x f 在],[b a 上是增函数，那么对于任意的)(],,[,2121x x b a x x ≠∈，下列结论中不正确的是 （ ）
0)
()(.
2
121>--x x x f x f A 0)]()()[.(2121>--x f x f x x B
)()()()(.21b f x f x f a f C <<< 0)
()(.
121
2>--x f x f x x D 3.函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
),3.[+∞-A ]3,.(--∞B ]5,.(-∞C ),3[+∞
4．函数2
1
)(++=
x ax x f 在区间),2(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） )21,0.(A ),1()1,.(+∞--∞Y B ),2
1
.(+∞C ),2.(+∞-D
5．函数)2(,2
3
-≠+=x x y 在区间]5,0[上的最大值、最小值分别是（ ）
0,73.A 0,23.B 73,23.C .D 最大值7
3
，无最小值。
6．函数23)(2++=x x x f 在区间)5,5(+-上的最大值、最小值分别是（ ）
12,42.A 41,42.-B 41,12.-C D 最小值4
1
-，无最大值。
7．下列命题正确的是 （ ）
A 定义在),(b a 上的函数)(x f ，若存在),(21b a x x ∈，使得21x x <时有
)()(21x f x f <，那么)(x f 在),(b a 上为增函数。
B 定义在),(b a 上的函数)(x f ，若有无穷多对),(21b a x x ∈，使得21x x <时有
)()(21x f x f <，那么)(x f 在),(b a 上为增函数。
C 若)(x f 在区间1I 上为增函数，在区间2I 上也为增函数，那么)(x f 在21I I Y 上也一定为增函数，
D 若在)(x f 区间I 上为增函数且),(),()(2121I x x x f x f ∈<，那么21x x <。
8.设),(),,(d c b a 都是)(x f 的单调增区间，且),(),,(21d c x b a x ∈∈21x x <，则)(1x f 与)(2x f 的大小关系为 （ ）
)()(.21x f x f A < )()(.21x f x f B > )()(.21x f x f C = D 不能确定
9．考察函数：①x y =；②x x
y =；③x
x y 2
-=；④x x x y +=。
其中在)0,(-∞上
为增函数的有（ ）
.A ①② B 。
②③ C 。
③④ .D ①④
10.已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ）
),1.[+∞A ]2,0.[B ]2,.(--∞C ]2,1.[D
二． 填空题：
1． 函数x y -=在),[+∞a 上是减函数，则a 的取值范围是 2． 函数x
x y 1
2-
=的单调递增区间是 3． 函数562+-=x x y 的单调增区间是
4． 已知函数)(x f 在区间),0(+∞上是减函数，那么)1(2+-a a f 与)4
3
(f 的大小关
系为
5． 函数245x x y --=的单调递增区间是
三． 解答题：
1． 试证明函数b b x y (,3-=是常数）在R 上是增函数。
2．讨论函数)11(,1
)(2<<--=x x ax
x f 的单调性。
3．已知函数)0(22)(2≠++-=a b ax ax x f 在]3,2[有最大值5和最小值2，求b a ,的值。
4．设函数44)(2+-=x x x f 的定义域为[]1,2--t t ，求函数)(x f 的最小值)(t y ϕ=的解析式。
5．已知)(x f 的定义域为),0(+∞，且在其定义域 内为增函数，满足
)()()(y f x f xy f +=，1)2(=f ，试解不等式： 3)2()(>--x f x f。