任意角的三角函数(二)

任意角的三角函数⑵

1.任意角的三角函数的(代数表示)-----定义设为任意角, p ( x , y )是终边与单位圆的交点。
y
P (x, y) 正弦： sin
1 余割： csc y

o
x
1 余弦： cos x 正割： sec x 正切： tan y 余切： cot x
y o x
α在第二象限如何？其它象限如何？
五.任意角的三角函数的 (几何表示)----三角函数线
y T P(x,y)

sin y MP
o M A(1,0) x
cos x OM
MP AT tan AT OM OA
1.设的终边与单位圆交于点P(x,y),
2.过点P作x轴的垂线，垂足为M
0
k Z
转化为求00 到3600 角的三角函数值。可把求任意角的三角函数值，
练习：1.求值 9 1) cos 4

2) sin1470

19 4) sin( 1050 ) 5) tan 3
11 3) tan( ) 6 31 6) tan( ) 4
五.任意角的三角函数的 (几何表示)----三角函数线
y x y tan cos sin x r r
2.若角
3.角
求
的终边上一点P的坐标为 4a, 3a a 0
2sin cos 的值；
3 8 的终边过点P a， cos 则 a ______ 5
，
4.角的终边在直线3 x 4 y 0上, 求2sin cos
y T P(x,y)

sin y MP
o M A(1,0) x

三角函数任意角2

第一章三角函数1.1.1任意角（2）学习目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

学习重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义学习难点：“旋转”定义角课堂探究：一、复习回顾任意角的概念，角可以分为正角、负角和零角；象限角的概念及所有与α角终边相同的角的集合的表示法S={β|β=α+k×3600，k∈Z}.我们将进一步学习并运用任意角的概念，解决一些简单问题。

二、例题选讲例1写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：（1）600；（2）-210；（3）363014，解：（1）S={β|β=600+k×3600，k∈Z}S中适合-3600≤β<7200的元素是600+（-1）×3600=-3000 600+0×3600=600 600+1×3600=4200.（2）S={β|β=-210+k×3600，k∈Z} S中适合-3600≤β<7200的元素是-210+0×3600=-210 -210+1×3600=3390 -210+2×3600=6990说明：-210不是00到3600的角，但仍可用上述方法来构成与-210角终边相同的角的集合。

（3）S={β|β=363014，+k×3600，k∈Z} S中适合-3600≤β<7200的元素是363014，+（-2）×3600=-356046，363014，+（-1）×3600=3014，363014，+0×3600=363014，说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。

例2写出终边在下列位置的角的集合(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个角即α，然后在后面加上k×3600即可。

任意角的三角函数(第二课时)PPT课件

于第一或第三象限。因为① ②式都成立，所以角θ的终边只能位于第
三象限。于是角θ是第三象限角。
2020年10月2日
12
（1）. 若sinα=1/3，且α的终边经过点p（—1，y），则α是第几象限的角？并求secα，tanα的值。
（答案：α为第二象限的角，sec3 2,tan2 2)
4
（2）下列四个命题中，正确的是 A．终边相同的角都相等 B．终边相同的角的三角函数相等 C．第二象限的角比第一象限的角大 D．终边相同的角的同名三角函数值相等
练习P19-4、5、6
2020年10月2日
10
例3 （1）
解： ①因为2500是第三象限的角，
所以cos 2500 <0。
②因为tan(11π/3)=tan(5π/3+2π)
=tan(5π/3)，
而5π/3是第四象限角，所以
（2）
tan(11π/3)<0。
解： ①cos(9π/4)=cos(π/4+2π)
值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
2020年10月2日
9
应用举例例 3 （1）确定下列三角函数值的符号：
① cos2500
② tan（11π/3）
（2）求下列三角函数值： ① cos (9π/4) ② tan (－11π/6)
例4 求证，θ为第三象限角的充分必要条件是： sinθ<0 ① 且 tanθ>0 ②
2020年10月2日
1
温故知新
正弦函数、余弦函数、正切函数的定义? 正弦：sinα =MP =y/r 余弦：cosα =OM =x/r 正切：tanα=AT =y/x

1.2.1任意角的三角函数(二)

茅盾中学沈晓强
茅盾中学

新课
首页例2、若0 , 试比较 sin , tan ,的 2 教学过程大小.
引入进行小结作业
G S P
EXIT
2014年7月7日星期一
茅盾中学小结作业
教学过程
EXIT
2014年7月7日星期一
茅盾中学沈晓强
茅盾中学

作业
首页
引入进行小结作业
教学过程
EXIT
2014年7月7日星期一
茅盾中学沈晓强
茅盾中学

结束
首页
引入进行小结作业
教学过程
EXIT
2014年7月7日星期一
2014年7月7日星期一
茅盾中学沈晓强
茅盾中学

新课
首页例1、作出下列各角的正弦线, 余弦线, 正切线 : 教学过程 5 (1) ; ( 2) ; 引入 3 6 进行 2 13 小结 (3) ; ( 4) ; 3 6 作业
EXIT
2014年7月7日星期一
引入进行小结作业
2、求下列三角函数值 :
(1) sin( 1050 );
0
19 ( 2 ) tan . EXIT 3
2014年7月7日星期一
茅盾中学沈晓强
茅盾中学

新课
首页三角函数的几何意义 :
引入进行小结作业
教学过程
三角函数线
G S P G S P
EXIT
茅盾中学沈晓强
茅盾中学

首页
首页
引入进行小结作业
教学过程
§ 1.2.1 任意角的三角函数 (二)

1.2.1任意角的三角函数(2)

其中
kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求 0到2
或0到360 角的三角函数值 .
例1 确定下列三角函数值的符号：
解：（1）因为 250 是第三象限角，所以cos 250 0 ；
（2）因为 tan(672 ) = tan(48 2 360 ) tan 48，而 48是第一象限角，所以 tan(672 ) 0 ； sin 0 . （3）因为是第四象限角，所以 4 4
y
T M O P
α的终边
y
A(1, 0) x
M A(1, 0) O PT
x
α的终边
因 P(x，y)，所以线段OM的长度为 | x | ，线段MP的长度为 | y | .
|MP|=|y|=|sinα|;
|OM|=|x|=|cosα|
思考:为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段OM,MP规定一个适当的方向,使他们的取值与P点的坐标一致? 以坐标轴的方向来规定OM,MP的方向，以使他们与P点的坐标联系起来。
p15练习(7)题
11 练习：求值 cos 3
71 sin 6
19 tan 3
11 解： cos 3
71 sin 6
19 tan 3
由正弦、余弦、正切函数的定义有：
y y sin y MP r 1
p17练习(2)题
cos x x x OM r 1
y MP AT tan AT x OM OA
我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、 AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．

1.2.1任意角的三角函数(二)

2.诱导公式
终边相同的角三角函数值相同
讲授新课
2.诱导公式
终边相同的角三角函数值相同
sin(2k ) sin ( k Z) cos(2k ) cos ( k Z) tan(2k ) tan ( k Z)
讲授新课
3. 例题与练习
例3. 求下列三角函数的值：
1.2.1任意角的三角函数
复习引入
1. 三角函数的定义
阅读教材P.13，完成探究.
复习引入
1. 三角函数的定义练习. 已知角的终边上一点P( 3, 1)，
求 cos ，sin , tan 的值.
复习引入
2. 三角函数的符号
讲授新课
1. 例题与练习例1. 求证：若sin＜0且tan＞0 ，则
(1) sin( ); 4 9 (3) cos 4

(2) tan(3 ).
练习. 教材P.15练习第7题第⑵、⑷.
课堂小结
1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域； 3．三角函数的符号及诱导公式.
课后作业
1. 阅读教材P.11-P.17；
2. 《学案》P..
角是第三象限角，反之也成立.
讲授新课
1. 例题与练习例1. 求证：若sin＜0且tan＞0 ，则
角是第三象限角，反之也成立.
练习. 教材P.15练习第6题.
讲授新课
1. 例题与练习
cos x tan x 例2. 求函数 y cos x tan x
的值域.
讲授新课
2.诱导公式
讲授新课

1.2.1 任意角的三角函数(2)

课件演示
例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 .
（1）
3
；
（2）
2
3
.
解：
y
的终边
T3
y
T
P
O M A(1, 0) x
M
O A(1, 0) x
2 的终边 P
3
（1）
3
正弦线是
MP，
（2）
2
3
正弦线是 MP，
余弦线是 OM，
余弦线是 OM，
正切线是 AT .
正切线是 AT .
例2. 求证：当为锐角时，sin tan ．
3 ，y），且sin
2 4
y，
求cos、tan 的值。
解：由已知得 r （ 3）2 y2 3 y2
sin y y ，又 sin 2 y
r 3 y2
4
y 3 y2
2y 4
即
y 0或
3 y2 2 2
解得 y 0 或 y 5.
(1) 当 y 0时，P（ 3 ，0），r 3 ,
作业：
1. 教材 P22 习题4.3 1 ~ 2 2. 步步高：P9~12
高活页：§4.3 任意角的三角函数第一课时
练习1：若角α的终边落在射线 y 3x (x 0) 上，
求 sin ，cos ，tan .
解：在射线 y 3x (x 0) 上取一点 P(1，3)，
则 r 12 32 10 ，
α的终边
y
P
y
T α的终边 P
MO
A(1, 0) x
T
O M A(1, 0) x
y
y
T
α的终边
M O
P
A(1, 0) x

人教版数学必修四：1.2.1任意角的三角函数(2)(学生版)

【重点难点】
学习重点：三角函数线的定义
学习难点：利用三角函数线解决问题
【学习过程】
一、自主学习与交流反馈
问题1：研究任意角的三角函数定义时，将角放置在平面直角坐标系内有何规定？若角的终边上任意一点P(x，y),到原点的距离为r，则角的正弦、余弦、正切值如何表示？它们在四个象限内的符号有何规律？
问题2：何为有向线段？有向线段MO与OM相同吗？若有向线段MO= - 2，则有向线段
cos=OM,tan=AT ?
二、知识建构与应用：
1.（1）有向线段：。
有向线段的数量：。
（2）单位圆：。
2.请在下边作出终边在不同象限时的三角函数线:
三、例题
例1作出下列各角的三角函数线
（1）（2）
例2利用三角函数线比较下列各组数的大小：
（1）与（2)tan 与tan
例3利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角的范围。
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）sinα=，（2）sin≥；(3)tan
思考:
1．根据单位圆上的三角函数线，探究：
（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的值域；
（2）正弦函数、余弦函数在上的单调性；
（3）正切函数在区间上的单调性。
2．当角 , 满足什么条件时有sin =sin ？
3．若sin >cos ,则的取值范围是.
四、巩固练习
OM=,有向线段的数值由什么来确定，其中的负号意味着什么？
问题3：什么是单位圆？设任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)，则OP=;过点P作x轴的垂线，垂足为M,过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然与y轴平行，设它与角的终边或其反向延长线相交于点T，请说明为什么OM = x,MP = y ?为什么sin=MP,

§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)

即： M P = s in , O M = co s ,
O P=1
在 O M P中， O M +M P>O P
y

P M x
o
即： s in + c o s > 1
2013-1-11
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
12
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)

4
MP是正弦线 OM是余弦线
P
y
o
AT是正切线
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
o M
A x T
8
2013-1-11
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
练习：不查表，比较大小
(1) sin 2 3 和 sin 4 5 (2) cos 2 3 和 cos 4 5 (3) ta n 2 3 和 ta n 4 5
2013-1-11
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
例 1 .作出下列各角的三角正弦线 , 余弦线 , 正切线 , 并根据三角函数线求它的正弦值 ,余弦值 ,正切值 . (1)

4

(2)
4 3
y
T P A M x

4 3

2

s in 1 cos

1 cos s in

证明：如图连接 AP 在直角 CPA中，
PCA APM
y

P x MA

2
C
2
o
在直角 AM P中， MA OA OM 1 cos ta n A P M MP MP s in

山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.2.1任意角的三角函数2(共13张PPT)

注意：它们的主要作用是将任意角的三角函数化简到0～2π的三角函数。
讲课人
其特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正.
：
邢
启强
7
典型例题山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.2.1任意角的三角函数2(共13张PPT)
例1 求下列三角函数值：
（1）tan(－ 11
6
)；
r
r
讲课人：邢启强
③比值 y 叫做的正切，记作tan，即 tan y ．
x
x 2
复习引入
三角函数值的符号问题
正弦为正余弦为负正切为负正弦为负余弦为负正切为正
y
三角函数全为正
o 正弦为负 x 余弦为正正切为负
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
意为：第一象限各三角函数均为正,第二象限只有正弦及与正
＝ 3 3 1 1 1 0 2 2 22
(2)原式＝sin 0 1
6
2
讲课人：邢启强
山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：5 .2.1任意角的三角函数2(共 13张PP T)
10
巩固练习山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.2.1任意角的三角函数2(共13张PPT)
巩固练习山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.2.1任意角的三角函数2(共13张PPT)
求值：
(1) sin(1320 ) cos1110 cos(1020 ) sin 750 tan 495
(2)sin( 11 ) cos 12 tan 4
6
5
解：(1)原式＝sin120 cos30 cos60 sin 30 tan135

1.2.1任意角的三角函数(2)

例2 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边: 1 ⑴ sin ; ⑵ tan 2. 2
角的终边
y 1 y
P
1
O 1
1 y 2
1 角的终边 x
P
1
M1
O
- P 1
1
A
x
T
1 变题：写出满足条件 ≤cosα＜ 2 2 的集合. y
3 的角α 2
3
Q

1
P

6
x
-1
4 3
引入：角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.
[探索]
三角函数线
三种三角函数能否找到一种几何表示呢？
y MP sin MP (正弦线) r OP x OM cos OM (余弦线) r OP
课后完成《世纪金榜》P8~P10
预习下节内容：同角三角函数的基本关系

O R -1
S1
11 6
2 |2k ＜α≤ 2k ，或 6 3 4 11 2k ，k Z ≤α＜ 2k 3 6

1. 求函数 f (x ) = 2 cos x - 1 的定义域.
解：如右图所示
探究：当0＜α＜π/2时，总有 sinα＜α＜tanα. S△POA＜S扇形AOP＜S△AOT
y AT tan AT (正切线) x OA
三角函数线
α的终边 P A M o y y P α的终边 T
x T
o
M A x
(Ⅱ) y
y (Ⅰ)
T M o P
M A A x

1.2.1任意角三角函数2

y r P(x,y)
α
o M
x
例：作出角的正弦线、余弦线、正切线． 3
分层训练
• 必做题 P15 练习：7（2）选做题 • P15 练习：8 P23 习题：17 • 作业 P22 ：习题：2(1)(3)、3
y MP AT tan AT x OM OA
y r
T
P(x,y)
A
α
o MxΒιβλιοθήκη 这几条与单位圆有关的有向线段 MP 、OM 、AT 叫做角的正弦线、余弦线、正切线．
当角的终边在 x 轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；
当角的终边在 y 轴上时，弦线变成一个点，正切线不存在．
有向线段
• 规定了方向（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段。 • 有向直线：规定正方向的直线称为有向直线。 • 有向线段的数量
当角的终边不在坐标轴上时，我们把 OM ，都看 MP 成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：
y y sin y MP r 1 x x cos x OM r 1
任意角的三角函数(2)
学习目标
• 会用角α的正弦线、余弦线、正切线分别表示α的正弦、余弦、正切函数值； • 了解有向线段的含义。
自学指导
• 什么叫三角函数线？它们有方向性吗？ • 当α角终边分别Y轴的左、右两侧及在X轴、Y 轴上时，正弦线、余弦线、正切线各有什么特点？
自主检测：P15 练习题7（1）

三角函数公式2

三角函数公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）＝sinα （k ∈Z ） cos （2kπ＋α）＝cosα （k ∈Z ） tan （2kπ＋α）＝tanα （k ∈Z ）公式二：sin （π＋α）＝－sinα cos （π＋α）＝－cosα tan （π＋α）＝tanα 公式三：sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanα公式四：sin （π－α）＝sinα cos （π－α）＝－cosα tan （π－α）＝－t anα 公式五：sin （π/2－α）＝cosα cos （π/2－α）＝sinα 公式六：sin （π/2＋α）＝cosα cos （π/2＋α）＝－sinα(以上k ∈Z) 注意：在做题时，将a 看成锐角来做会比较好做。

一全正，二正弦，三正切，四余弦1. 函数类型第一象限第二象限第三象限第四象限正弦 ...........＋............＋............—............—........ 余弦 ...........＋............—............—............＋........ 正切 ...........＋............—............＋............—........ 余切 ...........＋............—............＋............—........ 任意角的三角函数：（1）弧长公式：R a l = R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。

（2）扇形的面积公式：lR S 21=R 为圆弧的半径，l 为弧长。

（3）同角三角函数关系式：商数关系：aaa cos sin tan =，平方关系：1cos sin 22=+a a 2.两角和与差的三角函数：（1）两角和与差公式：βββαsin sin cos cos )cos(a a =± βββs i n c o s c o s s i n )s i n (a a a ±=±βββtan tan 1tan tan )(tan a a a a ±=± 注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．．（2）二倍角公式：a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a aaaa 2tan 1tan 22tan -=从二倍角的余弦公式里面可得出降幂公式：22cos 1cos 2a a += ， 22cos 1sin 2aa -=（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：2cos 12sinaa -±=，2cos 12cos a a +±= ，aa a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。

三角函数2 任意角的三角函数

大成培训三角函数教案2 任意角的三角函数教学目标：掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，会用角α的正弦线、余弦线、正切线分别表示任意角α的正弦、余弦、正切函数值；掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和函数的值在各象限的符号重点难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，如何用三角函数线表示三角函数值，各象限内三角函数值的符号引入新课1、回顾初中锐角的三角函数的定义2、问题：（1）怎样用坐标法定义锐角的三角函数？（2）怎样用坐标法定义任意角的三角函数？3、三角函数的定义及其定义域：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是),(y x ，它与原点的距离是)0(22>+=y x r r 。

（1）比值_____叫做α的正弦，记作__________，即___________，定义域为__________。

（2）比值_____叫做α的余弦，记作__________，即___________，定义域为__________。

（3）比值_____叫做α的正切，记作__________，即___________，定义域为__________。

4、各象限内三角函数值的符号。

正弦：填入[ ]中；余弦：填入( )中；正切：填入{ }中 5、有向线段、有向线段的数量6、三角函数线表示三角函数值。

例1、已知角α的终边经过点(2,3)，求α的正弦、余弦、正切。

例2、确定下列三角函数值的符号：（1）7cos12π （2）sin(465)- （3）11tan 3π思考：根据单位圆中的三角函数线，探究：（1）正弦、余弦、正切函数的值域；（2）正弦、余弦函数在]2,0[π上的单调性；（3）正切函数在区间(－2π，2π)上的单调性。

[ ] ( ) { } [ ] ( ) { } [ ] ( ) { } [ ] ( ) { }xy O例3、已知角α的始边为x 轴的正半轴，终边在直线y kx =上，若sin α=，且cos 0α<，试求实数k 的值。

任意角三角函数2

三角函数线的概念与运用．
重点
三角函数线的概念与运用．
‹#›
难点与学法
难点提示
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式三角函数线的灵活运用.
– 第二级
数学必修4—第一章
学法提示 – 第四级
» 第五级 1.请同学们课前将学案与教材 P 1118 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符
• 第三级
号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即： “读” 、 “挖” 、 “举” 、 “联” 、 “用” 、 “悟” 、 “听” 、 “问” 、 “通” 、 “总” 、 “研” 、 “会” ，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
数学必修4—第一章
第一章 – 第二级
• 第三级
三角函数
– 第四级 » 第五级
1.2.2任意角的三角函数(2)
成都经开区实验高级中学
刘杰名师工作室
‹#›
单击此处编辑母版标题样式
目标
两个同名三角函数值的大小、表示角的范围及其它运用； – 第二级
学习目标与重点
•6.在平面坐标系中点的坐标是怎么来的？坐标是不是对应着一个有向线段？（链接单击此处编辑母版文本样式 1）
–2第二级在第中我们用符号语言、文字语言来描述了三角函数的定义的，那么你能用图形语
– 第四级 0 0 0 1.求下列各式的值:(1) sin 810 tan 765 cos 360 =__________ 1 ； » 第五级

【精品资料】任意角的三角函数(二)

任意角的三角函数(二)教学目标：1．根据任意角三角函数定义，归纳出三角函数在各象限的符号，并能根据角α的某种函数值符号，反馈出α可能存在的象限．2．掌握诱导公式一，并能运用诱导公式把角α的三角函数值转化为[)π20，中角的三角函数值．教学重点：终边相同的角的同一三角函数值相等．教学难点：运用诱导公式把角α的三角函数值转化为[)π20，中角的三角函数值．教学用具：直尺、圆规、投影仪．教学过程 1．设置情境设角βα、均是第二象限角，依三角函数定义，为了求βα、的四个三角函数值，只要分别在βα、终边上取点()11y x P ，、()22y x Q ，，由比值OP y 1，OPx 1，11x y ，11y x ，及OQ y 2，OQ x 2，22x y ，22y x可知，这两组比值虽然不一定相等，但由于Q P 、均在第二象限，故21x x ，同号，21y y ，同号，因而可见，βα、的正弦、余弦、正切、余切值，符号是对应相同时。

那么，当βα、分别为一、三、四象限时，上述性质是否仍然成立呢？下面就可讨论这一问题．2．探索研究（1）三角函数值的符号今后我们还要经常用到三角函数在各个象限的符号，由于从原点到角的终边上任意一点的距离r 总是正值，根据三角函数定义可知，三角函数值符号取决于各象限内的坐标符号，请同学们分象限思考四个象限中三角函数值的符号．观察六个三角函数，可发现αsin 与αcsc ，αcos 与αsec ，αtan 与αcot 互为倒数，因此它们的符号规律相同．ry=αsin 当α在第一、二象限时，0>y ，0>r ，所以αsin 为正，而当α在第三、四象限时，0<y ，0>r ，αsin 为负的．同理rx=αcos 对于第一、四象限角是正的，而对于第二、三象限的角是负的．x y =αtan 与yx=αcot ，当α在第一、三象限时，x 与y 同号，所以0tan >α，0cot >α，而当α 在第二、四象限时，x 与y 异号，0tan <α ，0cot <α．现在我们将以上讨论结果整理成图1．1图可以表达为正弦和余割上正下负，余弦与正割左负右正，正切与余切一、三象限为正，二、四象限为负．同学们还可以自己用口诀“全正，s 正，t 正，c 正”来记忆．（2）诱导公式一上节课我们已学过同终边的角，例如390和330-都与30终边位置相同． ∵30360390+=30360330+-=- ∴由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即30sin 390sin = 30cos 390cos =() 30sin 330sin =- ()30cos 330cos =-30tan 390tan = ()30tan 330tan =-推广到一般情形，我们可得到诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数值相等，即这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～360°角的三角函数值问题．（3）例题分析【例1】确定下列三角函数值符号：（1）()21556tan '-；（2）516cosπ；（3）⎪⎭⎫⎝⎛-4sin π 解：（1）()()()021196tan 21196360tan 21556tan <'-='--='-（2）054cos 544cos 516cos<⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππ （3）∵4π-是第四象限角，∴04sin <⎪⎭⎫⎝⎛-π 练习1、课本P19练习3、4【例2】求证角θ为第三象限角的充分必要条件是0sin <θ ，0tan >θ．证明：必要性：当θ为第三象限角时，0sin <θ ，0tan >θ；充分性：∵0sin <θ成立，∴θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可以位于y 轴的非正半轴上；又∵0tan >θ成立，∴θ角的终边可能位于第一或第三象限，因为要同时成立，所以θ角的终边只可能位于第三象限，于是角θ为第三象限角．练习2、课本P19练习5【例3】求下列三角函数值：（1）011480sin '；（2）()1020cos -；（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-611tan π．解：（1）()6451.00140sin 36040140sin 011480sin ='=⨯+'='（2）()()2160cos 360360cos 1020cos ==⨯-=-（3）336tan 26tan 611tan ==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππππ 练习3、课本P19练习6课本P20习题4.3 6【例4】如果θ在第二象限，则()()θθsin cos cos sin ⋅的值是什么符号？解：∵θ在第二象限，∴0cos 1<<-θ 1sin 0<<θ ∴()0cos sin <θ，()0sin cos >θ ∴()()0sin cos cos sin <⋅θθ 【例5】若α是第二象限的角，且2cos2cos αα-=，问2α是第几象限角？解：∵α是第二角限的角， ∴()Ζ∈+<<+k k k ππαππ222 ∴()Ζ∈+<<+k k k 224ππαππ∴2α终边在第一或第三象限角，又∵2cos2cosαα-= ∴02cos≤α故2α是第三象限的角．【例6】求值：()()495tan 750sin 1020cos 1110cos 1320sin +-+- 解：原式()()()()()135360tan 303602sin 603603cos 303603cos 1203604sin +++⨯+⨯-++⨯+⨯-=135tan 30sin 60cos 30cos 120sin +⋅+=0121212323=-⨯+⨯=3．反馈练习（1）已知α是第三象限角且02sin <α，则（）A ．02cos<αB ．02cos>αC ．02tan>αD ．02cot>α（2）下列各式为正号的是（）A ．2sin 2cos -B ．2sin 2cos ⋅C ．2sec 2tan ⋅D ．2tan 2sin ⋅ （3）若()θθtan sin lg ⋅有意义，则θ是（）A ．第一象限角B ．第四象限角C ．第一或第四象限角D ．第一或第四或x 轴正半轴（4）已知α的终边过点()293+-a a ，，且0c o s ≤α，0sin >α，则α的取值范围是____________．（5）函数xxx x xx tan tan cos cos sin sin ++的值域是_____________．参考答案：（1）B ；（2）C ；（3）C ；（4）32≤<-a ；（5）{}13-，4．本课小结（1）确定三角函数定义域时，主要应抓住三角函数定义中，比值的分母不得为零这一制约条件，当终边落在坐标轴上时，终边上任一点()y x P ，的坐标中，必有一分量为0，故相应有一比值无意义．（2）()Ζ∈=k k a π时，αcot ，αcsc 无意义，这两个函数定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Ζk k ，2ππαα 课时作业：课本P20习题4.3 7、8、9、101．确定下列三角函数值的符号（1）186sin （2）505tan （3）π6.7sin （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛-π423tan （5） 940cos （6）⎪⎭⎫⎝⎛-π1759cos 2．求值（1）⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ47cot 38tan 419sin 222（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅πππ415tan 611cot 37sin参考答案：1．（1）＜0 （2）＜0 （3）＜0 （4）＞0 （5）＜0 （6）＜0 （2）解：（1）原式⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42cot 322tan 434sin 222ππππππ 4cot 32tan 43sin222πππ⋅+= ()1322222⨯-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯= 4=（2）原式⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+=44tan 62cos 32sin ππππππ 4tan6cos3sinπππ+=12323+⨯= 47=。

课时4 任意角的三角函数(2)

§1.2.1 任意角的三角函数（2）
学习目标
1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.
2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.
自主学习
问题一：回顾任意角α的三角函数定义：
问题二：回顾各象限角的三角函数符号，回答下列问题：
（1）若sin 0
cos 0θθ>⎧⎨<⎩，则θ为第_____象限角。

反之正确吗？_________
（2）若θ为第三象限角，则cos θ___0; 反之正确吗？___________
问题三：若30α=︒，则sin α=_______;反之成立吗？为什么？
问题四：由三角函数定义知：终边相同的角的同一三角函数值相等。

用公式表示
为：____________________________________________________.
利用这些公式可把任意角三角函数转化为___________范围内角的三角函数，从而判断出三角函数的符号或求出它的值。

问题五：如何用有向线段来表示各象限内角的三角函数值？请画图说明。

自我检测
1. 设α是三角形的一个内角，在sin α，cos ,tan ,tan
2ααα中，哪些有可能是负
值？
2.判断下列各三角函数值的符号。

（1）cos 16
5π (2) sin -450︒（） (3) tan 17
-8π（）
3.分别在四个直角坐标系中作出下面四个角的正弦线、余弦线和正切线。

（1）3π
（2）56
π （3）2-3π （4）136π-
问题反馈。

任意角的三角函数

任意角的三角函数（二）一．选择题1.下列各式中，与︒1030cos 相等的是（）︒︒︒︒sin50-D. C.sin50 cos50-B. 50cos .A 2.sin 6π25等于（） 23.D 21.C 23.B 21.A --3.设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于（） A.52 B.52- C.51 D.51-4.设x =10,则下列各值中一定是负值的是（） A.sin(-2x ) B.cos(-2x ) C.cot x D.tan 2x 5.α是三角形的内角，则sin α、cos α、tan α中可能取负值的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.设的角αα,2π4π<<正弦､余弦和正切的值分别为a ,b ,c ,则（） A.a <b <c ; B.b <a <c ; C.a <c <b ; D.c <b <a7.已知sin α> sin β,那么下列命题成立的是（）A.若α、β是第一象限角,则cos α> cos βB.若α、β是第二象限角,则tan α> tan βC.若α、β是第三象限角,则cos α> cos βD.若α、β是第四象限角,则tan α> tan β二．填空题。

8.设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限.9.设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0，其中正确的是_____________________________.10.若角α的终边与直线y =3x 重合,且sin α<0,又P (m ,n )是角α终边上一点,且|OP |=10,则m -n 等于_____________.三．解答题。

高中数学人教A版必修四课时训练：第一章三角函数1-2任意角的三角函数

11．解 (1)
图1
作直线 y＝ 23交单位圆于 A、B，连结 OA、OB，则 OA 与 OB 围成的区域(图 1 阴影部分)，即为角 α 的终边的范围．故满足条件的角 α 的集合为 {α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z}． (2)
∴sin 2cos 3tan 4<0.
10．2
解析 ∵y＝3x，sin α<0，∴点 P(m，n)位于 y＝3x 在第三象限的图象上，且 m<0，n<0，
n＝3m.
∴|OP|＝ m2＋n2＝ 10|m|＝－ 10m＝ 10.
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
11．解 (1)原式＝cosπ3＋－4×2π＋tanπ4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.
3．诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．作用是把求任意角的三角函数值转化为求 0～2π(或 0°～360°)角的三角函数值．
答案
知识梳理
y 1.r
x r
y x
3.相等
sinα
cosα
tanα
作业设计
1．A 2.B
3．C [∵sinα<0，∴α 是第三、四象限角．又 tanα>0，
∴α 是第一、三象限角，故 α 是第三象限角．]
4．C [∵1,1.2,1.5 均在0，π2内，正弦线在0，π2内随 α 的增大而逐渐增大，
∴sin1.5>sin1.2>sin1.] 5．D [在同一单位圆中，利用三角函数线可得 D 正确．] 6．A [
如图所示，在单位圆中分别作出 α 的正弦线 MP、余弦线 OM、正切线 AT，很容易地观察出
OM<MP<AT，即 cosα<sinα<tanα.]

课时作业29：1.2.1　任意角的三角函数(二)

1.2.1 任意角的三角函数(二)一、选择题1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π3的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π3，x ∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π6，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π－5π6，k ∈Z 考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线解不等式答案 C解析 ∵x －π3≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π＋5π6，k ∈Z .2．角α＝π5和角β＝6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定考点单位圆与三角函数线题点三角函数线的作法答案 C3．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是( ) A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.5 考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线比较大小答案 C4．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α<1 D ．不能确定考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线比较大小答案 A解析如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P ，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，则sin α＝MP ，cos α＝OM . 在△OMP 中，∵OM ＋MP >OP ， ∴cos α＋sin α>1.5．sin 1°，sin 1，sin π°的大小顺序是( ) A ．sin 1°<sin 1<sin π° B ．sin 1°<sin π°<sin 1 C ．sin π°<sin 1°<sin 1 D ．sin 1<sin 1°<sin π° 考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线比较大小答案 B 6．设a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <c <aD ．b <a <c考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线比较大小答案 D解析 ∵π4<2π7<π2，作2π7的三角函数线如图，则sin2π7＝MP ，cos 2π7＝OM ，tan 2π7＝AT ， ∴OM <MP <AT ， ∴b <a <c ，故选D.7．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )A ．若α，β是第一象限角，则cos α>cos βB ．若α，β是第二象限角，则tan α>tan βC ．若α，β是第三象限角，则cos α>cos βD ．若α，β是第四象限角，则tan α>tan β 考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线比较大小答案 D解析如图(1)，α，β的终边分别为OP ，OQ ，sin α＝MP >NQ ＝sin β，此时OM <ON ，所以cos α<cos β，故A 错；如图(2)，OP ，OQ 分别为角α，β的终边，MP >NQ ，即sin α>sin β，所以AC <AB ，即tan α<tan β，故B 错；如图(3)，角α，β的终边分别为OP ，OQ ，MP >NQ ，即sin α>sin β，所以OM <ON ，即cos α<cos β，故C 错，若α，β为第四象限的角，结合单位圆，可知tan α>tan β，故选D.二、填空题 8．不等式tan α＋33>0的解集为________．考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线解不等式答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z 解析不等式的解集如图阴影部分所示(不含边界)．9．不等式cos x >12在区间[－π，π]上的解集为________．考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线解不等式答案 ⎝⎛⎭⎫－π3，π3 10． sin2π5，cos 6π5，tan 2π5从小到大的排列顺序是________________________．考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线比较大小答案 cos6π5<sin 2π5<tan 2π5解析由图可知，cos6π5<0，tan 2π5>0，sin 2π5>0. 因为|MP |<|AT |，所以sin 2π5<tan 2π5. 故cos6π5<sin 2π5<tan 2π5. 11．若cos θ>sin7π3，利用三角函数线得角θ的取值范围是________________．考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线解不等式答案 ⎝⎛⎭⎫2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) 解析因为cos θ>sin7π3，所以cos θ>sin ⎝⎛⎭⎫π3＋2π＝sin π3＝32，易知角θ的取值范围是⎝⎛⎭⎫2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z )．三、解答题12．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg ⎝⎛⎭⎫22－sin x ；(2)y ＝3tan x － 3.考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线解不等式解 (1)为使y ＝lg ⎝⎛⎭⎫22－sin x 有意义，则22－sin x >0，所以sin x <22，所以角x 终边所在区域如图中阴影部分(不含边界)所示，所以2k π－5π4<x <2k π＋π4，k ∈Z .所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－5π4<x <2k π＋π4，k ∈Z . (2)为使y ＝3tan x －3有意义，则3tan x －3≥0，所以tan x ≥33，所以角x 终边所在区域如图中阴影部分所示(含边界，不含y 轴)，所以k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z ，所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z . 13．已知－12≤cos θ<32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线解不等式解图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－23π≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋23π，k ∈Z .14．函数y ＝log sin x (2cos x ＋1)的定义域为____________．考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线解不等式答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x <2k π＋π2或2k π＋π2<x <2k π＋23π，k ∈Z 解析由题意可知，要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0且sin x ≠1，2cos x ＋1>0，如图所示，阴影部分(不含边界与y 轴)即为所求．所以所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x <2k π＋π2或2k π＋π2<x <2k π＋23π，k ∈Z . 15．已知tan x ＝3，求x 的取值集合．解因为π3与4π3的终边互为反向延长线，所以两角的正切线相同(如图所示)，所以tan 4π3＝tan π3＝3，若tan x ＝3，则角x 的终边落在角π3的终边上或落在角4π3的终边上，所以x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋π3，k ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝(2k ＋1)π＋π3，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋π3，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π3，k ∈Z .。

任意角的三角函数(二)

任意角的三角函数⑵

三角函数任意角2

任意角的三角函数(第二课时)PPT课件

1.2.1任意角的三角函数(二)

1.2.1任意角的三角函数(2)

1.2.1任意角的三角函数(二)

1.2.1 任意角的三角函数(2)

人教版数学必修四：1.2.1任意角的三角函数(2)(学生版)

§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)

山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.2.1任意角的三角函数2(共13张PPT)

1.2.1任意角的三角函数(2)

1.2.1任意角三角函数2

三角函数公式2

三角函数2 任意角的三角函数

任意角三角函数2

【精品资料】任意角的三角函数(二)

课时4 任意角的三角函数(2)

任意角的三角函数

高中数学人教A版必修四课时训练：第一章三角函数1-2任意角的三角函数

课时作业29：1.2.1 任意角的三角函数(二)

课时作业29：1.2.1　任意角的三角函数(二)