1立体几何的基本概念.
高一数学必修一b版知识点总结
高一数学必修一b版知识点总结本文将对高一数学必修一b版的知识点进行总结，旨在帮助同学们更好地复习和掌握这些内容。
一、集合与函数1. 集合的概念：元素、包含关系、空集、全集等。
2. 集合的运算：交集、并集、差集、补集等。
3. 函数的概念：定义域、值域、对应关系等。
4. 函数的表示法：映射图、列表、解析式等。
5. 函数的性质：一一对应、满射、单射等。
二、二次函数1. 二次函数的定义：标准形式、一般形式、顶点形式等。
2. 二次函数的图像与性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、零点等。
3. 二次函数的图像的平移与伸缩：平移、纵向伸缩、横向伸缩等。
4. 二次函数的应用：最值问题、解方程等。
三、平面几何1. 平面几何基本概念：点、线、面等。
2. 直线与角的性质：同位角、对顶角、余角等。
3. 三角形与四边形：三角形的分类、四边形的性质等。
4. 圆的定义与性质：圆心角、弧、弦等。
5. 平面几何的证明：直角三角形性质的证明等。
四、立体几何1. 空间几何基本概念：线段、平面、立体等。
2. 空间几何的投影：平行投影、垂直投影等。
3. 空间几何的相交关系：垂直、平行等。
4. 空间几何的计算：体积、表面积等。
五、概率统计1. 概率的概念：频率、实验、样本空间等。
2. 概率的计算：相对频率、等可能性等。
3. 统计的概念：均值、中位数、众数、极差等。
4. 统计图表的绘制与分析：直方图、折线图、饼图等。
六、数列与数学归纳法1. 数列的定义与表示：通项公式、递推公式等。
2. 等差数列与等比数列：公差、公比等。
3. 数列的求和与性质：等差数列求和、等比数列求和等。
4. 数学归纳法的原理与应用。
七、三角函数1. 角度与弧度制：角度的度与弧度的关系。
2. 三角函数的定义与性质：正弦、余弦、正切等。
3. 三角函数的图像与性质：周期、对称性等。
4. 三角函数的基本关系：和差化积、倍角公式等。
综上所述，本文总结了高一数学必修一b版的知识点，包括集合与函数、二次函数、平面几何、立体几何、概率统计、数列与数学归纳法以及三角函数。
高中数学 必修二-第一章 立体几何初步 知识点整理
底面为三角形、四边形、五边形„„的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥„„，
其中三棱锥又叫四面体。
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正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质： ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形； ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，棱锥的高、侧棱和侧 棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 （4）棱台的结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的 下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧 面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； 底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点； 当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底 面交点间的线段叫做棱台的高。 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质： ①各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形；②两底面以及平行于底面的截面是相似多边 形；③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；④两底面中心连线、侧 棱和两底面外接圆相应半径组成一个直角梯形；⑤正棱台的上下底面中心的连线是棱台的 一条高；⑥正四棱台的对角面是等腰梯形。
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②在已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′ 轴的线段。
③在已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段， 长度变为原来的一半。
用斜二测法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放 置的平面图形的关键是确定多边形的顶点。因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这 些顶点就可画出多边形。
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影线是平行的。在 平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。
数学立体几何知识点
数学立体几何知识点数学立体几何知识点立体几何是高中数学知识点中重要内容之一，也是每年高考中都会占有一定的分值，不管是在选择题、填空题还是应用大题，都是必出的题型，而且出题难度系数较大。
下面是店铺搜集整理的数学立体几何知识点，希望对你能有帮助。
数学立体几何知识点11.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
能够用斜二测法作图。
2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。
3.直线与平面①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。
②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。
③直线与平面垂直的证明方法有哪些？④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.4.平面与平面(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。
(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。
尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。
(4)两平面间的距离问题点到面的距离问题(5)二面角。
二面角的平面交的作法及求法：①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。
③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法数学立体几何知识点2立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
1.立体几何中基本概念、公理、定理、推论
立体几何中基本概念、公理、定理、推论1. 三个公理和三条推论：（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内.这是判断直线在平面内的常用方法.（2）公理2：如果两个平面有一个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上.这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一.（3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面.推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.公理3和三个推论是确定平面的依据.2. 直观图的画法（斜二侧画法规则）：在画直观图时，要注意：（1）使045x o y '''∠=(或0135)，x o y '''所确定的平面表示水平平面.（2）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于y 轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半.3. 公理4：平行于同一直线的两直线互相平行.(即平行直线的传递性)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等. (此定理说明角平移后大小不变) 若无“方向相同”,则这两个角相等或互补.4. 空间直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有一个公共点.（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点.（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点.5. 异面直线⑴异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.⑵异面直线的判定：连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.⑶异面直线所成的角：已知两条异面直线a 、b ,经过空间任一点O 作直线a '、b ',使//a a '、//b b ',把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 、b 所成的角(或夹角).⑷异面直线所成的角的求法：首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为900；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”.注意，异面直线所成角的范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦；求异面直线所成角的方法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角. ⑸两条异面直线的公垂线：①定义：和两条异面直线都垂直且相交的直线，叫做异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线有且只有一条.而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交.②证明：异面直线公垂线的证明常转化为证明公垂线与两条异面直线分别垂直.⑹两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度.6. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交.其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行.其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外.平面与平面的位置关系：（1）平行――没有公共点；（2）相交――有一条公共直线.7.线面平行、面面平行⑴直线与平面平行的判定定理: 如果不在一个平面(α)内的一条直线(l )和平面(α)内的一条直线(m )平行，那么这条直线(l )和这个平面(α)平行.,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ (作用:线线平行⇒线面平行)⑵直线与平面平行的性质定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)平行,经过这条直线(l )的平面(β)和这个平面(α)相交(设交线是m ),那么这条直线(l )和交线(m )平行.//,,//l l m l m αβαβ⊂⋂=⇒ (作用: 线面平行⇒线线平行)⑶平面与平面平行的判定定理:如果一个平面(β)内有两条相交直线(,a b )分别平行于另一个平面(α),那么这两个平面(,βα)平行.,,,//,////a b a b P a b ββααβα⊂⊂⋂=⇒ (作用:线面平行⇒面面平行)推论:如果一个平面(β)内有两条相交直线(,a b )分别平行于另一个平面(α)内的两条直线(,a b ''), 那么这两个平面(,βα)平行.,,,,,//,////a b a b P a b a a b b ββααβα''''⊂⊂⋂=⊂⊂⇒(作用: 线线平行⇒面面平行) ⑷平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面(,αβ)同时与第三个平面(γ)相交(设交线分别是,a b ),那么它们的交线(,a b )平行.//,,//a b a b αβαγβγ⋂=⋂=⇒ (作用: 面面平行⇒线线平行)推论:如果两个平面(,αβ)平行,则一个平面(α)内的一条直线(a )平行于另一个平面(β). //,//a a αβαβ⊂⇒ (作用: 面面平行⇒线面平行)8.线线垂直、线面垂直、面面垂直⑴直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)内的两条相交直线(,m n )都垂直,那么这条直线(l )垂直于这个平面(α).,,,,l m l n m n m n P l ααα⊥⊥⊂⊂⋂=⇒⊥ (作用: 线线垂直⇒线面垂直)⑵直线与平面垂直的性质定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)垂直,那么这条直线(l )和这个平面(α)内的任意一条直线(m )垂直.,l m l m αα⊥⊂⇒⊥ .⑶三垂线定理: 其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角①定理: 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.②逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.(作用: 线线垂直⇒线线垂直)⑷平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面(α)经过另一个平面(β)的一条垂线(l )，那么这两个平面(,αβ)互相垂直.,l l βααβ⊥⊂⇒⊥ (作用: 线面垂直⇒面面垂直)⑸平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面(,αβ)垂直，那么在一个平面(α)内垂直于它们交线(m )的直线(l )垂直于另一个平面(β).,,,m l l m l αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⇒⊥ (作用: 面面垂直⇒线面垂直)9. 直线和平面所成的角⑴最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角.满足关系式:12cos cos cos θθθ=⋅θ是平面的斜线与平面内的一条直线所成的角；1θ是平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角；2θ是斜线在平面内的射影与平面内的直线所成的角.⑵直线和平面所成的角: 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角. 范围：[0,90]10.二面角⑴二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.棱为l ,两个面分别是α、β的二面角记为l αβ--.二面角的范围：[0,]π⑵二面角的平面角:在二面角的棱上取一点,在二面角的面内分别作两条垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.11.空间距离⑴点到平面的距离:一点到它在一个平面内的正射影的距离.⑵直线到与它平行平面的距离:一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离.⑶两个平行平面的距离:两个平行平面的公垂线段的长度.⑷异面直线的距离12. 多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱.（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体.13.棱柱⑴棱柱的定义: 有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.⑵棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……⑶棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.⑷平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体叫长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．⑸①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．14.棱锥⑴棱锥的定义: 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．⑵棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥…… ⑶棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比． 中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面⑷正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． ⑸正棱锥的性质:①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫斜高）也相等。
高中数学—立体几何知识点总结(精华版)
立体几何知识点一.根本概念和原理：1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)〔规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]〕斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。
a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直，那么这条直线垂直于这个平面。
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
行，那么这条直线和这个平面平行。
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
面，那么这两个平面平行。
行。
8.〔1〕二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0°，180°]〔2〕二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
高中数学的归纳立体几何的基本概念与性质总结
高中数学的归纳立体几何的基本概念与性质总结在高中数学学习中，立体几何是一个重要的部分。
归纳立体几何是通过对形状的观察和分析，总结出其基本概念与性质，并运用它们解决相关问题。
本文将对高中数学的归纳立体几何的基本概念与性质进行总结。
一、点、直线、面、体立体几何的基础概念包括点、直线、面和体。
点是几何中最基本的元素，它没有大小和形状，只有位置。
直线是无限延伸的点的集合，具有长度和方向。
面是由无限多个点组成的平坦表面，没有厚度。
体由无限多个面组成，有长度、宽度和高度。
二、多面体与特殊多面体多面体是由平面多边形构成的立体图形。
常见的多面体有四面体、六面体、八面体等。
这些特殊多面体有一些独特的性质，如四面体的顶点数、边数和面数的关系满足欧拉公式。
三、平行关系与平行截割在立体几何中，平行关系是很重要的性质。
当两个面之间的任意直线都与第三个面平行时，我们称这两个面是平行的。
平行关系可以应用于平行截割问题中，通过截割平面和被截割体之间的关系，求解相关问题。
四、相交关系与角相交关系是指两个或多个立体之间的交叉或重叠关系。
在相交关系中，角是一个重要的概念。
角是由两条射线共享一个公共端点而形成的，可以用来描述平面的倾斜程度。
角可以进一步分为锐角、直角、钝角等不同类型。
五、正交关系与垂直正交关系是指两条直线或两个面之间的垂直关系。
当两条直线或两个面之间的夹角为90度时，我们称它们是垂直的。
垂直关系在求解立体几何问题中具有重要作用，可以帮助我们确定未知量或推导结论。
六、对称关系与对称性质对称关系是指图形在特定参考点或参考轴上的镜像重合关系。
当一个图形经过镜像变换后与自身完全重合时，该图形具有对称性质。
对称关系可以帮助我们研究图形的特征，解决与对称性质相关的问题。
七、等腰关系与等腰性质等腰关系是指一个图形中两个或多个边的长度相等的关系。
等腰关系常常出现在与等腰性质相关的问题中。
等腰三角形、等腰梯形等图形具有一些特殊性质，如对称性、角度关系等。
五年级下第1讲 立体几何(一)
五春第1讲立体几何（一）一、学习目标1．学习和掌握立体图形的相关概念，如棱、面、顶点．2．掌握数立体图形块数的思路与方法．3．学会画三视图，并利用三视图解决立体图形的相关问题．二、例题精选【例1】图中共有多少个面？多少条棱？【巩固1】如图，在一个正方体的面上挖掉一个小长方体。
那么剩下的立体图形，有多少个面？多少条棱？【例2】有很多个小正方体，如图这样层层重叠放置。
那么当重叠到5层时，这个立体图形需要多少个小正方体？如果到10层，那么需要几个小正方体？【巩固2】有很多个小正方体，如图这样层层重叠放置。
那么当重叠到5层时，这个立体图形需要多少个小正方体？放置至10层时，又需要多少个小正方体？【例3】如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的．其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？第8题【巩固3】如图所示，一个5×5×5的立方体，在一个方向上开有1×1×5的孔，在另一个方向上开有2×1×5的孔，在第三个方向上开有3×1×5的孔，剩余部分的小正方体块数是多少？【例4】右图是6×10×12块小正方体堆叠而成，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小长方体各有多少块？【巩固4】如图是4×5×6长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【例5】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下左图所示，从上面看如下右图所示。
那么，这个几何体至少用了多少个木块？三、回家作业【作业1】图中共有多少个面？多少条棱？【作业2】如图层层重叠放置小正方体，那么放置到6层时，总共需要多少个小正方体？【作业3】如图所示，一个5×5×5的立方体，在一个方向上开有1×1×5的孔，在另一个方向上开有2×1×5的孔，剩余部分的小正方体块数有多少个？【作业4】有一个5×6×7的长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【作业5】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，如下图，请画出从上面和正面看到的图形前右左下上。
《新课程标准高中数学必修②复习讲义》第一、二章-立体几何
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一)空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点.旋转体--把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中,这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥,台，球的结构特征 1。
棱柱1。
1棱柱—-有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1。
2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1。
4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，,则，222sin sin sin 1αβγ++=222cos cos cos 2αβγ++=.1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长,h 为棱柱的高)2.圆柱2。
1圆柱—-以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的母线截面（轴截面）是全等的矩形.2。
高一数学课件：第1章 立体几何初步复习与小结
面面平行 常用面面平行的判定定理或垂直于同一条直线
线线垂直 常用勾股定理与线面垂直的定义
垂 直
线面垂直 常用线面垂直的定义、判定定理与面面垂直性质 面面垂直 常用面面垂直的定义、判定定理
数学思想
转化 线线平行 线线垂直 面面平行 线面垂直
线面平行
面面垂直
直线与平面垂直的定义：
如果直线a垂直于平面内任一条直线，我们称直线a与平面垂直． 线面垂直 线线垂直 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线和这个平面垂直． 线线垂直 线面垂直 直线与平面垂直的性质定理： 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线互相平行． 斜线与平面所成角： 线面垂直 线线平行
当两条异面直线成直角，还可借助于线面垂直．
复习回顾：
3．直线与平面平行．
直线与平面平行的定义：
如果一条直线a和一个平面没有公共点，我们就说直线a与平面平行．
直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线 和这个平面平行． 线线平行 线面平行
直线与平面平行的性质定理：
1Байду номын сангаас
B
P D A B C
典型例题：
如图，在正方体ABCD―A1B1C1D1中，E为DD1的中点．求证： (1)BD1∥平面EAC； (2) 平面EAC⊥平面AB1C． A1 D1 B1 C1
E
C B
A
D
小结：
线线平行 常用公理4，线面、面面平行与线面垂直的性质 平 行 线面平行 常用线面平行的性质与面面平行的定义
典型例题：
如图，在正方体ABCD―A1B1C1D1中，M，N分别为A1B和CC1的 中点．求证：MN∥平面ABCD． D1 A1 M D P B B1 N C C1
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结立体几何是数学中的一个重要分支，涉及到三维空间中的各种几何图形和形体。
在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的立体图形，比如立方体、球体、圆柱体等等。
本文将对一些常见的立体几何知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
首先，我们来介绍一下立体几何中的基本概念。
在三维空间中，一切物体都有三个维度，即长、宽、高。
立体几何研究的就是这些立体物体，主要包括几何体的表面积、体积、立体角等相关概念。
几何体的表面积是指几何体的所有表面的总面积。
对于常见的几何体，我们可以采用特定的公式来计算表面积。
例如，对于立方体，其表面积等于6倍的边长的平方；对于球体，其表面积等于4倍的半径的平方乘以π。
几何体的体积是指几何体所占据的空间大小。
同样，对于常见的几何体，我们也可以使用相应的公式来计算体积。
例如，对于立方体，其体积等于边长的立方；对于球体，其体积等于半径的立方乘以4/3再乘以π。
除了表面积和体积，立体几何中还有一个重要的概念是立体角。
立体角是由三条直线所确定的一个尖角区域，在三维空间中可以理解为一个锥体。
立体角的大小可以通过两条边的夹角以及与这两条边相交的直线长度来计算。
立体角的概念在物理学中也有广泛的应用，例如光学中的折射定律和电学中的电场强度计算等。
在立体几何中，还有一些重要的立体图形需要了解。
例如，圆柱体是由一个底面圆和与这个底面平行的平面曲线（矩形）所确定的立体，其视为一个圆柱形状。
圆锥体则是由一个底面圆和一个顶点在这个底面上的直线所确定的立体，其视为一个圆锥形状。
这些立体图形在实际生活中有着广泛的应用，比如柱状容器、圆锥形的雨伞等等。
另外，还有一些立体几何的重要定理和性质也需要掌握。
例如，欧拉公式是描述了在球面上的顶点、边和面的数量关系，即V - E + F = 2，其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。
该公式在拓扑学和数学中有着重要的应用。
另一个重要的定理是平行线截置定理，它揭示了平行线和截线之间的关系，如平行线截割等分截线等。
_新教材高中数学第13章立体几何初步1
6．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表 示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的 “2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )
A．1
B．9
C．快
D．乐
【解析】选B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，如图：“1”与“乐”相对， “2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．
2．下面图形中，为棱锥的是( )
A．①③ C．①②④
B．③④ D．①②
【解析】选C.根据棱锥的 定义和结构特征可以判 断，①②是棱锥，③不是 棱锥，④是棱锥．
3．如图，在三棱台A′B′C′ABC中，截去三棱锥A′ABC，则剩余部分是( )
A.三棱锥
B．四棱锥
C．三棱柱
D．三棱台
【解析】选B.剩余几何体为四棱锥A′BCC′B′.
四边形；
(2)每一个面都不会是三角形；
(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；
(3)正确，由棱柱的定义易知；
(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；
(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．
两个棱柱．所以说法正确的序号是(3)(4).
其中正确说法的序号是__________．
6．下列关于棱锥、棱台的说法： (1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； (2)棱台的侧面一定不会是平行四边形； (3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； (4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是____________．
【解析】(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截 面之间的部分不是棱台； (2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； (3)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； (4)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥． 答案：(2)(3)
高一数学立体几何知识点(全章)
高一数学立体几何学1．平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。
（2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。
（3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合2. 空间直线.（1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交③若直线a、b异面，a平行于平面α，b与α的关系是相交、平行、在平面α内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）向这个平面所引的垂⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．线段和斜线段）⑦b a,是夹在两平行平面间的线段，若ba=，则b a,的位置关系为相交或平行或异面.⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
（直线与直线所成角]90,0[︒︒∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.[注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行⇒线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线）②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线）③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内） ⑤平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑥直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）（3）. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行⇒线线平行”）（4）. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂P直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.●若PA⊥α，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理），●三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直⇒线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条．．斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
立体几何第1单元 空间几何体的结构2
第1单元空间几何体的结构〖要点梳理〗1.多面体：多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。
把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体。
2.有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
3.棱柱的高：如果棱柱的一个底面水平放置，则铅垂线与两底面的交点之间的线段或距离，叫做棱柱的高（通常用h表示）。
4.棱柱的一种分类按底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……。
另一种分类（按侧棱与底面的关系分）：斜棱柱——侧棱与底面不垂直的棱柱。
直棱柱——侧棱与底面垂直的棱柱。
正棱柱——底面是正多边形的直棱柱。
5. 特殊的四棱柱：平行六面体——底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体。
侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体。
底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体。
6. 棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是的一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥，这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
7. 棱锥的高：如果把棱锥的底面水平放置，则顶点与过顶点的铅垂线和底面的交点之间的线段或距离，叫做棱锥的高（通常用h表示）。
8. 正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且水平放置，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这个棱锥叫做正棱锥。
正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高（通常用h′表示）。
高中数学的归纳立体几何的基本概念和性质
高中数学的归纳立体几何的基本概念和性质立体几何是数学中的一个重要分支，主要研究三维空间中的图形和物体。
在高中数学中，归纳立体几何概念和性质是学生们必须要掌握的内容之一。
本文将详细介绍高中数学中与立体几何相关的基本概念和性质。
一、点、线、面的概念在立体几何中，点、线、面是最基本的概念。
点是没有长度、宽度和高度的几何对象，用字母标明。
线是由无数个点连成的，具有长度但没有宽度和高度，常用小写字母表示。
面是由无数个线连接而成，具有长度和宽度但没有高度，通常用大写字母表示。
二、多面体的分类多面体是由若干个平面多边形围成的立体图形。
根据多面体的性质，可以将其分类为正多面体和非正多面体。
正多面体的各个面都是全等正多边形，并且围成的角都是全等的，常见的正多面体有四面体、正六面体、正八面体和正二十面体等。
非正多面体则是指除正多面体以外的其他多面体。
三、立体体积的计算计算立体体积是立体几何中的重要内容之一。
常见的立体体积公式包括长方体体积公式、正方体体积公式、圆柱体积公式、金字塔体积公式等。
学生在解决实际问题时，需要根据给定的条件选择合适的体积公式进行计算。
四、棱柱和棱锥的性质棱柱和棱锥是常见的立体几何图形，它们具有各自的特点和性质。
棱柱是由两个平行的多边形底面和连接底面顶点和底面上的对应点的直线段构成的，其侧面都是平行四边形。
棱锥则是由一个多边形的底面和连接底面顶点和一个点的直线段组成的，其侧面都是三角形。
五、表面积的计算计算立体表面积也是立体几何中的重要内容之一。
常见的表面积计算公式包括长方体表面积公式、正方体表面积公式、圆柱体表面积公式、金字塔表面积公式等。
需要注意的是，不同的立体几何图形有不同的表面积计算方法。
六、立体几何的相关定理在高中数学中，还有一些与立体几何相关的定理需要学生掌握。
例如，欧几里得空间中两点之间的直线段是最短的，立体的体积由其底面积与高确定，等等。
这些定理对于理解立体几何的性质和应用非常重要。
第1章 立体几何初步复习与小结
A
n
B
l
m
n
n
m
m 画异面直线一定要依托于平面．
定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是 异面直线．
基础练习：
在正方体ABCDA1B1C1D1各个表面的对角线中，与AD1所成角为60的有 8 条．
D1
C1
A1
B1
小结：
D A
求两条异面直线所成角，通常借助于特殊三角形，
当两条异面直线成直角，还可借助于线面垂直．
那么这条直线就和交线平行．
线面平行 线线平行
复习回顾：
4．直线与平面垂直．
直线与平面垂直的定义：
如果直线a垂直于平面内任一条直线，我们称直线a与平面垂直．
直线与平面垂直的判定定理：
线面垂直 线线垂直
如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线和这个平面垂直．
直线与平面垂直的性质定理：
线线垂直 线面垂直
A1
E
C1
B1
A
C
D B
复习回顾：
5．平面与平面平行．
两平面平行的定义：
如果两个平面没有公共点，我们称这两个平面平行．
两平面平行的判定定理：
面面平行 线面平行
如果一个平面内两条相交直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行．
两平面平行的性质定理：
线面平行 面面平行
如果两个平面平行，且都和第三个平面相交，那么这两条交线平行．
直线EF、GH、BD交于同一点 三个平面两两相交，得到三条交线 要么两两平行，要么交于同一点
A G
H
B
D
E
F
C
小结：
常用方法： 1．证点共线或线共点：
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.1 构成空间几何体的基本元素学案 新人教B版必修2-新人教B
1．1．1 构成空间几何体的基本元素1．了解几何体的基本元素．2．理解平面的概念．3．掌握平面的画法及表示方法．1．几何体如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．2．构成空间几何体的基本元素(1)长方体由六个矩形(包括它的内部)围成，围成长方体的各个矩形，叫做长方体的面；相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱；棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点．(2)长方体有6个面，12条棱，8个顶点．(3)点、线、面是构成几何体的基本元素．3．空间点、线、面的特征(1)线有直线(段)和曲线(段)之分，面有平面(部分)和曲面(部分)之分．平面是处处平直的面，而曲面就不是处处平直的．(2)在立体几何中，平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面，并把它想象成无限延展的．平面一般用希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名，如图中的平面α、平面β、平面ABCD或平面AC等．(3)在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹就是一条直线或线段；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段．(4)一条线运动的轨迹可以是一个面，面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．(5)直线平行移动，可以形成平面或曲面．固定射线的端点，让其绕着一个圆弧转动，可以形成锥面．4．几个定义的比较位置关系定义图形符号表示平行线面如果直线和平面没有公共点，则说直线和平面平行AB∥平面α面面如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行平面α∥平面β垂直线面如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则说直线与平面垂直l⊥平面α面面如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，则说这两个平面互相垂直平面α⊥平面β距离点面点到平面的垂线段的长度，称作点到平面的距离两平面夹在两平行平面间垂线段的长度称作两平面间的距离1．关于平面下列说法正确的是( )A．平行四边形是一个平面B．平面是有大小的C．平面是无限延展的D．长方体的一个面是平面答案：C2．下列说法中错误的是( )A．平面用一个希腊字母就可以表示B．平面可用表示平面的平行四边形对角顶点的两个英文字母表示C．三角形ABC所在的平面不可以写成平面ABCD．一条直线和一个平面可能没有公共点答案：C3．直线平行移动一定形成平面吗？解：不一定，还可能形成曲面．平面概念的理解判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)平面的形状是平行四边形；(2)任何一个平面图形都是一个平面；(3)圆和平面多边形都可以表示平面；(4)若S▱ABCD>S▱A′B′C′D′，则平面ABCD大于平面A′B′C′D′；(5)用平行四边形表示平面时，平行四边形的四边是这一平面的边界．【解】(1)不正确．平行四边形只是平面的一种表示方式，它不能延展，而平面能无限延展，平面没有确定的形状；(2)不正确．任何一个平面图形，如点、线都不是平面；角、圆、多边形等都是平面的一部分，而不是平面；(3)正确．这样的图形可以表示平面，点、线这样的平面图形是平面的基本元素；(4)不正确．平面是不可度量的，不涉及大小；(5)不正确．平面是无限延展的，无边界．本题主要考查平面的特征等基础知识以及空间想象能力．给出下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A．平面无大小、无厚度、无边际，所以只有④是正确的．应选择A．构成空间几何体的基本元素下列元素属于构成几何体的基本元素的有( )①点；②线；③曲面；④平行四边形(不含内部的点)；⑤长方体；⑥线段．A．3个B．4个C．5个D．6个【解析】①②③⑥均为构成几何体的基本元素，只有④⑤不属于构成几何体的基本元素，故选B．【答案】 B点、线、面是构成几何体的基本元素，任何一个几何体都是由这些基本元素组成的，而其他图形有时也能构成另外复杂的几何体，但是不能称之为基本元素．以下结论中正确的是( )A．“点动成线”中的线一定是直线B．直线运动的轨迹一定是平面或曲面C．曲面上一定没有直线D．平面上一定有曲线答案：D长方体中基本元素间的位置关系如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，回答下列问题：(1)与直线B1C1平行的平面有哪几个？(2)与直线B1C1垂直的平面有哪几个？(3)与平面BC1平行的平面有哪几个？(4)与平面BC1垂直的平面有哪几个？【解】(1)与直线B1C1平行的平面有：平面AD1，平面AC．(2)与直线B1C1垂直的平面有平面AB1，平面CD1．(3)与平面BC1平行的平面有：平面AD1．(4)与平面BC1垂直的平面有：平面AC，平面A1C1，平面AB1，平面DC1．若本例中的题干不变，将问题(1)(2)中的“直线B1C1”改为“直线BC1”，再去解答前两个小题．解：(1)与直线BC1平行的平面有：平面AD1．(2)所给6个平面中，与直线BC1垂直的平面不存在．以长方体为载体研究几何体中的点、线、面的关系，有助于形成空间观念，也可以利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．1．点、线、面是构成几何体的基本元素．2．平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面．3．平面的记法(1)平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名；(2)平面图形顶点法．4．认识空间中的点、直线和平面之间的位置关系，我们可以动手制作一些模型或画出图形，来帮助我们理解和提高空间想象能力．通常所说“点动成线，线动成面，面动成体”中的线可能是曲线或直线，面也可能是平面或曲面，到底是哪一种，取决于其运动的方向与方式．1．下列命题：①正方形是一个平面；②平面是有边界的；③20个平面重合在一起比一个平面厚20倍．其中正确的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案：A2．飞机飞行表演在空中留下漂亮的“彩带”，用数学知识解释为________．答案：点动成线3．一个平面将空间分成________部分；两个平面将空间分成________部分．答案：2 3或4,[学生用书P77(单独成册)])[A 基础达标]1．下列不属于构成几何体的基本元素的是( )A．点B．线段C．曲面D．多边形(不含内部的点)解析：选D．点、线、面是构成几何体的基本元素．2．已知下列三个结论：①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面是矩形的形状；③一个平面的面积可以等于1 m2．其中正确结论的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选A．在立体几何中，平面是无限延展的，所以①③错误；通常我们画一个矩形来表示一个平面，但并不是说平面就是矩形，故②错．3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，与对角线BD1既不相交又不平行的棱有( )A．3条B．4条C．6条D．8条解析：选C．在平面A1B1C1D1上的四条棱中有A1B1，B1C1，在平面ABCD上的四条棱中有AD，CD，上、下两底面之间的四条棱中，有AA1，CC1，故与BD1既不相交又不平行的棱共有6条．4．下面给出的四个平面图形能制作成正方体的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选D．可制作成上述四个平面图形，然后折叠而得．5．下列命题正确的是( )A．直线的平移只能形成平面B．直线绕定直线旋转肯定形成柱面C．直线绕定点旋转可以形成锥面D．曲线的平移一定形成曲面解析：选C．直线的平移，可以形成平面或曲面，命题A不正确；只有当两直线平行时旋转形成柱面，命题B不正确；曲线平移的方向与曲线本身所在的平面平行时，不能形成曲面，D不正确，只有C正确．故选C．6．在以下几种几何体的图形中，正方体ABCDA1B1C1D1不可以由四边形________(填序号)平移而得到．①ABCD；②A1B1C1D1；③A1B1BA；④A1BCD1．解析：①ABCD，②A1B1C1D1，③A1B1BA，按某一方向平移可以得到正方体ABCDA1B1C1D1，④A1BCD1平移不能得到正方体ABCDA1B1C1D1．答案：④7．把如图的平面沿虚线折叠可以折叠成的几何体是________．解析：图中由六个长方形组成，可以动手折叠试验，得到长方体．答案：长方体8．下列关于长方体的说法中，正确的是________．①长方体中有3组对面互相平行；②长方体ABCDA1B1C1D1中，与AB垂直的只有棱AD，BC和AA1；③长方体可看成是由一个矩形平移形成的；④长方体ABCDA1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1平行且相等．解析：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，故①正确；与AB垂直的棱除了AD，BC，AA1外，还有B1C1，A1D1，BB1，CC1和DD1，故②错误；这个长方体可看成由它的一个面ABCD上各点沿竖直方向向上移动相同距离AA1所形成的几何体，故③正确；棱AA1，BB1，CC1，DD1的长度是长方体中面ABCD 和面A1B1C1D1的距离，因此它们平行且相等，故答案是①③④．答案：①③④9．下列各题说法对吗？(1)点运动的轨迹是线；(2)线运动的轨迹一定是面；(3)面运动的轨迹一定是体．答案：(1)正确；(2)错误；(3)错误10．已知长方体ABCDA1B1C1D1的长、宽、高分别为5、4、3，试分别求面ABCD与面A1B1C1D1，面ADD1A1与面BCC1B1，面ABB1A1与面DCC1D1间的距离．解：因为面ABCD∥面A1B1C1D1，AA1与该两平面垂直．且长方体的高为3．所以面ABCD与面A1B1C1D1之间的距离为3．同理：面ADD1A1与面BCC1B1之间的距离为5．面ABB1A1与面DCC1D1之间的距离为4．[B 能力提升]11．下列几何图形中，可能不是平面图形的是( )A．梯形B．菱形C．平行四边形D．四边形解析：选D．四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形．12．下列说法：①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD(水平放置)上各点沿铅垂线方向向上移动相同的距离到矩形A′B′C′D′所形成的几何体；③长方体一个面上的任一点到对面的距离相等．其中正确命题的序号是________．解析：①是错误的，面与矩形是不同的．答案：②③13．在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断平面AB1D1和平面BC1D的位置关系．解：因为平面AB1D1和平面BC1D不论怎样延展都是没有交点的，所以它们互相平行．14．(选做题)要将一个正方体模型展开成平面图形，需要剪断多少条棱？你能从中得出什么规律来吗？解：需要剪断7条棱．因为正方体有6个面，12条棱，两个面有一条棱相连，展开后六个面就有5条棱相连，所以剪断7条棱．规律是正方体的平面展开图只能有5条棱相连，但是，有5条棱相连的6个正方形图形不一定是正方体的平面展开图．。
中职数学第九章立体几何知识点
立体几何一、 平面.定义：无限延展，没有边界（光滑、平坦） 平面的基本性质：定理1：如果直线l 上的两个点都在平面α 内，那么这条直线在这个平面内。
记作：l α⊆ 定理2：如果两个平面有公共点，那么有且仅有一条过该公共点的公共直线。
记作：p αβ∈ ⇒ ,l p l αβ=∈定理3：不在同一条直线上的三点确定一个平面. 结论1：直线与直线外一点可以确定一个平面 结论2：两条相交线可以确定一个平面 结论3：两条平行线可以确定一个平面二、空间直线.空间直线位置关系：相交、平行、异面 分类：㈠.1.定义：不同在任何一个平面内的两条直线，叫异面直线。
2.判定定理：一条直线与平面相交，该直线与平面内不过交点的直线是异面直线。
,,,a A b A b a b αα=⊆∉⇒ 是异面直线3.异面直线所成的角：经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角。
范围：0,2π⎛⎤⎥⎝⎦当两条异面直线所成的角为直角时，称这两条异面直线垂直。
㈡平行：1.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.2. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.12方向相同12方向不相同三、直线与平面1. 直线与平面的位置关系：相交、平行、在平面内（其中相交、平行统称在平面外） 记作：,a ,a a A ααα=⊆2.直线与平面平行：判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
,,b a a b a ααα⊄⊆⇒性质定理：如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行。
,,a a b a b αβαβ⊆=⇒3.直线与平面所成的角：斜线l 与它在平面α 内的射影的夹角，叫做直线与平面α所成的角。
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高中数学总复习立体几何的基本概念【知识要点】【基本概念】一.空间几何体的结构特征【棱柱、棱锥、棱台和多面体】 :1.棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体:①有两个面互相平行;②其余各面都是四边形;③每相邻两个四边形的公共边都互相平行;棱柱按底面边数可分为:三棱柱、四棱柱、五棱柱等.棱柱性质:①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等;②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等.. 多边形 .③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形 .2.棱锥是由一个底面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体.棱锥具有以下性质:①底面是多边形;②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形;③平行于底面的截面和底面是相似多边形,相似比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的比.截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方.3.棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分.由棱台定义可知,所有侧棱的延长线交于一点,继而将棱台还原成棱锥.4.多面体是由若干个多边形围成的几何体.多面体有几个面就称为几面体,如三棱锥是四面体. 【圆柱、圆锥、圆台、球】 :分别以矩形的一边,直角三角形的一直角边,直角梯形垂直于底边的腰所在的直线,半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周而形成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台、球圆柱、圆锥和圆台的性质主要有:①平行于底面的截面都是圆;②过轴的截面(轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形;③圆台的上底变大到与下底相同时,可以得到圆柱;圆台的上底变小为一点时,可以得到圆锥. 附表:1. 几种常凸多面体间的关系几种特殊四棱柱的特殊性质二.空间几何体的侧面积、表面积1.棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积,棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和.因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形,所以它的展开图是以棱柱的底面周长与高分别为长和宽的矩形.如果设直棱柱底面周长为 c ,高为 h ,则侧面积 S ch =侧 .若长方体的长、宽、高分别是 a 、 b 、 c ,则其表面积 2( S ab bc ca =++表 .2.圆柱的侧面展开图是一个矩形.矩形的宽是圆柱母线的长,矩形的长为圆柱底面周长.如果设圆柱母线的长为 l ,底面半径为 r ,那么圆柱的侧面积2πS rl =侧 ,此时圆柱底面面积 2πS r =底 . 所以圆柱的三.空间几何体的体积1.柱体(棱柱、圆柱的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积,即 V Sh =柱体 .其中底面半径是 r ,高是 h 的圆柱的体积是 2πV r h =圆柱 .2.如果一个锥体(棱锥、圆锥的底面积是 S ,高是 h ,那么它的体积是 13V Sh =锥体 .其中底面半径是 r ,高是 h 的圆锥的体积是 21π3V r h =圆锥 ,就是说,锥体的体积是与其同底等高柱体体积的 13.3. 如果台体 (棱台、圆台的上、下底面积分别是 S S ', , 高是 h , 那么它的体积是1( 3V S S h =台体 . 其中上、下底半径分别是 r R , , 高是 h 的圆台的体积是221π( 3V r Rr R h =++圆台 .4.球的体积公式:334R V π=.表中 S 表示面积, c′ 、 c 分别表示上、下底面周长, h 表斜高, h′ 表示斜高, l 表示侧棱长。
表中 l 、 h 分别表示母线、高, r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径, r 1、r 2分别表示圆台上、下底面半径, R 表示半径四.中心投影和平行投影(1中心投影:投射线均通过投影中心的投影。
(2平行投影:投射线相互平行的投影。
例:如图,在正四面体 A -BCD 中, E 、 F 、 G 分别是三角形 ADC 、 ABD 、BCD 的中心,则△ EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是( CA .①③B .②③④C .③④D .②④(3三视图:三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形。
它具体包括:①正视图:物体前后方向投影所得到的投影图;它能反映物体的高度和长度; ②侧视图:物体左右方向投影所得到的投影图;它能反映物体的高度和宽度; ③俯视图:物体上下方向投影所得到的投影图;它能反映物体的长度和宽度;(3 已知图形中平行于 x 轴、 y 轴或 z 轴的线段, 在直观图中分别画成平行于 x '轴、 y '轴和 z '轴的线段. (4已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中长度相等;平行于 y 轴的线段,长度取一半. 例:C B A '''∆是正△ ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图, 若C B A '''∆的面积为 , 那么△ ABC的面积为 _______________。
62。
【位置关系的判定】六.平面(1 对平面的理解:平面是一个不加定义、只须理解的最基本的原始概念. 立体几何中的平面是理想的、绝对平且无限延展的模型,平面是无大小、厚薄之分的.类似于我们以前学的直线,它可以无限延伸,它是不可度量的. (2三个公理与三个推论①公理 1:一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
这是判断直线在平面内的常用方法。
②公理 2:如果两个平面有两个公共点,它们有无数个公共点,而且这无数个公共点都在同一条直线上。
这是判断几点共线(证这几点是两个平面的公共点和三条直线共点(证其中两条直线的交点在第三条直线上的方法之一。
③公理 3:经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。
推论 1:经过直线和直线外一点有且只有一个平面。
推论 2:经过两条相交直线有且只有一个平面。
推论 3:经过两条平行直线有且只有一个平面。
公理 3和三个推论是确定平面的依据。
其作用是:其一它是判定两个平面是否相交的依据,只要两个平面有一个公共点,就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线;其二它可以判定点在直线上,点是两个平面的公共点,线是这两个平面的公共交线,则这点在交线上.①②③④BCD七 . 空间直线 .【 1】空间直线位置分三种:相交、平行、异面 .相交直线—共面有且有一个公共点; 平行直线—共面没有公共点; 异面直线—不同在任一平面内。
【 2】异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线 . (不在任何一个平面内的两条直线【 3】两直线平行的判定:①公理 4:平行于同一直线的两直线互相平行;②线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行;③面面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行; ④线面垂直的性质:如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。
【 4】两直线垂直的判定: ①转化为证线面垂直: ②三垂线定理及逆定理:(1定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂 (2逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
PA AO PO ⊥面 , 为在内射影, 面 ,则αααa ⊂ a OA a PO a PO a AO ⊥⊥ ; ⊥⊥⇒⇒【 5】等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角(或直角相等 . 八 . 直线与平面平行、直线与平面垂直 .【 1】空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内 .【 2】直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. (“ 线线平行,线面平行” 字母表述:a b b a a ∥ , 面 , ∥面⊂⊄⇒ααα【 3】直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行. (“ 线面平行,线线平行”字母表述:αααβαβ∥面 , 面 , ∥⊂=⇒ b a b【 4】直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直,过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .【 5】直线与平面垂直判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直。
字母表述:a b a c b c b c O a ⊥ , ⊥ , , , ⊥⊂=⇒αα【 6】直线与平面垂直的性质:①如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。
②如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。
九 . 平面平行与平面垂直 .【 1】空间两个平面的位置关系:相交、平行 .【 2】平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 .(“ 线面平行,面面平行”推论:垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行 .【 3】两个平面平行的性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平行. (“ 面面平行,线线平行”【 4】两个平面垂直性质判定一:两个平面所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直 .两个平面垂直性质判定二:如果一个平面与一条直线垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面. (“ 线面垂直,面面垂直”字母表述:a a ⊥面 , 面⊥ αββα⊂⇒面⊥面 , , , ⊥⊥ αβαβαβ =⊂⇒l l a a aa b a b ⊥面 , ⊥面∥ αα⇒面⊥ ,面⊥∥ αβαβa a ⇒【 5】两个平面垂直性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面 .十.平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→−←→−−→−−←→−←→−←−−−←→−←→−abP aα ab【典型问题】【一】空间几何体的结构、三视图、直观图、体积、表面积1. (1画出下列几何体的三视图解:这二个几何体的三视图如下(2如图,设所给的方向为物体的正前方,试画出它的三视图(单位:cm点评:画三视图之前,应把几何体的结构弄清楚,选择一个合适的主视方向。
一般先画主视图,其次画俯视图,最后画左视图。
画的时候把轮廓线要画出来,被遮住的轮廓线要画成虚线。
物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。
2:(2009年广东卷文某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4所示 , 墩的上半部分是正四棱锥P -EFGH, 下半部分是长方体 ABCD -EFGH. 图 5、图 6分别是该标识墩的正(主视图和俯视图 .(1请画出该安全标识墩的侧 (左视图 ; (2求该安全标识墩的体积(3证明 :直线BD ⊥平面PEG【解析】 (1侧视图同正视图 , 如下图所示 .(2该安全标识墩的体积为:P EFGH ABCD EFGHV V V--==221406040203200032000640003=⨯⨯+⨯=+=(2cm(3如图 , 连结 EG,HF 及 BD, EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知 , PO ⊥平面 EFGH ,PO HF∴⊥, 又 EG HF⊥,HF∴⊥平面 PEG又 BD HFP BD∴⊥平面 PEG ;3. (2008广东将正三棱柱截去三个角(如图 1所示 A B C, , 分别是 GHI△三边的中点得到几何体如图 2,则该几何体按图 2所示方向的侧视图(或称左视图为(解 :在图 2的右边放扇墙 (心中有墙 , 可得答案 A4.由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示,则该几何体中正方体木块的个数是 .解 :以俯视图为主,因为主视图左边有两层,表示俯视图中左边最多有两个木块,再看左视图,可得木块数如右图所示,因此这个几何体的正方体木块数的个数为 5个。