1立体几何的基本概念.

高中数学总复习

立体几何的基本概念

【知识要点】

【基本概念】

一.空间几何体的结构特征

【棱柱、棱锥、棱台和多面体】 :

1.棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体:

①有两个面互相平行;

②其余各面都是四边形;

③每相邻两个四边形的公共边都互相平行;

棱柱按底面边数可分为:三棱柱、四棱柱、五棱柱等.

棱柱性质:

①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等;

②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等

.. 多边形 .

③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形 .

2.棱锥是由一个底面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体.棱锥具有以下性质:

①底面是多边形;

②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形;

③平行于底面的截面和底面是相似多边形,相似比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的比.截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方.

3.棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分.

由棱台定义可知,所有侧棱的延长线交于一点,继而将棱台还原成棱锥.

4.多面体是由若干个多边形围成的几何体.多面体有几个面就称为几面体,如三棱锥是四面体. 【圆柱、圆锥、圆台、球】 :

分别以矩形的一边,直角三角形的一直角边,直角梯形垂直于底边的腰所在的直线,半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周而形成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台、球

圆柱、圆锥和圆台的性质主要有:

①平行于底面的截面都是圆;

②过轴的截面(轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形;

③圆台的上底变大到与下底相同时,可以得到圆柱;圆台的上底变小为一点时,可以得到圆锥. 附表:

1. 几种常凸多面体间的关系

几种特殊四棱柱的特殊性质

二.空间几何体的侧面积、表面积

1.棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积,棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和.

因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形,所以它的展开图是以棱柱的底面周长与高分别为长和宽的矩形.如果设直棱柱底面周长为 c ,高为 h ,则侧面积 S ch =侧 .若长方体的长、宽、高分别是 a 、 b 、 c ,则其表面积 2( S ab bc ca =++表 .

2.圆柱的侧面展开图是一个矩形.矩形的宽是圆柱母线的长,矩形的长为圆柱底面周长.如果设圆柱母线的长为 l ,底面半径为 r ,那么圆柱的侧面积2πS rl =侧 ,此时圆柱底面面积 2

πS r =底 . 所以圆柱的

三.空间几何体的体积

1.柱体(棱柱、圆柱的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积,即 V Sh =柱体 .其中底面半径是 r ,高是 h 的圆柱的体积是 2

πV r h =圆柱 .

2.如果一个锥体(棱锥、圆锥的底面积是 S ,高是 h ,那么它的体积是 1

3

V Sh =锥体 .其中底面半径是 r ,高是 h 的圆锥的体积是 2

1π3

V r h =圆锥 ,就是说,锥体的体积是与其同底等高柱体体积的 13.

3. 如果台体 (棱台、圆台的上、下底面积分别是 S S ', , 高是 h , 那么它的体积是

1

( 3V S S h =台体 . 其中上、下底半径分别是 r R , , 高是 h 的圆台的体积是

221

π( 3

V r Rr R h =++圆台 .

4.球的体积公式:33

4

R V π=.

表中 S 表示面积, c′ 、 c 分别表示上、下底面周长, h 表斜高, h′ 表示斜高, l 表示侧棱长。表中 l 、 h 分别表示母线、高, r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径, r 1、r 2分别表示圆台上、下底面半径, R 表示半径四.中心投影和平行投影

(1中心投影:投射线均通过投影中心的投影。

(2平行投影:投射线相互平行的投影。

例:如图,在正四面体 A -BCD 中, E 、 F 、 G 分别是三角形 ADC 、 ABD 、BCD 的中心,则△ EFG 在该

正四面体各个面上的射影所有可能的序号是( C

A .①③

B .②③④

C .③④

D .②④

(3三视图:三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形。

它具体包括:

①正视图:物体前后方向投影所得到的投影图;它能反映物体的高度和长度; ②侧视图:物体左右方向投影所得到的投影图;它能反映物体的高度和宽度; ③俯视图:物体上下方向投影所得到的投影图;它能反映物体的长度和宽度;

(3 已知图形中平行于 x 轴、 y 轴或 z 轴的线段, 在直观图中分别画成平行于 x '轴、 y '轴和 z '轴的线段. (4已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中长度相等;平行于 y 轴的线段,长度取一半. 例:C B A '''∆是正△ ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图, 若C B A '''∆的面积为 , 那么△ ABC

的面积为 _______________。 62。【位置关系的判定】

六.平面

(1 对平面的理解:平面是一个不加定义、只须理解的最基本的原始概念. 立体几何中的平面是理想的、

绝对平且无限延展的模型,平面是无大小、厚薄之分的.类似于我们以前学的直线,它可以无限延伸,它是不可度量的. (2三个公理与三个推论

①公理 1:一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在

平面内的常用方法。

②公理 2:如果两个平面有两个公共点,它们有无数个公共点,而且这无数个公共点都在同一条直线上。