高中数学空间向量与平面向量类比表

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高中数学空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.2空间中的平面与空间向量学案含解析

1.2.2 空间中的平面与空间向量导思1.什么是平面的法向量？它在解决线面位置关系中有何用途？ 2．什么是三垂线定理及其逆定理？1.平面的法向量(1)定义：如果α是空间中的一个平面，n 是空间中的一个非零向量，且表示n 的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n 为平面α的一个法向量．此时也称n 与平面α垂直，记作n ⊥α． (2)性质：如果A ，B 是平面α上的任意不同两点，n 为平面α的一个法向量，则： 1 若直线l ⊥α，则l 的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量 2 对任意实数λ≠0，λn 是平面α的一个法向量 3向量AB → 一定与n 垂直，即AB →·n ＝0平面α的法向量唯一吗？它们有什么共同特征？提示：不唯一，都平行．2．空间线面的位置关系与空间向量若v 是直线l 的一个方向向量，n 1，n 2分别是平面α1，α2的一个法向量，则：1 n 1∥v ⇔l ⊥α12 n 1⊥v ⇔l ∥α1或l ⊂α13 n 1⊥n 2⇔α1⊥α24 n 1∥n 2⇔α1∥α2或α1，α2重合已知v 是直线l 的一个方向向量，n 是平面α的一个法向量，如果n ⊥v ，那么直线l 一定与平面α平行吗？提示：不一定，也可能l ⊂α. 3．三垂线定理及其逆定理射影已知平面α和一点A ，过点A 作α的垂线l ，设l 与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的射影，也称为投影．三垂线定理如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)已知直线l垂直于平面α，向量a平行直线l，则a是平面α的法向量．()(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．()(3)若a是平面α的一条斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b.()提示：(1)×.向量a必须为非零向量．(2)√.(3)×.因为b不一定在平面α内，所以a与b不一定垂直．2．若a＝(1，2，3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是() A．(0，1，2) B．(3，6，9)C．(－1，－2，3) D．(3，6，8)【解析】选B.向量(1，2，3)与向量(3，6，9)共线．3．(教材例题改编)已知PO⊥平面ABC，且O为△ABC的垂心，则AB与PC的关系是________．【解析】因为O为△ABC的垂心，所以CO⊥AB.又因为OC为PC在平面ABC内的射影，所以由三垂线定理知AB⊥PC.答案：垂直关键能力·合作学习类型一平面的法向量(数学运算)1．若两个向量AB → ＝(1，2，3)，AC →＝(3，2，1)，则平面ABC 的一个法向量为( )A ．(－1，2，－1)B ．(1，2，1)C ．(1，2，－1)D ．(－1，2，1)2．已知点A(2，－1，2)在平面α内，n ＝(3，1，2)是平面α的一个法向量，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A ．P(1，－1，1)B ．P ⎝⎛⎭⎫1，3，32C ．P ⎝⎛⎭⎫1，－3，32D ．P ⎝⎛⎭⎫－1，3，－343．正四棱锥如图所示，在向量PA → －PB → ＋PC → －PD → ，PA → ＋PC → ，PB → ＋PD → ，PA → ＋PB → ＋PC →＋PD →中，不能作为底面ABCD 的法向量的是________．【解析】AB → ＝(1，2，3)，AC →＝(3，2，1)，设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝x ＋2y ＋3z ＝0n ·AC →＝3x ＋2y ＋z ＝0 ，取x ＝－1，得平面ABC 的一个法向量为(－1，2，－1).2．选B.设P(x ，y ，z)，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)；由题意知，AP → ⊥n ，则n ·AP →＝0；所以3(x －2)＋(y ＋1)＋2(z －2)＝0，化简得3x ＋y ＋2z ＝9. 验证得在A 中，3×1－1＋2×1＝4，不满足条件；在B 中，3×1＋3＋2×32 ＝9，满足条件；同理验证C 、D 不满足条件．3．连接AC ，BD ，交于点O ，连接OP ，则OP → 是底面ABCD 的一个法向量，PA → －PB → ＋PC → －PD →＝BA → ＋DC → ＝0，不能作为底面ABCD 的法向量；PA → ＋PC → ＝－2OP →，能作为底面ABCD 的法向量；PB → ＋PD → ＝－2OP → ，能作为底面ABCD 的法向量；PA → ＋PB → ＋PC → ＋PD → ＝－4OP →，能作为底面ABCD 的法向量．答案：PA → －PB → ＋PC → －PD →求平面ABC 的一个法向量的方法1．平面垂线的方向向量法：证明一条直线为一个平面的垂线，则这条直线的一个方向向量即为所求．2．待定系数法：步骤如下：类型二三垂线定理及其逆定理的应用(直观想象、逻辑推理)【典例】如图所示，三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，若O ，Q 分别是△ABC 和△PBC 的垂心，求证：OQ ⊥平面PBC.【思路导引】利用三垂线定理及其逆定理证明【证明】如图，连接AO 并延长交BC 于点E ，连接PE.因为PA ⊥平面ABC ，AE ⊥BC(由于O 是△ABC 的垂心)，所以PE ⊥BC ，所以点Q 在PE 上．因为⎩⎪⎨⎪⎧AE ⊥BC ，PE ⊥BC ，AE ∩PE ＝E ⇒BC ⊥平面PAE ⇒BC ⊥OQ.①连接BO 并延长交AC 于点F ，则BF ⊥AC. 连接BQ 并延长交PC 于点M ，则BM ⊥PC. 连接MF.因为PA ⊥平面ABC ，BF ⊥AC ，所以BF ⊥PC(三垂线定理).因为⎩⎪⎨⎪⎧BM ⊥PC ，BF ⊥PC ，BM ∩BF ＝B ⇒PC ⊥平面BMF ⇒PC ⊥OQ.②由①②，知OQ ⊥平面PBC.利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的基本环节在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BDC 1.【证明】连接AC，CD1，在正方体中，AA1⊥平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD内的射影，又AC⊥BD，所以BD⊥A1C.同理D1C是A1C在平面CDD1C1内的射影．所以C1D⊥A1C.又C1D∩BD＝D，所以A1C⊥平面BDC1.类型三利用空间向量证明线面、面面的位置关系(逻辑推理)证明平行问题角度1【典例】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q 是CC1上的点．当点Q在什么位置时，BQ∥平面PAO?【思路导引】建立恰当的坐标系，设出点Q的坐标，由BQ∥平面PAO确定其位置即可．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，D 1(0，0，2). 再设Q(0，2，c)，所以OA → ＝(1，－1，0)，OP →＝(－1，－1，1)， BQ →＝(－2，0，c)，BD 1＝(－2，－2，2). 设平面PAO 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OA →＝0，n ·OP →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x －y ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝2.所以平面PAO 的一个法向量为n ＝(1，1，2). 若BQ ∥平面PAO ，则n ⊥BQ ，所以n ·BQ → ＝0，即－2＋2c ＝0，所以c ＝1，故当Q 为CC 1的中点时，BQ ∥平面PAO.本例若把“Q 是CC 1上的点”改为“Q 是CC 1的中点”，其他条件不变，求证：平面D 1BQ ∥平面PAO.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，D 1(0，0，2)，Q(0，2，1)，所以OA → ＝(1，－1，0)，OP →＝(－1，－1，1)， BQ →＝(－2，0，1)，BD 1＝(－2，－2，2). 设平面PAO 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·OA →＝0n 1·OP →＝0 ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0－x －y ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝2.所以平面PAO 的一个法向量为n 1＝(1，1，2).同理可求平面D 1BQ 的一个法向量为n 2＝()1，1，2 ，因为n 1＝n 2，所以n 1∥n 2，所以平面D 1BQ ∥平面PAO.角度2证明垂直问题【典例】在如图所示的几何体中，平面CDEF 为正方形，平面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2BC ，∠ABC ＝60°，AC ⊥FB. (1)求证：AC ⊥平面FBC ；(2)线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你的结论．【思路导引】(1)利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC ⊥BC ，再利用已知AC ⊥FB 和线面垂直的判定定理即可证明；(2)通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量是否垂直即可．【解析】(1)因为AB ＝2BC ，∠ABC ＝60°，在△ABC 中，由余弦定理可得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BCcos 60°＝3BC 2，所以AC 2＋BC 2＝4BC 2＝AB 2，所以∠ACB ＝90°，所以AC ⊥BC. 又因为AC ⊥FB ，FB ∩BC ＝B ，所以AC ⊥平面FBC.(2)线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC. 证明如下：因为AC ⊥平面FBC ，所以AC ⊥FC.因为CD ⊥FC ，所以FC ⊥平面ABCD.所以CA ，CF ，CB 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系．在等腰梯形ABCD 中，可得CB ＝CD.设BC ＝1，所以C(0，0，0)，A(3 ，0，0)，B(0，1，0)，D(32 ，－12 ，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－12，1 .所以CE → ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，－12，1 ，CA →＝(3 ，0，0)，CB →＝(0，1，0).设平面EAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CE →＝0n ·CA →＝0 ，所以⎩⎨⎧32x －12y ＋z ＝03x ＝0，取z ＝1，得n ＝(0，2，1).假设线段ED 上存在点Q ，设Q ⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，t (0≤t≤1)，所以CQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，t . 设平面QBC 的法向量为m ＝(a ，b ，c)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CB →＝0m ·CQ →＝0 ，所以⎩⎨⎧b ＝032a －12b ＋tc ＝0，取c ＝1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t 3，0，1 .要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需m·n ＝0，即－23t×0＋0×2＋1×1＝0，此方程无解．所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC. 利用空间向量证明平行、垂直问题的常用思路线面平行(1)求出直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，只需证明a⊥u，即a·u＝0.(2)在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．面面平行(1)转化为相应的线线平行或线面平行．(2)求出平面α，β的法向量u，v，证明u∥v即可说明α∥β.线面垂直求出平面内两条相交直线的方向向量，证明直线的方向向量和它们都垂直．面面垂直(1)转化为线面垂直．(2)求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直．1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.【解析】如图所示建立空间直角坐标系，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以FC1＝(0，2，1)，DA → ＝(2，0，0)，AE → ＝(0，2，1).(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA → ，n 1⊥AE → ，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0z 1＝－2y 1 ，令z 1＝2⇒y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1，2)，因为n 1·1FC ＝－2＋2＝0，所以n 1⊥1FC ，又因为FC 1⊄平面ADE ，即FC 1∥平面ADE.(2)因为11C B ＝(2，0，0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥1FC ，n 2⊥11C B ，得21222112FC 2y z 0C B 2x 0⎧=+=⎪⎨==⎪⎩n n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0z 2＝－2y 2. 令z 2＝2⇒y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1，2)，所以n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1 F.2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，在CC 1上求一点P ，使平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE.【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体棱长为2，且P(0，2，a)，则D(0，0，0)，E(1，2，0)，C 1(0，2，2)，A 1(2，0，2)，B 1(2，2，2)，则DE → ＝(1，2，0)，1DC ＝(0，2，2)，设n 1＝(x 1，y 1，z 1)且n 1⊥平面DEC 1，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋2y 1＝0y 1＋z 1＝0 ，取n 1＝(2，－1，1). 又1A P ＝(－2，2，a －2)，11A B ＝(0，2，0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)且n 2⊥平面A 1B 1P ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋（a －2）z 2＝0y 2＝0 ，取n 2＝(a －2，0，2). 由平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ，得n 1·n 2＝0，1的中点．【补偿训练】在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F.求证：(1)PA ∥平面EDB.(2)PB ⊥平面EFD.Ｋ【证明】建立如图所示的空间直角坐标系．D 是坐标原点，设DC ＝a.(1)连接AC 交BD 于G ，连接EG ，依题意得D(0，0，0)，A(a ，0，0)，P(0，0，a)，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2 . 因为底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0 ，所以EG → ＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2 .又PA → ＝(a ，0，－a)，所以PA → ＝2EG → ，这表明PA ∥EG.而EG ⊂平面EDB ，且PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB.(2)依题意得B(a ，a ，0)，PB → ＝(a ，a ，－a)，DE → ＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2 ，所以PB → ·DE → ＝0＋a 22 －a 22 ＝0，所以PB → ⊥DE → ，即PB ⊥DE.又已知EF ⊥PB ，且EF∩DE ＝E ，所以PB ⊥平面EFD.课堂检测·素养达标1．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l ⊄α，则使l ∥α成立的是( )A ．a ＝(1，－1，2)，n ＝(－1，1，－2)B ．a ＝(2，－1，3)，n ＝(－1，1，1)C ．a ＝(1，1，0)，n ＝(2，－1，0)D ．a ＝(1，－2，1)，n ＝(1，1，2)【解析】l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l ⊄α，使l ∥α成立，所以a·n ＝0，在A 中，a·n ＝－1－1－4＝－6，故A 错误；在B 中，a·n ＝－2－1＋3＝0，故B 成立；在C 中，a·n ＝2－1＝1，故C 错误；在D 中，a·n ＝1－2＋2＝1，故D 错误．2．(教材练习改编)若平面α与β的法向量分别是a ＝(2，4，－3)，b ＝(－1，2，2)，则平面α与β的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定【解析】选B.a·b ＝(2，4，－3)·(－1，2，2)＝－2＋8－6＝0，所以a ⊥b ，所以平面α与平面β垂直．3．已知平面α内有一个点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量是n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中在平面α内的是( )A ．P(2，3，3)B ．P(－2，0，1)C ．P(－4，4，0)D ．P(3，－3，4)【解析】选A.设平面α内一点P(x ，y ，z)，则：MP → ＝(x －1，y ＋1，z －2)，因为n ＝(6，－3，6)是平面α的法向量，所以n ⊥MP → ，n ·MP → ＝6(x －1)－3(y ＋1)＋6(z －2)＝6x －3y ＋6z －21，所以由n ·MP → ＝0得6x －3y ＋6z －21＝0，所以2x －y ＋2z ＝7，把各选项的坐标数据代入上式验证可知A 适合．4．正三棱锥P-ABC 中，BC 与PA 的位置关系是________．【解析】如图，在正三棱锥P-ABC 中，P 在底面ABC 内的射影O 为正三角形ABC 的中心，连接AO ，则AO 是PA 在底面ABC 内的射影，且BC ⊥AO ，所以BC ⊥PA.答案：BC ⊥PA。

高中数学必修知识点空间向量知识点

高中数学必修知识点空间向量知识点高中数学必修知识点：空间向量知识点一、空间向量的概念与表示空间向量是指具有大小、方向和作用线的量，可以用一个有向线段来表示。

设 A、B 是空间中的两点，用线段 AB 表示的向量称为向量AB，记作⃗AB 或 AB。

二、向量的加法与减法1. 向量的加法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的和，记作⃗AB + ⃗BC = ⃗AC。

2. 向量的减法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的差，记作⃗AB - ⃗BC = ⃗AC。

三、数量积与向量积1. 数量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量 ⃗b = (x₂, y₂, z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的数量积为 a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂。

2. 数量积的性质：- 交换律：⃗a·⃗b = ⃗b·⃗a- 结合律：(k⃗a)·⃗b = k(⃗a·⃗b) = ⃗a·(k⃗b) (k 为常数)- 分配律：⃗a·(⃗b + ⃗c) = ⃗a·⃗b + ⃗a·⃗c- ⃗a·⃗a ≥ 0，当且仅当⃗a = ⃗0 时，⃗a·⃗a = 03. 向量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量⃗b = (x₂, y₂,z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的向量积为⃗a × ⃗b = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)。

4. 向量积的性质：- ⃗a × ⃗b = -⃗b × ⃗a- (k⃗a) × ⃗b = ⃗a × (k⃗b) = k(⃗a × ⃗b) (k 为常数)- ⃗a × ⃗b = ⃗0，当且仅当⃗a 与 ⃗b 共线或其中一个为⃗0 时，⃗a × ⃗b = ⃗0四、平面与空间向量的关系1. 平面方程的向量表示：设平面过点 A(x₁, y₁, z₁)，且法向量为 ⃗n = (A, B, C)，则平面上任意一点 M(x, y, z) 满足向量⃗AM·⃗n = 0。

高中数学选择性必修一课件：用空间向量研究直线、平面的位置关系(第1课时)

设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，则nn··GG→→EF＝＝00，. ∴－－x2－x＋y＋y＋2zz＝＝00.，∴xy＝＝yz.， ∴n＝(z，z，z)，令 z＝1，此时 n＝(1，1，1)， ∴平面 EFG 的一个法向量为(1，1，1)．
(3)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，△ PAB 是边长为 1 的正三角形，四边形 ABCD 是菱形，∠ABC＝60°， E 是 PC 的中点，F 是 AB 的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 DEF 的一个法向量．
1.4.1
1.4 空间向量的应用用空间向量研究直线、平面的位置关系(第1课时)
空间中点、直线和平面的向量表示
要点 1 点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 就可以用向量O→P来表示．我们把向量O→P称为点 P 的位置向量．
要点 2 直线的方向向量用向量表示直线 l，就是要利用点 A 和直线 l 的方向向量表示直线上的任意一点．如图 1，a 是直线 l 的方向向量，在直线 l 上取A→B＝a，设 P 是直线 l 上的任意一点，由向量共线的条件可知，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使得A→P＝ta，即A→P＝tA→B.
【解析】以点 A 为原点，AD，AB，AS 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)， C(1，1，0)，D(12，0，0)，S(0，0，1)．
(1)∵SA⊥平面 ABCD， ∴A→S＝(0，0，1)是平面 ABCD 的一个法向量． (2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面 SAB， ∴AD⊥平面 SAB， ∴A→D＝12，0，0是平面 SAB 的一个法向量．

高中数学(人教B版)选择性必修一：空间中的平面与空间向量【精品课件】

C B
证明：连接BC.
D
因为ABCD ABCD为正方体
A
所以AB 面BCCB
所以BC为AC在面BCCB内的射影
因为BCCB为正方形
D
所以BC BC
由三垂线定理，BC AC.
A
C B
C B
例.在正方体ABCD ABCD中，求证：BD 面ABC.
D A
分析：需要寻找两条相交直线与BD 垂直
P
求平面MNP的法向量.
D
A
M
C B
C N B
z
证明：如图建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为2 ，则
A
A(2,0,0), B(2,2,0),C(0,2,0), D(0,0,2) 由于M , N , P 分别是AB, BC, DD 的中点，
所以M (2,1,0), N (1,2,0), P(0,0,1)
0x 2 y 2z=0 2x 2 y 2z=0
通过消元解方程组：
0x 2y 2x 2
2 y
z=0 2z=0
y z x =0
令y 1,得x 0, z 1,解得n=(0,1,1)
D
练习：在正方体ABCD ABCD 中，
M , N , P分别是AB, BC, DD 的中点， A
D
C
n CD=(0, 2,0) 因为MN (1,0,1)
N
A
B
所以MN n=(0, 2,0) (1,0,1)=0
M
所以MN n
D
Cy
又因为MN 面ADDA
所以MN //面ADDA.
A
B
x
小结：
l//或l v n l v//n // n1//n（2 , 不重合） n1 n（2 , 不重合）

高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件

→ —→ (2)〈AB，C1A1〉；解答〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学题型探求当堂训练
问题导学
知识点一空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是②__③____.(填序号)答案
No Image
12345
规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行于向量a的直线.

高三数学平面向量与空间向量类比

平面向量与空间向量类比平面向量与空间向量有诸多相似之处，学习空间向量时若能与平面向量类比，往往会收到事半功倍的效果．本文以向量的线性表示为例（例1与例2）作简单介绍．例1 已知：如图1，在平面中，1OA OB OA == ，与OB 的夹角为120OC ，与OA 的夹角为25 ，5OC = ．用OAOB ，表示OC ．解法一：OA OCcos OA OC AOC =∠5cos 25= ．设OC OA OB λμ=+ ，则212OA OC OA OA OB λμλμ=+=- ．15cos 252λμ-= ① 同理由OB OC ，可得15cos952λμ-+= ．②由①②，可得952533λμ== ，，952533OC OA OB =+ ．解法二：如图2，以OA 所在直线为x 轴，点O 为坐标原点建立直角坐标系，则(5cos255sin 25)OC ，．设OC OA OB λμ=+ ，则 1(10)2OC λμ⎛=+- ⎝⎭ ，，．解得952533OC OA OB =+ ．解法三：如图3，作平行四边形OMCN ，设OM OAON OB λμ== ，，由正弦定理得9525OC OA OB = （过程略）．例2 已知：正四面体O ABC -中，OA OB OC a ===，点O 在底面上的射影为G ，试用向量OAOB OC ，，表示OG ．解法一：如图4，∵OA =OB =OC ，∴点O 在底面的射影点G 为△ABC 的中心．取AB 的中点D ，则DG =13DC ． ∵13OG OD DG OD DC =+=+ 1()3OD OC OD =+- ，又∵1()2OD OA OB =+ ， ∴2133OG OD OC =+ 111333OA OB OC =++ ．故111333OG OA OB OC =++ ．解法二：如图5，以点O 为原点，建立空间直角坐标系，设111222333()()()A x y z B x y z C x y z ，，，，，，，，，由定比分点坐标公式，可得点G 的坐标123123123333x x x y y y z z z ++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭，，． 111333OG OA OB OC ∴=++ ．解法三：如图6，作平行六面体CENF OBMA -，使得正四面体O ABC -为其一个角上的小三棱锥，则ON OA OB OC =++ ．可证13OG ON = （过程略）．提起空间向量，许多同学会习惯于空间向量的直角坐标运算，忽略了空间向量本身的应用．2005年全国高中数学联赛第2题（例3），是利用空间向量（不建立空间直角坐标系）解立体几何问题的典型，应培养空间向量的应用意识．例3 如图7，空间四点AB C D ，，，满足 37119AB BC CD DA ==== ，，，，则AC BD 的取值（）（A ）只有一个（B ）有两个（C ）有四个（D ）有无穷多个此题设计精巧，构思奇妙，其来源于课本习题（具体化，并向空间推广），思维含量颇高．试题组提供的解答过程比较麻烦，此处从略．课本上有这样一道习题：已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，求证它的对角线互相垂直．这道习题有很多种证明方法，向量法简证如下：设AD AC AB === ，，a b c 则BD =- a c ，条件2222AB CD BC AD +=+ 即22()()+-=-+22c a b b c a ，展开整理可得 a b =b c ，即()0-=b c a ，也就是0AC BD = ，从而AC BD AC BD ，⊥⊥．上述证明与四边形ABCD 是平面图形还是立体图形无关，该结论也适合于空间问题．该试题可追溯到一道匈牙利数学竞赛试题：证明四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和的充要条件是它的两条对角线互相垂直．该联赛试题的解答可简化为：由222231179+=+，则0AC BD AC BD = ，⊥．故此题选（Ａ）．。

高二数学空间直线的方向向量和平面的法向量

a 例题3：已知所有棱长为的正三棱锥 A BCD ，试建立空间
直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量。
课堂练习：
1、已知A(3,3,1) ，B(1, 0,5) ，求线段AB 所在直线的一个
方向向量；
2 、如图所示直角坐标系中有一棱长为1的正方体
棱ACBCDD上，A1CB1GC1D11，4 CED,，F分H别是是C1GDD的1, D中B点中，点求线，段G 在
（1）向量 AA',OC, BC可以分别表示哪条空间直线的方向向量？
（2）写出空间直线的一个方向向量，并说明这个方向向量是否可以表示正方体A'的F 某条棱所在直线的方向。
例题2：已知长方体ABCD A'B'C'D'的棱长AB 2, AD ，4, AA' 3
以长方体的顶点D为' 坐标原点，过D' 的三条棱所在的直线为坐标
3.3 空间直线的方向向量和平面的法向量
平面直线的方向向量是如何定义的？唯一吗？如何表示空间直线的方向？
方向向量对于空间任意一条直线l,我们把与直线平行的非零向量d
叫做直线的一个方向向量。
空间直线的方向向量是唯一的吗？
一个空间向量能够表示几条空间直线的方向向量？
例1：如图所示的空间直角坐标系中，棱长为a的正方体 OABC OABC 中，F为棱上的中点，所在直线的一个方向向量
3、教材P49 1 4、教材P49 2
课堂小结: 空间直线的方向向量的概念直线方向向量的不唯一一个向量可以表示无数条直线的方向
布置作业：见练习册
轴，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：
(1) AA'; (2)B'C; (3) A'C; (4)DB'

平面向量与空间向量

平面向量1.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O .单位向量a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝ 1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. 2.向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2.三角形法则1212(,)a b x x y y +=++a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AC BC AB =+向量的减法三角形法则1212(,)a b x x y y -=--()a b a b -=+-AB BA =-,AB OA OB =-数乘向量1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ=2.λ>0时, a a λ与同向;λ<0时, a a λ与异向;λ=0时, 0a λ=.(,)a x y λλλ=()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=向量的数量积a b ∙是一个数1.00a b ==或时，0a b ∙=.2.00||||cos(,)a b a b a b a b ≠≠=且时，1212a b x x y y ∙=+a b b a ∙=∙()()()a b a b a b λλλ∙=∙=∙()a b c a c b c +∙=∙+∙2222||||=a a a x y =+即3.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1， λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O. (4)线段的定比分点公式设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，则OP ＝λ+111OP ＋λ+112OP (线段的定比分点的向量公式) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式) 当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x (5)平移公式设点P (x ，y )按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P ′（x ′，y ′），则P O '＝OP +a 或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x曲线y ＝f （x ）按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y －ｋ＝f （x －ｈ) (6)正、余弦定理正弦定理：.2sin sin sin R CcB b A a === 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .空间向量1．空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a AB OA OB+=+= b a OB OA BA-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．4．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t OA OP +=a．其中向量a叫做直线l 的方向向量. 5．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的6．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ 7 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p x a y b z c =++推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++8 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥. 9．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a . 10．向量的数量积： a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影.可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅． 11．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅． 12．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．空间向量的坐标运算一．知识回顾：（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅a ∥)(,,332211Rb a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔0332211=++⇔⊥b a b a b a b a 222321a a a a a a ++=⋅=(用到常用的向量模与向量之间的转化：a a a a a a ⋅=⇒⋅=2) 232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅⋅>=<②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量. （3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α的距离为||||n n AB ⋅.②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.。

高中数学选择性必修一课件：1.3.2空间向量运算的坐标表示

新教材高中数学1.2.2空间中的平面与空间向量课件新人教B版选择性必修第一册

所以1 ⊥ 1 , 1 ⊥ ,即 AB1⊥BA1,AB1⊥BD.
又因为BA1∩BD=B,所以AB1⊥平面A1BD.
反思感悟1.用坐标法证明线面垂直的常用方法:
方法一:基向量法
(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量.
∴P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),
设 E(0,y,z),则 =(0,y,z-1),
=(0,2,-1),
∵ ∥ ,∴y(-1)-2(z-1)=0,①
∵ =(0,2,0)是平面 PAB 的法向量,
又 =(-1,y-1,z),CE∥平面 PAB,∴ ⊥ ,
在空间直角坐标系下,求平面的法向量的一般步骤:
(1)设平面的法向量为n=(x,y,z);
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);
(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组
· = 0,
· = 0;
(4)解方程组,取其中的一组解,即得平面的一个法向量.
三垂线定理及其逆定理有何区别与联系?
提示联系:都是一面四线,三种垂直关系.
区别:①从条件或结论上看,三垂线定理是“线与射影垂直⇒线与斜线垂直”,
而逆定理恰好相反;②从作用上看,三垂线定理是“共面直线垂直⇒异面直
线垂直”,而逆定理恰好相反.
课堂篇探究学习
探究一
求平面的法向量
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中
∴ =(-1,-1,1).
1 =(0,2,2), =(-2,2,0).
而 ·1 =0, · =0,

高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第1课

SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
(1)求平面ABCD的一个法向量;
(2)求平面SAB的一个法向量;
(3)求平面SCD的一个法向量.
1
2
,试建立适当的坐标系.
解以点A为原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所
示的空间直角坐标系,
则
1
A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D( ,0,0),S(0,0,1).
设 Q(0,1,m).
(方法 1)因为 =
=
1
-1,0, 2
1 1 1
- ,- ,
2 2 2
, 1 =(-1,-1,1),所以 ∥ 1 ,于是 OP∥BD1.
1
, =(-1,0,m),当 m=2时,
= ,即 AP∥BQ,有平面 PAO∥平
面 D1BQ,故当 Q 为 CC1 的中点时,平面 D1BQ∥平面 PAO.
是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证直线与平面平
行.
(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再
结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.
(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与
法向量垂直,从而证明直线与平面平行.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示
1.点的位置向量
在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量

高中数学课件-空间直线的方向向量和平面的法向量

空间直线的方向向量和平面的法向量
空间直线的方向向量对于空间任意一条直线l，我们把与直线l平行的非零
向量叫做直线l的一个方向向量。 z
O
y
x
例1 已知正四面体ABCD的棱长为a，建立适当的空间直角
坐标系。（1）确定各棱所在直线的一个方向向D
y
C x
问题1：如何确定一个平面的方向呢？结论1：垂直于同一平面的两直线平行。结论2：垂直于同一直线的两个平面平行。
垂直，那么向量叫做平面的一个法向量。
（1）平面ABCD；（2）平面ACC1A1；（3）平面ACD1.
z
D
C
A
B
D1
A1
x
C1
y
B1
5.求平面法向量的方法： ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
待定系数法
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
练习 1：已知 AB (2, 2,1), AC (4,5, 3), 求平面 ABC 的单位法向量. 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .
∴
( (
x, x,
y, y,
p＝0，取m＝1，则n＝－ 3，从而n1＝(1，－ 3，0)．同理可得平面A1DE的一个法向量为n＝( 3，1，2a)，直接计算知n1·n2＝0，所以平面A1AE⊥平面A1DE.
11
空间直线的方向向量对于空间任意一条直线l，我们把与直线l平行的非零

高中数学空间向量与平面向量类比表

②∵a-b=a+(-b)
∴
∵若a+x=b，则x=b–a
∴
3、实数与向量的积
①若a= ( ， )，则 a=____________.
②当a=0时， a=
当a 0时， a表示
运算律：设、为实数，那么
1结合律：__________________________.
2分配律：
（ⅰ）_____________________；
当a与b反向时，a·b=
特别：a·a=或|a|=
（ⅳ） <a，b>=
（ⅴ）|a·b|
（ⅵ）平面内两点、的距离公式
五、重要定理
1、共线向量定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是___________________
_________________பைடு நூலகம்________________.
若a= ( ， )，b= ( ， )，则向量b与非零向量a共线的充要条件是__________________________________.
两个规定：
单位向量：____________________.
3、平行向量（共线向量）：______
_____________________________；
相等向量：______________________
相反向量：______________________.
四、向量的运算
1、加法：
1若a= ( ， )，b= ( ， )，
则a+b=___________________.
②
平行四边形法则
三角形法则
运算律：
加法交换律：________________________；

第一章空间向量与立体几何(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)

第一章空间向量与立体几何（公式、定理、结论图表）1.空间向量基本概念空间向量：在空间,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.长度（模）：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模,记为a 或AB.零向量：长度为0的向量叫作零向量,记为0 .单位向量：模为1的向量叫作单位向量.相反向量：与向量a 长度相等而方向相反的向量,叫作a 的相反向量,记为a.共线向量（平行向量）：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行.相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.2.空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘,其定义、画法、运算律等均与平面向量相同.3.共线、共面向量基本定理（1）直线l 的方向向量：在直线l 上取非零向量a ,与向量a平行的非零向量称为直线l 的方向向量.（2）共线向量基本定理：对任意两个空间向量=a b λ （0b ≠ ），//a b 的充要条件是存在实数λ，使=a b λ.（3）共面向量：如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合,那么称向量a平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫作共面向量.（4）共面向量基本定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ,使p xa yb =+ .4.空间向量的数量积（1）向量的夹角：已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作,OA a OB b ==,则AOB ∠叫作向量a ,b 的夹角,记作,a b <> .如果,2a b π<>= ,那么向量,a b 互相垂直,记作a b ⊥ .（2）数量积定义：已知两个非零向量,a b ,则cos ,a b a b <> 叫作,a b的数量积,记作a b ⋅ .即a b ⋅= cos ,a b a b <> .（3）数量积的性质：0a b a b ⊥⇔⋅= 2cos ,a a a a a a a ⋅=⋅<>= .（4）空间向量的数量积满足如下的运算律：()()a b a bλλ⋅=⋅ a b b a⋅=⋅ (交换律):()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅（分配律).推论：()2222a ba ab b +=+⋅+，()()22a b a b a b+⋅-=- .（5）向量的投影向量：向量a 在向量b 上的投影向量c ：cos ,b c a a b b=<>向量a 在平面α内的投影向量与向量a 的夹角就是向量a所在直线与平面α所成的角.5.空间向量基本定理如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任意一个空间向量p.存在唯一的有序实数组(),,x y z .使得p xa yb zc =++ .6.基底与正交分解(1)基底:如果三个向量,,a b c 不共面,那么我们把{},,a b c 叫作空间的一个基底,,,a b c都叫作基向量.(2)正交分解:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直.且长度都为1.那么这个基底叫作单位正交基底，常用{},,i j k表示.把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫作把空间向量进行正交分解.7.空间直角坐标系在空间选定点O 和一个单位正交基底{},,i j k.以点O 为原点，分别以,,i j k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x 轴.y 轴、z 轴,它们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz ,O 叫作原点，,,i j k都叫作坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面.空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系.8.空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中,,i j k为坐标向量.给定任一向量OA ,存在唯一的有序实数组(),,x y z ,使OA xa yb zc =++.有序实数组(),,x y z 叫作向量OA 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标.记作(),,OA x y z =.(),,x y z 也叫点A 在空间直角坐标系中的坐标.记作(),,A x y z .9.空间向量运算的坐标表示设()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则：（1）()121212,,a b x x y y z z +=+++，（2）()121212,,a b x x y y z z -=---，（3）()111,,a x y z λλλλ=.10.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示（1）121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===，（2）121212=0++0a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅⇔=，（3）a == ，（4）cos ,a ba b a b ⋅== .11.空间两点间的距离公式设()()11112222,,,,,P x y z P xy z ，则12PP =.12.平面的法向量：直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，称a为平面的法向量.13.空间中直线、平面的平行（1）线线平行:若12,u u 分别为直线12,l l 的方向向量,则1212////,l l u u R λ⇔⇔∃∈ 使得12u u λ=.（2）线面平行:设u 直线l 的方向向量,n 是平面α的法向量,l α⊄，则//0l u n u n α⇔⊥⇔⋅=.法2:在平面α内取一个非零向量a ,若存在实数x ,使得u xa =,且l α⊄，则//l α.法3:在平面α内取两个不共线向量,a b ,若存在实数,x y ，使得u xa yb =+,且l α⊄,则//l α（3）面面平行:设12,n n 分别是平面,αβ的法向量，则12////n n R αβλ⇔⇔∃∈ ，使得12n n λ=.14.空间中直线、平面的垂直（1）线线垂直:若12,u u 分别为直线12,l l 的方向向量,则1212120l l u u u u ⊥⇔⊥⇔⋅=.（2）线面垂直:设u 直线l 的方向向量,n 是平面α的法向量,则//l u n R αλ⊥⇔⇔∃∈ ，使得u n λ=.法2:在平面α内取两个不共线向量,a b,若0a u b u ⋅=⋅= .则l α⊥.（3）面面垂直:设12,n n 分别是平面,αβ的法向量，则12120n n n n αβ⊥⇔⊥⇔⋅=.15.用空间向量研究距离、夹角问题（1）点到直线的距离：已知,A B 是直线l 上任意两点,P 是l 外一点，PQ l ⊥，则点P 到直线l 的距离为PQ =(2)求点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A 是平面α内的任一点，P 是平面α外一点,过点P 作则平面α的垂线l ，交平面α于点Q ,则点P 到平面α的距离为AP nPQ n⋅= .（3）直线与直线的夹角若12,n n 分别为直线12,l l 的方向向量，θ为直线12,l l 的夹角，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.(4)直线与平面的夹角设1n 是直线l 的方向向量,2n是平面α的法向量,直线与平面的夹角为θ.则121212sin cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.（5）平面与平面的夹角平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90 的二面角称为这两个平面的夹角.若12,n n 分别为平面,αβ的法向量，θ为平面,αβ的夹角，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.<解题方法与技巧>1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．3.在几何体中求空间向量的数量积的步骤1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.4代入公式a·b ＝|a ||b |cos〈a ，b 〉求解.4.利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证).5.求点到平面的距离的四步骤6.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；7.利用向量法求两平面夹角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)典例1：多选题（2023·全国·高三专题练习）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C．当12λ=时，有且仅有一个点P，使得1A P BP⊥D．当12μ=时，有且仅有一个点P，使得1A B⊥平面1AB P【详解】P在矩形11BCC B内部（含边界）典例2：如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为．(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．由（1）得2AE =，所以12AA AB ==，1A B =则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以AC 则()1,1,1BD = ，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z = ，则m BD m BA ⎧⋅⎨⋅⎩可取()1,0,1m =-，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c = ，则n BD n BC ⎧⋅⎨⋅⎩可取()0,1,1n =-r，则11cos ,222m n m n m n⋅===⨯⋅，所以二面角A BD C --的正弦值为213122⎛⎫-= ⎪⎝⎭.典例3：已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）证明见解析；（2）112B D =【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）[方法一]：几何法因为1111,//BF AB AB AB ⊥，所以BF AB ⊥．又因为1AB BB ⊥，1BF BB B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．又因为2AB BC ==，构造正方体1111ABCG A B C G -，如图所示，()()(0,0,0,2,0,0,0,2,0B A C ∴由题设(),0,2D a （02a ≤≤因为()(0,2,1,1BF DE ==- 所以()012BF DE a ⋅=⨯-+ [方法三]：因为1BF A B ⊥(1BF ED BF EB BB B ⋅=⋅++ 1122BF BA BC BF ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭1cos 2BF BC FBC =-⋅∠+作1BH F T ⊥，垂足为H ，因为面角的平面角．设1,B D t =[0,2],t ∈1B T =典例4：如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．。

高二数学复习考点知识与题型专题讲解5---用空间向量研究直线、平面的位置关系

高二数学复习考点知识与题型专题讲解1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系【考点梳理】考点一：空间中点、直线和平面的向量表示1.空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量OP→来表示．我们把向量OP→称为点P的位置向量．2.空间中直线的向量表示式直线l的方向向量为a，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP→＝OA→＋t a，①把AB→＝a代入①式得OP→＝OA→＋tAB→，②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．3.空间中平面的向量表示式平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→.我们称为空间平面ABC的向量表示式．考点二空间中平面的法向量平面的法向量如图，若直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称a为平面α的法向量；过点A且以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·AP→＝0}．考点三：空间中直线、平面的平行1.线线平行的向量表示设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.12.线面平行的向量表示设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.面面平行的向量表示设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 .1考点四：空间中直线、平面的垂直1.线线垂直的向量表示设u1，u2分别是直线l1 , l2的方向向量，则l⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.12. 线面垂直的向量表示设u 是直线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， l ⊄α，则l ⊥α⇔u ∥n ⇔∃λ∈R ，使得u ＝λn .知识点三面面垂直的向量表示设n 1，n 2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.【题型归纳】题型一：平面的法向量的求法1．（2021·江西·景德镇一中高二期中（理））已知直线l 过点(1,0,1)P -，平行于向量(211)S =,,，平面π经过直线l 和点(1,2,3)A ，则平面π的一个法向量n 的坐标为（）A ．1212⎛⎫- ⎪⎝⎭,,B ．1122⎛⎫- ⎪⎝⎭,,C ．(1,0,2)-D ．(120)-,, 2．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）已知平面α经过点(1,1,1)A 和(1,1,)B z -，(1,0,1)n =-是平面α的法向量，则实数z =（）A ．3B ．1-C ．2-D ．3-3．（2021·全国·高二课时练习）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD ，1AB AA =1OCB 的法向量(),,n x y z =为（）A ．()0,1,1B ．()1,1,1-C ．()1,0,1-D ．()1,1,1--题型二：空间中点、直线和平面的向量表示4．（2021·全国·高二专题练习）已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果()2,1,4AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--.对于结论：①||6AD =；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP//BD .其中正确的是（） A ．②④B ．②③C ．①③D ．①②5．（2022·全国·高二）已知平面α内有一点A (2，－1,2)，它的一个法向量为(3,1,2)n =，则下列点P 中，在平面α内的是（） A ．(1，－1,1)B ．(1,3，32)C ．(1，－3，32)D ．(－1,3，－32)6．（2022·四川·棠湖中学高二）对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有(,,)OP xOA yOB zOC x y z R =++∈，则2x =，3y =-，2z =是P ,A ,B ,C 四点共面的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．（2022·福建·高二学业考试）如图，在长方体体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱111,BB B C 的中点，以下说法正确的是（）A ．1A E 平面11CC D DB ．1A E ⊥平面11BCC B C ．11A ED F ∥D ．11AE DF ⊥8．（2022·山东淄博·高二期末）在空间直角坐标系Oxyz 中，平面α的法向量为()1,1,1n =，直线l 的方向向量为m ，则下列说法正确的是（）A ．若11,,122m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则//l αB ．若()1,0,1m =-，则l α⊥C ．平面α与所有坐标轴相交D ．原点O 一定不在平面α内9．（2022·安徽宣城·高二期末）如图已知正方体1111ABCD A B C D -，点M 是对角线1AC 上的一点且1AM AC λ=，()0,1λ∈，则（）A ．当12λ=时，1AC ⊥平面1A DMB ．当12λ=时，//DM 平面11CB D C ．当1A DM 为直角三角形时，13λ=D ．当1A DM 的面积最小时，13λ=10．（2021·湖北黄冈·高二期中）已知1v 、2v 分别为直线1l 、2l 的方向向量（1l 、2l 不重合），1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中不正确的是（）A ．1212v v l l ⇔∥∥；B ．111v n l α⊥⇔∥；C ．12n n αβ⊥⇔⊥D ．12n n αβ⇔∥∥11．（2021·安徽·高二期中）给出以下命题，其中正确的是（） A ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为()2,1,1b =-，则l 与m 垂直 B ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =，则l α⊥ C ．平面α､β的法向量分别为()10,1,3=n ，()21,0,2=n ，则αβ∥D ．平面α经过三个点()1,0,1A -，()0,1,0B -，()1,2,0C -，向量()1,,n p q =是平面α的法向量，则53p q +=12．（2022·全国·高二课时练习）若空间两直线1l 与2l 的方向向量分别为()123,,a a a a =和()123,,b b b b =，则两直线1l 与2l 垂直的充要条件为（）A ．11a b λ=，22a b λ=，33a b λ=（R λ∈）B ．存在实数k ，使得a kb =C ．1122330a b a b a b ++=D ．a b a b ⋅=±⋅题型五：空间向量研究直线、平面的位置综合问题13．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，P 、Q 是正方体表面上相异两点．若P 、Q 均在平面1111D C B A 上，满足1BP A E ⊥，1BQ A E ⊥．(1)判断PQ 与BD 的位置关系； (2)求1A P 的最小值．14．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AD BC ∥.,3,2,AD AB AD AB BC PA ⊥===⊥平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上，点N 为BC 中点.(1)若2DM MP =，证明：直线//MN 平面PAB ：(2)线段PD 上是否存在点M ，使NM 与平面PCD 6PM PD 值；若不存在，说明理由15．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，E ，F 分别为棱1AA ，1CC 的中点，G 为棱1DD 上的动点.(1)求证：B ，E ，1D ，F 四点共面；(2)是否存在点G ，使得平面GEF ⊥平面BEF ？若存在，求出DG 的长度；若不存在，说明理由.【双基达标】一、单选题16．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））在直三棱柱ABC A B C '''-中，底面是以B 为直角项点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱CC '上有唯一的一点E 使得A E EB '⊥，那么BB '=（）A ．1B ．2C ．12D ．1317．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知平面α的法向量为(342)n =-，，，(342)AB =--，，，则直线AB 与平面α的位置关系为（）A ．AB α∥B ．AB α⊥C ．AB α⊂D ．AB α⊂或AB α∥18．（2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，,E F 分别是11,BB DD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1A O //EFB ．1A O EF ⊥C ．1A O //平面1EFBD ．1A O ⊥平面1EFB 19．（2022·全国·高二）有以下命题： ①一个平面的单位法向量是唯一的②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行 ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直其中真命题的个数有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，有正方体ABCD A B C D ''''-，给出下列结论：①直线DD '的一个方向向量为1(0,0,1)v =；②直线BC '的一个方向向量为2(0,1,1)v =； ③平面ABB A ''的一个法向量为1(0,1,0)n =；④平面B CD '的一个法向量为2(1,1,1)n =．其中正确的个数为（）． A ．1B ．2C ．3D ．421．（2022·全国·高二）已知直线1l 经过点1(1,2,3)P -，平行于向量1(1,1,2)s =-，直线2l 经过点2(1,2,0)P -，平行于向量2(0,1,1)s =，求与两直线1l ，2l 都平行的平面α的一个法向量的坐标．22．（2022·全国·高二）如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且13BM BD =，13AN AE =．(1)求证：MN AD ⊥；(2)若1CD DE ==，求MN 的长．【高分突破】一：单选题23．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高二阶段练习）若直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =--，平面α的一个法向量为()2,4,2b =-，则（）A ．l α⊂B ．//l αC ．l α⊥D ．//l α或l α⊂24．（2022·江苏苏州·高二期末）已知平面α的一个法向量为n =（2，－2，4）， AB =（－1，1，－2），则AB 所在直线l 与平面α的位置关系为（） A ．l ⊥αB ．l α⊂C ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α25．（2021·全国·高二如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=，60BAC ∠=，2PA AB ==．以点B 为原点，分别以BC ，BA ，AP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB 和平面PBC 的法向量分别为m 和n ，则下面选项中正确的是（）．A ．点P 的坐标为()0,0,2-B ．()4,0,2PC =- C ．n 可能为()0,2,2-D ．cos ,0m n >26．（2021·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二）设α，β是不重合的两个平面，α，β的法向量分别为1n ，2n ，l 和m 是不重合的两条直线，l ，m 的方向向量分别为1e ，2e ，那么αβ∥的一个充分条件是（）A ．l α⊂，m β⊂，且11e n ⊥，22e n ⊥B ．l α⊂，m β⊂，且12e e ∥C ．11e n ∥，22e n ∥，且12e e ∥D ．11e n ⊥，22e n ⊥，且12e e ∥27．（2021·浙江金华第一中学高二期中）平面四边形ABEF 和四边形CDFE 都是边长为1的正方形，且平面ABEF ⊥CDFE ，点G 为线段AF 的中点，点P ，Q 分别为线段BE 和CE 上的动点（不包括端点）.若GQ DP ⊥，则线段PQ 的长度的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．⎣C ．⎣D ．⎣⎭ 28．（2021·湖北·武汉市第十四中学高二阶段练习）设a ，b 是两条直线，a ，b 分别为直线a ，b 的方向向量，α，β是两个平面，且a α⊥，b β⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件29．（2021·河南·高二阶段练习（理））给出下列命题：①直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为12,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，则l m ⊥②直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =--，则l α⊥. ③平面,αβ的法向量分别为()()120,1,310,,,2n n ==，则//αβ.④平面α经过三点A (1，0，－1)，B (0，1，0)，C (－1，2，0)，向量()1,,=n u t 是平面α的法向量，则u ＋t ＝1.其中真命题的序号是（）A ．②③B ．①④C ．③④D ．①②30．（2021·安徽省五河第一中学高二阶段练习）已知点(2A ，1-，2)在平面α内，(3n =，1，2)是平面α的一个法向量，则下列点P 中，在平面α内的是（） A ．(1P ，1-，1)B ．P 31,3,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．31,3,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,3,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭31．（2021·北京·汇文中学高二期中）若,αβ表示不同的平面，平面α的一个法向量为1(1,2,1)v =，平面β的一个法向量为2(2,4,2)v =---，则平面α与平面β（）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定32．（2021·重庆市第十一中学校高二期中）已知直线l 的方向向量是(3,2,1)a =-，平面α的法向量是1,2(,)1n =-，则l 与α的位置关系是（） A ．l α⊥B ．//l αC ．//l α或l α⊂D ．l 与α相交但不垂直二、多选题(共0分)33．（2022·浙江省长兴中学高二期末）直三棱柱111ABC A B C -中，1,,,,CA CB CA CB CC D E M ⊥==分别为11B C ，11,CC AB 的中点，点N 是棱AC 上一动点，则（）A ．对于棱AC 上任意点N ，有1MN BC ⊥B ．棱AC 上存在点N ，使得MN ⊥面1BC NC ．对于棱AC 上任意点N ，有MN 面1A DED ．棱AC 上存在点N ，使得MN DE ∥34．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则下列结论正确的有（）A ．顶点B 到平面APC 2．存在点P ，使得1BD ⊥平面APC C ．AP PC +30．当P 为1BD 中点时，APC ∠为钝角35．（2022·江苏·连云港高中高二期中）给出下列命题，其中是真命题的是（）A ．若直线l 的方向向量()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，则l 与m 垂直B ．若直线l 的方向向量()0,1,1a =-，平面α的法向量()1,1,1n =--，则l α⊥C ．若平面α，β的法向量分别为()10,1,3=n ，()21,0,2=n ，则αβ⊥D ．若存在实数,,x y 使,=+MP xMA yMB 则点,,,P M A B 共面36．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160DAB DAA BAA ∠∠∠===，1AB AD AA ==，点M ，N 分别是棱1111,D C C B 的中点，则下列说法中正确的有（）A ．1MN AC ⊥B ．向量1,,AN BC BB 共面 C ．1CA ⊥平面1C BDD ．若AB =1637．（2022·江苏常州·高二期中）下列命题是真命题的有（） A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =--，则l ⊥αD ．平面α经过三点(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0),(1,,)A B C n u t --=是平面α的法向量，则1u t += 38．（2022·江苏宿迁·高二期中）给定下列命题，其中正确的命题是（） A ．若n 是平面α的法向量，且向量a 是平面α内的直线l 的方向向量，则0a n ⋅= B ．若1n ，2n 分别是不重合的两平面,αβ的法向量，则12//0n n αβ⇔⋅= C ．若1n ，2n 分别是不重合的两平面,αβ的法向量，则1212//n n n n αβ⇔⋅=⋅ D ．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直39．（2022·江苏常州·高二期中）如图，在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论正确的是（）A ．1BD AP ⊥B ．AP PB +26+ C ．异面直线AP 与1A D 23D ．11APB C PD ∠=∠40．（2022·全国·高二课时练习）给定下列命题，其中正确的命题是（） A ．若1n ，2n 分别是平面α，β的法向量，则12n n αβ⇔∥∥ B ．若1n ，2n 分别是平面α，β的法向量，则120n n αβ⇔⋅=∥C ．若n 是平面α的法向量，且向量a 是平面α内的直线l 的方向向量，则0a n ⋅=D ．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直三、填空题41．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知平面,ABC (1,2,3),(4,5,6)AB AC ==，写出平面ABC 的一个法向量n =______．42．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））若直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =-，平面a 的一个法向量为()1,2,1b =--，则直线l 与平面α的位置关系是______． 43．（2022·全国·高二课时练习）已知1v ､2v 分别为不重合的两直线1l ､2l 的方向向量，1n､2n 分别为不重合的两平面α､β的法向量，则下列所有正确结论的序号是___________. ①2121////v v l l ⇔；②2121v l l v ⊥⇔⊥；③12////n n αβ⇔；④12n n αβ⊥⇔⊥.44．（2022·四川成都·高二期中（理））如图，已知棱长为2的正方体A ′B ′C ′D ′－ABCD ，M 是正方形BB ′C ′C 的中心，P 是△A ′C ′D 内（包括边界）的动点，满足PM =PD ，则点P 的轨迹长度为______．45．（2022·全国·高二课时练习）向量,,i j k 分别代表空间直角坐标系与,,x y z 轴同方向的单位向量，若45a i j k =-+，44b mi j k =+-，若a 与b 垂直，则实数m =______． 46．（2022·全国·高二课时练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD 中，H 是底面中心，DH ⊥平面ABC ，写出：（1）直线BC 的一个方向向量___________；（2）点OD 的一个方向向量___________；（3）平面BHD 的一个法向量___________；（4）DBC △的重心坐标___________.47．（2022·上海·格致中学高二期末）已知向量()1,2,a m m =+是直线l 的一个方向向量，向量()1,,2n m =是平面α的一个法向量，若直线l ⊥平面α，则实数m 的值为______． 48．（2021·河北省盐山中学高二阶段练习）已知P 是ABCD 所在的平面外一点，()2,1,4AB =--，()4,2,0AD =，()1,2,1AP =--，给出下列结论：①AP AB ⊥； ②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的一个法向量；④AP//BD ，其中正确结论的个数是__________．四、解答题49．（2022·全国·高二）如图所示，在棱长为1的正方体1111OABC O A B C -，中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE BF x ==，其中01x ≤≤，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -．(1)求证：11A F C E ⊥；(2)若1A 、E 、F 、1C 四点共面，求证：111112A F AC A E =+．50．（2022·全国·高二）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E ､F ､G 分别为AB ､SC ､SD 的中点.若AB a ，SD b =.(1)求EF ； (2)求cos ,AG BC ； (3)判断四边形AEFG 的形状.51．（2022·湖南·高二）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，6AD =，13AA =，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：(1)平面ABCD ； (2)平面11ACC A ； (3)平面1ACD ．52．（2022·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABC D ．(1)分别指出平面PAD 、平面PAB 的一个法向量；(2)若AB AD AP ==，试在图中作出平面PDC 的一个法向量； (3)PBD △是否有可能是直角三角形？(4)根据法向量判断平面PBC 与平面PDC 是否有可能垂直．53．（2022·浙江绍兴·高二期末）正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱长为4.E 为棱1AA 上的动点，F 为棱1CC 的中点.(1)证明：1EC BD ⊥；(2)若E 为棱1AA 上的中点，求直线BE 到平面11B D F 的距离.【答案详解】1．A 【解析】【分析】设法向量(),,n x y z =，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】由题意可得()0,2,4AP =--,设经过直线l 和点A 平面的法向量为(),,n x y z =，则24020n AP y z n s x y z ⎧⋅=--=⎨⋅=++=⎩，令1x =，则4,2y z =-= ，所以()1,4,2n =-，所以经过直线l 和点A 平面的法向量为()(),4,2,0t t t t R t -∈≠. 故选：A 2．B 【解析】【分析】由(1,0,1)n =-是平面α的法向量，可得0AB n ⋅=，即可得出答案. 【详解】解：()2,0,1AB z =--，因为(1,0,1)n =-是平面α的法向量，所以0AB n ⋅=，即()210z ---=，解得1z =-. 故选：B. 3．C 【解析】【分析】根据空间直角坐标系写出各向量，利用法向量的性质可得解. 【详解】ABCD 是正方形，且AB1AO OC ∴==，11OA ∴=，()0,1,0A ∴-，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1A ，()1,1,0AB ∴=，()0,1,0OC =，又()111,1,0A B AB ==，()11,1,1B ∴，()11,1,1OB =，平面1OCB 的法向量为(),,n x y z =，则00y x y z =⎧⎨++=⎩，得0y =，x z =-，结合选项，可得()1,0,1n =-，故选：C. 4．B 【解析】【分析】求出||25AD = 0AP AD ⋅=判断②正确；由AP AB ⊥，AP AD ⊥判断③正确；假设存在λ使得λ=AP BD ，由122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩无解，判断④不正确.【详解】由(2AB =，1-，4)-，(4AD =，2，0)，(1AP =-，2，1)-，知：在①中，||166AD ==≠，故①不正确；在②中，4400AP AD ⋅=-++=，∴⊥AP AD ，AP AD ∴⊥，故②正确；在③中，2240AP AB ⋅=--+=， AP AB ∴⊥，又因为AP AD ⊥，AB AD A ⋂=，知AP 是平面ABCD 的法向量，故③正确；在④中，(2BD AD AB =-=，3，4)，假设存在λ使得λ=AP BD ，则122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，无解，故④不正确；综上可得：②③正确．故选：B ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平面的法向量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 5．B 【解析】【分析】要判断点P 是否在平面内，只需判断向量PA 与平面的法向量n 是否垂直，即判断PA n 是否为0即可.【详解】对于选项A ，(1,0,1)PA =，则(1,0,1)(3,1,2)50==≠PA n ，故排除A ；对于选项B ，1(1,-4,)2=PA ，则1(1,4,)(3,1,2)34102=-=-+=PA n对于选项C ，1(1,2,)2=PA ，则1(1,2,)(3,1,2)3+21602==+=≠PA n ，故排除C ；对于选项D ，7(3,-4,)2=PA ，则7(3,4,)(3,1,2)9471202=-=-+=≠PA n ，故排除D ；故选:B 6．B 【解析】【分析】利用空间中共面定理：空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且(),,OP xOA yOB zOC x y z R =++∈,得P ,A ,B ,C 四点共面等价于1x y z ++=，然后分充分性和必要性进行讨论即可. 【详解】解：空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且(),,OP xOA yOB zOC x y z R =++∈ 则P ,A ,B ,C 四点共面等价于1x y z ++=若2x =，3y =-，2z =，则1x y z ++=，所以P ,A ,B ,C 四点共面若P ,A ,B ,C 四点共面，则1x y z ++=，不能得到2x =，3y =-，2z = 所以2x =，3y =-，2z =是P ,A ,B ,C 四点共面的充分不必要条件故选B. 【点睛】本题考查了空间中四点共面定理，充分必要性的判断，属于基础题.7．A 【解析】【分析】对A ：由平面11ABB A 平面11CC D D ，然后根据面面平行的性质定理即可判断；对B ：若1A E ⊥平面11BCC B ，则1A E ⊥1BB ，这与1A E 和1BB 不垂直相矛盾，从而即可判断；对C 、D ：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由1A E 与1D F 不是共线向量，且2110A E D F b ⋅=>，从而即可判断.【详解】解：对A ：由长方体的性质有平面11ABB A 平面11CC D D ，又1A E ⊂平面11ABB A ，所以1A E 平面11CC D D ，故选项A 正确；对B ：因为E 为棱1BB 的中点，且111A B BB ⊥，所以1A E 与1BB 不垂直，所以若1A E ⊥平面11BCC B ，则1A E ⊥1BB ，这与1A E 和1BB 不垂直相矛盾，故选项B 错误；对C 、D ：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设1,,DA a DC b DD c ===，则()1,0,A a c =，,,2c E a b ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,D c ，,,2a Fbc ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以10,,2cA E b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1,,02aD F b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为1A E 与1D F 不是共线向量，且2110A E D F b ⋅=>，所以1A E 与1D F 不平行，且1A E 与1D F 不垂直，故选项C 、D 错误. 故选：A. 8．C 【解析】【分析】根据空间位置关系的向量方法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，111022m n ⋅=--+=，所以m n ⊥，故//l α或l α⊂，故A 选项错误；对于B 选项，1010m n ⋅=+-=，所以m n ⊥，故//l α或l α⊂，故B 选项错误；对于C 选项，由于法向量的横、纵、竖坐标均不取零，故平面不与坐标轴确定的平面平行，所以平面α与所有坐标轴相交，故正确；对于D 选项，由法向量不能确定平面的具体位置，故不能确定原点O 与平面α关系，故错误. 故选：C 9．D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；【详解】解：由题可知，如图令正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则()11,0,0A ，()1,0,1A ，()10,1,0C ，()0,0,1D ，()10,0,0D ，()11,1,0B ，()0,1,1C ，所以()11,1,1AC =--，因为1AM AC λ=，所以()1,,1M λλλ-+-+，所以()1,,1A M λλλ=--+，()1,,DM λλλ=-+-，()11,0,1CB =-，()10,1,1D C =，设平面11CB D 的法向量为(),,n x y z =，则1100CB n x z D C n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =，1y =-，所以()1,1,1n =-对于A ：若1AC ⊥平面1A DM ，则11AC A M ⊥，则()()11110AC A M λλλ⋅=++-⨯-+=，解得13λ=，故A 错误；对于B ：若//DM 平面11CB D ，则DM n ⊥，即10DM n λλλ⋅=-+--=，解得13λ=，故B 错误；当1A DM 为直角三角形时，有1MD MA ⊥，即()()()21110A M DM λλλλλ⋅=--+++--+=，解得23λ=或0λ=（舍去），故C 错误；设M 到1DA 的距离为k ，则22221111323()2236k DM λλλ=-=-+=-+，∴当1A DM 的面积最小时，13λ=，故D 正确．故选：D ．10．B 【解析】【分析】按照方向向量和法向量在线面关系中的应用直接判断即可. 【详解】A 选项：因为1l 、2l 不重合，所以1212v v l l ⇔∥∥，A 正确；B 选项：111v n l α⊥⇔∥或1l α⊂，B 错误；C 选项：12n n αβ⊥⇔⊥，C 正确；D 选项：因为α，β不重合，所以12n n αβ⇔∥∥，D 正确. 故选：B. 11．D 【解析】【分析】判断直线的方向向量和平面的法向量间的关系，判断线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】对于A ，因为21210a b ⋅=--=-≠，所以l 与m 不垂直，A 错误；对于B ，因为110a n ⋅=-+=，l α⊥不成立，所以B 错误；对于C ，因为1n 与2n 不平行，所以αβ∥不成立，C 错误；对于D ，()1,1,1AB =--，()1,3,0BC =-，由10n AB p q ⋅=--+=，130n BC p ⋅=-+=，解得13p =，43q =，所以53p q +=，D 正确. 故选：D. 12．C 【解析】【分析】由空间直线垂直时方向向量0a b ⋅=，即可确定充要条件. 【详解】由空间直线垂直的判定知：1122330a b a b a b a b ⋅=++=. 当1122330a b a b a b ++=时，即0a b ⋅=，两直线1l 与2l 垂直. 而A 、B 、D 说明1l 与2l 平行. 故选：C13．(1)PQ 与BD 的位置关系是平行【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量判断PQ 与BD 的位置关系；（2）用含参数的表达式求出1A P ，进而求出最小值. (1)以D 为原点，以射线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴的正向建立空间直角坐标系，()11,0,1A ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1,1,0B ．因为P 、Q 均在平面1111D C B A 上，所以设(),,1P a b ，(),,1Q m n ，则111,1,2A E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,1,1BP a b =--，()1,1,1BQ m n =--．因为1BP A E ⊥，1BQ A E ⊥，所以()()()()111110,21110,2BP A E a b BQ A E m n ⎧⋅=--+--=⎪⎪⎨⎪⋅=--+--=⎪⎩解得:1,21.2b a n m ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩所以(),,0PQ n b n b =--，()1,1,0BD =--，即()PQ b n BD =-，PQ BD ，所以PQ 与BD 的位置关系是平行．(2)由（1）可知：12b a -=，()11,,0A P a b =-，所以()101A P a a ===≤≤．当14a =时，1A P 有最小值，最小值为． 14．(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，用向量法证明；（2）利用向量法计算，判断出点M 不存在.(1)如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,3),(2,0,0),(0,3,0),(2,2,0),(2,1,0)P B D C N若2DM MP =，则(0,1,2)M ，(2,0,2)MN =-因为PA ⊥平面ABCD ，所以AD PA ⊥又因为,AD AB PA AB A ⊥⋂=所以AD ⊥平面PAB平面PAB 的其中一个法向量为(0,3,0)AD =所以0MN AD ⋅=，即AD MN ⊥又因为MN ⊄平面PAB所以//MN 平面PAB(2)不存在符合题意的点M ，理由如下：(0,3,3),(2,1,0),(2,2,0),PD CD DN =-=-=-设平面PCD 的法向量()1111,,n x y z =则111133020PD n y z CD n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 不妨令11x =，则1(1,2,2)n = 设PM PDλ=，即,[0,1]PM PD λλ=∈(0,3,3)PM λλ=-则0,3,(3)3M λλ- 12(2,13,33),sin cos ,1MN MN n λλθ=--==+==解得53λ=或13λ=-，不满足[0,1]λ∈，故不存在符合题意的点M .15．(1)证明见解析(2)存在，12【解析】【分析】（1）连接1D E ，1D F ，取1BB 的中点为M ，连接1MC ，ME ，根据E 为1AA 的中点， F 为1BB 的中点，分别得到11//D E MC ，1//BF MC ，从而有1//BF D E ，再由平面的基本性质证明；（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G ，设()0,0,G t ，分别求得平面BEF 的一个法向量()1111,,x n y z =和平面GEF 的一个法向量()2222,,n x y z =，根据平面GEF ⊥平面BEF ，由120n n ⋅=求解.(1)证明：如图所示：连接1D E ，1D F ，取1BB 的中点为M ，连接1MC ，ME ，因为E 为1AA 的中点，所以1111////EM A B C D ，且1111EM A B C D ==，所以四边形11EMC D 为平行四边形，所以11//D E MC ，又因为F 为1BB 的中点，所以1//BM C F ，且1BM C F =，所以四边形1BMC F 为平行四边形，所以1//BF MC ，所以1//BF D E ，所以B ，E ，1D ，F 四点共面；(2)以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G ，设()0,0,G t ，由已知()1,1,0B ，()1,0,1E ，()0,1,1F ，则()1,1,0EF =-，()0,1,1EB =-，()1,0,1EG t =--，设平面BEF 的一个法向量为()1111,,x n y z =，则1100n EF n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取11x =，则()11,1,1n =；设平面GEF 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则2200n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()1222010x y x t z -+=⎧⎨-+-=⎩，取21x t =-，则()21,1,1n t t =--；因为平面GEF ⊥平面BEF ，所以120n n ⋅=，所以1110t t -+-+=，所以12t =.所以存在满足题意的点G ，使得平面GEF ⊥平面BEF ，DG 的长度为12.【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出()0BB m m '=>，根据垂直和唯一的点E 得到方程22210m m λλ-+=由唯一解，根据二次函数根的分布问题求出2m =.【详解】如图，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB '所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设()0BB m m '=>，则()()0,0,0,1,0,B A m '，()0,1,E m λ，01λ≤≤，则()()1,1,,0,1,A E m m BE m λλ=--'=，则()()2221,1,0,1,10A E BE m m m m m λλλλ⋅=--⋅=-'+=，因为在棱CC '上有唯一的一点E 使得A E EB '⊥，所以22210m m λλ-+=在01λ≤≤上有唯一的解，令()2221f m m λλλ=-+，可知()()011f f ==，故要想在01λ≤≤上有唯一的解，只需42Δ40m m =-=，因为0m >，所以解得：2m =17．B【解析】【分析】求出AB n =-，即n 与AB 平行，从而求出AB α⊥【详解】因为AB n =-，即(342)n =-，，与(342)AB =--，，平行，所以直线AB 与平面α垂直.故选：B18．B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令12,2(0,0)AB a DD b a b ==>>，O 是底面ABCD 的中心，,E F 分别是11,BB DD 的中点，则11(,,0),(2,0,2),(2,2,),(2,2,2),(0,0,)O a a A a b E a a b B a a b F b ，1(,,2)OA a a b =-，1(2,2,0),(0,0,)FE a a EB b ==，对于A ，显然1OA 与FE 不共线，即1A O 与EF 不平行，A 不正确；对于B ，因12()2020OA FE a a a a b ⋅=⋅+-⋅+⋅=，则1OA FE ⊥，即1A O EF ⊥，B 正确；对于C ，设平面1EFB 的法向量为(,,)n x y z =，则12200n EF ax ay n EB bz ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =，得(1,1,0)n =-， 120OA n a ⋅=>，因此1OA 与n 不垂直，即1A O 不平行于平面1EFB ，C 不正确；对于D ，由选项C 知，1OA 与n 不共线，即1A O 不垂直于平面1EFB ，D 不正确.故选：B19．A【解析】【分析】根据平面单位法向量的定义可判断①，根据直线方向向量与平面法向量的关系判断②，根据两平面法向量关系判断③，根据直线与平面垂直的判定定理判断④.【详解】因为一个平面的单位法向量方向不同，所以有2个，故①错误；当一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行时，则这条直线和这个平面垂直，故② 错误；因为两个平面的法向量平行时，平面平行，所以法向量不平行，则这两个平面相交，③正确；若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条相交直线的方向向量，则直线和平面垂直，故④ 错误.故选：A20．A【解析】【分析】由直线的方向向量及平面的法向量的定义即可求解.【详解】解：设正方体ABCD A B C D ''''-的边长为1，则()0,0,0D ，()0,0,1D '，()1,1,0B ，()0,1,1C '，()1,1,1B '，()0,1,0C ，对①：因为(0,0,1)DD '=，所以直线DD '的一个方向向量为1(0,0,1)v =正确；对②：因为()101BC ,,'=-，所以直线BC '的一个方向向量为2(0,1,1)v =不正确；对③：因为OA ⊥平面ABB A ''，又()1,0,0OA =，所以平面ABB A ''的一个法向量为1(0,1,0)n =不正确；对④：因为2(1,1,1)n =，()1,1,1DB '=，()0,1,0DC =，211130DB n ++='⋅=≠，201010DC n ⋅=++=≠，所以平面B CD '的一个法向量为2(1,1,1)n =不正确. 故选：A.21．(3,1,1)-（不唯一）【解析】【分析】由题设，1(1,1,2)s =-、2(0,1,1)s =是直线1l 、2l 的方向向量，设面α的法向量(,,)m x y z =，应用空间向量垂直的坐标表示求法向量即可.【详解】由题设，直线1l 、2l 的方向向量分别为1(1,1,2)s =-、2(0,1,1)s =，而12s s λ≠(R)λ∈，所以直线1l 、2l 不平行，设与两直线1l ，2l 都平行的平面α的一个法向量(,,)m x y z =，所以21200m x y z m z s s y ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⋅⎩⋅，令1z =-，则(3,1,1)m =-. 故与两直线1l ，2l 都平行的平面α的一个法向量的坐标(3,1,1)-.22．(1)见解析【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质证明AB ⊥平面ADEF ，可得AB AF ⊥，再将MN 用,,AB AD AF 表示，再根据向量数量积的运算律证明0MN AD ⋅=，即可得证；（2）根据（1），根据2MN MN =，将MN 用,,AB AD AF 表示，从而可得出答案.(1)证明：在矩形ABCD 中，AB AD ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，且平面ABCD 平面ADEF AD =， AB 平面ABCD ，所以AB ⊥平面ADEF ，又因AF ⊂平面ADEF ，所以AB AF ⊥， MN MB BA AN =++1133DB BA AE =++()()1133AB AD AB AD AF =--++ 2133AB AF =-+，所以212103333MN AD AB AF AD AB AD AF AD ⎛⎫⋅=-+⋅=-⋅+⋅= ⎪⎝⎭，所以MN AD ⊥； (2)解：因为1CD DE ==，所以1AB AF ==，则222214145339993MN AB AF AB AF AB AF ⎛⎫=-+=+-⋅= ⎪，即MN 23．C 【解析】【分析】推导出//a b ，利用空间向量法可得出线面关系. 【详解】因为()1,2,1a =--，()2,4,2b =-，则2b a =-，即//a b ，因此，l α⊥. 故选：C. 24．A 【解析】【分析】由向量AB 与平面法向量的关系判断直线与平面的位置关系．【详解】因为2AB n -=，所以//AB n ，所以AB α⊥．故选：A ． 25．C 【解析】【分析】根据空间直角坐标系，写出点坐标()0,0,0B ，()0,2,0A ，()23,0,0C ，()0,2,2P ，分别计算即可求值. 【详解】建立空间直角坐标系如图：由题意可得()0,0,0B ，()0,2,0A ，()23,0,0C ，()0,2,2P ，所以()23,2,2PC =--，()0,2,2BP =.设(),,n x y z =，则23220220x y z z y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，取2z =，可得()0,2,2n =-.因为AB BC ⊥，PA BC ⊥，AB AP A =，所以BC ⊥平面PAB ，因为BC ⊂平面PBC 所以平面PBC ⊥平面PAB ，所以m n ⊥，所以cos ,0m n =. 综上所述，A ，B ，D 错，C 正确. 故选：C 26．C 【解析】【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置关系及充分条件的定义即可判断. 【详解】对于A ，l α⊂，m β⊂，且11e n ⊥，22e n ⊥，则α与β相交或平行，故A 错误；对于B ，l α⊂，m β⊂，且12e e ∥，则α与β相交或平行，故B 错误；对于C ，11e n ∥，22e n ∥，且12e e ∥，则αβ∥，故C 正确；对于D ，11e n ⊥，22e n ⊥，且12e e ∥，则α与β相交或平行，故D 错误. 故选：C. 27．D 【解析】【分析】以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设()()0,001P m m <<，，，()()00,,01Q n n <<，，根据向量垂直的坐标表示求得112n m =-，再由向量的模的计算公式和二次函数的性质可求得范围. 【详解】解：因为平面四边形ABEF 和四边形CDFE 都是边长为1的正方形，且平面ABEF ⊥CDFE ，所以以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如下图所示，则()10,1D ，，11,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设()()0,001P m m <<，，，()()00,,01Q n n <<，，所以11,2GQ n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，()1,1DP m =--，，又GQ DP ⊥，所以0GQ DP ⋅=，即()111,1,11022n m m n ⎛⎫--⋅--=--= ⎪⎝⎭，，，整理得112n m =-，所以222222155241+1+24455PQ m n m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又01m <<，所以25552PQ ≤<，故选：D.28．C【解析】【分析】根据题意，结合面面垂直的向量证明方法，即可求解. 【详解】由题意可得a ，b 分别是平面α，β的法向量，所以αβ⊥等价于a b ⊥，即“αβ⊥”是“a b ⊥”的充要条件．故选：C. 29．B 【解析】【分析】依据题意得到：①求数量积a b ⋅，得到a b ⊥，即l m ⊥；②求数量积n a ⋅，可得到a n ⊥，故//l α或l α⊂；③利用1n 与2n 的关系，两者既不平行，也不垂直，故两个平面不平行，是相交关系；④利用法向量的定义得到0,0n AB n AC ⋅=⋅=，解出1u =，0=t ，进而可求解．【详解】①11211221102a b ⋅=⨯-⨯-⨯=--=，所以a b ⊥，即l m ⊥，所以①正确． ②011(1)(1)0a n ⋅=-⨯+-⋅-=，所以a n ⊥，所以//l α或l α⊂，所以②错误． ③因为1260n n ⋅=≠，且12n xn ≠，所以α与β是相交的．所以③错误．④因为(1n =，u ，)t 是平面α的法向量，A (1，0，－1)，B (0，1，0)，C (－1，2，0)，所以(1,1,1),(2,2,1)AB AC =-=-．所以0,0n AB n AC ⋅=⋅=，即10220u t u t -++=⎧⎨-++=⎩，解得1u =，0=t ，所以1u t +=．所以④正确．故选：B.30．B 【解析】【分析】根据题意可得AP n ⊥，依次验证是否满足0n AP ⋅=即可. 【详解】设(P x ，y ，)z ，则(2AP x =-，1y +，2)z -；由题意知，AP n ⊥，则0n AP ⋅=，3(2)(1)2(2)0x y z ∴-+++-=，化简得329x y z ++=.验证得，在A 中，311214⨯-+⨯=，不满足条件；在B 中，3313292⨯++⨯=，满足条件；在C 中，3313232⨯-+⨯=，不满足条件；在D 中，()315313242⎛⎫⨯--+⨯-=- ⎪⎝⎭，不满足条件.故选：B. 31．A 【解析】【分析】根据两个平面的法向量平行即可判断出平面α与平面β平行. 【详解】对于平面α的一个法向量为1(1,2,1)v =，平面β的一个法向量为2(2,4,2)v =---，因为1212v v =-，所以12v v 、平行.。

用空间向量研究直线、平面位置关系-空间中点、直线和平面的向量表示高中数学新教材人教A版

进一步地，如图(2)，取定空间任意一点O，可以
得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实
数x，y使
= + + ③
我们把③式称为空间平面 ABC的向量表示式，
由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不
共线向量唯一确定.
我们知道,给定空间一点A和一条直线l，则过点A
且垂直于直线l的平面是唯一确定的. 由此得到启发，
设 =(x,y,z)是平面MCA1的法向量，
于是 =(2,3,3）是平面MCA1的一个
则 ⊥ ， ⊥
法向量.
1
1
1
1
y
课堂检测
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内打“√”,错误的打“×”.
√
×
√
(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量;
(
)
(2)若v是直线l的方向向量,则λ(λ∈R)也是直线l的方向向量;
C
D
CC1=2，M是AB的中点．以D为原点，DA，DC，DD1所在
B
直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 A
C
D
.
(1）求平面BCC1B1的法向量;
B
M
A
x
(2)求平面MCA1的法向量.
解:(1)因为y轴垂直于平面BCC1B，所以
∙ = − + =
n=(0,1,0)是平面 BCC1B1的一个法向量.
组成空间几何体的基本元素．因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先
要用向量表示空间中的点,直线和平面.
思考
如何用向量表示空间中的一个点坐标？
如图，在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用

平面向量与空间向量知识点对比(一)

平面向量与空间向量知识点对比一内容平面向量自由向量与起点无关空间向量定义既有大小又有方向的量表示方法1用有向线段的起点和终点的字母表表示3坐标表示略向量的模向量的大小长度用ab或a表示相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量平行向量共线向量方向相同或相反的非零向量零向量长度为0的向量单位向量长度为1的向量向量的加法1
始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
向4
A1
An 1 An A1 An
An-1
A2
An
A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭
图形，则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4
An 1 An An A1 0
三角形法则： B
b
ab
O
a
A
BA OA OB a b
加法运算律
交换律： a b b a
结合律：（a b） c a (b c)
平面向量与空间向量知识点对比（一）
内容
平面向量（自由向量 , 与起点无关）
定义
既有大小，又有方向的量
（ 1）用有向线段的起点和终点的字母表
表示方法
示，如 AB
（ 2）用 a, b, c 或 a,b,c 表示
（ 3）坐标表示（略）
向量的模
向量的大小（长度），用 | AB | 或|a| 表示
相等向量
长度相等且方向相同的向量
相反向量
长度相等且方向相反的向量
平行向量 / 共线向量
方向相同或相反的非零向量
零向量
长度为 0 的向量
单位向量
长度为 1 的向量
空间向量
向量的加法
1. 三角形法则：

高三数学一轮复习第7讲平面向量与空间向量的类比教案

第七讲平面向量与空间向量的类比一、考情分析在学生已初步掌握平面向量工具的基础上，可类比得到空间向量的性质及运用，并借助于空间向量这一重要工具解决立体几何中的一些较难的问题．本讲主要帮助考生理解并领悟向量工具的威力，为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难．二、知识归纳（1）、几何法则：（2）、特征向量： 1、概念：2、定理：（3）、特征式：（4）、基本定理： aba b +aca b c ++b p a b a b p xa b=+与、共面（、不共线）y若G 是ABC ∆的重心，则：()13OG OA OB OC =++ M 是线段AB 的重心，则：()12OM OA OB =+(0)a b b a bλ≠⇔=共线向量共面向量共面向量定理平面向量基本定空间向量基本定理如果两个向量12e e 、　不共线，那如果三个向量123e e e 、　、　不共面，那么对于空间任一向量p ，存在一个唯一的（6）、坐标系（7）、向量的模：（8）、坐标形式的线性运算：（9）、坐标形式的数量积：（10）、平行的充要条件：（11）、垂直的充要条件：))100AB OP xOA yOB y xOA yOB mOP y m ∈=++=++=++=直线 ))100ABCOP xOA yOB zOCy z xOA yOB zOC mOP y z m ∈⇔=++++=+++=+++=平面平面二维直角坐标系空间三维直角坐标系 yj)yj zk z +2a x y =+2a x y =+12((,a b x x a x y λλλ±=±=12((,a b x x a x y λλλ±=±=12a b x x y =+12a b x x y =+221122(0)a b x y x y x y ≠⇔=2221122(a b x y z x y x y ≠⇔==a b⊥a b⊥（12）、两点间的距离：（13）、向量的夹角：（14(111222P x y、1212OP OPOPλ+=（向量式）；三、精典例析例1、在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值．类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形．（不必证明）类比性质叙述如下：解析：立体几何中相应地性质：（1）从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面的的距离之比为定值．（2）从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面的距离之比为定值．（3）在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值．（4）在空间，射线OD上任意一点P到射线OA、OB、OC的距离之比不变．12212)PPx x-+12212)PPx x-+cos a b<>、a b<>、γβαPB（5）在空间，射线OD 上任意一点P 到平面AOB 、BOC 、COA 的距离之比不变．例2：（03年某某卷改编）在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ∆的两边AB AC 、互相垂直，则：①222AB AC BC +=；②若ABC ∆的两边AB AC 、与斜边成角分别为αβ、，则：22cos cos 1αβ+=．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可得到正确的结论：“设三棱锥A BCD -中，三个侧面ABC ACD ABD 、、两两相互垂直，则：① ；②若三棱锥A BCD -中，三个侧面与底面的成角分别为αβγ、、，则：．”解析：过点A 作AE BC ⊥于E ，连结DE ，则：BC DE ⊥，()()22222221144BCD S BC DE AB AC AE DA ∆=⋅=++ 222222222111444ABC ACD ABD AB DA AC DA BC AE S S S ∆∆∆=⋅+⋅+⋅=++．故2222ABC ACD ABD BCD S S S S ∆∆∆∆++=：同理，易知：若三棱锥A BCD -中，三个侧面与底面的成角分别为αβγ、、，则：222cos cos cos 1αβγ++=．例3：（04年某某卷）如图，P 是斜三棱柱111ABC A B C -的侧棱1BB 上的一点，1PM BB ⊥交1AA 于1M PN BB ⊥，交1CC 于N ．（1）证明：1CC MN ⊥；（2）平面几何这的余弦定理拓展到空间，写出斜三棱柱111ABC A B C -的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并加以证明．解析：（1）111CC MN BB MN BB ⊥⇐⊥⇐⊥平面11PM BB MNP PN BB ⊥⎧⇐⎨⊥⎩．（2）111112222cos AC BA BC BA BC S S S S S MPN =+-∠平面平面平面平面平面．（证明略）例4：如下图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱1AA长为b ，且1AA 与AB AD 、的夹角都是23π．求：（1）AC 1的长； (2)直线BD 1与AC 所成的角的余弦值. 解析：（1）()()211111AC AC AC AA ACAA AC =⋅=++()()11AA AB AD AA AB AD =++++222111222AA AB AD AA AB AA AD AB AD=+++⋅+⋅+⋅，∵222221AA b AB AD a ===，　，11232AA AB AA AD AB AD ππ<>=<>=<>=，　，　，，　， ∴112121coscos 03232AA AB b a ab AA AD b a abAB AD ππ⋅=⋅=-⋅=⋅=-⋅=，　，；故2221122||AC a b ab AC =+-⇒=．（2）∵112AC a AC AB AD BD AD BA AA AD AB ==+=+=+-，　，　，∴11()()AC BD AB AD AA AD AB ⋅=++-2211AB AA AD AA AB AD AD AB AB AD ab =⋅+⋅+⋅+--⋅=-，∵()()211111BD BD BD AA AD ABAA AD AB =⋅=+-+-222221112222AA AD AB AA AD AB AD AA AB a b =+++⋅-⋅-⋅=+，∴12BD a =∴111cos 4BD ACBD AC BD AC⋅<>==，　．∴BD 1与AC 所成角的余弦值为2224ba b+．四、课后反思．。

22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--第1课时空间中点、直线和平面的向量表示

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的向量表示第1课时空间中点、直线和平面的向量表示课标解读课标要求素养要求1.能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量. 1.数学抽象——能够抽象出直线的方向向量与平面的法向量. 2.数学运算——会用空间向量的坐标运算求平面向量的法向量2.掌握直线的方向向量和平面的法向量自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一空间中点、直线的向量表示1.点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 就可以用向量OP⃗⃗⃗⃗⃗ 来表示我们把向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 称为点P 的① 位置向量 .2.空间直线的向量表示式：如图1,a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，设P 是直线l 上的任意一点，则点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得AP⃗⃗⃗⃗⃗ =ta ，即② AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =tAB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 如图2，取定空间中的任意一点O ，可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ +ta 或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tAB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 上述两个式子都称为空间直线的③ 向量表示式由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.要点二空间平面的向量表示1.空间平面的向量表示式：如图，取定空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x,y , OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 我们把这个式子称为空间平面ABC 的向量表示式由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量④ 唯一确定 .2.平面的法向量：如图，直线l ⊥a ，取直线l 的方向向量a ，我们称向量a 为平面α 的⑤法向量给定一个点A 和一个向量a ，那么过点A ，且以向量a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {p|a ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0} .自主思考1.基点是确定的吗？提示是.2.已知A(2,2,0) ,B(0,0,2) ,C(0,0,0) ,p(1,1,12) ，如何判断这四点共面？提示因为不在同一直线上的三点确定一个平面，所以由A,B,C 三点确定一个平面，若P 在平面ABC 内，则存在实数x ,y 使AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(−1,−1,12)=x(−2,−2,2)+y(−2,−2,0) ,即，{−2x −2y =−1,2x =12,解得x =y = 14 ,所以P 在平面ABC 内，即A ,B ,C ,P 四点共面. 3.“a ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ”的含义是什么？提示 “a ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ”是指平面的法向量与该平面内的任一直线的方向向量的数量积为零，即平面的法向量与该平面内的任一直线的方向向量垂直.名师点睛求平面法向量n 的三个注意点（1）选向量：在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量.（2）取特殊值：在求n 的坐标时,可令x ,y ,z 中的任一个为特殊值,得另外两个值,从而得到平面的一个法向量.（3）注意0：假设法向量n =(x,y,z) 的某个坐标为某特殊值时,一定要注意这个坐标不为0.互动探究·关键能力探究点一直线的方向向量精讲精练例（1）已知点M(3,1,2),N(1,−5,−4),A(4,1,3) ,C 为线段AB 上一点,且AC MN=13,MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是直线AB 的方向向量,则点C 的坐标为( ) A.(72,−12,52) B.(38,−3,2)C.(103,−1,1)D.(52,−72,32)（2）若M(2,0,−1),N(−1,√3,1) 在直线l 上,则直线l 的方向向量的单位向量为 . 答案：（1）C（2）(−34,√34,12)解析：（1）∵C 在线段AB 上,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是直线AB 的方向向量,∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 设C(x,y,z) ,易知MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−6,−6),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −4,y −1,z −3) ,且AC MN =13 , ∴(x −4,y −1,z −3)=13(−2,−6,−6) ,即{3(x −4)=−2,3(y −1)=−6,3(z −3)=−6, 解得x =103,y =−1,z =1,∴ 点C 的坐标是(103,−1,1) ,故选C.（2）因为M(2,0,−1),N(−1,√3,1) ,所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,√3,2) ,所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4 , 所以直线l 的方向向量的单位向量是MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=14(−3,√3,2)=(−34,√34,12) .解题感悟求直线的方向向量就是求与该直线共线的向量,注意直线的方向向量有无数个. 迁移应用若A(−1,0,1),B(1,4,7) 在直线l 上. （1）则直线l 的一个方向向量是( ) A.（1,2,3）B.（1,3,2） C.（2,1,3）D.（3,2,1）（2）若直线l 的一个方向向量为(2x −1,x +1,3) ,则x 的值为 . 答案：（1）A （2）1解析：（1）易知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4,6)=2(1,2,3) ,取a =(1,2,3) ,则a ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即a 是直线l 的一个方向向量, 故选A.（2）由（1）知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4,6) ,又直线l 的一个方向向量为(2x −1,x +1,3) ,所以2x−12=x+14=36,解得x =1 .探究点二平面的法向量精讲精练例如图,已知四边形ABCD 是直角梯形,∠ABC =90∘,SA ⊥ 平面ABCD,SA =AB =BC =1,AD =12 .（1）求平面ABCD 的一个法向量; （2）求平面SAB 的一个法向量.解析：以点A 为原点,AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(12,0,0),S(0,0,1) .答案：（1）∵SA ⊥ 平面ABCD ,∴AS⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1) 是平面ABCD 的一个法向量. （2）易知AD ⊥AB ,AD ⊥SA ,且AB ∩SA =A ,AB ,SA ⊂ 平面SAB ,∴AD ⊥ 平面SAB , ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,0) 是平面SAB 的一个法向量. 解题感悟求平面法向量的步骤：（1）设出法向量;（2）选向量,在平面内选取两个不共线向量;（3）由垂直关系列出方程组;（4）解方程组;（5）赋非零值：取法向量中一个坐标为非零值（常取±1）; （6）得结论. 迁移应用在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1 中,E 、F 分别为棱A 1D 1、A 1B 1 的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求：（1）平面BDD 1B 1 的一个法向量; （2）平面BDEF 的一个法向量.答案：（1）设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为2,则D(0,0,0) ,B(2,2,0) ,A(2,0,0) ,C(0,2,0) ,E(1,0,2) . 连接AC （图略）,易知AC ⊥ 平面BDD 1B 1, 所以AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0) 为平面BDD 1B 1 的一个法向量. （2）易知DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0) ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2) .设平面BDEF 的法向量为n =(x,y,z) , ∴{n ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴{2x +2y =0,x +2z =0,令x =2 ,得y =−2 ,z =−1 ,即n =(2,−2,−1) 为平面BDEF 的一个法向量.探究点三平面法向量的应用精讲精练例如图,在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1 中,点E,F 分别是棱BC ,CC 1 的中点.求平面AEF 的一个法向量.答案：以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,DD 1 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),E(1,2,0),F(0,2,1) , 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,0) ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,1), 设平面AEF 的法向量为n =(x,y,z) , 则{n ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2y =0,n ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y +z =0,取y =1 ,得n =(2,1,2) ,所以平面AEF 的一个法向量为n =(2,1,2) . 解题感悟涉及平面法向量的问题,合理建立空间直角坐标系和利用垂直关系联立方程是解题的关键. 迁移应用1.在平面ABCD 中,A(0,1,1) ,B （1,2,1）,C(−1,0,3) ,若a =(−1,y,z) ,且a 为平面ABCD 的法向量,则y 2 等于( ) A.2B.0C.1D.无意义答案：C解析：由题意得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,2) ,又a 为平面ABCD 的法向量, 所以{a ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,a ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{−1+y =0,1−y +2z =0, 解得y =1, 所以y 2=1 .2.在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1 中,CA =CB =1 ,∠ACB =90∘ ,平面A 1B 1C 的一个法向量为n =(−2,−2,1) ,则棱AA 1 的长为 . 答案：2解析：以C 为原点,CA,CB,CC 1 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设AA 1=ℎ ,由题意可知C(0,0,0) ,A 1(1,0,ℎ) , 所以CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,ℎ) ,因为n =(−2,−2,1), 根据法向量的定义可得,n ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,1)⋅(1,0,ℎ)=−2+ℎ=0 ,解得ℎ=2 ,所以AA 1=2 .评价检测·素养提升课堂检测1.（2021辽宁六校协作体高二期中联考）已知平面α 上的三点A(3,2,1) ,B (−1,2,0),C(4,−2,−1) ,则平面α 的一个法向量为( ) A.（4,-9,-16）B.（4,9,-16） C.（-16,9,4）D.（16,9,-4）答案：B解析：由已知得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,0,−1) ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−4,−2) , 设平面α 的法向量为n =(x,y,z) , 则{n ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−4x −z =0x −4y −2z =0,取x =4 ,可得z =−16,y =9 ,所以平面α 的一个法向量为n =(4,9,−16) .2.给出下列说法：①一个平面的法向量是唯一的;②一个平面的所有法向量都是同向的;③平面的法向量与该平面内的任一向量都是垂直的;④与一个平面的法向量共线的所有非零向量都是该平面的法向量.其中正确的说法是 . 答案：③④解析：一个平面的法向量有无数个,故①中说法错误; 一个平面的所有法向量不一定相同,故②中说法错误; 易知③、④中说法正确.3.平面α 经过三点A(−1,0,1) ,B(1,1,2) ,C(2,−1,0) ,求平面α 的一个法向量. 答案：易知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,1) ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−1,−1) ,设平面α 的法向量为n =(x,y,z) , 则{n ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y +z =0,n ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x −y −z =0,令z =−1 ,则y =1,x =0 ,∴n =(0,1,−1) ∴ 平面α 的一个法向量为n =(0,1,−1) .素养演练直观想象、数学运算、逻辑推理——在关于法向量的探索性问题中的应用已知四边形ABCD 是矩形,PA ⊥ 平面ABCD,PA =AB =1,AD =√2 ,点M 、N 在线段PB 、DC 上（不含端点）,且满足BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λNC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ＞0 .（1）若λ=1 ,求平面PBD 的一个法向量;（2）是否存在λ ,使MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAB 的法向量？请说明理由. 答案：（1）建立空间直角坐标系,当λ=1 时,M,N 分别为PB,DC 的中点,因为A(0,0,0) ,P(0,0,1) ,B(1,0,0) ,D(0,√2,0) ,C(1,√2,0) ,所以M(12,0,12) ,N(12,√2,0) ,PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,−1) ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√2,0) , 设平面PBD 的法向量为n =(x,y,z) , 则{n ⋅PD⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y −z =0,n ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√2y =0,令y =1 ,则x =z =√2 ,所以n =(√2,1,√2) , 所以平面PBD 的一个法向量为n =(√2,1,√2) . （2）假设存在λ ,因为BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λNC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以M(1λ+1,0,λλ+1),N(λλ+1,√2,0) , 所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−1λ+1,√2,−λλ+1) , 易知PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0), 若MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAB 的法向量,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ,即{2λ−1λ+1=0,λ−1λ+1=0, 此方程组无解,即假设不成立,所以不存在λ ,使MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAB 的法向量. 素养探究：（1）由题意建立空间直角坐标系,渗透了直观想象的素养;设出平面PBD 的法向量,根据法向量的定义,建立方程组求解,渗透了数学运算的素养.（2）假设存在λ ,使MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAB 的法向量,然后根据平面法向量的定义建立方程组求解,渗透了逻辑推理、数学运算的素养. 迁移应用在三棱锥S −ABC 中,底面是边长为2√3 的正三角形,点S 在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点,侧棱SA 和底面成45∘ 角.（1）在侧棱SA 上是否存在一点D ,使BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面SAC 的法向量？请说明理由; （2）求平面ACS 的一个法向量.答案：连接OA ,由题意可知SO ⊥ 底面ABC ,且OA ⊥BC ,所以以O 为原点,OC 所在直线为x 轴,OA 所在直线为y 轴,OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系.因为△ABC 是边长为2√3 的正三角形,且SA 与底面所成的角为45∘ ,所以∠SAO =45∘,SO =AO =3 ,所以O(0,0,0),C(√3,0,0),A(0,3,0),S(0,0,3),B(−√3,0,0) . （1）假设存在点D , 设AD =a ,则D(0,3−√22a,√22a) ,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3−√22a,√22a) , 易知AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−3,0),AS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−3,3), 若BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面SAC 的法向量, 则{BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3−3(3−√22a)=0,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AS ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3(3−√22a)+3√22a =0,,此方程组无解,所以在侧棱SA 上不存在一点D ,使BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面SAC 的法向量. （2）由(1)知AS⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−3,3) ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−3,0) ,设平面ACS 的法向量为n =(x,y,z) ,则{n ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −3y =0,n ⋅AS ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3y +3z =0,令z =1 ,则x =√3 ,y =1 ,所以n =(√3,1,1) ,所以平面ACS 的一个法向量为n =(√3,1,1) .课时评价作业基础达标练1.若A(−1,0,2) ,B （1,4,10）在直线l 上,则直线l 的一个方向向量为( ) A.（1,2,4）B.（1,4,2）C.（2,1,4）D.（4,2,1）答案：A2.设A 是空间中一定点,n 为空间内任一非零向量,则满足条件AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =0 的点M 构成的是( )A.圆B.直线C.平面D.线段答案：C3.（2020湖南张家界高二期末）已知直线l 的一个方向向量为m =(2,−1,3) ,且直线l 过A(0,y,3) 和B (−1,2,z) 两点,则y −z = ( ) A.0B.1C.32 D.3 答案：A4.在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1 中,平面ACB 1 的一个法向量为( ) A.BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：A5.平面α 经过三点O(0,0,0) ，A(2,2,0) ，B(0,0,2) ,则平面α 的法向量可以是( ) A.（1,0,1）B.（1,0,-1）C.（0,1,1）D.（-1,1,0）答案：D6.（多选题）在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD −A 1B 1C 1D 1 为正方体,则下列结论正确的是( )A.直线DD 1 的一个方向向量为（0,0,1）B.直线BC 1 的一个方向向量为（0,-1,-1)C.平面ABB 1A 1 的一个法向量为（0,1,0）D.平面B 1CD 的一个法向量为（1,1,1）答案：ABC7.若A(0,2,198) ，B(1,−1,58) ，C(−2,1,58) 是平面α 内的三点,设平面α 的法向量为a =(x,y,z) ,则x:y:z = . 答案：2:3:(-4)素养提升练8.（多选题）已知空间中的三点A(0,1,0) ，B(2,2,0) ，C(−1,3,1) ,则下列说法不正确的是( )A.AC⃗⃗⃗⃗⃗ 不是直线AB 的一个方向向量 B.直线AB 的一个单位方向向量是(2√55,−√55,0)C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值是√5511D.平面ABC 的一个法向量是（1,-2,5）答案：BC解析：易知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,0) ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,1) ,所以不存在实数λ ,使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 中说法正确;因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,0) ,所以(2√55,−√55,0) 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,所以B 中说法错误; 易知BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1,1) ,所以cos ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√5511,所以C 中说法错误;设平面ABC 的法向量是n =(x,y,z) ,则{n ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{2x +y =0,−x +2y +z =0, 令x =1 ,则平面ABC 的一个法向量是n =(1,−2,5) ,所以D 中说法正确.9.（2020河南平顶山高二期末）如图,在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1 中,以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，E,F 分别在棱BB 1 ，CC 1 上,且B 1E =2EB ，CF =2FC 1 ,则下列向量中,能作为平面AEF 的法向量的是( )A.（1,-1,3）B.（1,-1,-3）C.（2,-3,6）D.（-2,3,-6）答案：A解析：设正方体的棱长为1,平面AEF 的法向量为n =(x,y,z) , 则A(1,0,0),E(1,1,13),F(0,1,23) ,所以AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,13) ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,13) , 则{n ⋅AE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{y +13z =0,−x +13z =0,取x =1, 则y =−1,z =3 ,故n =(1,−1,3) .10.（多选题）（2021福建泉州高二期中）已知平面α 过点A(1,−1,2) ,且其法向量n =(2,−1,2) ,则下列点中不在平面α 内的是( )A.（2,3,3）B.（3,-3,4）C.（-1,2,0）D.（-2,-3,4）答案：B C解析：对于A ,设Q(2,3,3) ,则AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4,1) ,所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =1×2+4×(−1)+1×2=0 ,故Q 在平面α 内;对于B ,设R(3,−3,4) ,则AR⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,2) ,所以AR ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =2×2+(−2)×(−1)+2×2=10≠0 ,故R 不在平面α 内;对于C ,设M(−1,2,0) ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3,−2) ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =−2×2+3×(−1)+(−2)×2=−11≠0 ,故M 不在平面α 内;对于D ,设N(−2,−3,4) ,则AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−2,2) ,所以AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =−3×2+(−2)×(−1)+2×2=−6+2+4=0 ,故N 在平面α 内.11.（2021山东济宁鱼台一中高二月考）四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1 的底面ABCD 是正方形,O 为底面的中心,A 1O ⊥ 平面ABCD ，AB =AA 1=√2 ,则平面OCB 1 的一个法向量为n = .答案：(1,0,-1)（答案不唯一）解析：建立空间直角坐标系如图,∵ 四边形ABCD 是正方形,且AB =√2 ,∴AO =OC =1 ,∵A 1O ⊥ 平面ABCD ，且AO ⊂ 平面ABCD,∴AO ⊥A 1O,∴OA 1=√AA 12−OA 2=1,∴O(0,0,0),C(0,1,0),B 1(1,1,1), 即OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0) ，OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1) ，设向量n =(x,y,z) 是平面OCB 1 的法向量,∴{OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =y =0,OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =x +y +z =0, 取x =1, 则z =−1, 故n =(1,0,−1) .创新拓展练 12.已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−4) ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0) ,AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−1) .（1）写出直线BD 的一个方向向量;（2）求证：AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的法向量; （3）求平行四边形ABCD 的面积.命题分析本题考查了直线的方向向量的求解、平面法向量的证明、平行四边形面积的求法,考查了向量坐标的运算、法向量的定义等基础知识,考查了运算求解能力、逻辑推理能力. 答题要领（1）直线BD 的一个方向向量是与BD 平行或共线的向量,可根据向量的线性运算求解.（2）由题意结合空间向量的数量积计算可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ,即可得结论.（3）利用平面向量的坐标运算可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =6 ,进而可得sin⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞, 然后利用公式S ▱ABCD =|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞求解. 详细解析（1）BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0)−(2,−1,−4)=(2,3,4) ,故直线BD 的一个方向向量可以是（2,3,4）.（2）证明：∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−1)⋅(2,−1,−4)=0 ,,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−1)⋅(4,2,0)=0 ,∴AP ⊥AB,AP ⊥AD ,又AB ∩AD =A,AB,AD ⊂ 平面ABCD ,∴AP ⊥ 平面ABCD ,∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的法向量. （3）∵|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22+(−1)2+(−4)2=√21 , |AD⃗⃗⃗⃗⃗ |=√42+22+02=2√5 , AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−4)⋅(4,2,0)=6 ,∴cos ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=√21×2√5=√10535 , 故sin ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=√3235, ∴S ▱ABCD =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=8√6 .解题感悟直线的方向向量是与该直线平行或共线的向量,可根据向量线性运算和坐标运算求解;法向量的判定或证明,要根据法向量的定义判断;面积的求解,常根据图形的形状结合三角形的面积公式求解.在求解过程中,准确运算是关键.。

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