线性代数行列式计算习题课PPT课件
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线性代数行列式计算习题课
3 2
a bc d
a
3
b a c d
1 x2
b b
3
c a b d
1
2
a bc
d d
3 2
1
2
c c
3 2
r4 r3
a
x1
2
xn
x1 a b c d x1
n 1
a
b 2 2 x2 xn a b c d a n 1 b x 2 a
2 3 3 2
c d ( xi x j ) ni j 1c d a b a b c d
* c in *
6、 某 行 （ 列 ） 的 k倍 加 到 另 一 行 （ 列 ） 上 ， 行 列 式 值 不 变
ri k r j ( c i k c j )
第 5页
行列式按行（列）展开
行列式等于它的任一行 ( 列 ) 各元素与其对应的代数余子 式乘积之和：
D n a i1 Ai1 a i 2 Ai 2 a 1 i A1 i a 2 i A 2 i a in A in a ni Ani
5 3 1 4 3
0 4 9
20
第16页
a. 行（列）元素之和相等的行列式
1 7. D 1 1 x 1 1 1 x 1 1
b
1 x 1 1 1 1
x 1 1 1 1
bx 1
c1 c 2 c1 c 3
x x x x 1 0
1 1 x 1 1 0 x
1 x 1 1 1
x 1 1 1 1
c1 c 4
1 a b 1
c1 x
x
1 b a 1 1 x 1
线性代数课件_第一章_行列式——4-PPT精选文档20页
9
课件
19
END
D 1 ta p 1 q 1 a p 2 q 2 a p n q n
01.12.2019
课件
16
其中 p 1p 2 p n,q 1 q 2 q n 是两个 n级排列，t为行
标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
01.12.2019
课件
17
思考题
证明 在全部 n阶排列中n2,奇偶排列各占
t 4 3 0 1 1 2 2 2 0 1 6 65
所以 a1a 42a 33a 1 4a 2 5a 6 65 是六阶行列式中的项.
01.12.2019
课件
10
a 3a 2 4a 3 1a 4 5a 1 2a 5 66 下标的逆序数为
t4523 816
所以 a 3a 2 4a 3 1a 4 5a 1 2a 5 6不6是六阶行列式中的项.
t 1 0 2 2 1 0 6,
所以 a2a 33a 14a 25a 61a 46前5 边应带正号.
01.12.2019
课件
12
(2 )a 3a 2 4a 1 3a 4 5a 1 6a 6 25 行标排列341562的逆序数为
t 0 0 2 0 0 4 6 列标排列234165的逆序数为
01.12.2019
课件
4
二、对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为
a 1 ala abb b 1 b m 对换a与b a 1 albbab a 1 b m
除a,b 外，其它元素的逆序数不改变.
01.12.2019
课件
课件
19
END
D 1 ta p 1 q 1 a p 2 q 2 a p n q n
01.12.2019
课件
16
其中 p 1p 2 p n,q 1 q 2 q n 是两个 n级排列，t为行
标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
01.12.2019
课件
17
思考题
证明 在全部 n阶排列中n2,奇偶排列各占
t 4 3 0 1 1 2 2 2 0 1 6 65
所以 a1a 42a 33a 1 4a 2 5a 6 65 是六阶行列式中的项.
01.12.2019
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10
a 3a 2 4a 3 1a 4 5a 1 2a 5 66 下标的逆序数为
t4523 816
所以 a 3a 2 4a 3 1a 4 5a 1 2a 5 6不6是六阶行列式中的项.
t 1 0 2 2 1 0 6,
所以 a2a 33a 14a 25a 61a 46前5 边应带正号.
01.12.2019
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12
(2 )a 3a 2 4a 1 3a 4 5a 1 6a 6 25 行标排列341562的逆序数为
t 0 0 2 0 0 4 6 列标排列234165的逆序数为
01.12.2019
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4
二、对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为
a 1 ala abb b 1 b m 对换a与b a 1 albbab a 1 b m
除a,b 外，其它元素的逆序数不改变.
01.12.2019
课件
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数-行列式-PPT文档资料
即
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
线性代数PPT行列式
行列式的计算公式是n阶行列式的展开式， 即用代数余子式表示n阶行列式的公式。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
线性代数课件PPT第一章 行列式 S1_3 行列式定义
任意一项前面的符号就是
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
高等数学线性代数行列式教学ppt(1)
例1 计算下列排列的逆序数.
1） ２１７９８６３５４
解： 2 1 7 9 8 6 3 5 4 01 00 13 4 45
t 5 4 4 3 1 0 0 1 0 18
1.2 行列式的性质
一、行列式的性质 二、利用性质计算行列式
返回
一、行列式的性质
a11
记D
a22
ann
a11
DT
a22
ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行 列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
a11 a12 a1n 上三角行列式 0 a22 a2n
0 0 ann
a11a22 ann .
性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.
an1 an2
ann an1 an2
a1n bin . ann
性质6 把行列式的第 j 行(列)元素的 k 倍加到第 i 行(列)的对应元素上去，行列式值不变．
1
2 2, 1
2 2r1r2 1
2 2.
34
34 58
二、利用性质计算行列式
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
a11 a1n
ai1 ain
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
第i行
相同
第 j行
当 i j 时,
an1 ann
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
1） ２１７９８６３５４
解： 2 1 7 9 8 6 3 5 4 01 00 13 4 45
t 5 4 4 3 1 0 0 1 0 18
1.2 行列式的性质
一、行列式的性质 二、利用性质计算行列式
返回
一、行列式的性质
a11
记D
a22
ann
a11
DT
a22
ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行 列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
a11 a12 a1n 上三角行列式 0 a22 a2n
0 0 ann
a11a22 ann .
性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.
an1 an2
ann an1 an2
a1n bin . ann
性质6 把行列式的第 j 行(列)元素的 k 倍加到第 i 行(列)的对应元素上去，行列式值不变．
1
2 2, 1
2 2r1r2 1
2 2.
34
34 58
二、利用性质计算行列式
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
a11 a1n
ai1 ain
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
第i行
相同
第 j行
当 i j 时,
an1 ann
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
行列式习题课PPT课件
的行列式是
0 0 -x 0 0 x2 y2. 00 0 y 0
个字行列式, 其计算方法 如上．
0 0 0 0 -y 11 第11页/共36页
例4 不计算行列式值，利用性质证明
xx
2
2 x 1 3 ( x 1)( x 2)( x 3)
3 3 x1
证明：令
xx 2 f (x) 2 x 1 3
第6页/共36页
0 0
ann
a1n 0
0
第1章
6
3、设D1是m 阶行列式，D2是n 阶行列式，则
D= D1 0
0 D2
D1D2；
0 D=
D2
D1 0
(1)mn D1D2。
4、范德蒙行列式
11 x1 x2 x12 x22
1
xn xn2 (xi x j ).
ni j1
x x n-1
n-1
1
2
c c2 1
1 a a2 =(ab bc ac) 1 b b2
1 c c2
(ab bc ac)(b a)(c a)(c b).
又因a>b>c>0，所以D<0. 14 第14页/共36页
例6 设α、β、γ是方程x3+px+q = 0的根，计算
D .
解 由于 D
λn
第5页/共36页
第1章
5
2、上、下三角行列式.
a11 a12
0 D=
a22
a1n a11 0 a2n a21 a22
00
= a11a22
0 0 D=
ann
ann .
an1 an2
0 a1n a11 a12
a2n1 a2n a21 a22
线性代数-行列式(完整版)ppt课件
设 D
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
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D nai1Ai1ai2Ai2LainAin a1iA1i a2iA2i LaniAni
行列式某一行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子式 乘积之和等于零：
ai1Aj1ai2Aj2LainAjn0 a1iA 1ja2iA 2jLaniA nj 0， ij
第5页
几类特殊行列式的值
a11 a12 L a1n a11
第15页
第16页
元 素 的 余 子 式 的 值 依 次 是 3 ,9 , 3 , 1 ， 则 m 7
第 3 行 元 素 代 数 余 子 式 的 值 依 次 是 ： 3 , 9 , ( 3), (1)
由 代 数 余 子 式 的 性 质 得 2 3 ( 1 ) ( 9 ) m ( 3 ) 6 1 0
1、DDT 2 、 两 行 （ 列 ） 互 换 ， 行 列 式 变 号 ri rj (ci cj)
*
*
3、kai1 L kain k ai1 L ain
*
*
ri k (ci k) ri k (ci k)
4 、 若 有 两 行 ( 列 ) 元 素 相 同 或 对 应 成 比 例 ， 行 列 式 等 于 零
*
*
*
5、 bi1ci1 L bincin bi1 L bin ci1 L cin
*
*
*
6 、 某 行 （ 列 ） 的 k 倍 加 到 另 一 行 （ 列 ） 上 ， 行 列 式 值 不 变 ri krj (ci kcj)
第4页
行列式按行（列）展开
行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式 乘积之和：
求A43.
第12页
1 12 3
2.解方程1 2 x2 2 3 0
2 31 5
2 3 1 9 x2
第13页
•3.计算下列行列式的值
0a 0 0
D4
0
c
0 0
b
0
0 0
00 xd
第14页
4．用克兰姆法则解线性方程组
4x 3y z 1 3x 4y 7z 2 x 7y 6z 1
第一章 行列式
小结与习题
第1页
知识点
➢ 行列式的定义 ➢ 行列式的性质 ➢ 行列式按行（列）展开 ➢ 几类特殊行列式的值
第2页
行列式的定义
二阶行列式：a11
a21
a12 a22
a11a22 a12a21
三阶行列式：a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
解 得 m 7.
第8页
计算行列式
① 利用行列式定义计算
x1 1 2
•26. 函数f(x)1 x 1 1中x3的系数是 1
32 x 1 1 1 2x 1
(1)t(1234)xxx1 (1)t(1243)xx12x
第9页
计算行列式
② 化三角形法
利用性质化行列式为三角形行列式。
③ 造零降阶法
利用性质将某行（列）中大部分元素化为零，然后
x 1 1 1 x c1c4 x 1 1 1
x 1 1 1 1 x 1 1 1
1 1 1 x1 1 0 0 x
c2c1
1 c1x x
1
x1
1 c3c1 1 x
0
x
0x4
1 x1 1 1 c4c1 1 x 0 0
1 1 1 1 1 0 0 0
第11页
•三、练习
•1设行列式
01 0 2 0 1 0 1 0 2 D 0 2 0 1 0 202 0 1 2 0 1 0 3
按该行（列）展开，降低行列式的阶数。
2 3 8 1
2 1 3 1
3
1 1
0 1 2 31； 3 4 2
1 4
2 1
5 3 1
0 20
4
0 1 0 1
2 3 4 9
3
第10页
a. 行（列）元素之和相等的行列式
1 7•3. D 1
1
1 1 x 1 x 1 1 x 1 c1 c2
1 x 1 1 x c1c3 1 x 1 1
1.
a22 L a2n a21 a22 O M MMO
a11a22Oann an1 an2 L ann
ann
a11a22Lann
第6页
典型习题
➢ 代数余子式的相关计算 ➢ 计算行列式
第7页
与代数余子式有关的计算
•5 1.已 知 某 4 阶 行 列 式 的 第 2 行 元 素 依 次 是 2 , 1 ,m ,6 ， 第 3 行
a 3 1 a 3 2 a 3 3 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
n阶行列式： a11 a12 L a1n
p1p2L pn
Dndet(aij)L a21
a22 L a2n LLL
(1)ta1p1a2p2Lanpn
an1 an2 L ann
n !项
第3页
行列式的性质
行列式某一行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子式 乘积之和等于零：
ai1Aj1ai2Aj2LainAjn0 a1iA 1ja2iA 2jLaniA nj 0， ij
第5页
几类特殊行列式的值
a11 a12 L a1n a11
第15页
第16页
元 素 的 余 子 式 的 值 依 次 是 3 ,9 , 3 , 1 ， 则 m 7
第 3 行 元 素 代 数 余 子 式 的 值 依 次 是 ： 3 , 9 , ( 3), (1)
由 代 数 余 子 式 的 性 质 得 2 3 ( 1 ) ( 9 ) m ( 3 ) 6 1 0
1、DDT 2 、 两 行 （ 列 ） 互 换 ， 行 列 式 变 号 ri rj (ci cj)
*
*
3、kai1 L kain k ai1 L ain
*
*
ri k (ci k) ri k (ci k)
4 、 若 有 两 行 ( 列 ) 元 素 相 同 或 对 应 成 比 例 ， 行 列 式 等 于 零
*
*
*
5、 bi1ci1 L bincin bi1 L bin ci1 L cin
*
*
*
6 、 某 行 （ 列 ） 的 k 倍 加 到 另 一 行 （ 列 ） 上 ， 行 列 式 值 不 变 ri krj (ci kcj)
第4页
行列式按行（列）展开
行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式 乘积之和：
求A43.
第12页
1 12 3
2.解方程1 2 x2 2 3 0
2 31 5
2 3 1 9 x2
第13页
•3.计算下列行列式的值
0a 0 0
D4
0
c
0 0
b
0
0 0
00 xd
第14页
4．用克兰姆法则解线性方程组
4x 3y z 1 3x 4y 7z 2 x 7y 6z 1
第一章 行列式
小结与习题
第1页
知识点
➢ 行列式的定义 ➢ 行列式的性质 ➢ 行列式按行（列）展开 ➢ 几类特殊行列式的值
第2页
行列式的定义
二阶行列式：a11
a21
a12 a22
a11a22 a12a21
三阶行列式：a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
解 得 m 7.
第8页
计算行列式
① 利用行列式定义计算
x1 1 2
•26. 函数f(x)1 x 1 1中x3的系数是 1
32 x 1 1 1 2x 1
(1)t(1234)xxx1 (1)t(1243)xx12x
第9页
计算行列式
② 化三角形法
利用性质化行列式为三角形行列式。
③ 造零降阶法
利用性质将某行（列）中大部分元素化为零，然后
x 1 1 1 x c1c4 x 1 1 1
x 1 1 1 1 x 1 1 1
1 1 1 x1 1 0 0 x
c2c1
1 c1x x
1
x1
1 c3c1 1 x
0
x
0x4
1 x1 1 1 c4c1 1 x 0 0
1 1 1 1 1 0 0 0
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•三、练习
•1设行列式
01 0 2 0 1 0 1 0 2 D 0 2 0 1 0 202 0 1 2 0 1 0 3
按该行（列）展开，降低行列式的阶数。
2 3 8 1
2 1 3 1
3
1 1
0 1 2 31； 3 4 2
1 4
2 1
5 3 1
0 20
4
0 1 0 1
2 3 4 9
3
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a. 行（列）元素之和相等的行列式
1 7•3. D 1
1
1 1 x 1 x 1 1 x 1 c1 c2
1 x 1 1 x c1c3 1 x 1 1
1.
a22 L a2n a21 a22 O M MMO
a11a22Oann an1 an2 L ann
ann
a11a22Lann
第6页
典型习题
➢ 代数余子式的相关计算 ➢ 计算行列式
第7页
与代数余子式有关的计算
•5 1.已 知 某 4 阶 行 列 式 的 第 2 行 元 素 依 次 是 2 , 1 ,m ,6 ， 第 3 行
a 3 1 a 3 2 a 3 3 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
n阶行列式： a11 a12 L a1n
p1p2L pn
Dndet(aij)L a21
a22 L a2n LLL
(1)ta1p1a2p2Lanpn
an1 an2 L ann
n !项
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行列式的性质