2020届高三一轮复习立体几何大题

P A

B

C

D

E

1如图，在直三棱柱111ABC A B C -

中，190,30,1,o o ACB BAC BC AA ∠=∠===M 是棱1CC 的中点.

(1)求证：1A B AM ⊥；

(2)求直线AM 与平面11AA BB 所成角的正弦值.

2图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且

1,,AB AA E F =分别是1,CC BC 的中点

（1）求证：1B F ⊥平面AEF ； （2）求锐二面角1B AE F --的余弦值.

3四棱锥P -ABCD 中，直角梯形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，∠APD =60°，PA =CD =2PD =2AB =2，且平面PDA ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．

（Ⅰ）求证：PD ⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）求直线PD 与平面BDE 所成角的大小．

F

E

C 1

B 1

A 1

C B A

E

F

A B

C

P

D

4如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，⊥PA 平面ABCD ，F E ,分别是PC AB ,的 中点，12

1

==

AD AB ． （1）求证：//EF 平面PAD （2）若4

π

=∠PDA ，求直线AC 与平面PCD 所成角的正弦值．

5如图，在四棱柱ABCD -PGFE 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB //DC ，∠ABC ＝45o

，DC ＝1，AB ＝2，PA ＝1．

(1)求PD 与BC 所成角的大小； (2)求证：BC ⊥平面PAC ； (3)求二面角A -PC -D 的大小．

6如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA C C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，

3,5AB BC ==

（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角111C A B C --的大小；

（Ⅲ）若点D 是线段BC 的中点，请问在线段1AB 上是否存在点E ，使得DE ∥面11AA C C ？若 存在，请说明点E 的位置；若不存在，请说 明理由.

A B C 11

A B

F

P E

D

C

7如图：在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，

60=∠DAB ，ABCD PD 平面⊥，1==AD PD ，

点F E ,分别为PD AB 和的中点.

（Ⅰ）求证：直线AF ∥平面PEC ;

（Ⅱ）求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.

8如图，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所

在平面互相垂直，90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE . (Ⅰ) 求证：//AC 平面BEF ；

(Ⅱ) 求平面BEF 与平面ABCD 所成角的正切值．

9直三棱柱111ABC A B C - 中，11AA AB AC ===，E ，F 分别是1CC 、BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点. （1）证明：DF AE ⊥;

（2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐

二面角的余弦值为14

?若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由.

A

B

C D

F E

B 1

1(1)因为C1C⊥平面ABC，BC⊥AC，所以以C为原点，射线CA,CB,CC1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

B(0,1,0),A1,0,0),M(0,0,

2

),

所以

1

A B(3,1,6),AM(3,0,

=--=-,

所以

1

A B AM=3+0-3=0,所以

1

A B AM

⊥，即A1B⊥AM.

(2)由(1)知AB

1

A A),设面AA1B1B的法向量为n=(x,y,z),则

3x y0,

6z0.

-+=

⎧

⎨

-=

⎩

不妨取设直线AM与平面AA1B1B所成角为θ,则

AM6

sin|cos|||.

6

|AM|||

θ===

n

n

n

所以直线AM与平面AA1B1B

2(1）连结AF，∵F是等腰直角三角形ABC

∆斜边BC的中点，∴AF BC

⊥.

又 三棱柱

111

ABC A B C

-为直三棱柱，

∴面ABC⊥面11

BB C C，

∴AF⊥面

11

BB C C，

1

AF B F

⊥. ……… 2分

设

1

1

AB AA

==，则

11

3

2

B F EF B E

===.

∴222

11

B F EF B E

+=，∴

1

B F E F

⊥. ………4分

又AF EF F

=，∴

1

B F⊥平面

AEF. ………6分

（2）以F为坐标原点，,

FA FB分别为,x y轴建立直角坐标系如图，

设

1

1

AB AA

==，

则

1

1

(0,0,0),((0,(0,)

2222

F A B E-，

C

C