平面汇交力系的合成与平衡
工程力学9 平面汇交力系的合成与平衡
2、再利用解析法求合力的大小和方向。
RX F1X F2X 17.3 20 37.3KN RY F1Y F2Y 10 34.6 44.6KN
R
R
2 x
R
2 y
37.32 44.62 58.1KN
tan R y Rx
44.6 37.3
1.1957
α=50.1°
4.平面汇交力系平衡的解析条件
平面汇交力系平衡的充要条件是其合力为零。
解析式： R
R
2 x
R
2 y
0
即：
R x Fx 0 R y Fy 0
此式称为平面汇交力系的平衡方。若一个平
衡的汇交力系中存在两个未知力，可应用这两个独立
方程求得。
F
例 3：求图示绳子BC和BD的拉力。
解：1、绳子为柔性约束，只能承受拉力，由
CB
Fx
bx
正方向
F在坐标轴上的投影正负规定：当从力F始 端的投影a到终端b的方向与投影的正向一 致时，力的投影取正值；反之，取负值。
例题1：已知F1=100N，F2=F3=150N，F4=200N，试求各力 在在坐标轴上的投影值大小。
y
F1Y=F1sin45°=100 ×0.707=70.7N
F1
F1Y
FBD 14.14KN FBC 10KN
tan
Ry Rx
Y X
为合力R与x轴所夹的锐角， 角在哪个象限由各力在轴上
投影和正负确定。
例题2：如图所示，力F1和F2汇交于O点，已知
F1=20KN,F2=40KN,试求R的大小和方向。
Ry
y
F2y
F2
R 我们可以利用解析法 求合力的大小和方向
第二章：平面汇交力系的合成与平衡
第二章平面汇交力系的合成与平衡课题：第一节平面汇交力系的合成与平衡（一）[教学目标]一、知识目标：1、了解求解平面汇交力系的两种方法。
2、理解平面力系、平面汇交力系。
3、理解平面汇交力系平衡的几何条件。
二、能力目标：通过用几何法求解平面汇交力系的合力，提高学生运用平面几何知识解决力学问题的能力，提高对知识的理解运用能力。
三、素质目标：培养学生的分析问题能力[教学重点]平面汇交力系平衡的几何条件。
[难点分析]用几何法求解平面汇交力系的合力。
[学生分析]学生的数学基础知识需要强化补充。
[辅助教学手段]理论联系实际进行分析，围绕练习题展开讨论。
[课时安排]2课时[教学内容]一、导入新课我们在对力系进行研究时，为了方便，可以按照各力作用线的分布情况进行分类。
从讲实际结构的受力情况入题，一般结构所受的作用力不在同一个平面内，这种力系就属于空间力系；反之，如果所受的作用力都在同一个平面内，这种力系就属于平面力系。
那么在我们研究的力系中，也把它分为两类：空间力系和平面力系。
工程中许多结构所受的作用力虽是空间力系，但在一定条件下可以简化为平面力系，比如水坝、挡土墙的受力等。
平面力系是工程中最常见的力系，本章讨论的便是平面力系的合成和平衡问题，随之引出平面汇交力系的概念及其求解平面汇交力系的两种方法：几何法和解析法。
二、新课讲解1、平面汇交力系合成的几何法（1）导入：力是矢量，矢量的合成都可以遵循平行四边形法则，那么两个汇交力怎么合成呢：两个力的合力的作用点是原汇交点，大小和方向是以两个分力为邻边所构成的平行四边形的对角线。
（2）分析：在力的平行四边形法基础上，可以得到两个汇交力合成的三角形法和多个汇交力合成的力多边形法。
（3）概念：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，其作用点是原汇交力系的交点。
2、平面汇交力系平衡的几何条件（1）分析：如果某平面汇交力系的力多边形首尾相重合，即力多边形自行闭合，则力系的合力等于零，物体处于平衡状态，该力系为平衡力系。
平面汇交力系的合成与平衡
tan Fy Fy 122.3 0.501
Fx
Fx 243.91
方向角α=26.6°，合力的指向为第一象限。
机械工程基础
解： （1）选比例尺，如图所示。 （2）将F1、F2、F3首尾相接得到力多边形abcd，其封闭边矢量ad就是合
力矢量FR。量得ad的长度，得到合力FR＝1650N，FR与x轴夹角α＝16º21′。
平面力系
例2.2 一钢管放置在V形槽内如图a所示，已知：管重 P=5kN，钢管与槽面间的摩擦不计，求槽面对钢管的约束 力。 解：取钢管为研究对象，钢管受到的主动力为重力P和约 束力为FNA和FNB，汇交于O点，如图b所示。
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系
（2）汇交力系的合成结果 共点力系可以合成为一个合力，合力作用在力系
的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由此 力系的力多边形的封闭边表示。
矢量的表达式： FR= F1+ F2+ F3+ ···+ Fn
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
平面力系
解法一：选比例尺，令ab=P，bc=FNA，ca=FNB，将各力矢量 按其方向依次进行首尾相连得封闭的三角形abc，如图c所示。 量取bc边和ca边的边长，按照比例尺转换成力的单位，则槽面 对钢管的约束力为
FNA =bc=3.2kN FNB =ca=4.4kN
解法二：绘制力多边形如图2-4c所示，再利用三角关系的
FR
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法
BA
BC
解得 F F 11.35kN
BA
BC
选压块C
F ix
0
FCB cosθ FCx 0
解得 F F cotθ Fl 11.25kN
2 Cx
2h
F iy
0
F CBsin FCy 0
解得 FCy 1.5kN
例2-6
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
O
Oy
Ox
y
x
M
O
F R
M
O
F i
M F OR
x F
i
iy
y F
i
ix
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
求：此力系的合力。
解：用解析法
FRx F ix F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45 129.3N
F Ry
F iy
F sin 30 1
F 2
sin 60
F sin 45 3
F 4
sin 45
112.3N
解： CD为二力杆，取踏板
由杠杆平衡条件
F cos yB F sin xB FCD l 0
解得
FCD
F
cos
yB
l
平面力系的合成与平衡
平面力系的合成与平衡4.1 平面汇交力系的合成与平衡当力系中各力处于同一平面时,该力系成为平面力系。
平面力系又可分为平面汇互力系、平面力偶系、平面平行力系和平面一般力系等。
平面汇互力系是研究平面一般力系的基础。
工程实际中经常遇到平面汇互力系问题。
如图4.1(a)所示,用挂钩吊起重物,挂钩受到向上的拉力F1和吊绳对它的拉力F2和F3,不计挂钩自重,这三个力在同一平面内,且汇互于一点,组成一个平面汇互力系〔图4.1(b)〕。
图4.1下面将采用几何法和解析法来研究平面汇互力系的合成和平衡问题。
1)平面汇交力系合成的几何法第2章已经介绍了用平行四边形法则或三角形法则求两个汇互于一点的力的合力,这种方法称为几何法。
当求更多的汇互于一点的力的合力时,也可以用几何法,下面举例说明。
刚体受一平面汇互力系F1,F2,F3和F4作用,力的大小及方向如图4.2(a)所示,现求该力系的合力。
为此,可连续使用力的三角形法则,即先求F1与F2的合力FR1,再求FR1与F3的合力FR2,最后求FR2与F4的合力FR,FR便是此平面汇互力系的合力,如图4.2(b)所示。
由图4.2(b)可见,在作图过程中,力FR1,FR2可不必画出。
更简便的合成方法是:各分力矢首尾相接,则画出一条矢量折线A—B—C—D—E,如图4.2(c)所示,然后从第一个力矢F1的起点A向最后一个力矢F4的终点E作一个矢量,以使折线封闭而成为一个多边形,则由A点指向E点的封闭边AE就代表了该力系的合力矢FR 的大小和方向,合力的作用线通过原力系的汇互点。
该多边形称为已知力系的力多边形。
这种求合力的方法称为力多边形法则。
图4.2在利用力多边形法则求平面汇互力系的合力时,根据矢量相加的互换律,任意变换各分力矢的作图次序,可得到形状不同的力多边形,但其合力矢仍然不变,如图4.2(d)所示。
综上所述,可得如下结论:平面汇互力系合成的结果是一个合力,其大小和方向由力多边形的封闭边来表示,其作用线通过各力的汇互点,即合力等于各分力的矢量和。
平面汇交力系的合成与平衡
单元02 平面力系平面汇交力系的合成与平衡一、平面汇交力系合成的几何法1.两个共点力合成的几何法可以由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
由余弦定理求合力的大小；由正弦定理确定合力方向2.任意个共点力合成的几何法结论：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。
二、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力等于零。
特点：最后一个力矢的终点与第一个力矢的起点相重合，即封闭边为零。
合力为零意味着力多边形自行封闭。
例：解：三、力在坐标轴上的投影四、合力投影定理1）平面汇交力系的合力F R= F1+ F2+…+ F n = ∑F2）合力在坐标轴的投影等于各分力在同轴上投影的代数和合力投影定理:力系的合力在某轴上的投影,等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。
五、平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡条件平衡方程:例题1：求如图所示平面共点力系的合力。
其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。
解：根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为：合力的大小：171.3N合力与轴x的夹角的正切为：8.343所以，合力与轴x的夹角为41°例题2：如图所示是汽车制动机构的一部分。
司机踩到制动蹬上的力F=212 N，方向与水平面成 = 45°角。
当平衡时，DA铅直，BC水平，试求拉杆BC所受的力。
已知EA=24cm，DE=6 cm(点E在铅直线DA上) ，又B ，C ，D都是光滑铰链，机构的自重不计。
例题3：利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一货物重G = 20 kN，滑轮由两端铰接的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B 。
不计铰车的自重，试求杆AB和BC 所受的力。
解析法的符号法则：当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。
解题技巧及说明：1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。
第三章.平面力系的合成与平衡
各力首尾相接
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡
例4
已知：
系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 解：AB、BC杆为二力杆， 取滑轮B（或点B），画受力图。
用解析法，建图示坐标系。
F
x
0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fy F cos F Fx Fy
Fx cos F
Fx
x
O
Fx
F Fx2 Fy2
cos
Fy F
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡 3）合力投影定理 平面汇交力系，由三个力组成的力多边形 合力投影定理建立了合力投影与各分力投影的关系
FRx Fix
当 x轴与 y 轴不是正交轴时 ：
F Fx Fy
力在坐标轴上的投影不等于力在这个轴上的分量。
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡 2、平面汇交力系的解析法 2）力沿坐标轴的分解 当
Fx Fx
x y
y
Fy Fy
B
Fy
Fx F cos
Fy
A
β α
矢量和
θ
P
FNA 11.4kN FNB 10kN
F
FNB
F
θ P FNA
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡 2、平面汇交力系的解析法 1）力在坐标轴上的投影 F力在 x 轴上的投影：
Fx F cosθ
Fy
Fx
F力在 y 轴上的投影：
Fy F cosβ
3 FR 2 FR1 F3 Fi i 1
《建筑力学》2.1平面汇交力系的合成与平衡
（2）建立平衡方程求解未知力FNAC、FNBC
FX FY
0 0
FNACcos60 FNBC 0 FNAC sin 60 W 0
（3）把W=10kN代入解得
FNAC=11.55kN（拉力）
FNBC=5.77kN（压力）
作业
《学习指导与练习》P25—28 填空1、2、3 单选1、2 判断4、5 计算3
平面汇交力系的平衡条件是： 该力系的合力 FR 为零。
（四）平面汇交力系的平衡 ——几何法
平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭，
即
FR =0
或
F1+F2+F3+F4=0
F4
F1
O
F2
F3F1 baFra bibliotekF4F2
c
F3
d
（四）平面汇交力系的平衡 ——解析法
由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件
是该力系的合力为零，即 F 0
而
F2 xi
F2 yi
0
则 Fxi 0 ， Fyi 0
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个坐标轴
上的投影之代数和均等于零。
FX FY
0 0
练一练
求图示三角支架中杆AC和杆BC所受的力（已知重物D 重W=10 kN）。
解：（1）取铰C为研究对象，其受力图如下
练一练
例2：已知FT1= FT2=10kN，FT=14kN，如下图所示，试计 算FT1、FT2、FT在X、Y轴上的投影。
（1）F1在x、y轴上的投影 Fx1=F1=10kN Fy1=0 （2）F2在x、y轴上的投影 Fx2=0 Fy2=-F2=-20kN
(1) FT1x=-F T1cos45°=-7.07kN FT1y=-F T1sin45°=-7.07kN
平面汇交力系—平面汇交力系合成与平衡的几何法(建筑力学)
平面汇交力系
第一节 平面汇交力系合成与平衡的几何法
在工程实际中，经常遇到平面汇交力系的问题。
平面汇交力系
第一节 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系合成的几何法
1. 两个汇交力的合成 FR
F1
F2
B F1
A
F2 C FR
ABC称为力的三角形。这种合成方法称为力三角形法则。
平面汇交力系
FR = ΣF = 0 在平衡情况下，力多边形中最后一个力的终点与第一 个力的起点重合（即力多边形的封闭边的长度为零），此 时的力多边形为自行封闭的力多边形。所以，平面汇交力 系平衡的几何条件为：力多边形自行闭合。
平面汇交力系
任意变换力的次序，可画出形状不同的力多边形，但 合力FR的大小和方向仍然不变。
结论： 平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方 向等于原力系中各力的矢量和，合力作用线通过原力系各 力的汇交点。
平面汇交力系
二、平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合 力等于零。
2. 任意个汇交力的合成
对任意个汇交力的合成，可逐次应用力三角形法则，将 这些力依次合成，从而求出合力的大小和方向。
F1
F2
F4 F3
F2
F1
F12 F123
F3
FR
F4
注意：力多边形的矢量法则为各分力（F1、F2、F3、F4） 沿着环绕力多边形边界的同一方向首尾相接，而合力FR则 由最初的起点指向最末的终点，为力多边形缺口的封闭边。
第二章 平面汇交力系
平面汇交力系
学习目标：
1.了解平面汇交力系合成与平衡的几何法；掌握平面汇交 力系合成与平衡的解析法。
2016工程力学（高教版）教案：2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法
第二节 平面汇交力系合成与平衡的解析法求解平面汇交力系问题的几何法，具有直观简捷的优点，但是作图时的误差难以避免。
因此，工程中多用解析法来求解力系的合成和平衡问题。
解析法是以力在坐标轴上的投影为基础的。
一、在坐标轴上的投影如图2－5所示，设力F 作用于刚体上的A 点，在力作用的平面内建立坐标系oxy ，由力F 的起点和终点分别向x 轴作垂线，得垂足a 1和b 1，则线段a 1b 1冠以相应的正负号称为力F 在x 轴上的投影，用X 表示。
即X=±a 1b 1；同理，力F 在y 轴上的投影用Y 表示，即Y=±a 2b 2。
力在坐标轴上的投影是代数量，正负号规定：力的投影由始到末端与坐标轴正向一致其投影取正号，反之取负号。
投影与力的大小及方向有关，即⎭⎬⎫=±==±=βαcos cos F ab Y F ab X （2－3） 式中α、β分别为F 与X 、Y 轴正向所夹的锐角。
图2－5反之，若已知力F 在坐标轴上的投影X 、Y ，则该力的大小及方向余弦为⎪⎭⎪⎬⎫=+=F X Y X F αcos 22 （2－4） 应当注意，力的投影和力的分量是两个不同的概念。
投影是代数量，而分力是矢量；投影无所谓作用点，而分力作用点必须作用在原力的作用点上。
另外仅在直角坐标系中在坐标上的投影的绝对值和力沿该轴的分量的大小相等。
二、合力投影定理设一平面汇交力系由F 1、F 2、F 3和F 4作用于刚体上，其力的多边形abcde 如图2－6所示，封闭边ae 表示该力系的合力矢F R ，在力的多边形所在平面内取一坐标系oxy ，将所有的力矢都投影到x 轴和y 轴上。
得X=a 1e 1, X 1=a 1b 1, X 2=b 1c 1，X 3=c 1d 1 ,X 4=d 1e 1由图2－6可知a 1e 1=a 1b 1+b 1c 1+c 1d 1 +d 1e 1即 X=X 1+X 2+X 3+X 4同理 Y=Y 1+Y 2+Y 3+Y 4将上述关系式推广到任意平面汇交力系的情形，得⎭⎬⎫∑=+++=∑=+++=Y Yn Y Y Y X Xn X X X 2121 （2－5）图2－6即合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。
平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系的平衡条件是指当物体受到多个力的作用时，在平面上保持平衡的条件。
在考虑平面汇交力系的平衡条件之前，我们先来了解一些相关的概念和原理。
1. 力的合成：力的合成是指将多个力按照一定的规则合并为一个力的过程。
根据力的合成原理，对于平面汇交力系，可以将所有的力分解为两个分力的合力，分别沿两个相互垂直的方向。
这样，问题就可以简化为在这两个方向上的力的合成问题。
2. 力的分解：力的分解是指将一个力拆解为两个分力的过程。
在平面汇交力系中，我们可以将作用在物体上的任意一力分解为两个分力，分别沿两个相互垂直的方向。
这样，我们可以将问题转化为分别考虑这两个方向上的力的平衡。
3. 力的平衡条件：平面汇交力系的平衡条件是指在平面上使得物体保持静止或以匀速直线运动时，所有作用在物体上的力满足的条件。
根据力的平衡条件，我们得到以下两个条件：- 力的合力为零：所有作用在物体上的力的合力必须为零，即$$\sum F_x=0$$和$$\sum F_y=0$$，其中$$\sum F_x$$表示所有作用在物体上且沿x方向的力的矢量和，$$\sum F_y$$表示所有作用在物体上且沿y方向的力的矢量和。
这个条件保证物体在平面上保持平衡，不发生水平或竖直方向的运动。
- 力的力矩为零：所有作用在物体上的力的力矩（也称为力的转矩）必须为零，即$$\sum M=0$$。
力矩是指力对物体的转动作用，其大小等于力的大小与力臂（即力作用点到物体某个轴线的垂直距离）的乘积。
这个条件保证物体在平面上不发生旋转。
4. 条件的应用：在应用平面汇交力系的平衡条件时，我们通常需要将合力和力矩分别分解为沿x和y方向的分力和分力矩，然后根据平衡条件求解未知力或者受力点的位置。
在分解力时，可以根据已知力的方向和大小使用三角函数进行计算。
在解决实际问题时，可以通过绘制力的图解，将已知的力按照规定的比例绘制在一个平面上，并通过力的合成和力的分解求解未知的力或者受力点的位置。
“平面汇交力系合成与平衡问题的几何法教学内容”之我见
交力系 （ 、
、
、
）是一个平衡力系 ，各力 的
方 向都 已知 ，力 、
的大 小 。
的大 小也 已知 ，求未 知力 、
力的矢量线段随意地进行平移操作 ， 这容易给初学者造成
一
种错觉 ： 力是 自由矢量 ， 而这就与力线平移定理发生 了
由于是平衡力系 ，因此有 ：
＋ ＋ ＋
０ 上 、
潜 意识 冲 突 。
过力 系汇 交 点 Ｏ 分别 作 （ 位）矢 量 ： 单
ｆ 上 ，则 有 ： １
３ 几何法计算过程复杂 ，计算结果精度低
用几何法确定平面汇交力系的合力 ， 在历史上计算工 具 比较落后的情况下可能是一种便捷 方法 （ 避开 了三角 函
言 ，这 种 方 法很 落后 。
段 不 可 能做 得 很 长 。
度不均一的土壤 ， 高的履刺可 以切入土 中和较坚 实的土 较 层接触 ，这 种土层 的剪 切强度较大 ，因而 改善 了附着性 能。履刺之 间的距离对 附着性能亦有影响。 履带支撑面上 比压 的分布对 附着性能有较 大的影 响。 些试验的结果表 明， 当比压在整个履带支撑区段呈线性 分布 ，而且其 合力在履带支 撑长度 中心后面 １１ ／０处 时，
平 衡 问题 。
Ｏ点处。 如果折线多边形 白行封闭， 则该汇交力系就是平 衡力系 。
关键词 ：理论力学；平面汇交力系 ；几何法；矢量分
析 法
１ 平 面 汇 交 力 系合成 与 平衡 问题 的 几何 法 求解 方法
介 绍
设 物 体 受 到 平 而 交 力 系 （ 、 、 、 ） 的
影 响履带行走机构附着性能的因素 ， 除土壤性质、 履 带支撑面 的长度和宽度外 ， 要还有机械重量 、 主 履刺高度
平面汇交力系的平衡及平衡条件
(a)
F 2y
Ry
Rx F1x F2 x F3 x Ry F1 y F2 y F3 y
2008.9～2009.1
R x F1x F2 x Fnx Fx
R y F1 y F2 y R y
F3 D F4
F1
F2 F3
C F2 B F1 F4
R
O
A (b)
(a)
n R F1 F2 Fn Fi i 1
平衡条件
2008.9～2009.1
n R Fi 0 i 1
《化工设备设计基础》
二、平面汇交力系的解析法与平衡条件
1、力在坐标轴上的投影
F
x
y
0
0
T cos60 N 0
T cos30 G 0
(a) (b)
30˚ y T 60˚ O A O N G G (b) x
F
N T cos60 92.38 0.5 46.19N
2008.9～2009.1
《化工设备设计基础》
(a)
Fy
B F
b
a
A
α
Fx
Fx F cos Fy F sin
2008.9～2009.1
a A
b
式中α是力F与x轴正向间的夹角
《化工设备设计基础》
2、合力投影定理
F3y
F3 F2 F1 F3 R F2 F1 O Rx F1x Rx (b) F3x F2x x
Ry
R
α
(c)
F1y
《化工设备设计基础》
2 2
tg
Ry Rx
F F
建筑力学大纲 知识点第三章 平面力系得平衡条件
第3章 平面力系的平衡条件3.1平面汇交力系的合成与平衡条件力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，这样的力系称为平面汇交力系。
3.1.1 平面汇交力系合成的解析法设作用于O 点的平面汇交力系（F 1，F 2，…，F n ），其合力矢量为R F （图3-2）。
按合力投影定理求合力R F 在x , y 轴上的投影∑∑====ni yiRy ni xiRx F F F F 11y图3-2R F = cos RxRF F α=(3-1) cos Ry RF F β=式中α，β------合力矢量F R 与x 和y 轴的正向夹角。
3.1.2 平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要与充分条件是力系的合力F R 等于零。
10nRx xi i F F ===∑10nRy yii F F===∑ (3-2)于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件可解析地表达为：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。
式(3-2)称为平面汇交力系的平衡方程。
3.2平面力偶系的合成与平衡条件3.2.1 平面力偶系的合成应用力偶的等效条件，可将n 个力偶合成为一合力偶，合力偶矩记为M 。
∑==ni i M M 1(3-3)3.2.2 平面力偶系的平衡条件平面力偶系平衡的必要与充分条件：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零,即 10nii M M===∑ (3-4)3.3平面任意力系的合成与平衡条件3.3.1工程中的平面任意力系问题力系中各力的作用线在同一平面内，且任意地分布，这样的力系称为平面任意力系。
3.3.2 平面任意力系向一点的简化 主矢和主矩如图3-7（a ）所示。
在力系作用面内任选一点O ，将力系向O 点简化，并称O 点为简化中心。
i ′图3-7由力12,,,n F F F '''L 所组成的平面汇交力系，可简化为作用于简化中心O 的一个力RF '，该力矢量∑==ni i RF F 1'(3-5)R F '称作平面任意力系的主矢。
工程力学 第二章 平面汇交力系
再研究球，受力如图： 作力三角形 解力三角形：
Q P = N ′ ⋅ sin α
又 Q sin α = R − h N ′= N R F ⋅R ∴P = N ⋅sin α = ⋅ R −h
h ⋅(2R − h) R
NB=0时为球 离开地面
F (R −h) ∴P = h(2 R − h )
P h (2 R − h ) ∴F = R−h
力的多边形法则： 力的多边形法则：实质是连续多次应用 平行四边形法则（三角形法则） 平行四边形法则（三角形法则）
FR
F4 FR2 F3
FR1 F2 F1
力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连， 力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连，得到的 起点到终点的连线矢量即是合力。 起点到终点的连线矢量即是合力。
P h 2 −h (R ) ∴ F≥ 当 时 方 离 地 球 能 开 面 R−h
小结
• • 平面汇交力系合成：力的多边形、 平面汇交力系合成：力的多边形、解析法 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、解析法
F =11.4kN A
F sinθ = F B F + F cosθ = P A B
F =10kN B
2.碾子拉过障碍物， 应有 F = 0 A 用几何法解得
F = P⋅tanθ =11.55kN
0 N 3. 解得 F in = P⋅sin θ =1 k m
例2 已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计； 求：CD 杆及铰链A的受力.
例1
已知： P=20kN，R=0.6m， h=0.08m 求： ：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？ 2. 3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？？
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第三章 平面力系的合成与平衡
§ 1平面汇交力系的合成与平衡
一、 图解法（几何法）
1、两个共点里的合成
2、多个共点力的合成
3、平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的充要的几何条件是力系的合力等于零。
用
等式表示为：
F R =F i +F 2+•…・F 3=0
由几何作图知，力多边形自行封闭。
二、 解析法
1、 力在平面直角坐标系上的投影
2、 合力投影定理
合力在同一坐标轴上的投影，等于所有分力在同一坐标轴上投 影的代数和。
3、 平面汇交力系的合成
如已知力系各力在所选定的直角坐标上的投影，则合力的大小 和方向余弦分别由下列确定：
大小
F R =
Q F R X F
Ry
Fy 1
汇交力系简化结果是一个力，这个力对物体的作用与原汇交力
系等效
4、平面汇交力系的平衡
方向
Fy
Fx
本节讲 解平面汇 交
力系合 成
的几何 法和平衡 的几何条 件及解析 法和平衡 的解析条 件、平衡 方程
tg
F
Ry
第三章 平面力系的合成与平衡
我们根据力的作用线的位置不同，可将力系分为平面力系和 空间力系两大类。
「平面力系：力的作用线在同一平面（汇交、平行、 一般） 1
力系分类
空间力系：力的作用线不在同一平面
平面汇交力系：作用在物体上的所有力的作用线都在同一平 面内，而且汇交于一点的力系。
求汇交力系的合成（简化）与平衡有两种方法：
（1图解法一一几何作图法 （2）解析法一一代数计算法
§ 1平面汇交力系的合成与平衡
一、图解法（几何法）
1、两个共点里的合成
合力R 的作用线通过汇交点；用矢量等式表示为
R=F I +F 2
教学内容 教学方法 与手段
在平面 合成的 平行四 边形法 则的基 础
上讲 清平面 汇交力
系合成 的
几何 法和平 衡的几
何条件 的理论 和结论
力的投 影
计算 是力学 计算的 基本功
合力投 影
定理 只从
数 学上的 矢量和 投影定
两个分力的夹角减小时：合力增大;
两个分力的夹角增大时：合力减小;
两个分力的夹角 两个力方向相同，合力最大，值为两分力 大小之和为零度时：
方向与两分力方向相同。
夹角为180度时，合力最小，值为两合力 件的理 大小之差，方向与较大分力同向。
2、多个共点力的合成
设物体受平面汇交力系F1, F2, F3, F4作用，求力系的合力
R 。
将各已知力首尾相连，连成折线，后连接折线的首尾两点， 得合力R ,这种求合力的方法，称为力多边形法则，这种力多边 形称为不封闭的力多边形。
合力的作用线通过力系的汇交点。
画力多边形时，改变各分力的相同的次 序，将得到
形状不同的力多边形，但最后求得的合力不变。
合理直接 力R 的引出 在矢量 代数的
基础上
讲情平 面汇交 力系
合 成的解
析法和 平衡的
解析条
论和结 论
平衡条 件的应 用应予 足够重
视,使学 生理解 恰当选 取分
离 体、正确 进行受 力分析、 画受力
图、计算 力的投 影的重
大 和 向
R
F2
3、平衡的几何条件
作用在物体上的一个平面汇交力系可以成为一个合力，如果合
力等于零，此平面汇交力系为一个平衡力系，物体处于平衡状态，由此得出结
论：平面汇交力系平衡的条件是力系的合力等于零。
用等式表示为：
F R=F I+F 2+….F3=0
由几何作图知，如果平面汇交力系是一个平衡力系，那么按力多边形法则
将力系中各力依次首尾相接所得到的折线，一定是个封闭的力多边形，这就是
平面汇交力系的平衡的几何条件。
、解析法
1、力在平面直角坐标系上的投影
设有力F，由力F的始端A和末端B 分别作X轴
的垂线，则垂足a,b间的距离所表示的力的大小
冠以适当的正负号，表
示力F在X轴上的投影，用符号Fx表示，方向由垂点a至b的指
向与X轴的正向一致，投影Fx取正值，反之取负值，则
且力在任意相互平行的轴上的投影相同
要性
F X = Feos a 同理 F Y = Fsin a
合力和投影的区别：分力是矢量，有大小，方向和作用点或作用线。
力在轴上投影，是代数量，无所谓作用点及作用
线。
2、
合力设在点0有三个力F i, F2, F3组成的平面汇交力系，利用力多
边形求其合力F R,将力F i, F2，F3及合力Fr在X轴上投影,
得： F xi =a i b i F 2=b i C i F x3=-c i d 1
aid i = a i b i + biG - c i d i
即F RX= F xi+ F X2+ F X3 =刀Fx
同理 F RY=F YI+F Y2+F Y3=刀Fy
于是得出“合力投影定理”。
合力在同一坐标轴上的投影，等于所有分力在同一坐标轴上投影的代数和。
3、平面汇交力系的合成
投影
如已知力系各力在所选定的直角坐标上的投影，则合力的大小
和方向余弦分别由下列确定:
汇交力系简化结果是一个力，这个力对物体的作用与原汇交力 系等效。
例1求如图所示平面汇交力系的合力。
解：取直角坐标系如图，合力 F R 在坐标轴上的投影为：
F R =刀 F X = -400+250cos4d200X 4/5=-383.2(N) F RY =刀 F Y = 250sin45)
-500+200X 3/ 5=-203.2(N)
F R
JF RX 2 F RY 2
433.7(N)
'F ^SOO
^=25 Cl
a =arctg(203.2/383.2)=27.9
Z
45
*
0 F x =400
X
因F R X , F Ry 均为负值所以F R 在 第三象限,如图。
4、平面汇交力系的平衡
平面汇交力系平衡的充要条件：汇交力系的合力等于零，解析
式表达为：
F R = . F Rx F Ry Fx 2 Fy 2
=0
上式中FM2和FrxT 恒为正数，因此，要使 F R =0须满足
刀Fx=0 刀Fy=0
两个独立的平衡方程力系求解两个
大小 方向
Fy Fx
未知量
平面汇交力系的平衡的充要条件：力系中所有各力在两个坐
标轴上投影的代数和分别为零。
这就是平面汇交力系的解析条件
重试求A，B支点的反力。
解：（1）取研究对象，画受力图
（2）列平衡方程求未知力
例3:求图所示三角支架中杆AC和杆BC所受的力。
解：（1）为研究对象，画受力图
Y 0 N AC sin60° W 0
N AC W-010- 11.55KN
sin 60 0.866
(2) 选取坐标系
(3) 列平衡方程，求解未知力
例2:平面刚架在C点受水平力F作用，F=20N，不计刚架的自
刀Fx=0 F+F A COS o=0 F A=-F/COS a -10^5 N
刀Fy=0 F B+F A sinc=0 F B=-F A sin a10 N。