三角形重心性质及应用
三角形的垂心外心和重心
三角形的垂心外心和重心三角形的垂心、外心和重心三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有丰富的性质和特点。
其中，垂心、外心和重心是三角形内的三个重要点，它们在许多几何问题中起着重要的作用。
本文将对三角形的垂心、外心和重心进行详细介绍，以及它们的性质和应用。
一、垂心垂心是指三角形三条高的交点，通常用H表示。
在任何三角形中，三条高（垂直于对边，并经过对边顶点的切线）的交点都是唯一的，这一点被称为垂心。
垂心的特点如下：1. 垂心到三角形三边的距离是相等的。
也就是说，垂心到三角形任意一边的距离都相等。
2. 垂心和三个顶点之间的连线都是垂直的。
也就是说，垂心到三个顶点之间的线段都是垂直的。
3. 垂心趋于三角形的边缘时，它会接近于三角形的外接圆。
二、外心外心是指三角形外接圆的圆心，通常用O表示。
外接圆是能够完全包围三角形的圆，通过三角形的三个顶点。
外心的特点如下：1. 外心到三角形三个顶点的距离都相等。
2. 外心到三角形三个顶点的连线都相等，也就是说，外心到三个顶点之间的距离都相等。
3. 三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，也就是说，外心到三角形的每条边都是相等距离。
4. 三角形的外心是垂心和重心连线的中点，也就是说，连接垂心和重心的线段经过外心。
三、重心重心是指三角形三条中线的交点，通常用G表示。
中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
重心的特点如下：1. 重心将每条中线划分为2:1的比例。
也就是说，从重心出发到达对边中点的距离是从重心到顶点的距离的两倍。
2. 重心到三角形三个顶点的距离之和最小。
3. 连接重心和垂心的线段被称为Euler线，它经过外心。
4. 重心位于三角形内部的2/3处，到三角形每条边的距离都小于到相应顶点的距离。
以上是关于三角形的垂心、外心和重心的基本性质。
这三个重要点在求解三角形的面积、判定三角形的形状以及解析几何中都有广泛应用。
研究它们的性质和关系，有助于深入理解三角形的结构和性质，进一步拓展数学几何的知识。
三角形的重心与外心
三角形的重心与外心三角形是几何学中最基本的多边形之一，在三角形的研究中，重心和外心是两个重要的概念。
本文将详细介绍重心和外心的定义、性质以及计算方法。
一、重心重心是指三角形内部所有三条中线所交的一点，通常表示为G。
在任意三角形ABC中，以A、B、C三个顶点为起点，分别向对边中点引垂线，这三条垂线交于一点G，即为三角形的重心。
重心的坐标可以通过以下公式计算得出：G(x,y) = [(x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3]二、重心的性质1. 重心将三角形划分为六个三角形，其中三个小三角形的质心与重心重合。
2. 重心到三角形三个顶点的距离比例为2:1，即AG：BG：CG=2:1。
3. 重心是三角形内部离三条边最近的点。
4. 如果三角形的三边长度相等，则重心与内心、外心重合。
5. 重心是三角形垂心、内心和外心的连线的交点之一。
三、外心外心是指三角形外接圆的圆心，通常表示为O。
在任意三角形ABC 中，取三个角的外角平分线，这三条外角平分线的交点即为三角形的外心。
计算三角形外心的坐标比较复杂，可以利用外接圆的性质来简化计算。
由于外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，因此可以通过求解三角形两边的垂直平分线的交点来确定外心的坐标。
四、外心的性质1. 外心是三角形外接圆的圆心，外接圆的半径等于三角形的外接圆半径。
2. 外心与三个顶点的连线相等，即OA=OB=OC。
3. 外心是三角形三条高的交点之一。
4. 如果三角形是等边三角形，则外心与重心、内心重合。
五、计算方法1. 重心的计算方法已在前文中提及，即取三个顶点的坐标的平均值。
2. 外心的计算方法可以通过以下步骤进行：（1）计算三边的中垂线斜率，分别记作k1，k2，k3；（2）计算三边中点的坐标，分别记作M1，M2，M3；（3）计算三条中垂线的方程，分别为L1：y = k1x + b1，L2：y = k2x + b2，L3：y = k3x + b3；（4）求解方程组 L1与L2，L2与L3的交点，即为外心的坐标。
三角形重心性质定理
三角形重心性质定理三角形是初中数学中重要的几何概念之一，其性质和定理也是我们学习的重点之一。
其中，三角形重心性质定理是其中一个非常重要且有趣的定理。
本文将详细介绍三角形重心性质定理，帮助读者更好地理解和应用这一定理。
一、三角形的定义在介绍三角形重心性质定理之前，我们先来回顾一下三角形的定义。
三角形是由三条边和三个顶点所确定的一个平面图形。
三角形的重心被定义为三角形三条中线的交点，记作G。
中线是连接三角形某一顶点与对边中点的线段。
在三角形ABC中，中线AG连接顶点A与对边BC的中点M，中线BG连接顶点B与对边AC的中点N，中线CG连接顶点C与对边AB的中点P。
三线共点的交点G即为三角形ABC的重心。
二、三角形重心性质定理是指任意三角形的重心与顶点之间的距离之比为2:1。
具体而言，我们有以下定理：定理：在任意三角形中，重心到各个顶点的距离的比值为2:1。
证明：设三角形ABC的顶点分别为A、B、C，重心为G。
由三角形的定义可知，AG、BG、CG分别为三角形ABC的三条中线，其长度分别为a'、b'、c'。
我们需要证明：AG:BG:CG=2:1:1首先，我们可以得知由中位线的性质可知，AM=MB，AN=NC，BP=PC。
因此，在三角形ABC中，我们可以得到以下等式：AG=2GM （1）BG=2GN （2）CG=2GP （3）由等式（1）、（2）、（3）可知，AG、BG、CG分别是GM、GN、GP的两倍。
因此，我们得到以下等式：AG:GM=2:1 （4）BG:GN=2:1 （5）CG:GP=2:1 （6）由于GM、GN、GP分别为重心G到顶点A、B、C的距离，通过等式（4）、（5）、（6）我们可以得出：AG:BG:CG=2:1:1因此，定理得证。
三、三角形重心性质定理的应用三角形重心性质定理在解决相关几何问题中起着重要的作用。
下面以一些例子来说明这个定理的应用。
例1：已知三角形ABC，重心G所在直线与边BC的交点为D，求证：BD:DC=2:1。
三角形重心性质的有关推论及应用
三角形重心性质的有关推论及应用作者：刘家良来源：《中学数学杂志(初中版)》2011年第04期三角形的三条中线相交于一点,这一点叫做三角形的重心.三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.以三角形重心的定义和性质为依据,可推导出三条结论：推论1 三角形的三条中线将三角形分成面积相等的六部分．如图1,△ABC的三条中线AD,BE,CF交于点G,则△ABC被分成面积相等的六部分,即S1=S2=S3=S4=S5=S6．证明：如图1,因为BE、CF分别是边AC、AB的中线,所以S△ABE=S△ACF=12S△ABC,即S1+S2+S3=S1+S2+S6,所以S3=S6.在△ABG中,GF为边AB的中线,则S3=S2,在△ACG中,GE 为边AC的中线,则S1=S6,所以S1=S2=S3=S6.依此类推,得S1=S2=S3=S4=S5=S6．推论2 三角形的重心与三角形的三个顶点构成的三个三角形的面积相等,且等于原三角形面积的13．如图1,根据推论1,得S△ABG=S△BCG=S△ACG=13S△ABC．推论3 以三角形的重心与三角形的三顶点的连线为边能构成一个三角形,且这个三角形的面积等于原三角形面积的13．证明：如图2,考虑到GD为△BCG的中线,现将其加倍延长(俗称中线加倍法),即延长GD 至点M,使MD=GD,连接BM,CM,则四边形BMCG为平行四边形,所以BM=CG.因为AG=2GD,MG=2GD,所以MG=AG.由此,得以AG,BG,CG为边组成一个三角形(△BMG或△CMG).因为S△BCG=S4+S5=13S△ABC,△BDM≌△CDG,所以S△BMG=S4+S5=13S△ABC．注三角形的顶点与重心的连线的延长线于对边的交点为这边的中点,此时,往往先将重心与中点的连线加倍延长来构造平行四边形,再利用平行四边形的知识解题．现应用三条推论解一题：例如图3,已知点G是△ABC的重心,AG=5,BG=13,GC=12,求△ABC的面积．解如图3,延长BG交AC于点D,延长GD至点E,使ED=GD,连接EC,AE,因为点G是△ABC的重心,所以AD=DC,则四边形AECG为平行四边形,所以CE=AG=5,又点G是△ABC的重心,所以BG=2GD,因为ED=GD,所以EG=2GD,所以EG=BG=13,在△CEG中,因为CG2+CE2=GE2,所以∠ECG=90°,所以S△ECG=12CE•CG=30,即以AG,BG,CG为边构成的三角形的面积为30,根据推论3,得S△ABC=3×S△ECG=90．作者简介：刘家良,男,天津静海人,1966年10月生,中学高级教师.近年来,先后荣获县级教改积极分子、县级优秀班主任和县级优秀教师称号.发表文章40余篇．。
三角形重心的性质及其应用沈文选
三角形重心的性质及其应用湖南大理学院沈文选71994-2014 China Academic Journal Electronic Publishing House. AU rights reserved.★数学竞赛初级讲座1基础知识三角形三条中线的交点称为三角形的垂心•三角 形重心有卜列有趣性质.性质1设G 为的重心，连结AG 并延K 交BC 于D,则。
为BC 的中点.AD 2=-(AB 2^AC 2)= BC 2,且 AG ： GO =2 ： 1・4性质2设G 为・ABC 的重心过G 作CE //BC反乙设・4BC 的一边AB 上有凡、Pi 两点，在 另一边人(7上有0、02两点.Zf — =— +APi AQ\ APi—=3则Pi Q\与PiQi 的交点G 是■ABC 的重 AQ ：心・G 数学通报》1212号问趣)交AB 干D 、交AQ 于E,过G 作PF//AC 交于P 、 交BC 于几过G 作KH //AB 交AC 于K ,交BC 于DE FP KH 2H •则(1 厂=—=—=一 BC CA AB 32.:<2> DE FP KH BC +C/1 AB3=如+広 APy AQi BPx =(1+砧〉性质3设G 为・ABC 的垂心，过G 的直线交AB ACAB 于几交AC 于Q ，则廿+/iQ =3反之，在・ABC中，若宜线PQ 交AB 于P,交AC 干Q,满足—+ —AP AQ=3则直线PQ 过三角形的遼心.KP BX I +CY | =AG ・ 同理，BX +CK=AG •2 厶从而 BX\+CY\ =BX 2 + CY 2^ 即 BXi-BXz=CY 2-CY I ,亦即 XiX2=/i Y1.而XyX 2// Yi r 2t 从而易判断・GXI X2丝■ GKi Y 2.所以GX\ =GY X .推知BM =MC 、即AM 为■ ABC 的BC 边上的中线，亦即GM 为梯形BCY }X { 的中位线.此时 BX i +CX 1 =2GM ・但BX] ^CYi=AG ,故AG =2GM •由此即知AB ACG 点为■八BC 之垂心，即满+ _ =3的直线过 其垂心•AB CM , AC RM为N 为・ABC 的重心时，M 为肚中点，有BM 性质4 设G 为■ ABC 的垂心，则S ■伽=丄S ・BCG=S ・MG= 3 $ BABC 反之亦然・性质5设G 为・ABC 的重心，UABC 内的点二MC 且AM : AN=3 : Z 由此即证得结论Q 任边BC 、CA . AB 边上的射影分别为D 、E 、F,则当 。
三角形重心性质定理
三角形重心性质定理1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的重要方法之一。
6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。
三角形重心、垂心、内心、外心的向量性质及简单应用
中学数学研究
41
三角形重心、垂心、内心、外心的向量性质及简单应用
广东省珠海市斗门区第一中学 (519100) 陈水松
一、三角形四心的表述与性质
(一) 重心——三角形三条边上的中线的交点叫做三角
形的重心. 重心将中线长度分成 2: 1 的两部分. 1. −O→A + −O−→B + −O−→C = −→0 ⇔O 是 △ABC 的重心.
AC BC −→ + −−→
.
|AC| |BC|
|−B−B+−−→ →CCb| −B)−→C, 所
= 以
4.
−−→ PO
=
−→ aP A
−−→ + bP B + a+b+c
−−→ cP C
⇔
O
为
△ABC
的内心,
P 为平面上任意点.
(二) 垂心——三角形三条高线的交点叫做三角形的垂
证明
因为
O
为
△ABC
证 法 1 设 O(x, y), A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3),
−→ −−→ −−→ OA+OB+OC
=
−→0
⇔
x=
x1 + x2 + x3
(x1 − x) + (x2 − x) + (x3 − x) = 0 (y1 − y) + (y2 − y) + (y3 − y) = 0
=
−→0 ,
所以
−→ AO
=
2−O−→D,
所以
A、O、D
三点共线,
三角形的中线中线的性质和应用
三角形的中线中线的性质和应用三角形是初中数学中的基础概念之一。
在三角形中，中线是一条连接一个顶点与其对边中点的线段。
每个三角形都有三条中线，互相交于一个点，我们称之为重心。
本文将探讨三角形的中线中线的性质和应用。
一、三角形中线的定义与性质1. 定义：三角形的中线是一条连接一个顶点与其对边中点的线段。
2. 性质1：三角形的三条中线互相交于一个点，这个点被称为三角形的重心。
重心划分每条中线的长度比为2:1，即重心到顶点的距离是重心到中点距离的两倍。
3. 性质2：三角形的重心离每条边的距离相等。
4. 性质3：三角形的中线长度满足关系式：m₁+m₂+m₃=3m（其中，m₁、m₂、m₃分别表示三角形的三条中线的长度，m表示三角形的周长）。
二、三角形中线中线的应用1. 面积计算：利用三角形中线中线的性质，我们可以简化计算三角形面积的步骤。
设三角形的三条边长分别为a、b、c，三条中线的长度分别为m₁、m₂、m₃，则三角形的面积S可以通过以下公式计算得到：S = 1/4 * √(2a²+2b²-c²) * √(2a²+2c²-b²) * √(2b²+2c²-a²)这个公式称为三角形中线长公式，可以大大简化我们计算三角形面积的过程。
2. 相似三角形比较：利用三角形中线对应线段相等的性质，我们可以判断两个三角形是否相似。
如果两个三角形的中线等分对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
例如，如果一个三角形的一个中线等分了对应边，而另一个三角形的对应中线等分了对应边的同一比例，那么这两个三角形就是相似的。
3. 证明三角形性质：三角形中线中线的性质也可以用来证明其他三角形的性质。
例如，我们可以利用中线的长度比是2:1，来证明三角形重心到两边距离的关系。
假设三角形ABC的重心为G，连接AG、BG、CG分别和边BC、AC、AB交于点D、E、F。
了解三角形的内心和重心
了解三角形的内心和重心三角形是几何学中的基本概念之一，它具有许多重要的性质和特点。
本文将探讨三角形的内心和重心，了解它们的定义、性质和应用。
一、三角形的内心内心是指三角形内部到三边距离之和最小的点，记作I。
内心是三角形三角形内接圆的圆心，这个圆被称为内切圆。
内切圆与三角形的三条边相切，且切点分别为三角形的三个顶点。
1. 性质（1）内心到三角形三条边的距离相等，且这个距离等于内切圆的半径。
（2）内心是三角形三条角平分线的交点。
（3）内心到三角形的三个顶点连线的中点连成的线段是内心到三边切点的垂直平分线。
2. 应用内心是三角形一些重要性质的基础，例如三角形的众多重心、垂心等都和内心相关。
内心与三角形面积、角平分线、三边中线等概念密切相关。
二、三角形的重心重心是三角形三条中线的交点，记作G。
三角形的中线是连接三角形顶点与对边中点的线段。
1. 性质（1）重心将中线分成两段，其中一段的长度是另一段的两倍。
（2）从重心到三角形的三个顶点的距离之和最小。
（3）重心内接于三角形内侧的六个小三角形的面积之和等于整个三角形面积的2/3。
2. 应用重心是三角形的重要几何中心之一，它与三角形的其他几何中心（例如内心、外心、垂心）有密切的联系。
重心在实际应用中有许多用途，例如在结构设计、力学分析和流体力学等领域具有重要的作用。
三、总结通过了解三角形的内心和重心，我们可以深入了解三角形的性质和结构。
内心是三角形内接圆的圆心，具有重要的几何特性和应用意义；重心是三角形的中线交点，与其他几何中心相互联系，对三角形的结构和性质起到重要作用。
因此，研究三角形的内心和重心对于理解和应用几何学具有重要意义。
我们可以利用它们的性质和特点，解决实际问题，推动数学与工程学科的发展。
通过进一步的研究和探索，我们可以发现更多有关三角形的奇妙性质和应用价值。
第十四章 三角形重心的性质及应用答
第十四章 三角形重心的性质及应用习题A1．易知2EF PQ HG EF BP GC BC AC AB BC BC BC ++=++=，则2EF PQ HGBC CA AB===，故O 为ABC △的重心．2．先证BD AE CF ==，再由△BMP ∽△BCF ，得MP BM CF BC ==，同理PN BD =，MN AE MP PN MN ==． 3．易知G 到BC 的距离等于ABC △内切圆的半径r ，则BC 边上的高为3r ，再利用面积法证明．4．证明△ODG 与ABC △的重心重合．5．由3AM =，4BM =，5CM =，有222AM BM CM +=，知两中线AD ，BE 垂直．于是3182ABC S AM BM =⋅⋅=△．6．连BE ，CF ，并延长相交于M ，则M 为AD 的中点．由E ，F 分别是ABD △和△ACD 的重心，则13ME MF MB MC ==．于是EF BC ∥，EG BD ∥．从而13MG ME DM MB ==，23DG BE DM BM ==，13MG DM=，23DG DM=，1433AG AM MG DM DM DM=+=+=，故241233DG GA DM DM ==∶∶∶．7．由题设及梯形的中位线性质及三角形重心性质，推知所有这些直线都经过ABC △的重心，即共点于重心．习题B1．设G 为ABC △的重心，连DE 并延长到H 使EH DE =，连HC ，HF ，则以三条中线AD ，BE ，CF 围成的三角形就是△HCF ．当22BC a =，22CA b =，22AB c =成等差数列时，若ABC △为正三角形，易证ABC HCF △∽△．若a b c ≥≥，有CF =，BE =，AD =2222a c b +=分别代入以上三式，得CF ，BE ，AD ，从而CF BE AD a b c =∶∶∶∶，故有ABC △∽△HCF ．反之，若有ABC △∽△HCF ，当ABC △中a b c ≥≥时，△HCF 中CF BE AD ≥≥，且2()ABC HCF S S CF a =△△∶∶．据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积伯34”，有2234CF a =∶∶，即222223422a CF a b c ==+-，故22a c += 22b ． 2．分两种情况讨论．①若G ，I 两点重合，易断ABC △为正三角形，此时0AGI BGI CGI S S S ===△△△，结论显然成立．②若G ，I 两点互异，过G ，I 作直线l ．若l 通过ABC △的一个顶点，易推知ABC △为等腰三角形，此时AGI S △，BGI S △，CGI S △中一个为零，其余两个相等，结论亦成立；若l 与ABC △的两边相交，不妨设l 与AB ，AC 相交．延长AG 交BC 于E ，E 必为BC 的中点，连EI ．过B ，E ，C 分别作到直线l 的距离BB '，EE '，CC '，易证2BB CC EE '''+=，从而2BGI CGI EGI S S S +=△△△．又由重心性质知2AG GE =，从而2AGI EGI S S =△△，故AGI BGI CGI S S S =+△△△．3．要证tan A ，tan B ，tan C 成等差数列，只需证2tan tan tan B A C =+，又在ABC △中，由tan B = tan tan 1tan tan A CA C+--⋅，有t a n t a n t a n t A C B A B C +=-+⋅⋅．故只需证2tan tan tan tan tan B B A B C =-+⋅⋅，亦即tan tan 3A B ⋅=．因O 为外心，有2AOC B =∠∠，221sin sin cos 2AOC S R AOC R B B =⋅=⋅⋅△∠．又由G 是重心，有2112sin sin sin 33AGC ABC S S R A B C ==⋅⋅⋅△△．注意到OG AC ∥，有A O C A G CS S =△△，故2s i n c o s R B B ⋅⋅=22sin sin sin 3R A B C ⋅⋅⋅，从而3c o s 2s i n BA C =⋅，即由c o s c o s c o sB AC A C =-+⋅，有sin A ⋅ sin 3cos cos C A C =⋅，由此即证．4．ABC △中，重心G 到三边距离之和为123GG GG GG ++，ABC △内切圆半径为r ，内心I 到三边距离之和为1233II II II r ++=．记BC a =，CA b =，AB c =，射线AG 交BC 于D ，连GB ，GC ．则由13G C A G A B A B C S S S ==△△△知，1123132ABCABC S S GG a a ==△△．同理，223ABC S GG b =△，323ABC S GG C =△．于是1232ABC GG GG GG S ++=⋅⋅△ 211111111()3333333r a b c r a b c a b c ⎛⎫⎛⎫++=⋅++++⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，即证．。
三角形的重心
三角形的重心三角形是平面几何中最基本的几何图形之一，它由三条线段连接而成。
在三角形的内部，有一个特殊的点被称为重心。
本文将详细介绍三角形的重心以及与之相关的性质。
一、三角形的重心定义和构造方法三角形的重心是三条中线的交点，其中中线是三角形的边的中点与对应顶点连线而成的线段。
以三角形ABC为例，其中D、E和F分别是BC、AC和AB的中点，则重心G即为中线AD、BE和CF的交点。
二、重心的性质和应用1. 重心将三角形分成六个全等三角形：连接重心与三角形的各个顶点，可以发现重心将三角形分成了六个面积相等的小三角形。
这个性质在面积计算和几何题目的证明中常常被应用。
2. 重心与重心距离的关系：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
也就是说，重心到三个顶点的距离之比为2:1。
这个性质可以通过利用向量和平行四边形的性质来简单证明。
3. 重心是平衡点：三角形可以看作是质点组成的物体，而重心则类似于物体的平衡点。
也就是说，如果在三角形的各个顶点上分别放置质量相等的物体，三角形的重心将会处于平衡位置。
4. 重心与其他中心的关系：三角形的重心、外心和垂心构成一个共轭三角形，三角形的内心和垂足构成另一个共轭三角形。
这个性质在解几何问题时，常常可以利用共轭三角形之间的关系简化计算。
三、重心的应用举例1. 面积计算：利用重心将三角形分成六个全等三角形的性质，可以简化计算三角形的面积。
将三角形分成若干个全等三角形，在计算面积时可以只计算一个全等三角形的面积，然后乘以相应的比例系数。
2. 平衡问题：重心是物体的平衡点，可以应用于平衡问题的解决。
比如设计平衡木、测量物体的质心等等。
3. 几何问题证明：在证明几何问题时，重心的性质可以成为证明的依据。
利用重心到顶点的距离关系，可以推导出一些三角形内部的性质。
总结：三角形的重心是三角形的中线的交点，具有许多有趣的性质和应用。
重心将三角形分成六个全等的小三角形，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，重心是平衡点等等。
三角形的重心与垂心
三角形的重心与垂心三角形是解析几何学中一个重要的概念，它由三个点组成，而在三角形中，有两个特殊的点，一个是重心，另一个是垂心。
本文将就三角形的重心与垂心展开探讨并说明它们的性质和作用。
一、三角形的重心重心是指三角形三条中线的交点，它被平分为三个部分。
设三角形的三个顶点分别为A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，C(x₃, y₃)，则重心G(x, y)的坐标可以通过以下公式求得：x = (x₁ + x₂ + x₃) / 3y = (y₁ + y₂ + y₃) / 3重心是三角形内部的一个点，在几何形状的分析中具有重要的作用，它具有以下几个性质：1. 重心位于三角形三条中线的交点，且到三角形的三个顶点距离相等，这意味着重心到三个顶点的距离相等，体现了平衡的概念。
2. 重心将三角形分为三个相等的小三角形，每个小三角形的面积相等。
3. 当三角形的形状改变时，重心的位置也会相应改变，但仍然位于三角形内部。
4. 如果将三角形看作是一个物体，则该物体在重心处具有平衡的作用，即当物体在重心处支点转动时，平衡不会被破坏。
重心在实际应用中也有广泛的用途，比如在建筑、航空航天、机械设计等领域，经常需要考虑到物体的平衡性，而重心的概念可以帮助工程师进行结构设计和分析。
二、三角形的垂心垂心是指三角形三条高的交点，它的坐标称为H(x, y)。
对于任意一个三角形ABC，垂心的坐标可以通过以下公式求得：x = (a²x₁ + b²x₂ + c²x₃) / (a² + b² + c²)y = (a²y₁ + b²y₂ + c²y₃) / (a² + b² + c²)其中，a、b、c分别为三角形的边长，(x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃)分别为三角形的三个顶点坐标。
垂心也是三角形中的一个重要点，它具有以下几个性质：1. 垂心是三条高的交点，即从垂心到三角形的三个顶点的线段互相垂直。
三角形的重心与中心
三角形的重心与中心三角形是一个基本的几何图形，它由三条边和三个顶点组成。
在研究三角形的性质和特点时，我们经常会遇到两个关键点，即三角形的重心和三角形的中心。
本文将详细介绍三角形的重心和中心的概念、性质及其之间的关系。
一、三角形的重心三角形的重心是指三角形内三条中线的交点，通常表示为G。
中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，三个中点分别为D、E、F，则重心G可以通过以下公式求得：G = (A + B + C) / 3二、三角形的中心三角形的中心是指三角形内三条角平分线的交点，通常表示为I。
角平分线是连接三角形的一个顶点与对边的角的平分线段。
设三角形的三个角分别为∠A、∠B、∠C，三个角平分线交点分别为I₁、I₂、I₃，则中心I可以通过以下公式求得：I = (I₁ + I₂ + I₃) / 3三、重心与中心之间的关系1. 重心和中心均位于三角形的内部，且重心位于中心与各顶点的连线上的2/3处。
2. 当三角形为等边三角形时，重心和中心重合，即G = I。
3. 当三角形为直角三角形时，重心和中心重合，并位于斜边的中点上。
4. 在其他一般的三角形中，重心和中心并不重合，且它们的位置相对较为固定。
四、重心和中心的性质1. 重心将三角形的每条中线按1:2的比例分割。
2. 重心到三角形的顶点的距离和等于重心到对边的距离和。
3. 中心到三角形的顶点的距离和等于中心到对边的距离和的3倍。
4. 三角形的重心和中心都是三角形的一个重要的定位点，在许多证明和计算问题中均具有重要的作用。
5. 重心和中心还可以用于确定三角形的形状、面积、周长等一系列问题的求解。
五、应用举例1. 根据已知的重心或中心坐标，可以确定三角形的坐标位置。
2. 利用重心或中心的性质，可以简化三角形相关问题的解决过程。
3. 通过重心和中心的计算，可以得到三角形的内切圆和外接圆的半径、圆心坐标等信息。
结论：三角形的重心和中心是三角形内部的两个重要点，它们分别由三条中线和三条角平分线确定。
三角形重心向量性质的推广及应用
三角形重心向量性质的推广及应用张海玲（宁夏石嘴山市第三中学宁夏·石嘴山753000）摘要向量是数形结合的一个载体。
三角形的重心与向量知识的交汇点形成了许多重要的结论，利用这些结论在解决与某些与三角形有关的向量问题时，可以达到优化解题过程的目的。
关键词三角形重心向量中图分类号：O123.3文献标识码：A三角形的重心是指三角形三条边的中线的交点。
三角形的重心具有许多性质。
下面就三角形重心的向量性质进行推广及应用。
［结论1］重心到顶点的距离与它到对边中点的距离之比为2：1。
［结论2］重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
［结论3］设O为所在平面上一点，O为的重心［推论1］已知O为记，，，的面积分别为，反之也成立。
为的重心。
记为S,那么，［推论2］如图2,已知点G是的重心，过G作直线分别与AB、AC两边交于M、N两点，且存在正实数，使得则证明：延长交于点。
因为点是的重心，点是的中点且又M、N直线AM上），所以存在实数，使得于是得运用结论的［推论1］和［推论2］在解决许多与三角形有关的向量问题时，可以优化解题过程。
例1：已知点O是内一点，，求与的面积的比.解：由推论1可知：，又已知在中，为边上的中线，为线段上的一点，过点的直线交AB于M,交AC（1）求证：点是的重心；心。
=”）数|学|研|究图1图2—科教导刊（电子版）·2020年第02期/1月（中）—227。
三角形的重心知识点详解2024人教版
三角形的重心知识点详解2024人教版三角形的重心是几何学中的一个重要概念，它不仅在理论上有着丰富的性质和应用，而且在实际生活中也有广泛的应用。
本文将详细介绍三角形重心的定义、性质、计算方法及其应用，帮助读者全面理解这一重要知识点。
一、三角形重心的定义三角形的重心是指三角形三条中线的交点。
中线是从一个顶点到对边中点的线段。
重心具有以下几个重要特点：1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
这意味着重心将每条中线分成两部分，其中靠近顶点的部分是靠近对边中点部分的两倍。
2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。
这表明重心将三角形分成了三个面积相等的小三角形。
3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。
这意味着重心是三角形内到三个顶点距离的平方和最小的点。
二、三角形重心的性质三角形重心具有许多重要的性质，这些性质在几何学中有着广泛的应用。
以下是一些主要性质：1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
这一性质可以通过中线定理证明。
2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。
这一性质可以通过面积公式证明。
3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。
这一性质可以通过向量法或解析几何的方法证明。
4. 重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
这一性质可以通过均值不等式证明。
5. 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。
这一性质可以通过坐标几何的方法证明。
三、三角形重心的计算方法计算三角形重心的方法有很多种，以下是几种常见的方法：1. 坐标法：在平面直角坐标系中，设三角形的三个顶点坐标分别为((x_1, y_1))、((x_2, y_2))和((x_3, y_3))，则重心的坐标为：这一公式表明重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均。
2. 向量法：设三角形的三个顶点分别为(mathbf{A})、(mathbf{B})和(mathbf{C})，则重心(mathbf{G})的向量表示为：这一公式表明重心的向量是三个顶点向量的算术平均。
第14章三角形重心的性质及应用
第十四章 三角形重心的性质及应用【基础知识】三角形三条中线的交点称为三角形的重心，三角形的重心有下列有趣的性质：性质1设G 为ABC △的重心，连AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，()22221124AD AB AC BC =+-，且21AG GD =∶∶． 性质2设G 为ABC △的重心，过G 作DE BC ∥交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF AC ∥交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作KH AB ∥交AC 于K ，交BC 于H ，则 （1）23DE FP KH BC CA AB ===；（2）2DE FD KHBC CA AB++=．性质3设G 为ABC △的重心，P 为ABC △内任一点，则 （1）22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++；（2）()2222213z GA GB GC AB BC CA ++++=．证明（1）设D 为BC 边上的中点，则对APG △和DPG △分别应用余弦定理，有 2222AP AG PG AG PG cos AGP =+⋅⋅∠-，2222cos PD DG PG DG PG DGP =+-⋅⋅∠， 而2AG DG =，cos cos AGP DGP ∠=-∠，于是，有22222223AP PD AG DG PG +=++．又PD ，DG 分别是BPC △的BC 边，BGC △的BC 边上的中线，有2222122PD PB PC BC +-=，2222122DG BG CG BC =+-，从而22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++．（2）由性质1，有()2222911424AG AB AC BC =+-，()2222911424BC AB BC AC =+-， ()2222911424CG BC AC AB =+-，此三式相加，整理即得 ()22222213AG BG CG AB BC CA ++=++． 注由此性质即得到三角形中的莱布尼兹公式： ()2222222133AP BP CP PG AB BC CA ++=+++． 性质4设G 为ABC △内一点，G 为ABC △的重心的充要条件是下列条件之一： （1）13GBC GCA GAB ABC S S S S ===△△△△；（2）当点G 在三边BC ，CA ，AB 上的射影分别为D ，E ，F 时，GD GE GF ⋅⋅值最大； （3）当AG ，BG ，CG 的延长线交三边于D ，E ，F 时，AFG BDG CEG S G S ==△△△； （4）过G 的直线交AB 于P ，交AC 于Q 时，3AB ACAP AQ+=； （5）222222333BC GA CA GB AB GC ++=+=．证明（1）必要性：延长AG 交BC 于D ，则D 为BC 中点，有BDA CDA S S =△△，BDG CDG S S =△△，故AGB AGC S S =△△．同理，AGB BGC S S =△△，故13GAB GBC GCA ABC S S S S ===△△△△．充分性：如图14-1，令G 为ABC △内一点，连AG 并延长交BC 于D ，连BG 并延长交AC 于E ．记GAB GBC GCA S S S S ===△△△，BC a =，CA b =，AB c =，1BDG S S =△，2CDG S S =△，BD x =，DG y =．图14-1yxEDABC由11sin 2S xy BDG =⋅∠， ()()()()2111sin sin 180sin 222S a x y CDG a x y BDG a x y BDG =-⋅∠=-⋅⋅︒-∠=-⋅⋅∠，故211S a S x =-． 即2211111S S S a S x S S S +=+==，亦即1S S a=，()2SS a x a =-． 又()11sin 2ABD SS cx B S S a x a =⋅∠=+=+△．()()21sin 22ACD SS b a x C S S a x a=-⋅∠=+=-△．再由正弦定理，得sin 1sin c B b C ⋅∠=⋅∠，于是，由上述两式，有2x a x a x a x +=--，于是2ax =，即 AD 为ABC △的边BC 上的中线．同理，可证BE 为ABC △边AC 上的中线． 故G 为ABC △的重心．注由此性质即可推知三角形的重心到各边的垂线段长与边长成反比． （2）充分性与必要性合起来证．设三角形三内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．记GD x =，GE y =，GF z =，由 12GBC S ax =△，12GAC S by =△，12GAB S cz =△，知2ABC ax by cz S ++=△为定值．由三个正数的平均值不等式，有338327ABC ax by cz ax by cz S ++⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭△≤，即3827ABCS xyz abc △≤．此式当且仅当ax by cz ==时，即G B C G A C G A BS S S ==△△△时等号取得，即G 为ABC △的重心时，结论成立．（3）仅证充公性：如图14-2，设1APF BPD CPE S S S ===△△△，APE S x =△，BPF S y =△，CPD S z =△．图14-2111yx z F EDABCP由111AP y x PD z ++==，111BP z y PE x++==，111CP x z PF y ++==，有 1yz z x +=+，①1zx x y +=+，②1xy y z +=+．③由①-②得()z y x z x x y -+-=-，即 ()()1z x x y z -=-+．④同理()()1x y y z x -=-+，⑤()()1y z z x y -=-+．⑥若x y =代入④得z x =．即有x y z ==，再代入①得1x =，故1x y z ===． 若x y ≠，则y x ≠，z x ≠，由④×⑤×⑥得()()()111z 1x y +++=，⑦而x ，y ，z 为正数，则11x +>，11y +>，11z +>，等式⑦无正数解， 故只有正数解1x y z ===，即证．（4）必要性：如图14-3，设M 为ABC △的边BC 上任一点，直线PQ 分别交AB ，AM ，AC 于P ，N ，Q ，连PM ，QM ．图14-3AB CPQMN则APQ MPQ APM AQMAPQABCS S S S AM AN NM AP AQ AN AN S S AB AC+++===⋅⋅⋅△△△△△△ ABM ACMABC AP AQ S S AB CM AC BM AB AC AP AQ AP BC AQ BC S AB AC⋅+⋅==⋅+⋅⋅⋅△△△． 当N 为ABC △的重心时，M 为BC 中点，有BM MC =，且32AM AN =∶∶，由此即证得结论3AB ACAP AQ+=． 充分性：设ABC △的一边AB 上有1P ，2P 两点，在另一边AC 上有1Q ，2Q 两点．若11223AB AC AB ACAP AQ AP AQ +=+=，则可证得11PQ 与22P Q 的交点G 是ABC △的重心． 事实上，如图14-4，连AG 并延长交BC 于M ，过B ，C 分别作AM 的平行线交直线11PQ ，22P Q 分别于1X ，1Y ，2X ，2Y ，于是，图14-4MY 1Y 2X 1X 2P 1P 2Q 1Q 2ABC G由111111311BP CQ AB AC AP AQ AP AQ ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 有1111111BP CQ BX CY AP AQ AG AG =+=+，即11BX CY AG +=． 同理，22BX CY AG +=．从而1122BX CY BX CY +=+，即1221BX BX CY CY -=-． 亦即1212X X YY =．而1212X X YY ∥，从而易判断1212GX X GYY △≌△．所以11GX GY =．推知BM MC =，即AM 为ABC △的BC 边上的中线，亦即GM 为梯形11BCY X 的中位线．此时112BX CY GM +=．由11BX CY AG +=，故2A G G M =．由此即知G 点为ABC △之重心．即满足3AB ACAP AQ+=的直线PQ 过其重心．（5）必要性：设AD 为BC 边上的中线，G 为ABC △的重心时，由中线长公式（即性质1），有()()222222AD AB CA BC =+-，从而()()222222222212332333BC GA BC AD BC AD AB BC CA ⎛⎫+=+=+=++ ⎪⎝⎭．同理，()22222222333CA GB AB BC CA AB GC +=++=+． 充分性：注意到结论，给定ABC △后，若点G 满足()222213GA GB CA BC -=-为常数，则点G 的轨迹是垂直于直线AB 的一条直线，并且这条直线过ABC △的重心．事实上，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立坐标系，设(),G x y ，则222AG x y =+，()222BG x c y =-+，其中AB c =．因此，由()22222123GA GB cx c CA BC -=-=-，得G 的坐标为2223,6CA BC AB y AB ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即证得前一断言，后一断言可由性质4（4）推证：由AB 上的点P 2223,06CA BC AB AB ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭知AP 的长度，可求得AC 上的线段AQ 的长度为()()2222223cos 3AC CA BC AB APBAC AB AC BC -+=∠+-，故3AB AC AP AQ +=，即证． 性质5设P 是锐角ABC △内一点，射线AP 、BP 、CP 分别交边BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则P 为ABC △重心的充分必要条件是DEF ABC △∽△．证明充分性：如图14-5，设PEF α∠=，CPE β∠=，CPD γ∠=，EBC α'∠=，并分别用A 、B 、C 表示BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠．图14-5α'γβαFEDAB C在DEF △中，对点P 应用角元形式的塞瓦定理，有sin sin sin 1sin sin sin PEF PDE PFDPED PDF PFE ∠∠∠⋅⋅=∠∠∠，即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβαπ---+-+⋅⋅=--π+++--．在ABC △中，对点P 应用角元形式的塞瓦定理，有sin sin sin 1sin sin sin PBC BAP ACPPBA CAP PCB ∠∠∠⋅⋅=∠∠∠，即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβα''π---+-+'⋅⋅='''--π+++--． 设()()()()()()sin sin sin sin sin sin B x C x xf x x A B x x βγβββγβπ---+-+=⋅⋅--π+++--．由x ，B x -，B x βγπ---+，A B x βγ-π+++-，C x β-+，0,2x βπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，易知()f x 递增，于是由()()f f αα'=可得αα'=，所以EF BC ∥．同理可得DF AC ∥，DE AB ∥．从而有AF AE FB EC =，AF DC FB BD =，DC ECBD AE=． 所以AF FB =，BD DC =，EC AE =．故P 为ABC △的重心． 必要性：显然（略）．故命题获证，性质6三角形重心G 到任一条直线l 的距离，等于三个顶点到同一条直线的距离的代数和的三分之一． 事实上，若设三顶点A ，B ，C ，重心G ，BC 边的中点M 到直线l 的距离分别为A d ，B d ，C d ，G d ，M d ，则()23G A M G d d d d =+-，()12M B C d d d =+．两式相加，即有 ()13G A B C d d d d =++． 注由此性质可推知：设作一直线使三角形三个顶点到它的距离的代数和为零，则它通过重心．所以这种和为定值的直线与一个以G 为圆心的圆相切． 性质7设G 为ABC △的重心，若222AG BG CG +=，则两中线AD 和BE 垂直；反之，若两中线AD ，BE 垂直，则222AG BG CG +=． 【典型例题与基本方法】例1如图14-6，在ABC △中，G 为重心，P 为形内一点，直线PG 交直线BC ，CA ，AB 于A '，B '，C '．求证：3A P B P C PA GB GC G'''++='''．图14-6G 'P'C 'B'A'ABCGP证明连BG ，GC ，PB ，PC ，分别过G ，P 作GG BC '⊥于G '，作PP BC '⊥于P '，则PP GG ''∥，PP A PGG A G''=''． 又PBC GBC S PP S GG '='△△，有PBC GBC S A P S A G '='△△． 同理PCA GCA S B P S B G '='△△，PAB GAB S C PS C G'='△△． 因G 为重心，有13GAB GBC GBC GCA ABC S S S S S ====△△△△△．故3333PBC PCA PABABC ABC ABCS S S A P B P C P A G B G C G S S S '''++=++='''△△△△△△． 例2如图147-，设ABC △的重心为G ，AG ，BG ，CG 分别交对边于D ，E ，F ，交ABC △的外接圆于A '，B '，C '．求证：1A D B E C FDA EB FC'''++≥．图14-7C 'B 'A 'GF ED AB C证明设BC a =，CA b =，AB c =，这三边上的中线分别记为a m ，b m ，c m ，应用相交弦定理，有22224a A D A D DA BD DC a DA DA DA m ''⋅⋅===． 同理224b B E b EB m '=，224c C F C FC m '=． 则所证不等式等价于2222224a b ca b c m m m ++≥．应用三角形中线公式222222a m b c a =+-等三式，可求出2a ，2b ，2c ，即()22224229b c a a m m m =+-等三式．将其代入上式左边，即证得结论成立．3． 例3如图14-8，过ABC △的重心G 任作一条直线把这个三角形分成两部分，试证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的19．（1979年安徽省竞赛题）图14-8A证明把三角形的每条边三等分，过每一分点作平行于其他两边的直线，这些直线把ABC △分成9个面积相等的小三角形．内部那个交点正好是这个三角形的重心G ．过G 的任一直线把三角形分成两部分，观察这两部分面积之差，显然不超过BEF △的面积，即ABC △面积的19．例4如图14-9，已知P 为ABCD 内一点，O 为AC 与BD 的交点，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，Q 为AN 与DM 的交点，求证：（1）P ，Q ，O 三点在一直线上；（2）2PQ OQ =．图14-9Q P MN DOABC证明连PO ，设PO 与AN ，DM 分别交于点Q '，Q ''．在PAC △中，AO OC =，PN NC =，则Q '为其重心，且2PQ OQ ''=． 在PDB △中，DO BO =，BM M P =，则Q ''为其重心，且2PQ OQ ''''=．这样，Q Q '''≡，并且Q '，Q ''就是AN ，DM 的交点Q ．故P ，Q ，O 在一条直线上，且2PQ OQ =． 例5如图14-10，已知CA AB BD ==，AB 为O 的直径，CT 切O 于P ．求证：APC DPT ∠=∠． 证明连PO 并延长交O 于E ，则PE PC ⊥．连EC ，ED ，并延长PA 交CE 于F ．图14-10DC在Rt CPE △中，CO 为PE 边上的中线，且2CA AO =，即知A 为CPE △的重心，则PF 为CE 边上的中线，从而CF PF =，FCP FPC ∠=∠．又PE 与CD 互相平分，则CPDE 为平行四边形，即有FCP DPT ∠∠=．故CPA FCP DPT ∠=∠=∠． 例6试证：以锐角三角形各边为直径作圆，从相对顶点作切线，得到的六个切点共圆．证明如图14-11，设ABC △的三边分别为a ，b ，c ，O 是以BC a =为直径的圆，AT 切O 于T 点． 连AO ，在AO 上取点G 使2AG GO =，则G 为ABC △的重心．连OT ，GT ，图14-11ABC由AO =，2222cos TG OT OG OT OG TOA =+-⋅⋅∠及cos OT TOA OA ∠=，12OT a =，13OG OA =，有()2222118TG a b c =++为定值．同理，其他五个切点如T 等到重心G 的距离的平方均为()222118a b c ++，由此即证． 例7如图14-12，AD ，BE ，CF 是ABC △的三条中线，P 是任意一点．证明：在PAD △，PBE △，PCF △中，其中一个面积等于另外两个面积的和．（第26届莫斯科奥林匹克题）图14-12G F'E'DFEDABCD 'C 'A '证明设G 为ABC △的重心，直线PG 与AB ，BC 相交，从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A '，C '，D '，E '，F '，易证2AA DD ''=，2CC FF ''=，2EE AA CC '''+=，从而EE DD FF '''=+，故PGE PGD PGF S S S =+△△△．【解题思维策略分析】1．注意中线长公式、莱布尼兹公式的应用例8已知ABC △的三边BC a =，CA b =，AB c =，DEF △是ABC △的任意内接三角形，试以a ，b ，c 表示DEF △的三边平方和的最小值．解首先，证明如下结论：若G 为ABC △内的任意一点，G 到三边BC ，CA ，AB 的距离分别为x ，y ，z ，则当x y z a b c =∶∶∶∶时，222x y z ++的最小值为22224ABCS a b c ++△． 事实上，由柯西不等式()()()222222224ABC a b c xy z ax by cz S ++++++=△≥，当且仅当xy z a b c =∶∶∶∶时取等号，由此即证．如图14-13，设G 为DEF △的重心，则由中线长公式或重心性质3（2），图14-13D 0F 0E 0F EDGABC有()2222129GD DE DF EF ⎡⎤=+-⎣⎦， ()2222129GE DF EF DF ⎡⎤=+-⎣⎦， ()2222129GF EF DF DE ⎡⎤=+-⎣⎦． 三式相加，得()2222223DE EF FD GD GE GF ++=++．从G 点向ABC △的三边BC ，AC ，AB 引垂线，垂足分别为0D ，0E ，0F ， 则()()()2222222222222022212333ABCS DE EF FD GD GE GF DD EE FF GD GE GF a b c ++=+++++++++△≥≥． 下证等号能够取到，设G 为ABC △内一点，G 到BC ，CA ，AB 的距离依次为x ，y ，z ，且满足x y z a b c =∶∶∶∶．过G 分别向三边作垂线，垂足为0D ，0E ，0F ，由0D ，C ，0E ，G 共圆，知00180D GE C ∠+∠=︒，于是00001sin 21sin 2GD E ABCxy D GE S xy S ab ab C ⋅∠==⋅∠△△． 同理，00GE F ABC S yz S bc =△△，00GF D ABC S zx S ca=△△． 因x y z a b c =∶∶∶∶，则x y y z z xa b b c c a==，故000000G D E G E F G F D S S S==△△△，由重心性质4（1），知G 为000D E F △的重心．由此可见，对ABC △的内接000D E F △而言，222200000022212ABCS D E E F F D a b c ++=++△． 因此，所求最小值为222212ABCS a b c ++△． 例9如图14-14，设G 为ABC △的重心，AG ，BG ，CG 的延长线分别交ABC △的外接圆于A '，B '，C '．图14-14'求证：（1）3AG BG CGGA GB GC ++='''； （2）3GA GB GC GA BG CG'''++≥； （3）GA GA '或GB GB '或1GCGC '≤． 证明（1）证法1：设AA '交BC 于D ，则D 为BC 的中点． 由13ABC ABGGBA GBA S S AG GA S S ''=='△△△△，13ABC GAB S BG GB S '='△△，13ABC GAC SCG GC S '='△△，及AGB BGA ''△∽△， AGC CGA ''△∽△，有22GAB GBA S AG S BG ''=△△，22GAC GAC GBA GCA S S AG S S CG ''''==△△△△，从而22222211133ABCABC BGA BGA S S AG BG CG BG CG AG BG CG GA GB GC S AG AG S AG ''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△． 由BDA ADC'△∽△，得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△，所以222222113BGA ABC BGA BGA S S BG CG AG BG CG S AG AG S AG '''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△． 由BDA ADC '△∽△得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△， 所以2222111361818BGA BGD BDA ABC ABC ABC S S S BC AG BC S S S AG AG ''⎛⎫+⎛⎫=+=+⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△△△△． 中线长公式或重心性质3（2），有()2222223AG BG CG AB BC CA ++=++ ．从而()()222222222323AG BC AB BC CA AG BG CG +⋅++=++=．故22222211833AG BG CG AG AG BG CG GA GB GC AG BC AG ⋅++++=⋅⋅'''+ ()()222222221832AG AG BG CG AG BG CG AG⋅⋅++=⋅++⋅3=．证法2：令O 为ABC △的外心，由莱布尼兹公式，则()2222219OG R a b c =-++（其中R ，a ，b ，c 分别 ABC △的外接圆半径及三边之长）． 注意到()2222219GA GA GB GB GC GC R OG a b c '''⋅=⋅=⋅=-=++， 于是222AG BG CG AG BG CG GA GB GC GA GA BG GB CG GC++=++''''''⋅⋅⋅ ()()2222222222213319a b c AG BG CGR OG a b c ++++===-++． （2）2113333GA GB GC GA GB GC AG BG CG GA GB GC GA GB GC GA GB GC ''''''⎛⎫⎛⎫++=++⋅++⋅= ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭≥ （3）由（2），知A G AG '或B G BG '或1C G CG '≥，由此即AG GA '或BG GB '或1CGGC '≤，或由（1）也可推得结论成立．2．证明线共点的一条途径例10如图14-15，设O 是ABC △的内切圆，BC ，CA ，AB 上的切点各是D ，E ，F ．射线DO 交EF 于A '，同样可得B '，C '．试证：直线AA '，BB '，CC '共点．图14-15证明连A B '，A C '．易知B ，D ，O ，F 及C ，D ，O ，E 分别共圆，得A OF B '∠=∠，A OE C '∠=∠． 在A OF '△及A OE '△中应用正弦定理，有'sin sin sin sin A F OA OA A EA OF OFA OEA A OE '''===''''∠∠∠∠， 有sin sin sin sin A F A OF B AC A E A OE C AB ''∠∠===''∠∠．从而AB A F AC A E ''⋅=⋅． 又AFE AEF ∠=∠，故有11sin sin 22ABA ACA S AFE A F AEF AC A E S ''''=∠⋅=∠⋅⋅=△△．由此式可知直线AA '必平分BC 边，即AA '必过ABC △的重心，同样可证BB '，CC '，也都过ABC △的重心．故由重心的唯一性，知AA '，BB '，CC '三直线共点于ABC △的重心． 【模拟实战】习题A1．如图14-16，点O 在锐角ABC △内，过O 作EF BC ∥，PQ CA ∥，HG AB ∥，若E F P Q H GB C C A A B ==，试问O 为ABC △的什么心？图14-16OABCEFGHPQ2．如图14-17，M 、N 、P 分别为正ABC △、DCE △、mBEF 的重心．求证：MNP △为正三角形．图14-17FEA BC M NP3．已知ABC △的重心G 和内心I 的连线GI BC ∥．求证：2AB AC BC +=．4．设O 为ABC △的外心，AB AC =，D 是AB 的中点，G 是ACD △的重心．求证：OG CD ⊥． 5．设M 为ABC △的重心，且3AM =，4BM =，5CM =，求ABC △的面积．（1991年上海市初中竞赛题）6．设D 是ABC △的边BC 上的一点，点E ，F 分别是ABD △和ACD △的重心，连接EF 交AD 于点G ，则DGGA的值是多少？ （1991～1992年度广州等五市竞赛题） 7．给定任意ABC △，作这样的直线与三角形相交，使得由A 点到直线的距离等于由B ，C 点到直线的距离的和．证明：所有这样的直线相交于一点．习题B1．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似，其逆亦真．2．在ABC △中，G 为重心，I 为内心，试证：AGI △，BGI △，CGI △中，最大的一个的面积等于其余两介面积的和．3．在锐角ABC △中，O ，G 分别为其外心和重心．若OG AC ∥，求证：tan A ，tan B ，tan C 成等差数列，4．试证：任意三角形的重心到三边距离之和不小于其内心到三边距离之和．。
三角形重心知识点总结
三角形重心知识点总结三角形是初中数学中重点学习的内容之一，其中三角形的重心也是一个非常重要的概念。
在这篇文章中，我们将对三角形重心的相关知识进行总结。
一、什么是三角形重心三角形是由三条边和三个角组成的图形，它是几何学中最基本的概念之一。
而三角形的重心则是三角形内部的一个点，它被三条中线所交叉的点。
三角形的中线分别是连接每个角的对边中点的线段，它们交于三角形的一个点，这个点就是三角形的重心。
重心通常用字母G 表示。
二、三角形重心的特点1. 重心是三条中线交点三角形的重心是三条中线的交点，即三个中点所构成的点。
2. 重心到顶点的距离比相等三角形三个顶点到重心所连的线段长度相等。
也就是说，重心到每个顶点的距离是相等的。
3. 重心所在直线是中位线连接重心和中点的线段就是三角形的中位线。
4. 重心将中线按比例分割以重心为顶点的三角形，与原三角形的各个边成比例。
三、三角形重心的性质1. 重心位于三角形重心所在直线上三角形三条中线的交点即为三角形的重心。
这个交点所在的直线被称为三角形重心所在直线。
2. 重心到三角形各顶点距离之和最小重心到三角形各顶点的距离之和最小，且一定小于任何一个三角形内部的点到三角形各顶点距离之和。
3. 重心分离定理在三角形内，以重心为圆心、以重心到任一顶点长度为半径所画的圆，与三角形外接圆相内切。
4. 重心定理重心所在直线把三角形面积分为 $2:1$。
5. 等腰三角形的重心落在中线交点处在等腰三角形中，重心与垂足重合，也就是重心位于中线交点处。
四、三角形重心相关例题1. 如图，在三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，连接AF交DE于K，连接BE交CD于L，连接AC交DE 于M，求KLM三角形的重心。
解：首先我们需要确定三角形ABC的重心G，它是三条中线的交点。
然后根据重心的性质，我们可以得知重心到三角形各顶点的距离一定相等。
因此，在三角形ABC中，AG=BG=CG。
我们知道，三角形的中线将对边分成两段相等的部分，因此AE=EC，BE=BD，CF=FA。
三角形重心性质
三角形重心性质三角形是几何学中最简单和最基本的图形之一。
它由三条边和三个顶点组成。
其中一个重要的概念是三角形的重心。
重心是三角形内部所有点的平均值，并且与三角形的顶点均等距离的点。
三角形的重心性质是指与重心相关联的属性和特征。
下面将详细介绍三角形重心的性质。
1. 重心是三角形内部所有点的平均值。
重心是三角形内部点的集合中心，也可以看作是质心。
对于一个三角形ABC来说，重心G可以通过以下公式计算得到:G = (A + B + C) / 3其中A、B、C分别表示三角形ABC的顶点。
2. 重心将三角形分成三个面积相等的三角形。
三角形重心将三角形分成三个互相重叠的小三角形，这三个小三角形的面积相等。
3. 重心到三角形顶点的距离与边长成正比。
三角形的重心到每个顶点的距离与三角形的边长成正比。
具体而言，三角形重心到每个顶点的距离等于边长的1/3倍。
4. 重心到三角形任意一点的距离最小。
对于三角形内的任意一点，重心到该点的距离是最小的。
这就意味着，从三角形重心到其他任意内部点的路径是最短的。
5. 重心是三角形内接圆和外接圆的共同圆心。
三角形重心是三角形内接圆和外接圆的共同圆心。
6. 三角形重心是稳定的。
如果一个三角形发生形变，它的重心仍然存在且位置不变。
这意味着无论三角形的形状如何变化，重心的位置都保持不变。
7. 重心将三角形划分为底边为1:2的两个三角形。
三角形的重心将三角形划分为底边为1:2的两个小三角形。
这两个小三角形的面积之比为1:2。
8. 重心是三条中线的交点。
三角形的中线是连接顶点和中点的线段。
三角形的三条中线交于一点，这个交点即为三角形的重心。
三角形重心的性质在许多几何问题和应用中起着重要的作用。
无论是在工程、建筑、地理学还是其他领域，都会涉及到三角形重心的概念和应用。
因此，深入理解和掌握三角形重心的性质对于解决实际问题非常重要。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形重心性质及应用
三角形的重心是三条中线的交点，也是三个顶点与对应中线交点的连线所形成的三角形中的重心。
三角形重心有很多特点和应用。
首先，三角形的重心坐标性质。
假设三角形的三个顶点的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，那么重心的坐标可以表示为G(x, y)，其中x=(x1+x2+x3)/3，y=(y1+y2+y3)/3。
这个性质可以很容易地通过几何推导得到，也可以通过向量运算证明。
这个性质可以用来计算三角形的重心坐标。
其次，三角形的重心与重心连线。
三角形的重心与三个顶点分别连线，可以得到三条中线。
中线是三角形的一个特殊的线段，它连接了一个顶点与对应的底边的中点。
三角形的重心恰好是三条中线的交点，因此可以通过重心连线来确定重心的位置。
再次，三角形的重心与面积。
三角形的重心将三角形划分为六个小三角形，其中每个小三角形的面积都相等。
这个性质可以用于求三角形的重心坐标。
设三角形的重心坐标为G(x, y)，且已知三个顶点的坐标为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，则可以通过面积的性质得到x=(Ax1+Ax2+Ax3)/3、y=(Ay1+Ay2+Ay3)/3。
此外，三角形重心的应用还有很多。
其中之一是三角形质心定理。
根据三角形的重心定义，可以推导出质心与顶点的距离满足d(G, A):d(G, B):d(G, C)=2:2:1。
这个性质可以用于解决一些几何问题，例如求质心到某一点的距离比例等。
此外，三角形重心还可以用于求解三角形的面积。
根据面积的定义，可以得到三角形的面积等于底乘以高的一半。
对于任意一个三角形ABC，以重心G为底可以得到一个位于底边上的高。
因此，可以通过底边的长度与高的长度来计算三角形的面积。
最后，三角形的重心还可以用于设计平衡结构。
在工程中，有时候需要设计一个三角形结构，使得结构保持平衡。
此时，可以选择使得结构的重心和支点重合，从而达到平衡的效果。
这个原理也被应用于一些机器人设计和平衡车等项目中。
综上所述，三角形的重心具有很多特点和应用。
其重要性质包括重心坐标性质、重心连线性质和重心与面积的关系。
三角形的重心还可以应用于解决一些几何问题，计算三角形的面积以及设计平衡结构等。