[高考数学] 2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲

卷）

理科数学

一、选择题

1.设集合{0|04}M x =<<，1

{|

5}3

N x x =≤≤，则M N ⋂=（ ） A.1

{|0}3x x <≤

B.1

{|4}3

x x ≤<

C.{|45}x x ≤<

D.{|05}x x <≤ 答案： B 解析：

由图知，1

{|

4}3

M N x x ⋂=≤<.

2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（ ） A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 答案： C 解析：

A.低于4.5万元的比率估计为0.0210.0410.066%⨯+⨯==，正确.

B.不低于10.5万元的比率估计为(0.040.023)10.110%+⨯⨯==，正确.

C.平均值为(30.0240.0450.160.1470.280.290.1100.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+

110.04120.02130.02140.02)17.68⨯+⨯+⨯+⨯⨯=万元，不正确.

D.4.5万到8.5万的比率为0.110.1410.210.210.64⨯+⨯+⨯+⨯=，正确. 3.已知2

(1)32i z i -=+，则z =（ ）

A.312i --

B.312

i -+

C.32

i -

+

D.32

i -

- 答案： B 解析：

23232233

1(1)222

i i i z i i i ++-+=

===-+--.

4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足5lg L V =+.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，

则其视力的小数记录法的数据约为（ 1.259≈）（ ） A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 答案： C 解析：

代入5lg L V =+，知lg 4.950.1V =-=-

，故0.1

10

0.8V -==≈. 5.已知1F ，2F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=︒，12||3||PF PF =，则C 的离心率为（ ）

A.2

B.

2

答案： A 解析：

记11||r PF =，22||r PF =，由123r r =及122r r a -=，得13r a =，2r a =，又由余弦定理知

2221212122cos 4r r r r F PF c +-⋅∠=，得2274a c =

，从而c e a =

=. 6.在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ，该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

由题可得直观图，如下图. 故选D.

7.等比数列{}

n

a的公比为q，前n项和为

n

S，设甲：0

q>，乙：{}

n

S是递增数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案：

B

解析：

若1

q=，则

1

n

S na

=.①

1

a>，则{}

n

S单调递增；②

1

a<，则{}

n

S 单调递减，∴甲乙，又若{}

n

S单调递

增，则

1

n n

S S

+

>恒成立，∴

11

00

n

n

a a q

+

>⇒>恒成立，∴

1

a>，0

q>，∴甲⇐乙.综上：甲⇐乙，选B.

8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位:m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足45

AC B

∠'''=︒，60

A B C

∠'''=︒.由C点测得B点的仰角为15︒，BB'与CC'的差为100:由B点测得A点的仰角为45︒,则A，C两点到水平面A B C

'''的高度差AA CC

'-'约为（）

1.732

≈）

A.346

B.373

C.446

D.473 答案： B

解析：

过C 作'BB 的垂线交'BB 于点M ，过B 作'AA 的垂线交'AA 于点N ，

由题意得100BM =，15BCM ∠=︒，45ABN ∠=︒，即100

''tan15CM B C =

=︒

. 所以

100sin 45tan152sin 75sin 75B C BN B A ''︒︒=''==

︒

︒

sin15=︒， 所以

273sin15AN BN ==

==︒.得A ，

C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC '-'约为273100373+=，故选B 。

9.若(0,

)2

a π

∈，cos tan 22sin α

αα

=

-，则tan α=（ ）

D.

3

答案： A

解析：

cos tan 22sin α

αα

=

-.

2222tan 2sin cos cos tan 21tan cos sin 2sin αααα

ααααα

=

==---

∴2

2

2sin (2sin )cos sin αααα-=-