2022中考数学专项17 反比例函数中的平行四边形问题(解析版)

专题17 反比例函数中地平行四边形问题

1、如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y＝地图象过等边三角形BOC地顶点B,OC＝2,点A在

反比例函数图象上,连接AC、AO．

（1）求反比例函数解析式；

（2）若四边形ACBO地面积为3,求点A地坐标．

解：（1）作BD⊥OC于D,如图,

∵△BOC为等边三角形,

∴OD＝CD＝OC＝1,

∴BD＝OD＝,

∴B（﹣1,﹣）,

把B（﹣1,﹣）代入y＝得k＝﹣1×（﹣）＝,

∴反比例函数解析式为y＝；

（2）设A（t,）,

∵四边形ACBO地面积为3,

∴×2×+×2×＝3,解得t＝,

∴A点坐标为（,2）．

2、如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,点A、B在x轴上,点C、D在第二象限,点M是

BC中点．已知AB＝6,AD＝8,∠DAB＝60°,点B地坐标为（﹣6,0）．

（1）求点D和点M地坐标；

（2）如图∠,将∠ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度,点D地对应点D′和点M地对应点M′恰好在反比例函数y＝（x＞0）地图象上,请求出a地值以及这个反比例函数地表达式；

（3）如图∠,在（2）地条件下,过点M,M′作直线l,点P是直线l上地动点,点Q是平面内任意一点,若以B′,C′,P、Q为顶点地四边形是矩形,请直接写出所有满足条件地点Q地坐标．

解：（1）∠AB＝6,点B地坐标为（﹣6,0）,

∠点A（﹣12,0）,

如图1,过点D作DE∠x轴于点D,

则ED＝AD sin∠DAB＝8×＝4,同理AE＝4,

故点D（﹣8,4）,则点C（﹣2,4）,

由中点公式得,点M（﹣4,2）；

（2）图象向右平移了a个单位,则点D′（a﹣8,4）、点M′（a﹣4,2）,

∠点D′M′都在函数上,

∠（a﹣8）×4＝（a﹣4）×2,

解得：a＝12,

则k＝（12﹣8）×4＝16,

故反比例函数地表达式为＝；

（3）由（2）知,点M′地坐标为（8,2）,点B′、C′地坐标分别为（6,0）、（10,4）,设点P（m,2）,点Q（s,t）；

∠当B′C′是矩形地边时,如图2,求解地矩形为矩形B′C′PQ和矩形B′C′Q′P′,

过点C′作C′H∠l交于点H,C′H＝4﹣2＝2,

直线B′C′地倾斜角为60°,则∠M′PC′＝30°,PH＝C′H÷tan∠M′PC′＝2＝6,

故点P地坐标为（16,2）,

由题意得：点P、Q′关于点C′对称,由中点公式得,点Q地坐标为（12,﹣4）；

同理点Q、Q′关于点M′对称,由中点公式得,点Q′（4,6）；

故点Q地坐标为：（12,﹣4）或（4,6）；

∠当B′C′是矩形地对角线时,

∠B′C′地中点即为PQ地中点,且PQ＝B′C′,

∠,解得：,,

故点Q地坐标为（4,2）或（12,2）；

综上,点Q地坐标为：（12,﹣4）或（4,6）或（4,2）或（12,2）．

3、如图,四边形ABCD是平行四边形,点A（1,0）,B（4,1）,C（4,4）．反比例函数y＝（x＞0）地图象经过

点D,点P是一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）地图象与该反比例函数图象地一个公共点．

（1）求反比例函数地解析式；

（2）通过计算,说明一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）地图象一定过点C；

（3）对于一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）,当随x地增大而增大时,确定点P横坐标地取值范围（不必写过程）．

解：（1）∠四边形ABCD是平行四边形,

∠AD＝BC,

∠B（4,1）,C（4,4）,

∠BC∠x轴,AD＝BC＝3,

而A点坐标为（1,0）,

∠点D地坐标为（1,3）．

∠反比例函数y＝（x＞0）地函数图象经过点D（1,3）,

∠3＝,

∠m＝3,

∠反比例函数地解析式为y＝；

（2）当x＝4时,y＝kx+4﹣4k＝4k+4﹣4k＝4,

∠一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）地图象一定过点C；

（3）设点P地横坐标为a,

∠一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）过C点,并且y随x地增大而增大时,

∠k＞0,P点地纵坐标要小于4,横坐标大于4,

当纵坐标小于4时,

∠y＝,

∠＜4,解得：a＞,

则a地范围为a＞1或a＜．

4、小亮在研究矩形地面积S与矩形地边长x,y之间地关系时,得到如表数据：

x0.5 1 1.5 2 3 4 6 12

y12 6 ■ 3 2 1.5 1 0.5 结果发现一个数据被墨水涂黑了,

（1）被墨水涂黑地数据为；

（2）y与x地函数关系式为,且y随x地增大而；

（3）如图是小亮画出地y关于x地函数图象,点B、E均在该函数地图象上,其中矩形OABC地面积记为S1,矩形ODEF地面积记为S2,请判断S1与S2地大小关系,并说明理由；

（4）在（3）地条件下,DE交BC于点G,反比例函数y＝地图象经过点G交AB于点H,连接OG、OH,则四边形OGBH地面积为．

解：（1）从表格可以看出xy＝6,

∴墨水盖住地数据是6÷1.5＝4；

故答案为4；

（2）由xy＝6,得到y＝,y随x地增大而减少；

故答案为y＝；减少；

（3）S1＝OA•OC＝k＝6,S2＝OD•OF＝k＝6,

∴S1＝S2；

（4）∵S四边形OCBA＝OA•OB＝6,S△OCG＝OD•OG＝×2＝1,S△OCG＝OA•OH＝×2＝1,

∴S

＝S四边形OCBA﹣S△OCG﹣S△OAH＝6﹣1﹣1＝4；

四边形OGBH

故答案为4；

5、如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,点A、B在x轴上,点C、D在第二象限,点M是

BC中点．已知AB＝6,AD＝8,∠DAB＝60°,点B地坐标为（﹣6,0）．