2022中考数学专项17 反比例函数中的平行四边形问题(解析版)
反比例函数中的平行四边形
自学指导:(5分钟)
中点坐标公式
例题：如图，坐标平面内有两个点A(4 4)， A(x， 1，y1) B(-6 ， -2) ，点C是AB的中点，求点C的坐标． B(x2 ， y2)
M1（3，0），N1（0，2）或M2（-3，0）， N2（0，-2）．
方法归纳： 利用中点坐标公式
变式训练:(15分钟) 1.如图,已知一次函数y=kx+b（k、b为常数） 的图象与反比例函数y=m/x（m为常数,m≠0） 的图象相交于点A（1,3）、B（n,-1）两点. （1）求上述两个函数的解析式; （2）如果M为x轴正半轴上一点,N为y轴负半轴 上一点，以点A、B、N、M为顶点的四边形是 平行四边形,直接写出点M、N的坐标.
(2 2, 2 2)
(2 2, 2 2)
Байду номын сангаас
（ 4， 4） （-2，2）
（3）利用（2）的结果,若点 B的坐标为（2，0）,且以点 A、O、B、P为顶点的四边 形是平行四边形,直接写出点 P的坐标.
方法:利用中点坐标公式
变式训练:(4分钟) 1.(2012•衢州）如图,已知函数y=x和函数的 y=k/x图象交于A、B两点,过点A作AE⊥x轴于 点E,若△AOE的面积为2,P是坐标平面上的点, 且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边 形,则满足条件的P点坐标是 .
2.(2013•江宁)如图:在平面直角坐标系中,A、B 两点的坐标分别为（1，5）、（3，3）,一次函 数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点M、N, 如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四 边形,则点M、N的坐标为 . 2)求一次函数y=kx+b 的关系式.
中考数学平行四边形(讲义及答案)含答案
中考数学平行四边形(讲义及答案)含答案一、解答题1．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由； （2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形．2．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ．（1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时，①BCF ∠= ；②,,BC CD CF 之间数量关系为 ．（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，13CD BC =，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．．3．如图，点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ，AF ．（1）若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数；（2）求证：四边形AFHD 为平行四边形；（3）连接EH ，交BC 于点O ，若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG ．4．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．5．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．（1）求证：GF GC =；（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．6．已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．（1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数；（3）联结AF ，求证：2DE =．7．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAD 的平分线，则线段AB ，AD ，DC 之间的等量关系为 ；（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAF 的平分线，试探究线段AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）联想拓展：如图③，AB ∥CF ，E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，∠EDF ＝∠BAE ，试探究线段AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．8．问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点． 如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形．①点A 与点______关于BC 互为顶针点；②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由．实践操作(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)思维探究②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．9．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．10．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有12CBE ABF ∠=∠．（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；（2）如图2，当32b a =时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________； ②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=；③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）四边形BECD 是菱形，理由见解析；（2）45︒【分析】（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；（2）先求出45ABC ∠=︒，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=︒，即可证出结论．【详解】解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下：∵DE BC ⊥，90DFE ∴∠=︒，∵90ACB ∠=︒，ACB DFB ∴∠=∠，//AC DE ∴，∵//MN AB ，即//CE AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形，CE AD ∴=； D 为AB 中点，AD BD ∴=，BD CE ∴=，∵//BD CE ，∴四边形BECD 是平行四边形，∵90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，12CD AB BD ∴==， ∴四边形BECD 是菱形；（2）当45A ∠=︒时，四边形BECD 是正方形；理由如下：∵90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，45ABC ∴∠=︒，∵四边形BECD 是菱形，12ABC DBE ∴∠=∠， 90DBE ∴∠=︒，∴四边形BECD 是正方形．故答案为：45︒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．2．（1）①120°；② BC ＝CD +CF ；（2）不成立，见解析；（3）8，【分析】（1）①根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出△ACF ≌△ABD ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到CF=BD ，再根据BD+CD=BC ，即可得出CF+CD=BC ；（2）依据△ABD ≌△ACF ，即可得到∠ACF+∠BAC=180°，进而得到AB ∥CF ；依据△ABD ≌△ACF 可得BD=CF ，依据CD-BD=BC ，即可得出CD-CF=BC ；（3）依据≅△△ADB AFC ，即可得到8==+=CF BD BC CD ，利用ABC ∆是等边三角形，AH BC ⊥，可得132===BH HC BC ，即可得出HD 的长度，利用勾股定理即可求出AD 的长度，即可得出结论．【详解】解：（1） 在等边△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°∴∠BAD+∠DAC=60°在菱形ADEF 中AD=AF∵∠DAF=∠DAC+∠FAC=60°∴∠CAF=∠DAB又∵AC=AB ，AF=AD∴△ACF ≌△ABD∴∠ACF=∠ABD=60°，CF=BD∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=120°故答案为：120°②∵BC=BD+CD ，BD=CF∴BD=CF+CD故答案为：BC=CD+CF（2）不成立理由：∵ABC ∆是等边三角形∴60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=，AB AC =又∵60DAF ∠=∴BAC BAF DAF BAF ∠-∠=∠-∠∴FAC DAB ∠=∠∵四边形ADEF 是菱形∴AD AF =∴≅△△ADB AFC∴DB FC =，18060120ACF ABD ∠=∠=-=∴1206060BCF ACF ACB ∠=∠-∠=-=∵BC CD BD =-∴BC CD CF =-（3）8=CF ，菱形ADEF 的面积是∵60BAC DAF ∠=∠=∴BAD CAF ∠=∠又∵AB AC =，AD AF =∴≅△△ADB AFC ∴16683CF BD BC CD ==+=+⨯=∴如图，过点A 作AH BC ⊥于点H ，连接FD∵ABC 是等边三角形，AH BC ⊥ ∴116322BH HC BC ===⨯= ∴325HD HC CD =+=+=∵22236927AH AB BH =-=-= ∴222725213AD AH DH ++=∴132221321326322AFD ADEF S S ∆==⨯⨯=菱形 【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质的综合运用，利用已知条件判定△DAB ≌△FAC 是解本题的关键．3．（1）50°；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；（2）由平行四边形的性质得出AD ＝BC ，AD ∥BC ；证明BC 是△EFG 的中位线，得出BC ∥FG ，BC ＝12FG ，证出AD ∥FH ，AD ∥FH ，由平行四边形的判定方法即可得出结论； （3）连接EH ，CH ，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．【详解】明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAE ＝∠BCD ＝70°，AD ∥BC ，∵∠DCE ＝20°，∵AB ∥CD ，∴∠CDE ＝180°﹣∠BAE ＝110°，∴∠DEC ＝180°﹣∠DCE ﹣∠CDE ＝50°；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∠BAE ＝∠BCD ，∵BF ＝BE ，CG ＝CE ，∴BC 是△EFG 的中位线，∴BC∥FG，BC＝12 FG，∵H为FG的中点，∴FH＝12 FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD∥FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（3）连接EH，CH，∵CE＝CG，FH＝HG，∴CH＝12EF，CH∥EF，∵EB＝BF＝12 EF，∴BE＝CH，∴四边形EBHC是平行四边形，∴OB＝OC，OE＝OH，∵OC＝OH，∴OE＝OB＝OC＝12 BC，∴△BCE是直角三角形，∴∠FEG＝90°，∴EF⊥EG．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．4．（1）见解析；（23；（3）2【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得BE=DE，BF=DF，可得∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，由角平分线的性质可得∠EBD=∠BDF=∠EDB=∠DBF，可证BE∥DF，DE∥BF，可得四边形DEBF是平行四边形，即可得结论；（2）由菱形的性质和外角性质可得∠DFC=30°，由直角三角形的性质可求CF的长；（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，根据菱形的性质得出∠DFH=∠ABC=30°，从而得到DH的长度，再利用底乘高得出结果．【详解】解：证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，BF=DF，∵∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，∴∠EBD=∠BDF，∠EDB=∠DBF，∴BE∥DF，DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，且BE=DE，∴四边形BEDF是菱形；（2）过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形BEDF是菱形，∴BF=DF=DE=2，∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，∴DH=12DF=1，FH=3DH=3，∵∠C=45°，DH⊥BC，∴∠C=∠CDH=45°，∴DH=CH=1，∴FC=FH+CH=3+1；（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，∵四边形BEDF是菱形，∠BDE=15°，∴∠DBF=∠BDF=∠ABD=15°，∴∠DFH=∠ABC=30°，∵DE=DF=2，∴DH=1，∴菱形BEDF的面积=BF×DH=2×1=2．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．5．（1）详见解析；（2）2BH AE =，理由详见解析【分析】1）如图1，连接DF ，根据对称得：△ADE ≌△FDE ，再由HL 证明Rt △DFG ≌Rt △DCG ，可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建AM=AE ，先证明∠EDG=45°，得DE=EH ，证明△DME ≌△EBH ，则EM=BH ，根据等腰直角△AEM 得：2EM AE =，得结论；【详解】证明：（1）如图1，连接DF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA DC =，90A C ∠=∠=︒，∵点A 关于直线DE 的对称点为F ，∴ADE ∆≌FDE ∆，∴DA DF DC ==，90DFE A ∠=∠=︒，∴90DFG ∠=︒，在Rt DFG ∆和Rt DCG ∆中，∵DF DCDG DG =⎧⎨=⎩∴Rt DFG ∆≌Rt DCG ∆（HL ），∴GF GC =；（2）2BH AE =，理由是：如图2，在线段AD 上截取AM ，使AM AE =，∵AD AB =，∴DM BE =，由（1）知：12∠=∠，34∠=∠，∵90ADC ∠=︒，∴123490∠+∠+∠+∠=︒，∴222390∠+∠=︒，∴2345∠+∠=︒，即45EDG ∠=︒，∵EH DE ⊥，∴90DEH ∠=︒，DEH ∆是等腰直角三角形，∴190AED BEH AED ∠+∠=∠+∠=︒，DE EH =，∴1BEH ∠=∠，在DME ∆和EBH ∆中，1DM BE BEH DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DME ∆≌EBH ∆∴EM BH =，Rt AEM ∆中，90A ∠=︒，AM AE =，∴EM =，∴BH ；【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．6．（1）30°；（2）不变；45°；（3）见解析【分析】（1）利用图形的旋转与正方形的性质得到△BEC 是等边三角形，从而求得α=∠DCE =30°．（2）因为△CED 是等腰三角形，再利用三角形的内角和即可求∠BEF =18045CED CEB ︒-∠-∠=︒.（3）过A 点与C 点添加平行线与垂线，作得四边形AGFH 是平行四边形，求得△ABG ≌△ADH .从而求得矩形AGFH 是正方形，根据正方形的性质证得△AHD ≌△DIC ，从而得出结论．【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中, BC =CD .由旋转知，CE =CD ,又∵BE =CE ,∴BE =CE =BC ,∴△BEC 是等边三角形，∴∠BCE =60°.又∵∠BCD =90°,∴α=∠DCE =30°.（2）∠BEF 的度数不发生变化.在△CED 中，CE =CD ,∴∠CED =∠CDE =1809022︒-αα︒-， 在△CEB 中,CE =CB ,∠BCE =90α︒-,∴∠CEB =∠CBE =1804522BCE α︒-∠=︒+, ∴∠BEF =18045CED CEB ︒-∠-∠=︒.（3）过点A 作AG ∥DF 与BF 的延长线交于点G ，过点A 作AH ∥GF 与DF 交于点H ，过点C 作CI ⊥DF 于点I易知四边形AGFH 是平行四边形，又∵BF ⊥DF ，∴平行四边形AGFH 是矩形.∵∠BAD =∠BGF =90°，∠BPF =∠APD ，∴∠ABG =∠ADH .又∵∠AGB =∠AHD =90°，AB =AD ，∴△ABG ≌△ADH .∴AG =AH ，∴矩形AGFH 是正方形.∴∠AFH =∠FAH =45°，∴AH =AF∵∠DAH +∠ADH =∠CDI +∠ADH =90°∴∠DAH =∠CDI又∵∠AHD =∠DIC =90°，AD =DC ，∴△AHD ≌△DIC∴AH =DI ，∵DE =2DI ，∴DE =2AH AF【点晴】本题考查正方形的性质和判定、图形的旋转、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（1）AD＝AB+DC；（2）AB＝AF+CF，证明详见解析；（3）AB＝DF+CF，证明详见解析．【分析】（1）结论：AD＝AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），即可推出AB＝CF，再证明DA＝DF，即可解决问题．（2）结论：AB＝AF+CF，如图②，延长AE交DF的延长线于点G，证明方法类似（1）．（3）结论；AB＝DF+CF．如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明方法类似（1）．【详解】解：（1）探究问题：结论：AD＝AB+DC．理由：如图①中，延长AE，DC交于点F，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠F，在△ABE和△FCE中，CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FEC（AAS），∴CF＝AB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠FAD＝∠F，∴AD＝DF，∵DC+CF＝DF，∴DC+AB＝AD．故答案为AD＝AB+DC．（2）方法迁移：结论：AB＝AF+CF．证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC∴△AEB≌△GEC（AAS）∴AB＝GC∵AE是∠BAF的平分线∴∠BAG＝∠FAG，∵∠BAG∠G，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∵CG＝CF+FG，∴AB＝AF+CF．（3）联想拓展：结论；AB＝DF+CF．证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥CF，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，BAE G AEB GEC BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△GEC ，∴AB ＝GC ，∵∠EDF ＝∠BAE ，∴∠FDG ＝∠G ，∴FD ＝FG ，∴AB ＝DF+CF ．【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．8．（1）①D 、E ，②A ，理由见解析；（2）①作图见解析；②BE 与AF 可能相等，AE 的长度分别为43，367，2或18． 【分析】（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义即可判断．（2）①以C 为圆心，CB 为半径画弧交AD 于F ，连接CF ，作∠BCF 的角平分线交AB 于E ，点E ，点F 即为所求．②分四种情形：如图①中，当BE AF =时；如图②中，当BE AF =时；如图③中，当BE BC AF ==时，此时点F 与D 重合；如图④中，当BE CB AF ==时，点F 与点D 重合，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义可知：①点A 与点D 和E 关于BC 互为顶针点；②点D 与点A 关于BC 互为勾股顶针点，理由：如图2中，∵△BDC 是等边三角形，∴∠D ＝60°，∵AB ＝AC ，∠ABC ＝30°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝120°，∴∠A ＋∠D ＝180°，∴点D 与点A 关于BC 互为勾股顶针点，故答案为：D 和E ，A ．（2）①如图，点E 、F 即为所求(本质就是点B 关于CE 的对称点为F ，相当于折叠)．②BE 与AF 可能相等，情况如下：情况一：如图①，由上一问易知，,BE EP BC PC ==，当BE AF =时，设AE x =，连接EF ，∵,,90BE EP AF EF EF EAF FPE ===∠=∠=︒，∴()EAF FPE HL ∆∆≌，∴AE PF x ==，在Rt CDF ∆中，()1082DF AD AF x x =-=--=+，10CF PC PF x =-=-，∴2228(2)(10)x x ++=-， 解得43x =，即43AE =； 情况二：如图②当BE AF =时，设AE x =，同法可得PF AE x ==，则8BE AF x ==-，FP FG GP EG AG AE x =+=+==，则18DF x =-，10CF x =+，在Rt CDF ∆中，则有2228(18)(10)x x +-=+，解得：367x =； 情况三：如图③，当BE BC AF ==时，此时点D 与F 重合，可得1082AE BE AB =-=-=； 情况四：如图④，当BE CB AF ==时,此时点D 与F 重合，可得18AE AB BE AB BC =+=+=． 综上所述，BE 与AF 可能相等，AE 的长度分别为43，367，2或18． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．9．（1）证明见解析；（2）①AF 2AE =②422【分析】 ()1如图①中，结论：AF 2AE =，只要证明AEF 是等腰直角三角形即可； ()2①如图②中，结论：AF 2AE =，连接EF ，DF 交BC 于K ，先证明EKF ≌EDA 再证明AEF 是等腰直角三角形即可；②分两种情形a 、如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.b 、如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.分别求解即可.【详解】 ()1如图①中，结论：AF 2AE =．理由：四边形ABFD 是平行四边形，AB DF ∴=，AB AC =，AC DF ∴=，DE EC =，AE EF ∴=，DEC AEF 90∠∠==，AEF ∴是等腰直角三角形，AF 2AE ∴=．故答案为AF 2AE =．()2①如图②中，结论：AF 2AE =．理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．四边形ABFD 是平行四边形，AB//DF ∴，DKE ABC 45∠∠∴==，EKF 180DKE 135∠∠∴=-=，EK ED =，ADE 180EDC 18045135∠∠=-=-=，EKF ADE ∠∠∴=，DKC C ∠∠=，DK DC ∴=，DF AB AC ==，KF AD ∴=，在EKF 和EDA 中，EK ED EKF ADE KF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， EKF ∴≌EDA ，EF EA ∴=，KEF AED ∠∠=，FEA BED 90∠∠∴==，AEF ∴是等腰直角三角形，AF2AE ∴=． ②如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，设AE 交CD 于H ，易知EH DH CH 2===，22AH (25)(2)32=-=，AE AH EH 42=+=，如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，易知AE AH EH 32222=-=-=，综上所述，满足条件的AE 的长为4222【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．10．（1）见解析；（2）①2ABE BFC ∠=∠；②见解析；③732 【分析】（1）证明()BAE BCF ASA ∆≅∆可得结论．（2）①结论：2ABE BFC ∠=∠．如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，利用三角形内角和定理结合已知条件即可解决问题．②将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设2AB CD k ==，则3AD BC k ==，利用全等三角形的性质解决问题即可． ③求出CF ，利用三角形的面积公式，矩形的面积公式即可解决问题．【详解】解：（1）证明：如图1中，四边形ABCD 是矩形，90ABC BCD BCF ∴∠=∠=∠=︒，60EBC =︒∠，12CBE ABF ∠=∠， 120ABF ∴∠=︒，906030ABE ︒∴-︒∠==︒，1209030CBF ∠=︒-︒=︒，ABE CBF ∴∠=∠，AB BC =，()BAE BCF ASA ∴∆≅∆，BE BF ∴=．（2）①结论：290EBC BFC ∠+∠=︒．理由：如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，90BCF ∠=︒，90FBC y ∴∠=︒-，=2ABE FBC ABF EBC x x x ∠+∠=∠-∠-=，(90)ABE x y ∴∠=-︒-，90ABE EBC ∠+∠=︒，(90)90x y x ∴-︒-+=︒，2180x y ∴+=︒，2180EBC BFC ∴∠+∠=︒，()290180ABE BFC ∴︒-∠+∠=︒，2ABE BFC ∴∠=∠．②证明：将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设2AB CD k ==，则3AD BC k ==，ABE EBH ∠=∠，12EBC ABF ∠=∠， FBC CBT ∴∠=∠，90FBC F CBT BTC ∠+∠=∠+∠=︒， F BTC ∴∠=∠，BF BT ∴=，CT CF =，DE AE EH ==，ET ET =，90D EHT ∠=∠=︒，Rt ETD Rt ETH(HL)∴∆≅∆，DT TH ∴=，在Rt BCT ∆中，则有222(2)(3)(2)k x k k x +=+-，解得98x k =， 2BF CF BT CT BH TH CT BH TD TC BH CD AB ∴+=+=++=++=+=．③由②可知，3BC k =，97288CF CR k k k ==-=， ∴2173728632BCFABCD k k S S k ∆⋅⋅==矩形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。
反比例函数与平行四边形
1 反比例函数与平行四边形专题训练三一、【反比例函数与平行四边形结合】例1：如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC=2AB ，A,B 两点的坐标分别是（-1，0），（0，2），C ，D 两点在反比例函数()0<=x x k y 的图象上，则求k 的值.变式1：如图，□ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是A （-1，0）、B （0，-2），顶点C 、D 在双曲线xk y =上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则求k.2变式2：如图，直线3+=x y 交反比例函数xk y =的图象于点A,交x 轴于点B ，且过点C （-1，2），将直线AB 向下平移，线段CA 平行到线段OD ，当点D 也在反比例函数xk y =的图象上时，求D 点坐标及k 的值.二、【反比例函数与矩形结合】例2：如图，直线221+-=x y 与y x ,轴分别交于A,B 两点，四边形ABCD 为矩形，点C 在x 轴上，点D 在双曲线()0>=x xk y 上，求k 的值.3变式：如图，矩形ABCO ，点E 在AB 上，且BE=2AE ，点F 在BC 上，双曲线xk y =正好过E 、F 两点，4=∆BOF S ，求k 的值.4三、【反比例函数与菱形结合】 例3：如图，点A 在双曲线x y 32=上，点B 在双曲线xk y =上（点B 在点A 的右侧），且AB//x 轴，若四边形OABC 是菱形，且∠AOC=60°，则求k 的值。
5变式：如图，在菱形OABC 中，A ()0,5，双曲线()0>=x xk y 经过点C ，且OB ·AC=40,求k 的值.6四、【反比例函数与正方形】例4：如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1P2在反比例函数xy 2=的图象上，顶点A1、B1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数()02>=x xy 的图象上，顶点A2在x 轴的正半轴上，求点P2和P3的坐标.7变式：如图，点B （3，3）在双曲线()0>=x x k y 上，点D 在双曲线()04<-=x xy 上，点A,C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，有ABCD 为正方形.（1）求k 的值；（2）求点A 的坐标.。
九上：反比例函数中，平行四边形存在型问题，分类表示点是难点
九上：反比例函数中，平行四边形存在型问题，分类表示点是
难点
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分类；
1平行四边形ABCP
2平行四边形ABPC
3平行四边形ACBP
难点分析：根据对称，利用全等得出B点坐标。
1 在第一、第二类型中，利用AB位置的平移关系，在设出P点坐标（m ,m）前提下，表示出C点坐标，代入反比例函数解析式即可
2 第三类型中，P 、C关于AB对称
说明：1在以上提示下，请同学们先自己研究并且写出计算过程，毕竟，理解思路并不代表得出正确结果，计算能力的考察培养，也是很重要的。
2后续视频讲解，敬请等待。
中考数学 专题17 函数动点问题中平行四边形存在性(解析版)
专题17 函数动点问题中平行四边形存在性类型一、平行四边形存在性结论：A C B DA CB Dx x x xy y y y+=+⎧⎨+=+⎩类型二、特殊平行四边形存在性1. 矩形存在性常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.2. 菱形存在性常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解.3. 正方形存在性常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.【例1】（2018·郑州预测卷）如图，直线y=334x-+与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y= 234ax x c++经过B、C两点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，当△BEC的面积最大时，求出点E的坐标和最大值；（3）在（2）条件下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵直线y =334x -+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，∴B (0,3)，C (4,0)，将B (0,3)，C (4,0)代入y = 234ax x c ++得： 16303a c c ++=⎧⎨=⎩，解得：383a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为：233384y x x =-++.（2）过点E 作EF ⊥x 轴于F ，交BC 于M ，设E （x ，233384x x -++），则M （x ，334x -+），∴ME =233384x x -++－（334x -+）=23382x x -+∴S △BEC =12×EM ×OC =2EM=2(23382x x -+)=()23234x --+,∴当x =2时，△BEC 的面积取最大值3，此时E (2，3).（3）由题意得：M (2，32)，抛物线对称轴为：x =1，A (－2,0),设P (m ，y )，y =233384m m -++，Q (1，n )①当四边形APQM 为平行四边形时，有：212m -+=+，解得：m =－3， 即P (－3，218-)； ②当四边形AMPQ 为平行四边形时，有：－2+m =2+1，即m =5 即P (5, 218-)； ③当四边形AQMP 为平行四边形时，有：2－2=1+m ，得：m =－1， 即P (－1，158)； 综上所述，抛物线上存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为：(－3，218-)，(5, 218-)，(－1，158).【变式1-1】（2018·河师大附中模拟）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3).（1）求抛物线的解析式与顶点M 的坐标； （2）求△BCM 的面积与△ABC 面积的比；（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作射线PQ ∥AC 交抛物线于点Q ，随着P 点的运动，在x 轴上是否存在这样的点P ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (－1，0)，B (3，0)， C (0，－3)代入y =ax 2+bx +c ，得：9303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， 解得：a =1，b =－2，c =－3，即抛物线的解析式为：y=x2－2x－3，顶点M的坐标为：（1，－4）；（2）连接BC，BM，CM，过M作MD⊥x轴于D，如图所示，S△BCM=S梯形ODMC+S△BDM－S△BOC=3，S△ACB=6，∴S△BCM：S△ACB=1：2；（3）存在.①当点Q在x轴上方时，过Q作QF⊥x轴于F，如图所示，∵四边形ACPQ为平行四边形，∴QP∥AC，QP=AC∴△PFQ≌△AOC，∴FQ=OC=3，∴3=x2﹣2x﹣3，解得x或x=1，∴Q，3)或(1，3)；②当点Q在x轴下方时，过Q作QE⊥x轴于E，如图所示，同理，得：△PEQ≌△AOC，∴EQ=OC=3，∴﹣3=x2﹣2x﹣3，解得：x=2或x=0(与C点重合，舍去)，∴Q(2，﹣3)；综上所述，点Q的坐标为：，3)或(1，3)或(2，﹣3).【例2】（2018·郑州三模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx－5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）如图2所示，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC、CE分别交于点F、G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（3）点M是（1）中所求抛物线对称轴上一动点，点N是反比例函数y=kx图象上一点，若以点B、C、M、N为动点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (-1,0),B (5,0)代入y =ax 2+bx －5得：5025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， 即抛物线的解析式为：y =x 2－4x －5.（2）在y =x 2－4x －5中，当x =0时，y =－5，即C (0，－5), ∵CE ∥x 轴，则C 、E 关于直线x =2对称， ∴E (4，－5), CE =4，由B （5,0）, C (0，－5)得直线BC 的解析式为：y =x －5， 设H (m ，m 2－4m －5)， ∵FH ⊥CE ， ∴F (m ，m －5)，∴FH = m －5－（m 2－4m －5)= －m 2+5m ， S 四边形CHEF =12·FH ·CE =12（－m 2+5m ）×4 =－2（m －52）2+252，当m =52时，四边形CHEF 的面积取最大值252，此时H (52，354-).（3）设M （2，m ），N (n ，kn)，B (5,0)，C (0，－5)， ①当BC 为矩形对角线时，此时：2+n =5+0，m +kn=0－5，即n =3，设BC 与MN 交于点H ，则H (52，52-)，MH =12BC =2，∴222552222m ⎛⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得：m =1或m =－6，当m =1时，k =－18；m =－6时，k =3， ②当BC 为矩形边时，分两种情况讨论：（i ）当点M 在直线BC 下方时，即四边形BCMN 为矩形，则∠BCM=90°，2+5=n+0，m=kn－5，过M作MH⊥y轴于H，则由OB=OC知，∠OCB=45°，∴∠MCH=∠CMH=45°，即CH=MH，∴－5－m=2，解得：m=－7，n=7，k=－14；（ii）当点M在直线BC上方时，即四边形BCNM为矩形，则∠CBM=90°，n+5=2，kn=m－5，设对称轴与x轴交于点H，同理可得：BH=MH，∴3=m，n=－3，k=6；综上所述，k的值为：－18，3，－14或6.【变式2-1】（2019·驻马店二模）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式．（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F ，M ，G ，N 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点，∴10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3.（2）由y =-x 2+2x +3知，C (0，3)，E (1，0)，D (1,4)， 可得直线BD 的解析式为：y =-2x +6，设P （m ，-2m +6），由勾股定理得：PE 2=()()22126m m -+-+，PC 2=()22263m m +-+-， 由PE =PC ，得：()()22126m m -+-+=()22263m m +-+-， 解得：m =2，即P (2，2).（3）∵M 在x 轴上，N 在直线PF 上， ∴∠NFM =90°，由四边形MFNG 是正方形，知MF =MG ， 设M (n ，0)，则G (n ，-n 2+2n +3)， MG =|-n 2+2n +3|，MF =|n -2|， ∴|-n 2+2n +3|=|n -2|，解得：n n n n ，故点M 的坐标为：0），0），（12，0），（12-，0）.【变式2-2】（2019·大联考）如图1，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），点P 在抛物线上，且在x 轴的上方，点P 的横坐标记为t .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，若MC 平分∠PMO ，求t 的值.（3）点D 在直线AC 上，点E 在y 轴上，且位于点C 的上方，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以点C 、D 、E 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出菱形的面积.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），∴301640c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：39434c b a ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，即抛物线的解析式为：y =34-x 294-x +3. （2）由A (-4,0)，C (0,3)得直线AC 的解析式为：y =334x +， ∵点P 的横坐标为t ， ∴M (t ,334t +)， ∵PN ∥y 轴， ∴∠PMC =∠MCO ， ∵MC 平分∠PMO ， ∴∠PMC =∠OMC ， ∴∠MCO =∠OMC ， 即OM =OC =3，∴OM 2=9，即223394t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：t =0（舍）或t =7225，∴当MC 平分∠PMO 时，t =7225. （3）设P (t , 34-t 294-t +3)， ①当CE 为菱形的边时，四边形CEPD 为菱形，则PD ∥y 轴，CD =PD ，则D (t ，334t +),∴PD =34-t 294-t +3－（334t +）=34-t 23-t ， 由勾股定理得：CD =54t -，∴34-t 23-t =54t -，解得：t =0（舍）或t =73-， 即PD =3512，菱形面积为：3512×73=24536； ②当CE 为菱形的对角线时，此时P 与D 点关于y 轴对称，则D (-t , 34-t 294-t +3)，将D 点坐标代入y =334x +，得： 34-t 294-t +3=()334t -+，解得：t =0（舍）或t =－2， PD =4，CE =3，菱形的面积为：12×4×3=6；综上所述，菱形的面积为：24536或6.1.（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB ＝4，矩形OBDC 的边CD ＝1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵矩形OBDC 的边CD ＝1， ∴OB ＝1，由AB ＝4，得OA ＝3， ∴A （﹣3，0），B （1，0），∵抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点， ∴a +b +2=0，9a －3b +2=0， 解得：a =23-，b =43-， ∴抛物线解析式为y ＝23-x 243-x +2； （2）以AC 为边或对角线分类讨论： A （﹣3，0），C （0，2），抛物线y ＝23-x 243-x +2的对称轴为x ＝﹣1， 设M (m , y M )，N (－1，n )，y M =23-m 243-m +2 ①当四边形ACMN 为平行四边形时，有：312Mm y n -+=-⎧⎨=+⎩，解得：m =2，y M =103-，即M (2，103-)； ②当四边形ACNM 为平行四边形时，有：312Mmy n --=⎧⎨+=⎩，解得：m =－4，y M =103-，即M (－4，103-)； ③当四边形AMCN 为平行四边形时，有：312Mm y n -=-⎧⎨=+⎩，解得：m =－2，y M =2，即M (－2，2)； 综上所述，点M 的坐标为（2，103-）或（﹣4，103-）或（﹣2，2）． 2.（2019·开封模拟）如图，直线y ＝﹣x +4与抛物线y ＝﹣12x 2+bx +c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标；（3）点E 是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，即点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），将（0，4）、（4，0），代入二次函数表达式，并解得：b=1，c=4，抛物线的解析式为：y＝﹣12x2+x+4；（2）∵OA＝OB＝4，∴∠ABO＝45°，∵∠ABP＝90°，则∠PBO=45°，若直线PB交y轴于点M，则OM=OB=4，可得直线BP的解析式为：y=x－4，联立：y=x－4，y＝﹣12x2+x+4，得：x=4，y=0(即B点)；x=－4，y=－8，即P(－4，－8).（3）存在；由y＝﹣12x2+x+4知抛物线的对称轴为：x=1，设E(1，m)，F(n，﹣12n2+n+4)，O(0,0)，B(4,0)，①当四边形OBEF是平行四边形时，有：EF=4，∴n-1=-4，即n=-3，F点坐标为（-3，72 -）；②当四边形OBFE是平行四边形时，有：EF=4，n-1=4，即n=5，F点坐标为（5，72 -）；③当四边形OFBE 是平行四边形时，有：410Fn m y =+⎧⎨=+⎩,即n =3，F 点坐标为（3，52）；综上所述：点F 的坐标为（5，72-），（﹣3，72-），（3，52）． 3.（2019·开封二模）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与直线y ＝﹣x 交第二象限于点E ，与x 轴交于A （﹣3，0），B 两点，与y 轴交于点C ，EC ∥x 轴．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M ，若以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：A （﹣3，0），C （0，2），EC ∥x 轴 ∴点E 的纵坐标为2， ∵点E 在直线y ＝﹣x 上， ∴点E （﹣2，2），∵将A （﹣3，0）、E （﹣2，2）代入y ＝ax 2+bx +2，得：93204222a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩抛物线的解析式为：224233y x x =--+；（2）由224233y x x =--+知，抛物线的对称轴为x =－1，设N (－1，n )，M (m ，224233m m --+)，∵A （﹣3，0），C （0，2），（1）当四边形ACNM 是平行四边形时，有：312Mm n y --=⎧⎨=+⎩，得：m =－4，y M = 103-； 即M (－4，103-). （2）当四边形ACMN 是平行四边形时，有：312Mm n y -+=-⎧⎨+=⎩，得：m =2，y M = 103-； 即M (2，103-). （3）当四边形ANCM 是平行四边形时，有：312Mmn y -=-+⎧⎨=+⎩，得：m =－2，y M = 2； 即M (－2，2).综上所述，M 点的坐标是(－4，103-)，(2，103-)，(－2，2). 4.（2019·名校模考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1（a ≠0）交x 轴于A ，B （1，0）两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）将y ＝0代入y ＝x +3，得x ＝﹣3．∴A（﹣3，0）．∵抛物线y＝ax2+bx﹣1交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴109310a ba b+-=⎧⎨--=⎩，解得：1323ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；（2）点G的坐标为（2，1），（﹣，﹣1），（﹣1），（﹣4，3）．①当四边形DCEG是菱形时，CD=CE=EG=4，设E(m，m+3)，则G（m，m+7），由C(0，－1)，E(m，m+3)，得：CE2=m2+(m+4)2=16，解得：m=0（舍）或m=－4，此时G(－4,3)；②当四边形DCGE是菱形时，CG2=16,设E(m，m+3)，则G（m，m－1），即m2+ m2=16，解得：m=m=－此时，G(1)或G(－－1)；③当四边形DGCE是菱形时，设E(m，m+3)，则G（－m，－m－1），此时E在CD的垂直平分线上，即m+3=1，m=－2，此时G(2，1);综上所述，点G的坐标为：(－4,3)、(1)、(－－1)、(2，1).5.（2019·枫杨外国语三模）（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(0，3)，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）将(-1，0)，(0，3)代入y＝﹣x2+bx+c，得：－1－b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，即抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3.（2）由y＝﹣x2+2x+3知，点M(1，4)，分两种情况讨论，①当四边形MAPQ是矩形时，过M作MH⊥x轴于H，则MH=4，AH=2，易证得：∠APO=∠MAH，∴tan∠APO= tan∠MAH，即OA MHOP AH=2，∴OP=12，即P（0，－12），由A(-1，0)、M(1，4)，P（0，－12）得：点Q坐标为（2，72），∵点T和点Q关于AM所在直线对称，即点Q与点T关于点M(1，4)对称，∴T(0，92 )；②当四边形AMPQ是矩形时，同理可得：T(0，12 -)；综上所述，点T的坐标为(0，92)，(0，12-).6.（2019·焦作二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象经过点A(-2，0)，与反比例函数kyx=（x>0）的图象交于点B(a，4).（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数kyx=（x>0）的图象于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的横坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(-2,0)代入y=x+b，得：b=2，即一次函数的解析式为：y=x+2，将B(a，4)代入y=x+2，得：a=2，即B(2，4),将B(2，4)代入kyx=得：x=8，即反比例函数的解析式为：8 yx =.（2）设M(m，m+2)，则N(82m+，m+2)，由题意知，MN∥OA，则需MN=OA=2时，以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∴82mm-+=2，解得：m=2或m=－2（舍）或m=m=－（舍），∴点M的坐标为：（2，+2）.7.（2019·许昌月考）如图1，二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）∵二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），∴493034103b cb c⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯-+=⎪⎩，解得：834bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即抛物线的解析式为：y=43x2﹣83x﹣4；（2）过点D作DM⊥y轴于点M，y =43x 2﹣83x ﹣4 =43（x ﹣1）2﹣163， ∴点D （1，﹣163）、点C （0，﹣4）， S △ACD =S 梯形AOMD ﹣S △CDM ﹣S △AOC=12×（1+3）×163﹣12×（163﹣4）×1﹣12×3×4 =4；（3）四边形APEQ 为菱形，理由如下：E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作QF ⊥AP 于F ，由折叠性质知： AP =EP ，AQ =EQ ∵AP =AQ =t ， ∴AP =AQ =QE =EP ， ∴四边形AQEP 为菱形， ∵FQ ∥OC ，∴AF FQ AQOA OC AC ==， ∴345AF FQ t ==∴AF =35t ，FQ =45t ，Q （3﹣35t ，﹣45t ），E （3﹣35t ﹣t ，﹣45t ），∵E 在二次函数y =43x 2﹣83x ﹣4上，∴﹣45t =43（3﹣85t ）2﹣83（3﹣85t ）﹣4，∴t =14564或t =0（舍去）， ∴E （﹣58，﹣2916）．8.（2018·新乡一模）如图，一次函数122y x =-+分别交y 、x 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c=-++过A ，B 两点.（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直于x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N . 求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在(2)的情况下，以A ，M 、N 、D 为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D 的坐标.【答案】见解析【解析】解：（1）在122y x =-+得，当x =0时，y =2；y =0时，x =4，即A （0，2），B （4，0），把A (0，2)，B (4，0)代入2y x bx c =-++，得： 21640c b c =⎧⎨++=⎩-，解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线解析式为2722y x x =-++. （2）由题意知，1(,2)2M t t -+，27(,2)2N t t t -++，∴MN =2712(2)22t t t -++--+=2(2)4t --+， ∴当t =2时，MN 有最大值4.（3）根据平行四边形的性质，得：D 点坐标为：（0，6），（0，-2）或（4，4）.9.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设E 是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，再过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，得到矩形EFGH ．在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，直接写出该正方形的边长．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，∴4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：13a b =-⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =－x 2+3x +4. （2）∵四边形EFGH 是矩形，∴当EF =EH 时，四边形EFGH 是正方形，设E(m, －m2+3m+4)，则F(3－m，－m2+3m+4)，m>32，∴EF=2m－3，EH=|－m2+3m+4|，∴2m－3=|－m2+3m+4|，解得：m或m（舍）或m或m（舍）∴正方形的边长EF2，综上所述，正方形EFGH的边长为：2.10.（2019·郑州一中模拟）如图所示，平面直角坐标系中直线y=x+1交坐标轴于点A、D两点，抛物线y=ax2+bx－3经过A、C两点，点C坐标为（a，5）. 点M为直线AC上一点，过点M作x轴的垂线，垂足为F，交抛物线于点N.（1）求抛物线解析式；（2）是否存在点M，使得以点D、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形，如果有，求点M的坐标，如果没有，请说明理由.【解析】解：∵直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点， ∴A (－1,0)，D (0，1)，∵点C （a ，5）在直线y =x +1上， ∴a =4，即C (4,5)，将A (－1,0)，C (4,5)代入y =ax 2+bx －3得：3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：y =x 2－2x －3. （2）存在，E （0，－3），∴DE =4， 由题意知：DE ∥MN ，∴当DE =MN =4时，四边形DENM 是平行四边形， 设N (m , m 2－2m －3)，则M (m , m +1)， ∴| m +1-（m 2－2m －3）|=4，解得：m =0（舍）或m =3或m =或m = ，综上所述，点M 的坐标为：（3,4），，）.11.（2019·郑州模拟）如图，已知二次函数23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭的图象经过点A (4,0),与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点C (m ,0) （0<m <4），过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，交该二次函数图象于点D .（1）求a 的值和直线AB 的解析式；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，设△ACE ，△DEF 的面积分别为S 1，S 2，若S 1=4S 2，求m 的值； （3）点H 是该二次函数图象上第一象限内的动点，点G 是线段AB 上的动点，当四边形DEGH 是平行四边形，且平行四边形DEGH 的周长取最大值时，求点G 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (4,0)代入23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭得：a =34-，∴抛物线的解析式为：239344y x x =-++，设直线AB 的解析式为：y =kx +b ， ∴4k +b =0，b =3，即k =34-，b =3， ∴直线AB 的解析式为：y =34-x +3. （2）∵点C 的横坐标为m ，∴D (m , 239344m m -++)，E (m , 34-m +3)，AC =4－m ，DE =239344m m -++－(34-m +3)= 2334m m -+，∵BC ∥y 轴， ∴43AC OA CE OB ==，即443m CE -=， ∴CE =()344m -，AE =()544m -， ∵∠DF A =∠DCA =90°，∠DBF =∠AEC ， ∴△DFE ∽△ACE ， ∵S 1=4S 2， ∴AE =2DE ， 即()544m -=2（2334m m -+），解得：m =4（舍）或m =56， 即m 的值为56.（3）如图，过点G 作GM ⊥DC 于M ，设G 、H 点横坐标为n ，由DE =2334m m -+，得GH =2334n n -+，2334m m -+=2334n n -+，得：m =n （舍）或n =4－m ，∴MG =4-2m ，由45MG EG =得：EG =()5424m -, ∴C 四边形DEGH =2()25342344m m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=23102m m -++=23161236m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，∴当m =13时，C 最大，此时n =113，即G (113，14)，E (13，114), 由图象可知当E 、G 互换位置时满足题意，即G (13，114),E (113，14)，综上所述，G 点坐标为：(13，114)，(113，14).13.（2018·郑州模拟）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接DB ．（1）求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是抛物线上的动点，设点M 的横坐标为m ． ①当∠MBA ＝∠BDE 时，求点M 的坐标；②过点M 作MN ∥x 轴，与抛物线交于点N ，P 为x 轴上一点，连接PM ，PN ，将△PMN 沿着MN 翻折，得△QMN ，若四边形MPNQ 恰好为正方形，直接写出m 的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．顶点D（1，4）．（2）①过点M作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB＝90°，设M（m，﹣m2+2m+3），∴MG＝|﹣m2+2m+3|，BG＝3﹣m，∵DE⊥x轴，D（1，4），B（3，0），∴∠DEB＝90°，DE＝4，OE＝1，BE＝2，∵∠MBA＝∠BDE，∴tan∠MBA＝tan∠BDE＝12，∴2233m mm-++-＝12解得：m=12-或m=32-或m=3（舍）∴满足条件的点M坐标（12-，74）或（32-，94-）；②∵MN∥x轴，∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，∵四边形MPNQ是正方形，∴OP＝1，由∠QPM=∠MPO=45°，得：GM＝GP，即|﹣m2+2m+3|＝|1﹣m|，解得：m或m或m或m即满足条件的m.14.（2017·信阳二模）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心做菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N，试探究m为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）将A（﹣2，0）、B（8，0）代入y=ax2+bx﹣4并解得：a=14，b=32-，即抛物线的解析式为：y=14x232-x－4.（2）由y=14x232-x－4知，C(0，－4),由菱形的性质可知：D（0，4），设直线BD的解析式为：y=kx+n，将点B（8,0）、D（0，4）代入得：k=12-,n=4，即直线BD的解析式为：y=12-x+4,由M（m，12-m+4），Q（m，14m232-m－4）．当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形．∴12-m+4﹣（14m232-m－4）=8，解得m=4或m=0（舍去）．∴MD∥CQ，MD=CQ，M（4，2），∴M为BD的中点，∴MD=MB．∴CQ=MB，又∵MB∥CQ，∴四边形CQBM为平行四边形．。
反比例函数中的平行四边形(解析版)九年级数学下册常考点微专题提分精练(人教版)
专题06 反比例函数中的平行四边形1．如图，在第一象限内，A 是反比例函数()110k y k x=>图象上的任意一点，AB 平行于y 轴交反比例函数()220k y k x=<的图象于点B ，作以AB 为边的平行四边形ABCD ，其顶点C ，D 在y 轴上，若7ABCD S =，则这两个反比例函数可能是（ ）A ．2y x =和3y x =-B ．3y x =和4y x=-C ．4y x =和5y x=- D ．5y x=和6y x =-2．如图，反比例函数ky x=的图像经过平行四边形ABCD 的顶点C ，D ，若点A 、点B 、点C 的坐标分别为()3,0，()0,4，(),a b ，且7.5a b +=，则k 的值是____．【答案】9【分析】根据平移和平行四边形的性质将点D 也用a 、b 表示，再根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相等列式算出a 、b ，再由点坐标求出k 的值． 【详解】解：∵()3,0A ，()0,4B ，∴A 可以看作由B 向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的，根据平行四边形的性质，D 也可以看作由C 向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的， ∵(),C a b ，∴()3,4D a b +-， ∵7.5a b +=，∴(),7.5C a a -，()3,3.5D a a +-， ∵C 、D 都在反比例函数图象上，∴它们横纵坐标的乘积相等，即()()()7.53 3.5a a a a -=+-，解得 1.5a =， ∴()1.57.5 1.59k =⨯-=． 故答案为：9．【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的结合，解题的关键是根据题目条件，用同一个未知数设出反比例函数图象上的点，然后用反比例函数图象上点的性质列式求解．3．如图，在平面直角坐标系中，点A 在反比例函数y ＝kx（x ＜0）的图像上一点，点B 是y轴正半轴上一点，以OA 、AB 为邻边作平行四边形ABCO ，若点C 和BC 的中点D 都在反比例函数y ＝4x（x ＞0）的图像上，则k 的值是___________．∵四边形ABCO是平行四边形，∴8k =-， 都答案为：-8．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用、三角形的全等、平行四边形的性质、中位线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．4．如图，已知反比例函数(0)ky x x=>与正比例函数(0)y x x =的图象，点(1,4)A ，点(4,)A b '与点B ′均在反比例函数的图象上，点B 在直线y x =上，四边形AA B B ''是平行四边形，则B 点的坐标为__．【详解】解：反比例函数点点点四边形点【点睛】本题考查了反比例函数综合及平行四边形的性质、平移的性质等知识，根据题意表示出B ′点坐标是解题的关键．5．如图，分别过反比例函数1y x=图像上的点P 1（1，y 1），P 2（1+2，y 2），P 3（1+2+3，y 3），．．．，Pn （1+2+3+．．．+n ，yn ）作x 轴的垂线，垂足分别为A 1，A 2，A 3，．．．，An ，连接A 1P 2，A 2P 3，A 3P 4，．．．，An -1Pn ，再以A 1P 1，A 1P 2为一组邻边画一个平行四边形A 1P 1B 1P 2，以A 2P 2，A 2P 3为一组邻边画一个平行四边形A 2P 2B 2P 3，以此类推，则B 2的纵坐标是__________；点B 1，B 2，．．．，Bn 的纵坐标之和为__________．1 123(1)n n n n +=++++++++1y x=的图象上，1123(1)n n n +++++++++14(2)n n +++1(n n ++⨯+1115n n -++-+三、解答题(共0分)6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b 的图象与双曲线y =-8x交于点M （-4，m ）、N （n ，-4），与x 轴交于A ．(1)求k、b的值；(2)①将直线y=kx+b向上平移4个单位分别交x轴、y轴于点B、C，画出这条直线；②P是平面直角坐标系中的一点，若以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．解：①由（1）知直线MN的解析式为y=-x-2，将直线y=-x-2向上平移4个单位，得y=-x+2，当x=0时，y=2，∴点C坐标为（0，2），当y=-x+2=0时，x=2，∴点B坐标为（2，0），平移后的直线如图所示：②以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直线MN与x轴的交点A的坐标为（-2，0），分情况讨论：∥且AP=CB，当CA，CB为边时，AP CB∵点C（0，2）向左平移2个单位，向下平移平移2个单位得到点A（-2，0），∴点B（2，0）向左平移2个单位，向下平移平移2个单位得到点P（0，-2），点P坐标为（0，-2）；∥且AP=CB，当BC，BA为边时，AP CB同理可得点P坐标为（-4，2）；∥且AC=BP，当AC，AB为边，AC BP同理可得点P坐标为（4，2），综上，满足条件的点P坐标为（0，-2）或（-4，2）或（4，2）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，平移的性质，平行四边形的判定等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强．7．综合与探究如图，已知，()0,4A ，()3,0B -，()2,0C ，D 为B 点关于AC 的对称点，反比例函数k y x=的图象经过D 点．(1)证明四边形ABCD 为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在ky x=的图象（0x >）上有一点N ，y 轴正半轴上有一点M ，且四边形ABMN 是平行四边形，求M 点的坐标．8．如图，一次函数22y x =+的图象与x 轴交于点B ，与反比例函数(0)y k x=≠的图象的一个交点为()A 2m ，．（1）直接写出反比例函数的解析式；（2）过点A 作AC x ⊥轴，垂足为点C ，设点P 在反比例函数图象上，且△PBC 的面积等于6，请求出点P 的坐标；（3）设M 是直线AB 上一动点，过点M 作MN//x 轴，交反比例函数ky x=的图象于点N ，若以B 、O 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M 的坐标．9．如图，一次函数y kx b =+与反比例函数y x=的图像交于点()1,6A ，()3,B n 两点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)连接OA 、OB ，求AOB 的面积；(3)直线a 经过点()0,1且平行于x 轴，点M 在直线a 上，点N 在y 轴上，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M 、N 的坐标，如果不可以，说明理由．ADO S=BDO S =8AOB ADO BDO S S S =-=；（3）∴M （4，1），N （0，7）；②当AM 为为平行四边形对角线时，130612m n +=+⎧⎨+=+⎩， 解得25m n =⎧⎨=⎩， ∴M （2，1），N （0，5）；③当AN 为为平行四边形对角线时，103621m n +=+⎧⎨+=+⎩， 解得23m n =-⎧⎨=-⎩， ∴M （-2，1），N （0，-3）；综上所述，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，M （4，1），N （0，7）或M （2，1），N （0，5）或M （-2，1），N （0，-3）．【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图像与x 轴交点、平行四边形的性质、方程思想及数形结合思想等知识，在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中注意数形结合，在（3）中确定出M 、N 的位置是解题的关键．10．如图，一次函数1y x =+与反比例函数k y x=的图象相交于(,2)A m ，B 两点，分别连接OA ，OB ．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)求AOB 的面积；(3)在平面内是否存在一点P ，使以点O ，B ，A ，P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12AOB OCA OCB S S S OC =+=⋅）解：存在，理由如下：OA 与OB 为邻边时，点11．如图，已知一次函数1y kx b =+与反比例函数2k y x=的图象交于第一象限内的点(16)A ，和(6)B m ，，与x 轴交于点C ，交y 轴于点D ．(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)连接OA 、OB ，求AOB ∆的面积；(3)点P 为坐标平面内的点，若点O ，A ，C ，P 组成的四边形是平行四边形，请直接写出点P 的坐标． (6)B m ，1m ∴=，(61)B ∴，，当AP OC ∥且AP OC =时，则7AP OC ==，(16)A ，，P ∴点坐标为当AP OC '∥(1,6)A ，P '∴点坐标为：当AO P ∥P ''∴点坐标为：综上所述：点12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y 1＝2x ﹣4（k ≠0）的图象与反比例函数y 2＝x的图象交于A 、B 两点．(1)求A、B的坐标．(2)当x为何值时，2x﹣4＞6 x(3)如图，将直线AB向上平移与反比例函数y＝6x的图象交于点C、D，顺次连接点A、B、C、D，若四边形ABCD是平行四边形，求S四边形ABCD的值．则FE ＝m ＝8，13．如图，一次函数1y x =+与反比例函数y x =的图象交于点A 和B （-2，n ），与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数解析式；(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，过点P作PD//y轴，交线段AB于点D，是否存在点P使得四边形DPOC为平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝kx（k≠0）的图象交于B，D两点，且AC＝BC．（1）写出点A，B的坐标为：A（，），B（，）（2）求出点D的坐标，并直接写出当反比例函数的值大于一次函数的值时对应x的取值范围；（3）若P是x轴上一点，PM⊥x轴交一次函数于点M，交反比例函数于点N，当O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．【答案】（1）−2，0；2，2；（2）0＜x＜2或x＜−4；（3）（2，0），（−2，0），（−2＋1【点睛】此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的15．如图1，菱形ABCD 顶点A 在y 轴上，顶点D 在反比例函数()0y x x=>上，边BC 交y 轴于点E ，AD x ∥轴，2AE EC =，5AD =．(1)求k ．(2)如图2，延长BA 交x 轴于点F ，问是否在该反比例函数上存在的点P ，坐标轴上的点Q ，使得以A、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，若不存在请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12y x =-的图像与反比例函数2y x=（0k ≠）的图像交于()2,A a -、(),2B m 两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，连接OA 、OB ．(1)求反比例函数2ky x=（0k ≠）的表达式； (2)求△AOB 的面积；(3)点N 为坐标轴上一点，点M 为2y 的图像上一点，当以点C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有满足条件的N 点的坐标． AOBS=1(02)N ，【分析】(1)8k ， (02)C ，-1(02)N ∴，②如图2，四边形是平行四边形，2(0N ∴-，③如图3，四边形3CM ∴∥【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法、17．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数y x=（k 为常数，0x >）的图像经过点()2,A m ，()6,B n 两点．(1)m 与n 的数量关系是（ ）A ．3m n =B ．3n m =C ．8m n +=D ．4m n -= (2)如图2，若点A 绕x 轴上的点P 顺时针旋转90°，恰好与点B 重合． ①求点P 的坐标及反比例函数的表达式； ②连接OA 、OB ，则AOB 的面积为_________；(3)若点M 在反比例函数(0)k y x x=>的图像上，点N 在y 轴上，在（2）的条件下，是否存在以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．②借助割补法求面积，将AOB 的面积补全在五边形中，利用边分别看作平行四边形的边和对角线，进行分类讨论求得分别代入y =②如图，作AE y ⊥轴，AF x ⊥轴，BG x ⊥轴，综上所述，AOB的面积为8．(3)-=-x x x xx x x x -=-18．如图1，动点M 在函数()0y x x =>的图象上，过点M 分别作x 轴和y 轴的平行线，交函数()40y x x=>的图象于点B 、C ，作直线BC ，设直线BC 的函数表达式为y kx b =+．（1）若点M 的坐标为()2,4．①B 点坐标为______，C 点坐标为______，直线BC 的函数表达式为______；②点D 在x 轴上，点E 在y 轴上，且以点B 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D 、E 的坐标；（2）连接BO、CO．=时，求OB的长度；①当OB OC②如图2，试证明BOC的面积是个定值．8m84。
2022年中考复习《平行四边形》专项练习附答案
平行四边形1、〔德阳市2021年〕如图．在ABCD中，AB＝6、AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，DC的延长线于点F, BG⊥AE，垂足为G，假设BG＝42，那么△CEF的面积是A、22B、2C、32D、42答案：A解析：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，∠BAF=∠F，∴∠F=∠DAF，∴△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；∵AB=CD=6，∴CF=3；∠BEA=∠DAF＝∠BAF，所以，BA＝BE，∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=42可得：AG=2，又∵BG⊥AE，∴AE=2AG=4，∴△ABE的面积等于82，又∵▱ABCD，∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，面积1：4，∴△CEF的面积为,22．2、〔2021杭州〕在▱ABCD中，以下结论一定正确的选项是〔〕A．AC⊥BD B．∠A+∠B=180°C．AB=AD D．∠A≠∠C考点：平行四边形的性质．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，即可证得∠A+∠B=180°．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．应选B．点评：此题考查了平行四边形的性质．此题比拟简单，注意掌握数形结合思想的应用．3、〔2021•内江〕如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，那么DE：EC=〔〕A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：EC的值，由AB=CD即可得出结论．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．应选B．点评：此题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．4、〔2021•自贡〕如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，那么△EFC的周长为〔〕A．11 B．10 C．9D．8考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．分析：判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．解答：解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．应选D．点评：此题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．5、〔2021•泸州〕四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以下条件不能判定这个四边形是平行四边形的是〔〕A．A B∥DC，AD∥BC B．A B=DC，AD=BC C．A O=CO，BO=DO D．A B∥DC，AD=BC考点：平行四边形的判定．分析：根据平行四边形判定定理进行判断．解答：解：A、由“AB∥DC，AD∥BC〞可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，那么该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；B、由“AB=DC，AD=BC〞可知，四边形ABCD的两组对边相等，那么该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；C、由“AO=CO，BO=DO〞可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，那么该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；D、由“AB∥DC，AD=BC〞可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；应选D．点评：此题考查了平行四边形的判定．〔1〕两组对边分别平行的四边形是平行四边形．〔2〕两组对边分别相等的四边形是平行四边形．〔3〕一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．〔4〕两组对角分别相等的四边形是平行四边形．〔5〕对角线互相平分的四边形是平行四边形．6、〔2021泰安〕如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，假设DG=1，那么AE的边长为〔〕A．2 B．4 C．4 D．8考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC 中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF 的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．解答：解：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F为DC的中点，∴DF=CF，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，那么AF=2AG=2，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF〔AAS〕，∴AF=EF，那么AE=2AF=4．应选B点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键．7、〔2021•益阳〕如图，在平行四边形ABCD中，以下结论中错误的选项是〔〕A．∠1=∠2B．∠BAD=∠BCD C．A B=CD D．A C⊥BD考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质，平行四边形对边平行以及对边相等和对角相等分别判断得出即可．解答：解：∵在平行四边形ABCD中，∴AB∥CD，∴∠1=∠2，故此选项正确，不合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BC D，AB=CD，故B，C选项正确，不合题意；无法得出AC⊥BD，故此选项错误，符合题意．应选D．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关的性质是解题关键．8、〔2021•湘西州〕如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，那么△EDF与△BCF的周长之比是〔〕A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质分析：根据平行四边形性质得出AD=BC，AD∥BC，推出△EDF∽△BCF，得出△EDF与△BCF 的周长之比为，根据BC=AD=2DE代入求出即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴△EDF∽△BCF，∴△EDF与△BCF的周长之比为，∵E是AD边上的中点，∴AD=2DE，∵AD=BC，∴BC=2DE，∴△EDF与△BCF的周长之比1：2，应选A．点评：此题考查了平行四边形性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，相似三角形的周长之比等于相似比．9、〔2021•荆门〕四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出以下四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有〔〕A．3种B．4种C．5种D．6种考点：平行四边形的判定．分析：根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．解答：解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；应选：B．点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．10、〔2021•恩施州〕如下图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，那么DF：FC=〔〕A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，那么△DFE∽△BAE，∴=，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，那么DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴D F：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．应选D．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答此题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．11、〔2021•绥化〕如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，那么的值为〔〕A．1B．C．D．考点：三角形中位线定理；平行四边形的性质．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出H是AO的中点，再根据平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO，然后求出CH=3AH，再求解即可．解答：解：∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AH=HO，∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴AO=CO，∴CH=3AH，∴=．应选C．点评：此题考查了平行四边形对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质是解题的关键．12、〔2021哈尔滨〕如图，在ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，那么AB的长为( )．(A)4 (B)3 (C) 52(D)2考点：平行四边形的性质及等腰三角形判定．分析：此题主要考查了平行四边形的性质：平边四边形的对边平行且相等；等腰三角形判定，两直线平行内错角相等；综合运用这三个性质是解题的关键解答：根据CECE平分∠BCD得∠BCE=∠ECD,AD∥BC得∠BCE=∠DEC从而△DCE为等腰三角形，ED=DC=AB,2AB=AD=AE+ED=3+AB,解得AB=3应选B13、〔2021•黔西南州〕▱ABCD中，∠A+∠C=200°，那么∠B的度数是〔〕A．100°B．160°C．80°D．60°考点：平行四边形的性质．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，AD∥BC，又由∠A+∠C=200°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC，∵∠A+∠C=200°，∴∠A=100°，∴∠B=180°﹣∠A=80°．应选C．点评：此题考查了平行四边形的性质．此题比拟简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．14、〔2021•钦州〕如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由甲A地到B地的路线图〔箭头表示行进的方向〕．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为〔〕A．甲＜乙＜丙B．乙＜丙＜甲C．丙＜乙＜甲D．甲=乙=丙考点：平行四边形的判定与性质．专题：应用题．分析：延长ED和BF交于C，如图2，延长AG和BK交于C，根据平行四边形的性质和判定求出即可．解答：解：图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度；延长ED和BF交于C，如图2，∵∠DEA=∠B=60°，∴DE∥CF，同理EF∥CD，∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF=CD，DE=CF，即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长；延长AG和BK交于C，如图3，与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK，即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长；即甲=乙=丙，应选D．点评：此题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等．15、〔2021福省福州4分、8〕如图，△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为〔〕A． B． C． D．考点：平行四边形的判定与性质；作图—复杂作图．分析：首先根据题意画出图形，知四边形ABCD是平行四边形，那么平行四边形ABCD的对角线相等，即AD=BC．再利用刻度尺进行测量即可．解答：解：如下图，连接BD、BC、AD．∵AC=BD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC．测量可得BC=AD=，应选：B．点评：此题主要考查了复杂作图，关键是正确理解题意，画出图形．16、〔2021台湾、31〕如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE 为平行四边形，其作法如下：〔甲〕连接BD、CE，两线段相交于P点，那么P即为所求〔乙〕先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，那么P即为所求．对于甲、乙两人的作法，以下判断何者正确？〔〕A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确考点：平行四边形的判定．分析：求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度数，根据平行四边形的判定判断即可．解答：解：甲正确，乙错误，理由是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是=108°，AB=BC=CD=DE=AE，∴∠DEC=∠DCE=×〔180°﹣108°〕=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°﹣36°=72°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣72°﹣72°=108°=∠A，∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠BAE=108°，∴∠BAM=∠EAM=54°，∵AB=AE=AP，∴∠ABP=∠APB=×〔180°﹣54°〕=63°，∠AEP=∠APE=63°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣63°﹣63°≠108°，即∠ABP=∠AEP，∠BAE≠∠BPE，∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；应选C．点评：此题考查了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．17、〔2021安顺〕在平行四边形ABCD中，E在DC上，假设DE：EC=1：2，那么BF：BE= ．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由题可知△ABF∽△CEF，然后根据相似比求解．解答：解：∵DE：EC=1：2∴EC：CD=2：3即EC：AB=2：3∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴BF：EF=AB：EC=3：2．∴BF：BE=3：5．点评：此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．18、〔2021•滨州〕在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，且AB=6，BC=10，那么OE= 5 ．考点：三角形中位线定理；平行四边形的性质．分析：先画出图形，根据平行线的性质，结合点E是边CD的中点，可判断OE是△DBC的中位线，继而可得出OE的长度．解答：解：∵四边形ABCD是平行四变形，∴点O是BD中点，∵点E是边CD的中点，∴OE是△DBC的中位线，∴OE=BC=5．故答案为：5．点评：此题考查了平行四边形的性质及中位线定理的知识，解答此题的关键是根据平行四边形的性质判断出点O是BD中点，得出OE是△DBC的中位线．19、〔13年安徽省4分、13〕如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，ΔPEF、ΔPDC、ΔPAB的面积分别为S、S1、S2。
2022年中考数学反比例函数(解析版)
热点04 反比例函数反比例函数这个考点在中考数学中，多注重考察反比例函数的图象与性质，常和一次函数的图象结合考察，题型以选择题为主；另外，在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意。
另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系。
而压轴题中也渐渐显露反比例函数的问题环境，考生在复习过程中需要更加重视该考点。
1. 反比例函数)0(≠=k xk y 的解析式：待定系数法； 反比例函数表达式方面的考察，一是待定系数法直接求反比例函数表达式，二是反比例函数图象上的两个点）（）、（2211,,y x B y x A ，坐标都符合函数的表达式，进而得2211y x y x •=•2.反比例函数)0(≠=k xk y 的图象：没有特殊要求，双曲线必分两支；双曲线的两支有轴对称性，也有中心对称性；反比例函数的增减性不能直接说明；反比例函数图象所过象限与k 的正负有关，他们的关系是可逆的，应用时，注意由图象→k 值时k 的正负。
另外，在说反比例函数的增减性之前，必须带上自变量的取值范围，不然就是错的。
其对称性的考察，主要用在与之结合的几何图形的坐标表示上。
3.反比例函数与一次函数：求交点则联立解析式得方程；根据图象直接写不等式的解集则找交点横坐标、分上下、选左右；一次函数与反比例函数经常放一起考察其图象与解析式的求解；反比例与不等式的结合，第一步找出交代的横坐标，第二步根据图象的上下关系选择交点的哪边符合，第三边让自变量x 大于或小于交点的横坐标。
4.反比例函数与几何图形的结合：当反比例函数与其他图形结合考察时，通常反比例函数只提供其解析式，即反比例函数图象上的点符合反比例函数的解析式，故需要多注意与反比例函数结合的图形的性质应用；反比例函数在中考中也基本都是直接考察，常考热点包括：反比例函数图象与一次函数图象结合问题、反比例函数的性质及解析式的确定、反比例函数k的几何意义、反比例函数与三角形、四边形等几何图形的相关计算等A卷（建议用时：80分钟）1．（2021•黔西南州·中考真题）对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（）A．图象经过点（1，﹣5）B．图象位于第二、第四象限C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．当x＞0时，y随x的增大而增大【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵反比例函数y＝，∴当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，故选项A不符合题意；k＝﹣5，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；当x＜0，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；故选：C．2．（2021•罗湖区·中考真题）一次函数y＝ax+a（a为常数，a≠0）与反比例函数y＝（a 为常数，a≠0）在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】分为a＞0和a＜0两种情况，然后依据一次函数和反比例函数的图象的性质进行判断即可．【解答】解：当a＞0时，一次函数y＝ax+a，经过一二三象限，反比例函数图象位于一、三象限，当a＜0时，一次函数y＝ax+a，经过二、三、四象限，反比例函数图象位于二、四象限．故选：C．3．（2021•德阳·中考真题）下列函数中，y随x增大而增大的是（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣2x+3C．y＝（x＜0）D．y＝﹣x2+4x+3（x＜2）【分析】一次函数当a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k＞0时，在每一个象限内，y随自变量x增大而增大，二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性．【解答】解：A．一次函数y＝﹣2x中的a＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，故不符合题意．B．一次函数y＝﹣2x+3中的a＝﹣2＜0，y随自变量x增大而减小，故不符合题意．C．反比例函数y＝（x＜0）中的k＝2＞0，在第三象限，y随x的增大而减小，故不符合题意．D．二次函数y＝﹣x2+4x+3（x＜2），对称轴x＝＝2，开口向下，当x＜2时，y随x 的增大而增大，故符合题意．故选：D．4．（2021•广安·中考真题）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数中k＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．∵﹣3＜0，﹣1＜0，∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第二象限，∴y1＞0，y2＞0，∵﹣3＜﹣1＜0，∴0＜y1＜y2．∵2＞0，∴点C（2，y3）位于第四象限，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2．故选：A．5．（2021•桂林·中考真题）若点A（1，3）在反比例函数y＝的图象上，则k的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】将点A（1，3）代入反比例函数y＝即可求出k的值．【解答】解：∵点A（1，3）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝1×3＝3，故选：C．6．（2021•兰州·中考真题）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为4，则k＝（）A．16 B．12 C．8 D．4【分析】由C是OB的中点求△AOB的面积，设A（a，b）根据面积公式求ab，最后求k．【解答】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为4，∴△AOB的面积为8，设A（a，b）∵AB⊥x轴于点B，∴ab＝16，∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝16．故选：A．7．（2021•西藏·中考真题）如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x 轴于点A，OB与双曲线y＝相交于点C，且BC：OC＝1：2．则k的值为（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．【分析】过C作CD⊥x轴于D，可得△DOC∽△AOB，根据相似三角形的性质求出S△DOC，由反比例函数系数k的几何意义即可求得k．【解答】解：过C作CD⊥x轴于D，∵＝，∴＝，∵BA⊥x轴，∴CD∥AB，∴△DOC∽△AOB，∴＝（）2＝（）2＝，∵S△AOB＝，∴S△DOC＝S△AOB＝×＝，∵双曲线y＝在第二象限，∴k＝﹣2×＝﹣3，故选：A．8．（2021•黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在双曲线y＝﹣（x＜0）上，点C，D在y轴的正半轴上，点E在BC上，CE＝2BE，连接DE 并延长，交x轴于点F，连接CF，则△FCD的面积为（）A．2 B．C．1 D．【分析】根据题意设出A点和D点的坐标，设OC长度为m，根据CE＝2BE，得出E点的坐标，再通过证△DEC∽△DFO，得出比例关系，进而求出FO的长度，利用面积公式求面积刚好能消掉未知数得出面积的具体数值．【解答】解：根据题意，设A（n，﹣），D（0，﹣），设OC＝m，则C（0，m），CD＝﹣﹣m，∴B（n，m），BC＝﹣n，∵CE＝2BE，∴CE＝BC＝﹣n，∴E（n，m），由题知BC∥FO，∴∠DEC＝∠DFO，∠DCE＝∠DOF，∴△DEC∽△DFO，∴＝，即＝，∴FO＝，∴S△FCD＝FO•CD＝×（﹣﹣m）＝1，故选：C．9．（2021•宜昌·中考真题）某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p＝，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】直接利用反比例函数的性质，结合p，V的取值范围得出其函数图象分布在第一象限，即可得出答案．【解答】解：∵气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p＝（V，p都大于零），∴能够反映两个变量p和V函数关系的图象是：．故选：B．10．（2021•荆门·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的大致图象是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，函数y＝（k≠0）的图象在一、二象限，故选项②的图象符合要求．当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，函数y＝（k≠0）的图象经过三、四象限，故选项③的图象符合要求．故选：B．11．（2021•潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝（a ＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P 作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB ＝．（结果用a，b表示）【分析】设B（m，），A（，n），则P（m，n），阴影部分的面积S△AOB＝矩形的面积﹣三个直角三角形的面积可得结论．【解答】解：设B（m，），A（，n），则P（m，n），∵点P为曲线C1上的任意一点，∴mn＝a，∴阴影部分的面积S△AOB＝mn﹣b﹣b﹣（m﹣）（n﹣）＝mn﹣b﹣（mn﹣b﹣b+）＝mn﹣b﹣mn+b﹣＝a﹣．故答案为：a﹣．12．（2021•齐齐哈尔·中考真题）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C且与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B，AB＝3BC，连接OA，OB．若△OAB的面积为6，则k1+k2＝．【分析】由△OAB的面积为6，可求出△OBC的面积为2，进而求出△OAC的面积为8，再根据反比例函数系数k的几何意义可求出k1，k2，进而得出答案．【解答】解：∵S△AOB＝AB•OC＝6，S△BOC＝BC•OC，AB＝3BC，∴S△BOC＝2，∴S△AOC＝2+6＝8，又∵|k1|＝8，|k2|＝2，k1＜0，k2＜0，∴k1＝﹣16，k2＝﹣4，∴k1+k2＝﹣16﹣4＝﹣20，故答案为：﹣20．13．（2021•荆州·中考真题）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为．【分析】过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，S＝k，由OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，得出S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，即可得出S1＝4S4．【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，∴S1＝4S4．故答案为：S1＝4S4．14．（2021•益阳·中考真题）如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．（1）求点A的坐标；（2）确定该反比例函数的表达式．【分析】（1）把y＝0代入一次函数y＝2x﹣4，求出x，即可得到点A的坐标；（2）根据平移的性质求出点B的坐标，设所求反比例函数解析式为y＝，将B点坐标代入，即可求出该反比例函数的表达式．【解答】解：（1）∵点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，∴当y＝0时，2x﹣4＝0，解得x＝2，∴点A的坐标为（2，0）；（2）将点A（2，0）向上平移2个单位后得点B（2，2）．设过点B的反比例函数解析式为y＝，则2＝，解得k＝4，∴该反比例函数的表达式为y＝．15．（2021•河南·中考真题）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O 重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y＝的图象与大正方形的一边交于点A（1，2），且经过小正方形的顶点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的解析式；（2）先根据反比例函数系数k的几何意义求出小正方形的面积为4m2＝8，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积为4×22＝16，根据图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积即可求出结果．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（1，2），∴2＝，∴k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，∴设B点的坐标为（m，m），∵反比例函数y＝的图象经过B点，∴m＝，∴m2＝2，∴小正方形的面积为4m2＝8，∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且A（1，2），∴大正方形在第一象限的顶点坐标为（2，2），∴大正方形的面积为4×22＝16，∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝16﹣8＝8．16．（2021•宜宾·中考真题）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，与x轴交于点C（5，0），若OC＝AC，且S△OAC＝10．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）请直接写出不等式ax+b＞的解集．【分析】（1）因为C（5，0），所以OC＝5，又S△AOC＝10，过A作AE⊥x轴于E，可以得到AE＝4，在直角三角形中，利用勾股定理，求出CE长度，写出E点坐标，即可求出k和C的坐标，利用待定系数法，求解一次函数的表达式即可；（2）联立一次函数和反比例函数的解析式，求解一个方程组，得到交点A和B的坐标，根据图象，可以得到原不等式的解集．【解答】（1）如图1，过A作AE⊥x轴于E，∵C（5，0），OC＝AC，∴OC＝AC＝5，∵S△AOC＝10，∴，∴AE＝4，在Rt△ACE中，CE＝，∴OE＝8，∴A（8，4），∴k＝4×8＝32，将A和C的坐标代入到一次函数解析式中得，，∴，∴反比例函数的表达式为y＝，一次函数的表达式为；（2）联立两个函数解析式得，解得，，∴，由图象可得，当，x＞8或﹣3＜x＜0．17．（2021•台州·中考真题）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m，温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压（1）求k，b的值；（2）求R1关于U0的函数解析式；（3）用含U0的代数式表示m；（4）若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．【分析】（1）待定系数法求出k，b；（2）通过串联电路中电流处处相等和可以列出等量关系，然后再化简为R1关于U0的函数解析式；（3）把第（1）问求出的R1与m的函数解析式代入第（2）中的R1与U0的关系式中消去R1，然后变形；（4）利用第（3）问中U0与m的关系式，结合0≤U0≤6和m关于U0的增减性，得出电子体重秤可称的最大质量m．【解答】解：（1）将（0，240），（120，0）代入R1＝km+b，得：，解得：．∴R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）．（2）由题意得：可变电阻两端的电压＝电源电压﹣电表电压，即：可变电阻电压＝8﹣U0，∵I＝，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，∴．化简得：R1＝，∵R0＝30，∴．（3）将R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）代入，得：﹣2m+240＝，化简得：m＝（0≤m≤120）．（4）∵m＝中k＝﹣120＜0，且0≤U0≤6，∴m随U0的增大而增大，∴U0取最大值6的时候，m max＝＝115（千克）．B卷（建议用时：80分钟）1．（2021•阜新·中考真题）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2，则y1，y2的关系一定成立的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1+y2＝0 D．y1﹣y2＝0【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2确定A和B所在的象限，即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵x1＜0＜x2，∴A在第二象限，B在第四象限，∴y1＞0，y2＜0，∴y1＞y2．故选：A．2．（2021•本溪·中考真题）反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，则直线y＝kx+k 不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据反比例函数y＝的图象经过第二、四象限可判断出k的符号，进而可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，∴k＜0，∴一次函数y＝kx+k的图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限．故选：A．3．（2021•山西·中考真题）已知反比例函数y＝，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一，第三象限B．图象必经过点（4，）C．图象不可能与坐标轴相交D．y随x的增大而减小【分析】根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可．【解答】解：A．∵k＝6＞0，∴图象位于第一，第三象限，故A正确，不符合题意；B．∵4×＝6＝k，∴图象必经过点（4，），故B正确，不符合题意；C．∵x≠0，∴y≠0，∴图象不可能与坐标轴相交，故C正确，不符合题意；D．∵k＝6＞0，∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，故D错误，符合题意．故选：D．4．（2021•德州·中考真题）小红同学在研究函数y＝|x|+的图象时，发现有如下结论：①该函数有最小值；②该函数图象与坐标轴无交点；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④该函数图象关于y轴对称；⑤直线y＝8与该函数图象有两个交点，则上述结论中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】利用函数的图象和函数的增减性的特征对每一个选项进行分析判断得出结论．【解答】解：列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣11234…y…545545…画出函数图象如图，观察图象：①该函数有最小值，符合题意；②该函数图象与坐标轴无交点，符合题意；③当x＞0时，y随x的增大而增大，不合题意；④该函数图象关于y轴对称，符合题意；⑤令|x|+＝8，整理得x2﹣8x+4＝0或x2+8x+4＝0，∵Δ＝82﹣4×1×4＞0，∴两个方程均有两个不相等的实数根，即共有四个根，且这四个根互不相等．∴直线y＝8与该函数图象有四个交点，不符合题意，综上，以上结论正确的有：①②④，故选：B．5．（2021•湘西州·中考真题）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为y＝的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（）A．图象与x轴没有交点B．当x＞0时，y＞0C．图象与y轴的交点是（0，﹣）D．y随x的增大而减小【分析】根据函数的图象以及函数的解析式逐一判断即可．【解答】解：A．由图象可知，图象与x轴没有交点，故说法正确；B．由图象可知，当0＜x＜1时，y＜0，当x＞1时，y＞0，故说法错误；C．当x＝0时，函数值为﹣2，故图象与y轴的交点是（0，﹣2），故说法错误；D．当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小，故说法错误．故选：A．6．（2021•贵阳·中考真题）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝ax（a ≠0）的图象相交于A，B两点，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（2，1）【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线与反比例函数图象的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：根据题意，知点A与B关于原点对称，∵点A的坐标是（1，2），∴B点的坐标为（﹣1，﹣2）．故选：C．7．（2021•枣庄·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线AB垂直于x轴于点C（点C 在原点的右侧），并分别与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A，B，且AC+BC＝4，则△OAB的面积为（）A．2+或2﹣B．2+2或2﹣2 C．2﹣D．2+2【分析】先求出点A，点B坐标，可得AC＝x＝OC，BC＝，由AC+BC＝4，可求x 的值，由三角形的面积公式可求解．【解答】解：设点C（x，0），∵直线AB与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A，B，∴点A（x，x），点B（x，），∴AC＝x＝OC，BC＝，∵AC+BC＝4，∴x+＝4，∴x＝2±，当x＝2+时，AC＝2+＝OC，BC＝2﹣，∴AB＝2，∴△OAB的面积＝×BA×OC＝2+2；当x＝2﹣时，AC＝2﹣＝OC，BC＝2+，∴AB＝2，∴△OAB的面积＝×BA×OC＝2﹣2；综上所述：△OAB的面积为2+2或2﹣2，故选：B．8．（2021•温州·中考真题）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连结AE．若OE＝1，OC＝OD，AC＝AE，则k的值为（）A．2 B．C．D．2【分析】根据题意求得B（k，1），进而求得A（k，），然后根据勾股定理得到∴（）2＝（k）2+（）2，解方程即可求得k的值．【解答】解：∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，∴四边形BDOE是矩形，∴BD＝OE＝1，把y＝1代入y＝，求得x＝k，∴B（k，1），∴OD＝k，∵OC＝OD，∴OC＝k，∵AC⊥x轴于点C，把x＝k代入y＝得，y＝，∴AE＝AC＝，∵OC＝EF＝k，AF＝﹣1＝，在Rt△AEF中，AE2＝EF2+AF2，∴（）2＝（k）2+（）2，解得k＝±，∵在第一象限，∴k＝，故选：B．9．（2021•丽水·中考真题）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F乙、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）A．甲同学B．乙同学C．丙同学D．丁同学【分析】根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，以及水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值即可判断．【解答】解：根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂可得，∵阻力×阻力臂是个定值，即水桶的重力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变，∴动力越小，动力臂越大，即拉力越小，压力的作用点到支点的距离最远，∵F乙最小，∴乙同学到支点的距离最远．故选：B．10．（2021•玉林·中考真题）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD＝8，则k的值是．【分析】过点A作AE∥y轴，交BC与点E，设点A（a，）则B（﹣a，﹣），可表示出BC和DC的长度，又S△BCD＝＝8，即可求出k的值．【解答】解：过点A作AE∥y轴，交BC与点E，设点A（a，）则B（﹣a，﹣），∴BE＝2a，∵△ABC是等腰三角形，底边BC∥x轴，CD∥y轴，∴BC＝4a，∴点D的横坐标为3a，∴点D的纵坐标为，∴CD＝，∵S△BCD＝＝8，∴，∴k＝3，故答案为3．11．（2021•宿迁·中考真题）如图，点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则k＝．【分析】设OM的长度为a，利用反比例函数解析式表示出AM的长度，再表示出OC的长度，然后利用三角形的面积公式列式计算表示面积即可得解．【解答】解：作AM⊥OC，BN⊥OC，设OM＝a，∵点A在反比例函数y＝，∴AM＝，∵B是AC的中点，∴AB＝BC，∵AM⊥OC，BN⊥OC，∴BN∥AM，∴，，∴NM＝NC，BN＝＝，∵点B在反比例函数y＝，∴ON＝2a，又∵OM＝a，∴OM＝MN＝NC＝a，∴OC＝3a，∴S△AOC＝•OC•AM＝×3a×＝k＝12，解得k＝8；故答案为：812．（2021•宁波·中考真题）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x，y），我们把点B（，）称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上，函数y＝（x＞0）的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为．【分析】设点A的坐标为（m，），由“倒数点”的定义，得点B坐标为（，），分析出点B在某个反比例函数上，分两种情况：①点B在ED上，由ED∥x轴，得＝，解出m＝±2，（﹣2舍去），得点B纵坐标为1，此时，S△OBC＝×3×1＝；②点B在DC上，得点B横坐标为3，即＝3，求出点B纵坐标为：＝，此时，S△OBC＝×3×＝．【解答】解：设点A的坐标为（m，），∵点B是点A的“倒数点”，∴点B坐标为（，），∵点B的横纵坐标满足＝，∴点B在某个反比例函数上，∴点B不可能在OE，OC上，分两种情况：①点B在ED上，由ED∥x轴，∴点B、点A的纵坐标相等，即＝，∴m＝±2（﹣2舍去），∴点B纵坐标为1，此时，S△OBC＝×3×1＝；②点B在DC上，∴点B横坐标为3，即＝3，∴点B纵坐标为：＝，此时，S△OBC＝×3×＝；故答案为：或．13．（2021•德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．（1）求k的值及点C的坐标；（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积．【分析】（1）由点A（2，6）求出反比例函数的解析式为y＝，可得k值，进而求得B （4，3），由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+9，即可求出C点的坐标；（2）由（1）求出CD，根据S△ABD＝S△BCD﹣S△ACD可求得结论．【解答】解：（1）把点A（2，6）代入y＝，k＝2×6＝12，∴反比例函数的解析式为y＝，∵将点A向右平移2个单位，∴x＝4，当x＝4时，y＝＝3，∴B（4，3），设直线AB的解析式为y＝mx+n，由题意可得，解得，∴y＝﹣x+9，当x＝0时，y＝9，∴C（0，9）；（2）由（1）知CD＝9﹣5＝4，∴S△ABD＝S△BCD﹣S△ACD＝CD•|x B|﹣CD•|x A|＝×4×4﹣×4×2＝4．14．（2021•乐山·中考真题）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．（1）求点A对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝，由C（20，45）求出k，可得D坐标，从而求出A的指标值；（2）求出AB解析式，得到y≥36时，x≥，由反比例函数y＝可得y≥36时，x ≤25，根据25﹣＝＞17，即可得到答案．【解答】解：（1）设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y＝，将C（20，45）代入得：45＝，解得k＝900，∴反比例函数的解析式为y＝，当x＝45时，y＝＝20，∴D（45，20），∴A（0，20），即A对应的指标值为20；（2）设当0≤x＜10时，AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，20）、B（10，45）代入得：，解得，∴AB的解析式为y＝x+20，当y≥36时，x+20≥36，解得x≥，由（1）得反比例函数的解析式为y＝，当y≥36时，≥36，解得x≤25，∴≤x≤25时，注意力指标都不低于36，而25﹣＝＞17，∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．15．（2021•枣庄·中考真题）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数y＝（x≠0）的图象与性质进行探究．因为y＝＝1﹣，即y＝﹣+1，所以可以对比函数y＝﹣来探究．列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝，n＝；x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣1234…y＝﹣…124﹣4﹣2﹣1﹣﹣…y＝…23m﹣3﹣10n…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向平移个单位而得到．③函数图象关于点中心对称．（填点的坐标）【分析】（1）x＝﹣，x＝3，分别代入y＝﹣+1即可得m、n的值；（2）按要求分别用条光滑曲线顺次连接所描的点即可；（3）数形结合，观察函数图象即可得到答案．【解答】解：（1）x＝﹣时，y＝﹣+1＝5，∴m＝5，x＝3时，y＝﹣+1＝，∴n＝；故答案为：5，；（2）把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来，如图：（3）根据图象可得：①在y轴左边，y随x增大而增大，故答案为：增大；②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向上平移1个单位得到的，故答案为：上，1；③函数图象关于点（0，1）中心对称，故答案为：（0，1）．16．（2021•鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象在第二象限交于C，D（﹣6，2）两点，DE∥OC交x轴于点E，若＝．（1）求一次函数和反比例函数的表达式．（2）求四边形OCDE的面积．【分析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得C点坐标，再利用待定系数法求函数关系式；（2）解法一：根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，然后用△AOC的面积减去△AED的面积求解；解法二：由（1）问中的直线AB解析式，可以求出点A（﹣6.0），所以AO＝6，由△ADE ∽△ACO可以求出AE，尽而求出面积．【解答】解：（1）将D（﹣6，2）代入y＝中，k2＝﹣6×2＝﹣12，∴反比例函数的解析式为y＝﹣；过点D作DM⊥x轴，过点C作CN⊥x轴，∵DE∥OC，∴△ADE∽△ACO，∴，∴CN＝3DM＝6，将y＝6代入y＝﹣中，﹣，解得：x＝﹣2，∴C点坐标为（﹣2，6），将C（﹣2，6），D（﹣6，2）代入y＝k1x+b中，可得，解得：，∴一次函数的解析式为y＝x+8；（2）解法一：设直线OC的解析式为y＝mx，将C（﹣2，6）代入，得：﹣2m＝6，解得：m＝﹣3，∴直线OC的解析式为y＝﹣3x，由DE∥OC，设直线DE的解析式为y＝﹣3x+n，将D（﹣6，2）代入可得：﹣3×（﹣6）+n＝2，解得：n＝﹣16，。
反比例函数与平行四边形综合题最简洁解法
双曲线与平行四边形综合题的万能解法（适合初三学生）1.如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，BC=2AB ，点A 、B 的坐标分别为（-1,0），（0,2），C 、D 两点在反比例函数y=xk （x<0）的图像上，求K 值？解法一、解法二、设点C （a ，b ） 则D （a-1，b-2）a*b=（a-1）*(b-2)得：2a+b=2 AB=5 BC=25由两点之间的距离公式得：BC=22b -2a -0）（）（ =25 解得：a=-2即C （-2,6）K=-12解法三、（万能解法）如图： 分析：大家先理顺本题的关键点（运用尺规作图尝试将本题作出来）该平行四边形的特征就在于BC=2AB 的同时点C 、D 都能恰好落在反比例函数上，也就是说点C 、D 的横纵坐标的乘积相等。
如上图，设∠CBG=α，则∠ADH=α，容易知道：AB=5，所以BC=25在△BCG 中，BG=BC*cos α=25cos α，CG=BC*sin α=25sin α 所以C （-25sin α，25cos α+2）同理在△AHD 中，AH=25 sin α，DH=25cos αD （-1-25 sin α，25cos α）由点C 、D 的横纵坐标的乘积相等列等式：-25sin α*（25cos α+2）=（-1-25 sin α）*25cos α 解得：tan α=21， 由tan α容易求得sin α=55，con α=552 带入点C 得C 点的坐标为（-2,6）所以：k=-122、如图平行四边形AOBC 中，双曲线y=xk （k>0）经过点A 、E ，若平行四边的面积为18,求K 值？解法一、解法二、（万能解法）设∠AOB=α，AO=a ，OB=b ，平行四边的面积公式：a*b*sin α=18解得：b=αsin *a 18点A （a*cos α，a*sin α） B （αsin *a 18，0）K= a 2*cos α*sin α由中点坐标公式得E （2cos *a α+αsin *a 9，2sin *a α）点A 、E 在双曲线上： a*cos α*a*sin α=（2cos *a α+αsin *a 9）*2sin *a α 整理得：a 2*cos α*sin α=6所以：k=6。
中考数学平行四边形知识归纳总结附解析
一、选择题1．如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连接EG、OF，下列四个结论：①CE=CB；②AE=2OE；③OF=12 CG,其中正确的结论只有()A．①②③B．②③C．①③D．①②2．如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 ( )A．23B．4C．232+D．423+3．如图所示，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于G，交CD于F，若2DF=，4BG=，则AE的长为()A．47B．310C．10 D．124．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为 ( )A．4 B．4.5 C．5 D．65．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E 是对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，H 是CD 的中点，连接GH ，则GH 的最小值为（ ）A ．2B ．51-C ．2D ．422- 6．如图，正方形ABCD 的边长为10，8AG CH ==，6BG DH ==，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）A ．83B ．22C ．145D ．1052-7．如图，分别以Rt ACB ∆的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．给出下列结论：①CE BG =；②EC BG ⊥③22222FG BF BD BC +=+④222222BC GE AC AB +=+其中正确的是（ ）A ．②③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④8．如图，在ABCD 中，1234532,,,,AB AD E E E E E =,，依次是CB 上的五个点，并且1122334455CE E E E E E E E E E B =====，在三个结论：（1）33⊥DE AE ；（2）24⊥AE DE ；（3）22AE DE ⊥之中，正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．39．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝12AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：①CN⊥BD；②MN＝NP；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个10．如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：（1）∠DCF=12∠BCD；（2）EF=CF；（3）S△BEC= 2S△CEF；（4）∠DFE=3∠AEF；其中正确的结论是（）A．（1）（2）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（3）（4）二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA＝8，CF＝4，则点E的坐标是_____．12．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边CD 的中点，点P 在线段AB 上运动，F 是CP 的中点，则CEF ∆的周长的最小值是____________．13．如图,长方形纸片ABCD 中,AB ＝6 cm,BC ＝8 cm 点E 是BC 边上一点，连接AE 并将△AEB 沿AE 折叠, 得到△AEB′，以C ，E ，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长为___________cm.14．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．15．如图，在正方形ABCD 中，AC=62，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．16．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=︒，45ABC ∠=︒，22BC =DF =_________．17．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．18．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，19．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝12AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为_____．20．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．三、解答题21．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积22．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由； （2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形．23．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别是,AB AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长．24．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论； （2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．25．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________．（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．26．如图平行四边形ABCD ，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，EF 与AC 交于点O ． （1）如图①．求证：OE ＝OF ；（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片沿直线EF 折叠，点A 落在A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP 相等，并加以证明；（3）如图③，若△ABO 是等边三角形，AB ＝4，点F 在BC 边上，且BF ＝4．则CF OF＝ （直接填结果）．27．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE ＝，求证：CE CF ＝；拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？ 运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．28．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．29．如图，ABC ADC ∆≅∆，90,ABC ADC AB BC ︒∠=∠==，点F 在边AB 上，点E 在边AD 的延长线上，且,DE BF BG CF =⊥，垂足为H ，BH 的延长线交AC 于点G .（1）若10AB =，求四边形AECF 的面积；（2）若CG CB =，求证：2BG FH CE +=.30．已知：如图，在ABC 中，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连接CE ，过点C 作//CF BA 交PQ 于点F ，连接AF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若8AC =，AE=5，则求菱形AECF 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据正方形对角性质可得∠CEB=∠CBE，CE=CB；根据等腰直角三角形性质，证△ECG≌△BCG，可得2OE；根据直角三角形性质得OF=12BE=12CG.【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABO=∠ACO=∠CBO=45°，AB=BC，OA=OB=OC，BD⊥AC，∵BE平分∠ABO，∴∠OBE=12∠ABO=22.5°，∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5°，在△BCE中，∠CEB=180°-∠BCO-∠CBE=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠CEB=∠CBE，∴CE=CB；故①正确；∵OA=OB，AE=BG，∴OE=OG，∵∠AOB=90°，∴△OEG是等腰直角三角形，∴EG=2OE，∵∠ECG=∠BCG，EC=BC，CG=CG，∴△ECG≌△BCG，∴BG=EG，∴AE=EG=2OE；故②正确；∵∠AOB=90°，EF=BF，∵BE=CG，∴OF=12BE=12CG．故③正确．故正确的结论有①②③．故选A．【点睛】运用了正方形的性质、等腰三角形的性质、等腰梯形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．2．C解析：C【分析】如下图，△BEP的周长=BE+BP+EP，其中BE是定值，只需要BP+PE为最小值即可，过点E 作AC的对称点F，连接FB，则FB就是BP+PE的最小值．【详解】如下图，过点E作AC的对称点F，连接FB，FE，过点B作FE的垂线，交FE的延长线于点G∵菱形ABCD的边长为4，点E是BC的中点∴BE=2∵∠DAB=60°，∴∠FCE=60°∵点F是点E关于AC的对称点∴根据菱形的对称性可知，点F在DC的中点上则CF=CE=2∴△CFE是等边三角形，∴∠FEC=60°，EF=2∴∠BEG=60°∴在Rt △BEG 中，EG=1，BG=3 ∴FG=1+2=3∴在Rt △BFG 中，BF=()2233+=23根据分析可知，BF=PB+PE∴△PBE 的周长=232+故选：C【点睛】本题考查菱形的性质和利用对称性求最值问题，解题关键是利用对称性，将BP+PE 的长转化为FB 的长． 3．B解析：B【分析】如图，连接GE ，作GH ⊥CD 于H ．则四边形AGHD 是矩形，设AG=DH=x ，则FH=x-2．首先证明△ABE ≌△GHF ，推出BE=FH=x-2，在Rt △BGE 中，根据GE 2=BG 2+BE 2，构建方程求出x 即可解决问题．【详解】如图，连接GE ，作GH ⊥CD 于H ．则四边形AGHD 是矩形，设AG=DH=x ，则FH=x-2．∵GF 垂直平分AE ，四边形ABCD 是正方形，∴∠ABE=∠GHF=90°AB=AD=GH ，AG=GE=x ，∵∠BAE+∠AGF=90°，∠AGF+∠FGH=90°，∴∠BAE=∠FGH ，∴△ABE ≌△GHF ，∴BE=FH=x-2，在Rt △BGE 中，∵GE 2=BG 2+BE 2，∴x 2=42+（x-2）2，∴x=5，∴AB=9，BE=3，在Rt △ABE 中，222293310AB BE ++=故选：B ．【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．4．A解析：A【分析】取MB 的中点P ，连接FP ，EP ，DN ，由中位线的性质，可得当N 从A 到B 的运动过程中，点F 在FP 所在的直线上运动，即：线段EF 扫过图形为∆EFP ，求出当点N 与点A 重合时，FP 的值，以及FP 上的高，进而即可求解．【详解】取MB 的中点P ，连接FP ，EP ，DN ，∵FP 是∆MNB 的中位线，EF 是∆DMN 的中位线，∴FP ∥BN ，FP=12BN ，EF ∥DN ，EF=12DN ， ∴当N 从A 到B 的运动过程中，点F 在FP 所在的直线上运动，即：线段EF 扫过图形为∆EFP ．∴当点N 与点A 重合时，FP=12BN =12BA =4， 过点D 作DQ ⊥AB 于点Q ，∵AB ∥CD ，∠C =90°，AB =8，AD =CD =5，∴AQ=8-5=3，∴DQ=2222534AD AQ -=-=，∴当点N 与点Q 重合时，EF=11222DN DQ ==，EF ∥DQ ，即：EF ⊥AB ，即：EF ⊥FP ， ∴∆EFP 中，FP 上的高=2，∴当N 从A 到B 的运动过程中，线段EF 扫过图形的面积=12×4×2=4． 故选A ．【点睛】本题主要考查中位线的性质定理，勾股定理以及三角形的面积公式，添加合适的辅助线，构造三角形以及三角形的中位线，是解题的关键．5．A解析：A【分析】取AD 中点O ，连接OE ，得到△ODE ≌△HDG ，得到OE=HG,当OE ⊥AC 时，OE 有最小值，此时△AOE 是等腰直角三角形，OE=AE ，再根据正方形及勾股定理求出OE ，即可得到GH 的长．【详解】取AD 中点O ，连接OE ，得到△ODE ≌△HDG ，得到OE=HG,当OE ⊥AC 时，OE 有最小值，此时△AOE 是等腰直角三角形，OE=AE ，∵AD=AB=4,∴AO=12AB=2 在Rt △AOE 中，由勾股定理可得OE2+AE2=AO2=4,即2OE2=4解得OE=2∴GH 的最小值为2故选A ．【点睛】本题考查了正方形的性质,根据题意确定E 点的位置是解题关键．6．B解析：B【分析】延长DH 交AG 于点E ，利用SSS 证出△AGB ≌△CHD ，然后利用ASA 证出△ADE ≌△DCH ，根据全等三角形的性质求出EG 、HE 和∠HEG ，最后利用勾股定理即可求出HG ．【详解】解：延长DH 交AG 于点E∵四边形ABCD 为正方形∴AD=DC=BA=10，∠ADC=∠BAD=90°在△AGB 和△CHD 中AG CH BA DC BG DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AGB ≌△CHD∴∠BAG=∠DCH∵∠BAG ＋∠DAE=90°∴∠DCH ＋∠DAE=90°∴CH 2＋DH 2=82＋62=100= DC 2∴△CHD 为直角三角形，∠CHD=90°∴∠DCH ＋∠CDH=90°∴∠DAE=∠CDH ，∵∠CDH ＋∠ADE=90°∴∠ADE=∠DCH在△ADE 和△DCH 中ADE DCH AD DCDAE CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△DCH∴AE=DH=6，DE=CH=8，∠AED=∠DHC=90°∴EG=AG －AE=2，HE= DE －DH=2，∠GEH=180°－∠AED=90°在Rt △GEH 中，=故选B ．【点睛】此题考查是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．7．C解析：C【分析】利用SAS 证明△AGB ≌△ACE ，即可判断①；证明∠BNM=∠MAE=90︒，即可判断②；假设③成立，利用勾股定理对等式变形证得AC =BC ，而AC 与BC 不一定相等，即可判断③；利用勾股定理证得2222BC EG BE CG +=+，从而证得结论④成立．【详解】∵四边形ACFG 和四边形ABDE 都是正方形，∴AC=AG ，AB=AE ，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ，在△AGB 和△ACE 中，∵AG AC GAB CAE AB AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AGB ≌△ACE(SAS)，∴GB=CE ，故①正确；设BA 、CE 相交于点M ，∵△AGB ≌△ACE ，∴∠GBA=∠CEA ，又∵∠BMN=∠EMA ，∴∠BNM=∠MAE=90︒，∴EC BG ⊥，故②正确；设正方形ACFG 和正方形ABDE 的边长分别为a 和b ,∵ACB 为直角三角形，且AB 为斜边，∴22222AB AC b a BC -=-=，假设22222FG BF BD BC +=+成立，则有()22222a a BC b BC ++=+，整理得：()2222a BC b a =-，即2a BC BC =，∴a BC =，即AC BC =，∵AC 与BC 不一定相等，∴假设不成立，故③不正确；连接CG ，BE ，设BG 、CE 相交于N ，∵EC BG ⊥，∴222222222222BC EG BN NC EN NG BN EN NC NG BE CG +=+++=+++=+， ∵四边形ACFG 和四边形ABDE 都是正方形，∴222BE AB =，222CG AC =，∴222222BC EG AB AC +=+，故④正确；综上，①②④正确，故选：C ．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．解析：B【分析】先根据平行四边形性质和等腰三角形性质可得2AE 是BAD ∠的角平分线，4DE 是ADC ∠的角平分线，结论（2）正确．再利用结论（2）可得3390DAE ADE ∠+∠>︒，2290DAE ADE ∠+∠>︒即可判断结论（1）（3）错误，【详解】解：设1122334455CE E E E E E E E E E B m ======，则6BC m =， ABCD ，32AB AD =6AD BC m ∴==，//AD BC ，//AB CD ，4AB CD m ==在2ABE ∆中，24BE m AB ==22AE B BAE ∴∠=∠，//AD BC ，∴22AE B DAE ∠=∠，221=2DAE BAE BAD ∴∠=∠∠， 同理可得：4412ADE CDE ADC ∠==∠∠， //AB CD ，∴180BAD ADC ∠+∠=︒，2490DAE ADE ∴∠+∠=︒42AE DE ∴⊥，故（2）正确；∵32DAE DAE ∠>∠，34ADE ADE ∠>∠，∴3324DAE ADE DAE ADE ∠+∠>∠+∠，即3390DAE ADE ∠+∠>︒，∴390AE D ∠<︒所以3DE 与3AE 不垂直，故（1）不正确；∵，24ADE ADE ∠>∠，∴2224DAE ADE DAE ADE ∠+∠>∠+∠，即2290DAE ADE ∠+∠>︒，∴290AE D ∠<︒故（3）不正确；故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理等，证明2AE 是BAD ∠的角平分线，4DE 是ADC ∠的角平分线是解题关键．9．C【分析】证出OC＝BC，由等腰三角形的性质得CN⊥BD，①正确；证出MN是△AOB的中位线，得MN∥AB，MN＝12AB，由直角三角形的性质得NP＝12CD，则MN＝NP，②正确；周长四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠MND＝∠PND，则ND平分∠PNM，④正确；即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC＝12 AC，∵AD＝12 AC，∴OC＝BC，∵N是OB的中点，∴CN⊥BD，①正确；∵M、N分别是OA、OB的中点，∴MN是△AOB的中位线，∴MN∥AB，MN＝12 AB，∵CN⊥BD，∴∠CND＝90°，∵P是CD的中点，∴NP＝12CD＝PD＝PC，∴MN＝NP，②正确；∵MN∥AB，AB∥CD，∴MN∥CD，又∵NP＝PC，MN＝NP，∴MN＝PC，∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；∵MN∥CD，∴∠PDN＝∠MND，∵NP＝PD，∴∠PDN＝∠PND，∴∠MND＝∠PND，∴ND平分∠PNM，④正确；正确的个数有3个，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质等；熟练掌握三角形中位线定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．10．B解析：B【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△AEF ≌△DMF （ASA ），利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．【详解】（1）∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠DCF=12∠BCD ，故正确； （2）延长EF ，交CD 延长线于M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴FE=MF ，∠AEF=∠M ，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF ，∴EF=CF，故正确；（3）∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；（4）设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故正确，故选：B．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．二、填空题11．(-10，3)【解析】试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE，设CE=x，则BE=8-x，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x，根据勾股定理可得2224(8)x x+=-，解得x=3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E的坐标为（-10，3）.故答案为：（-10，3）12．2【分析】由题意根据三角形的中位线的性质得到EF=12PD，得到C△CEF=CE+CF+EF=CE+12（CP+PD）=12（CD+PC+PD）=12C△CDP，当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；并作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，进而分析即可得到结论．【详解】解：∵E为CD中点，F为CP中点，∴EF=12 PD，∴C△CEF=CE+CF+EF=CE+12（CP+PD）=12（CD+PC+PD）=12C△CDP∴当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；如图，作D关于AB的对称点T，连接CT，则PD=PT，∵AD=AT=BC=2，CD=4，∠CDT=90°，∴22224442CT CD DT=+=+=，∵△CDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC，∵PT+PC≥CT，∴PT+PC≥42，∴PT+PC的最小值为42，∴△PDC的最小值为4+42，∴C△CEF=12C△CDP=222+．故答案为：222+．【点睛】本题考查轴对称-最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．13．3或6【详解】①∠B′EC=90°时，如图1，∠BEB′=90°，由翻折的性质得∠AEB=∠AEB′=12×90°=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE=AB=6cm；②∠EB′C=90°时，如图2，由翻折的性质∠AB′E=∠B=90°，∴A、B′、C在同一直线上，AB′=AB ，BE=B′E ，由勾股定理得，=，∴B′C=10-6=4cm ，设BE=B′E=x ，则EC=8-x ，在Rt △B′EC 中，B′E 2+B′C 2=EC 2，即x 2+42=（8-x ）2，解得x=3，即BE=3cm ，综上所述，BE 的长为3或6cm ．故答案为3或6．14．5【分析】过点B 作BD ⊥l 2，交直线l 2于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ．则OABC 是平行四边形，所以OA=BC ，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD ，则可证明△OAF ≌△BCD ，所以OE 的长固定不变，当BE 最小时，OB 取得最小值，从而可求．【详解】解：过点B 作BD ⊥l 2，交直线x=4于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，直线l 1与OC 交于点M ，与x 轴交于点F ，直线l 2与AB 交于点N ．∵四边形OABC 是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO ，OC ∥AB ，OA=BC ，∵直线l 1与直线l 2均垂直于x 轴，∴AM ∥CN ，∴四边形ANCM 是平行四边形，∴∠MAN=∠NCM ，∴∠OAF=∠BCD ，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC ，在△OAF 和△BCD 中， FOA DBC OA BCOAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴．由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．15．32【详解】解析：∵在正方形ABCD中，AC=62∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°设EF与AD交点为O，O是AD的中点,∴AO=3以AD为对角线的所有▱AEDF中，当EF⊥AC时，EF最小，即△AOE是直角三角形，∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，OE=22OA=322，∴EF=2OE=3216．4【分析】证明CF∥DB，CF=DB，可得四边形CDBF是平行四边形，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可．【详解】解：∵CF∥AB，∴∠ECF=∠EBD．∵E是BC中点，∴CE=BE．∵∠CEF=∠BED，∴△CEF≌△BED（ASA）．∴CF=BD．∴四边形CDBF是平行四边形．作EM⊥DB于点M，∵四边形CDBF是平行四边形，22BC=，∴BE=122BC=，DF=2DE，在Rt△EMB中，EM2+BM2=BE2且EM=BM∴EM=1，在Rt△EMD中，∵∠EDM=30°，∴DE=2EM=2，∴DF=2DE=4．故答案为：4．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，17．1382+【分析】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，首先利用正方形性质结合题意求出AD=CD=AG=DQ=1，然后进一步根据菱形性质得出DE=EF=DG=2，再后通过证明四边形NKQR是矩形得出QR=NK=2，进一步可得2221382FN FR NR=+=+，再延长NS交ML于点Z，利用全等三角形性质与判定证明四边形FHMN为正方形，最后进一步求解即可.【详解】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，∵ABCD为正方形，∴∠CDG=∠GDK=90°，∵正方形ABCD面积为1，∴AD=CD=AG=DQ=1，∴DG=CT=2，∵四边形DEFG 为菱形，∴DE=EF=DG=2，同理可得：CT=TN=2，∵∠EFG=45°，∴∠EDG=∠SCT=∠NTK=45°，∵FE ∥DG ，CT ∥SN ，DG ⊥CT ，∴∠FQP=∠FRN=∠DQE=∠NKT=90°，∴FQ=FE+EQ=2+∵∠NKT=∠KQR=∠FRN=90°，∴四边形NKQR 是矩形，∴，∴FR=FQ+QR=2+，NR=KQ=DK −11=，∴22213FN FR NR =+=+再延长NS 交ML 于点Z ，易证得：△NMZ ≅△FNR(SAS)，∴FN=MN ，∠NFR=∠MNZ ，∵∠NFR+∠FNR=90°，∴∠MNZ+∠FNR=90°，即∠FNM=90°，同理可得：∠NFH=∠FHM=90°，∴四边形FHMN 为正方形，∴正方形FHMN 的面积=213FN =+故答案为：13+【点睛】本题主要考查了正方形和矩形性质与判定及与全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.18．6.5或8或18【分析】根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点∴13BQ =∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形∴ 6.5AP BM ==②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB == ∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'===，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置∴8AP =或18∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18． 故答案是：6.5或8或18【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．19513 【分析】 根据12•BC •AH ＝12•AB •AC ，可得AH ＝1313，根据 12AD •BO ＝12BD •AH ，得OB ＝613，再根据BE ＝2OB ＝1213，运用勾股定理可得EC ． 【详解】设BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，由勾股定理得：BC ＝13，∵点D 是BC 的中点，∴AD ＝DC ＝DB ＝13， ∵12•BC •AH ＝12•AB •AC ， ∴AH ＝613， ∵AE ＝AB ，DE ＝DB ，∴点A 在BE 的垂直平分线上，点D 在BE 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分线段BE ，∵12AD •BO ＝12BD •AH ， ∴OB ＝613， ∴BE ＝2OB ＝1213， ∵DE ＝DB=CD ， ∴∠DBE=∠DEB ，∠DEC=∠DCE ，∴∠DEB+∠DEC=12×180°=90°，即：∠BEC=90°， ∴在Rt △BCE 中，EC ＝22BC BE - ＝221213(13)()13-=51313． 故答案为：513． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键．20．答案不唯一，例AC=BD 等【分析】连接AC 、BD ，先证明四边形ABCD 是平行四边形，再根据菱形的特点添加条件即可.【详解】连接AC ，∵点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AC ，EF=12AC ， 同理HG ∥AC ，HG=12AC, ∴EF ∥HG ，EF=HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，连接BD ,同理EH=FG,EF ∥FG ，当AC=BD 时，四边形EFGH 是平行四边形，故答案为：答案不唯一，例AC=BD 等.【点睛】此题考查三角形中位线性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定.三、解答题21．（1）见解析（2）10【分析】（1）先证明AFE DBE ∆≅∆，得到AF DB =，AF CD =，再证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到12AD DC BC ==，即可证明四边形ADCF 是菱形。
中考数学复习专项之平行四边形(含答案)
平行四边形一、选择题1．（2022年北京龙文教育一模）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，4=AB ，7=AD ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF 的长为 A ．6 B ． 5 C ．4 D ． 3答案：D2．（2022年北京龙文教育一模）如图，已知平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =2，=150B ∠︒，则平行四边形ABCD 的面积为A. 2B. 3C. 33D. 6 答案：B3．（2022年北京平谷区一模）如图，在□ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足． 如果125A =∠，则BCE =∠ A ．25B ．30C ．35D ．55答案：C4、(2022年湖北荆州模拟6)如图，已知一张纸片□ABCD ，90B ∠>︒，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一个动点，沿EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片上的点F 处，连结AF ，则下列各角中与BEG ∠不．一定．．相等的是（ ▲ ） A. ∠FEG B. ∠EAFC.∠AEFD. ∠EFA 答案：C5、（2022年广东省珠海市一模）如图，P 为平行四边形ABCD 的对称中心，以P 为圆心作圆，过P 的任意直线与圆相交于点M ，N ．则线段BM ，DN 的大小关系是 A ． BM ＞DN B ． BM ＜DN C ． BM=DN D ． 无法确定题7图 题10图 答案：C6．（2022辽宁葫芦岛一模）如图，在平行四边形ABCD 中，AD =5，AB =3，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则线段BE ，EC 的长度分别为 （ ）FE ABCD第1题第2题AEBCD第3题图 第1题图AB CDEA ．2和3B ．3和2C ．4和1D ．1和4答案：B7、(2022年福州市初中毕业班质量检查)如图，已知△ABC ，以点B 为圆心，AC 长为半径画弧；以点C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点D ，且A 、D 在BC 同侧，连接AD ，量一量线段AD 的长，约为 A ．1.0cm B ．1.4cm C ．1.8cm D ．2.2cm B二、填空题1、（2022年湖北荆州模拟题）如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD =2DE .若△DEF 的面积为a ，则□ABCD 中的面积为 ▲ (用a 的代数式表示) .答案：8a 2、（2022重庆一中一模）已知在平面直角坐标系中有)2,1(-A ,)21(，B 两点,现从)22(--，、)62(，、）（2,1-、）（6,0四点中，任选两点作为C 、D ，则以A 、B 、C 、D 四个点为顶点所组成的四边形中是平行四边形的概率是________． 【答案】.133、（2022辽宁葫芦岛一模）如图，E 、F 分别是 ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S△APD15=2cm ，S △BQC 25=2cm ，则阴影部分的面积为 2cm ．答案：404、(2022珠海市文园中学一模）如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，连结DE 并延长，交AB 的延长线于F 点，且DE EF =，AB BF =．再添加一个条件，你认为下面四个条件中不能使四边形ABCD 是平行四边形的是 （ ）A ．AD BC =B ．CD BF =C ．A C ∠=∠D ．F CDE ∠=∠答案：BABC第7题图PA BDEQ（第3题）E BAFC D5．（2022年杭州拱墅区一模）在面积为12的平行四边形ABCD 中，过点A 作直线BC 的垂线交BC 于点E ，过点A 作直线CD 的垂线交CD 于点F ，若AB ＝4，BC ＝6，则CE ＋CF 的值为 ； 答案：10＋53或2＋3三、解答题1、 （2022沈阳一模）如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数是 .答案：120°求证：AF CE =答案1、(2022年安徽省模拟八)如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，： 平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，ACB CAD ∴∠=∠．又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠．在BEC △和DFA △中,,.BEC DFA ACB CAD AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BEC DFA ∴△≌△，∴CE AF =2、（2022届金台区第一次检测）已知：如图，□ABCD 中，点E 是AD 的中点，延长CE 交BA 的延长线于点F ． 求证：AB=AF ．答案：证∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD 且AB=CD ．CAEF第1题图∴∠F =∠2, ∠1=∠D ． （2分） ∵E 为AD 中点，∴AE =ED . （3分）在△AEF 和△DEC 中21F D AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△AEF ≌△DEC ． （5分） ∴AF =CD .∴AB =AF . （6分）3、(2022年江苏南京一模)（7分）我们可以将一个纸片通过剪切，结合图形的平移、旋转、翻折，重新拼接成一个新的图形．如图，沿△ABC 的中位线DE 剪切，将△ADE 绕点E 顺时针旋转180°， 可得到□BCFD ．请尝试解决下面问题（不写画法，保留痕迹，并作必要说明）： （1）将梯形纸片剪拼成平行四边形：请在下图中画出示意图，要求用两种不同．．的画法， 并简要说明如何剪拼和变换的；（2）如图，将四边形ABCD 剪拼成平行四边形．在下图中画出示意图．4、两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A =60°，AC =1. 固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：(1) 如图△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.(2)如图，当D 点移到AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由.A B E FC DABEFCD温馨提示：由平移性质可得CF ∥AD ，CF =AD(3)如图，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转△DEF ，使DF 落在AB 边上，此时F 点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出sinα的值.解：(1)过C 点作CG ⊥AB 于G ，在Rt △AGC 中，∵sin 60°=ACCG，∴23=CG ·············································· 1分∵AB =2，∴S 梯形CDBF =S △ABC =2323221=⨯⨯ ················································ 3分(2)菱形 ···························································································· 5分 ∵CD ∥BF ， FC ∥BD ，∴四边形CDBF 是平行四边形 ·························· 6分 ∵DF ∥AC ，∠ACD =90°，∴CB ⊥DF ··············································· 7分 ∴四边形CDBF 是菱形 ··································································· 8分 (判断四边形CDBF 是平行四边形，并证明正确，记2分)(3)解法一：过D 点作DH ⊥AE 于H ，则S △ADE =233121EB AD 21=⨯⨯=⋅⋅8分 又S △ADE =2321=⋅⋅DH AE ，)721(733或==AE DH ······························· 10分 ∴在Rt △DHE’中，si nα=)1421(723或=DE DH ········································· 12分 解法二：∵△ADH ∽△ABE ······························································ 8分∴AEADBE DH = 即：713=DH∴73=DH ····································································· 10分DG)∴sinα=)1421(723或 DE DH ················································· 12分5、（2022河南南阳市模拟）(8分)如图，已知E 是平行四边形ABCD 的边AB 上的点，连接DE ． （1）在∠ABC 的内部，作射线BM 交线段CD 于点F ，使∠CBF=∠ADE ； （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） 在（1）的条件下，求证：△ADE ≌△CBF ． （2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴∠A=∠C ，AD=BC …5分 ∵∠ADE=∠CBF …6分 ∴△ADE ≌△CBF （ASA ）．2、6．（2022云南勐捧中学一模）（本小题7分）已知，如图E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE ，DF=BE ，DF ∥BE ，四边形ABCD 是平行四边形吗？请说明理由． 【答案】解：结论：四边形ABCD 是平行四边形， 证明：∵DF ∥BE ， ∴∠AFD=∠CEB ， 又∵AF=CE DF=BE ，∴△AFD ≌△CEB （SAS ）， ∴AD=CB ，∠DAF=∠BCE ， ∴AD ∥CB ，∴四边形ABCD 是平行四边形．B(E )(F )CDE (F )αH第19题图DCF BAE7、（2022云南勐捧中学二模）（本小题6分）如图，在□ABCD 中，E 为BC 的中点，连接DE ．延长DE 交AB 的延长线于点F ．求证：AB=BF ． 【答案】解：由□ABCD 得AB ∥CD ， ∴∠CDF =∠F ，∠CBF =∠C ． 又∵E 为BC 的中点， ∴△DEC ≌△FEB ． ∴DC =FB ．由□ABCD 得AB =CD ， ∵DC =FB ，AB =CD ， ∴AB =BF ．8、(2022年广东省中山市一模)如图，在ABCD 中，E 为BC 边上一点，且AB AE =． （1）求证：ABC EAD △≌△．（2）若AE 平分DAB ∠，25EAC =∠，求AED ∠的度数． 证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC AD BC =∥，． ∴DAE AEB =∠∠．………1分 又∵AB AE =∴AEB B =∠∠ ∴B DAE =∠∠．………2分 ∴ABC EAD △≌△． ………3分（2）∵AE 平分DAB ∠∴DAE BAE DAE AEB ==∠∠，∠∠， ∴BAE AEB B ==∠∠∠． ∴ABE △为等边三角形． ………4分 ∴60BAE =∠．∵25EAC =∠∴85BAC =∠ ∵ABC EAD △≌△∴85AED BAC ==∠∠． ………5分9、(2022浙江永嘉一模)18．（本题8分）如图，E ，F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE ＝AF ，请你猜想：BE 与DF 有怎样的位置关系和数量关系？对你的猜想加以证明． 猜想：证明：【答案】解：猜想BE ∥DF ，BE =DF …………2分证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC =AD ，∠1=∠2又CE =AF ，∴⊿BCE ≌⊿DAF ……3分 ∴BE =DF ，∠3=∠4 …………2分（第1题图）B∴BE ∥DF ……………………1分10．（2022江西饶鹰中考模拟）在平行四边形ABCD 中，点E 是DC 上一点，且CE =BC ，AB =8，BC =5. （1）作AF 平分∠BAD 交DC 于F （尺规作图，保留作图痕迹）; （2）在（1）的条件下求EF 的长度。
2022中考数学压轴题函数平行四边形问题(一)
2022中考数学压轴题函数平行四边形问题（一） 例 1已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数334y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x=的图像上，且MO ＝MA ．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像通过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求那个二次函数的解析式；（3）假如点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数334y x =+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11上海24”，拖动点B 在y 轴上点A 下方运动，四边形ABCD 保持菱形的形状，能够体验到，菱形的顶点C 有一次机会落在抛物线上．思路点拨1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是差不多要求，抛物线能够不画出来，然而对抛物线的位置要心中有数．2．依照MO ＝MA 确定点M 在OA 的垂直平分线上，同时求得点M 的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．3．第（3）题求点C 的坐标，先依照菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m 表示点C 的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m ．满分解答（1）当x ＝0时，3334y x =+=，因此点A 的坐标为(0，3)，OA ＝3． 如图2，因为MO ＝MA ，因此点M 在OA 的垂直平分线上，点M 的纵坐标为32．将32y =代入32y x =，得x ＝1．因此点M 的坐标为3(1,)2．因此132AM =．（2）因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 通过A (0，3)、M3(1,)2，因此3,31.2c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩解得52b =-，3c =．因此二次函数的解析式为2532y x x =-+． （3）如图3，设四边形ABCD 为菱形，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ． 在Rt △ADE 中，设AE ＝4m ，DE ＝3m ，那么AD ＝5m ．因此点C 的坐标能够表示为(4m ，3－2m )．将点C(4m ，3－2m )代入2532y x x =-+，得23216103m m m -=-+．解得12m =或者m ＝0（舍去）． 因此点C 的坐标为（2，2）．图2 图3考点舒展假如第（3）题中，把“四边形ABCD 是菱形”改为“以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情形：如图4，点C 的坐标为727(,)416．图4例2将抛物线c1：2=x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．y x33（1）请直截了当写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x 轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，要求出现在m的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11江西24”，拖动点M 向左平移，能够体验到，四边形ANEM 能够成为矩形，现在B 、D 重合在原点．观看B 、D 的位置关系，能够体验到，B 、D 是线段AE 的三等分点，存在两种情形．思路点拨1．把A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点起始位置的坐标排列出来，用m 的式子把这六个点平移过程中的坐标排列出来．2．B 、D 是线段AE 的三等分点，分两种情形讨论，按照AB 与AE 的大小写出等量关系列关于m 的方程．3．依照矩形的对角线相等列方程．满分解答（1）抛物线c 2的表达式为233y x =（2）抛物线c 1：233y x =-x 轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为3)． 抛物线c 2：233y x =x 轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)，顶点为(0,3)-． 抛物线c 1向左平移m 个单位长度后，顶点M 的坐标为(3)m -，与x 轴的两个交点为(1,0)A m --、(1,0)B m -，AB ＝2．抛物线c 2向右平移m 个单位长度后，顶点N 的坐标为(,3)m ，与x 轴的两个交点为(1,0)D m -+、(1,0)E m +．因此AE ＝(1＋m )－(－1－m )＝2(1＋m )．①B 、D 是线段AE 的三等分点，存在两种情形：情形一，如图2，B 在D 的左侧，现在123AB AE ==，AE ＝6．因此2(1＋m )＝6．解得m ＝2．情形二，如图3，B 在D 的右侧，现在223AB AE ==，AE ＝3．因此2(1＋m )＝3．解得12m =．图2 图3 图4②假如以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形，那么AE ＝MN ＝2OM ．而OM 2＝m 2＋3，因此4(1＋m )2＝4(m 2＋3)．解得m ＝1（如图4）．考点舒展第（2）题②，探求矩形ANEM ，也能够用几何说理的方法：在等腰三角形ABM 中，因为AB ＝2，AB 3ABM 是等边三角形． 同理△DEN 是等边三角形．当四边形ANEM 是矩形时，B 、D 两点重合． 因为起始位置时BD ＝2，因此平移的距离m ＝1．。
中考数学复习考点知识归类讲解与练习17 反比例函数中的四边形问题
1 / 37中考数学复习考点知识归类讲解与练习 专题17 反比例函数中的四边形问题知识对接考点一、反比例函数中的四边形问题类型1单支双曲线上一点两垂直形成的矩形面积专项训练 一、单选题1．如图，四边形OABF 中，∠OAB ＝∠B ＝90°，点A 在x 轴上，双曲线k y x=过点F ，交AB 于点E ，连接EF ．若34BF OA =，S △BEF ＝9，则k 的值为（ ）A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】A【分析】设点F（a，ka），由34BFOA=得点E和点B，再结合S△BEF=9求k的值．【详解】解：设点F（a，ka ），∵34 BF OA=∴点B（4a，ka），点E（4a，4ka），∴BF=3a，BE=34ka，∵S△BEF=9，∴12•3a•34ka=9，∴k=8．故选：A．【点睛】本题考查了反比例图象上点的坐标，三角形的面积，采用了设而不求的方法求k的取值．2．如图，函数kyx=（k＞0）的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，若四边形ODBC的面积为6，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C【分析】根据反比例函数kyx=（k＞0）的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，可得到点D是AB的中点，进而得出11232AOD OCBDS S k===四边形，求出k即可．【详解】设B（2m，2n），∵E为BC中点，四边形OCBA是矩形，∴E（2m，n）∵函数kyx=（k＞0）的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，∴k=2mn，又点D在函数kyx=（k＞0）的图象上，∴点D坐标为（m，2n）∴点D是AB的中点，∴S△AOD＝13S四边形OCBD＝163⨯＝2＝12|k|，∴k＝4或k＝﹣4＜2（舍去），3 / 37故选：C ． 【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数k 的几何意义，以及矩形的性质，求出△OAD 的面积是解决问题的关键．3．如图，△ABO 的顶点A 在函数k y x=（x ＞0）的图象上，∠ABO ＝90°，过AO 边的三等分点M 、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P 、Q ．若四边形MOBP 的面积为5，则k 的值为（）A ．9B ．12C ．15D ．18【答案】D 【分析】根据已知条件，证明ABO APM △△，得到49APMABOS S=△△，推出9ABO S =△，又根据函数图象上点的几何意义，知道2ABO kS =△，从而推得k 值． 【详解】解：∵M 、N 为AO 边的三等分点，且//NQ OB ,//MP OB ∴11,9023AN AM AO AQN APM ==∠=∠= 在ABO APM △与△中：5 / 3790PAM BAOAPM ABO ∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩∴ABO APM △△222439APM ABO S AM S AO ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△ 又∵四边形MOBP 的面积为5 即5ABOAPMMOBP S S S=-=四边形∴9ABO S =△又∵A 在函数k y x=（x ＞0）的图象上，∠ABO ＝90°∴2ABO kS =△ ∴18k =∵函数图象在第一象限 ∴0k > ∴18k = 故选：D 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的几何意义，以及相似三角形的相关判定和性质，根据图形进行数形结合是解题关键．4．如图，点A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，点C D ､在x 轴上，且//BC AD ，四边形ABCD 的面积为3，则这个反比例函数的解析式为（）A．6yx=B．6yx=-C．3yx=D．3yx=-【答案】D【分析】过A点向x轴作垂线，与坐标轴围成的四边形的面积是定值|k|，由此可得出答案．【详解】解：过点A向x轴作垂线，如图，四边形ABCD的面积为3，根据反比例函数系数k的几何意义可得：3k=，又∵反比例的函数图象在第二象限，∴3k=-，即这个反比例函数的解析式为3yx=-．故选D．【点睛】此题考查了反比例函数的几何意义，解答本题关键是掌握在反比例函数中k所代表的几何意义，属于基础题，难度一般．7 / 375．如图，在平面直角坐标系中，ABCO 为平行四边形，(6,2)A ，(2,4)B ，反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过四边形OABC 的顶点C ，则k 的值是（）A ．3-B ．3C ．8D ．8-【答案】D 【分析】连接OB ，AC ，根据O ，B 的坐标易求P 的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C 点坐标，根据待定系数法即可求得k 的值． 【详解】解：连接OB ，AC ，相交于点P ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴AP =CP ，OP =BP ， ∵B （2，4）， ∴P 的坐标（1，2）， ∵A （6，2），∴C 的坐标为（-4，2），∵反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点C ，∴k=-4×2=-8，故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得C点的坐标是解答此题的关键．6．如图，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为A（3，0），∠COA= 60°，D为边AB的中点，反比例函数y =k（x > 0）的图象经过C，D两点，直线CD与y轴相交于点xE，则点E的坐标为（）A．（0，B．（0，C．（0，5）D．（0，6）【答案】B【分析】作CE⊥x轴于点E，过B作BF⊥x轴于F，过D作DM⊥x轴于M，设C的坐标为（x），表示出D的坐标，将C、D两点坐标代入反比例函数的解析式，解关于x的方程求出x即可得到点C、D的坐标，进而求得直线CD的解析式，最后计算该直线与y轴交点坐标即可得出结果．【详解】解：作CE⊥x轴于点E，则∠CEO=90°，过B作BF⊥x轴于F，过D作DM⊥x轴于M，则BF=CE，DM∥BF，BF=CE，∵D为AB的中点，∴AM=FM，∴DM=12BF，∵∠COA=60°，∴∠OCE=30°，∴OC=2OE，CE，∴设C的坐标为（x），∴AF=OE=x，CE=BF，OE=AF=x，DM，∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0），∴OF=3+x，OM=3+12x，即D点的坐标为(3+12x)，9 / 37把C、D的坐标代入y=kx得：k=x=(3+12x，解得：x1=2，x2=0（舍去），∴C（2，，D（4，设直线CD解析式为：y=ax+b，则24a ba b⎧=+⎪⎨+⎪⎩，解得ab⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线CD解析式为：y x=+∴当x=0时，y=∴点E的坐标为(0，．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、运用待定系数法求函数的解析式以及含30度角的直角三角形的性质．根据反比例函数图象经过C、D两点，得出关于x的方程是解决问题的关键．7．如图，四边形AOBC和四边形CDEF都是正方形，边OA在x轴上，边OB在y轴上，点D在边CB上，反比例函数y=8x-在第二象限的图象经过点E，则正方形AOBC和正方形CDEF的面积之差为（）A．12B．10C．8D．6【答案】C【分析】设正方形AOBC的边长为a，正方形CDEF的边长为b，则E（b-a，a+b），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得（a+b）•（b-a）=8，因为S正方形AOBC =a2，S正方形CDEF=b2，从而求得正方形AOBC和正方形CDEF的面积之差为8．【详解】解：设正方形AOBC的边长为a，正方形CDEF的边长为b，则E（a﹣b，a+b），∴（a+b）•（a﹣b）=8，整理为a2﹣b2=8，∵S正方形AOBC =a2， S正方形CDEF=b2，∴S正方形AOBC ﹣S正方形CDEF=8，故答案为：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=|k|；也考查了正方形的性质．8．如图，四边形AOBC和四边形CDEF都是正方形，边OA在y轴上，边OB在x 轴上，点11 / 37F在边AC上，反比例函数y＝10x在第一象限的图象经过点E，则正方形AOBC和正方形CDEF 的面积之差为（）A．12 B．10 C．6 D．4【答案】B【分析】设正方形AOBC的边长为a，正方形CDEF的边长为b，则E(a﹣b，a+b)，代入反比例函数解析式即可求解．【详解】解：设正方形AOBC的边长为a，正方形CDEF的边长为b，则E(a﹣b，a+b)，∴(a+b)•(a﹣b)＝10，整理为a2﹣b2＝10，∵S正方形AOBC＝a2，S正方形CDEF＝b2，∴S正方形AOBC﹣S正方形CDEF＝10，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数kyx(k是常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．13 / 379．如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x（x ＞0）的图象经过矩形OABC 的边BC 的中点D ，且与边AB 相交于点E ，则四边形ODBE 的面积为（ ）A ．32B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】由矩形的性质求出S △OAB =S △OBC ，反比例函数系数k 的几何意义△OAE 和△OCD 的面积各为1，根据等底同高，面积和差求出四边形OEBD 的面积为2． 【详解】解：连接OB ，如图所示：∵OB 是矩形OABC 的对角线， ∴S △OAB ＝S △OBC又∵点D 、E 在反比例函数y ＝2x（x ＞0）的图象上，∴1212OAE OCD S S ∆∆==⨯=，又∵CD＝BD ，OC 是△OCD 和△OBD 的高， ∴S △OCD ＝S △OAB ＝1， 又∵S △OBC ＝S △OCD +S △OBD ， ∴S △OAB ＝S △OBC ＝2 又∵S △OBE ＝S △OAB ﹣S △OAE ， ∴S △OBE ＝2﹣1＝1， 又∵S 四边形OEBD ＝S △ODE +S △OBE ， ∴S 四边形OEBD ＝1+1＝2， 故选：B ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的性质，三角形的面积和差法，等底同高法两个三角形的面积相等相关知识点，重点掌握反比例函数系数k 的几何意义，难点是作辅助线将不规则的四边形转化成三角形求解．10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象经过矩形OABC 的边BC 的中点D ，且与边AB 相交于点E ，点B 的坐标为（4，2），则四边形ODBE 的面积为（）A ．32B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】15 / 37首先根据条件求出反比例函数的k 值，再根据其几何意义对面积进行转换即可． 【详解】∵B (4，2)，D 为BC 的中点，∴D (2，2)，把点D (2，2)代入反比例函数解析式得k ＝4， ∴反比例函数解析式为4y x=(x ＞0)，则E (4，1)，∴S 四边形OEBD ＝S 矩形OABC －S △OCD －S △OAE ＝4×2－12×2×2－12×4×1＝4故选：D ． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式及反比例函数k 的几何意义，灵活利用k 的几何意义求解面积是解题关键． 二、填空题11．如图，反比例函数()0ky x x =>的图象经过长方形OABC 对角线的交点M ，分别与AB ，BC 相交于点D ，E ．若四边形ODBE 的面积为3，则k 的值为________．【答案】1 【分析】设M 点的坐标为(,)m n ，根据矩形性质求得,A B 的坐标，根据矩形的性质以及反比例函数k的几何意义2OCE OAD kS S ==△△，根据S 四边形ODBE =S 矩形ABCD OCE OAD S S --△△，以及已知条件即可求得k ．【详解】四边形ABCD 是矩形，BC y ∴⊥轴，BA x ⊥轴，由反比例函数k 的几何意义可知，,E D 在反比例函数图像上，2OCE OAD k S S ∴==△△ 设M 点的坐标为(,)m n ，而点M 在反比例函数图像上，则mn k =， 又矩形OABC 对角线的交点M ，M ∴为OB 的中点∴(2,2)B m n ，(2,0)A m ，(0,2)C n ，S 矩形ABCD =224AB OA n m mn ⨯=⨯=，∴S 四边形ODBE =S 矩形ABCD 114322OCE OAD S S k k k k --=--=△△， S 四边形ODBE =3，∴33k =，解得1k =， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义，矩形的性质，中点坐标公式，设点的坐标求解是解题的关键．12．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，Rt OAB ∆的直角顶点B 在x 轴的正半轴上，点A 在第一象限，反比例函数(0)ky x x =>的图象经过OA 的中点C ．交AB 于点D ，连接CD ．若17 / 37ACD ∆的面积是3，则四边形OBDC 的面积是______．【答案】5 【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k 的几何意义得到12OCE OBD S S k ∆∆==，根据OA 的中点C ，利用中线的性质和三线合一得到△OCE 和△OAB 的面积比为1:4，代入可得结论． 【详解】解：连接OD ，BC ，过C 作//CE AB ，交x 轴于E ，90ABO ∠=︒，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过OA 的中点C ，12COE BOD S S k∆∆∴==，3ACD OCD S S ∆∆==，ABC OBC S S ∆∆=，AC OC BC ==，//CE AB ，∴CE ⊥OB ， ∴OE =BE ，∴14OCE OAB S S ∆∆=，4OCE OAB S S ∆∆∴=，1143322k k ∴⨯=++，4k ∴=，14482OAB S ∆∴=⨯⨯=，∴四边形OBDC 的面积为5OAB ACD S S ∆∆-=，故答案为：5．【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义：在反比例函数k y x=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值||k ．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是1||2k ，且保持不变．13．如图，过点P （2，3）分别作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D ，PC 、PD 分别交反比例函数y 2x=（x ＞0）的图象于点A 、B ，则四边形BOAP 的面积为 ___．【答案】4 【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义可得S △DBO =S △AOC =12|k |=1，再利用矩形OCPD 的面积减去△BDO 和△CAO 的面积即可．19 / 37解：∵B、A 两点在反比例函数y 2x=（x ＞0）的图象上， ∴S △DBO =S △AOC =12×2=1， ∵P （2，3），∴四边形DPCO 的面积为2×3=6， ∴四边形BOAP 的面积为6-1-1=4， 故答案为4． 【点睛】此题主要考查了反比例函数k 的几何意义，关键是掌握在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k |，且保持不变．14．如图，反比例函数的图象与矩形ABCO 的边AB 交于点G ，与边BC 交于点D ，过点A ，D 作//DE AF ，交直线0y kx k 于点E ，F ，若OE OF =，BG =，则四边形ADEF 的面积为 ______ ．【答案】3 【分析】延长DE 交x 轴于K ，作DH OA ⊥于H ，证得OEKOFA ，即可证得KEOADKADEFADEOS S SS四边形四边形，设3(,)G a a ，用a 表示OA 和AB，根据三角形面积公式求得即【详解】解：延长DE 交x 轴于K ，作DH OA ⊥于设3(,)G a a ，则OA a =，3AGa， 3BGGA ， 33BGa，333DH AB AG BGa，//DE AF ，EKOFAO ，在OEK ∆和OFA ∆中，EKO FAO EOK FOA OEOF，()OEKOFA AAS ，OK OAa ，2AKa ，112322KEO ADK ADEF ADEO S S S S AK DH a ∆∆∴=+==⋅=⨯=+四边形四边形故答案为：3+ 【点睛】21 / 37本题考查了反比例函数综合，全等三角形的判定与性质，三角形面积公式，证得KEOADKADEFADEOS S SS四边形四边形是解题的关键．15．如图，两个反比例函数3y x =和1y x =在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形PAOB 的面积为_______．【答案】2 【分析】根据反比例函数k 值的几何意义即可求解． 【详解】∵C 2：y ＝1x 过A ，B 两点， C 1：y ＝3x过P 点， ∴S △ACO = S △BOD =12，S 矩形DPCO =3，∴S 四边形PAOB = S 矩形DPCO - S △ACO - S △BOD =3-12-12=2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图像和性质，解题的关键是熟知反比例函数k 值的几何意义． 三、解答题16．如图，点A 是坐标原点，点D 是反比例函数()60y x x=>图像上一点，点B 在x轴上，AD BD =，四边形ABCD 是平行四边形，BC 交反比例函数()60y x x=>图像于点E ．（1）平行四边形ABCD 的面积等于______；（2）设D 点横坐标为m ，试用m 的代数式表示点E 的坐标；（要有推理和计算过程） （3）EB 的最小值为______．【答案】（1）12；（2）1)m ；（3）【分析】（1）作DH AB ⊥于H ，设(,)D m n ．首先证明2AB m =，根据反比例函数的几何意义求出6mn =即可解决问题．（2）利用（1）中结论，根据2CD AB m ==得到点C 坐标，求出直线BC 的解析式，构建方程组确定点E 的坐标．（3）作EF x ⊥轴于F ，CG x ⊥轴于G ．利用平行线分线段成比例得到CEFGBE BF=BE AD =，求出AD 的最小值即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，作DH AB ⊥于H ，设(,)D m n ．DA DB =，DH AB ⊥，AH BH m ∴==，23 / 37点D 在6y x=上，6mn ∴=，212ABCD S AB DH mn ∴=⋅==平行四边形．故答案为12． （2）由题意6(,)D m m ， 由（1）可知2AB m =， 四边形ABCD 是平行四边形，2CD AB m ∴==，6(3,)C m m∴， (2,0)B m ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴6302mk b m mk b ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得：2612k m b m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线BC 的解析式为2612y x m m=-， 由26612y xy x m m⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1)x m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或(1x my ⎧=⎪⎨=⎪⎩，1)E m ∴． （3）作EF x ⊥轴于F ，CG x ⊥轴于G ．//EF CG ，∴CE FG BE BF ==BE ∴，要使得BE 最小，只要AD 最小，AD m ==，AD ∴的最小值为BE ∴=【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点,A B 在反比例函数(0)ky x x =>的图像上（点B 的横坐标大于点A 的横坐标），点A 的坐标为(2,4)，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，过点B 作BC x ⊥轴于点C ，连接,OA AB ．25 / 37（1）求反比例函数k y x=的表达式；（2）若点D 是OC 的中点，求四边形OABC 的面积． 【答案】（1）8y x=；（2）10 【分析】（1）反比例函数待定系数法求解析式，将已知点A 的坐标代入反比例函数k y x=即可； （2）四边形OABC 的面积可以拆解为AOD △和四边形ABCD 【详解】（1）把2,4x y ==代入ky x=得42k =，8k ∴=．∴反比例函数的表达式是8y x=． （2）∵点D 是OC 的中点，24OC OD ∴==．当4x =时824y ==．2BC ∴=．1124(24)21022AODOABC ABCD S SS ∴=+=⨯⨯+⨯+⨯=四边形四边形．【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，第二问考查了求反比例函数图像上的点的特点，解题的关键是求出点B的坐标．18．如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，OA＝2，OC＝3，E是AB中点，反比例函数图象过点E且和BC相交点F．（1）直接写出点B和点E的坐标；（2）求直线OB与反比例函数的解析式；（3）连接OE、OF，求四边形OEBF的面积．【答案】（1）B（2，3），E（2，32）；（2）33,2y x yx==；（3）3【分析】（1）根据OA＝2，OC＝3，得到点B的坐标；根据E是AB的中点，求得点E的坐标，（2）运用待定系数法求直线OB的解析式，再进一步运用待定系数法求得反比例函数的解析式；（3）根据反比例函数的解析式求得点F的横坐标，再进一步根据四边形的面积等于矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行计算．【详解】解：（1）∵OA＝2，OC＝3，E是AB中点，∴B（2，3），E（2，32）；27 / 37（2）设直线OB 的解析式是y ＝k 1x ， 把B 点坐标代入，得k 1＝32，则直线OB 的解析式是y ＝32x ．设反比例函数解析式是y ＝2k x， 把E 点坐标代入，得k 2＝3， 则反比例函数的解析式是y ＝3x； （3）由题意得F y ＝3，代入y ＝3x ， 得F x ＝1，即F （1，3）．则四边形OEBF 的面积＝矩形OABC 的面积﹣△OAE 的面积﹣△OCF 的面积＝2×3﹣12⨯1×3﹣12⨯2×32＝3． 【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义、待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，灵活应用是关键，本题是中考的常考题型19．如图，已知反比例函数()0ky x x=>的图象经过点()4,2A ，过A 作AC y ⊥轴于点C ．点B 为反比例函数图象上的一动点，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，连接AD ．直线BC 与x 轴的负半轴交于点E ． （1）求k 的值；（2）若3BD OC =，求四边形ACED 的面积．【答案】（1）8k ；（2）6． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）分别求出点B 、C 坐标，再求出直线BC 的解析式，进而求出E 点坐标，DE 的长，即可利用梯形面积公式解决问题． 【详解】解：（1）∵反比例函数()0k y x x=>的图象经过点()4,2A ， ∴24k =， 解得：8k ，∴反比例函数解析式为：()80y x x=>． （2）∵AC y ⊥轴，()4,2A ， ∴2OC =， ∴36BD OC==， ∵BD x ⊥轴，∴点B 的纵坐标为6，代入8y x=中，得：86x=，解得：43x =，29 / 37∴4,63B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵()0,2C ，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，则有4632k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：32k b =⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为：32y x =+， 令0y =，得：320x +=， 解得：23x =-，∴2,03E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴42233DE ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∵//AC DE ，∴()()11422622ACEDS AC DE OC =+=⨯+⨯=四边形．【点睛】本题为反比例函数与一次函数综合题，考查了待定系数法求反比例函数、一次函数解析式，熟练掌握待定系数法，理解函数图象上点的坐标特点是解题关键．20．如图，将一个矩形放置在平面直角坐标系中，OA ＝2，OC ＝3，E 是AB 的中点，反比例函数图象过点E 且与BC 相交于点F ． （1）求反比例函数的解析式；（2）连接OE 、OF ，求四边形OEBF 的面积．【答案】（1）3y x =；（2）3． 【分析】（1）根据题意求得E 点坐标，再根据待定系数法即可求得函数解析式； （2）根据OAE OCF OEBF OABC S S S S =--四边形矩形△△即可求得四边形的面积． 【详解】解：（1）由题意得()2,3B ， ∴32,2E ⎛⎫⎪⎝⎭，设反比例函数的解析式是()0k y k x=≠， 把E 点坐标代入，得3k =， 所以反比例函数的解析式是3y x =；（2）由题意得3F y =，代入3y x =，得1F x =，即()1,3F ，∴336322OAE OCFOEBF OABCS S S S=--=--=四边形矩形△△．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数k与图形面积，矩形的性质．（1）中能正确求得E点坐标是解题关键；（2）中掌握割补法是解题关键．21．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝mx与反比例函数y＝3nx-的图象交于A、PBD关于直线AP对称，连接AB，作CD∥y轴交直线AP于点C．（1）求m、n的值和点A的坐标；（2）求sin∠CDB的值；（3）连接AD、BC，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）m＝﹣2，n＝﹣3，A；（2；（3）60【分析】（1）把P点的坐标分别代入y＝mx与y＝3nx-即可求得；（2）根据反比例函数和正比例函数的对称性求得A的坐标，即可得出AB∥y轴，AB＝然后通过证得△CDP≌△ABP，得到AB＝CD＝CP＝AP，即可证得四边形ABCD是菱形，31 / 37根据勾股定理求得AP ，即可求得PC ，解直角三角形即可求得结论；（3）由菱形的性质可知S 四边形ABCD ＝4S △CPB ，求得△CPB 的面积，即可求得四边形ABCD 的面积．【详解】解：（1）∵正比例函数y ＝mx 与反比例函数y ＝3n x-的图象交于A 、P点，，解得，m ＝﹣2，n ＝﹣3；由题意可知A 与P 关于原点对称，且P，∴A；（2）∵BA，∴AB ∥y 轴，∴AB ＝∵CD ∥y 轴，∴AB ∥CD ，∴∠CDP ＝∠ABP ，∵点BD 关于直线AP 对称，∴AC ⊥BD ，PD ＝PB ，在△CDP 和△ABP 中，CDP ABP PD PB CPD APB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CDP ≌△ABP （ASA ），33 / 37∴AB ＝CD ＝CP ＝AP ，又∵AC ⊥BD ，PD ＝PB ，∴四边形ABCD 是菱形，∵P，A，∴PC PA =∴sin∠CDB ＝PC CD； （3）∵P，B，∴PB∴S 四边形ABCD＝114446022CPB S PB PC ∆=⨯⋅=⨯．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称的性质，反比例函数与正比例函数的对称性，菱形的判定和性质，三角形面积以及解直角三角形等，证得四边形是菱形是解题的关键．22．如图，已知矩形OABC 的顶点()8,6B -在反比例函数k y x =的图象上，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点P 在反比例函数k y x =的图象上，其横坐标为()8a a <-，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，PF y ⊥轴于点F ，交AB 于点G ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若四边形PEAG 为正方形，求点P 的坐标；（3）连接OP 交AB 于点M ，若:3:2BM MA =，求四边形PEAM 与四边形BMOC 的面积比．【答案】（1）48y x =-；（2）()12,4-；（3）:3:8PEAM BMOC S S =四边形四边形． 【分析】（1）把顶点()8,6B -代入反比例函数k y x =中得，利用待定系数法解题；（2）设点48,a P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭-，分别解出48PE a =-，8PG a =--，根据正方形的性质PE PG =，代入解题即可；（3）根据反比例函数的几何意义，四边形PEAM 的面积与BMO ∆的面积相等，结合等高的BMO ∆与MAO ∆的面积之比为3∶2，设BMO ∆的面积为3x ，则MAO ∆的面积为2x ，由此解得8BMOC S x =四边形，据此解题．【详解】解：（1）把顶点()8,6B -代入反比例函数k y x =中得，8648k =-⨯=-，48y x∴=-； （2）设点48,a P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭-，根据题意可知48PE a =-，8PG a =--，35 / 37∵四边形PEAG 为正方形，∴PE PG =，即848aa =---， ∴112a =-，24a =（舍），∴点P 的坐标为()12,4-；（3）根据反比例函数的几何意义，可知BAO ∆和PEO ∆的面积均为24，∴四边形PEAM 的面积与BMO ∆的面积相等，由:3:2BM MA =，根据等高的BMO ∆与MAO ∆的面积之比为3∶2，设BMO ∆的面积为3x ，则MAO ∆的面积为2x ，∴3BMO PEAM S S x ∆==四边形，∴5BAO BCO S S x ∆∆==，∴8BMOC S x =四边形，∴:3:8PEAM BMOC S S =四边形四边形．【点睛】本题考查待定系数法解反比例函数的解析式、反比例函数系数k 的几何意义、矩形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象分别交x 轴，y 轴于A （3，0），B （0，﹣3）两点，将直线AB 向上平移7个单位长度后，刚好与反比例函数m y x=（m ≠0）的图象只有一个交点C ，与y 轴交于点D ，连接AD ，BC ． （1）求直线AB 的函数表达式；（2）求点C 的坐标及四边形ABCD 的面积．【答案】（1）y=x-3；（2）点C 坐标为（-2，2）；四边形ABCD 的面积为17.5 ．【分析】（1）把A 、B 的坐标代入y=kx+b 可以得到关于k 、b 的方程组，解方程组得到k 与b 的值即可得到AB 的函数表达式；（2）由题意可得CD 的函数表达式，与反比例函数表达式联立得到关于x 的一元二次方程，由判别式等于0可以求得m ，从而得到C 点坐标，然后由四边形ABCD 的面积等于三角形BCD 面积加上三角形BDA 面积可以得到最终答案．【详解】解：（1）由题意可得：303k b b +=⎧⎨=-⎩，解之可得：k=1，b=-3， ∴直线AB 的函数表达式为y=x-3；（2）由题意可得CD 的函数表达式为：y=x-3+7即y=x+4， ∴x+4=m x，即x （x+4）=m ， 240x x m ∴+-=，由题意得：()24410m ∆=-⨯⨯-=，解得：m=-4，37 / 37 ∴24402x x x ++==-，，y=-2+4=2，∴点C 坐标为（-2，2），在y=x+4中令x=0得y=4，∴D 点坐标为（0，4），∴四边形ABCD 的面积=BDC ABD SS + =11727322⨯⨯+⨯⨯=7+10.5=17.5．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握一次函数解析式的求法及平移、一元二次方程特殊解的求法、由坐标轴与直线所围图形面积的求法是解题关键．。
2022年中考数学真题解析平行四边形的判定含答案
(1月最新最细）全国中考真题解析120考点汇编平行四边形旳鉴定一、选择题1.（•郴州）如图，下列四组条件中．不能鉴定四边形ABCD是平行四边形旳是（）A、AB=DC，AD=BCB、AB∥DC，AD∥BCC、AB∥DC，AD=BCD、AB∥DC，AB=DC考点：平行四边形旳鉴定。
分析：平行四边形旳鉴定：①两组对边分别平行旳四边形是平行四边形；②两组对边分别相等旳四边形是平行四边形；③两组对角分别相等旳四边形是平行四边形；④对角线互相平分旳四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等旳四边形是平行四边形．解答：解：根据平行四边形旳鉴定，A、B、D均符合是平行四边形旳条件，C则不能鉴定是平行四边形．故选：C．点评：此题重要考察了学生对平行四边形旳鉴定旳掌握状况．对于鉴定定理：“一组对边平行且相等旳四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”旳四边形不一定是平行四边形．2.（•泰州，7，3分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形旳条件共有（）A、．1组B、．2组C、．3组D、．4组考点：平行四边形旳鉴定。
专题：几何综合题。
分析：根据平行四边形旳判断定理可作出判断．解答：解：①根据平行四边形旳鉴定定理：两组对边分别平行旳四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；②根据平行四边形旳鉴定定理：两组对边分别相等旳四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；③根据平行四边形旳鉴定定理：两条对角线互相平分旳四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；④根据平行四边形旳鉴定定理：一组对边平行且相等旳四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形；故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，故选：C，点评：此题重要考察了平行四边形旳鉴定定理，精确无误旳掌握定理是做题旳关键．3.（•柳州）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中旳平行四边形旳个数共有（）A、12个B、9个C、7个D、5个考点：平行四边形旳鉴定与性质。
2022中考数学专项17 反比例函数中的平行四边形问题(原卷版)
专题17 反比例函数中地平行四边形问题1、如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y＝地图象过等边三角形BOC地顶点B,OC＝2,点A在反比例函数图象上,连接AC、AO．（1）求反比例函数解析式；（2）若四边形ACBO地面积为3,求点A地坐标．2、如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,点A、B在x轴上,点C、D在第二象限,点M是BC中点．已知AB＝6,AD＝8,∠DAB＝60°,点B地坐标为（﹣6,0）．（1）求点D和点M地坐标；（2）如图∠,将∠ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度,点D地对应点D′和点M地对应点M′恰好在反比例函数y＝（x＞0）地图象上,请求出a地值以及这个反比例函数地表达式；（3）如图∠,在（2）地条件下,过点M,M′作直线l,点P是直线l上地动点,点Q是平面内任意一点,若以B′,C′,P、Q为顶点地四边形是矩形,请直接写出所有满足条件地点Q地坐标．3、如图,四边形ABCD是平行四边形,点A（1,0）,B（4,1）,C（4,4）．反比例函数y＝（x＞0）地图象经过点D,点P是一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）地图象与该反比例函数图象地一个公共点．（1）求反比例函数地解析式；（2）通过计算,说明一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）地图象一定过点C；（3）对于一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）,当随x地增大而增大时,确定点P横坐标地取值范围（不必写过程）．4、小亮在研究矩形地面积S与矩形地边长x,y之间地关系时,得到如表数据：x0.5 1 1.5 2 3 4 6 12y12 6 ■ 3 2 1.5 1 0.5 结果发现一个数据被墨水涂黑了,（1）被墨水涂黑地数据为；（2）y与x地函数关系式为,且y随x地增大而；（3）如图是小亮画出地y关于x地函数图象,点B、E均在该函数地图象上,其中矩形OABC地面积记为S1,矩形ODEF地面积记为S2,请判断S1与S2地大小关系,并说明理由；（4）在（3）地条件下,DE交BC于点G,反比例函数y＝地图象经过点G交AB于点H,连接OG、OH,则四边形OGBH地面积为．5、如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,点A、B在x轴上,点C、D在第二象限,点M是BC中点．已知AB＝6,AD＝8,∠DAB＝60°,点B地坐标为（﹣6,0）．（1）求点D和点M地坐标；（2）如图①,将▱ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度,点D地对应点D′和点M地对应点M′恰好在反比例函数y＝（x＞0）地图象上,请求出a地值以及这个反比例函数地表达式；（3）如图②,在（2）地条件下,过点M,M′作直线l,点P是直线l上地动点,点Q是平面内任意一点,若以B′,C′,P、Q为顶点地四边形是矩形,请直接写出所有满足条件地点Q地坐标．6、已知,在直角坐标系中,平行四边形OABC地顶点A,C坐标分别为A（2,0）,C（﹣1,2）,反比例函数y＝地图象经过点B（m≠0）（1）求出反比例函数地解析式（2）将▱OABC沿着x轴翻折,点C落在点D处,作出点D并判断点D是否在反比例函数y＝地图象上（3）在x轴是否存在一点P使△OCP为等腰三角形？若存在,写出点P地坐标；若不存在,请说明理由．7、如图,四边形ABCD是平行四边形,点A（1,0）,B（4,1）,C（4,4）．反比例函数y＝（x＞0）地图象经过点D,点P是一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）地图象与该反比例函数图象地一个公共点．（1）求反比例函数地解析式；（2）通过计算,说明一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）地图象一定过点C；（3）对于一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）,当随x地增大而增大时,确定点P横坐标地取值范围（不必写过程）．8、如图,A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上地一点,在x轴正半轴上有一点B,OB＝4．连接OA,AB,且OA＝AB．过点B作BC⊥OB,交反比例函数y＝（其中x＞0）地图象于点C,连接OC交AB于点D,则地值为．9、如图,点A（1,3）为双曲线上地一点,连接AO并延长与双曲线在第三象限交于点B,M为y轴正半轴上一点,连接MA并延长与双曲线交于点N,连接BM、BN,已知△MBN地面积为,则点N地坐标为．10、如图,等边△OAB地边AB与y轴交于点C,点A是反比例函数y＝（x＞0）地图象上一点,且BC＝2AC,则等边△OAB地边长为．11、如图,直线y＝mx﹣1交y轴于点B,交x轴于点C,以BC为边地正方形ABCD地顶点A（﹣1,a）在双曲线y＝﹣（x＜0）上,D点在双曲线y＝（x＞0）上,则k地值为．12、如图,已知点A（2,3）和点B（0,2）,点A在反比例函数y＝地图象上,作射线AB,再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转α度,tanα＝,交反比例函数图象于点C,则点C地坐标为．13、如图,点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上地一个动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰△ABC,且∠ACB＝120°,点C在第一象限,随着点A地运动点C地位置也不断变化,但点C始终在双曲线y＝上运动,则k地值为．14、以矩形OABC地顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系,使点A、C分别在x、y轴地正半轴上,双曲线y＝（x＞0）地图象经过BC地中点D,且与AB交于点E,过OC边上一点F,把△BCF沿直线BF翻折,使点C落在矩形内部地一点C′处,且C′E∥BC,若点C′地坐标为（2,4）,则tan∠CBF地值为．15、如图,正方形ABCD地边长为5,点A地坐标为（﹣4,0）,点B在y轴上,若反比例函数y＝（k≠0）地图象过点C,则该反比例函数地表达式为；16、如图,点A在双曲线y＝地第一象限地那一支上,AB垂直于y轴与点B,点C在x轴正半轴上,且OC＝2AB,点E在线段AC上,且AE＝3EC,点D为OB地中点,若△ADE地面积为3,则k地值为．17、如图,已知直线y＝﹣x+2分别与x轴,y轴交于A,B两点,与双曲线y＝交于E,F两点,若AB＝2EF,则k地值是．。
2022中考数学专项16 反比例函数中的特殊四边形问题(解析版)
专题16 反比例函数中地特殊四边形问题1、如图,在直角坐标系xOy中,一直线y＝43x+b经过点A（﹣3,0）与y轴正半轴交于B点,在x轴正半轴上有一点D,且OA＝OD,过D点作DC⊥x轴交直线y＝43x+b于C点,反比例函数y＝kx（x＞0）经过点C．（1）求这条直线和反比例函数地解析式；（2）反比例函数图象上是否存在点P,使四边形BCPD为菱形？如果存在,求出P地点坐标；如果不存在,说明理由．（1）y＝43x+4＝8,24yx；（2）P（6,4）．（1）⊥直线y＝43x+b经过A（﹣3,0）,⊥﹣4+b＝0,⊥b＝4,⊥直线地解析式为y＝43x+4,⊥OA＝OD＝3,⊥D（3,0）,把x＝3代入y＝43x+4＝8,⊥C（3,8）,⊥反比例函数y ＝k x经过点C , ⊥k ＝3×8＝24, ⊥反比例函数解析式为y ＝24x； （2）当四边形BCPD 是菱形时,⊥C （3,8）,D （3,0）,⊥CD ⊥x 轴,⊥点P 和点B 关于CD 对称,⊥点P 地坐标为（6,4）,⊥4×6＝24＝k ,⊥点P 在反比例函数图象上,⊥反比例函数图象上存在点P ,使四边形BCPD 为菱形,此时点P （6,4）．2、知：如图,直线12y x b =+与x 轴负半轴交于点A ,与y 轴正半轴交于点B ,线段OA 地长是方程2780x x --=地一个根,请解答下列问题：（1）求点B 地坐标；（2）双曲线(),k y k 0x 0x=≠>与直线AB 交于点C ,且AC =,求k 地值；（3）在（2）地条件下,点E 在线段AB 上,AE =,直线l y ⊥轴,垂足为()0,7P ,点M 在直线l 上,在直线AB 上地坐标平面内是否存在点N ,使以点C 、E 、M 、N 为顶点地四边形是矩形？若存在,请求出点N 地坐标；若不存在,请说明理由.（1）()0,4B ；（2）10；（3）()1,11-或()7,3-（2）在Rt AOB 中,84OA OB ==，,⊥AB =如图,过点C 作CH x ⊥轴于点H ,则CH OB ,⊥AOB AHC ∽⊥ OB AB OA CH AC OH == 即 48CH AH== 解得510CH AH ==，,⊥1082OH =-=,⊥()2,5C ．⊥双曲线（()0,0k y k x x=≠>）经过点C , ⊥2510k =⨯=·（3）存在⊥当CE 为以点C E M N 、、、为顶点地矩形地一边时,过点E 作EG x ⊥轴于点G ,作EM AC ⊥交直线l 于点M ,如图所示,⊥EG OB ,⊥AGE AOB ∽⊥ 14EG AG AE OB AO AB ==== ⊥114EG OB ==,124AG AO == ⊥826OG =-=,⊥()6,1E -．⊥EM AC ⊥,⊥设直线EM 地函数表达式为2y x c =-+,把()6,1E -代入,得121c +=,解得11c =-,⊥直线EM 地函数表达式为211y x =--当7y =时,211y x =--,⊥9x =-,⊥()9,7M -．（注：也可以用三角形相似求解()6,7D 159RT AEG RT DME DM PM ==∽，⊥()9,7M -如图3图3⊥()2,5C⊥点N 地坐标为()1,11-；（点地平移）当CE 为以点C E M N 、、、为顶点地矩形地一边时,同理得出满足条件地另一点N 地坐标为()7,3-； ⊥当CE 为以点C E M N 、、、为顶点地矩形地对角线时,点N 在直线AB 地下方,不符合题意. ⊥满足条件地()1,11-地坐标为()1,11-或()7,3-；3、如图所示,直线y 1=与x 轴交于点A,与y 轴交于点C,与反比例函数y 2=（x ＞0）地图象交于点P,作PB⊥x 轴于点B,且AC=BC ．（1）求点P 地坐标和反比例函数y 2地解析式；（2）请直接写出y 1＞y 2时,x 地取值范围；（3）反比例函数y 2图象上是否存在点D,使四边形BCPD 为菱形？如果存在,求出点D 地坐标；如果不存在,说明理由．（1）反比例函数地解析式为y2=；（2）当x＞4时,y1＞y2；（3）反比例函数地图象上存在点D使四边形BCPD是菱形,此时D地坐标是（8,1）．（3）连接DC与PB交于点E,若四边形BCPD是菱形时,CE=DE,则CD地长即可求得,从而求得D地坐标,判断D是否在反比例函数地图象上即可．试题解析：（1）⊥一次函数y1=地图象与x轴交于点A,与y轴交于点C,⊥A（﹣4,0）,C（0,1）,又⊥AC=BC,CO⊥AB,⊥O是AB地中点,即OA=OB=4,且BP=2OC=2,⊥P地坐标是（4,2）,将P（4,2）代入y2=得m=8,即反比例函数地解析式为y2=；（2）当x＞4时,y1＞y2；（3）假设存在这样地点D,使四边形BCPD为菱形,如图所示,连接DC与PB交于点E．⊥四边形BCPD是菱形,⊥CE=DE=4,⊥CD=8,将x=8代入反比例函数解析式y=得y=1,⊥D地坐标是（8,1）,即反比例函数地图象上存在点D使四边形BCPD是菱形,此时D地坐标是（8,1）．4、如图1,在平面直角坐标系xOy中,函数y＝（m为常数,m＞1,x＞0）地图象经过点P（m,1）和Q（1,m）,直线PQ与x轴,y轴分别交于C,D两点．（1）求∠OCD地度数；（2）如图2,连接OQ、OP,当∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC时,求此时m地值；（3）如图3,点A,点B分别在x轴和y轴正半轴上地动点．再以OA、OB为邻边作矩形OAMB．若点M 恰好在函数y＝（m为常数,m＞1,x＞0）地图象上,且四边形BAPQ为平行四边形,求此时OA、OB地长度．解：（1）设直线PQ地解析式为y＝kx+b,则有,解得,∴y＝﹣x+m+1,令x＝0,得到y＝m+1,∴D（0,m+1）,令y＝0,得到x＝m+1,∴C（m+1,0）,∴OC＝OD,∵∠COD＝90°,∴∠OCD＝45°．（2）如图2,过Q作QM⊥y轴于M,过P作PN⊥OC于N,过O作OH⊥CD于H,∵P（m,1）和Q（1,m）,∴MQ＝PN＝1,OM＝ON＝m,∵∠OMQ＝∠ONP＝90°,∴△OMQ≌△ONP（SAS）,∴OQ＝OP,∠DOQ＝∠POC,∵∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC,∠OCD＝45°,∴∠DOQ＝∠POC＝∠QOH＝∠POH＝22.5°, ∴MQ＝QH＝PH＝PN＝1,∵∠OCD＝∠ODC＝45°,∴△DMQ和△CNP都是等腰直角三角形,∴DQ＝PC＝,∵OC＝OD＝m+1,∴CD＝OC＝,∵CD＝DQ+PQ+PC,∴＝2+2,∴m＝+1；（3）如图3,∵四边形BAPQ为平行四边形,∴AB∥PQ,AB＝PQ,∴∠OAB＝45°,∵∠AOB＝90°,∴OA＝OB,∴矩形OAMB是正方形,∵点M恰好在函数y＝（m为常数,m＞1,x＞0）地图象上,∴M（,）,即OA＝OB＝,∵AB＝PQ,∴,解得：m＝或（舍）,∴OA＝OB＝＝＝＝．5、如图①,直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）地图象交于A（2,6）,B（a,3）两点,BC∥x轴（点C在点B地右侧）,且BC＝m,连接OC,过点C作CD⊥x轴于点D,交反比例函数图象于点E．（1）求b地值和反比例函数地解析式；（2）填空：不等式﹣x+b＞地解为；（3）当OC平分∠BOD时,求地值；（4）如图②,取BC中点F,连接DF,AF,BD,当四边形ABDF为平行四边形时,求点F地坐标．（1）将A（2,6）代入y＝﹣x+b得,﹣3+b＝6, 解得：b＝9,将A（2,6）代入y＝得,k＝12,∴反比例函数地解析式为：y＝；（2）当y＝3时,3＝,解得：x＝4,∴B（4,3）,由图象可知不等式﹣x+b＞地解为：2＜x＜4, 故答案为：2＜x＜4；（3）将B（a,3）代入y＝得,＝3,解得：a＝4,∵OC平分∠BOD,∴∠BOC＝∠COD,∵BC∥x轴,∴∠BCO＝∠COD,∴∠BOC＝∠BCO,∴OB＝BC,∵B（4,3）,∴OB＝BC＝5,∴C（9,3）,∴E（9,）,D（9,0）,∴DE＝,CE＝3﹣＝,∴＝＝；（4）作AH⊥BC于H,则H（2,3）,∴AH＝3,BH＝2,∵四边形ABDF为平行四边形,∴AB∥DF,AB＝DF,∴∠CFD＝∠CBQ,∵∠AHB＝∠DCF＝90°,∠ABH＝∠CBQ, ∴∠CFD＝∠ABH,∴△ABH≌△DFC（AAS）,∴CF＝BH＝2,∵F是BC中点,∴BF＝CF＝BC＝2,∵B（4,3）,∴F（6,3）．6、如图,直线y＝mx﹣1交y轴于点B,交x轴于点C,以BC为边地正方形ABCD地顶点A（﹣1,a）在双曲线y＝﹣（x＜0）上,D点在双曲线y＝（x＞0）上,则k地值为．解：∵A（﹣1,a）在双曲线y＝﹣（x＜0）上,∴a＝2,∴A（﹣1,2）,∵点B在直线y＝mx﹣1上,∴B（0,﹣1）,∴AB＝＝,∵四边形ABCD是正方形,∴BC＝AB＝,设C（n,0）,∴＝,∴n＝﹣3（舍）或n＝3,∴C（3,0）,∴点B向右平移3个单位,再向上平移1个单位,∴点D是点A向右平移3个单位,再向上平移1个单位,∴点D（2,3）,∵D点在双曲线y＝（x＞0）上,∴k＝2×3＝6,故答案为：6．7、如图,正方形ABCD地边长为5,点A地坐标为（﹣4,0）,点B在y轴上,若反比例函数y＝（k≠0）地图象过点C,则该反比例函数地表达式为；解：如图,过点C作CE⊥y轴于E,在正方形ABCD中,AB＝BC,∠ABC＝90°,∴∠ABO+∠CBE＝90°,∵∠OAB+∠ABO＝90°,∴∠OAB＝∠CBE,∵点A地坐标为（﹣4,0）,∴OA＝4,∵AB＝5,∴OB＝＝3,在△ABO和△BCE中,,∴△ABO≌△BCE（AAS）,∴OA＝BE＝4,CE＝OB＝3,∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1,∴点C地坐标为（3,1）,∵反比例函数y＝（k≠0）地图象过点C, ∴k＝xy＝3×1＝3,∴反比例函数地表达式为y＝．故答案为：y＝．8、菱形ABCD地顶点C与原点O重合,点B落在y轴正半轴上,点A、D落在第一象限内,且D点坐标为（4,3）．（1）如图1,若反比例函数y＝（x＞0）地图象经过点A,求k地值；（2）菱形ABCD向右平移t个单位得到菱形A1B1C1D1,如图2．⊥请直接写出点B1、D1地坐标（用含t地代数式表示）：B1、D1；⊥是否存在反比例函数y＝（x＞0）,使得点B1、D1同时落在y＝（x＞0）地图象上？若存在,求n地值；若不存在,请说明理由．解：（1）如图,作DF⊥x轴于点F,⊥点D地坐标为（4,3）,⊥FO＝4,DF＝3,⊥DO＝5,⊥AD＝5．⊥A点坐标为（4,8）,⊥xy＝4×8＝32,⊥k＝32；（2）⊥平移后B1、D1地坐标分别为：（t,5）,（t+4,3）,故答案为：（t,5）,（t+4,3）；⊥存在,理由如下：⊥点B1、D1同时落在（x＞0）地图象上B1（t,5）,D1（t+4,3）,⊥5t＝n,3（t+4）＝n,解得：t＝6,n＝30所以,存在,此时n＝30．9、正方形ABCD地顶点A（1,1）,点C（3,3）,反比例函数y＝（x＞0）．（1）如图1,双曲线经过点D时求反比例函数y＝（x＞0）地关系式；（2）如图2,正方形ABCD向下平移得到正方形A′B′C′D′,边A'B'在x轴上,反比例函数y＝（x＞0）地图象分别交正方形A′B′C′D′地边C'D′、边B′C′于点F、E,⊥求⊥A'EF地面积；⊥如图3,x轴上一点P,是否存在⊥PEF是等腰三角形,若存在直接写出点P坐标,若不存在明理由．解：（1）⊥点A（1,1）,点C（3,3）,⊥点D（1,3）,将点D地坐标代入反比例函数表达式得：k＝3,故反比例函数表达式为：y＝；（2）平移后点A′、B′、C′、D′地坐标分别为：（1,0）、（3,0）,（3,2）、（1,2）,则平移后点E纵坐标为3,则点E（3,1）,同理点F（,2）,⊥A'EF地面积＝S正方形A′B′C′D′﹣S⊥A′B′E﹣S⊥A′D′F﹣S⊥EFC′＝2×2×2×﹣2×1﹣××1＝；（3）点E、F地坐标分别为：（3,1）、（,2）,设点P（m,0）,则EF2＝（3﹣）2+（2﹣1）2＝,EP2＝（m﹣3）2+1,PF2＝（m﹣）2+4,当EF＝EP时,即＝（m﹣3）2+1,解得：m＝或；当EF＝PF时,同理可得：m＝（舍去负值）；当EP＝PF时,同理可得：m＝,故点P地坐标为（,0）或（,0）或（,0）或（,0）．10、如图（1）,正方形ABCD顶点A、B在函数y＝（k＞0）地图象上,点C、D分别在x轴、y轴地正半轴上,当k地值改变时,正方形ABCD地大小也随之改变．（1）若点A地横坐标为5,求点D地纵坐标；（2）如图（2）,当k＝8时,分别求出正方形A′B′C′D′地顶点A′、B′两点地坐标；（3）当变化地正方形ABCD与（2）中地正方形A′B′C′D′有重叠部分时,求k地取值范围．解：（1）如图,过点A作AE⊥y轴于点E,则⊥AED＝90°．⊥四边形ABCD为正方形,⊥AD＝DC,⊥ADC＝90°,⊥⊥ODC+⊥EDA＝90°．⊥⊥ODC+⊥OCD＝90°,⊥⊥EDA＝⊥OCD,在⊥AED和⊥DOC中,⊥⊥AED⊥⊥DOC（AAS）,⊥OD＝EA＝5,⊥点D地纵坐标为5；（2）作A′M⊥y轴于M,B′N⊥x轴于点N,设OD′＝a,OC′＝b,同理可得⊥B′C′N⊥⊥C′D′O⊥⊥A′D′E,⊥C′N＝OD′＝A′M＝a,B′N＝C′O＝D′M＝b,⊥A′（a,a+b）,B′（a+b,b）,⊥点A′、B′在反比例函数y＝地图象上,⊥a（a+b）＝8,b（a+b）＝8,⊥解得a＝b＝2或a＝b＝﹣2（舍去）,⊥A′、B′两点地坐标分别为（2,4）,（4,2）；（3）设直线A′B′地解析式为y＝mx+n,把A′（2,4）,B′（4,2）代入得,解得,⊥直线A′B′解析式为y＝﹣x+6,同样可求得直线C′D′解析式为y＝﹣x+2,由（2）可知⊥OCD是等腰直角三角形,设点A地坐标为（m,2m）,点D坐标为（0,m）,当A点在直线C′D′上时,则2m＝﹣m+2,解得m＝,此时点A地坐标为（,）,⊥k＝×＝；当点D在直线A′B′上时,有m＝6,此时点A地坐标为（6,12）,⊥k＝6×12＝72；综上可知：当变化地正方形ABCD与（2）中地正方形A′B′C′D′有重叠部分时,k地取值范围为≤x≤72．11、如图,已知直线y＝2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,矩形ACBE地顶点B在第一象限地反比例函数y＝图象上,过点B作BF⊥OC,垂足为F,设OF＝t．（1）求⊥ACO地正切值；（2）求点B地坐标（用含t地式子表示）；（3）已知直线y＝2x+2与反比例函数y＝图象都经过第一象限地点D,联结DE,如果DE⊥x轴,求m地值．如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD地对角线AC与BD交于点P（﹣2,3）,AB⊥x轴于点E,正比例函数y＝（m﹣1）x地图象与反比例函数y＝地图象相交于A,P两点．（1）求m,n地值与点A地坐标；（2）求cos∠ABP地值．12、正方形ABCD地顶点A（1,1）,点C（3,3）,反比例函数y＝（x＞0）．（1）如图1,双曲线经过点D时求反比例函数y＝（x＞0）地关系式；（2）如图2,正方形ABCD向下平移得到正方形A′B′C′D′,边A'B'在x轴上,反比例函数y＝（x＞0）地图象分别交正方形A′B′C′D′地边C'D′、边B′C′于点F、E,①求△A'EF地面积；②如图3,x轴上一点P,是否存在△PEF是等腰三角形,若存在直接写出点P坐标,若不存在明理由．解：（1）∵点A（1,1）,点C（3,3）,∴点D（1,3）,将点D地坐标代入反比例函数表达式得：k＝3,故反比例函数表达式为：y＝；（2）平移后点A′、B′、C′、D′地坐标分别为：（1,0）、（3,0）,（3,2）、（1,2）,则平移后点E纵坐标为3,则点E（3,1）,同理点F（,2）,△A'EF地面积＝S正方形A′B′C′D′﹣S△A′B′E﹣S△A′D′F﹣S△EFC′＝2×2×2×﹣2×1﹣××1＝；（3）点E、F地坐标分别为：（3,1）、（,2）,设点P（m,0）,则EF2＝（3﹣）2+（2﹣1）2＝,EP2＝（m﹣3）2+1,PF2＝（m﹣）2+4,当EF＝EP时,即＝（m﹣3）2+1,解得：m＝（舍去）或；当EF＝PF时,同理可得：m＝（舍去负值）；当EP＝PF时,同理可得：m＝,故点P地坐标为：（,0）或（,0）或（,0）．13、菱形ABCD地顶点C与原点O重合,点B落在y轴正半轴上,点A、D落在第一象限内,且D点坐标为（4,3）．（1）如图1,若反比例函数y＝（x＞0）地图象经过点A,求k地值；（2）菱形ABCD向右平移t个单位得到菱形A1B1C1D1,如图2．①请直接写出点B1、D1地坐标（用含t地代数式表示）：B1、D1；②是否存在反比例函数y＝（x＞0）,使得点B1、D1同时落在y＝（x＞0）地图象上？若存在,求n地值；若不存在,请说明理由．解：（1）如图,作DF⊥x轴于点F,∵点D地坐标为（4,3）,∴FO＝4,DF＝3,∴DO＝5,∴AD＝5．∴A点坐标为（4,8）,∴xy＝4×8＝32,∴k＝32；（2）①平移后B1、D1地坐标分别为：（t,5）,（t+4,3）,故答案为：（t,5）,（t+4,3）；②存在,理由如下：∵点B1、D1同时落在（x＞0）地图象上B1（t,5）,D1（t+4,3）, ∴5t＝n,3（t+4）＝n,解得：t＝6,n＝30所以,存在,此时n＝30．。
2022中考数学压轴题 函数平行四边形问题(二)
2022中考数学压轴题函数平行四边形问题二例3如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A －4,0、B 0,－4、C 2,0三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△MAB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）若点变化的图像，可以体验到，当D 是AB 的中点时，S 取得最大值．拖动点Q 在直线＝－上运动，可以体验到，以点AB 分割为共底MD 的两个三角形，高的和为定值OA ． 3．当12a =211(4)(2)422y x x x x =+-=+-作轴的垂线交AB 于D ，那么2211(4)(4)222MD m m m m m =---+-=--．所以 2142MDA MDB S S S MD OA m m ∆∆=+=⋅=--2(2)4m =-++． 因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4．3 如果以点(,)x x -21(,4)2x x x +-21(4)()42x x x +---=225x =-±(225,225)-+-(225,225)--+21()(4)42x x x --+-=4x =-是（2）中直线DE 上的一个动点，在轴上方的平面内是否存在另一点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10山西26”，拖动点M可以在直线DE上运动．分别双击按钮“DO、DM为邻边”、“DO、DN为邻边”和“DO为对角线”可以准确显示菱形．思路点拨1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM、DO与DN为邻边．满分解答1如图2，作BH⊥轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝，所以BH＝6．因此点B的坐标为3,6．2 因为OE＝2EB，所以223E Bx x==，243E By y==，E2,4．设直线DE的解析式为＝＋b，代入D0,5，E2,4，得5,2 4.bk b=⎧⎨+=⎩解得12k=-，．所以直线DE的解析式为152y x=-+．3 由152y x=-+，知直线DE与轴交于点F10,0，OF＝10，DF＝．①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为5,52，点N的坐标为－5,52．②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为4,8．③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交轴于P．由△NPO∽△DOF，得NP PO NODO OF DF==，即551055NP PO==．解得5NP=，25PO=．此时点N的坐标为(25,5)-．图3 图4考点伸展如果第（3）题没有限定点N在轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．图5 图6。
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专题17 反比例函数中地平行四边形问题1、如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y＝地图象过等边三角形BOC地顶点B,OC＝2,点A在反比例函数图象上,连接AC、AO．（1）求反比例函数解析式；（2）若四边形ACBO地面积为3,求点A地坐标．解：（1）作BD⊥OC于D,如图,∵△BOC为等边三角形,∴OD＝CD＝OC＝1,∴BD＝OD＝,∴B（﹣1,﹣）,把B（﹣1,﹣）代入y＝得k＝﹣1×（﹣）＝,∴反比例函数解析式为y＝；（2）设A（t,）,∵四边形ACBO地面积为3,∴×2×+×2×＝3,解得t＝,∴A点坐标为（,2）．2、如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,点A、B在x轴上,点C、D在第二象限,点M是BC中点．已知AB＝6,AD＝8,∠DAB＝60°,点B地坐标为（﹣6,0）．（1）求点D和点M地坐标；（2）如图∠,将∠ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度,点D地对应点D′和点M地对应点M′恰好在反比例函数y＝（x＞0）地图象上,请求出a地值以及这个反比例函数地表达式；（3）如图∠,在（2）地条件下,过点M,M′作直线l,点P是直线l上地动点,点Q是平面内任意一点,若以B′,C′,P、Q为顶点地四边形是矩形,请直接写出所有满足条件地点Q地坐标．解：（1）∠AB＝6,点B地坐标为（﹣6,0）,∠点A（﹣12,0）,如图1,过点D作DE∠x轴于点D,则ED＝AD sin∠DAB＝8×＝4,同理AE＝4,故点D（﹣8,4）,则点C（﹣2,4）,由中点公式得,点M（﹣4,2）；（2）图象向右平移了a个单位,则点D′（a﹣8,4）、点M′（a﹣4,2）,∠点D′M′都在函数上,∠（a﹣8）×4＝（a﹣4）×2,解得：a＝12,则k＝（12﹣8）×4＝16,故反比例函数地表达式为＝；（3）由（2）知,点M′地坐标为（8,2）,点B′、C′地坐标分别为（6,0）、（10,4）,设点P（m,2）,点Q（s,t）；∠当B′C′是矩形地边时,如图2,求解地矩形为矩形B′C′PQ和矩形B′C′Q′P′,过点C′作C′H∠l交于点H,C′H＝4﹣2＝2,直线B′C′地倾斜角为60°,则∠M′PC′＝30°,PH＝C′H÷tan∠M′PC′＝2＝6,故点P地坐标为（16,2）,由题意得：点P、Q′关于点C′对称,由中点公式得,点Q地坐标为（12,﹣4）；同理点Q、Q′关于点M′对称,由中点公式得,点Q′（4,6）；故点Q地坐标为：（12,﹣4）或（4,6）；∠当B′C′是矩形地对角线时,∠B′C′地中点即为PQ地中点,且PQ＝B′C′,∠,解得：,,故点Q地坐标为（4,2）或（12,2）；综上,点Q地坐标为：（12,﹣4）或（4,6）或（4,2）或（12,2）．3、如图,四边形ABCD是平行四边形,点A（1,0）,B（4,1）,C（4,4）．反比例函数y＝（x＞0）地图象经过点D,点P是一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）地图象与该反比例函数图象地一个公共点．（1）求反比例函数地解析式；（2）通过计算,说明一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）地图象一定过点C；（3）对于一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）,当随x地增大而增大时,确定点P横坐标地取值范围（不必写过程）．解：（1）∠四边形ABCD是平行四边形,∠AD＝BC,∠B（4,1）,C（4,4）,∠BC∠x轴,AD＝BC＝3,而A点坐标为（1,0）,∠点D地坐标为（1,3）．∠反比例函数y＝（x＞0）地函数图象经过点D（1,3）,∠3＝,∠m＝3,∠反比例函数地解析式为y＝；（2）当x＝4时,y＝kx+4﹣4k＝4k+4﹣4k＝4,∠一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）地图象一定过点C；（3）设点P地横坐标为a,∠一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）过C点,并且y随x地增大而增大时,∠k＞0,P点地纵坐标要小于4,横坐标大于4,当纵坐标小于4时,∠y＝,∠＜4,解得：a＞,则a地范围为a＞1或a＜．4、小亮在研究矩形地面积S与矩形地边长x,y之间地关系时,得到如表数据：x0.5 1 1.5 2 3 4 6 12y12 6 ■ 3 2 1.5 1 0.5 结果发现一个数据被墨水涂黑了,（1）被墨水涂黑地数据为；（2）y与x地函数关系式为,且y随x地增大而；（3）如图是小亮画出地y关于x地函数图象,点B、E均在该函数地图象上,其中矩形OABC地面积记为S1,矩形ODEF地面积记为S2,请判断S1与S2地大小关系,并说明理由；（4）在（3）地条件下,DE交BC于点G,反比例函数y＝地图象经过点G交AB于点H,连接OG、OH,则四边形OGBH地面积为．解：（1）从表格可以看出xy＝6,∴墨水盖住地数据是6÷1.5＝4；故答案为4；（2）由xy＝6,得到y＝,y随x地增大而减少；故答案为y＝；减少；（3）S1＝OA•OC＝k＝6,S2＝OD•OF＝k＝6,∴S1＝S2；（4）∵S四边形OCBA＝OA•OB＝6,S△OCG＝OD•OG＝×2＝1,S△OCG＝OA•OH＝×2＝1,∴S＝S四边形OCBA﹣S△OCG﹣S△OAH＝6﹣1﹣1＝4；四边形OGBH故答案为4；5、如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,点A、B在x轴上,点C、D在第二象限,点M是BC中点．已知AB＝6,AD＝8,∠DAB＝60°,点B地坐标为（﹣6,0）．（1）求点D和点M地坐标；（2）如图①,将▱ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度,点D地对应点D′和点M地对应点M′恰好在反比例函数y＝（x＞0）地图象上,请求出a地值以及这个反比例函数地表达式；（3）如图②,在（2）地条件下,过点M,M′作直线l,点P是直线l上地动点,点Q是平面内任意一点,若以B′,C′,P、Q为顶点地四边形是矩形,请直接写出所有满足条件地点Q地坐标．解：（1）∵AB＝6,点B地坐标为（﹣6,0）,∴点A（﹣12,0）,如图1,过点D作DE⊥x轴于点D,则ED＝AD sin∠DAB＝8×＝4,同理AE＝4,故点D（﹣8,4）,则点C（﹣2,4）,由中点公式得,点M（﹣4,2）；（2）图象向右平移了a个单位,则点D′（a﹣8,4）、点M′（a﹣4,2）,∵点D′M′都在函数上,∴（a﹣8）×4＝（a﹣4）×2,解得：a＝12,则k＝（12﹣8）×4＝16,故反比例函数地表达式为＝；（3）由（2）知,点M′地坐标为（8,2）,点B′、C′地坐标分别为（6,0）、（10,4）, 设点P（m,2）,点Q（s,t）；①当B′C′是矩形地边时,如图2,求解地矩形为矩形B′C′PQ和矩形B′C′Q′P′,过点C′作C′H⊥l交于点H,C′H＝4﹣2＝2,直线B′C′地倾斜角为60°,则∠M′PC′＝30°,PH＝C′H÷tan∠M′PC′＝2＝6,故点P地坐标为（16,2）,由题意得：点P、Q′关于点C′对称,由中点公式得,点Q地坐标为（12,﹣4）；同理点Q、Q′关于点M′对称,由中点公式得,点Q′（4,6）；故点Q地坐标为：（12,﹣4）或（4,6）；②当B′C′是矩形地对角线时,∵B′C′地中点即为PQ地中点,且PQ＝B′C′,∴,解得：,,故点Q地坐标为（4,2）或（12,2）；综上,点Q地坐标为：（12,﹣4）或（4,6）或（4,2）或（12,2）．6、已知,在直角坐标系中,平行四边形OABC地顶点A,C坐标分别为A（2,0）,C（﹣1,2）,反比例函数y＝地图象经过点B（m≠0）（1）求出反比例函数地解析式（2）将▱OABC沿着x轴翻折,点C落在点D处,作出点D并判断点D是否在反比例函数y＝地图象上（3）在x轴是否存在一点P使△OCP为等腰三角形？若存在,写出点P地坐标；若不存在,请说明理由．解：（1）分别过点C、B作x轴地垂线,垂足分别为：E、F,∵四边形OABC为平行四边形,则∠COE＝∠BAF,CO＝AB,∴Rt△COE≌Rt△BAF,∴AF＝OE＝1,故点B（1,2）,故m＝2,则反比例函数表达式为：y＝；（2）翻折后点D地坐标为：（﹣1,﹣2）,∵（﹣1）•（﹣2）＝2,∴D在反比例函数y＝地图象上；（3）当OP＝OC时,点P（,0）；当OC＝PC时,点P（﹣2,0）；当OP＝PC时,设点P（m,0）,则m2+（m+1）2+4,解得：m＝﹣2.5；综上,点P地坐标为：（,0）或（﹣2,0）或（﹣2.5,0）．7、如图,四边形ABCD是平行四边形,点A（1,0）,B（4,1）,C（4,4）．反比例函数y＝（x＞0）地图象经过点D,点P是一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）地图象与该反比例函数图象地一个公共点．（1）求反比例函数地解析式；（2）通过计算,说明一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）地图象一定过点C；（3）对于一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）,当随x地增大而增大时,确定点P横坐标地取值范围（不必写过程）．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD＝BC,∵B（4,1）,C（4,4）,∴BC⊥x轴,AD＝BC＝3,而A点坐标为（1,0）,∴点D地坐标为（1,3）．∵反比例函数y＝（x＞0）地函数图象经过点D（1,3）,∴3＝,∴m＝3,∴反比例函数地解析式为y＝；（2）当x＝4时,y＝kx+4﹣4k＝4k+4﹣4k＝4,∴一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）地图象一定过点C；（3）设点P地横坐标为a,∵一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）过C点,并且y随x地增大而增大时,∴k＞0,P点地纵坐标要小于4,横坐标大于4,当纵坐标小于4时,∵y＝,∴＜4,解得：a＞,则a地范围为a＞1或a＜．8、如图,A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上地一点,在x轴正半轴上有一点B,OB＝4．连接OA,AB,且OA＝AB．过点B作BC⊥OB,交反比例函数y＝（其中x＞0）地图象于点C,连接OC交AB于点D,则地值为．解：过点A作AH⊥x轴,垂足为H,AH交OC于点M,如图,∵OA＝AB,AH⊥OB,∴OH＝BH＝OB,设OH＝BH＝a,则A（a,）,C（2a,）,∵AH∥BC,∴MH＝BC＝,∴AM＝AH﹣MH＝﹣＝,∵AM∥BC,∴△ADM∽△BDC,∴＝＝．9、如图,点A（1,3）为双曲线上地一点,连接AO并延长与双曲线在第三象限交于点B,M为y轴正半轴上一点,连接MA并延长与双曲线交于点N,连接BM、BN,已知△MBN地面积为,则点N地坐标为．解：连接ON,∵点A（1,3）为双曲线上,∴k＝3,即：y＝；由双曲线地对称性可知：OA＝OB,∴S△MBO＝S△MAO,S△NBO＝S△NAO,∴S△MON＝S△BMN＝,设点M（0,m）,N（n,）,∴mn＝,即,mn＝,①设直线AM地关系式为y＝kx+b,将M（0,m）A（1,3）代入得, b＝m,k＝3﹣m,∴直线AM地关系式为y＝（3﹣m）x+m,把N（n,）代入得,＝（3﹣m）×n+m,②由①和②解得,n＝,当n＝时,＝,∴N（,）,故答案为：（,）．10、如图,等边△OAB地边AB与y轴交于点C,点A是反比例函数y＝（x＞0）地图象上一点,且BC＝2AC,则等边△OAB地边长为．解：设点A（a,）,等边三角形地边长为b,过点A作x轴地平行线交y轴于点M,过点B作y轴地平行线交AM地延长线于点E,过点O作ON⊥AB 与点N,则AN＝AB＝b,ON＝b,∵AN＝b,AC＝b,∴CN＝AN﹣AC＝b,∵CM∥BE,∴＝,即＝,则AE＝3a,∵∠OCN＝∠ACM＝∠ABE,∴△ONC∽△AEB,∴＝,即＝,解得：BE＝a,AB2＝AE2+BE2,则b2＝9a2+a2＝a2,∵点A（a,）,∴AB2＝a2+＝a2,解得：a2＝3,b＝2,故答案为2．11、如图,直线y＝mx﹣1交y轴于点B,交x轴于点C,以BC为边地正方形ABCD地顶点A（﹣1,a）在双曲线y＝﹣（x＜0）上,D点在双曲线y＝（x＞0）上,则k地值为．解：∵A（﹣1,a）在双曲线y＝﹣（x＜0）上, ∴a＝2,∴A（﹣1,2）,∵点B在直线y＝mx﹣1上,∴B（0,﹣1）,∴AB＝＝,∵四边形ABCD是正方形,∴BC＝AB＝,设C（n,0）,∴＝,∴n＝﹣3（舍）或n＝3,∴C（3,0）,∴点B向右平移3个单位,再向上平移1个单位,∴点D是点A向右平移3个单位,再向上平移1个单位, ∴点D（2,3）,∵D点在双曲线y＝（x＞0）上,∴k＝2×3＝6,故答案为：6．12、如图,已知点A（2,3）和点B（0,2）,点A在反比例函数y＝地图象上,作射线AB,再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转α度,tanα＝,交反比例函数图象于点C,则点C地坐标为．解：如图,过B作BF⊥AC于F,过F作FD⊥y轴于D,过A作AE⊥DF于E,则△AEF∽△FDB,∵tanα＝,∴＝＝,∴设BD＝a,则EF＝2a,∵点A（2,3）和点B（0,2）,∴DF＝2﹣2a,OD＝OB﹣BD＝2﹣a,∴AE＝2DF＝4﹣4a,∵AE+OD＝3,∴4﹣4a+2﹣a＝3,解得a＝,∴F（,）,设直线AF地解析式为y＝kx+b,则,解得, ∴y＝x+,∵点A在反比例函数y＝地图象上,∴y＝,解方程组,可得或,∴C（﹣,﹣）,故答案为（﹣,﹣）．13、如图,点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上地一个动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰△ABC,且∠ACB＝120°,点C在第一象限,随着点A地运动点C地位置也不断变化,但点C始终在双曲线y＝上运动,则k地值为．解：作AD⊥x轴于D,CE⊥x轴于E,连接OC,如图,∵AB过原点,∴点A与点B关于原点对称,∴OA＝OB,∵△CAB为等腰三角形,∴OC⊥AB,∴∠ACB＝120°,∴∠CAB＝30°,∴OA＝OC,∵∠AOD+∠COE＝90°,∠AOD+∠OAD＝90°,∴∠OAD＝∠COE,∴Rt△AOD∽Rt△OCE,∴＝（）2＝（）2＝3,而S△OAD＝×|﹣6|＝3,∴S△OCE＝1,即|k|＝1,而k＞0,∴k＝2．14、以矩形OABC地顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系,使点A、C分别在x、y轴地正半轴上,双曲线y＝（x＞0）地图象经过BC地中点D,且与AB交于点E,过OC边上一点F,把△BCF沿直线BF翻折,使点C落在矩形内部地一点C′处,且C′E∥BC,若点C′地坐标为（2,4）,则tan∠CBF地值为．解：连接OD、OE．设BC＝BC′＝m,则EC′＝m﹣2．∵CD＝BD,∴S△CDO＝＝S矩形ABCD,∵S△AOE＝＝S△CDO＝S矩形ABCD,∴AE＝EB,∵C′（2,4）,∴AE＝EB＝4,在Rt△BEC′中,∵BC′2＝BE2+EC′2,∴m2＝42+（m﹣2）2,∴m＝5,∴E（5,4）,∴B（5,8）,则BC＝5,延长EC′交y轴于G,则EG⊥y轴,∴C′G＝2,CG＝4,∴在Rt△FGC′中,C′F2＝C′G2+FG2,即（4﹣FG）2＝22+FG2,∴FG＝,∴CF＝4﹣＝,∴tan∠CBF＝＝＝．故答案是：．15、如图,正方形ABCD地边长为5,点A地坐标为（﹣4,0）,点B在y轴上,若反比例函数y＝（k≠0）地图象过点C,则该反比例函数地表达式为；解：如图,过点C作CE⊥y轴于E,在正方形ABCD中,AB＝BC,∠ABC＝90°,∴∠ABO+∠CBE＝90°,∵∠OAB+∠ABO＝90°,∴∠OAB＝∠CBE,∵点A地坐标为（﹣4,0）,∴OA＝4,∵AB＝5,∴OB＝＝3,在△ABO和△BCE中,,∴△ABO≌△BCE（AAS）,∴OA＝BE＝4,CE＝OB＝3,∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1,∴点C地坐标为（3,1）,∵反比例函数y＝（k≠0）地图象过点C, ∴k＝xy＝3×1＝3,∴反比例函数地表达式为y＝．故答案为：y＝．16、如图,点A在双曲线y＝地第一象限地那一支上,AB垂直于y轴与点B,点C在x轴正半轴上,且OC＝2AB,点E在线段AC上,且AE＝3EC,点D为OB地中点,若△ADE地面积为3,则k地值为．解：连DC,如图,∵AE＝3EC,△ADE地面积为3,∴△CDE地面积为1,∴△ADC地面积为4,设A点坐标为（a,b）,则AB＝a,OC＝2AB＝2a,而点D为OB地中点,∴BD＝OD＝b,∵S＝S△ABD+S△ADC+S△ODC,梯形OBAC∴（a+2a）×b＝a×b+4+×2a×b,∴ab＝,把A（a,b）代入双曲线y＝,∴k＝ab＝．故答案为：．17、如图,已知直线y＝﹣x+2分别与x轴,y轴交于A,B两点,与双曲线y＝交于E,F两点,若AB＝2EF,则k地值是．解：作FH⊥x轴,EC⊥y轴,FH与EC交于D,如图,由直线y＝﹣x+2可知A点坐标为（2,0）,B点坐标为（0,2）,OA＝OB＝2,∴△AOB为等腰直角三角形,∴AB＝2,∴EF＝AB＝,∴△DEF为等腰直角三角形,∴FD＝DE＝EF＝1,设F点横坐标为t,代入y＝﹣x+2,则纵坐标是﹣t+2,则F地坐标是：（t,﹣t+2）,E点坐标为（t+1,﹣t+1）,∴t（﹣t+2）＝（t+1）•（﹣t+1）,解得t＝, ∴E点坐标为（,）,∴k＝×＝．故答案为．。