第8章 无穷级数练习题解析

第8章 无穷级数练习题

习题8.1

1．判断题（对的划“√”，错的划“×”）

（1）级数部分和的极限已求出，则级数收敛．若部分和的极限不存在，则级数发散． （ ）

（2）若级数

∑∞

=±1

)(n n n

v u

收敛，则级数∑∞=1

n n u 与级数∑∞

=1

n n v 都收敛．

（ ） （3）改变级数的有限项不会改变级数的和．（ ） （4）当0lim =∞

→n n u 时，级数

∑∞

=1

n n

u

不一定收敛.（ ）

2．用级数的“∑”形式填空

（1）,!3!2!1 +++ 即 ． （2）,7

1

51311 +-+-

即 ． （3）

+++4

ln 313ln 212ln 1即 ． （4）,6

3

524101 ++++

+-即 ． 3．判断下列各级数的收敛性，并求收敛级数的和

（1） -+-33227

47474． （2） +++πππ5

43ln ln ln ．

（3） +⋅+⋅+⋅751531311． （4） ++++7

4

53321．

（5）∑∞

=

-+

1

)

1

(

n

n n．

4．级数∑∞

=+

1

)

3

1 2

1

(

n

n

n

是否收敛？若收敛，求其和.

5．制造灯泡需要抽去玻璃泡中的空气，设灯泡中原有空气的质量m，在多次抽气时，每一次抽出的空气质量为上次剩余质量的20%，连续不断地抽，抽出的空气质量最多是多少？

习题8.2

1．用“收敛”或“发散”填空

（1）∑∞

=13 1

n n

．（）（2）∑∞

=1

2

2

2

ln

n

n

．（）

（3）∑∞

=1!

n n．（）（4）∑∞

=1

2.1

1

n

n

．（）

2．判断下列正项级数的收敛性

（1）∑∞

=+

1

1 9.0

1

n n

．（2）∑∞

=

+

+

1

26

5

8

n

n

n

．

（3）∑∞

=+

1

5 2

3

n n

．

3．判断下列级数是否收敛

（1）∑∞

=

--

1

)1 (

n

n

nπ． (2) ∑∞

=

-

-

1

3

1

1

)1

(

n

n

n

．

(3) ∑∞

=-

1

2

2

sin

)1

(

n n

n

n

．(4) ∑∞

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡-

+

1

2

)1

(

1

n

n

n

．

4．判断下列级数的收敛性

（1）∑∞

=++1)2(1n n n n ． （2）∑∞

=⎪⎭

⎫

⎝⎛+11n n

n n ．

（3）

∑∞

=--1

1

31arcsin )

1(n n n ． （4）∑∞

=+-1

321)1(n n n n ．

（5）∑∞

=12n n n

． （6）∑∞

=166n n n

．

（7）)0,(,31211>++++++b a b a b a b a ． （8）∑∞=+++1)

3)(2)(1(n n n n n

．

（9） ++++++

n

n 1

34232． （10） +-+-2227151311．

习题8.3

1．求下列幂级数的收敛区间

（1） ------n x x x x n 3232． （2） -++++n n

nx x x x 3

333233322．

（3） +⋅++⋅+⋅+⋅+n

n

n x x x x x 3

3433323443322．

（4） ++++++n

n

x n x x x 3

3

2

2

321．

（5） +⋅⋅++⋅⋅+⋅+)

2(64264242232n x x x x n

．

（6）∑∞

=++-1

1

212)1(n n n

n x ． (7) ∑∞

=--122212n n n

x n ．

(8) ∑∞

=⋅+13)1(n n

n n x ． (9) ∑∑∞=∞

=++-11221

2)1(n n n n n n n x n x ．

(10) ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11!n n n n n x n x ．