两线段长度和最小值的求法

求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求 PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小” 问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1在锐角三角形中探求线段和的最小值例 1 如图 1，在锐角三角形 ABC中， AB=4 , ∠BAC=45°，∠ BAC的平分线交 BC 于点 D， M,N分别是 AD和 AB 上的动点，则 BM+MN的最小值为．分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．解：如图 1，在 AC上截取 AE=AN，连接 BE．因为∠ BAC的平分线交 BC于点D，所以∠ EAM=∠ NAM，又因为 AM=AM，所以△ AME≌△ AMN，所以 ME=M．N所以 BM+MN=BM+≥MEBE．因为 BM+MN有最小值．当 BE是点 B 到直线 AC的距离时， BE 取最小值为 4，以 BM+MN的最小值是 4．故填 4 ．1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例 2（ 2010 山东滨州）如图 4 所示，等边△ ABC的边长为 6,AD 是 BC边上的中线 ,M 是 AD上的动点 ,E 是 AC边上一点 .若 AE=2,EM+CM的最小值为.分析 ：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段， 的知识求出这条线段的长度即可． 解：因为等边△ ABC 的边长为 6,AD 是 BC 边上的中线 , 所以点 C 与点 B 关于 AD 对称，连 接 BE 交 AD 于点 M ，这就是 EM+CM 最小时的位置， 如图 5 所示， 因为 CM=BM ，所以 EM+CM=B ，E 过点 E 作 EF ⊥BC ，垂足为 F ，因为 AE=2，AC=6，所以 EC=4，在直角三角形 EFC 中，因为 EC=4,∠ECF=60°，∠ FEC=30°，所以 FC=2,EF=因为 BC=6，FC=2，所以 BF=4．在直角三角形 =.、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1 在直角梯形中探求线段和的最小值例 3（2010 江苏扬州）如图 3，在直角梯形 ABCD 中，∠ ABC ＝90°， AD ∥BC ，AD ＝4，分析 ：在这里有一个动点， 两个定点符合对称点法求线段和最小的思路， 所以解答时可 以用对称法．解：如图 3 所示，作点 D 关于直线 AB 的对称点 E ，连接 CE ，交 AB 于点 P ，此时 后应用所学BEF 中， BE=AB ＝5，BC ＝6，点 P 是 AB 上一个动点，当 PC ＋PD 的和最小时， PB 的长为PC＋PD 和最小，为线段 CE．因为 AD＝4，所以 AE=4．因为∠ ABC＝90°，AD∥ BC，所以∠ EAP＝90°．因为∠ APE ＝∠ BPC,所以△ APE ∽△ BPC ，所以 . 因为 AE=4， BC ＝ 6，所以2.2 在等腰梯形中探求线段和的最小值例 4 如图 4，等腰梯形 ABCD 中， AB=AD=CD=，1∠ ABC=60°， P 是上底，下底中点 EF 直线上的一点，则 PA+PB 的最小值为 ．2.3 在菱形中探求线段和的最小值例 5 如图 5 菱形 ABCD 中， AB=2，∠ BAD=60°， E 是 AB 的中点， P 是对角线 AC 上的一 个动点，则 PE+PB 的最小值为 ．，所以 ，所以, 因为 AB ＝ 5，所以 PB=3.分析 ：根据等腰梯形的性质知道，点 A 的对称点是点 运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．D ，这是解题的一个关键点．其次 解：如图 4 所示，因为点 D 关于直线 EF 的对称点为 ＋PB 和最小，为线段 BD ．过点 D 作 DG ⊥BC ，垂足为 G ， A ，连接 BD ，交 EF 于点 P ，此时 PA 因为四边形 ABCD 是等腰梯形，且AB=AD=CD=，1∠ ABC=60°，所以∠ C=60°，∠ GDC=30°， 所以GC= ,DG= ．因为∠ ABC ＝60°，AD ∥BC ，所以∠ BAD ＝120°．因为 AB=AD ，所以∠ ABD=∠ ADB=30°，所以∠ ADBC=30°，所以 BD=2DG=×2 ．所以 PA+PB 的最小值为分析 ：根据菱形的性质知道，点 B 的对称点是点 D ，这是解题的一个关键点．解：如图 5所示，因为点 B 关于直线 AC 的对称点为 D ，连接 DE ，交AC 于点 P ，此时 PE ＋PB 和最小，为线段 ED ．因为四边形 ABCD 是菱形， 且∠ BAD=60°，所以三角形 ABD 是等边三角形．因为 E 是 AB 的中点，AB=2，所以 AE=1，DE ⊥AB ，所以 ED== ．所以 PE ＋ PB 的最小值为 ．2.4 在正方形中探求线段和的最小值例 6 如图 6 所示，已知正方形 ABCD 的边长为 8，点 M 在 DC 上，且 DM=2，N 是 AC 上的 一个动点，则 DN+MN 的最小值为 ．分析 ：根据正方形的性质知道，点 B 的对称点是点 D ，这是解题的一个关键点． 解：如图 6所示，因为点 D 关于直线 AC 的对称点为 B ，连接 BM ，交AC 于点N ，此时 DN ＋MN 和最小，为线段 BM ．因为四边形 ABCD 是正方形， 所以BC=CD=．8因为 DM=2，所以 MC=6，例 7（ 2009?达州）如图 7，在边长为 2cm 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB 、 PQ ，则△ PBQ 周长的最小值为 cm ．（结果不取近似值）．所以 BM= 10.分析：在这里△ PBQ周长等于 PB+PQ+B，Q而 BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得 PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点 P，两个定点 B,Q 符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图 7所示，根据正方形的性质知道点 B与点 D关于 AC对称，连接 DQ，交AC于点P，连接 PB．所以 BP=DP，所以 BP+PQ=DP+PQ=．D在Q Rt△ CDQ中，DQ=+1．，所以△ PBQ的周长的最小值为： BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为三、在圆背景下探求线段和的最小值例 8( 2010年荆门) 如图 8，MN是半径为 1 的⊙ O的直径，点 A在⊙ O上，∠AMN＝30°， B 为 AN弧的中点， P 是直径 MN上一动点，则 PA＋PB 的最小值为 ( )(C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，A 的对称点D，连接 DB，则线段和的最小值就是线段作出点 DB的长度．解：如图 8，作出点 A 的对D，连接 DB，OB,OD．因为∠ AMN＝30°，B 为 AN弧的中称点点，所以弧 AB 的度数为 30°，弧 AB 的度数为 30°，弧 圆周角的关系定理得到：∠ BON ＝ 30°．由垂径定理得：弧∠BON +∠ DON= 30°+60° =90°.所以 DB= = .所以选择 B ．AN 的度数为 60 °．根据圆心角与四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例 9（2010 山东济宁）如图 9，正比例函数 y= x 的图象与反比例函数 y= （ k ≠ 0） 在第一象限的图象交于 A 点，过 A 点作 x 轴的垂线， 垂足为 M ，已知三角形 OAM 的面积为 1.1）求反比例函数的解析式；（2）如果 B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点 坐标为 1，在 x 轴上求一点 P ，使 PA+PB 最小 .分析 ：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点 要想确定出 PA+PB 的最小值， 关键是明白怎样才能保证 想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解： （1）设点 A 的坐标为（ x ， y ），且点 A 在第一象限，所以 OM=x,AM=y ． 因为三角形 OAM 的面积为 1，所以所以 xy=2，所以反比例函数的解 析式为 y= ．B 与点 A 不重合），且 B 点的横 A 的坐标是解题的第一个关键．PA+PB 的和最小， 同学们可以联（ 2）因为 y= x 与 y= 相交于点 A，所以 = x，解得 x=2，或 x=-2. 因为 x> 0，所以x=2，所以 y=1，即点 A 的坐标为（ 2，1）．因为点 B 的横坐标为 1，且点 B在反比例函数的图像上，所以点 B的纵坐标为 2，所点 B的坐标为（ 1，2），所以点 B关于 x 轴的对称-2 ）．设直线 AD的解析式为 y=kx+b ，所以点 D 的坐标为（ 1，解得 k=3， b=-5 ，所以函数的解析式为 y=3x-5 ，当 y=0 时， x= ，所以当点 P 在（，0）时， PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例 10（2010年玉溪改编）如图 10，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点 B 的坐标；（ 2）求过点 A、O、 B的抛物线的解析式；（ 3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△ AOC的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里△ AOC周长等于 AC+CO+A，O而 A,O 是定点，所以 AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得 AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点 C，两个定点 A,O 符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：1）由题意得 : 所以 OB=2．因为点 B 在 x 轴的负半轴上，所以点B的坐标为（ -2 ，）；（2）因为 B（-2,0）,O（0,0）, 所以设抛物线的解析式为： y=ax （ x+2），将点A 的坐标为（1，）代入解析式得： 3a= ，所以 a= ，所以函数的解析式为 y= + x．（ 3）存在点 C. 如图 10，根据抛物线的性质知道点 B 与点 O 是对称点，所以连接AB与抛物线的对称轴 x= - 1 交 AC于点 C，此时△ AOC的周长最小 . 设对称轴与 x 轴的交点为 E．过点 A作AF垂直于 x轴于点 F，则 BE=EO=EF=1因. 为△ BCE∽△ BAF,所以,所以，所以 CE= ．因为点 C 在第二象限，所以点C 的坐标为（ -1 ，）六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例 11（2010 年天津）如图 11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点 O在坐标原点，顶点 A、 B分别在 x轴、y 轴的正半轴上， OA=3，OB=4，D为边 OB的中点.（1）若 E为边 OA上的一个动点，当△ CDE的周长最小时，求点 E 的坐标；（2）若 E、F 为边 OA上的两个动点，且 EF=2，当四边形 CDEF的周长最小时，求点 E、F 的坐标 .分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图 12，作点 D 关于 x 轴的对称点，连接 C 与 x 轴交于点 E，连接 DE.若在边 OA上任取点（与点 E 不重合），连接 C 、D 、 .由 D + C = + C >C = D +CE=DE+C，E所以△的周长最小 .因为在矩形 OACB中， OA=3,OB=4, D 为 OB的中点，所以 BC=3， DO= O=2.所以点 C的坐标为（ 3，4），点的坐标为（0，-2 ），设直线 C 的解析式为y=kx+b，则，解得 k=2， b=-2 ，所以函数的解析式为 y=2x-2 ，令 y=0，则 x=1，所以点 E 的坐标为（ 1， 0）；（ 2）如图 13，作点 D 关于 x 轴的对称点，在 CB 边上截取 CG=2，连接 G与 x 轴交于点 E，在 EA上截 EF=2.因为 GC∥ EF，GC=E，F所以四边形 GEFC为平行四边形，有 GE=CF.又 DC、 EF的长为定值，所以此时得到的点E、F 使四边形 CDEF的周长最小因为 在矩形 OACB 中，OA=3,OB=4, D 为 OB 的中点， CG=2,所以 BC=3，DO= O=2,BG=1.所以点 G 的坐标为 （ 1，4），点的坐标为 （0，-2 ），设直线 G 的解析式为则 ，解得 k=6， b=-2 ，所以函数的解析式为 y=6x-2 ，令 y=0 ，则x= 的坐标为（ ，0）, 所以点 F 的坐标为（ +2， 0）即 F 的坐标为（ ，0）y=kx+b ， 所以点 E。