两线段长度和最小值的求法

求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求 PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小” 问题全解析，希望对同学们有所帮助．

一、在三角形背景下探求线段和的最小值

1.1在锐角三角形中探求线段和的最小值

例 1 如图 1，在锐角三角形 ABC中， AB=4 , ∠BAC=45°，∠ BAC的平分线交 BC 于点 D， M,N分别是 AD和 AB 上的动点，则 BM+MN的最小值为．

分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．

解：如图 1，在 AC上截取 AE=AN，连接 BE．因为∠ BAC的平分线交 BC于点D，所以∠ EAM=∠ NAM，又因为 AM=AM，所以△ AME≌△ AMN，所以 ME=M．N所以 BM+MN=BM+≥MEBE．因为 BM+MN有最小值．当 BE是点 B 到直线 AC的距离时， BE 取最小值为 4，以 BM+MN的最小值是 4．故填 4 ．

1.2在等边三角形中探求线段和的最小值

例 2（ 2010 山东滨州）如图 4 所示，等边△ ABC的边长为 6,AD 是 BC边上的中线 ,M 是 AD上的动点 ,E 是 AC边上一点 .若 AE=2,EM+CM的最小值为.

分析 ：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短

的线段， 的知识求出这条线段的长度即可． 解：因为等边△ ABC 的边长为 6,AD 是 BC 边上的中线 , 所以点 C 与点 B 关于 AD 对称，连 接 BE 交 AD 于点 M ，这就是 EM+CM 最小时的位置， 如图 5 所示， 因为 CM=BM ，所以 EM+CM=B ，E 过点 E 作 EF ⊥BC ，垂足为 F ，因为 AE=2，AC=6，所以 EC=4，在直角三角形 EFC 中，因为 EC=4,

∠ECF=60°，∠ FEC=30°，所以 FC=2,EF=

因为 BC=6，FC=2，所以 BF=4．在直

角三角形 =.

、在四边形背景下探求线段和的最小值

2.1 在直角梯形中探求线段和的最小值

例 3（2010 江苏扬州）如图 3，在直角梯形 ABCD 中，∠ ABC ＝90°， AD ∥BC ，AD ＝4，

分析 ：在这里有一个动点， 两个定点符合对称点法求线段和最小的思路， 所以解答时可 以用对称法．

解：如图 3 所示，作点 D 关于直线 AB 的对称点 E ，连接 CE ，交 AB 于点 P ，此时 后应用所学

BEF 中， BE=

AB ＝5，BC ＝6，点 P 是 AB 上一个动点，当 PC ＋

PD 的和最小时， PB 的长为

PC＋PD 和最小，为线段 CE．因为 AD＝4，所以 AE=4．因为∠ ABC＝90°，AD∥ BC，所以∠ EAP＝90°．

因为∠ APE ＝∠ BPC,所以△ APE ∽△ BPC ，所以 . 因为 AE=4， BC ＝ 6，所以

2.2 在等腰梯形中探求线段和的最小值

例 4 如图 4，等腰梯形 ABCD 中， AB=AD=CD=，1∠ ABC=60°， P 是上底，下底中点 EF 直线上的一点，则 PA+PB 的最小值为 ．

2.3 在菱形中探求线段和的最小值

例 5 如图 5 菱形 ABCD 中， AB=2，∠ BAD=60°， E 是 AB 的中点， P 是对角线 AC 上的一 个动点，则 PE+PB 的最小值为 ．

，所以 ，所以

, 因为 AB ＝ 5，所以 PB=3.

分析 ：根据等腰梯形的性质知道，点 A 的对称点是点 运用好直角三角形的性质是解题的又一个关

键．

D ，这是解题的一个关键点．其次 解：如图 4 所示，因为点 D 关于直线 EF 的对称点为 ＋PB 和最小，为线段 BD ．过点 D 作 DG ⊥BC ，垂足为 G ， A ，连接 BD ，交 EF 于点 P ，此时 PA 因为四边形 ABCD 是等腰梯形，且

AB=AD=CD=，1∠ ABC=60°，所以∠ C=60°，∠ GDC=30°， 所以

GC= ,DG= ．因为∠ ABC ＝60°，AD ∥BC ，所以∠ BAD ＝120°．因为 AB=AD ，所以∠ ABD=∠ ADB=30°，所以∠ ADBC=30°，

所以 BD=2DG=×2 ．所以 PA+PB 的最小值为

分析 ：根据菱形的性质知道，点 B 的对称点是点 D ，这是解题的一个关键点．

解：如图 5所示，因为点 B 关于直线 AC 的对称点为 D ，连接 DE ，交AC 于点 P ，此时 PE ＋PB 和最小，为线段 ED ．因为四边形 ABCD 是菱形， 且∠ BAD=60°，所以三角形 ABD 是等边

三角形．因为 E 是 AB 的中点，AB=2，所以 AE=1，DE ⊥AB ，所以 ED=

= ．所以 PE ＋ PB 的最小值为 ．

2.4 在正方形中探求线段和的最小值

例 6 如图 6 所示，已知正方形 ABCD 的边长为 8，点 M 在 DC 上，且 DM=2，N 是 AC 上的 一个动点，则 DN+MN 的最小值为 ．

分析 ：根据正方形的性质知道，点 B 的对称点是点 D ，这是解题的一个关键点． 解：如图 6所示，因为点 D 关于直线 AC 的对称点为 B ，连接 BM ，交AC 于点

N ，此时 DN ＋MN 和最小，为线段 BM ．因为四边形 ABCD 是正方形， 所以

BC=CD=．8因为 DM=2，所以 MC=6，

例 7（ 2009?达州）如图 7，在边长为 2cm 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中

点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB 、 PQ ，则△ PBQ 周长的最小值

为 cm ．（结果不取近似值）．

所以 BM= 10.