距离计算分类专题
北师大数学初一上-行程问题-专题分类整理-带部分答案
行程问题一、弄清行程问题中基本的量和它们之间的关系。
行程问题中有三个基本量：速度、时间、路程。
这三个量之间的关系是：路程＝时间×速度：速度＝路程/时间时间＝路程/速度二、行程问题常见类型1、普通相遇问题。
2、追及（急）问题。
3顺（逆）水航行问题。
4、跑道上的相遇（追急）问题三、行程问题中的等量关系所谓等量关系就是意义相同的量能用等量连接的关系。
若路程已知，则应找时间的等量关系和速度的等量关系；若速度已知，则应找时间的等量关系和路程的等量关系；若时间已知，则找路程的等量关系和速度的等量关系。
在航行问题中还有两个固定的等量关系，就是：顺水速度＝静水速度＋水流速度逆水速度＝静水速度＋水流速度【通讯员问题】牢牢把握住关键隐含条件——时间相等。
【火车过桥问题】桥长＋车长=路程速度×过桥时间=路程【火车错车或超车问题】A车长＋B车长=路程速度和×错车时间=错车路程速度差×超车时间=超车路程【流水行船】船速：在静水中的速度水速：河流中水流动的速度顺水船速：船在顺水航行时的速度逆水速度：船在逆水航行时的速度相遇问题1、甲乙两人在一条长400 米的环形跑道上跑步，甲的速度是每分钟跑360米，乙的速度是每分钟跑240米。
两人同时同地同向跑，几秒后两人第一次相遇？分析：本题属于环形跑道上的追及问题，两人同时同地同向而行，第一次相遇时，速度快者比速度慢者恰好多跑一圈，即等量关系为：甲走的路程-乙走的路程=4002.为了迎接2008年北京奥运会，小区倡导大家锻炼身体，聪聪和明明兄弟两人决定每天早起跑步，明明每秒跑4米，聪聪每秒跑6米，如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？分析：①用线段图表示为：聪聪x秒跑的路程：明明x秒跑的路程：②用符号语言表示为（即列方程）：3.甲乙两人在环形跑道上练习跑步。
已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲的速度是乙的4/3倍。
平行线间的距离专题基础训练(初中)..
2014年3月WXH的初中数学组卷2014年3月wxh的初中数学组卷一．选择题（共2小题）1．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（）A．变大B．变小C．不变D．变大变小要看点P向左还是向右移动2．如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36千米/时；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27千米/时．两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为18.9千米，则两船距离最近时的时刻为（）A．7：35 B．7：34 C．7：33 D．7：32二．填空题（共6小题）3．如图，已知点E、F分别在长方形ABCD的边AB、CD上，且AF∥CE，AB=3，AD=5，那么AE与CF的距离是_________．4．已知一点到两条平行线的距离分别是1cm，4cm，则这两条平行线之间距离是_________cm．5．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为_________．6．已知：a∥b∥c，a与b之间的距离为3cm，b与c之间的距离为4cm，则a与c之间的距离为_________．7．如图，MN⊥AB，垂足为M点，MN交CD于N，过M点作MG⊥CD，垂足为G，EF过点N点，且EF∥AB，交MG于H点，其中线段GM的长度是_________到_________的距离，线段MN的长度是_________到_________的距离，又是_________的距离，点N到直线MG的距离是_________．8．如图，a∥b，点P在直线a上，点A，B，C都在直线b上，PA⊥AC，且PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，则直线a，b间的距离为_________cm．三．解答题（共8小题）9．如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°．（1）求∠EDC；（2）若BC=10，S△BCD=30，求点E到BC的距离．10．如图，（1）过点P画直线PM平行于直线BC．（2）量出PM与BC的距离．11．如图△ABC中，∠C=90°，按下列要求画图并填空：（1）取AB中点D，过点D画DE⊥AC，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F；（2）判断：DE与CF，EC与DF，ED与DF的位置关系分别为_________；（3）判断：DE与CF，EC与DF的长度大小关系是_________．12．作图题：如图已知直线l和线段a，现在要作一条直线m，使l与m的距离为a，这样的直线一共可以作几条？请你作出一条（不写作法，保留作图痕迹）．13．如图，长方形ABCD中，AB=6cm，长方形的面积为24cm2，求AB与CD之间的距离．14．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．15．说理填空：如图，已知AB∥CD，GH平分∠AGM，MN平分∠CMG，请说明GH⊥MN的理由．解：因为AB∥CD（已知），所以∠AGF+_________=180°（_________），因为GH平分∠AGF，MN平分∠CMG（_________），所以∠1=∠AGF，∠2=∠CMG（_________），得∠1+∠2=（∠AGF+∠CMG）=_________，所以GH⊥MN（_________）．根据已知条件和所得结论请总结出一个规律：_________．16．如图，直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于点M、G，MN平分∠EMB，GH平分∠MGD，求证：MN∥GH．证明：∵AB∥CD（已知）∴∠EMB=∠EGD（_________）∵MN平分∠EMB，GH平分∠MGD（已知）∴∠1=∠EMB，∠2=∠MGD（_________）∴∠1=∠2∴MN∥GH（_________）2014年3月wxh的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（）A．变大B．变小C．不变D．变大变小要看点P向左还是向右移动考点：平行线之间的距离．专题：动点型．分析：根据两平行线间的平行线段相等，可以推出点P在AB上运动时到CD的距离始终相等，再根据三角形PCD 的面积等于CD与点P到CD的距离的积的一半，所以三角形的面积不变．解答：解：设平行线AB、CD间的距离为h，则S△PCD=CD•h，∵CD长度不变，h大小不变，∴三角形的面积不变．故选C．点评：本题主要考查两平行线间的平行线段相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．2．如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36千米/时；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27千米/时．两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为18.9千米，则两船距离最近时的时刻为（）A．7：35 B．7：34 C．7：33 D．7：32考点：平行线之间的距离；一元一次方程的应用．专题：压轴题．分析：根据平行线的性质得出当两船距离最近，36x=18.9﹣27x，进而求出x即可得出答案即可．解答：解：设x分钟后两船距离最近，当如图EF⊥BD，AE=DF时，两船距离最近，根据题意得出：36x=18.9﹣27x，解得：x=0.3，0.3小时=0.3×60分钟=18（分钟），则两船距离最近时的时刻为：7：33．故选：C．点评：此题主要考查了平行线的之间的距离以及一元一次方程的应用，根据已知得出等式方程是解题关键．二．填空题（共6小题）3．如图，已知点E、F分别在长方形ABCD的边AB、CD上，且AF∥CE，AB=3，AD=5，那么AE与CF的距离是5．考点：平行线之间的距离．专题：计算题．分析：先判定四边形AECF是平行四边形，再根据平行线间的距离的定义，以及长方形的性质，AE与CF的距离等于点A到CD的距离，也就是AD的长度．解答：解：长方形ABCD中，AB∥CD，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE与CF的距离为AD的长度，∵AD=5，∴AE与CF的距离是5．故答案为：5．点评：本题主要考查了平行线间的距离的定义，平行线间的距离等于一条平行线上任意一点到另一条平行线的垂线段的长度．4．已知一点到两条平行线的距离分别是1cm，4cm，则这两条平行线之间距离是3或5cm．考点：平行线之间的距离．专题：分类讨论．分析：由于点的位置不能确定，故应分点在平行线的一边或点在平行线之间两种情况进行讨论．解答：解：当如图1所示时，两平行线间的距离=4﹣1=3cm；当如图2所示时，两平行线间的距离=4+1=5cm．故答案为：3或5．点评：本题考查的是两平行线间的距离，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．5．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为10．考点：平行线之间的距离．专题：探究型．分析：过点A作AF⊥BD于点F，由△ABD的面积为16可求出AF的长，再由AE∥BD可知AF为△ACE的高，由三角形的面积公式即可得出结论．解答：解：过点A作AF⊥BD于点F，∵△ABD的面积为16，BD=8，∴BD•AF=×8×AF=16，解得AF=4，∵AE∥BD，∴AF的长是△ACE的高，∴S△ACE=×AE×4=×5×4=10．故答案为：10．点评：本题考查的是平行线间的距离及三角形的面积公式，熟知两平行线间的距离相等是解答此题的关键．6．已知：a∥b∥c，a与b之间的距离为3cm，b与c之间的距离为4cm，则a与c之间的距离为7cm或1cm．考点：平行线之间的距离．分析：本题主要利用平行线之间的距离的定义作答．要分类讨论：①当b在a、c时；②c在b、a之间时．解答：解：①如图1，当b在a、c之间时，a与c之间距离为3+4=7（cm）；②如图2，c在b、a之间时，a与c之间距离为4﹣3=1（cm）；故答案是：7cm或1cm．点评：此题很简单，考查的是两平行线之间的距离的定义，即两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离．7．如图，MN⊥AB，垂足为M点，MN交CD于N，过M点作MG⊥CD，垂足为G，EF过点N点，且EF∥AB，交MG于H点，其中线段GM的长度是点M到直线CD的距离，线段MN的长度是点M到直线EF 的距离，又是平行线AB、EF间的距离，点N到直线MG的距离是线段GN的长度．考点：平行线之间的距离．分析：点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，根据这一定义结合图形进行填空即可．解答：解：线段GM的长度是点M到直线CD的距离；线段MN的长度是点M到直线EF的距离，又是平行线AB、EF间的距离；点N到直线MG的距离是线段GN的长度．点评：正确理解点到直线的距离的定义是解决此类问题的关键．8．如图，a∥b，点P在直线a上，点A，B，C都在直线b上，PA⊥AC，且PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，则直线a，b间的距离为2cm．考点：平行线之间的距离．专题：计算题．分析：根据平行线的距离的定义：平行线间的距离是夹在它们之间的垂线段的长作答．解答：解：∵a∥b，PA⊥AC，PA=2cm，∴直线a，b间的距离为2cm．点评：此题考查了两条平行线间距离的定义．解题的关键是熟记定义．三．解答题（共8小题）9．如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°．（1）求∠EDC；（2）若BC=10，S△BCD=30，求点E到BC的距离．考点：平行线的性质；平行线之间的距离．专题：计算题．分析：（1）根据两直线平行，同位角相等可以得到∠ABC=∠AED，又CD平分∠ACB，所以∠BCD的度数可以求出，再根据两直线平行，内错角相等即可求出∠EDC的度数；（2）根据三角形的面积求出点D到BC边的距离，再根据平行线间的距离相等，点E到BC的距离就等于点D到边BC的距离．解答：解：（1）∵DE∥BC，∴∠AED=∠ACB=80°，∠EDC=∠DCB，∵DC平分∠ACB，∴∠ECD=∠DCB=∠EDC=40°；（2）∵BC=10，S△BCD=30，∴点D到BC的距离是6，∵DE∥BC，∴点D到BC的距离=点E到BC的距离，∴点E到BC的距离是6．点评：本题主要考查平行线的性质和两平行线间的距离相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．10．如图，（1）过点P画直线PM平行于直线BC．（2）量出PM与BC的距离．考点：作图—基本作图；平行线之间的距离．分析：（1）量出∠B的度数，再以P为顶点，AP为一边，画∠APM=∠B即可；（2）过P作PE⊥BC，再量出PE的长即可．解答：解：（1）如图所示：（2）PM与BC的距离是1.8cm．点评：此题主要考查了画图，以及平行线之间的距离，关键是掌握同为角相等时，两直线平行．11．如图△ABC中，∠C=90°，按下列要求画图并填空：（1）取AB中点D，过点D画DE⊥AC，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F；（2）判断：DE与CF，EC与DF，ED与DF的位置关系分别为平行，平行，垂直；（3）判断：DE与CF，EC与DF的长度大小关系是相等．考点：作图—复杂作图；平行线的判定与性质；平行线之间的距离．分析：（1）根据题意画出图形即可；（2）根据垂直可得∠C=∠AED=90°，根据平行线的判定可得ED∥CF；同理：EC∥DF；再根据四边形内角和为360°可计算出∠EDF=90°，进而得到ED⊥DF；（3）根据∠DEC=90°，∠C=90°，∠DFC=90°，可得四边形EDFC是矩形，根据矩形的性质可得DE=CF，EC=DF．解答：解：（1）如图所示：（2）∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∵∠C=90°，∴∠C=∠AED，∴ED∥CF；同理：EC∥DF；∵∠DEC=90°，∠C=90°，∠DFC=90°，∴∠EDF=360°﹣90°﹣90°﹣90°=90°，∴ED⊥DF，故答案为：平行，平行，垂直；（3）DE=CF，EC=DF，∵∠DEC=90°，∠C=90°，∠DFC=90°，∴四边形EDFC是矩形，∴DE=CF，EC=DF．故答案为：相等．点评：此题主要考查了画图，平行线的判定，垂直定义，矩形的判定与性质，关键是掌握三个角为直角的四边形是矩形．12．作图题：如图已知直线l和线段a，现在要作一条直线m，使l与m的距离为a，这样的直线一共可以作几条？请你作出一条（不写作法，保留作图痕迹）．考点：平行线之间的距离．专题：作图题．分析：作线段a垂直于直线l，再过线段a的另一个端点作直线l的平行线m，直线m即为所求．解答：解：两条．如图所示：同理在l的另一侧还可以做一条，故一共可以作两条直线m．点评：本题考查了平行线之间的距离，属于作图题，关键是掌握平行线之间的距离相等．13．如图，长方形ABCD中，AB=6cm，长方形的面积为24cm2，求AB与CD之间的距离．考点：平行线之间的距离．分析：利用长方形的面积公式求出AD，再根据平行线间的距离的定义解答．解答：解：由题意得，AB•AD=24，∵AB=6cm，∴6•AD=24，解得AD=4cm，∴AB与CD之间的距离是4cm．点评：本题考查了平行线间的距离的定义，长方形的面积公式，是基础题，熟记概念与公式是解题的关键．14．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．考点：平行线的判定与性质．分析：（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；（2）利用（1）中平行线的性质推知°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=∠EPK=45°+∠2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变，是定值45°．解答：解：（1）如图1，∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°．又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，∴∠AEF+∠CFE=180°，∴AB∥CD；（2）如图2，由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°．又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．∵GH⊥EG，∴PF∥GH；（3）∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：如图3，∵∠1=∠2，∴∠3=2∠2．又∵GH⊥EG，∴∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2．∴∠EPK=180°﹣∠4=90°+2∠2．∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK=∠EPK=45°+∠2．∴∠HPQ=∠QPK﹣∠2=45°，∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．点评：本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用．15．说理填空：如图，已知AB∥CD，GH平分∠AGM，MN平分∠CMG，请说明GH⊥MN的理由．解：因为AB∥CD（已知），所以∠AGF+∠CHE=180°（两直线平行，同旁内角互补），因为GH平分∠AGF，MN平分∠CMG（已知），所以∠1=∠AGF，∠2=∠CMG（角平分线的定义），得∠1+∠2=（∠AGF+∠CMG）=90°，所以GH⊥MN（垂直的定义）．根据已知条件和所得结论请总结出一个规律：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．考点：平行线的性质．专题：推理填空题．分析：由两直线平行，同旁内角互补，可得∠AGF+∠CHE=180°，又由角平分线的定义，即可求得∠1+∠2=（∠AGF+∠CMG）=90°，继而证得GH⊥MN．则可得规律：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．解答：解：∵AB∥CD（已知），∴∠AGF+∠CHE=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵GH平分∠AGF，MN平分∠CMG（已知），∴∠1=∠AGF，∠2=∠CMG（角平分线的定义），得∠1+∠2=（∠AGF+∠CMG）=90°，∴GH⊥MN（垂直的定义）．根据已知条件和所得结论请总结出一个规律：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．故答案为：∠CHE；两直线平行，同旁内角互补；已知；角平分线的定义；90°；垂直的定义；两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．点评：此题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及垂直的定义．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．16．如图，直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于点M、G，MN平分∠EMB，GH平分∠MGD，求证：MN∥GH．证明：∵AB∥CD（已知）∴∠EMB=∠EGD（两直线平行，同位角相等）∵MN平分∠EMB，GH平分∠MGD（已知）∴∠1=∠EMB，∠2=∠MGD（角平分线的定义）∴∠1=∠2∴MN∥GH（同位角相等，两直线平行）考点：平行线的判定与性质．专题：推理填空题．分析：由AB∥CD，得出∠EMB=∠EGD，则这两个角的一半也相等，即∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行可判断MN∥GH．解答：证明：∵AB∥CD（已知）∴∠EMB=∠EGD（两直线平行，同位角相等）∵MN平分∠EMB，GH平分∠MGD（已知）∴∠1=∠EMB，∠2=∠MGD（角平分线的定义）∴∠1=∠2∴MN∥GH（同位角相等，两直线平行）故答案为：两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；同位角相等，两直线平行．点评：本题考查了平行线的判定与性质．关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．。
中考数学折叠问题专项突破2—矩形的折叠问题(距离问题)
中考数学折叠问题专项突破2—矩形的折叠问题（距离问题）专题二矩形的折叠中的距离或线段长度问题【典例】在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5. 如图例1-1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为.图例1-1 图例1-2 图例1-3【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度，二者之差即为所求.①当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，如图例1-2所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'Q=AQ，所以以点Q为圆心，以AQ长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'QA的角平分线，与AB的交点即为点P.由折叠性质可知，AD= A'D=5，在Rt△A'CD中，由勾股定理得，A C==='4②当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端，如图例1-3所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'P=AP，所以以点P为圆心，以AP长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'P A的角平分线，与AD的交点即为点Q. 由折叠性质可知，AB= A'B=3，所以四边形AB A'Q为正方形. 所以A'C=BC－A'B=5－3=2.综上所述，点A移动的最大距离为4－2=2.故答案为：2.【小结】此类问题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。
作图的依据是折叠前后线段长度不变，据此先找到点A 的落点A '，再根据对称轴（折痕）是对应点连线的垂直平分线，确定出折痕PQ 的位置. 利用勾股定理、正方形的判定定理及其性质求得相应的线段长度.1、如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，P 为边AD 上一动点，连接BP ，把△ABP 沿BP 折叠，使A 落在A ′处，当△A ′DC 为等腰三角形时，AP 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．2 【分析】根据△A ′DC 为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①A 'D =A 'C ，②A 'D =DC ，③CA '=CD ，分别求得AP 的长，并判断是否符合题意．【解析】①如图，当A ′D =A ′C 时，过A ′作EF ⊥AD ，交DC 于E ，交AB 于F ，则EF 垂直平分CD ，EF 垂直平分AB∴A 'A =A 'B ，由折叠得，AB =A 'B ，∠ABP =∠A 'BP ，∴△ABA '是等边三角形，∴∠ABP =30°，∴AP =2 3333==； ②如图，当A 'D =DC 时，A 'D =2由折叠得，A 'B =AB =2，∴A 'B +A 'D =2+2=4连接BD ，则R t △ABD 中，BD =2222 2425AB AD +=+= ，∴A 'B +A 'D ＜BD （不合题意）故这种情况不存在；③如图，当CD =CA '时，CA '=2由折叠得，A 'B =AB =2，∴A 'B +A 'C =2+2=4，∴点A '落在BC 上的中点处此时，∠ABP =12∠ABA '=45°，∴AP =AB =2．综上所述，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为或2．故选C.【小结】本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．2、．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )A．3 B．32C．2或3 D．3或32【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在R t△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在R t△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在R t△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得x=32，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为32或3．故选D．【小结】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．3、如图，在矩形ABCD中，AB＝√3，BC＝3，将△ABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，CP 与AD交于点F，连接BP交AC于点G，交AD于点E，下列结论不正确的是( )A．PGCG =13B．△PBC是等边三角形C．AC＝2AP D．S△B G C＝3S△A G P【分析】如图，首先运用勾股定理求出AC的长度，进而求出∠ACB＝30°，此为解决该题的关键性结论；运用翻折变换的性质证明△BCP为等边三角形；运用射影定理求出线段C G、A G之间的数量关系，进而证明选项A、B、C成立，选项A不成立.【解析】如图，∵四边形ABCD为矩形，AC，∴∠ABC＝90°；由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，而AB＝√3，BC＝3，∴AC＝2√3，AB＝12∴∠ACB＝30°；由翻折变换的性质得：BP⊥AC，∠ACB＝∠ACP＝30°，BC＝PC，AB＝AP，B G＝P G，∴G C＝√3B G＝√3P G，∠BCP＝60°，AC＝2AP，∴△BCP为等边三角形，故选项B、C成立，选项A不成立；B G，C G＝3A G，∴S△BC G＝3S△AB G；由射影定理得：B G2＝C G•A G，∴A G＝√33由题意得：S△AB G＝S△A G P，∴S△B G C＝3S△A G P，故选项D正确；故选：A．【小结】考查了翻折变换的性质、矩形的性质、射影定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用矩形的性质、射影定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．4、如图，矩形纸片ABCD ，5AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则AF 的值为_____________．【分析】由矩形的性质和已知条件OP OF =，可判定OEF OBP ∆≅∆,设EF x =，根据全等三角形的性质及矩形的性质可用含x 的式子表示出DF 和AF 的长，在Rt ADF ∆根据勾股定理可求出x 的值，即可确定AF 的值. 【解析】四边形ABCD 是矩形, ∴ 5CD AB ==,3AD BC ==,90B C A ︒∠=∠=∠= DEP ∆是由CDP ∆沿DP 折叠而来的，∴5DE CD ==,EP CP = ,90E C ︒∠=∠=B E ∴∠=∠，又,FOE POB OP OF ∠=∠= ，∴OEF OBP ∆≅∆（AA S ）,EF BP OE OB ∴==，BF BO OF EO OP EP CP ∴=+=+==设=EF BP x =,则5,3DF x BF CP x =-==- ，5(3)2AF AB BF x x ∴=-=--=+在Rt ADF ∆中，根据勾股定理得：222AD AF DF += ,即2223(2)(5)x x ++=- 解得67x = 620277AF ∴=+= 故答案为：207【小结】本题考查了求多边形中的线段长，主要涉及的知识点有矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，数学的方程思想，用同一个字母表示出直角三角形中的三边长是解题的关键.5、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，则AF的最小值为__．【分析】通过观察可以发现，当∠AFE=90°时，AF最小；然后设BE=x，则：EF=x，AE=3-x，然后多次使用勾股定理即可解答；【解析】设BE=x，则：EF=x，AE=3-x在R t△ABC中，由勾股定理得：AC在R t△EBC中，由勾股定理得:EC由折叠可知CF=CB=2，所以：AF=AC-CF-2.【小结】本题考查几何图形中的最值问题，其中找到出现最值的位置和运用勾股定理解题是关键.6、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝，E 是AB 边上一点，AE ＝2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A ′，当点E ，A ′，C 三点在一条直线上时，DF 的长为_____．【分析】利用勾股定理求出CE ，再证明CF =CE 即可解决问题．（注意有两种情形）【解析】如图，由翻折可知，∠FEA ＝∠FEA ′，∵CD ∥AB ，∴∠CFE ＝∠AEF ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴CE ＝CF ，在R t △BCE 中，EC，∴CF ＝CE＝，∵AB ＝CD ＝6，∴DF＝CD ﹣CF ＝6﹣，当点F在DC 的延长线上时，易知EF ⊥EF′，CF ＝CF ′＝，∴DF ＝CD +CF ′＝，故答案为6﹣或．【小结】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明△CFE 的等腰三角形，属于中考常考题型．==7、如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，则OE的长为_________.【解析】连接A′D，AD，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，∵CD=3DB，∴CD=3，BD=1，∴CD=AB，∵将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，∴A′D=AD，A′E=AE，在R t△A′CD与R t△DBA中，，∴R t△A′CD≌R t△DBA（HL），∴A′C=BD=1，∴A′O=2，∵A′O2+OE2=A′E2，∴22+OE2=（4﹣OE）2，∴OE=，【小结】本题关键词：“对应点的连线段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理解方程”8、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为．【解析】连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，根据勾股定理得，CF===．故答案为：．9、如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD=3，DE=1，则AB=5．【解析】∵折叠，∴△ADE≌△AD'E，∴AD=AD'=3，DE=D'E=1，∠DEA=∠D'EA，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DEA=∠EAB，∴∠EAB=∠AEB，∴AB=BE，∴D'B=BE﹣D'E=AB﹣1，在R t△ABD'中，AB2=D'A2+D'B2，∴AB2=9+（AB﹣1）2，∴AB=5，故答案为：510、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点N为边BC的中点，点M为AB边上任意一点，连接MN，把△BMN沿MN折叠，使点B落在点E处，若点E恰在矩形ABCD的对称轴上，则BM的长为5或．【解析】①当E在矩形的对称轴直线PN上时，如图1此时∠MEN=∠B=90°，∠ENB=90°，∴四边形BMEN是矩形．又∵ME=MB，∴四边形BMEN是正方形．∴BM=BN=5．②当E在矩形的对称轴直线FG上时，如图2，过N点作NH⊥FG于H点，则NH=4．根据折叠的对称性可知EN=BN=5，∴在R t△ENH中，利用勾股定理求得EH=3．∴FE=5﹣3=2．设BM=x，则EM=x，FM=4﹣x，在R t△FEM中，ME2=FE2+FM2，即x2=4+（4﹣x）2，解得x=，即BM=．故答案为5或．11、如图，矩形ABCD中，AD=4，O是BC边上的点，以OC为半径作⊙O交AB于点E，BE=AE，把四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD对应A′D′），当⊙O与A′D′相切时，线段AB的长是．【解析】设⊙O与A′D′相切于点F，连接OF，OE，则OF⊥A′D′，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=A′=90°，由折叠的性质得：∠AEC=∠A′EC，∴∠B+∠BCE=∠A′EO+∠OEC，∴∠OEA′=∠B=90°，∵OE=OF，∴四边形A′FOE是正方形，∴A′E=AE=OE=OC，∵BE=AE，设BE=3x，AE=5x，∴OE=OC=5x，∵BC=AD=4，∴OB=4﹣5x，在R t BOE中，OE2=BE2+OB2，∴（5x）2=（3x）2+（4﹣5x）2，解得：x=，x=4（舍去），∴AB=8x=．故答案为：．12、如图，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC为半径作⊙O，将△ADE折叠至△A′DE，点A′在⊙O上，延长EA′交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点G．若FG=1，则AD=2，⊙O半径=．【解析】作OH⊥DG于H，如图，设DA=x，则AB=2x，∵△ADE折叠至△A′DE，∴DA′=DA=x，∠DA′E=∠A=90°，∴DA′与⊙O相切，在△ODA′和△OCF中，∴△DOA′≌△FOC．∴DA′=CF=x，∵DG是⊙O的切线，OH⊥DG，∴H点为切点，∴DH=DA′=x，GH=GC=CF+GF=x+1，在R t△DCG中，∵DC2+CG2=DG2，∴（2x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2，∴AD=2，设⊙O的半径为r，则OC=OA′=r，OD=2x﹣r=4﹣r，在R t△DOA′中，∵DA′2+OA′2=DO2，∴22+r2=（4﹣r）2，解得r=，即⊙O的半径为．故答案为2，．13、在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC=54°，则∠DAE的度数为18°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB=6，AD=10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB=6，AD=10，求CG的长．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠BAC=54°，∴∠DAC=90°﹣54°=36°，由折叠的性质得：∠DAE=∠F AE，∴∠DAE=∠DAC=18°；故答案为：18；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折叠性质：AF=AD=10，EF=ED，∴BF===8，∴CF=BC﹣BF=10﹣8=2，设CE=x，则EF=ED=6﹣x，在R t△CEF中，由勾股定理得：22+x2=（6﹣x）2，解得：x=，即CE的长为；（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE=CE，由折叠的性质得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，FE=DE，∴∠EFG=90°=∠C，在R t△CEG和△FEG中，，∴R t△CEG≌△FEG（HL），∴CG=FG，设CG=FG=y，则AG=AF+FG=10+y，BG=BC﹣CG=10﹣y，在R t△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2=（10+y）2，解得：y=，即CG的长为．。
利用欧氏(Euclid)距离进行类别数据的分类计算
利用欧氏(Euclid)距离进行类别数据的分类计算一、欧氏距离(Euclidean Distance)欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法，源自欧氏空间中两点间的距离公式。
(1)二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离：(2)三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的欧氏距离：(3)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离：也可以用表示成向量运算的形式：欧式距离是高维空间中两点之间的距离，它计算简单、应用广泛，但是没有考虑变量之间的相关性，当体现单一特征的多个变量参与计算时会影响结果的准确性，同时它对向量中得每个分量的误差都同等对待，一定程度上放大了较大变量误差在距离测度中的作用。
两个n维向量A(x11,x12,…,x1n)与B(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离定义为：D(A,B)=[(x11-x21)^2+(x12-x22)^2+…+(x1n-x2n)^2]^0.5欧式距离的公式是d=sqrt( ∑(xi1-xi2)^ ) 这里i=1,2..n欧氏距离：（∑（Xi-Yi）2）1/2，即两项间的差是每个变量值差的平方和再平方根，目的是计算其间的整体距离即不相似性。
欧氏距离虽然很有用，但也有明显的缺点。
它将样品的不同属性（即各指标或各变量）之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。
例如，在教育研究中，经常遇到对人的分析和判别，个体的不同属性对于区分个体有着不同的重要性。
因此，有时需要采用不同的距离函数。
欧氏距离看作信号的相似程度。
距离越近就越相似，就越容易相互干扰，误码率就越高。
二、案例分析1、基本数据欧氏x1 x2p1 -1.51 0.86p2 4.54 0.12p3 4.42 1.27p4 -2.18 1.41p5 -2.41 -1.41p6 2.16 -8.16p7 0.3 -22、距离矩阵及分类第一次分类Dij 1 2 3 4 51 02 6.095088 03 5.944157 1.156244 04 0.86683 6.842697 6.601485 05 2.441905 7.116418 7.336982 2.829364 06 9.738034 8.615266 9.697036 10.50812 8.151527C1={p1,p4}p1和p4距离最近归为为一类。
专题——数轴上的动点问题
专题——数轴上的动点问题数轴上的动点问题处理数轴上动点问题的策略：1.两点间距离的计算：两点间距离等于它们对应的坐标差的绝对值，即右边点的坐标减去左边点的坐标。
2.数的表示：在数轴上，向右运动的速度看作正速度，向左运动的速度看作负速度。
点在起点的基础上加上运动路程就可以得到运动后的坐标。
例如，一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a-b，向右运动b个单位后表示的数为a+b。
3.分类讨论：数轴是数形结合的产物，分析点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。
4.绝对值策略：若点的左右位置关系不明确或有多种情况，可用两点距离的绝对值表示它们之间的距离，从而避免复杂分类讨论。
5.中点公式：若数轴上点A,B表示的数分别为a,b，M为线段AB中点，则M点表示的数为(a+b)/2.类型一：数轴上两点距离的应用例1：已知数轴上A,B两点表示的数分别为-2和5，点P为数轴上一点1）若点P到A,B两点的距离相等，求P点表示的数。
2）若PA=2PB，求P点表示的数。
3）若点P到点A和点B的距离之和为13，求点P所表示的数。
练1：已知数轴上A、B两点对应数分别为-2和4，P为数轴上一动点，对应数为x。
（1）若P为线段AB的三等分点，则x的值为-1；（2）若线段PA=3PB，则P点表示的数为2；（3）若点P到A点、B点距离之和为10，则P点表示的数为1.类型二：绝对值的处理策略例2：已知数轴上A,B两点表示的数分别为-8和20，点P,Q分别从A,B两点同时出发，P点运动速度为每秒3个单位，Q点运动速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒1）点P向右运动，Q点向左运动，当t为何值时，P,Q两点之间距离为8？2）若P点和Q点都向右运动，多少秒后，P,Q两点之间距离为8？3）在（2）的条件下，另一动点M同时从O点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，多少秒后，点M到点P和点Q的距离相等？练2、已知数轴上有A、B两点，其中点A对应的数为-8，点B对应的数为4.动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动。
数学运算之行程问题专题
数学运算之行程问题专题行程问题的“三要素”路程、速度、时间。
（一）往返平均速度问题（其中v1和v2分别代表往、返的速度）数学上的平均数有两种：一种是算术平均数M=(X1+X2+...+Xn)/n 即（v1+v2）/2 一种是调和平均数（调和平均数是各个变量值（标志值）倒数的算术平均数的倒数）恒小于算术平均数。
通过往返平均数速度公式的验算，当v1=10,v2=15,v平均=12；当v1=12,v2=15,v平均=20，当v1=15,v2=30,v平均=20，——熟记这个数字：10，12，15，20，30，60（对应前文溶液蒸发水的那部分）应用：v1=20（10*2）,v2=30（15*2）,v平均=12*2=24，v1=40,v2=60,v平均=48发现一个特点：v平均数都是更靠近那个小的数，且可以分成两个1：2的部分。
（二）分类1、相遇问题（描述上是相向而行）：v =v1+v2相遇问题的核心就是速度和。
即A、B两者所走的路程和等于速度和*相遇时间；一般的相遇问题: 甲从a地到b地，乙从b地到a地，然后两人在途中相遇，实质上是甲乙一起走了ab之间这段路程，如果两人同时出发，那么：ab之间的路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度*相遇时间+乙的速度*相遇时间=甲乙速度和*相遇时间相遇问题的核心是速度和时间的问题【例1】甲、乙两人同进从A点背向出发，沿400米环形跑道行走，甲每分种走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多少分钟才能在A点相遇？A．10分钟 B．12分钟 C．13分钟 D．40分钟（２００５年北京市真题）【答案】Ｄ。
解析：甲、乙要在A点相遇，则甲、乙行走的路程必是400的整数倍数，这样就能排除A、B、C三项，选择D。
【例2】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。
如果两人都按原定速度行进，那么4小时相遇；现在两人都比原计划每小时少走1千米，那么5小时相遇。
A、B两地相距多少千米？【分析】可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小时少走1千米）仍然走4小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。
线段的计算专题训练(王老师整理)
（1）当电子蚂蚁走到BC的中点D处时，它离A,B两处的距离之和是多少？
（2）这只电子蚂蚁甲由D点走到BA的中点E处时，需要几秒钟？
（3）当电子蚂蚁甲从E点返回时，另一只电子蚂蚁乙同时从点C出发，向左移动，速度为秒3个单位长度，如果两只电子蚂蚁相遇时离B点5个单位长度，求B点的坐标
3、如图，已知AB=20，C为AB的中点，D为CB上一点，E为BD的中点，且EB=3，求CD的长。
4、如图，C、D、E将线段分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是线段AC、CD、DE、EB的中点，且MN=21，求PQ的长。
5、如图，延长线段AB到C，使BC=2AB，若AC=6cm，且AD=DB，
2、已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。
⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。若不存在，请说明理由？
⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？
三、动态问题
1、如图，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14.
(1)若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度。
(2)若点P在直线AB上，使说明线段MN的长度与点P在AB上的位置无关
(3)如图，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：
① 的值不变；② 的值不变。请选择一个正确的结论并其值。
中考物理专题复习路程,速度,时间计算
'
t'= =
=16.8
s
/
类型三
回声测距
一、例题分析
1.如图所示，一辆汽车作匀速直线运动，在他行使到A处鸣笛，在A处
的正前方440m处有一个峭壁，经过2.5s他行驶至B处，并听到反射回
来的汽笛声，若声速为340m/s，求汽车的速度。
1.根据所求量确定计算公式
在当日16：30到达乙地，则甲地开往乙地所用时间t1＝9 h。两地相距
900km。火车从甲地开往乙地的平均速度v＝s/t＝900 km/9 h＝100
km/h≈27.8 m/s。
(2)v′＝144 km/h＝40 m/s，由v＝s/t得，火车过桥通过的总距离s′＝v′t′
＝40 m/s×25 s＝1 000m，火车的长度s火车＝s′－s桥＝1000 m－400 m
v= =
=12m/s
.
答：汽车的速度为12m/s。
二、方法归纳
根据所求量确定计算公式
寻找对应的已知量，解决未知量
代入对应的数据运算
三、解读印证
2.汽车在某段公路上匀速行驶时，进人某超声测速区域，如图29 所示。当该车运动到距测速仪 370m 时，测速仪向该车发出一
超声信号,2s 后收到从车返回的信号。超声波在空气中的传播速度
笛，2s 后听到隧道口处山崖反射回来的回声，已知声音在空气中的传
播速度为 340m /s。
求：
(1)从司机鸣笛到听到回声时，火车前行的距离。
(2) 火车鸣笛时与隧道口的距离。
五、分层训练变式1
3. 一列队长360m的军队匀速通过一条长1.8km的大桥,测得军队通
【数据挖掘】利用欧氏(Euclid)距离进行类别数据的分类计算
利用欧氏(Euclid)距离进行类别数据的分类计算一、欧氏距离(Euclidean Distance)欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法，源自欧氏空间中两点间的距离公式。
(1)二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离：(2)三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的欧氏距离：(3)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离：也可以用表示成向量运算的形式：欧式距离是高维空间中两点之间的距离，它计算简单、应用广泛，但是没有考虑变量之间的相关性，当体现单一特征的多个变量参与计算时会影响结果的准确性，同时它对向量中得每个分量的误差都同等对待，一定程度上放大了较大变量误差在距离测度中的作用。
1两个n维向量A(x11,x12,…,x1n)与B(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离定义为：D(A,B)=[(x11-x21)^2+(x12-x22)^2+…+(x1n-x2n)^2]^0.5欧式距离的公式是d=sqrt( ∑(x i1-xi2)^ ) 这里i=1,2..n欧氏距离：（∑（Xi-Yi）2）1/2，即两项间的差是每个变量值差的平方和再平方根，目的是计算其间的整体距离即不相似性。
欧氏距离虽然很有用，但也有明显的缺点。
它将样品的不同属性（即各指标或各变量）之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。
例如，在教育研究中，经常遇到对人的分析和判别，个体的不同属性对于区分个体有着不同的重要性。
因此，有时需要采用不同的距离函数。
欧氏距离看作信号的相似程度。
距离越近就越相似，就越容易相互干扰，误码率就越高。
二、案例分析1、基本数据欧氏x1 x2p1 -1.51 0.86p2 4.54 0.12p3 4.42 1.27p4 -2.18 1.411旗开得胜p5 -2.41 -1.41p6 2.16 -8.16p7 0.3 -22、距离矩阵及分类第一次分类Dij 1 2 3 4 51 02 6.095088 03 5.944157 1.156244 04 0.86683 6.842697 6.601485 05 2.441905 7.116418 7.336982 2.829364 06 9.738034 8.615266 9.697036 10.50812 8.151527C1={p1,p4}p1和p4距离最近归为为一类。
常用距离计算汇总
常用距离计算汇总在做分类时常常需要估算不同样本之间的相似性度量(Similarity Measureme nt) ，这很讲究，甚至关系到分类的正确与否。
本文的目的就是对常用的相似性度量作一个总结。
本文目录：1. 欧氏距离2. 曼哈顿距离3. 切比雪夫距离4•闵可夫斯基距离5. 标准化欧氏距离6. 马氏距离7. 夹角余弦8. 汉明距离9. 杰卡德距离&杰卡德相似系数10. 相关系数&相关距离11. 信息熵1. 欧氏距离(Euclidean Distanee)欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法，源自欧氏空间中两点间的距离公式。
(1) 二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离：<2 = 丁(叭一也尸+ 01 一兀｝2⑵三维空间两点a(x1,y1,z1) 与b(x2,y2,z2) 间的欧氏距离：<2 = Qg一也F + @丄一兀F + Oi 一巧尸(3)两个n维向量a(x11,x12, …,x1 n与b(x21,x22, …,x2n间的欧氏距离：也可以用表示成向量运算的形式：d12 = J(亂-叭〔口- 矿(4)Matlab 计算欧氏距离Matlab计算距离主要使用pdist函数。
若X是一个MX N的矩阵，则pdist(X)将X矩阵M行的每一行作为一个N维向量，然后计算这M个向量两两间的距离。
例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的欧式距离X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]D = pdist(X,'euclidea n')结果：D =1.00002.0000 2.23612. 曼哈顿距离(Manhattan Distanee)从名字就可以猜出这种距离的计算方法了。
想象你在曼哈顿要从一个十字路口开车到另外一个十字路口，驾驶距离是两点间的直线距离吗？显然不是，除非你能穿越大楼。
实际驾驶距离就是这个曼哈顿距离”。
而这也是曼哈顿距离名称的来源，曼哈顿距离也称为城市街区距离(City Block distanee) 。
faiss的8种度量方法
faiss的8种度量方法Faiss是一种常用的用于高维向量相似性搜索的开源库。
它提供了8种度量方法，用于衡量向量之间的相似性。
在本文中，我们将介绍这8种度量方法的原理和应用。
1. L2距离（Euclidean distance）L2距离是最常用的度量方法之一。
它计算向量之间的欧氏距离，即两个向量之间的直线距离。
L2距离适用于具有相同维度的向量，并且在空间中的距离较大。
在Faiss中，可以使用L2距离度量方法来搜索最接近给定向量的邻居。
2. 内积（Inner product）内积度量方法计算两个向量之间的点积。
它适用于表示向量之间的相似性，而不是距离。
内积度量方法在许多机器学习任务中都有广泛的应用，如推荐系统和文本分类。
3. L1距离（Manhattan distance）L1距离是计算向量之间的曼哈顿距离的度量方法。
它计算两个向量之间的绝对差值之和。
L1距离适用于稀疏向量和具有离散特征的向量。
在Faiss中，可以使用L1距离度量方法来搜索最接近给定向量的邻居。
4. Jaccard相似度（Jaccard similarity）Jaccard相似度是计算两个集合之间相似性的度量方法。
它通过计算两个集合的交集与并集的比值来衡量相似性。
Jaccard相似度适用于文本分类和推荐系统等任务。
5. Hamming距离Hamming距离是计算两个等长字符串之间的距离的度量方法。
它计算两个字符串之间不同位置的字符个数。
Hamming距离适用于处理二进制向量和文本分类任务。
6. Tanimoto相似度（Tanimoto similarity）Tanimoto相似度是计算两个二进制向量之间相似性的度量方法。
它通过计算两个向量的交集与它们的并集的比值来衡量相似性。
Tanimoto相似度在图像处理和文本分类中有广泛的应用。
7. Substructure距离Substructure距离是计算两个化学分子之间相似性的度量方法。
分类讨论思想在线段计算中的应用专题练习(学生版)
分类讨论思想在线段计算中的应用专题练习一、选择题1、已知线段AB=10 cm，点C在直线AB上，且AC=2 cm，则线段BC的长为（）A. 12 cmB. 8 cmC. 12 cm或8 cmD. 以上均不对2、点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC＝2，则AC等于（）A. 3B. 2C. 3或5D. 2或63、点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（）A. 10cmB. 8cmC. 10cm或8cmD. 2cm或4cm4、已知线段AC和BC在同一直线上，AC＝8cm，BC＝3cm，则线段AC的中点和BC中点之间的距离是（）A. 5.5cmB. 2.5cmC. 4cmD. 5.5cm或2.5cm二、填空题5、点A，B，C在同一条直线上，如果线段AB=8 cm，BC=5 cm，那么A，C两点间的距离是______．6、已知线段AB长为4 cm，在线段AB所在直线上作线段BC=3 cm，点D为AC中点，则AD=______．7、A、B、C三点在同一条直线上，A、B两点之间的距离为7 cm，B、C两点之间的距离为3cm，则A、C两点之间的距离为______．8、点C在射线AB上，若AB＝3，BC＝2，则AC=______．9、已知线段7cmAB=，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC=______cm．10、已知线段AB=20，点C在BA的延长线上，点D在直线AB上，AC=12，BD=16，点M 是线段CD的中点，则线段AM的长为______．11、线段AB=6，在直线AB上截取线段BC=3AB，D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，那么线段DE的长为______．12、已知A，B，C三点在同一直线上，线段AB=9 cm，D是线段AB的中点，且BC:AB=1:3，则线段CD的长等于______．13、已知A，B，C三点在同一直线上，线段AB=9，D是线段AB的中点，且BC:AB=1:3，则线段CD的长为______．14、如图线段AB=6，如果在直线AB上取一点C，使AB:BC=3:2，再分别取线段AB、BC的中点M、N，那么MN=______．15、已知线段AB=10，在直线AB上取一点P，恰好使APPB=4，点Q为线段PB的中点，则AQ的长为______．16、已知线段AB=8，在直线AB上取一点P，恰好使APPB=3，点Q为线段PB的中点，则AQ的长为______．17、如图所示，把一根绳子对折成线段AB，从P处把绳子剪断，已知AP=13PB，若剪断后的各段绳子中最长的一段为30 cm，则绳子的原长为______ cm．18、如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，点P是AB的四等分点，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中的一段长为30 cm，则这条绳子的原长为______ cm．三、解答题19、画直线l，并在直线l上任取三个点A、B、C，使AB＝10，BC＝4，分别画线段AB、BC 的中点E、F，求线段EF的长．20、点A，B，C在同一直线上，AB=8，AC:BC=3:1，求线段BC的长度．21、如图，线段AB=8，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点．（1）求线段AD的长；（2）若在线段AB上有一点E，CE=14BC，求AE的长．22、解答下列各题：（1）已知A，B，C三点在同一直线上，线段AB=9 cm，D是线段AB的中点，且BC:AB=1:3，则线段CD的长等于______．（2）已知A，B，C，D四点共线，若AB=3 cm，BC=2 cm，CD=4 cm，画出图形，求AD的长．（3）如图所示，把一根绳子对折成线段AB，从点P处把绳子剪断，已知AP:BP=2:3，若剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm，求绳子的原长．。
KWNN算法的公式原理及应用
KWNN算法的公式原理及应用1. 介绍KWNN（k-Weighted Nearest Neighbor）算法是一种基于k近邻的分类算法，它通过计算样本与邻居样本之间的权重，综合考虑多个邻居的信息，从而进行分类。
本文将详细介绍KWNN算法的公式原理及其在实际应用中的一些案例。
2. KWNN算法公式原理KWNN算法的核心思想是将邻居样本的标签与其与待分类样本的距离相结合，用于权衡邻居样本对分类结果的影响。
下面是KWNN算法的公式原理：1.选择一个合适的距离度量方法，例如欧式距离、曼哈顿距离等。
2.对每一个待分类样本，计算其与所有训练样本之间的距离。
3.根据距离值对训练样本进行排序，取前k个距离最近的样本作为该样本的邻居。
4.计算每个邻居样本的权重，可以使用距离的倒数作为权重，也可以使用其他方法进行加权。
5.统计邻居样本中每个类别的权重总和，将权重最大的类别作为待分类样本的类别。
3. KWNN算法应用案例KWNN算法在实际应用中有着广泛的应用，下面将介绍几个典型的案例。
3.1 文本分类在文本分类任务中，KWNN算法可以用于将待分类的文本样本划分到不同的类别中。
通过计算待分类文本与已知类别文本之间的相似度，并综合考虑邻居文本的权重，可以实现准确的文本分类。
3.2 图像识别KWNN算法也可以应用于图像识别领域，通过计算待识别图像与已知图像之间的距离，综合考虑邻居图像的权重，可以实现高精度的图像识别。
3.3 视频分析在视频分析任务中，KWNN算法可以应用于动作识别、行为分析等方面。
通过计算待分析视频帧与已知样本之间的距离，并考虑邻居样本的权重，可以实现准确的视频分析结果。
4. KWNN算法的优缺点KWNN算法具有以下优点：- 考虑多个邻居的信息，相比于传统的k近邻算法，能够更好地综合考虑邻居样本与待分类样本之间的关系。
- 可以根据实际情况选择不同的权重计算方法，灵活性较强。
然而，KWNN算法也存在一些缺点： - 对于维数较高的数据集，由于“维数灾难”的影响，KWNN算法的性能可能会下降。
k-最邻近分类算法
k-最邻近分类算法k-最邻近分类算法是一种常用于模式识别和数据挖掘领域的分类算法。
它的基本思想是根据已知分类的样本数据，通过计算待分类样本与已知样本之间的距离，找出距离最近的k个样本，并以它们中出现最频繁的类别作为待分类样本的类别。
k-最邻近分类算法的步骤如下：1. 准备样本数据：收集已知分类的样本数据，并为每个样本标注类别信息。
2. 计算距离：对于待分类样本，计算它与已知样本之间的距离。
距离的计算可以采用欧氏距离、曼哈顿距离等方法。
3. 选择k个最近邻：从已知样本中选择距离待分类样本最近的k个样本。
4. 确定类别：统计k个样本中各个类别出现的次数，将出现次数最多的类别作为待分类样本的类别。
5. 输出结果：将待分类样本归类到确定的类别中。
k-最邻近分类算法的优点是简单易懂，而且适用于多种数据类型。
同时，它也存在一些局限性。
首先，k的取值需要根据具体问题来确定，不同的k值会影响分类结果。
其次，k-最邻近分类算法对异常值敏感，如果待分类样本距离最近的k个样本中存在异常值，可能会导致分类错误。
此外，k-最邻近分类算法在处理大规模数据时计算量较大，效率相对较低。
为了提高k-最邻近分类算法的准确性和效率，可以采取以下策略：1. 特征选择：选择具有区分度的特征，可以提高分类算法的准确性。
2. 距离权重：可以根据实际情况为不同的特征设置不同的权重，使得某些特征对分类结果的影响更大。
3. 数据预处理：对原始数据进行预处理，如标准化、归一化等，可以提高分类算法的效果。
4. 降维处理：对高维数据进行降维处理，可以减少计算量，提高算法的效率。
k-最邻近分类算法是一种简单有效的分类算法，可以用于解决各种分类问题。
但在具体应用中，需要根据实际情况选择合适的k值，采取适当的策略来提高分类的准确性和效率。
同时，还可以结合其他分类算法进行改进和优化，以获得更好的分类结果。
knn计算题
knn计算题
1. 传统的kNN分类方法的距离计算有哪些？
（1）欧式距离：计算两个样本的欧氏距离，也就是样本点之间的直线距离；
（2）曼哈顿距离：计算两个样本的曼哈顿距离，也就是样本点之间的网格距离；
（3）切比雪夫距离：计算两个样本的切比雪夫距离，也就是样本点之间的曲线距离；
（4）马氏距离：计算两个样本的马氏距离，也就是样本点之间的概率距离；
（5）余弦夹角：计算两个样本的余弦夹角，也就是样本点之间的相似度距离。
2. KNN算法有哪几种？
（1）近邻分类算法：K最近邻分类算法是最简单的KNN算法，它根据训练数据集中的其他样本点的距离来预测新样本的类别；
（2）近邻回归算法：K最近邻回归算法是一种分析相近样本的算法，可根据给定样本的k个最相似的样本点，预测给定样本的值；
（3）近邻离群点检测算法：K最近邻离群点检测算法是一种检测异常点的算法，根据与给定样本的距离来判断一个数据是否为离群点。
- 1 -。
vdm距离计算例子
vdm距离计算例子VDM（Value Difference Metric）是一种用于计算分类数据之间距离的度量方法。
它考虑了每个属性值之间的差异，并将其转化为距离度量。
下面我将通过一个例子来说明VDM距离的计算过程。
假设我们有一个简单的数据集，包含三个样本和两个属性。
属性A有三个可能的取值："红色"、"蓝色"和"绿色"；属性B有两个可能的取值："大"和"小"。
数据集如下：样本1，属性A="红色"，属性B="大"样本2，属性A="蓝色"，属性B="小"样本3，属性A="绿色"，属性B="大"现在我们要计算样本1和样本2之间的VDM距离。
首先，我们需要计算每个属性值之间的差异。
对于属性A，我们有三个可能的取值，因此需要计算三个差异值。
假设我们使用简单匹配系数（Simple Matching Coefficient）作为差异度量，该系数在两个属性值相等时为0，在不相等时为1。
因此，我们可以得到以下差异矩阵：红色蓝色绿色。
红色 0 1 1。
蓝色 1 0 1。
绿色 1 1 0。
接下来，我们需要计算每个差异值的权重。
权重是根据属性值在整个数据集中的频率来计算的。
在我们的例子中，属性A的频率分别为1/3，1/3和1/3。
因此，权重矩阵如下：红色蓝色绿色。
红色 1/3 1/3 1/3。
蓝色 1/3 1/3 1/3。
绿色 1/3 1/3 1/3。
最后，我们将差异矩阵和权重矩阵相乘，并将结果求和，得到样本1和样本2之间的VDM距离。
计算过程如下：VDM距离 = (0 1/3 + 1 1/3 + 1 1/3) + (1 1/3 + 0 1/3 + 1 1/3) = 4/3。
因此，样本1和样本2之间的VDM距离为4/3。
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距离计算分类专题
距离计算分类是数据分析的重要步骤，能够帮助我们理解和发
现数据之间的相似性和差异性。
本文档将介绍距离计算分类的概念、常用的距离度量方法和实际应用案例。
1. 距离计算分类的概念
距离计算分类是一种数学和统计学的方法，通过计算数据点之
间的差异来衡量它们之间的距离。
距离可以用于将数据点分组或分类，以便更好地理解数据集的结构和模式。
2. 常用的距离度量方法
2.1 欧氏距离
欧氏距离是最常用的距离度量方法之一。
它衡量两个数据点之
间在多维空间中的直线距离。
欧氏距离计算方法简单且直观，适用
于大多数数据类型。
2.2 曼哈顿距离
曼哈顿距离是另一种常用的距离度量方法。
它衡量两个数据点之间沿着坐标轴的距离总和。
曼哈顿距离不考虑斜线距离，适用于具有网格状结构的数据类型。
2.3 切比雪夫距离
切比雪夫距离是一种将两个数据点之间的差异定义为各个坐标绝对差值的最大值的距离度量方法。
切比雪夫距离适用于不同尺度差异较大的数据类型。
2.4 马哈拉诺比斯距离
马哈拉诺比斯距离考虑了各个特征之间的相关性，并通过协方差矩阵将数据映射到不同的坐标系中。
它适用于具有高度相关性的数据类型。
3. 实际应用案例
距离计算分类方法在许多领域中都有广泛的应用，例如：
- 文本分类：通过计算文本之间的相似性距离，将文本按照主题进行分类。
- 图像识别：通过计算图像之间的距离，将图像按照内容进行分类。
- 推荐系统：通过计算用户之间的距离，将用户进行分类，从而进行个性化推荐。
以上仅为距离计算分类方法的一些应用案例，实际应用场景还有很多。
结论
距离计算分类是数据分析中不可或缺的一步，它能够帮助我们更好地理解和发现数据之间的相似性和差异性。
通过适当选择和应用距离度量方法，我们可以获得准确和有意义的分类结果。