高中数学 1.3.1 三角函数的周期性导学案 苏教版必修4(2021年整理)

高中数学1.3.1 三角函数的周期性导学案苏教版必修4

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1.3.1 三角函数的周期性

且A ≠0，ω＞0)的周期。

1．周期函数的概念

（1)周期函数的定义:一般地，对于函数f （x )，如果存在一个非零的常数T ,使得定义域内的每一个x 值，都满足f （x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．

（2）最小正周期：对于一个周期函数f （x ），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f （x ）的最小正周期．

预习交流1

周期函数的定义中，能否把“定义域内的每一个x 值”改为“定义域内存在一个x 值”？ 提示:不能．反例：y ＝sin x (x ∈R ）对于x ＝错误!,T ＝错误!，显然有sin （x ＋T )＝sin 错误!＝sin 错误!＝sin x ，

但T ＝π3

不是它的周期． 2．三角函数的周期

（1)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k π（k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π；正切函数y ＝tan x 也是周期函数,且最小正周期是π.

（2)一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos （ωx ＋φ）（其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0）的周期T ＝错误!。若函数y ＝f (x ）的周期为T ，则函数y ＝Af （ωx ＋φ

）的周期为

错误!(其中

A ，ω，φ为常数，且A ≠0,ω≠0）．

预习交流2

所有周期函数都有最小正周期吗？为什么？

提示：并不是所有的周期函数都存在最小正周期．例如，常数函数f (x ）＝5，x ∈R .当x 为定义域内的任何值时，都有f （x ）＝C ，即对定义域内的每一个x 值，f (x ）都有f (x ＋T )＝C ＝f (x ）,因此f (x ）是周期函数．由于T 是不为零的任意常数，而正数集合中没有最小者，所以f （x )＝C 没有最小正周期．

一、函数周期性的证明

已知函数f （x ）对任意实数x ，都有f （x ＋m )＝－f (x ),求证：函数f （x )是周期函数,并且2m 是f （x ）的一个周期．

思路分析:要证函数f (x ）是周期函数，就是要找到一个常数T ，使得对于任意实数x ，都

有f（x＋T)＝f(x），可根据f(x＋m)＝－f(x)推导寻找．

证明：∵函数f(x)对任意实数x，

都有f(x＋m）＝－f（x)，

∴f(x＋2m)＝f［(x＋m）＋m］＝－f(x＋m）

＝－[－f（x）］＝f（x)．

∴函数f(x)是周期函数，并且2m是f(x)的一个周期．

若函数y＝f（x)是奇函数，且f(x＋a）＝错误!，求证:2a是f（x）的周期(a≠0）．

证明：∵y＝f(x）是奇函数,

∴f(－x)＝－f(x），f(x＋a)＝错误!＝－错误!。

∴f（x＋2a）＝f[（x＋a)＋a]＝－错误!＝－错误!＝f(x）．

∴f（x)是以2a（a≠0)为周期的周期函数．

周期函数的证明一般利用周期函数的定义；对抽象函数的周期性证明，要注意利用条件，结合定义进行灵活的转化．对于函数最小正周期的证明，不仅可以用周期函数的定义，而且还可以运用反证法．

二、求三角函数的周期

求下列函数的周期：

（1)y＝3sin错误!；

(2)y＝2cos错误!；

(3）y＝｜sin x|。

思路分析:利用公式法或定义法求解即可．若ω＜0，则先用诱导公式转化为正值，再用公式．

解：(1)T＝错误!＝错误!＝4。

(2）y＝2cos错误!＝2cos错误!，

∴T＝错误!＝4π。

(3）由y＝sin x的周期为2π,可猜想y＝｜sin x|的周期应为π.验证：∵|sin(x＋π）｜＝|－sin x|＝｜sin x｜,∴由周期函数的定义知y＝|sin x｜的周期是π.

用定义法求下列函数的周期：

(1)y＝cos 4x；

(2）y＝2sin错误!；

（3）y＝tan（ωx＋φ）（ω＞0）．

解：（1)设函数f(x)＝cos 4x的周期为T。令4x＝μ，由f（x)＝cos μ的周期是2π，知f(μ＋2π）＝cos(μ＋2π)＝cos(4x＋2π）＝cos错误!＝f错误!＝f（μ）＝cos μ＝cos 4x

＝f（x）对一切x都成立，∴T＝π2

.

（2)令错误!＋错误!＝μ。由y＝2sin μ的周期是2π，知f(μ＋2π）＝2sin(μ＋2π）＝2sin错误!＝2sin错误!＝f(x＋6π)＝f(μ）＝2sin错误!＝f（x)对一切x都成立，∴T＝6π。

（3)令μ＝ωx＋φ。由y＝tan μ的周期为π,知f（μ＋π）＝tan(μ＋π)＝tan（ωx ＋φ＋π)＝tan错误!＝f错误!＝f(μ)＝tan(ωx＋φ)＝f(x）对一切x都成立，∴T＝错误!是y＝tan（ωx＋φ）的周期．

求三角函数的周期，通常有三种方法:

（1）定义法．