三重积分n重积分简介

§５ 三重积分

一、 三重积分的概念

1 三重积分的物理解释

设非均匀物体A 内分布着一种物质，其密度为(,,)x y z ρ，并假定ρ在A 上连续，那么怎样定义和计算这个物体的质量呢？我们的办法还是通过“分割，近似求和，取极限”这三个

步骤得到A 的质量是

(,,)A

m x y z dxdydz ρ=⎰⎰⎰

2 三重积分的定义

P243-244

3 三重积分的性质、可积条件 与二重积分类似

线性性，单调性，可加性，绝对可积性，乘积可积性，中值定理等.

二、三重积分的计算---化三重积分为累次积分 1 长方体],[],[],[h k d c b a ⨯⨯上的积分

定理21.15设[,][,][,]A a b c d e f =⨯⨯，f 是A 上的连续函数，那么f 在A 上的三重积分 可以化为先对z ，后对y,x 的积分：(,,)A

f x y z dxdydz ⎰⎰⎰=(,,)b

d

f

a

c

e

dx dy f x y z dz ⎰⎰⎰，

或先y x z →→：

(,,)A

f x y z dxdydz ⎰⎰⎰

= (,,)f b d

e

a

c

dz dx f x y z dy ⎰⎰⎰

等等（共6种），并且此时（f 连续时），各个三次积分的值与积分次序无关，他们都相等。

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰=V

b a

d c

h

k

dz z y x f dy dx dxdydz z y x f ),,(),,(.

2. 一般区域上的三重积分、简单区域上的三重积分

一般区域上的三重积分、可以分解有限个简单区域上的三重积分 简单区域（典型区域）的定义

}),( , ),(),(|),,( {21D y x y x z z y x z z y x V ∈≤≤=, 其中D 为V 在XY 平面上的投影，

{})()(,),(21x y y x y b x a y x D ≤≤≤≤= 或者 {})()(,),(21y x x y x d y c y x D ≤≤≤≤=

),(),,(21y x z y x z 在D 上连续，)(),(21x y x y 在],[b a 上连续，)(),(21y x y x 在 ],[d c 上连续.

方法 将三重积分先化为一个定积分与一个二重积分（先一后二），进而化为三个定积分.

⎰⎰⎰V

dxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰D

y x z y x z dz z y x f dxdy )

,()

,(21),,(=2211()

(,)

()

(,)

(,,)b

y x z x y a

y x z x y dx dy f x y z dz ⎰

⎰

⎰

（3）

公式解释

“点—点，线—线，面—面”

三重积分的直接计算方法举例（先一后二） 补例1 3

(1)

D

dxdydz

I x y z =+++⎰⎰⎰

，D ：有平面1,0,0,0x y z x y z ++====所围成区域.P245 补例2 D

xy

I dxdydz x =⎰⎰⎰，D ：锥面222222z x y c a b =+，平面,0,0z c x y ===所围（,,0a b c >）

例1

⎰⎰⎰+V y

x dxdydz

22, V : y z x y z x x ===== , , 0 , 2 , 1. P245. 解 } 21 , 0 , 0|),,( {≤≤≤≤≤≤=x x y y z z y x V ,

⎰⎰⎰=

V

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤≤≤=+=+=+2

1,

00

2

1,021*******x x y y

x x y x y x ydy

dx y

x ydxdy y x dz dxdy ⎰⎰==+===2

1

210

22.2ln 2

1

2ln 21)

ln(21dx dx y x x y y

注 此例要求学生解答，学生画出积分区域的图形普遍困难，由此导出“求围定顶”法.

3 三重积分的“求围定顶”法

4 三重积分的“先二后一”（“截面法”）

⎰⎰⎰V

dxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰h

k

D z

dxdy z y x f dz ),,( ,

其中V 介于平面k z =和h z =之间 , z D 是用平面z Z =截V 所得的截面. “先二后一”多用于围成V 的闭合曲面由一个方程给出的，二重积分部分的被积函数往往为常数，并且积分区域的面积函数可以求出的情况.

例2 ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛++V d x d y d z c z b y a x 222222, V : 1222222≤++c z b y a x . P246

解 ⎰⎰⎰=V ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++V V V dxdydz c z dxdydz b y dxdydz a x 22

2222.

解法1 (“先二后一”)

⎰⎰⎰⎰⎰⎰=V a

D x

dydz dx a x dxdydz a x 022

222,

其中x D 为椭圆域 22

22221a

x c z b y -≤+, 即椭圆域

11122

2222

22

≤⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-a x c z a x b y ,

其面积为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-222222111a x

bc a x c a x b ππ. 因此 ⎰⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=V a

abc dx a x x a

bc dxdydz a x 022*******

12ππ. 同理得 ⎰⎰⎰=V abc dV b y π154

22 ,

⎰⎰⎰=V

abc dV c z π154

22. 因此

⎰⎰⎰

=⋅=a b c

a b c ππ5

4

1543. 解法2 (“先一后二”)

V 上下对称, 22

a

x 为z 的偶函数, ⇒

⎰⎰⎰⎰⎰⎰'

=V V dxdydz a x 222

, 其中V '为V 在XOY 平面上方的部分, 其在XOY 平面上的投影为椭圆 122

22≤+b

y a x . 于是

⎰⎰⎰⎰⎰

⎰

⎰⎰=--==≤+--

≤+V b y a

x b y a

x c b y a x dxdy b

y a x a x c

dz dxdy a x dxdydz a x 22

222

21

10

22

1221222

22

22

22

2 ⎰⎰-==============2

1

232

sin , cos 1cos 8π

θ

θθθdr r r d abc br y ar x .

⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2

202

42sin 2121cos π

ππ

θθθθd , ⎰⎰=

-=====--=1

1

2212

3

15

2

)1(12

dt t t dr r r

r t . 因此 ⎰⎰⎰=⋅⋅=V abc abc dxdydz a

x ππ154

1524822. 同理 …….