《信号与系统》课后习题参考答案

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第二章 连续信号与系统的时域分析

2-9、（1）解：

∵系统的微分方程为：)(2)(3)(t e t r t r '=+'，

∴r(t)的阶数与e(t) 的阶数相等，则h(t)应包含一个)(t δ项。

又∵系统的特征方程为：03=+α，∴特征根3-=α

∴)()(2)(3t u Ae t t h t -+=δ

∴)]()(3[)(2)(33t e t u e A t t h t t δδ--+-+'=')()(3)(23t A t u Ae t t δδ+-'=-

将)(t h 和)(t h '代入微分方程（此时e(t)= )(t δ），得：

)()(3)(23t A t u Ae t t δδ+-'-+3)(2)]()(2[3t t u Ae t t δδ'=+-

∴A=-6

则系统的冲激响应)(6)(2)(3t u e

t t h t --=δ。 ∴⎰⎰∞--∞--==t t

d u

e d h t g τττδτττ)](6)(2[)()(3⎰∞-=t d ττδ)(2⎰∞

---t d u e τττ)(63 )()(6)

(203t u d e u t t ⎰-∞--=τττ )()3(6)(203t u e t u t --=-τ)()1(2)(23t u e t u t -+=- )(23t u e t -=

则系统的阶跃响应)(2)(3t u e

t g t -=。

2-11、解：

①求)(t r zi ： ∵系统的特征方程为：0)3)(2(652=++=++αααα，∴特征根：21-=α，32-=α ∴t t zi e C e

C t r 3221)(--+= (t ≥0) ②求)(t r zs ：

t t e A e

A t h 3221)(--+= (t ≥0)，可求得：11=A ，12-=A （求解过程略） ∴)()()(32t u e e t h t t ---=

∴)(*)()(*)()]()[(*)()(*)()(3232t u e t u e t u e t u e t u e e t u e t h t e t r t t t t t t t zs --------=-==

)()2

121()()(21)()(3232t u e e e t u e e t u e e t t t t t t t -------+-=---= ③求)(t r ：

)(t r =)(t r zi +)(t r zs ++=--)(3221t t

e C e C )2121(32t t t e e e ---+- t t

t e C e C e 3221)21()1(2

1---++-+= (t ≥0) ∵)()(t u Ce t r t -=，

21=C 2

1=C ∴ 011=-C ， ∴ 11=C

0212=+

C 2

12-=C ∴=-)0(r 2

1211)0(21=-=+=+C C r zi ， ='-)0(r 2123232)0(21-=+-=--='+C C r zi 2-12、解：

（1）依题意，得：

)(2)(*)()(t u e t h t u t r t

zi -=+

)()()(t t h t r zi δ=+

∴)(2)]()([*)()(t u e t r t t u t r t zi zi -=-+δ

)(2)()()()1(t u e t r t u t r t zi zi --=-+

∴)()12()()()1(t u e t r t r t zi zi -=---，两边求导得：

)()12()(2)()(t e t u e t r t r t t zi zi

δ-+-=-'-- )(2)()()(t u e t t r t r t zi zi

--=-'δ ∴)(1

1)(112)()()1(t p p t p t t r p zi δδδ+-=+-=- ∴)()(1

1)(t u e t p t r t zi -=+=δ （2）∵系统的起始状态保持不变，∴)()(t u e t r t zi -=

∵)()()(t t h t r zi δ=+，∴)()()(t u e t t h t

--=δ

∴)]()([*)()()(*)()()(33t u e t t u e t u e t h t e t r t r t t t zi ----+=+=δ )()()(t u te t u e t u e t

t t ----+=)()2(t u e t t --= 2-16、证：

∑∑∞-∞=--∞-∞=--=-=k k t k t k t u e k t t u e t r )3()3(*

)()()3(δ∑∞-∞=--=k k t k t u e e )3(3 ∵当t-3k>0即3

t k <时：u(t-3k)为非零值 又∵0≤t ≤3，∴k 取负整数，则：

3003311)(---∞=∞=----===∑∑e e e e e e

t r t k k k t k t 则t Ae t r -=)(，且3

11--=

e A 。 2-19、（c ）解： ⎰

∞∞

--⋅=τττd t f f t f t f )()()(*)(1221 由图得： ① 当t<0时：（图略） 0)(*)(21=t f t f

② 当0

)cos 1(2)1(cos 2cos 22sin )(*)(00

21t t d t f t f t

t -=--=-=⋅=⎰τττ ③ 当1

)]1cos([cos 2cos 22sin )(*)(1121---=-=⋅=--⎰t t d t f t f t t t t τττ]cos )1[cos(2t t --=

④ 当π

)]1cos(1[2cos 22sin )(*)(1121----=-=⋅=--⎰t d t f t f t t ππτττ)]1cos(1[2-+=t

⑤ 当t>π+1时：（图略）

0)(*)(21=t f t f

则： )cos 1(2t - 0

=)(*)(21t f t f ]c o s )1[c o s (2t t

-- 1

其它t

2-20、解：

由图得： )(*)(*)()()(3121t h t h t h t h t h +=

)]([*)(*)1()(t t u t t u δδ--+=