《信号与系统》课后习题参考答案

《信号与系统》课后习题参考答案
第二章 连续信号与系统的时域分析
2-9、（1）解：
∵系统的微分方程为：)(2)(3)(t e t r t r '=+'，
∴r(t)的阶数与e(t) 的阶数相等，则h(t)应包含一个)(t δ项。

又∵系统的特征方程为：03=+α，∴特征根3-=α
∴)()(2)(3t u Ae t t h t -+=δ
∴)]()(3[)(2)(33t e t u e A t t h t t δδ--+-+'=')()(3)(23t A t u Ae t t δδ+-'=-
将)(t h 和)(t h '代入微分方程（此时e(t)= )(t δ），得：
)()(3)(23t A t u Ae t t δδ+-'-+3)(2)]()(2[3t t u Ae t t δδ'=+-
∴A=-6
则系统的冲激响应)(6)(2)(3t u e
t t h t --=δ。

∴⎰⎰∞--∞--==t t
d u
e d h t g τττδτττ)](6)(2[)()(3⎰∞-=t d ττδ)(2⎰∞
---t d u e τττ)(63 )()(6)
(203t u d e u t t ⎰-∞--=τττ )()3(6)(203t u e t u t --=-τ)()1(2)(23t u e t u t -+=- )(23t u e t -=
则系统的阶跃响应)(2)(3t u e
t g t -=。

2-11、解：
①求)(t r zi ： ∵系统的特征方程为：0)3)(2(652=++=++αααα，∴特征根：21-=α，32-=α ∴t t zi e C e
C t r 3221)(--+= (t ≥0) ②求)(t r zs ：
t t e A e
A t h 3221)(--+= (t ≥0)，可求得：11=A ，12-=A （求解过程略） ∴)()()(32t u e e t h t t ---=
∴)(*)()(*)()]()[(*)()(*)()(3232t u e t u e t u e t u e t u e e t u e t h t e t r t t t t t t t zs --------=-==
)()2
121()()(21)()(3232t u e e e t u e e t u e e t t t t t t t -------+-=---= ③求)(t r ：
)(t r =)(t r zi +)(t r zs ++=--)(3221t t
e C e C )2121(32t t t e e e ---+- t t
t e C e C e 3221)21()1(2
1---++-+= (t ≥0) ∵)()(t u Ce t r t -=，
21=C 2
1=C ∴ 011=-C ， ∴ 11=C
0212=+
C 2
12-=C ∴=-)0(r 2
1211)0(21=-=+=+C C r zi ， ='-)0(r 2123232)0(21-=+-=--='+C C r zi 2-12、解：
（1）依题意，得：
)(2)(*)()(t u e t h t u t r t
zi -=+
)()()(t t h t r zi δ=+
∴)(2)]()([*)()(t u e t r t t u t r t zi zi -=-+δ
)(2)()()()1(t u e t r t u t r t zi zi --=-+
∴)()12()()()1(t u e t r t r t zi zi -=---，两边求导得：
)()12()(2)()(t e t u e t r t r t t zi zi
δ-+-=-'-- )(2)()()(t u e t t r t r t zi zi
--=-'δ ∴)(1
1)(112)()()1(t p p t p t t r p zi δδδ+-=+-=- ∴)()(1
1)(t u e t p t r t zi -=+=δ （2）∵系统的起始状态保持不变，∴)()(t u e t r t zi -=
∵)()()(t t h t r zi δ=+，∴)()()(t u e t t h t
--=δ
∴)]()([*)()()(*)()()(33t u e t t u e t u e t h t e t r t r t t t zi ----+=+=δ )()()(t u te t u e t u e t
t t ----+=)()2(t u e t t --= 2-16、证：
∑∑∞-∞=--∞-∞=--=-=k k t k t k t u e k t t u e t r )3()3(*
)()()3(δ∑∞-∞=--=k k t k t u e e )3(3 ∵当t-3k>0即3
t k <时：u(t-3k)为非零值 又∵0≤t ≤3，∴k 取负整数，则：
3003311)(---∞=∞=----===∑∑e e e e e e
t r t k k k t k t 则t Ae t r -=)(，且3
11--=
e A 。

2-19、（c ）解： ⎰
∞∞
--⋅=τττd t f f t f t f )()()(*)(1221 由图得： ① 当t<0时：（图略） 0)(*)(21=t f t f
② 当0<t<1时：（图略）
)cos 1(2)1(cos 2cos 22sin )(*)(00
21t t d t f t f t
t -=--=-=⋅=⎰τττ ③ 当1<t<π时：（图略）
)]1cos([cos 2cos 22sin )(*)(1121---=-=⋅=--⎰t t d t f t f t t t t τττ]cos )1[cos(2t t --=
④ 当π<t<π+1时：（图略）
)]1cos(1[2cos 22sin )(*)(1121----=-=⋅=--⎰t d t f t f t t ππτττ)]1cos(1[2-+=t
⑤ 当t>π+1时：（图略）
0)(*)(21=t f t f
则： )cos 1(2t - 0<t<1
=)(*)(21t f t f ]c o s )1[c o s (2t t
-- 1<t<π )]1cos(1[2-+t π<t<π+1
其它t
2-20、解：
由图得： )(*)(*)()()(3121t h t h t h t h t h +=
)]([*)(*)1()(t t u t t u δδ--+=
)1()(--=t u t u
则总的系统的冲激响应)1()()(--=t u t u t h 。

2-24、解： 依题意，得：)()
()()()()()(t p A p B t p H t h t r δδ=== （1）α
+=p A p H )(，∴特征根为α-，∴)()(t u Ae t r t α-= （2）2)()(α+=
p A p H ，∴特征根为α-（二阶重根），∴)()(t u Ate t r t α-= （3）)11())(()(αββαββααβαβα+-+-=+-++--
=++=p p A p A
p A p p A p H ， ∴)()()(t u e e A t r t t αββ
α----=
第三章 傅里叶变换
3-1、解：
（1）三角形式：∑∞=++=10)2sin()2cos(2)(n n n t T
n b t T n a a t f ππ 由图知：f(t)为奇函数，∴a n =0 (n=0,1,2,…)
⎰-=22)2sin()(2T T n dt t T n t f T b π ⎰=20)2sin(24T dt t T n E T π ])2cos([22420T
t T n n T T E ππ-⋅= )]cos(1[ππn n E -= = π
n E 2 n=1,3,5, … 0 n=2,4,6, …
∴])5sin(51)3sin(31)[sin(2)(111 +++=t t t E t f ωωωπ （T
πω21=） （2）指数形式：∑∞∞-∞=⋅=
n t T jn n e F
t f π2)( ∵a n =0，∴n n n n b b a A =+=
22 ∵)2cos(sin π
θθ-=，∴2πϕ-
=n ∴=-===-n j n j n n b j e b e A F n 221212πϕ π
n jE - n =±1, ±3, ±5, 0
n =±2, ±4, ±6, … ∴ -+-+-
=--t j t j t j t j e jE e jE e jE e jE t f 11113333)(ωωωωππππ （T πω21=） 3-16、解：
(a) 由图得：)]2
()2([2)(T t u T t u t T E t f --+= ∵)2
sin(2)2sin(2)](1[)()](1[)2()2(22w T w w T j w jw e e w jw T t u T t u T jw T jw =⋅+=-⋅+↔--+-πδπδ ∴)]2
sin(2[)]2()2()[(w T w dw d T t u T t u jt ↔--+
- ∴)]2
()2[cos(2)]2sin(2[2)(wT sa wT w E j w T w dw d T E j t f -=↔ ∴)]2()2[cos(2)(wT sa wT w E j w F -= (w ≠0) 而02)()0(22===⎰⎰-∞
∞-tdt T
E dt t f
F T T 则：=)(w F )]2
()2[cos(2wT sa wT w E j - w ≠0 0 w=0
3-19、解：
(a) 由图得：00)()()(2)(jwt w w j e w Ag e w F w F ⋅==ϕ
∵ )()(0200
ωωπωw Ag t Sa A ↔， 0)(0jwt e t t ↔+δ ∴)()()]([)(0001t t t w Sa Aw w F T F t f +*=
=-δπ)]([000t t w Sa Aw +=π
3-29、解：
（1） ∵ )()(w F t f ↔ ∴)2
(21)2(w F t f ↔
∴)]2
(21[)2()(w F dw d t f jt ↔- ∴dw w dF j t tf )2(2)2(↔ （4） ∵ )()(w F t f ↔ ∴
)()(w jwF dt
t df ↔ ∴)]([)()(w jwF dw
d dt t df jt ↔- ∴dw w dF w w F w jwF dw d j dt t df t )()()]([)(--=↔ （6） ∵ )()(w F t f ↔
∴)()(w F t f -↔-
∴jw e
w F t f --↔-)()1( ∴])([)1()(jw e w F dw d t f jt --↔
-- ∴jw jw jw e w F e dw
w dF j e w F dw d j t tf ----+-=-↔-)()(])([)1( ∴jw jw jw jw e dw
w dF j e w F e dw w dF j e w F t tf t f t f t ------=-+---↔---=--)(])()([)()1()1()1()1(。