配方法(二)教学设计

第二章一元二次方程

２．配方法（二）

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：初二上学期，学生已经学习过开平方根的定义以及完全平方公式，在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为1的一元二次方程，这些为本节课学习解二次项系数不为1的方程打下较好的基础。

学生活动经验基础：上一课时，学生已经经历了二次项系数为1的方程的解的过程，已经体会到其中转化的思想方法，这些都成为完成本课任务的活动经验基础。

二、教学任务分析

在课程安排上这节课的具体学习任务：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程以及利用一元二次方程解决实际问题。这节课内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，为此，本节课的教学目标是：

①经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；

②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中

的化归思想；

③能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意

义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：讲授新课；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第

六环节：布置作业。

第一环节复习回顾

活动内容：回顾配方法解一元二次方程的基本步骤。

活动目的：回顾配方法的基本步骤，为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。

实际效果：教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮助学生回顾并整理步骤，例如，x2-6x-40=0

移项，得 x2-6x= 40

方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得

x2-6x+32=40+32

即（x-3）2=49

开平方，得 x-3 =±7

即 x-3=7或x-3=-7

所以 x

1=10,x

2

=-4

学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤：

通过对这个方程基本步骤地熟悉学生们顺畅的理清思路，掌握了每一步的理论依据，增强了解题的信心，达到预期的目的。

配方法的两节课连贯性强，作为一种新的方法，学生在新授期间应多接触，熟练掌握基本的步骤，掌握每一步的原理，这样会增强学生对这个知识点的驾驭能力。一般的一元二次方程配方解法的步骤（移项，配方，开平方，求解）及注意事项。移项的目的是将二次项和一次项调整到等号的左边，常数项调整到右边；配方是将方程的两边添加一个常数项（一次项系数一半的平方）原理是根据公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2进行的；开平方的原理是平方根的定义，需要注意一个正数有两个平方根，它们是互为相反数；求解的过程是解两个一元一次方程，要注意符号的变化。

第二环节：情境引入

活动内容：1.将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答.

1.x 2+2x+________=(x+______)2

2.x 2-4x+________=(x-______)2

3.x 2+________+36=(x+______)2

4.x 2+10x+________=(x+______)2

5. x 2-x+________=(x-______)2

2.请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别

1.x 2+6x+8=0

2.3x 2+18x+24=0

探讨方程2的应如何去解呢？

活动目的：通过对第一部分的五个口答练习题的训练，熟悉完全平方式的三项与平方形式的联系，第二部分的两个习题之间的区别是方程2的二次项系数为3，不符合上节课解题的基本形式，联系是当方程两边同时除以3以后，这两个方程式同解方程。学生们作了方程的变形以后，对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路。

实际效果：学生对第一部分五个口答题的积极抢答，调动了各自的思维，进入了积极学习的状态；比较第二部分中两个方程系数之间的区别与联系，学生们发现二次项系数为1仅是方程中的一小部分，怎样将其它类型的方程转化成这类方程非常关键，这个比较也点明了转化的方向和思路，为后续解这个方程做好了充分的铺垫，学生解决它已是轻车熟路的事情。第三环节：讲授新课

活动内容1：讲解例题

例2 解方程3x 2+8x-3=0

解：方程两边都除以3，得移项，得配方，得 01382=-+x x 2

223413438⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 13

82=+x x

活动目的：通过对例2的讲解，继续拓展规范配方法解一元二次方程的过程.让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路,关键是将方程转

化成)0()(2≥=+n n m x 形式，特别强调当一次项系数为分数时，所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平方，理解这样做的原理，树立解题的信心。

另外，得到 后，在移项得到3

435-±=x 要注意符号问题，这一步在计算过程中容易出错。

实际效果：经过这一环节，学生对配方法的特点有了深入的了解，通过例题的处理，进一步把握了配方法的基本思路，熟悉了其步骤。

活动内容2：应用提高：

做一做：一小球以15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(S)满足关系:h=15t-5t 2,小球何时能达到10米的高度？

解：根据题意得 15t-5t 2=10

方程两边都除以-5，得

t 2-3t=-2

配方，得925342=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+x 3,31,353421-==±=+x x x 3

534±=+x 222232233⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t t 41232=⎪⎭⎫ ⎝⎛-t 2

123±=-t

活动目的：在前边学习的基础上，通过例3进一步提高学生分析问题,解决问题的能力，帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用，也为后续学习做好铺垫。

实际效果：大部分学生通过独立思考，根据题意很快列出了方程，解方程的过程比较顺畅，最终得到两个时间t 的值分别为1和2，根据实际情景怎样理解这两个时间呢？这就是很好的数学应用，体现数学的价值，很多学生能想象出当时间为1秒时，小球上升到离出发点10米的地方，当时间为2秒钟时，小球是处于下降状态，离出发点也是10米，激发了学生学习数学的热情。第四环节：练习与提高

活动内容：课本习题2.4第1题

印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数有多少，两队猴子在一起？大意是说：一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？请同学们解决这个问题。

解：可设猴子的总数是x ，由题意可得

(81

x)2+12=x 解得x 1=16 x 248

答：这群猴子可能是16只，也可能是48只。

活动目的：对利用一元二次方程解决实际问题进行巩固练习,培养学生的阅读能力、数学建模能力。

实际效果：这个题中的等量关系不易发现，课堂上，我给学生们适当的空间，培养学生独立思考的习惯，然后鼓励思维敏捷的同学展示自己的思路，用学

1

,221==t t

生的语言带动学生们学习。

第五环节：课堂小结

活动内容：1.学生总结解一元二次方程的基本步骤；

2.利用一元二次方程解决实际问题的思路，对于结果的理解。

活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想

实际效果：学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获，掌握了配方法的基本思路和过程。

第六环节：布置作业

（1）课本53页习题2.4第2题；

⑵一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压p（毫米

汞柱）与年龄x（岁）大致满足关系：p=0.01x2+0.05x+107.如果一个女性的收缩压为120毫米汞柱，那么她的年龄大概是多少？

⑶有能力的同学请课余时间用配方法交流探究方程： ax2+bx+c=0 (a不为

0)的解法.

四、教学反思

1、创造性的使用了教材：

这节课作为配方的第二节主要是以习题训练为重点，所以我依照书上的例题为重点展示了解方程的基本步骤，另外，添加了辅助性的3个习题；将书上的做一做转化成一个例题，让学生体会利用一元二次方程解决问题的感受；另在作业中配套了一道血压方面的数学问题，学生可以体会到一元二次方程与我们的现实生活息息相关。

2、注意改进的方面

基础较好的学生对于基础性的计算比较快，与此同时，班级中的有7—8名学生对于数据计算有懒惰的思想，速度慢，时间长，如果不能及时解决，这部分学生将落队，或者整节课堂冗长无味，因此如何调控教学进度成为教学中的一个难点。我的办法是老师准备好几个不同层次的习题，当大部分学

生做完后，可以为他们提供更高层次的习题，继续引领他们的思维前进，而加强对基础薄弱的同学动手动脑的监督。