数值分析常微分方程数值解

许多实际问题的数学模型是微分方程或微分方程的定解问题。如物体运动、电路振荡、化学反映及生物群体的变化等。常微分方程可分为线性、非线性、高阶方程与方程组等类；线性方程包含于非线性类中，高阶方程可化为一阶方程组。若方程组中的所有未知量视作一个向量，则方程组可写成向量形式的单个方程。因此研究一阶微分方程的初值问题

⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=0

)(),(y a y b

x a y x f dx

dy

， (9-1) 的数值解法具有典型性。

常微分方程的解能用初等函数、特殊函数或它们的级数与积分表达的很少。用解析方法只能求出线性常系数等特殊类型的方程的解。对非线性方程来说，解析方法一般是无能为力的，即使某些解具有解析表达式，这个表达式也可能非常复杂而不便计算。因此研究微分方程的数值解法是非常必要的。

只有保证问题(9-1)的解存在唯一的前提下，研究其数值解法或者说寻求其数值解才有意义。由常微分方程的理论知，如果(9-1)中的),(y x f 满足条件

（1）),(y x f 在区域} ),({+∞<<∞-≤≤=y b x a y x D ，上连续； （2）),(y x f 在上关于满足Lipschitz 条件，即存在常数，使得

y y L y x f y x f -≤-),(),(

则初值问题(9-1)在区间],[b a 上存在惟一的连续解)(x y y =。在下面的讨论中，我们总假定方程满足以上两个条件。

所谓数值解法，就是求问题(9-1)的解)(x y y =在若干点

b x x x x a N =<<<<= 210

处的近似值),,2,1(N n y n =的方法。),,2,1(N n y n =称为问题(9-1)的数值解，n n x x h -=+1称为由到1+n x 的步长。今后如无特别说明，我们总假定步长为常量。

建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： (1) 用差商近似导数

在问题(9-1)中，若用向前差商

h

x y x y n n )

()(1-+代替)(n x y '，则得

)1,,1,0( ))(,()

()(1-=≈-+N n x y x f h

x y x y n n n n n

)(n x y 用其近似值代替，所得结果作为)(1+n x y 的近似值，记为1+n y ，则有 1(,) (0,1,

,1)n n n n y y hf x y n N +=+=-

这样，问题(9-1)的近似解可通过求解下述问题

100(,) (0,1,

,1)

()

n n n n y y hf x y n N y y x +=+=-⎧⎨

=⎩(9-2)

得到，按式(9-2)由初值经过步迭代，可逐次算出N y y y ,,21。此方程称为差分方程。

需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。 (2) 用数值积分法

将问题(9-1)中的微分方程在区间],[1+n n x x 上两边积分，可得

)1,,1,0( ))(,()()(1

1-==-⎰

++N n dx x y x f x y x y n n

x x n n (9-3)

用1+n y ,分别代替)(1+n x y ,)(n x y ，若对右端积分采用取左端点的矩形公式，即

),())(,(1

n n x x y x hf dx x y x f n n

≈⎰

+

同样可得出显式公式(9-2)。

类似地，对右端积分采用其它数值积分方法，又可得到不同的计算公式。 (3) 用Taylor 多项式近似。把1()n y x +在点处Taylor 展开，取一次多项式近似，则得

2

12

1()()()()

2!

()(,())() [,]

2!

n n n n n n n n h y x y x hy x y h

y x hf x y x y x x ξξξ++'''=++''=++∈ 设1h ，略去余项，并以代替()n y x ，便得 1(,)n n n n y y hf x y +=+

以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的计算公式。其中Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断误差。

上面我们给出了求解初值问题(9-1)的一种最简单的数值公式(9-2)。虽然它的精度比较低，实践中很少采用，但它的导出过程能较清楚地说明构造数值解公式的基本思想，且几何意义明确，因此它在理论上仍占有一定的地位。

1简单的数值方法和基本概念

1.1 Euler 法与向后Euler 法

一、Euler 法

Euler 方法就是用差分方程初值问题

10(,) (0,1,,1)

()

n n n n y y hf x y n N y y a +=+=-⎧⎨

=⎩(9-4)

的解来近似微分方程初值问题(9-1)的解，即由公式(9-4)依次算出()n y x 的近似值(1,2,

)n y n =。

从几何上看，微分方程(,)y f x y '=在xoy 平面上确定了一个向量场：点(,)x y 处的方向斜率为(,)f x y 。问题(9-1)的解()y y x =代表一条过点00(,)x y 的曲线，称为积分曲线，且此曲线上每点的切向都与向量场在这点的方向一致。从点000(,)P x y 出发，以00(,)f x y 为斜率作一直线段，与直线1x x =交于点111(,)P x y ，显然有

1000(,)y y hf x y =+，再从出发，以11(,)f x y 为斜率作直线段推进到2x x =上一点222(,)P x y ，其余类推，这样得

到解曲线的一条近似曲线，它就是折线012

P PP 。因此Euler 方法又称为Euler 折线法。

二、向后Euler 法

在微分方程离散化时，用向后差商代替导数，即11()()

()n n n y x y x y x h

++-'≈

，则得到如下差分方程

11100(,) (0,1,,1)

()

n n n n y y hf x y n N y y x +++=+=-⎧⎨

=⎩(9-5)

用这组公式求问题(9-1)的数值解称为向后Euler 法。

向后Euler 法与Euler 法形式上相似，但实际计算时却复杂得多。Euler 法计算1+n y 的公式中不含有1+n y ，这样