极大值与极小值(3.3.2) (2)
极大值与极小值
4.(2006年北京卷)已知函数 f ( x) ax bx cx 在点 x0 处取得极大值5,其导函数 y f '( x) 的图像 (如图)过点（1,0）,（2,0）, 求： （1） x0 的值；（2）a,b,c的值； 略解： (1)由图像可知：x0 1
3 2
(2)
f / ( x）＝3ax 2 2bx c (a 0) f (1) a b c 5
0
1 1 9 因此,当x 时, f(x)有极小值f( ) . 2 2 4
1 3 1 例2 求函数 y x 4x 的极值。 3 3 解：定义域为R，y′=x2-4 由y′=0可得x=-2或 x=2
当x变化时，y′, y的变化情况如下表：
x y′ y
(-∞，-2）
-2
0 极大值 17/3
练习：
1、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为 ( D)
A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
2（ 、2006年天津卷)函数 f ( x) 的定义域为开区间( a, b) 导函数 f ( x)在 ( a, b) 内的图像如图所示，则函数f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有（ A ）个极小值点。
再根据解集写出单调递增区间
（4）求解不等式f ′(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间
（5）确定f(x)的单调区间
观察图像：函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的
函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右 近旁各点处的函数值，相比有什么特点?
函数的极值与导数经典教案
3.3.2函数的极值与导数[教材分析]：《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，并为《函数的最大（小）值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。
本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。
[学情分析]：学生已经初步学习了运用导数研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。
本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作用。
[教学目标]：知识与技能：•了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；•掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法；•了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。
过程与方法：•培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。
情感态度与价值观：•体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；•培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神；•激发学生的民族自豪感，培养学生的爱国主义精神。
[教学重点和教学难点]：教学重点：掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法。
教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。
[教法学法分析]：教法分析和教学用具：本节课我将采用自主学习—成果展示—合作探究—教师点拨—巩固提高的教学环节。
并利用信息技术创设实际问题的情境。
发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在我引导下的“再创造”过程。
学法分析通过用导数研究函数的极值，提高了学生的导数应用能力。
通过用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值，得到求极值的一般方法。
教学过程教学内容设计意图一、自主学习：课前将学案发给学生，让学生明确学习目标，带着问题对课本进行预习，并解答这些问题，落实基础知识。
通过检查学案，了解学生自主学习的情况，设计导学思路与措施。
培养学生的自主学习能力，为学生的终身学习奠定基础。
二、成果展示：对自主学习的情况先在组内进行交流，对自主学习的问题组内达成共识。
《光学教程》姚启钧课后习题解答
《光学教程》（姚启钧）习题解答第一章光的干涉1、波长为500/nn的绿光投射在间距d为0.022cm的双缝上，在距离180cm处的光屏上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离。
若改用波长为700M?的红光投射到此双缝上，两个亮纹之间的距离为多少？算出这两种光第2级亮纹位置的距离。
解：人=5 00mn改用人=7Q0nm两种光第二级亮纹位置的距离为：2、在杨氏实验装置中，光源波长为640〃加，两狭缝间距为0.4mm ,光屏离狭缝的距离为50⑷，试求：⑴光屏上第1亮条纹和中央亮纹之间的距离；⑵若P点离中央亮纹为0.1〃曲问两束光在P点的相位差是多少？（3）求P点的光强度和中央点的强度之比。
»•50解：⑴ Ay = -2-/1 = .^x 640x 10-7 = 0.08™d0.04⑵由光程差公式⑶中央点强度：I o = 4A2P点光强为：/ = 2力彳1 +心兰、I4丿3、把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中，光屏上原来第5级亮条纹所在的位置变为中央亮条纹，试求插入的玻璃片的厚度。
已知光波长为6X10-7/H解：” = 1.5，设玻璃片的厚度为d由玻璃片引起的附加光程差为：F = l）d4、波长为500/nn的单邑平行光射在间距为0.2加加的双缝上。
通过其中一个缝的能量为另一个的2倍，在离狭缝50。
加的光屏上形成干涉图样，求干涉条纹间距和条纹的可见度。
r 50解：Av = 4^ = — x500xl0'7 = 0.125C/H’ d 0.02由干涉条纹可见度定义：由题意，设A;=2A;,即% = ©代入上式得5、 波长为700/?/n 的光源与菲涅耳双镜的相交棱之间距离为20cm ，棱到光屏间的距离厶为 180c/n ,若所得干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为1mm ,求双镜平面之间的夹角0。
解：2 = 700伽,r = 20C /77, L = \ SOcm, Ay = 1mm由菲涅耳双镜干涉条纹间距公式6、 在题1.6图所示的劳埃德镜实验中，光源S 到观察屏的距离为1.5叫 到劳埃德镜面 的垂直距离为2〃"。
函数的极值与最值
x0
xห้องสมุดไป่ตู้
y
O
O
x0
x
6
y
O
y
不是极值点
x0
x
x0
x
O
一般求极值的步骤 (1)求导数; (2)求驻点与不可导点; (3)求相应区间的导数符号,判别增减性; (4) 求极值.
7
例求 f(x ) (x 1 ) (x 1 ) 的极值及单调 .
3
2 3 2 1 ) (x 1 )3 解 (1) f ( x ) 3 ( x 1 )( x 1 ) (x 3 ( x 1)2 (11x 7) 1
2
唯一驻点
16 16 2 因这样的面积有最大值, 点P , 3 3 为所求. 16 4096 故S( ) 为所有三角形中面积的最大值. 3 27
27
三、小结
极值:局部性概念; 极值与最值的区别 最值: 整体性概念.
极大值可能小于极小值, 极小值可能大于极大值.
2 3
2 3
1
3( x 1)3
7 . 导数不存在的点: x1 ,x . (2) 驻点: x 1 11
8
(3) 列表.求相应区间的导数符号,判别增减性,
确定极值点和极值.
, 1 ) 1 x (
( 1, 7 ) 11
7 11
( 7 ,1 ) 11
1
(1, )
f (x)
x 处可导 , 则必有 f ( x ) 0 . 极值, 且在 0 0
注 (1)可导函数的极值点 必是驻点, 但函数的 驻点却不一定是极值点.
3.3.2 极大值与极小值
y
f x 1 3 x
3
4x 4
o
2
2
x
图 1 . 3 12
函数 f x
1 3
x
3
4 x 4 的图象如图
1 . 3 12 所示 .
极大值一定大于极小极 ? 吗
如果不用导数的方法你能求出上述函数的极 , 值吗? 试一试比较一下 你有什么体会? ! ,
自学检测：P31、1
h
h a 0
'
单调递增 h t 0
'
单调递减 h t 0
'
O
a
图 1 .3 8
t
图 1 .3 9
通过动画实验形象解释利用导数找极 , 值的过程 .
观察图 .3.8, 我们发现 t a时,高台跳水运动员 1 , 距水面的高度最大那么 函数ht 在此点的导数 . , 是多少呢? 此点附近的图象有什么 特点? 相应 地, 导数的符号有什么变化 规律 ?
'
f b 比它
'
值 都 大 , f b 0 ;
'
f x 0 , 右侧 f x 0 .
我们把点
a 叫做函数 ,
a a 叫做函数 的 极小值;
y f x
y f x
o b
x
点 b 叫做函数 的极大值点
y f x , f b 叫做
'
, 且 h t 连续变化
'
, 于是有 h a 0 .
'
对于一般的函数 f x , 是否也有同样的性质呢 y ?
探究
如图1.3 10 和图1.3 11 函数 y f x 在 ,
数学苏教版选修11课件：第3章3.3.2 极大值与极小值
(3)f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex(x2－7x＋13)＋ex(2x－7)＝ ex(x2－5x＋6)＝ex(x－2)(x－3)． 令f′(x)＝0解得x1＝2，x2＝3. 当x在定义域R内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x)
f(x)
(－∞，2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)
2．函数的极值与函数的导数之间的关系 (1)极大值与导数之间的关系
x
x1左侧
x1
x1右侧
f′(x) f′(x)__>___0 f′(x)＝0 f′(x)__<__0
函数的极值与最大(小)值(第一课时)(教学设计)
§5.3.2函数的极值与最大（小）值（第一课时）一、内容和内容解析内容：极值的概念，了解函数的极值与导数的关系，运用导数方法求函数极值.内容解析：（1）极值的概念：函数的极值本质反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.教学时可以用高台跳水实例引入函数极值的讨论，先让学生结合实际经验，通过观察图形直观形象的得到“局部最值"的初步想法，通过对比函数的最值，引发学生的认知冲突,使学生认识到“局部最值”不同于函数最值，是一个全新的概念，从而生成函数极值的概念.（2）函数的极值与导数的关系：学生对函数的极值有了初步的了解后，学生就会面临难题，如何利用导数求函数的极值呢？这一部分主要是探究求极值的算法，虽然没有新知识和新概念的生成，但教师在教学中依然要符合学生的认知规律，要让学生认识到利用导数来求极值是通过探究自然而然形成的.先让学生观察函数极值附近两侧的图像变化，认识到函数极值点左右两侧图像变化趋势是相反的.学生知道图象的上升与下降是用单调性来刻画的，而函数单调性又可以用导数来刻画的.从而，学生自然而然地就明白函数的极值可以借助导数来求解.二、目标和目标解析目标：结合函数图像，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值.通过观察具体的函数图像，学生直观感知极值这一概念的生成过程，并积极主动地参与探索函数的极值与导数值变化之间的关系的活动，亲身经历用导数研究极值方法的过程.通过学习，学生体会导数在研究函数性质中的工具性和优越性，掌握极值是函数的局部性质，增强数形结合的意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度；通过规范地表达求函数极值的过程，养成缜密的思维习惯.目标解析：达成上述目标的标志是：能够通过函数图象判断函数的极值点和极值.能够通过导函数的图象判断函数的极值点.能够利用导数研究解一元三次函数的极值.三、教学问题诊断分析1.教学问题一：为何可以利用导数直接判断极值是第一个教学问题，也是教学难点，在没有教师的引导下，导数介入函数的极值中是很难理解.因此，探究的起点应从学生熟悉的公式或概念开始.学生对函数的极值有了初步的了解后，那么困惑产生了：如何求函数的极值呢?2.教学问题二：函数在某点处的导数值为0是可导函数取得极值的必要条件，而非充分条件.这个第二个教学问题，也是教学难点.基于以上分析，确定本节课的教学重难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，求可导函数的极值的步骤.四、教学策略分析t a =时，运动员距水面的高度h t=a 附近函数导数值的正负性变化，教学时可以采用信息技术工具，放大函数在t a =t=a 的左侧某点处的切线，当切点沿函数图象从t a =的左侧移动至右侧时，切线斜率由正数变到为0，再由0变到负数. 五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图情景 引入观察庐山连绵起伏的图片，思考庐山的山势有什么特点？师生活动：学生间激烈地争论着这个问题，教师再给出这节课要研究的角度，结合苏轼在《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”，描述的是庐山的连绵起伏.由此联想庐山的连绵起伏形成好多的"峰点" 与''谷点"，这就象数学上要研究的函数的极值.将学生从"要我学"被动学习情绪激发到“我要学”的积极主动的学习欲望上来，学生能够自觉地参与课堂教学的过程中来.探究新知[问题1]观察下图，图1和图2，函数在点x a =处的函数值与它附近的函数值之间有什么关系？ayxO[问题2] 观察图像，找出图中的极值点，并说明哪些为极大值点，哪些为极小值点？教师1：提出问题1. 学生1：学生观察分析后发表自己的见解.师生共同总结：函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都大，它是一个局部的概念，不同于函数的最值，为了区分函数的最值，我们要加以新的定义.教师引导学生，给出极大值的概念：函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都大，我们把a 叫做函数()y f x =的极大值点，()f a 叫做函数()y f x =的极大值.学生通过类比，给出极小值的概念：函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，我们把a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值. 教师再强调：让学生将观察分析得到的结论用科学严谨的数学语言表达出来，有利于学生思维从感性层面提升到理性层面，培养归纳概括能力.fed cb O xyay=f'(x )O a b x 1x 2x 3x 4x 5x 6。
(新课标)高中数学《3.3.2-函数的极值与导数》课件-新人教A版选修1-1
规律方法 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式， 进而研究函数性质时注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待 定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性．
第18页，共29页。
第22页，共29页。
如图(1)，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰 好有两个实数根，所以 a＋2＝0，a＝－2.(10 分) 如图(2)，当极小值等于 0 时，有极大值大于 0，此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根，所以 a－2＝0，a＝2.综上，当 a＝2，或 a＝－2 时方程恰有两个实数 根．(12 分)
第8页，共29页。
2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不 一定是函数的极值点． (2)导数为 0 的点可能是函数的极值点，如 y＝x2，y′(0)＝0，x ＝0 是极小值．导数为 0 的点也可能不是函数的极值点，如 y ＝x3，y′(0)＝0，x＝0 不是极值点．
第23页，共29页。
【题后反思】 用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的 方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定 函数的图象与 x 轴的交点个数．
第24页，共29页。
【变式 3】 设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取 值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0， 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)； 单调递减区间为(－ 2， 2)．
极大值极小值知识点-概述说明以及解释
极大值极小值知识点-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极值问题是数学分析中的一个重要内容，它在数学、物理、经济等领域都有着广泛的应用。
极大值和极小值是函数在一定区间内取得的最大值和最小值，它们是优化问题中的关键概念。
本文将从极值的基本概念出发，介绍如何求解极值，以及极值在实际问题中的应用。
让我们一起深入了解极值的知识，掌握求解极值的方法，从而更好地应用于实际问题中。
1.2 文章结构文章结构部分是对整篇文章的框架和内容进行概述和介绍。
在这一部分，我们将简要介绍本文的章节安排和各个部分的主要内容。
第一部分是引言部分，包括概述本文要讨论的内容、文章结构和目的。
在引言部分，我们将简要介绍极大值和极小值的概念，以及为什么学习这些知识点是重要的。
第二部分是正文部分，包括极大值的概念、求解极大值的方法和极小值的概念。
在这一部分，我们将详细讨论极大值和极小值的含义，以及如何通过不同的方法来求解极值的问题。
第三部分是结论部分，包括总结极值概念、应用实例和展望。
在结论部分，我们将对本文所讨论的内容进行总结，并展示极大值和极小值在实际问题中的应用和未来的发展方向。
通过这样的文章结构，读者可以清楚地了解到本文的主要内容和各个部分的重点，帮助他们更好地理解极值的知识点。
1.3 目的目的部分的内容:本文旨在系统地介绍极大值和极小值的概念，以及求解极值的方法，从而帮助读者更全面地理解这一数学知识点。
同时，通过应用实例的分析，读者能够更好地理解极值在实际问题中的应用，并对未来在相关领域的研究和实践提供一定的启发和参考。
最终，期望本文能够为读者提供一个清晰的极值概念框架，帮助他们更有效地应用这一知识，解决实际问题。
2.正文2.1 极大值的概念极大值是在函数曲线上某一点附近的最大函数值。
具体来说，对于函数f(x)，如果存在一个区间[a, b]，使得在该区间内，当x不等于a或b时，f(x)小于等于f(a)或f(b)，那么f(x)在该区间内的最大值就是极大值。
第3章3.3.2函数的极大值与极小值课件 新人教A版选修1-1
例2
已知 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝1 与 x＝ ＝ ＋ ＝ ＝
2 时都取得极值 得极值． － 时都取得极值． 3 (1)求 a，b 的值； 求 ， 的值； 3 (2)若 f(－1)＝ ，求 f(x)的单调区间和极值． 的单调区间和极值． 若 － ＝ 的单调区间和极值 2 思路点拨】 【思路点拨】 先求导数 f′(x)，再令 f′(x)＝0 ′ ， ′ ＝
2．极大值点与极大值 ． 如图，函数 ＝ 在点x＝ 的函数值 的函数值f(b)比它在 如图，函数y＝f(x)在点 ＝b的函数值 在点 比它在 附近其他点的函数值都大， 点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而 ＝ 附近其他点的函数值都大 ′ ＝ ； ′ 且在点x＝ 的左侧 ′ 的左侧________，右侧________， 且在点 ＝b的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0 则 ， 把点b叫做函数 ＝ 的极大值点， 把点 叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 叫做函数 的极大值点 叫做函数 y＝f(x)的极大值．_________、_________统称为 的极大值． 极大值点 极小值点 ＝ 的极大值 、 统称为 极值点，_______和_______统称为极值． 极值点， 极大值和 极小值统称为极值． 统称为极值
【解】
(1)f′(x)＝3x2－6x－9. ′ ＝ －
解方程3x ＝－1， 解方程 2－6x－9＝0，得x1＝－ ，x2＝3. － ＝ ， 变化时， 的变化情况如下表： 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： 变化时 ′ 与 的变化情况如下表
x f′(x) ′ f(x) (－∞，－1) －1 － ，－ ＋ 单调递增 单调递增 0 (－1,3) － － 3 0 (3，＋∞) ，＋∞ ，＋ ＋
多元函数条件极值的几种求解方法
多元函数条件极值的几种求解方法摘要本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。
介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。
关键词极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式1前言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。
函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。
微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。
有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。
同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。
举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。
还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局才能让这些公共基础建设的利远大于弊。
一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益。
高中数学全程复习方略3.3.2 函数的极值与导数(共65张PPT)
2 (-≦,- ) 3 2 3 2 (- ,4) 3
4
0 -16-m
(4,+≦)
+Байду номын сангаас
+
0
68 -m 27
-
↗
↘
↗
则函数g(x)的极大值为g( 2 )= 68 -m，极小值为g(4)=-16-m.
≨由y=f(x)的图象与y=
1 f′(x)+5x+m的图象有三个不同交点， 3
3
27
68 2 g( ) m＞0, 得 3 27 解得-16＜m＜ 68 . 27 g 4 16 m＜0,
↗
+ ↗
0
4 27
-
f(x)
↘
1 )= 4 , f(x)极大值=f( 27 3
f(x)极小值=f(1)=0. 答案： 4
27
0
2.≧f(x)=x4-x3,≨f′(x)=4x3-3x2. 令f′(x)=0,即4x3-3x2=0,得x2(4x-3)=0. ≨x=0或x= 3 .
4
当x变化时，f(x),f′(x)的变化情况如下表：
的交点，求实数m的取值范围.
【解析】1.f(x)=x3+x2-5x+2,
f′(x)=3x2+2x-5.由f′(x)=0得x=- 5 或x=1.
3
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x)
5 (-≦,- ) 3 5 3 5 (- ,1) 3
1 0 -1
(1,+≦) +
+
0
229 27
1.极小值点与极小值的定义
2018-2019数学选修1-1：第3章3.3.2 极大值与极小值
(3)f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex(x2－7x＋13)＋ex(2x－7)＝ ex(x2－5x＋6)＝ex(x－2)(x－3)． 令f′(x)＝0解得x1＝2，x2＝3. 当x在定义域R内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x)
f(x)
(－∞，2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)
x
(－∞，－2) －2 (－2,0) 0
f′(x)
＋
0
－
0
f(x)
↗
4e－2
↘
0
由上表可以看出， 当x＝－2时，函数有极大值为f(－2)＝4e－2. 当x＝0时，函数有极小值为f(0)＝0.
(0，＋∞) ＋ ↗
(3)∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且 y′＝ x－22x－2x1＋3 1，令 y′＝0，得 x1＝－1，x2＝2. ∴当 x 变化时，y′，y 的变化情况如下表：
x2右侧 f′(x)_>__0
f(x)
↘减
__极__小__值__f(_x_2_) _
增↗
3.求函数f(x)极值的方法与步骤 (1)解方程f′(x)＝0； (2)根据函数的极值与导数之间的关系验证判断： ①如果在x0两侧f′(x)符号相同，那么x0不是f(x)的极值点． ②如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0) 是极大值． ③如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0) 是极小值． 注意：可导函数的极值点一定是其导数为零的点；但是，导 数为零的点不一定是该函数的极值点，因此导数为零的点(又 称驻点、可疑点)仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件 是这点两侧的导数异号．
1.3.2 极大值与极小值教案(优秀经典公开课比赛教案)
1.3.2 极大值与极小值教案教学目标：1．理解极大值、极小值的概念．2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值．3．掌握求可导函数的极值的步骤．教学重、难点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤． 教学过程：一、问题情境1．问题情境．函数的导数与函数的单调性的关系是什么？设函数y ＝f (x )在某个区间内有导数，如果在这个区间内y ′＞0，那么函数y ＝f (x )为在这个区间内的增函数；如果在这个区间内y ′＜0，那么函数y ＝f (x )为在这个区间内的减函数．2．探究活动．用导数求函数单调区间的步骤是什么？（1）函数f (x )的导数()f x '．（2）令()f x '＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．（3）令()f x '＜0解不等式，得x 的范围就是递减区间．二、建构数学1．极大值：一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所 有的点都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值＝f (x 0)，x 0是极大值点．2．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的 点，都有f (x )＞f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)，x 0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值，请注意以下几点：（1）极值是一个局部的概念定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（2）函数的极值不是惟一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f ＞)(1x f ．（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．4．判别f (x 0)是极大、极小值的方法．若0x 满足0()0f x '＝，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．5．求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数()f x '．(2)求方程()f x '＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值．三、数学运用例1 求f （x ）＝x ２－x －2的极值． 例2 求y ＝31x 3－4x ＋31的极值． 求极值的具体步骤：第一，求导数()f x '；第二，令()f x '＝0，求方程的根；第三，列表，检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这根处无极值．练习1．求下列函数的极值．（1）1y x x＝＋； （2）3281261y x x x ＝－＋＋． 探索 若寻找可导函数极值点，可否只由(x )＝0求得即可？如x ＝0是否为函数3()f x x ＝的极值点？四、回顾小结函数的极大、极小值的定义以及判别方法，求可导函数f (x )的极值的三个步骤，还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续．可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号．函数的不可导点可能是极值点．五、课外作业1．课本第31页第1，3题．2．补充．1．求下列函数的极值．(1)y ＝x 2－7x ＋6 (2)y ＝x 3－27x2．思考题极值和最值的区别与联系？六、教学反思：。
高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学选修2-2 4.3.2 函数的极大值和极小值》
函数的极值与导数一．教材分析本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性二．教学目标1 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质；2 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件；3 会用导数求函数的极值；4 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力；5 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用三．重点与难点重点：会用导数求函数的极值．难点：导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解四．学情分析基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数．五．教具教法多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学六．学法分析借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤．七．教学过程、创设情景，导入新课【问题情景】我们学过毛泽东的诗《清平乐·六盘山》，请同学们一起背诵。
[生]：背诵《清平乐·六盘山》：天高云淡，望断南飞雁。
不到长城非好汉，屈指行程二万。
第3章 3.3.2 函数的极大值和极小值
3．3.2函数的极大值和极小值[读教材·填要点]1．极大值和极小值(1)极大值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于f(x0)(即f(x)<f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，x0称为f(x)的一个极大值点．(2)极小值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于f(x0)(即f(x)>f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，x0称为f(x)的一个极小值点．(3)极值：极大值和极小值统称极值，极大值点和极小值点统称为极值点．2．函数极值的求法(1)求导数f′(x)；(2)求f(x)的驻点，即求f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在驻点左右的符号，如果在驻点左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个驻点处取得极大值；如果在驻点的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个驻点处取得极小值．[小问题·大思维]1．导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定．y＝f(x)在x＝x0及附近有定义，且f′(x0)＝0，y＝f(x)是否在x＝x0处取得极值，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否异号．例如f(x)＝x3，由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．2.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？提示：由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减．所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值点，极小值点为x＝x2.3．函数y＝f(x)在给定区间上一定有极值点吗？极大值是否一定比极小值大？提示：(1)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．(2)极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 4－2x 2；(2)f (x )＝x 2e －x .[自主解答] (1)函数f (x )的定义域为R. f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)．令f ′(x )＝0，得驻点x ＝0，或x ＝－1，或x ＝1. 列表：当x ＝0时，函数有极大值，且f (0)＝0； 当x ＝－1，或x ＝1时，函数有极小值， 且f (－1)＝f (1)＝－1. (2)函数的定义域为R.f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2e x ′＝(x 2)′e x －(e x )′x 2(e x )2＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ＝－e －x x (x －2)．令f ′(x )＝0，得驻点x ＝0，或x ＝2. 列表：当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0； 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e2.求可导函数f (x )极值的步骤：①求函数的导数f′(x)；②令f′(x)＝0，求驻点x0；③列表，方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在这个表格内；④判断得结论，若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．1．求下列函数的极值．(1)f(x)＝ln xx；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.解：(1)函数f(x)＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1－ln xx2.由f′(x)＝0得ln x＝1，即x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：所以f(x)极大值＝f(e)＝1e，无极小值．(2)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝2(x2＋1)－4x2(x2＋1)2＝－2(x－1)(x＋1)(x2＋1)2.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：且f(x)极小值＝f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且f(x)极大值＝f(1)＝－1.已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0.求a ，b 的值．[自主解答] ∵f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.若将“在x ＝－1时有极值0”改为“在x ＝－1和x ＝3处有极值”，如何求解？ 解：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， ∵－1,3是f (x )的极值点， ∴－1,3是f ′(x )＝0的两个根， 即－1,3是3x 2＋6ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎨⎧－6a3＝－1＋3，b3＝(－1)×3，解得a ＝－1，b ＝－9.解决此类问题通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．2．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由．解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由f′(－1)＝f′(1)＝0，得：3a＋2b＋c＝0, 3a－2b＋c＝0.又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.∴a＝12，b＝0，c＝－32.(2)由(1)可得f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)．当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y ＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．[自主解答]因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.作出f(x)的大致图象如图所示：因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．若本例中条件改为“已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4”在x ＝43处取得极值，其他条件不变，求m 的取值范围．解：由题意可得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f ′⎝⎛⎭⎫43＝0， 可得a ＝2，所以f (x )＝－x 3＋2x 2－4， 则f ′(x )＝－3x 2＋4x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝43，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：作出函数f (x )的大致图象如图所示：因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－4，－7627.利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论，在存在极值的情况下，求出极值．3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝⎛⎭⎫－13＝527＋a ， 极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1.由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．结合f (x )的单调性可知，当f (x )的极大值527＋a ＜0，即a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527时它的极小值也小于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上；当f (x )的极小值a －1＞0，即a ∈(1，＋∞)时它的极大值也大于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在⎝⎛⎭⎫－∞，－13上．所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点.a 为何值时，方程x 3－3x 2－a ＝0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没有可能无实根？[巧思] 方程x 3－3x 2－a ＝0根的个数，即为直线y ＝a 和函数f (x )＝x 3－3x 2图象交点的个数，因此可借助函数的单调性和极值画出函数f (x )＝x 3－3x 2的图象，然后借助图象判断根的个数．[妙解] 令f (x )＝x 3－3x 2， 则f (x )的定义域为R ，由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0， 得x ＝0或x ＝2，所以当x ＜0或x ＞2时，f ′(x )＞0； 当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0.函数f (x )在x ＝0处有极大值0，在x ＝2处有极小值－4，如图所示，故当a ∈(－∞， －4)∪(0，＋∞)时，原方程有一个根； 当a ＝0或a ＝－4时，原方程有两个不等实根；当a ∈(－4,0)时，原方程有三个不等实根；由图象可知，原方程不可能无实根．1．下列结论中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果f ′(x 0)＝0且在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值C ．如果f ′(x 0)＝0且在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极小值D ．如果f ′(x 0)＝0且在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极大值 解析：根据极值的概念，左侧f ′(x )>0，单调递增；右侧f ′(x )<0，单调递减，f (x 0)为极大值．答案：B2．函数f (x )＝32x 2－ln x 的极值点为( )A ．0,1，－1 B.33C ．－33 D.33，－33解析：由已知，得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3x －1x ＝3x 2－1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝33⎝⎛⎭⎫x ＝－33舍去. 当x ＞33时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜33时，f ′(x )＜0. 所以当x ＝33时，f (x )取得极小值．从而f (x )的极小值点为33，无极大值点，选B. 答案：B3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， 则f ′(－3)＝27－6a ＋3＝0. ∴a ＝5. 答案：D4．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中正确的是________．①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值．解析：由图象可知，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值，故②③④正确．答案：②③④5．函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝1a 处有极值，则b 的值为________．解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝1a 处有极值， ∴f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝2a ·1a ＋b ＝0，即b ＝－2. 答案：－2 6．求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值． 解：函数的定义域为R.f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1，或x ＝1. 列表：由上表可以看出：当x ＝－1时，函数有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且f (1)＝22－2＝－1.一、选择题1．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．2，－1C ．－1D ．－3解析：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －2)(x ＋1)， ∵在x ＝－1的附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，∴x ＝－1时取极小值． 同理可知x ＝2时取极大值． 答案：C2．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，下列说法错误的是( )A ．－2是函数y ＝f (x )的极小值点B ．1是函数y ＝f (x )的极值点C ．y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率大于零D ．y ＝f (x )在区间(－2,2)上单调递增解析：由图象可知f ′(1)＝0，但是当－2<x <1时，f ′(x )>0，且当1<x <2时，f ′(x )>0.故1不是函数f (x )的极值点．答案：B3．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于点(1,0)，则f (x )的极值情况为( ) A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极小值为－427，极大值为0D ．极大值为－427，极小值为0解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，根据题意，x ＝1是函数的一个极值点，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝13.易判断当x ＝13时，f (x )有极大值为427，当x ＝1时，f (x )有极小值为0.答案：A4．设函数f (x )＝e x sin x ，x ∈[0，π]，则( ) A.π2为f (x )的极小值点 B.π2为f (x )的极大值点 C.3π4为f (x )的极小值点 D.3π4为f (x )的极大值点 解析：∵f (x )＝e x sin x ，∴f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，由f ′(x )≤0，得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤0， ∴2k π＋π≤x ＋π4≤2k π＋2π，k ∈Z ，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z.∵x ∈[0，π]，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π4上单调递增， f (x )在⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减，∴x ＝3π4为f (x )的极大值点．答案：D 二、填空题5.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导数f ′(x )的图象如图所示，则函数的极小值是________．解析：由图象可知，当x ＜0时， f ′(x )＜0，当0＜x ＜2时，f ′(x )＞0， 故x ＝0时函数f (x )取极小值f (0)＝c . 答案：c6．已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad ＝________.解析：∵y ′＝3－3x 2，令y ′＝0得x ＝±1， 且当x >1时，y ′<0， 当－1≤x ≤1时，y ′≥0， 当x <－1时，y ′<0，故x ＝1为y ＝3x －x 3的极大值点，即b ＝1， 又c ＝3b －b 3＝3×1－1＝2，∴bc ＝2. 又∵a ，b ，c ，d 成等比数列， ∴ad ＝bc ＝2. 答案：27．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为________． 解析：y ′＝e x ＋a ，由y ′＝0，得x ＝ln(－a )， 由题意知ln(－a )>0，∴a <－1. 答案：(－∞，－1)8．若函数y ＝－x 3＋3x 2＋m 的极大值等于2，则实数m 等于________．解析：y ′＝－3x 2＋6x ，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝2，容易得出当x ＝2时函数取得极大值，所以－23＋3·22＋m ＝2，解得m ＝－2.答案：－2 三、解答题9．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．10．已知函数f (x )＝ax －ae x(a ∈R ，a ≠0)． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的极值；(2)若函数F (x )＝f (x )＋1没有零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋1e x ，f ′(x )＝x －2ex . 由f ′(x )＝0，得x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的极小值为f (2)＝－1e 2，函数f (x )无极大值．(2)F ′(x )＝f ′(x )＝a e x －(ax －a )e x e 2x ＝－a (x －2)e x .①当a <0时，F (x )，F ′(x )的变化情况如下表：若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝ae2＋1>0，解得a>－e2，所以此时－e2<a<0；②当a>0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：当x>2时，F(x)＝a(x－1)e x＋1>1，当x<2时，令F(x)＝a(x－1)e x＋1<0，即a(x－1)＋e x<0，由于a(x－1)＋e x<a(x－1)＋e2，令a(x－1)＋e2≤0，得x≤1－e2a，即x≤1－e2a时，F(x)<0，所以F(x)总存在零点，综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．。
高中数学选修1-1：3.3.2极大值与极小值
极大值与极小值[ 学习目标 ] 1.认识函数极值的观点，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵巧应用 .2.掌握函数极值的判断及求法 .3.掌握函数在某一点获得极值的条件．活动一知识梳理引入新课知识点一极值点与极值的观点(1)极小值点与极小值如图，函数 y＝ f(x)在点 x＝ a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 邻近其余点的函数值都小， f ′(a)＝0；并且在点 x＝ a 邻近的左边 ________.，右边________.，则把点 a 叫做函数y＝ f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y＝ f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值如(1) 中图，函数 y＝f(x)在点 x＝ b 的函数值 f(b)比它在点 x＝ b 邻近其余点的函数值都大， f′(b)＝0；并且在点 x＝ b 的左边 ________.，右边 ________.，则把点 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y＝ f(x) 的极大值．________.、________.统称为极值点， ________.和 ________.统称为极值．思虑极大值必定大于极小值吗？答案不必定．知识点二求函数 y＝f(x)的极值的方法解方程 f′ (x)＝ 0，当 f′ (x0)＝ 0 时：(1)假如在 x0邻近的左边 f′ (x)＞ 0，右边 f′( x)＜ 0，那么 f(x0)是 ________.(2)(2)假如在 x0邻近的左边 f ′(x)＜ 0，右边 f′ (x)＞ 0，那么 f(x0)是 ________活动二数学应用例 1求函数f(x)＝x22x＋1－2的极值．例 2已知函数f(x) ＝ax3＋ bx2＋ cx(a≠ 0)在 x＝±1 处获得极值，且 f(1)＝－ 1.(1)求常数 a， b， c 的值；(2)判断 x＝±1 是函数的极大值点仍是极小值点，试说明原因，并求出极值．例 3 设函数 f(x)＝ x3－ 6x＋5， x∈R.(1) 求函数 f(x)的单一区间和极值；(2) 若对于 x 的方程 f(x)＝ a 有三个不一样的实根，务实数 a 的取值范围．活动三讲堂反应单1．函数 f(x)的定义域为R ，导函数f′ (x)的图象以下图，则函数f(x)有 ________个极大值点， ________个极小值点．2．已知函数f(x)＝ x3－ px2－ qx 的图象与 x 轴切于点 (1,0)，则 f(x)的极大值为 ________，极小值为 ________．3．已知 f(x)＝x3＋ax2＋ (a＋ 6)x＋1有极大值和极小值，则 a 的取值范围为 ____________．4．设函数 f(x)＝ 6x3＋ 3(a＋ 2)x2＋ 2ax.若 f(x)的两个极值点为x1，x2，且 x1x2＝1，则实数 a 的值为 ________．5．已知对于 x 的函数 f(x)＝－1x3＋bx2＋cx＋ bc，若函数 f(x)在 x＝ 1 处获得极值－4，则 b＝33________，c＝ ________.活动四讲堂小结1.在极值的定义中，获得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点 x＝ x0处获得极值的充要条件是f′ (x0)＝0 且在 x＝ x0双侧 f′ (x)符号相反．3．利用函数的极值能够确立参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．答案题型一求函数的极值2x例 1求函数 f(x)＝x2＋1－2的极值．解函数的定义域为R .2 x2＋ 1 － 4x2 2 x－ 1 x＋ 1f′ (x)＝x2＋1 2＝－x2＋ 1 2.令 f′( x)＝ 0，得 x＝－ 1，或 x＝ 1.当 x 变化时， f′ (x)， f(x)的变化状况以下表：x(－∞，－ 1)－1(－ 1,1)1(1，＋∞ )f′ (x)－0＋0－f(x)↘－3↗－ 1↘由上表能够看出：当 x＝－ 1 时，函数有极小值，且极小值为f(－ 1) ＝－ 3；当 x＝ 1 时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－ 1.反省与感悟求可导函数f(x) 的极值的步骤：(1)确立函数的定义域，求导数f′ (x)；(2)求方程 f ′(x)＝ 0 的根；(3)用函数的导数为 0 的点，按序将函数的定义域分红若干个小开区间，并列成表格．检测f′ (x)在方程根左右双侧的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处获得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个根处获得极小值；假如左右不改变符号，那么f( x)在这个根处无极值．追踪训练1求函数f(x)＝3x＋3ln x的极值．3解函数 f(x)＝＋ 3ln x 的定义域为 (0，＋∞ )，3 3 3 x－ 1f′ (x)＝－x2＋x＝x2.令 f′( x)＝ 0，得 x＝ 1.当 x 变化时， f′ (x)与 f(x)的变化状况以下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′ (x)－0＋f(x)3所以当 x＝ 1 时， f(x)有极小值f(1) ＝3.题型二利用函数极值确立参数的值例 2已知函数f(x) ＝ax3＋ bx2＋ cx(a≠ 0)在 x＝±1 处获得极值，且 f(1)＝－ 1.(1)求常数 a， b， c 的值；(2)判断 x＝±1 是函数的极大值点仍是极小值点，试说明原因，并求出极值．解 (1)f′ (x)＝ 3ax2＋ 2bx＋ c.∵x＝±1 是函数 f(x)的极值点，∴x＝±1 是方程 f′ (x)＝ 3ax2＋ 2bx＋c＝ 0 的两根，－2b＝ 0，①由根与系数的关系，得3ac＝－ 1，②3a又 f(1)＝－ 1，∴ a＋ b＋ c＝－ 1.③由①②③ 解得 a＝1， b＝ 0， c＝－3. 22133x，(2) f(x)＝ x －223233∴f ′ (x)＝x－＝(x－ 1)( x＋1)，222当 x<－ 1 或 x>1 时， f′ (x)>0 ，当－ 1<x<1 时， f′ (x)<0，∴函数 f(x) 在(－∞，－ 1)和 (1，＋∞ )上是增函数，在( －1,1)上是减函数，∴当 x＝－ 1 时，函数获得极大值f( －1) ＝1，当 x＝ 1 时，函数获得极小值f(1)＝－ 1.反省与感悟(1) 利用函数的极值确立参数的值，常依据极值点处导数为0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)由于“导数值等于零”不是“ 此点为极值点” 的充要条件，所以利用待定系数法求解后，一定考证根的合理性．追踪训练2已知函数f(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx 在 x＝ x0处获得极大值5，其导函数y＝ f′ (x)的图象经过点(1,0)， (2,0)，以下图，求：(1) x0的值；(2) a， b，c 的值．解 (1) 由图象可知，在 (－∞， 1)上 f′ (x) ＞0，在 (1,2)上 f′ (x)＜ 0，在 (2，＋∞ )上 f′ (x)＞0.故 f(x)在 (－∞，1)，(2，＋∞ )上单一递加，在 (1,2)上单一递减，所以 f(x)在 x＝ 1 处获得极大值，所以 x0＝ 1.(2) f′ (x)＝3ax2＋ 2bx＋ c，由 f′(1) ＝ 0， f ′(2) ＝0， f(1) ＝ 5，3a＋ 2b＋c＝ 0，得 12a＋ 4b＋c＝ 0，解得a＝2，b＝－9，c＝12.a＋ b＋ c＝ 5，题型三函数极值的综合应用例 3 设函数 f(x)＝ x3－ 6x＋5， x∈R.(1)求函数 f(x)的单一区间和极值；(2) 若对于 x 的方程 f(x)＝ a 有三个不一样的实根，务实数 a 的取值范围．解 (1)f′ (x)＝ 3x2－ 6，令 f′ (x)＝0，解得 x1＝－2， x2＝ 2.由于当 x> 2或 x＜－2时， f′ (x)＞ 0；当－2＜ x＜2时， f′ (x)＜ 0.所以 f( x)的单一递加区间为(－∞，－2) 和 (2，＋∞ )；单一递减区间为(－2，2)．当 x＝－ 2时， f(x)有极大值 5＋ 4 2；当 x＝ 2时， f(x)有极小值 5－ 4 2.(2)由 (1)的剖析知 y＝ f(x)的图象的大概形状及走向以下图．所以，当 5－ 4 2＜ a＜ 5＋4 2时，直线 y＝ a 与 y＝ f(x)的图象有三个不一样的交点，即方程f(x)＝ a 有三个不一样的实根．反省与感悟用求导的方法确立方程根的个数，是一种很有效的方法．它经过函数的变化情况，运用数形联合思想来确立函数图象与x 轴的交点个数，进而判断方程根的个数．追踪训练3设a为实数，函数f(x)＝－ x3＋ 3x＋ a.(1)求 f(x)的极值；(2) 能否存在实数a，使得方程f(x)＝ 0 恰巧有两个实数根？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明原因．解 (1)f′ (x)＝－ 3x2＋ 3，令 f′ (x)＝ 0，得 x＝－ 1 或 x＝ 1.由于当 x∈ (－∞，－ 1)时， f′( x)＜0，当 x∈( －1,1)时， f′ (x)＞ 0，当 x∈ (1，＋∞ )时， f′ (x)＜ 0，所以 f( x)的极小值为f(－ 1)＝ a－2，极大值为f(1)＝ a＋ 2.(2)由于 f(x)在 (－∞，－ 1)内单一递减，且当 x→ －∞时， f(x)→＋∞，f(x)在 (1，＋∞ )内单一递减，且当 x→＋∞时， f(x)→ －∞，而 a＋2＞ a－ 2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0 时，极小值小于0，此时曲线f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程f(x)＝ 0 恰巧有两个实数根，所以a＋ 2＝ 0，a＝－ 2，如图 1 所示．当极小值等于0 时，极大值大于0，此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程f(x)＝ 0 恰巧有两个实数根，所以 a－ 2＝ 0， a＝ 2，如图 2 所示．综上所述，当a＝ 2 或 a＝－ 2 时，方程f(x)＝ 0 恰有两个实数根．例 4132＋ (2－b) x＋1在 x＝ x1处获得极大值，在 x＝ x2处获得极小值，已知函数 f( x)＝ ax － bx3且 0＜ x1＜ 1＜ x2＜ 2.(1)证明： a＞ 0；(2)求 z＝ a＋ 2b 的取值范围．剖析 (1)对原函数求导，将导函数问题转变为由二次函数的根的散布探究张口方向的问题，进而证得 a＞ 0；(2)利用 x1，x2为导函数的两个根，将 0＜ x1＜ 1＜ x2＜ 2 等价转变为不等式组，利用线性规划求 a＋ 2b 的最大值与最小值．(1) 证明由函数f(x)在x＝x1处获得极大值，在x＝x2处获得极小值，知x1， x2是 f′ (x)＝ 0的两个根．由题意，得 f ′(x)＝ ax2－ 2bx＋ 2－ b，所以 f′ ( x)＝a( x－x1)(x－ x2)．由题意，知在x＝ x1的左边有f′ (x)＞ 0.由 x－ x1＜ 0， x－ x2＜0，得 a＞0.(2) 解由题意，得0＜ x1＜ 1＜x2＜2 等价于f′ 0 ＞ 0，f′ 1 ＜ 0，即f′ 2 ＞ 0，2－ b＞ 0，a－ 2b＋ 2－b＜ 0，4a－ 4b＋ 2－ b＞ 0，2－ b＞ 0，整理，得a－ 3b＋ 2＜0，4a－ 5b＋ 2＞ 0.此不等式组表示的地区为平面aOb 上三条直线2－ b＝ 0，a－ 3b＋ 2＝0,4a－ 5b＋ 2＝ 0 所围成的△ ABC 的内部，以下图．△ABC 的三个极点分别为4，6，B(2,2)，C(4,2)．由 (1) 知 a A 774，616＞0，则 z＝a＋ 2b 分别在 A 77，C(4,2)处获得最小值7和最大值8.即 z＝ a＋ 2b 的取值范16围为7，8 .活动三讲堂反应单1．函数 f(x)的定义域为 R ，导函数 f ′ (x)的图象以下图，则函数f(x)有 ________个极大值点， ________个极小值点．答案2 2分析f ′ (x)的符号由正变负，则f(x 0)是极大值， f ′ (x)的符号由负变正，则f(x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．2．已知函数 f(x)＝ x 3－ px 2－ qx 的图象与 x 轴切于点 (1,0)，则 f(x)的极大值为 ________，极小值为 ________．答案427分析f ′ (x)＝ 3x 2－ 2px － q ，依据题意，知 x ＝ 1 是函数的一个极值点，则f ′ 1 ＝ 3－ 2p － q ＝0， p ＝ 2， f 1 ＝ 1－p － q ＝ 0， 解得q ＝－ 1，所以 f ′ ( x)＝3x 2－4x ＋ 1.令 f ′( x)＝ 0，得 x ＝1或 x ＝ 1，易判断当 x ＝ 1时， f(x)有极大值为 4，当 x ＝ 1 时， f(x)有极小3 3 27值为 0.3．已知 f(x)＝x 3＋ax 2＋ (a ＋ 6)x ＋ 1 有极大值和极小值，则a 的取值范围为 ____________．答案a>6 或 a<－ 3分析f ′ (x)＝ 3x 2＋ 2ax ＋ (a ＋ 6)，由于 f( x)既有极大值又有极小值，那么 ＝ (2a)2－4× 3× (a ＋6)>0 ，解得 a>6 或 a<－ 3.4．设函数 f(x)＝ 6x3＋ 3(a＋ 2)x2＋ 2ax.若 f(x)的两个极值点为 x1，x2，且 x1x2＝1，则实数 a 的值为 ________．答案9分析f′ (x)＝ 18x2＋ 6(a＋ 2)x＋ 2a.2a由已知 f′ (x1)＝ f′ (x2)＝ 0，进而 x1x2＝＝1，所以 a＝ 9.5．已知对于x 的函数 f(x)＝－1x3＋bx2＋cx＋ bc，若函数 f(x)在 x＝ 1 处获得极值－4，则 b＝33________，c＝ ________.答案－ 13f′ (x)＝－ x2＋ 2bx＋ c，由 f(x) 在 x＝ 1 处获得极值－4，得f′ 1 ＝－ 1＋ 2b＋c＝ 0，分析f 1 ＝－1433＋ b＋ c＋bc＝－ .3b＝1，b＝－ 1，解得或c＝－ 1c＝ 3.若 b＝ 1， c＝－ 1，则 f′ (x)＝－ x2＋2x－ 1＝－ (x－ 1)2≤ 0，此时 f(x) 没有极值；若 b＝－ 1， c＝ 3，则 f′ (x)＝－ x2－2x＋ 3＝－ (x＋ 3)(x－ 1)，当－ 3＜ x＜1 时， f′ (x) ＞0，当 x＞ 1 时， f′ (x)＜ 0.4所以当 x＝ 1 时， f(x)有极大值－3.故 b＝－ 1， c＝ 3.活动四讲堂小结1.在极值的定义中，获得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点 x＝ x0处获得极值的充要条件是f′ (x0)＝0 且在 x＝ x0双侧 f′ (x)符号相反．3．利用函数的极值能够确立参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。
高三数学 极大值与极小值
B、 a 4, b 1 或 a 4,b 11
C、a 4, b 11 ， D、 以上都不对
解:由题设条件得：
f f
(1) 10 / (1) 0
1 a b a2 10
3 2a b 0
解之得
a3 b 3
或ab
4 11
注意代 入检验
通过验证，都合要求，故应选择A。
注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
f (1) a b c 5
.
－c32ab23或
f / (1) 3a 2b c 0 f / (2) 12a 4b c＝0
a 2,b 9, c 12
3a
注意：数形结合以及函数与方程思想的应用
5.(2006年北京卷)已知函数 f (x) ax3 bx2 cx
在点 x0 处取得极大值5,其导函数 y f '(x) 的图像
(如图)过点（1,0）,（2,0）, 求：
（1） x0 的值；（2）a,b,c的值；
略解：
(1)由图像可知：x0 1
(2) f / (x）＝3ax2 2bx c (a 0)
3.3.2 极大值与极小值(2)
复习回顾：
一、判断函数极值的方法
已知函数f(x)在点x0处是连续的，则
1、如果在x0附近的左侧f ’(x)>0，右侧f ’(x)<0， 则f (x0)是极大值； 2、如果在x0附近的左侧f ’(x)<0，右侧f ’(x)>0， 则f (x0)是极小值；
左正右负为极大，右正左负为极小
•极值点处的导数不一定是存在的； •导数为0的点不一定是极值点； •若极值点处的导数存在，则一定为0
二、求可导函数f(x)极值的 步骤：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A.基础过关
一、选择题
1.下列结论中,正确的是……………………( )
A.导数为0的点一定是极值点
B.如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极大值
C.如果在Байду номын сангаас附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极小值
D.如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极小值
2. ,当 时………………( )
A.有极大值 B.有极小值
4.对函数 ,给出命题:
(1) 的极小值只有 ,极大值为
(2) 的极小值只有 ,极大值为
(3) 的极小值只有 极小值为 ,
(4)极大值为 , ,极小值为
正确的个数是………………………………( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.对于函数 ,给出命题
(1) 是增函数,无极值
(2) 是减函数,无极值
12.已知函数 ,当 时取极大值7,若 时取得极小值,求极小值及这时 的值.
第 页
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第□讲
极大值与极小值
[知识要点]:
1.判断可导函数极值的基本方法
设函数 在点 及其附近可导,且
(1)如果 的符号在点 的左右,则 为函数 的极大值;
(2) 如果 的符号在点 的左右,则 为函数 的极小值;
(3) 如果 的符号在点 的左右,则 不是函数 的极值.
B.能力提升
一、选择题
1.已知函数 ,且当 存在极小值,则……………………………………( )
A.当 时, ;当 时,
B.当 时, ;当 时,
C.当 时, ;当 时,
D.当 时, ;当 时,
2.函数 在 内有极小值,则
………………………………………………( )
3.三次函数当 时有极大值4,当 时有极小值0,且函数过原点,则此函数是……………( )
C.既无极大值又无极小值 D.无法判断极值情况
3.已知函数 是定义在闭区间 上的连续函数,开区间 内可导,且 ,则在 上,下列各结论中正确的为……………( )
A. 是极小值, 是极大值
B. 是极小值, 是极大值
C. 有极值,但极值不是 与
D. 既没有极小值也没有极大值
4.下列函数中, 是极值点的函数是……( )
(3) 是增函数的区间为 ,是减函数的区间
(4) 是极大值,
其中正确命题的个数是……………………( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.函数 的极值情况是…( )
A.极大值为 ,极小值为
B.极大值为 ,极小值为
C.极大值为 ,极小值为
D.极大值为 ,极小值为
二、填空题
7. 在 处有极大值,则常数c=
第 页
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第 □ 讲
极大值与极小值
三、解答题
11.用导数方法证明二次函数
的极值点为 ,并讨论它的极值.
12.设函数 的图象与 轴交点为P,且曲线在P点处的切线方程为
,若函数在 处取得极值 ,试求函数解析式并确定函数的单调减区间.
2.求可导函数极值的基本步骤
(1)确定;(2)求导数;
(3)求方程的全部实根;
(4)检查 在方程 的根左、右两侧值的符号,如果(或),那么 在这个根处理取得极大值(或极小值).
[典型例题]:
例1求下列函数的极值:
(1) ; (2) .
变式引申1:设 ,求 的极值
例2求函数 的极值.
例3已知 ,在 时取得极值,且 .
(1)求 的值;
(2)判断 是函数的极大值还是极小值.
变式引申2:已知函数 ,仅当 时取得极值,且极大值比极小值大4.
(1)求 的值; (2)求 的极大值和极小值.
[合作探究]:
已知函数 在 处取得极值.
(1)讨论 和 是函数 的极大值还是极小值;
(2)过点A(0,16)作曲线 的切线,求此切线方程.
5.函数 取得极小值时, 的值是……………………………………………( )
A.–1 B.0 C.1 D.2
6.函数 取得极大值或极小值时的 值分别为0和 ,则……………………………( )
二、填空题
7.函数 的极大值为.
8.函数 的极大值是;极小值是.
9.函数 的极大值为.
10.已知 有极大值又有极小值,则 的取值范围是.
.
8.若函数 取极小值,则 .
9.函数 在 时有极值10,那么 的值为.
10.对于函数 ,给出命题:
① 是增函数,无极值;
② 是减函数,无极值;
③ 是增函数的区间为 ,是减函数的区间
④ 是极大值,
其中正确的命题是.(正确的序号全填上)
三、解答题
11.已知函数 ,当 时, 有极大值3.
(1)求 的值.(2)求函数 的极小值.