谱定理直观

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谱定理证明

谱定理证明
谱定理是一个重要的数学定理，它描述了一个线性算子在一个Hilbert空间上的谱与这个算子的特征向量之间的关系。

设T是一个在Hilbert空间H上的线性有界算子，它的定义域
为D(T)，则谱定理可以表述为以下两个主要结论：
1. 谱定理第一部分：谱分解
对于任意的λ∈C，记A:=T-λI，其中I是H上的恒等算子。

如果A的定义域为D(A)={x∈H:A(x)∈H}是稠密的，那么T的
谱λ ∈σ(T) （即λ是T的特征值）当且仅当A不是满的，即
A(D(A))≠H。

2. 谱定理第二部分：特征值的性质
对于任意的λ ∈σ(T)，其几何重数（geometric multiplicity）等
于代数重数（algebraic multiplicity）。

几何重数是指特征值对应的特征空间的维度，而代数重数是指特征值在T的特征多项式中的重数。

对于谱定理的证明，常常需要使用到线性代数、泛函分析等数学工具。

不同的文献和教材可能会给出不同的证明方法和步骤，所以具体证明的细节可以参考相关的教材或文献。

总体来说，谱定理的证明需要从T的特征向量出发，通过一
系列推导和分析，证明了特征向量可以构成H的一组完备正
交基，从而使得T的谱与特征向量之间建立了一一对应的关系。

通过这种对应关系，可以得到谱定理的两个主要结论。

需要注意的是，由于谱定理的证明涉及一些复杂的数学理论和技巧，对于初学者来说可能较为困难，需要有一定的数学基础和知识背景。

北航考博考研矩阵_谱公式,盖尔圆图

谱分解定理与投影阵公式谱分解定理设n n A ⨯∈ 有s 个相异特征值1,,sλλ ，则A 为可对角化⇔存在s 个幂等阵1,,sG G ，使得(1) 0()i j GG i j =≠， (2)1s i n i G I ==∑， (3) 1sj j j A G λ==∑，(4) 1()()sj j j f A f G λ===∑， ()f x 为任一解析式特别 1smm i i i A G λ===∑(4) A 的投影阵（谱阵）(1)j G i s ≤≤唯一，且有公式1()1,,()j i j j G g A j s g λ== ，其中 1()()()()j j s g x x x x λλλ=--- （去掉一个因子()j λλ-）. 定理设n n A ⨯∈ 有s 个不同的特征值1,,s λλ ，则A 为正规阵⇔存在s 个幂等Hermite 阵1,,s G G 使得(1) 0()i j GG i j =≠， (2)1si n i G I ==∑，(3) 1sj j j A G λ==∑，(4) 1()()sj j j f A f G λ==∑， ()f x 为任一解析式(5) 11ssHHiiiii i AGGλλ====∑∑.例1 设102000204A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求A 的谱分解，并计算()A f A e =.解 A 为对称阵，故为正规阵，极小式()(0)(5)g x x x =--利用 1()(0)(5)(5)g x x x x ==--=-， 2()(0)(5)(0)g x x x x =--=-111()(5)(0)5g A A I G g -==-， 212()(5)5g A AG g ==42551215500100G ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1255224550000G --⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭所以 1122A G G λλ=+， 12512121A e e G e G G e G λλ=+=+.例2 设142034043A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的谱分解，并计算A 100.解 (1)(5)(5)I A λλλλ-=--+，极小式()(1)(5)(5)g λλλλ=--+所以1231,5,5λλλ===-，特征值互异，故A 为可对角化. 利用投影阵公式，计算得1()()(5)(5)(1)g x g x λλλ==-+- 2()()(1)(5)(5)g x g x λλλ==-+-，3()()(1)(5)(5)g x g x λλλ==--+ 1111()(5)(5)()24g A A I A I G g λ-+==-， 222()()(5)(5)40g A A I A I G g -+==333()()(5)(5)60g A A I A I G g --==- 1101000000G -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2455122552455000G ⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ 2155423552155000G ---⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭所以 1122331235(5)A G G G G G G λλλ=++=++-1001001001001231235(5)5()A G G G G G G =++-=++.引理1 n nA ⨯∈的特征值为1,,n λλ ，0()mmm f z cz ∞==∑ 则 ()f A 的特征值为1(),,()n f f λλ ，特别，Ae 的特征值为1,,ne eλλ ，()||0A tr A e e=≠.引理2 （对角公式）若1200n D λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则12()()()()0n f f f D f λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭. 引理3 设p 阶若当块 11100p pD λλλ⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭ p p⨯∈ 则(1)()1()()1!(1)!()()()1!()0p p pf f f p f f D f f λλλλλλ-⨯'⎛⎫⎪- ⎪⎪=⎪' ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 注同样对转置11100T p pD λλλ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ ， ()T f D 也有类似公式.例 010010B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求Bt e .（令()()!ktx tx f x e k ∞==∑，且30B =）例 3000210212B ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求 Be，Bte，sin B .定理若n n A ⨯∈ 单纯（可对角化），1,,k λλ 为A 的相异特征值有谱分解 1kjj j A G λ==∑，（j G 可用谱阵公式求出）若0()m m m f z c z ∞==∑（为任一解析式）则1()()kmm i i m i f A c A f G λ∞====∑∑（因为0111()()()()k k kmmmm m i i m ii i i m m i i m i f A c A c G c G f G λλλ∞∞∞==========∑∑∑∑∑∑）例1 设1432A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求Ae . 解由(5)(2)I A λλλ-=-+，故最小式()(5)(2)g λλλ=-+（无重根）利用投影阵公式 1122()()()f A f G f G λλ=+ ，令()x f x e = 得52521122525234441()()()73343A e e e e f A e f G f G e e e e λλ----⎛⎫+-==+= ⎪-+⎝⎭. 引理设p 阶若当块 11100p pD λλλ⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭ p p⨯∈ 则(1)1()()()(1)!()()()()0p p pf f f p f f D f f λλλλλλ-⨯⎛⎫' ⎪- ⎪⎪= ⎪' ⎪⎪⎝⎭例设11100102002DD ⎛⎫⎪⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，求Ae . 解可用引理1()()(2)f D f D f ⎛⎫=⎪⎝⎭.广义谱分解公式（待定法）补充：待定矩阵法求()f A （()f A 的广义谱分解公式） 1先求出A 的特征值与最小式()g x ， 2 设出()f A 的公式（广义谱分解公式）例1 200111113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，计算At e解最小多项式2()(2)g λλ=-，可设公式：12()(2)(2)f A f G f G '=+，()f x 为任意解析式分别令()1f x ≡与()(2)f x x =-代入公式可求得1G I =，2(2)G A I =-，再令(), ()xt xt f x e f x te '==代入公式得 210011A t te e t t t t t t ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-+⎝⎭.例2 设214020031A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求sin A .解 2(2)(1)I A λλλ-=--，(2)()0A I A I --≠，最小式为2(2)(1)λλ--），可设公式：123()(1)(2)(2)f A f G f G f G '=++，()f x 为任意解析式令2()(2),f x x =-可知(1)1, (2)(2)0f f f '===代入公式可得21(2)G A I =-=再令()(2)(1), ()(1)(2),(2)1f x x x f x x x f ''=--=-+-=可知代入公式可得 3(2)()G A I A I =--=令()(1),f x x =-可知(1)0, (2)1, () 1, (2)1f f f x f ''==≡= 代入公式可得 232(), ()(3)G G A I G A I I A +=-=--=得公式：2()(1)(2)(2)()(3)(2)(2)()f A f A I f A I I A f A I A I '=-+--+-- 令()sin , ()cos f x x f x x '==代入公式得123sin ()(1)(2)(2)sin 212sin112sin 213cos 24sin14sin 20sin 2003sin132sin1A f A f G f G f G sin '==++-+-+⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-+⎝⎭. 例设210021002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求At e .解极小式为 3()(2)g λλ=-. 所以有公式123()(2)(2)(2)f A f G f G f G '''=++，()f x 为任意解析式.分别令()1,f x ≡()(2),f x x =-2()(2),f x x =-代入公式可得21221,(2),(2)2G I G A I G A I ==-=- 令(),(),xt xt f x e f x te '==可得1232222212()(2)(2)(2) (2)(2)At ttt e f A f G f G f G e I te A I t eA I '''==++=+-+-.本题也可用定义或用引理3（Jordan 块公式）计算231123!()()()()()()()()f x f b f b x b f b x b f b x b ='''+-+-+-+ 令2, (2), (), (),()xtxt At b B A I f x ef x te f A e '==-===代入即可注3(2)0A I -=. （4）盖尔（Ger ）圆盘矩阵的非其异（可逆）条件定义设n n A ⨯∈ ，称A 的n 个特征值的模的最大者为A 的谱半径，记为()A ρ. 定理设n n A ⨯∈ ，则()A ρ不大于A 的任何一种矩阵范数，即()A A ρ≤ 定理设n n A ⨯∈ ，A 是矩阵范数，若1A <或()1A ρ<，则I A -非奇异，且1()1I I A A--≤-证明（见参考书）令1()B I A -=-，()B I A I -=，有B I AB =+，所以B I BA I B A =+≤+，所以1I B A≤- .定义设()n nij A a ⨯=∈.令 11, 1,2,,nni i j i j ii j j j ip a a a i n ==≠==-=∑∑ .令{}1,2,,i ii i G z z a p i n =∈-≤= .即i G 为复平面上以ii a 为中心，ip 为半径的闭圆盘，称之为A 的一个盖尔圆. A 有n 个盖尔圆. 规定记号 1()ni i G A G == .定理1 (Ger 圆盘定理) 设()n n ij A a ⨯=∈ ，n 个盖尔圆12,,,n G G G ，则1）A 的任一特征值1()ni i G A G λ=∈=2）若A 的n 个盖尔圆盘中有k 个的并形成一个连通区域D ，且与其余的n k -个圆盘都不相交，则在此连通域D 中恰有A 的k 个特征值（含重复）.特别孤立盖尔圆内有且只有一个特征值. 例1 估计矩阵212013*********i A i i i --⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭的特征值分布范围. 解 A 的四个盖尔圆为1:23G z -≤ 2:33G z -≤ 3:102G z -≤ 4:62G z i -≤如图可知A 的四个特征值在()G A 中，其中34,G G 中各有一个，12G G 中有两个.推论1 对n nA ⨯∈，n 个盖尔圆12,,,n G G G ，若原点1ni i O G =∉ ，则A 为非奇异阵.事实上，若10ni i A λ===∏，则0为A 的特征值，故10ni i G =∈ .矛盾.推论2 ()n nij A a ⨯=∈.若A 对角占优，即1(1,2,,)nii ij j j ia a i n =≠>=∑ （行对角占优）或1(1,2,,)nii ji j j ia a i n =≠>=∑ （列对角占优），则A 为非奇异阵.证明否则0为A 的特征值，故存在某个盖尔圆k G 使1,0{|}nk kk kj j j kG z z a a =≠∈=∈-≤∑，进而1,nkk kj j j ka a =≠≤∑矛盾.又，T A 与A 有相同特征值.故A 列对角占优即为T A 行对角占优.由此证T A 非奇异，故A 非奇异.推论3 若n n A ⨯∈ 的n 个盖尔圆中有k 个孤立圆，则A 至少有k 个相异特征值，特别A 的n 个盖尔圆两两不相交，则A 有n 个相异特征值，从而A 可对角化. 推论4 若实矩阵n n A ⨯∈ 的盖尔圆中有k 个孤立圆，则A 至少有k 个实特征根，特别若n 个盖尔圆两两不相交，则A 有n 个互异实特征值.事实上，A 的n 个盖尔圆的圆心都在实轴上，故每孤立盖尔圆中只能有一个特征值，而实矩阵A 若有复特征值则必共轭对出现，故孤立盖尔圆中的特征值必为实特征值（否则其共轭也出现在该圆中.矛盾）. 例2 证明9121081110401001A -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭至少有两个实特征值.证明：A 的盖尔圆 1:94G z -≤，2:82G z -≤，3:41G z -≤，4:11G z -≤.如图，4G 为孤立圆，有一个实特征值，123G G G 中含A 的另三个特征值，其中必有一个为实特征值（否则123G G G 将出现四个特征值.矛盾.）注意：对T A 也可使用盖尔圆定理（因为T A 与A 有相同特征值）.设T A 的盖尔圆'''12,,,nG G G .同样有圆盘定理.i G 与i G '有同一个圆心（1i n ≤≤），故特征值11()()n nj i i i i G G λ=='∈ .************** 补充：谱半径估计定义设n n A ⨯∈ ，称A 的n 个特征值的模的最大者为A 的谱半径，记为()p A . 谱半径在特征值估计以及数值分析，数值代数等都有重要应用.定理设n n A ⨯∈ ，则()A ρ不大于A 的任何一种矩阵范数，即()A A ρ≤.特别 ()A A ρ∞≤(行范数)，且1()A A ρ≤ 即()TA A ρ∞≤.**************正矩阵定义1 一个实矩阵()m nijA a ⨯=∈ ， (1)若对每一i 和j ，0≥ij a ，则称A 为非负的(nonnegative), 记为0≥A .(2)若对每一i 和j ，0>ij a ，则称A 为正的(positive)，记为0>A .正矩阵与谱半径定理设非负阵()0 ij n nA a ⨯=≥,令h =(A 的最小行和)，l =(A 的最小列和), 则(1) ()||||h A A ρ∞≤≤(A 的最大行和)， (2)()1||||l A A ρ≤≤ (A 的最大列和) .特别若0 n n A A ⨯=>为正矩阵，且||||h A ∞<则()A A ρ∞< .证明从略.例 111333121 B=444112555⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭谱半径()B ρ范围是()(B)B B h ρ∞≤<，即 ()4B 15ρ≤< (6)补充练习题1填空（20分） ( 矩阵理论A 2007 )（1）00010-1000A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的极小多项式为（）Jordan 标准型为（）（2）设11020, 0k k A A ∞=-⎛⎫== ⎪-⎝⎭∑ 1()I A --= ( )．（3）001, 010a A B b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A B ⊗的全部特征值为( )．（4） 1211111, 1,1121A x ⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥== ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 则 ( ), ( )A Ax ∞∞==（5）111333121444112 B=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()B ρ范围是( ()4B 15ρ≤< )． 2．（5分）设ｎ维空间Ｖ中向量α在第一基下的坐标x 与第二基下的坐标y 有关系112213321,,,,n n n y x y x x y x x y x x -==-=-=- .求第一组基到第二组基的过渡矩阵P .3．（15分）(1) 设 660330363A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，求A 与 cos()A 的谱分解式． (2) 10 ,21A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦求()f A 的广义谱分解公式，并计算At e 4．（18分）(1)设() 1112 b ,011011 A ,212121A T21=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=642100⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A A , 求 A + 与Ax=b 的极小范数解或最佳极小二乘解 (2) 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=002001B , 求 B 的奇异值分解.5．（10分）(1)设*∙ 是n n ⨯n n C中的矩阵范数, ()1 , 0 ,,0,H n α=∈ C 验证n C 中的向量范数： *Hx x α= 与矩阵范数*∙是相容的（提示：见参考书中定理的证明方法）(2) 令*,1|| ,n iji j A a ==∑是n n ⨯n n C 中矩阵范数, 求一个与其相容的向量范数. 6. (8分) 120002, , 011120A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 用拉直法解矩阵方程 .AY YB C +=7．（6分）求矩阵A 的盖尔圆（讨论特征值的分布）; 并证明行列式det(A ) > 1⋅3⋅5 (2n -1). 其中111111nn n 111n n 111n n n 24A= 62n n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭……………………… 8．（8分）设H A A A ==2，(1)证明两个值域正交：)A I ()A (-ℜ⊥ℜ， (2) 计算 ()A I A +-参考题1．(1) 设A 是任一矩阵，证明 B = A +A 是Hermite 半正定矩阵;(2) 证明 A 是ｎ阶酉矩阵的充分必要条件是，存在Hermite 矩阵B 使得iB A e = （i = ）。

酉算子的谱定理

酉算子的谱定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：酉算子的谱定理是现代数学领域中重要的定理之一，它是抽象代数的一个重要分支——算子代数的基础定理之一。

酉算子是指一个线性算子，其保持内积不变，即对于任意两个向量，其内积与原来的内积相同。

酉算子的谱定理是关于酉算子的一个深层次的结构定理，它揭示了酉算子的谱结构以及与谱相关的一系列性质，对于理解算子的谱理论以及解决一些实际问题具有重要的意义。

在数学中，谱理论是一个非常重要的分支，它研究的对象是线性算子的谱结构。

在几何学中，谱是一个关于几何对象的一种特征值，比如光谱就是根据物体的发射或吸收光线的波长而确定物体的种类和性质。

而在数学与物理学的交叉研究中，谱的概念也体现了其独特的价值，尤其是在量子力学中，谱理论的应用更是无处不在。

酉算子的谱定理是指一个酉算子的谱分解可以分解为一个酉矩阵与一个对角矩阵的乘积。

具体而言，一个酉算子U可以表示为U=V∗D∗V，其中V是一个酉矩阵，D是一个对角矩阵，每个对角元素是U的特征值。

这个定理的意义在于它揭示了酉算子的谱结构，即任意一个酉算子都可以表示为一个酉矩阵与一个对角矩阵的乘积，这对于理解酉算子的性质以及求解酉算子的谱具有重要的意义。

酉算子的谱定理可以用来研究酉算子的谱结构，即酉算子的特征值与特征向量。

在实际问题中，常常需要对一个酉算子进行谱分解，以便研究其性质或解决一些实际问题。

比如在量子力学中，酉算子表示了量子系统的演化过程，而酉算子的谱结构则可以揭示量子系统的能级结构，从而有助于理解量子系统的性质以及设计量子计算算法。

酉算子的谱定理不仅在数学理论中具有重要的意义，而且在应用中也具有广泛的应用价值。

比如在量子力学中，酉算子的谱定理被广泛应用于研究量子系统的演化过程以及设计量子算法。

而在信号处理、图像处理、模式识别等领域中，酉算子的谱定理也被广泛应用于数据压缩、特征提取、信号去噪等方面。

深入理解酉算子的谱定理对于推动数学理论的发展以及解决实际问题具有重要的意义。

光谱理论知识

里德伯常数（J. R. Rydberg）若n=1,紫外．n=2,可见光，n=3,4,5红外
n 3,4,...
1889年,里德伯提出普遍方程
4 7 1 RH 1.0967758 10 m B ~ 1 4 ( 1 1 ) T (n) T (n) 2 2 B n n
0 , 0 , 0
~ B :T L : 称洛伦兹单位 e B L 0.467 B( cm1) 4me c
WGD-8组合式多功能
• • • • • 光栅光谱仪规格参数: 焦距:500mm,相对孔径 D/F=1/7 杂散光 <10-3,分辨率优于0.1nm 光电倍增管接收:波长范围 200-800nm CCD(电荷耦合器件)光谱响应区间:300900nm. • 光路图
荧光分析法溶液浓度的测定
正常与反常塞曼效应
• 反常塞曼效应:分裂的不是三个成分. • 裂距也多数不是一个洛伦兹单位.
光栅的闪耀角与闪耀波长
i i 2

当d 2时, 光栅适用范围经验公式 2 2 b b 2m 1 2m 1
光谱仪的参数:
• 1.色散:角色散率.
d s D , 或线色散 ,常用倒数表示 d s
0.5nm/mm, 1nm/mm
• 注意:指出射，与波长有关。
曲线. s
dl Dl D f 2 d
2.分辨率:
任何光谱仪器的分辨率本领的定义都是一样的.
常用的辨别方法是一根谱线的衍射极大,正好落在另一根谱线的衍射极小上。二谱线可分辨：定义:
f,D是准直透镜的焦距与直径。
f nimd D
一.摄谱仪
以仪器色散（线）分类：小型摄谱仪：2-10nm/mm

CH5-4H光谱,玻尔理论

2. 跃迁假设（频率条件）跃迁假设（频率条件）原子从一个定态跃迁到另一定态，原子从一个定态跃迁到另一定态，会发射或吸收一个光子，会发射或吸收一个光子，频率
Ek En
| Ek − En | ν= h
v
3. 角动量量子化假设 h L = mvr = n 轨道角动量轨道角动量 2 π ４. 库仑定律 v2 1 e2 向心力是库仑力 m = 2
其中计算得到当时实验测得
RH理论 =1.097 3731×10 m
7
−1
RH实验 = 1.096 7758×107 m−1
说里德伯 - 里兹并合原则 (1896年) 年普朗克量子假设（1900年）年卢瑟福原子的有核模型（1911年）年
明
玻尔氢原子理论 (1913年）年
成功的把氢原子结构和光谱线结构联系起来。成功的把氢原子结构和光谱线结构联系起来。局限性:不能处理复杂原子的问题，局限性:不能处理复杂原子的问题，根源在于对微观粒子的处理仍沿用了牛顿力学的观念
1925年乌伦贝克等电子自旋年乌伦贝克等:电子自旋年乌伦贝克等
电子自旋角动量在外磁场中的取向
四. 四个量子数表征电子的运动状态）（表征电子的运动状态）
1.主量子数 n ( 1 , 2 , 3, ……) 大体上决定了电子能量 2. 副量子数 l ( 0，1，2，……. , n -1 ) ，，，决定电子的轨道角动量大小，对能量也有稍许影响。决定电子的轨道角动量大小，对能量也有稍许影响。 3. 磁量子数 ml ( 0，±1， ± 2，……. , ± l ) ，，，决定电子轨道角动量空间取向 4.自旋磁量子数 ms ( 1/2 , -1/2 ) 决定电子自旋角动量空间取向

各种仪器分析的基本原理及谱图表示方法

各种仪器分析的基本原理及谱图表示方法仪器分析是化学分析中的重要分支，它利用各种仪器设备，通过对样品中成分的检测、鉴定和测量，实现对样品的分析和解释。

下面介绍几种常见的仪器分析方法及其基本原理和谱图表示方法。

原子吸收光谱法（AAS）1.基本原理：原子吸收光谱法是基于原子能级跃迁的吸收光谱法。

样品中的原子在高温烈焰中被激发为原子态，当光源发射的光束通过样品时，其中的某些元素会被吸收，导致光强减弱。

通过测量光强减弱程度，可以推算出样品中元素的含量。

2.谱图表示方法：原子吸收光谱的谱图表示吸光度（Absorbance）与波长（Wavelength）的关系。

横坐标为波长，纵坐标为吸光度。

在每个元素的吸收峰处，吸光度会显著增加，从而实现对元素的定性定量分析。

气相色谱法（GC）1.基本原理：气相色谱法是一种分离和分析复杂混合物的方法。

样品中的组分在气相状态下被载气携带通过色谱柱，不同组分在固定相和移动相之间的分配系数不同，因此会以不同的速度通过色谱柱，从而实现各组分的分离。

通过检测器对分离后的组分进行检测和测量，可以得到各组分的含量。

2.谱图表示方法：气相色谱图的横坐标为时间（Time），纵坐标为峰高（Peak Height）或峰面积（Peak Area）。

各组分会在不同的时间点出现，通过对比标准品可以得到各峰的定性结果，通过测量峰高或峰面积可以计算出各组分的含量。

紫外-可见光谱法（UV-Vis）1.基本原理：紫外-可见光谱法是一种基于分子吸收光子能量的光谱法。

样品中的分子在紫外-可见光照射下会吸收特定波长的光子能量，导致光强减弱。

通过测量光强减弱程度，可以推算出样品中分子的含量及分子结构信息。

2.谱图表示方法：紫外-可见光谱图的横坐标为波长（Wavelength），纵坐标为吸光度（Absorbance）或透过率（Transmittance）。

在每个分子的特征吸收峰处，吸光度会显著增加，从而实现对分子的定性定量分析。

各种光谱分析的原理解读

满足衍射条件，可应用布拉格公式：2dsin9=入
应用已知波长的X射线来测量9角，从而计算出晶面间距d,这是用于X射线结构分析；另一个是应用已知d的晶体来测量9角，从而计算出特征X射线的波长，进而可在已有资料Байду номын сангаас出试样中所含的元素。
高效毛细管电泳（high performanee capillary electrophoresis HPCE）
谱图的表示方法：温差随环境温度或时间的变化曲线提供的信息：提供聚合物热转变温度及各种热效应的信息示差扫描量热分析DSC
分析原理：样品与参比物处于同一控温环境中，记录维持温差为零时，所需能量随环境温度或时间的变化
谱图的表示方法：热量或其变化率随环境温度或时间的变化曲线提供的信息：提供聚合物热转变温度及各种热效应的信息静态热一力分析TMA
CZE的基本原理
HPLC选用的毛细管一般内径约为5 0nm（20〜200呵），外径为3 7 5卩
m,有效长度为50cm（7〜100cm）。毛细管两端分别浸入两分开的缓冲液中，同时两缓冲液中分别插入连有高压电源的电极，该电压使得分析样品沿毛细管迁移，当分离样品通过检测器时，可对样品进行分析处理。HPLC进样一
提供的信息：峰的保留值与组分热力学参数有关，是定性依据；峰面积与组分含量有关
反气相色谱法IGC
分析原理：探针分子保留值的变化取决于它和作为固定相的聚合物样品之间的相互作用力
谱图的表示方法：探针分子比保留体积的对数值随柱温倒数的变化曲线提供的信息：探针分子保留值与温度的关系提供聚合物的热力学参数裂解气相色谱法PGC
子、吸收电子、X射线等并放大成象
谱图的表示方法：背散射象、二次电子象、吸收电流象、元素的线分布和面分布等

酉算子的谱定理

酉算子的谱定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：酉算子的谱定理是量子力学中一个非常重要的定理，它是描述酉算子特征值和特征向量的定理。

酉算子是一个特殊的线性算子，它是保持内积不变的单位ary 矩阵。

在量子力学中，酉算子描述了一个系统的演化，它是量子门操作的数学表示。

谱定理是说每个酉算子都可以被对角化为一组特征值和特征向量的乘积。

在这篇文章中，我们将详细探讨酉算子的谱定理。

让我们来了解一下酉算子的定义。

酉算子U是指满足以下条件的复数矩阵：U*U = I，其中U*是U的共轭转置，I是单位矩阵。

这意味着对于任意向量x，有||Ux|| = ||x||，即U保持向量的长度不变。

根据酉算子的定义，我们可以知道它是保持内积不变的，即对于任意向量x和y，有⟨Ux, Uy⟨ = ⟨x, y⟨。

具体来说，对于一个酉算子U，我们可以将它表示为：其中V是一个酉矩阵，Λ是一个对角矩阵，V*是V的共轭转置。

Λ的对角线上的元素就是U的特征值，V的列向量是U的特征向量。

通过谱定理，我们可以将一个复杂的酉算子表示为一组简单的特征值和特征向量的乘积，这更方便我们进行计算和分析。

在量子力学中，谱定理提供了一种便捷的方法来研究酉算子的性质和演化。

除了谱定理外，我们还可以利用酉算子的性质来研究量子系统的演化。

酉算子描述了量子门操作的数学表示，通过对酉算子进行研究，我们可以了解系统的量子态是如何随着时间演化的。

通过谱定理，我们可以将一个酉算子表示为一组特征值和特征向量，这使得我们可以更清晰地理解系统的演化轨迹。

第二篇示例：酉算子的谱定理，是量子力学中一个非常重要的定理，其深刻地揭示了酉算子在量子系统中的作用和性质。

酉算子是量子力学中描述时间演化的关键操作符，在量子力学的各个领域都有广泛的应用。

谱定理则是指对于一个酉算子，其本征值的集合以及对应的本征态构成了完备的正交基底，从而可以将任意态在该基底下展开。

这个定理的重要性在于它为量子系统的研究提供了一个非常有效的数学工具，使得我们能够更深入地理解量子力学的奇妙之处。

自共轭算子的谱定理

自共轭算子的谱定理是泛函分析中的一个重要结果，它为研究自共轭算子的性质和行为提供了有力的工具。

首先，我们需要了解什么是自共轭算子。

在复数域上，一个线性算子如果可以与自己的共轭转置相等，那么就称这个算子为自共轭算子。

自共轭算子在实数域上也是自共轭的，但自共轭算子的定义并不适用于实数域。

自共轭算子的谱定理表述如下：设T是一个自共轭算子，那么存在一个由T的本征值组成的集合，称为T 的谱。

对于T的任意本征值λ，存在一个与它相对应的本征向量x，使得Tx=λx。

特别的，如果0是T的一个本征值，那么存在一个非零的本征向量x，使得Tx=0x。

这个定理的证明需要用到一些较深的泛函分析知识，例如投影定理和谱定理。

在这里，我们只给出这个定理的直观意义和它在解决实际问题中的应用。

从直观上来说，自共轭算子的谱定理告诉我们，自共轭算子的行为可以通过研究它的本征值和本征向量来描述。

因为本征值是算子作用在本征向量上的结果，所以如果我们能够找到所有的本征值和本征向量，那么我们就可以完全确定算子的行为。

在实际问题中，自共轭算子的谱定理可以用来解决许多问题。

例如，在量子力学中，哈密顿算子是一个自共轭算子，它的本征值和本征向量分别对应于粒子的能量和波函数。

通过应用自共轭算子的谱定理，我们可以得到粒子的能级和波函数的形式。

此外，自共轭算子的谱定理还可以用来解决数值分析和优化中的一些问题。

例如，在求解线性方程组时，我们可以通过将系数矩阵表示为自共轭算子的形式，然后应用谱定理来找到方程的解。

总之，自共轭算子的谱定理是泛函分析中的一个重要结果，它为我们提供了一种通过研究本征值和本征向量来描述自共轭算子的行为的方法。

这个定理在量子力学、数值分析和优化等领域中都有广泛的应用。

矩阵的欧几里得范数

矩阵的欧几里得范数1.引言1.1 概述矩阵的欧几里得范数是在线性代数中常用的一种范数，用来衡量矩阵的大小和变化幅度。

它是基于矩阵的元素进行计算的，并且具有一些重要的性质和应用。

在本文中，我们将首先给出矩阵的欧几里得范数的定义，然后介绍一些与之相关的性质。

通过深入探讨这些内容，我们将更好地理解欧几里得范数在矩阵计算中的意义和作用。

接下来，我们将总结欧几里得范数的应用，并讨论矩阵的欧几里得范数在实际问题中的重要性。

通过具体的例子和应用场景，我们将展示欧几里得范数在数据处理、优化算法等领域的广泛应用，以及它对矩阵的重要性和影响。

在本文的最后，我们将得出结论，总结矩阵的欧几里得范数的定义、性质和应用，并探讨其在实际问题中的重要性。

我们希望通过这篇文章能够为读者提供关于矩阵的欧几里得范数的全面了解，并激发读者对于矩阵范数和线性代数的兴趣。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以描述本文主体的组成和各个部分的内容安排，以帮助读者理解文章的结构和流程。

以下是一个可能的描述：在本文中，我们将对矩阵的欧几里得范数进行详细讨论。

文章分为三个主要部分：引言、正文和结论。

引言部分首先给出了本文的概述，简要介绍了矩阵的欧几里得范数的定义和性质，并说明了本文的目的。

正文部分是本文的核心内容，其中2.1小节给出了矩阵的欧几里得范数的定义。

我们将详细解释欧几里得范数的含义和计算方法，并讨论其在矩阵分析和应用中的重要性。

2.2小节将介绍欧几里得范数的一些基本性质，包括正定性、三角不等式、与矩阵转置的关系等。

我们将通过数学推导和实例说明这些性质的重要意义，并展示其在实际问题中的应用。

结论部分是对本文主要内容进行总结和延伸。

3.1小节总结了欧几里得范数的应用，强调了其在数据分析、优化问题等领域中的重要性。

3.2小节将进一步讨论矩阵的欧几里得范数在实际问题中的重要性，包括其在图像处理、机器学习等领域的应用，并提出了一些未来的研究方向。

通过以上文章结构的划分，读者可以清晰地了解到本文的篇章组织和各个部分的内容安排，更好地阅读和理解文章的主题。

fanchuang的谱图理论

fanchuang的谱图理论随着科学技术迅速发展和人类社会不断进步，越来越多的材料被使用到人类生活和工作中去。

为了提高材料性能、降低生产成本、增强材料耐久性、提高材料加工精度及产品性能，人们越来越关注对材料进行深入研究。

这些研究一般以材料性质为出发点展开，并且根据材料性质又可分为材料性质分析、生物特性分析、物理性质、力学特性、物理研究、工程性能、生物技术、物理技术等。

近年来的研究也主要集中在谱图理论方面。

谱图理论是一个新领域，它涉及到分子材料、化学体系、材料加工、表面物理等多个领域。

通过对分子结构和元素之间关系的定量研究，人们已经提出了很多理论概念。

其中，在金属与碳元素中发现了谱图理论，在铜与铁中发现了谱图理论等分支研究中逐渐被应用到了微观尺度上。

本文就目前最新发现作出简要总结：谱图理论（Ducanchuang谱模型）是研究金属与碳元素相互作用并描述其分子动力学的最新工具之一。

1.金属的两种典型模型金属的基本结构为原子和分子组成的三维空间网络（如图1所示）。

随着原子之间距离的增加，原子形成的三维空间网络越来越大，原子的能级空间也随之变大。

因此，金属原子与分子之间的相互作用也会越来越复杂，产生了越来越丰富的能量和谱谱现象。

目前，谱图理论在金属物理、材料化学、分子动力学等领域有着广泛涉猎。

Franklin等人提出第一种金属谱图理论模型即谱图理论。

该模型认为，金属原子受到不同基态能量和原子之间相互耦合作用产生辐射而产生谱图。

而在最近，在金属基体内也发现了一种全新理论模型―― Fanchuang谱论(Fanchuang Functional Therapy, FFT)。

该理论主要是以单晶金属合金为代表来实现这种新材料。

2.谱图理论的应用领域谱图理论最大的应用领域就是研究材料的分子结构，特别是一些具有特殊化学性质的材料和体系。

如高温金属合金、磁性金属、超导体、热塑性金属材料以及其他高分子体系，都存在着大量可调控体系，并且这些体系中均有一些特殊的化学特点与化学性质（例如：热力学性质、磁性特性、电学特性、比表面积等）。

波谱四种谱图的综合解析PPT共26页

53、伟大的事业，需要决心，能力，组织和责任感。 ——易卜生 54、唯书籍不朽。——乔特来
39、没有不老的誓言，没有不变的承诺，踏上旅途，义无反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。
谢谢！
51、天下之事常成于困约，而败于奢靡。——陆游 52、生命不等于是呼吸，生命是活动。——卢梭
波谱四种谱图的综合解析
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只在愚人的字典中找得到。--拿破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突破，不要嫉妒要欣赏，不要托延要积极，不要心动要行动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。(注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素。

谱定理证明

谱定理证明摘要：一、引言二、谱定理的概念1.定义2.重要性三、谱定理的证明1.证明思路2.具体证明过程四、谱定理的应用1.在信号处理中的应用2.在图像处理中的应用五、总结正文：一、引言谱定理是数字信号处理和图像处理领域中的一个重要理论，它为我们理解和分析信号、图像提供了有力的工具。

本文将详细介绍谱定理的概念，以及它的证明方法和应用。

二、谱定理的概念1.定义谱定理，又称傅里叶- 利特尔伍德定理（Fourier-Lipton Theorem），它指出，在一定条件下，任何信号或图像都可以表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数之和。

2.重要性谱定理的重要性体现在它为我们提供了一种将复杂的信号或图像分解为简单的正弦和余弦函数的方法，这有助于我们更好地理解信号和图像的特性，为后续的信号处理和图像处理提供了基础。

三、谱定理的证明1.证明思路谱定理的证明主要基于傅里叶变换和利特尔伍德积分。

首先，通过傅里叶变换将信号或图像从时域或空域转换到频域；然后，利用利特尔伍德积分将频域中的正弦和余弦函数展开，从而得到时域或空域中的信号或图像。

2.具体证明过程由于涉及数学公式和计算过程，此处略去具体的证明过程。

四、谱定理的应用1.在信号处理中的应用谱定理在信号处理中的应用广泛，如信号滤波、信号压缩、特征提取等。

通过利用谱定理，我们可以将信号分解为不同频率的正弦和余弦函数，从而实现对信号的滤波、压缩和特征提取等操作。

2.在图像处理中的应用谱定理在图像处理中的应用也非常重要，如图像去噪、图像压缩、图像特征提取等。

通过利用谱定理，我们可以将图像分解为不同频率的正弦和余弦函数，从而实现对图像的滤波、压缩和特征提取等操作。

五、总结谱定理是数字信号处理和图像处理领域中的一个重要理论，它为我们提供了分解信号和图像为一系列不同频率的正弦和余弦函数的方法。

谱定理证明

谱定理证明谱定理是一种数学定理，它描述了一个厄米矩阵（Hermitian matrix）的特征值和特征向量之间的关系。

下面是谱定理的证明大致步骤：1. 首先，我们需要知道厄米矩阵的一些性质。

厄米矩阵是指一个复数方阵，满足矩阵的共轭转置等于其自身的转置。

即 A* = A，其中 * 表示共轭转置。

2. 接下来，我们可以通过厄米矩阵的特征值和特征向量定义来证明谱定理。

假设 A 是一个 n × n 的厄米矩阵，λ是 A 的一个特征值，v 是对应于λ的特征向量。

3. 我们可以通过以下等式来表示这个特征值-特征向量关系：Av = λv。

这个等式可以进一步写作 (A - λI)v = 0，其中 I 是单位矩阵。

这意味着矩阵 A - λI 是奇异的（即不可逆的），因为存在一个非零向量 v 使得乘以这个矩阵结果为零向量。

4. 根据线性代数的知识，当且仅当矩阵 A - λI 是奇异的时候，它的行列式为零。

因此，我们有 det(A - λI) = 0。

5. 我们可以通过展开 det(A - λI) 的表达式来得到一个多项式，这个多项式称为矩阵 A 的特征多项式。

这个特征多项式的根就是矩阵 A 的特征值。

6. 根据代数学的基本定理，一个 n 次多项式至多有 n 个复数根。

因此，矩阵 A 的特征多项式至多有 n 个特征值。

7. 我们可以通过线性代数的方法证明，对于厄米矩阵来说，它的特征值都是实数。

这意味着矩阵 A 的特征多项式的根都是实数。

8. 最后，我们可以通过线性代数的方法证明，对于厄米矩阵来说，它的特征向量是正交的。

也就是说，对于不同特征值的特征向量，它们之间的内积为零。

综上所述，根据谱定理，厄米矩阵的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量是正交的。

这个定理在量子力学和信号处理等领域具有广泛的应用价值。

第2章光谱原理-2.4 光谱线轮廓与线宽

T A
s 1
高斯线型与洛伦兹线型的比较
洛伦兹线型
高斯线型线宽相等
多普勒增宽讨论
(1) 多普勒展宽随温度升高而增大，随原子质量增加而减小 (2) 多普勒展宽与频率成正比，为非均匀增宽，自然增宽和
碰撞展宽（后面会讲）为均匀增宽 (3) 紫外-可见波段的多普勒展宽比自然线宽高约2个数量级，
约为10-3 nm
小仪器对光谱的影响！
2.4.5 佛克脱（Voigt）线型
➢ 在实际情况中，往往几种谱线展宽机制同时起作用 ➢ 不同条件使某种展宽机制占优势
(1) 低气压的辉光放电：多普勒展宽比自然展宽和碰撞展宽高2个数量级，近似高斯线型
(2) 低温、高密度的重气体：碰撞展宽 >> 多普勒展宽，近似洛伦兹线型 ➢ 最一般的情况，非单纯洛伦兹线型，非单纯高斯线型，而是各种线型的卷积
F
,
0

0
G

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0

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d
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卷积的结果
➢ 高斯线型卷积高斯线型 = 高斯线型 ➢ 洛伦兹线型卷积洛伦兹线型 = 洛伦兹线型 ➢ 高斯线型卷积洛伦兹线型 = 佛克脱线型
佛克脱线型
洛伦兹线型高斯线型
2.4.6 其它展宽
（1）飞行时间展宽 ➢ 粒子与辐射场作用时间 < 能级的自发寿命 ➢ 分子转动-振动能级中容易出现飞行时间展宽分子-振动转动能级寿命为ms量级粒子速度5×104 cm/s，光束直径0.1 cm，则穿越光束时间为2 μs 导致分子看到的辐射场时间有限，即在原辐射场的基础上乘以一个方波
先的频率ν0

c

谱定理 直观

谱定理证明

北航考博考研矩阵_谱公式,盖尔圆图

酉算子的谱定理

光谱理论知识

CH5-4H光谱,玻尔理论

各种仪器分析的基本原理及谱图表示方法

各种光谱分析的原理解读

酉算子的谱定理

自共轭算子的谱定理

矩阵的欧几里得范数

fanchuang的谱图理论

波谱四种谱图的综合解析PPT共26页

谱定理证明

谱定理证明

第2章 光谱原理-2.4 光谱线轮廓与线宽

谱定理直观

第2章光谱原理-2.4 光谱线轮廓与线宽