《数列的概念》示范公开课教案【高中数学北师大】

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第一章 数列

1.1 数列的概念

1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义与分类;

2.能由通项公式求出数列的各项,反之能根据数列的前几项发现规律,写出数列的通项公式;

3.通过学习,培养学生观察抽象的能力,认识数列是刻画自然规律的数学模型.

教学重点:理解数列的概念,认识数列是刻画自然规律的数学模型. 教学难点:根据数列的前几项发现规律,写出数列的通项公式.

一、情境导入

在现实生活和数学学习中,我们经常需要根据问题的意义,通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如:

1、从2000年到2022年我国共参加了6次奥运会,各次参赛获得的金牌总数依次为:28,32,52,38,26,38.

2、拉面师傅在拉面过程中,随着拉的次数增多,面条根数依次增多:1,2,4,8,16,... 3.人们在1740年发现了一颗彗星,并且每隔83年出现一次.从发现那次算起,这颗彗星近五次出现的年份依次为:1740,1823,1906,1989,2072.

4.庄子曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.意思为:一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完.如果将“一尺之棰”视为一份,那么每日剩下的部分依次为:

问题1:这几列数的共同特点是什么? 答:①规律都用一列数表示 ②都有一定顺序

设计意图:从生活实例引入课题,让学生认识数学是刻画自然规律的数学模型.

二、新知探究

定义概念

1.

数列:一般地,按一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫

作这个数列的项.数数列的一般形式: 123,,,,,n a a a a ⋯⋯ , 简记为数列 {}n a .

其中数列第一项 1a ,也叫首项,n a 是数列的第n 项,也叫数列的通项.

11111,,,,,2481632⋯◆教学目标

◆教学重难点

◆教学过程

想一想:将数列:1,2,3,4,5,6改成:6,5,4,3,2,1.两个数列一样吗? 答:不一样.

2.

数列的分类:

✮以项数来分类:

(1) 有穷数列:项数有限的数列; (2) 无穷数列:项数无限的数列. ✮ 以各项的大小关系来分类:

(1) 递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列.即对任意n ∈N ∗,总有a n+1>a n (或a n+1−a n >0).

(2) 递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列.即对任意n ∈N ∗,总有a n+1

(4) 摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.

问题2: 数列与数集有什么异同?

答:(1)数列{}n a 中是一列数,而集合中的元素不一定是数; (2)数列{}n a 中的数是有一定次序的,而集合中的元素没有次序; (3)数列{}n a 中的数可以重复,而集合中的元素不能重复. 问题3:数列{}n a 的项与序号n 有怎样的关系?

答:数列的每一项都对应一个序号,反之,数列的每一个序号都对应着一个项. 如数列:2,4,8,16,32,64,⋯

这个数列的每一项的序号n 与这一项的对应关系可用如下公式表示: 这样,只要依次用序号1,2,3,4,⋯代替求出数列相应的项.

总结:1.对任意数列 {}n a ,其每一项的序号与项都有对应关系:

2.如果数列 {}n a 的第 n 项n a 与序号 n 之间的关系可以用一个式子表示成:

(),.n a f n n N +=∈这个式子叫做数列的通项公式.

a n =2n

问题4: 任意一个数列都能写出通项公式吗?它是唯一的吗? 答:不是每一个数列都能写出它的通项公式;如:1248319,,,, ② 一些数列的通项公式不是唯一.如:数列 1-11-1,,,,

1(1)n n a +=-1(1)n n a -=-或11,n n a n ⎧=⎨-⎩,为奇数或为偶数

设计意图:从具体的一个数列出发,分析数列项与序号间的关系,培养学生从特殊到一般的思想与分析问题习惯.

三、应用举例

例1 根据下列数列的通项公式,写出数列的前5项.

(1)

1

;

1n a n =

+

(2)

sin .2

n n a π=

解:(1)依次取 1,2,3,4,5,n = 得到数列 {}n a 前5项为11111

,,,,;23456

(2)依次取 1,2,3,4,5,n = 得到数列 {}n a 前5项为1,0,1,0,1.-

例2 如果数列 {}n a 的通项公式为2

328n a n n =-,那么 -49和 68 是不是这个

数列的项? 如果是,是第几项?

解:令 2

32849n n -=-, 解得:7

7().3

n n ==

或舍去 .∴-49是这个数列的第7项

令 2

32868n n -=, 解得:34

2.3

n n =-=

或均不符合题意, .∴68不是这个数列的项

总结:数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的项数n 之间的关系.已知数列的通项公式

,只要用项数代替通项公式中的n ,即可求出相应的项.反过来,判断某一个数是不是数列中的项,就用数列的通项公式建立以n 为变量的方程,若方程有正整数解,则该数为数列中的项,n 的值即为该数在数列中的项数;若方程没有正整数解,则该数不是数列中的项.

例3 写出下列数列的一个通项公式. (1)1,4,9,16,25,

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