广东省东莞市2017-2018学年高二(下)期末数学(理科)答案

广东省东莞市2017-2018学年高二（下）期末数学（理科）试题参考答案1．D 【思路点拨】直接由实部为0且虚部不为0列式求解. 【解析】21(1)z a a i =-++为纯虚数，∴21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，即1a =.故选：D .【名师指导】本题考查复数的基本概念，是基础的计算题.2．C 【思路点拨】求得函数2y x x =+的导数，由导数的几何意义，可令1x =，计算可得所求切线的斜率.【解析】解：2y x x =+的导数为21y x =+′， 可得曲线2y x x =+在点(1,2)P 处切线的斜率为2113⨯+=. 故选：C.【名师指导】本题考查导数的运用：求切线的斜率，熟练掌握导数的运算性质是解题的关键，是一道基本题.3．B 【思路点拨】随机变量ξ服从正态分布()5,9N ，得到曲线关于5x =对称，根据(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，结合曲线的对称性列方程，从而解出常数c 的值得到结果.【解析】随机变量ξ服从正态分布()5,9N ，∴曲线关于5x =对称，(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，2210c c ∴++-=， 5c ∴=，故选：B .【名师指导】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题.4．D 【思路点拨】利用导数的运算法则即可得出. 【解析】22()(1)21f x x x x =+=++()22f x x ∴'=+，故选：D .【名师指导】本题考查了导数的运算法则，属于基础题.5．D 【思路点拨】由x 与y 的线性回归方程中x 系数的正负可判断选项A ；把 20x =代入回归直线方程算出ˆ y 的值可判断选项B ；先根据表格中的数据求出样本中心点(),x y ，再将其代入线性回归方程，解之即可得m 的值，从而判断C ，D ． 【解析】解：由x 与y 的线性回归方程可知，0.70-<，∴变量x ，y 之间呈现负相关关系，即A 错误；当20x时，ˆ0.72010.3 3.7y=-⨯+=-，即B 错误； 由表中数据可知，68101294x +++==，6321144m my ++++==，根据样本中心点必在线性回归方程上， 有110.7910.34m+=-⨯+，解得5m =，即C 错误； 5m =，1144my +∴==， ∴ 样本中心点为()9,4，即D 正确.故选：D.【名师指导】本题考查结尾回归直线方程，线性回归直线必定数据的中心点(,)x y ，用回归直线方程可对结论进行预测，要注意预测值不是确定的结果． 6．A 【思路点拨】利用分子有理化即可比较.【解析】a ==1b ==，c ==，1>>b ac ∴>>，故选：A .【名师指导】本题考查了不等式的大小比较，属于基础题.7．C 【思路点拨】利用5(1)x -展开式的一次项与2x +的一次项相乘，展开式的二次项与2x +的常数项相乘，即可得到5(1)(2)x x -+的展开式中含2x 项的系数.【解析】5(1)x -展开式通项515(1)r r r r T C x -+=-，令52r可得3r =，令51r -=可得4r =；∴含2x 项的系数为：5543215C C -=-.故选：C .【名师指导】本题考查二项式定理的运用，考查利用展开式确定指定项的系数，解题的关键是正确写出展开式.8．A 【思路点拨】根据题意，分2步分析：先将5名插班生分为3组，有2种分组方法，①分为3、1、1的三组，②分为2、2、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的班级，由排列数公式可得其对应方法数目,由分步计数原理计算可得选项．【解析】由题意可知，可分以下两种情况讨论，①5名插班生分成：3，1 ，1三组；②5名插班生分成：2，2，1三组，当5名插班生分成：3，1 ，1三组时，共有3135231602C C A =种方案； 当5名插班生分成：2，2，1三组时，共有22112425322290C C C C A A ⋅⋅⋅⋅=种方案； 所以，共有6090150+=种不同的安排方案. 故选：A.【名师指导】本题主要考查两个基本原理和排列组合，在对排列、组合的综合问题时，一般先组合再排列，属于中档题.9．A 【思路点拨】求导得()3(1)(1)f x x x =+-'，从而知函数()f x 的单调性，再结合(0)0f =，f （1）2=，即可得解【解析】.3()3f x x x =-，2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=+-'，令()0f x '=，则1x =或1-(舍负)，当01x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.函数()f x 在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，且(0)0f f ==，f （1）2=，13m ∴≤≤.故选：A.【名师指导】本题考查利用导数研究函数的最值问题，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.10．B 【思路点拨77x ++⋯=7x x +=，然后转化为一元二次方程，解出x 的值，并排除不正确的值，即可得到结果.77x ++⋯=7x x +=，整理，得270x x --=， 解得1292x -=，或1292x =0x ，1292x +∴=， ∴129772++⋯=.故选：B .【名师指导】本题主要考查类比推理的能力，考查了转化与化归思想，一元二次方程的求解，以及类比推理能力和数学运算能力，本题属基础题.11．C 【思路点拨】利用组合数公式与古典概型公式，分别算出事件A 发生的概率P (A )和事件A ，B 同时发生的概率P (AB )，再利用条件概率公式加以计算，即可得到(|)P B A 的值.【解析】（方法一）取出两个颜色不同的球的取法共有11111112323111C C C C C C ++=种,而取出一个红球,一个黄球的取法共有11236C C =种，故所求概率为611， （方法二）因为盒子中有红球3个，黄球2个，蓝球1个，所以取出的两个球颜色不同的概率为11111111336222C C C C C C 11()C 15P A ++==， 而取出两个球的颜色不同，且一个红球、一个黄球的概率112326C C ()C 62155P AB ===， 所以2()6(|)11(5)1115P AB P B A P A ===， 故选：C.【名师指导】本题主要考查条件概率的计算，古典概型公式，关键在于准确地运用条件概率公式，属于基础题.12．A 【思路点拨】由题意可得，ln y x x =与1y kx =-在(]0,e 上恰有两个交点，即ln 1x x kx =-在(]0,e 上恰有2个解，分离参数后构造函数，结合导数及函数的性质计算即可得解.【解析】由题意可得，ln y x x =与1y kx =-在(]0,e 上恰有两个交点， 即ln 1x x kx =-在(]0,e 上恰有2个解， 所以1ln k x x=+在(]0,e 上恰有2个解， 令1()ln g x x x =+，(]0,x e ∈，则21()x g x x'-=， 当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，当1x e <≤时，()0g x '>，函数单调递增， 因为(1)1g =，1()1g e e=+，0x →，()g x →+∞， 故111k e<≤+. 故选：A .【名师指导】本题主要考查了由函数零点求解参数范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于常考题. 13．0【思路点拨】由已知结合复数的基本运算即可直接求解. 【解析】解：因为41i =，所以4414243231n n n n i i i i i i i ++++++=+++，110i i =+--=.故答案为：0.【名师指导】本题主要考查了复数的基本运算的简单应用，属于基础试题. 14．310【思路点拨】由已知确定曲线关于x ＝1对称，可知P （X ＜1）＝12，利用P （X ＞2）得P （X ＜0），可求P （0＜X ＜1）．【解析】随机变量X ～N （1，σ2），可知随机变量服从正态分布且X ＝1是图象的对称轴，可知P （X ＜1）＝12，又1(2)5P X >=可知P （X ＜0）＝15， 则P （0＜X ＜1）＝12﹣15＝310．故答案为310．【名师指导】本题考查正态分布的简单性质的应用，属于基本知识的考查．15．12【思路点拨】根据概率的性质11ni i p ==∑和分布列均值()1E X =解出a ，b ，再利用方差公式求解.【解析】由题意知：114()12a b E X a b⎧+=-⎪⎨⎪==+⎩，解得11,24a b ==， 所以222111()(01)(11)(21)424D X =⨯-+⨯-+⨯-111442=+=. 故答案为：12. 【名师指导】本题主要考查离散型随机变量的均值与方差的计算，还考查了运算求解的运算能力，属于基础题.16．3【思路点拨】令二项式中的1x =得展开式中各项系数和，根据二项式系数和公式得到二项式系数和为2n ，列出方程求解即可.【解析】1)nx的展开式20121)n n n a a x xa x a x =++++令二项式中的1x =得到展开式中的各项系数的和为4n p =，又各项二项式系数的和012nnn n n C C C C q ++++=，为2n q =，根据题意得248q p =-即44822n n -=⨯， 解得28n =或26n =- (负值舍)， 故3n =. 故答案为：3.【名师指导】本题考查了求二项展开式的系数和与二项式系数和问题，是基础题. 17．【思路点拨】（1）把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由共轭复数的概念求得z ，由题意列关于m 的方程求解；（2）利用复数模的计算公式列式，求解关于m 的不等式得答案. 【解析】解：（1）由(1)z i m i +=-，得()(1)111(1)(1)22m i m i i m m z i i i i ----+===-++-， ∴1122m m z i -+=+， 由题意，117022m m -++-=，解得7m =；（2）由||1z 1， 解得：11m -.∴实数m 的取值范围[1-，1].【名师指导】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题.18．【思路点拨】（1）根据已知完善列联表，计算出2K 的值，由此判断在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为观众的满意程度与所在地区有区别.（2）设抽到的观众“非常满意”的人数为X ，X 服从二项分布3~(3,)2X B ，由此能求出X 的分布列和数学期望.【解析】（1）依题意得22⨯列联表为：()22100302035151000.1 3.841653545551001K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为观众的满意程度与所在地区有区别. （2）从A 地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为23P =， 随机抽取3人，X 的可能取值为0，1，2，3，3~(3,)2X B ，311(0)()327P X ===，1232162(1)()()33279P X C ====，22321124(2)C ()()33279P X ====，328(3)()327P X ===，X ∴的分布列为：()323E X =⨯=. 【名师指导】本题考查了独立性检验的应用，用频率估计概率，考查概率的求法及应用，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 19．（1）2d y c x =+更适宜；（2）2205y x=+；（3）01x <或4x .【思路点拨】（1）根据散点图，即可判断出； （2）先建立中间量21w x=，建立y 关于w 的线性回归方程，根据最小二乘法求出系数c ，d ，问题得以解决；（3）根据预报值求出z ，再根据题意列不等式即可得求出答案. 【解析】解：（1）2dy c x=+更适宜作销量y 关于单价x 的回归方程类型； （2）设21w x=，则y c dw =+， 由最小二乘法求系数公式可得：1011021()()16.2200.81()ˆiii ii w w y y dw w ==--===-∑∑， ·20.ˆˆ6200.785c y d w =-=-⨯=，所以所求回归方程为2205y x =+； （3）设销售额为z ， 则205,(0)z xy x x x ==+>， 20525z xy x x==+，即2540x x -+，解得01x <或4x ，当单价x 范围为01x <或4x 时，该商品的销售额不小于25.【名师指导】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题.20．【思路点拨】（1）由题知，1x =与13x =-是2()3210f x ax bx '=++=的两根，再利用韦达定理即可得解；（2）原问题可转化为2()max f x c <；由（1）知，()(31)(1)f x x x +'=--，令()0f x '=，则1x =或13-，然后列表写出()'f x 和()f x 随x 在[1-，2]上的变化情况，求得最大值后，解关于c 的不等式即可. 【解析】解：（1）32()f x ax bx x c =+++，2()321f x ax bx ∴=++'，()f x 在1x =与13x =-处都取得极值，1x ∴=与13x =-是2()3210f x ax bx '=++=的两根，即12133111()33b a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪⨯-=⎪⎩， 解得1a =-，1b =.（2）由（1）知，32()f x x x x c =-+++，2()321(31)(1)f x x x x x =-=-+'++-，令()0f x '=，则1x =或13-，()f x '∴和()f x 随x 在[1-，2]上的变化情况如下表所示：(1)1f c ∴-=+，极大值为f （1）1c =+， ()f x ∴在[1x ∈-，2]上的最大值为1c +，对任意[1x ∈-，2]，都有2()f x c <成立，21c c ∴+<，解得c >c <. 故实数c 的取值范围为(-∞⋃，)+∞. 【名师指导】本题考查利用导数研究函数的极值和恒成立问题，将原问题转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想､逻辑推理能力和运算能力，属于中档题. 21．【思路点拨】（1）求导得21()ax f x ax -'=，由题可知，f '（1）12=，解出a 的值即可； （2）不妨设12x x >，由1212()()1f x f x x x -<-可推出函数()()g x f x x =-在(0，1]上单调递减，即21()10ax g x ax--'=在(0，1]上恒成立，然后分1x =和(0,1)x ∈两类讨论，其中当(0,1)x ∈时，需要运用参变分离法和配方法来求新函数的最小值.【解析】解：（1）1()ln x f x x ax-=+，222(1)11()ax x a ax f x a x x ax ----∴=+='，定义域为(0,)+∞， 由题可知，f '（1）112a a -==，解得2a =， ()f x ∴的解析式为1()ln 2x f x x x -=+. （2）不妨设12x x >，1212()()1f x f x x x -<-等价于1212()()f x f x x x -<-，即1122()()f x x f x x -<-，令()()g x f x x =-，则()g x 在(0，1]上单调递减，21()10ax g x ax-∴=-'， 若1x =，有110a a--<，符合题意，即0a >满足条件； 若(0,1)x ∈，不等式可转化为21a x x --， 而当(0,1)x ∈时，函数2211411()24y x x x =-=----，当且仅当12x =时，等号成立， 4a ∴.综上所述，正实数a 的取值范围为(0，4].【名师指导】本题考查利用导数研究函数的切线方程､证明不等式，先采用构造法将原问题转化为函数的单调性问题，进而利用参变分离法将其转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化与化归思想､逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.22．【思路点拨】（1）先求导，分0a ，0a <两种情况讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（2）由（1）中结论可得单调性，即可判定零点所在区间12012x x <<<<，证得121()()0f x f x -<，再根据函数的单调性即可证明. 【解析】（1）解：2()(1)(4)x f x x ae -'=-+.①当0a 时，240x ae -+>，所以当1x >时，()0f x '<，当1x <时，()0f x '>， 即()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,)+∞上为减函数；②当0a <时，由2()(1)(4)0x f x x ae -'=-+=，解得1x =或42()x ln a=--. 当42()1ln a -->时，即4a e <-，()f x 在(1，42())ln a--上为增函数，在(,1)-∞和4(2()ln a--，)+∞上为减函数； 当42()1ln a --<时，即40a e >>-，()f x 在4(2()ln a--，1)上为增函数，在(-∞，42())ln a--和(1,)+∞上为减函数； 当42()1ln a --=时，即4a e =-，()f x 在(,)-∞+∞上为减函数. 综上，当0a 时，()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,)+∞上为减函数； 当4a e <-，()f x 在(1，42())ln a --上为增函数，在(,1)-∞和4(2()ln a --，)+∞上为减函数； 当40a e >>-，()f x 在4(2()ln a --，1)上为增函数，在(-∞，42())ln a --和(1,)+∞上为减函数； 当4a e=-，()f x 在(,)-∞+∞上为减函数. （2）证明：由（1）可知()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，又f （1）0ae =>，(0)20f =-<，f （2）220a =-<，所以函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，不妨设1(0,1)x ∈，2(1,2)x ∈，12()()0f x f x ==，222222()2(1)0x f x ax e x -=--=，得222222(1)x ax e x -=-，12211()()()f x f f x x -=- 212222112(1)x a e x x -=-+- 212222222(1)1x x a e x x --=-+ 2212222221x x ax e a e x x --=-+ 221222()x x a e e x --=--， 又2(1,2)x ∈，22122x x ->-，22122x x e e -->， 所以121()()0f x f x -<，即121()()f x f x <， 又()f x 在(,1)-∞上为增函数，1(0,1)x ∈，2(1,2)x ∈，211(2x ∈，1)， 所以121x x <，即12·1x x <. 【名师指导】本题考查了导数和函数的单调性的关系，考查了转化和化归思想，分析和解决问题的能力，运算能力，属于难题.。