2018年全国中考数学真题分类 线段垂直平分线、角平分线、中位线解析版(精品文档)

2018年全国中考数学真题分类 线段垂直平分线、角平分线、中位线（一）
一、选择题
1. （2018四川泸州，7题，3分） 如图2，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 中
点，且AE+EO=4，则
ABCD 的周长为（ ）
A.20
B. 16
C. 12
D.8
第7题图 【答案】B 【解析】
ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，所以O 为AC 的中点，又因为E 是AB 中点，所以EO
是△ABC 的中位线，AE=
21AB ，EO=2
1BC ，因为AE+EO=4，所以AB+BC=2(AE+EO)=8，ABCD 中AD=BC ，AB=CD ，所以周长为2(AB+BC)=16
【知识点】平行四边形的性质，三角形中位线
2. （2018四川省南充市，第8题，3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，30A ∠=，D ，
E ，
F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若2BC =，则EF 的长度为（ ）
A ．12
B ．1
C ．3
2
D
【答案】B
【思路分析】1.由∠ACB =90°，∠A =30°，BC 的长度，可求得AB 的长度，2.利用直角三角形斜边
D
的中线等于斜边第一半，求得CD 的长度；3.利用中位线定理，即可求得EF 的长.
【解题过程】解：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =2，，∴AB =4，CD =1
2AB ，∴CD =12
×
4=2，∵E ，F 分别为AC ，AD 的中点，∴EF =12CD =12
×2=1，故选B.
【知识点】30°所对直角边是斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边第一半；中位线定理
3. （2018四川省达州市，8，3分） △ABC 的周长为19，点D 、E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ．若BC ＝7，则MN 的长为（ ） ． A ．32 B ．2 C ．52
D ．3
第8题图 【答案】C ，
【解析】∵△ABC 的周长为19，BC ＝7， ∴AB ＋AC ＝12．
∵∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∴BA ＝BE ，N 是AE 的中点． ∵∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，∴AC ＝DC ，M 是AD 的中点． ∴DE ＝AB ＋AC －BC ＝5． ∵MN 是△ADE 的中位线， ∴MN ＝12
DE ＝52
． 故选C.
【知识点】三角形的中位线
4. （2018浙江杭州， 10，3分）如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，DE//BC ，与边AC 交于点
E ，连接BE ，记△ADE ，△BCE 的面积分别为S 1，S 2,（ ）
A. 若2AD>AB ，则3S 1>2S 2
B. 若2AD>AB ，则3S 1<2S 2
C. 若2AD<AB ，则3S 1>2S 2
D. 若2AD<AB ，则3S 1<2S 2
【答案】D
【思路分析】首先考虑极点位置，当2AD=AB 即AD=BD 时S 1，S 2的关系，然后再考虑AD>BD 时S 1，S 2的变化情况。

【解题过程】当2AD=AB 即AD=BD 时2 S 1= S 2，则3S 1<2S 2。

当2AD<AB 时，AD<BD,AE<EC, S 1变小，S 2变大，一定有3S 1<2S 2；反之，当2AD>AB 时，不确定。

【知识点】中位线及面积大小比较
5. （2018浙江湖州，8，3）如图，已知在△ABC 中，∠BAC ＞90°，点D 为BC 的中点，点E 在
AC 上，将△CDE 沿DE 折叠，使得点C 恰好落在BA 的延长线上的点F 处，连结AD ，则下列结论不一定正确的是（ ）
A ．AE ＝EF
B ．AB ＝2DE
C ．△ADF 和△ADE 的面积相等
D ．△AD
E 和△FDE 的面积相等
【答案】C
【解析】选项A ，∵D 为BC 的中点，∴所以BD ＝CD ．∵FD ＝CD ，∴FD ＝BD ．∴∠B ＝∠BFD ．∵∠
C ＝∠DFE ，∴ ∠B +∠C ＝∠BF
D +∠DF
E ．∴∠FAE ＝∠AFE ．∴AE ＝FE ．选项A 正确． 选项B ，∵E 为AC 的中点，D 为BC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线．∴AB ＝2DE ．选项B 正确．
选项C ，∵BF ∥DE ，∴△ADF 和△ADE 的高相等．但不能证明AF ＝DE ，∴△ADF 和△ADE 的面积不一定相等．选项C 错误．
C
B
E
D
A
E
A
F B
D
C
选项D，△ADE和△FDE同底等高，面积相等，选项D正确．故选C.
【知识点】等腰三角形，折叠，中位线，三角形的外角
1. （2018湖北黄冈，4题，3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC 于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为
A.50°
B.70°
C.75°
D.80°
第4题图
【答案】B
【解析】在△ABC中，∠B=60°，∠C=25°,所以∠BAC=95°,因为DE是AC的垂直平分线，所以DA=DC,所以∠DAC=∠C=25°，所以∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，故选B
【知识点】三角形内角和，垂直平分线的性质
2. （2018湖南郴州，7，3）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于
点C，D两点，分别以C，D为圆心，以大于1
2
CD的长为半径作弧，两弧相交于点P，以O为端点作
射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）
A.6
B.2
C.3
D.
【答案】D
【思路分析】判断出OP是∠AOB的平分线，过点M作ME⊥OB于E，根据角平分线的性质可得∠MOB=30°，然后根据“直角三角形中30°所对的直角边等于斜边一半”列式计算即可得解．
3. （2018甘肃天水，T6，F4）如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点
E.若OE=3，BC=8，则OB的长为（）
D.√34
A.4
B.5
C.√34
2
【答案】B.
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB∥CD，AB=CD，点O是AC的中点.
∵OE∥AB，
∴OE∥CD，
∴OE是△ACD的中位线，
∴CD=2OE=6，
∴AB=6.
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC=10.
∵OB是Rt△ABC斜边的中线，
∴OB=1
2AC=5.
【知识点】矩形的性质，中位线的性质
4. （2018河北省，6，3）尺规作图要求：ⅰ．过直线外一点作这条直线的垂线；ⅱ．作线段的垂
直平分线；
ⅲ．过直线上一点作这条直线的垂线；ⅳ．作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A ．①—ⅳ，②—ⅱ，③—ⅰ，④—ⅲ
B ． ①—ⅳ，②—ⅲ，③—ⅱ，④—ⅰ
C ．①—ⅱ，②—ⅳ，③—ⅲ，④—ⅰ
D ． ①—ⅳ，②—ⅰ，③—ⅱ，④—ⅲ
【答案】D
【解析】根据不同的作图方法可以一一对应． ②的已知点在直线外，所以对应ⅰ，④的已知点在直线上，所以对应ⅲ．
【知识点】尺规作图，角的平分线，垂线，线段的垂直平分线
5. （2018河北省，8，3） 已知，如图，点P 在线段AB 外，且PA ＝PB ．求证：点P 在线段AB
的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ） A ．作∠APB 的平分线PC 交AB 于点C B ．过点P 作PC ⊥AB 于点C 且AC ＝BC
C ．取AB 中点C ，连接PC
D ．过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C
l
第6题图
P
①
A
B
O
②
·
③
B
A ④
l
P
【答案】B
【解析】要证明PA ＝PB 需要作出AB 上的中线（或垂线或∠APB 的角平分线）．选项B 中作出的辅助线同时满足了两个条件，不正确．故选B ．
【知识点】线段的垂直平分线，等腰三角形的三线合一
6.（2018贵州安顺，T8，F3）已知△ABC （AC ＜BC ），用尺规作图的方法在BC 上确定一点P ，使 PA+PC = BC, 则符合要求的作图痕迹是（ ）
【答案】D
【解析】选项A ，该作图痕迹表示AB=PB ，不符合题意；选项B ，该作图痕迹表示作线段AC 的垂直平分线交BC 于点P ，即PA=PC ，不符合题意；选项C ，该作图痕迹表示AC=PC ，不符合题意；选项D ，该作图痕迹表示作线段AB 的垂直平分线交BC 于点P ，即PA=PB ，故PA+PC=BC,符合题意.故选D.
A
B
P
C 第8题图
【知识点】尺规作图.
7. （2018湖北荆门，11，3分）如图，等腰Rt ABC ∆中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，
P 为AC 边上的动点，OQ OP ⊥交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，
点M 所经过的路线长为（ ）
A ．
4 B ．2
C.1 D ．2 【答案】C.
【解析】解：连接OM ，CM ，OC.
∵OQ ⊥OP ，且M 是PQ 的中点， ∴OM=
2
1
PQ. ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ACB=90°， ∴CM=
2
1
PQ ， ∴OM=CM ，
∴△OCM 是等腰三角形， ∴M 在OC 的垂直平分线上.
∵当P 在A 点时，点M 为AC 的中点，当P 在C 点时，点M 为BC 的中点，
∴点M 所经过的路线长为2
1
AB=1.
故选C.
【知识点】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线，等腰三角形的判定与性质
8. （2018湖北省襄阳市，7，3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于24cm长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BC、AC于点D、E.若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为(▲)
A.16cm
B.19cm
C.22cm
D.25cm
【答案】B
【解析】解：由尺规作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AC=2AE=6cm，
∴AB+BC=AB+BD+DC=AB+BD+AD=C△ABD=13cm，
∴C△ABC=AB+BC+AC=13+6=19cm.
故选B.
【知识点】线段垂直平分线
9.（2018陕西，8，3分）如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、GH和HE．若EH=2EF，则下列结论正确的是（）
A．AB=B．AB=2EF C．AB D．AB
【答案】D
【思路分析】连接AC、BD交于点O．利用中位线性质和菱形的性质证明EF=AO，EH＝BO，结合菱形的对角线互相垂直，用勾股定理求线段AB与AO的关系，即得出AB与EF的关系．
【解题过程】连接AC 、BD 交于点O ．
∵E ，F 分别为AB 、BC 的中点， ∴EF =
1
2
AC ． ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AO =
1
2
AC ，AC ⊥BD ． ∴EF =AO ． 同理：EH =BO ． ∵EH =2EF ． ∴BO =2AO ．
在Rt △ABO 中，设AO =x ，则BO =2x ． ∴AB =22(2)55x x x +==AO ． ∴AB =5EF ，故选择D ．
【知识点】菱形的性质，中位线的性质，勾股定理
二、填空题
1. （2018四川泸州，题，3分） 如图5，等腰△ABC 的底边BC=20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF=3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则△CDF 周长的最小值为 .
第16题图
G
F
E
D
C
B
A
O
【答案】18
【解析】做△ABC的高AH ，因为S=120，BC=20，所以AH=12，△CDF的周长=CF+CD+DF，CF=5，因为EG是腰AC的垂直平分线，连接AD，AF，可得DA=DC，所以AD+DF的最小值为AF的长度，在Rt △AHF中，HF=5，AH=12，由勾股定理可得AF=13，因此△CDF周长的最小值为18
【知识点】三角形面积，垂直平分线，勾股定理
2. （2018四川内江，23，6）如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE＝3，⊙O
的半径r＝2，直线AB不垂直于直线l，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、C，则四边形ABCD的面积的最大值为．
【答案】12
【思路分析】由于四边形ABCD为梯形，所以面积为两底之和的一半再乘以高，由已知条件可以通过构造三角形的中位线，证得两底之和与线段OE的长度有关，是一个定值，所以四边形面积的大小取决于高，当直径AB为梯形的高时，面积最大．
【解题过程】解：连接DO并延长交CB的延长线于F，∵AD⊥l，BC⊥l，∴AD∥BC，∴∠DAO＝∠FBO，∠ADO＝∠F，∵OA＝OB，∴△AOD≌△BOF，∴AD＝BF，OD＝OF，∵OE⊥l，∴AD∥BC∥OE，∴
OD
OF
＝DE
CE
，∴DE＝CE，∴OE＝1
2
CF＝1
2
(BF＋BC)＝1
2
(AD＋BC)，∴AD＋BC＝2OE＝6，∵四边形ABCD
的面积＝1
2
(AD＋BC)×CD，∴当AB∥l时，即AB为梯形的高时四边形ABCD的面积最大，最大值为1
2
×6×4＝12．
G
F
E
D
C
B H
【知识点】三角形中位线，梯形的面积公式；全等三角形；
3. （2018四川广安，题号14，分值：3） 如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB 于C ，若
EC=1，则OF=____.
第14题图 【答案】2.
【解析】过点E 作ED ⊥OA ，于点D. ∵EF ∥CO ，
∴∠EFA=∠AOC=∠AOE+∠BOE=30°. ∵∠AFE 是△OEF 的外角，
∴∠OEF=∠AEF-∠AOE=15°=∠AOE ， ∴OF=EF.
∵OE 是∠AOC 的平分线，CE ⊥OB ，EG ⊥OA ， ∴EG=CE=1.
在Rt △EFG 中，∠EFA=30°EG=1， ∴EF=2EG=2， 即OF=2.
F
l
A
E B
O
D
C
【知识点】角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质
∠，AC的垂直平分4. （2018四川省南充市，第13题，3分）如图，在△ABC中，AF平分BAC
∠=度．
线交BC于点E，70
∠=，则C
B
FAE
∠=，19
【答案】24
【解析】解：设∠C的度数为x
∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C=x，∵∠FAE=19°，∴∠AFB=∠FAC+∠C=(x+19°)+x=2x+19°，∵AF平分∠ABC，∴∠BAF=∠FAC=x+19°，∵∠BAF+∠AFB+∠B=180°，即70°+（2x+19°）+(x+19°)=180°，解得：x=24°.故答案为：24.
【知识点】角平分线的定义；垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
5. （2018湖南衡阳，17，3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M.如果△CDM的周长为8，那么ABCD的周长是．
【答案】16
【解析】解：在▱ABCD中，AD=BC，AB=CD，
∵点O为AC的中点，OM⊥AC，
∴MO为AC的垂直平分线，
∴MC=MA，
∴△CDM的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD=AD+CD=8，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AD+CD）=16．
【知识点】
6. （2018江苏泰州，14，3分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F 分别为AC、BD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为 .（用含α的式子表示）
【答案】2703
°α
-
【解析】∵∠ACD=90°，∴∠CAD=90°－∠D=90°－α，∵E、F分别为AC、BD的中点，∴EF∥AD，∴∠CEF=∠CAD=90°－α，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD=90°－α，∵∠ABC=90°，E为AC的中点，∴AE=BE，∴∠EBA=∠BAC=90°－α，∴∠BEC=180°－2α，∴∠BEF=270°－3α.
【知识点】三角形中位线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质
7. （2018山东省济宁市，13，3）在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF.请你添加一个条件_______，使△BED与△FDE全等.
【答案】答案不唯一，如：点D是BC的中点或者DF∥AB.
【解析】当D是BC的中点时，△BED≌△FDE.∵E，F分别是边AB，AC的中点，∴EF∥BC，当E，D分别是边AB，BC的中点时，ED∥AC，∴四边形BEFD是平行四边形，∴△BED≌△FDE，因此，答案为：D是BC的中点．
【知识点】全等三角形的判定，三角形中位线性质，平行线性质1. （2018武汉市，16，3分）如D
E F
A
B C
第14题图
图，在△ABC 中，∠ACB ＝60°，AC ＝1，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点．若DE 平分△ABC 的周长，则DE 的长是___________ 【答案】
3 【思路分析】延长BC 至点F ，使CF =AC ，由题意得DE 是△ABF 的中位线，△ACF 是底角为30°的等腰三角形，作CG ⊥AF ，垂足为G ，可求得AF 的长，从而求出DE 的长.
【解题过程】延长BC 至点F ，使CF =AC ，∵DE 平分△ABC 的周长，AD =BC ，∴AC +CE =BE ，∴BE =CF +CE =EF ，∴DE ∥AF ，DE =
12
AF ，∠CAF ＝1
2∠ACB ＝30°.作CG ⊥AF ，垂足为G ，则∠AGC =90°，AF ＝2AG ＝2AC
×cos ∠CAF ＝2×1×cos 30°＝3，∴3
DE =
.
【知识点】三角形的中位线 等腰三角形的性质 直角三角形中的边角关系
2. （2018河南，15，3分）如图, ∠MAN = 90°,点C 在边AM 上,AC = 4,点B 为边AN 上一动点,连接BC , A BC '∆与ABC ∆关于BC 所在直线对称．点D ,E 分别为AC ,BC 的中点,连接DE 并延长交A'B
所在直线于点F ,连接A'E ．当AEF
'∆为直角三角形时, AB 的长为___________．
【答案】4或43
G
F
E
C
B
D
A F E
D A'
A
M N
C B （第15题）
【思路分析】根据题意，易得EF ∥AB ，∠CA B '＝∠CAB ＝90°，∠1＝∠2＝∠3．
当AEF
'∆为直角三角形时，分两种情况讨论：①∠A EF '＝90°时，∠A FE '＝2∠2，所以∠A FE '+∠
3＝90°，即3∠2＝90°，∠2＝30°，从而AB ＝tan 60AC ⋅︒＝．②∠A FE '＝90°时，∠A BA '＝90°．根据对称，∠A BC '＝∠CBA ＝45°，进而判断出ABC ∆是等腰直角三角形，从而求出AB ＝AC ＝4． 【解题过程】
图1 图2
解：∵∠MAN = 90°，A BC '∆与ABC ∆关于BC 所在直线对称．
∴∠CA B '＝∠CAB ＝90°，∠A BC '＝∠CBA
又∵点D ,E 分别为AC ,BC 的中点，连接DE 并延长交A'B 所在直线于点F ∴1
2
A E BC E
B '==，EF ∥AB.
当AEF
'∆为直角三角形时，由题意得，∠EA F '不能为直角，则 ①如图1，∠A EF '＝90°时，∠A FE '+∠3＝90° ∵EF ∥AB ，∴∠A FE '＝∠A BA '＝∠1+∠2＝2∠1.
又∵=A E EB ',∴∠1＝∠3,∴2∠1+∠1＝90°,∴∠1＝30°＝∠2,
∴AB ＝tan 60AC ⋅︒＝. ②如图2，∠A FE '＝90°时，
∵EF ∥AB,∴∠A BA '＝∠A FE '＝90°． 由对称可得，∠A BC '＝∠CBA ＝45°， ∴ABC ∆是等腰直角三角形∴AB ＝AC ＝4.
综上所述， AB 的长为4或
故答案为：4或【知识点】对称的性质，三角形中位线，直角三角形性质，三角形内角和，三角函数
三、解答题
1. (2018山东青岛中考，15，4分)已知：如图，ABC
∠，射线BC上一点D.
求作：等腰PBD
∆，使线段BD为等腰PBD
∆的底边，点P在ABC
∠两边的距
∠内部，且点P到ABC
离相等. （请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
【思路分析】作线段BD的垂直平分线与∠ABC的平分线，交于点P，连接BP，PD，则△PBD就是求作的三角形．
【解题过程】解：作图如下：
【知识点】尺规作图——角平分线、垂直平分线
1. （2018湖北鄂州，18，8分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，点E、F分别为
DB、BC的中点，连接AE、EF、AF．
（1）求证：AE＝EF；
（2）当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系．
【思路分析】
CD，【解析】解：（1）证明：∵点E、F分别为DB、BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF＝1
2
DB，在Rt△ABD中，∵点E为DB的中点，∴AE是斜边BD上的中线，又∵DB＝DC，∴EF＝1
2
DB，∴AE＝EF；
∴AE＝1
2
（2）如下图（1），∵AE＝EF，AF＝AE，∴AE＝EF＝AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝∠EAF＝60°，
又∵∠DAB＝90°，∴∠1＋∠BAF＝90°－60°＝30°，∴∠BAF＝30°－∠1，∵EF是△BCD的中位线，∴EF∥CD，∴∠BEF＝∠CDB＝β，∴β＋∠2＝60°，又∵∠2＝∠1＋∠ADB＝∠1＋α，∴∠1＋α＋β＝60°，∴∠1＝60°－α－β，∵AE是斜边BD上的中线，∴AE＝DE，∴∠1＝∠ADB＝α，∴α＝60°－α－β，∴2α＋β＝60°．
【知识点】中位线定理；直角三角形的性质；等边三角形的性质；三角形的外角性质；平行线的性质
2. （2018四川攀枝花，20，8）(本小题满分8分)已知△ABC中，∠A=90°.
（1）请在图8中作出BC边上的中线(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)如图9，设BC边上的中线为AD.
求证:BC=2AD.
【思路分析】（1）用尺规作图作出线段BC的中垂线，目的是作出线段BC的中点D，然后连接线段AD即为所求。

【解题过程】
(1)如图(1)所示：
(2)如图(2),作AB边的中点E,连接ED，∵BE=EA,BD=DC,∴ED∥AC,
∵∠BAC=90°,∴∠BED=90°，∴DE⊥AB，∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∴AD=BD=DC，∴BC=2AD。

【知识点】尺规作图，三角形的中位线，线段的垂直平分线。

3. （2018湖北省孝感市，20，7分）如图，ABC
=，小聪同学利用直尺和圆规完
∆中，AB AC
成了如下操作：
①作BAC
∠的平分线AM交BC于点D；
②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；
③连接PB，PC.
请你观察图形解答下列问题：
（1）线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系是________；
（2）若70ABC ∠=，求BPC ∠的度数.
【思路分析】（1）根据从垂直平分线的性质可得PA=PB=PC.
(2)根据等腰三角形的性质可得∠ACB =70ABC ∠=，再有三角形的内角和定理可得∠BAC=40°，再由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠BAP =∠CAP=∠ABP =∠ACP=20°,最后由三角形外角的性质可得BPC ∠=∠BPD+∠CPD=∠BAP +∠ABP +∠CAP +∠ACP =80°.
【解题过程】解：（1）线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系是:PA PB PC ==（或相等）.
（2）∵AM 平分BAC ∠，AB AC =，70ABC ∠=，
∴AD BC ⊥，9020BAD CAD ABC ∠=∠=-∠=.
∵EF 是线段AB 的垂直平分线，
∴PA PB =，∴20PBA PAB ∠=∠=.
∵BPD ∠是PAB ∆的外角，
∴40BPD PAB PBA ∠=∠+∠=.
∴40BPD CPD ∠=∠=.
∴80BPC BPD CPD ∠=∠+∠=.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的内角和定理；三角形外角的性质；角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图.
4.（2018·北京，17，5）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过
程．
已知：直线l及直线l外一点P．
P
l
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图：
①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延
长线于点B；
②直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的
延长线于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB＝_______，CB＝_______，
∴PQ∥l（________________）（填推理的依据）．
【思路分析】（1）利用尺规作图，先作射线BC，再在射线BC上截取线段CQ＝CB；最后过点P、Q 作直线即可；（2）由作图易知PA＝AB，CQ＝CB，依据是三角形的中位线的定义及定理，两点确定一条直线．
【解题过程】
17．解：（1）如下图所示：
（2）PA，CQ；依据：①连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；②三角形的中位线平行于第三边；③两点确定一条直线．
【知识点】尺规作图；三角形的中位线定理。