平行四边形中位线定理

平行四边形中位线定理

平行四边形中位线定理

平行四边形是指有两组对边分别平行的四边形。在平行四边形中，连接相邻顶点的线段称为对角线，且对角线互相平分。

定义

平行四边形中位线是指连接相邻顶点的中点所构成的线段。

定理

在平行四边形中，两条对角线互相平分，且它们的交点是它们的共同中心。

证明

设ABCD为平行四边形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的中点。连接EG和FH，并延长至交于点O。

因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ADC；同理可得∠CBD=∠CDA。又因为

AE=EB，AD=DG，所以△AED≌△GBD（SAS）；同理可得

△FHC≌△CHD（SAS）。因此AE=BG，CF=DH。

又因为AF∥DC，所以∠FAH=∠DCH；同理可得∠EBG=∠FCD。但是

由于ABCD是一个平行四边形，所以AD=BC。因此，在△AED和

△FHC中：

AE+ED+CF+CH=AD+FC+DG+GB

BG+ED+AH+CH=AD+AF+DG+FC

将AE=BG，CF=DH代入上式，得：

ED+CH=DG+AF

BG+ED=AF+DG

因此，△AEG≌△DFH（SAS），所以EG=FH。因此，EG和FH互相平分。

又因为E、F、G、H是ABCD的中点，所以OE=OF=OG=OH。因此，O在EG和FH的交点处，且它们的交点是它们的共同中心。

应用

平行四边形中位线定理可以用来证明两条对角线互相平分的性质，并

且可以用来求解平行四边形各个部分的长度。

例如，在平行四边形ABCD中，已知AD=6cm，DC=8cm，

AC=10cm。连接AC并延长至交于点E。由于AE=EC（垂直平分线段），所以AE=5cm。又因为AB∥DC（对角线互相平分），所以BE/ED=BA/AD；同理可得CE/EB=CD/BA。将已知数据代入上式可得BE/ED=4/3，CE/EB=5/2。因此

BE=(4/7)AC=(4/7)×10cm≈5.71cm，

ED=(3/7)AC=(3/7)×10cm≈4.29cm。同理可得

CF=(5/7)AC=(5/7)×10cm≈7.14cm和

FB=(2/7)AC=(2/7)×10cm≈2.86cm。因此，平行四边形ABCD中，EF=GH=(1/2)AC=5cm，BE=ED≈4.29cm，CF=FB≈3.57cm。