平行四边形中位线定理
八年级数学下册第六章平行四边形3三角形的中位线三角形中位线定理知
三角形中位线定理制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
【学习目的】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：〔1〕三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.12，每个小三角形的面积为原三角形面积的1 4.〔3〕三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1.如图，P、R分别是长方形ABCD的边BC.CD上的点，E.F分别是PA.PR的中点，点P在BC上从B向C 挪动，点R不动，那么以下结论成立的是〔〕A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E.F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 那么12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联络起来，进展联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】在△ABC中，中线BE.CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，那么四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．【答案】5；解：四边形MNEF是平行四边形．理由如下：∵BE.CF是中线，∴E.F分别是AC.AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF ∥BC 且EF=21BC ，∵M 、N 分别是BO 、CO 中点，∴MN 是△OBC 的中位线，∴MN ∥BC 且MN=21BC ，∴EF ∥MN 且EF=MN ，∴四边形MNEF 是平行四边形．2.如图，△ABC 中，D.E 分别是BC.AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，假设BC ＝6，那么DF 的长是〔 〕A ．2B ．3 C.52 D ．4【思路点拨】利用中位线定理，得到DE ∥AB ，根据平行线的性质，可得∠EDC ＝∠ABC ，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF ＝DB ，进而求出DF 的长．【答案解析】解：在△ABC 中，D.E 分别是BC.AC 的中点∴DE ∥AB∴∠EDC ＝∠ABC∵BF 平分∠ABC∴∠EDC ＝2∠FBD在△BDF 中，∠EDC ＝∠FBD ＋∠BFD∴∠DBF ＝∠DFB∴FD ＝BD ＝12BC ＝12×6＝3．【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．3.如下图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】此题中所求线段MD 与线段AB.AC 之间没有什么联络，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一〞构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6，∵ D.M分别为BN、BC的中点，∴ DM＝12CN＝162＝3．【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一〞、三角形的中线、中位线等联络起来，进展联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC．【答案】证明：延长AN、AM分别交BC于点D.G．∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG，∴∠BAG=∠BGA，∴△ABG为等腰三角形，∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．同理AM=DM，∴MN为△ADG的中位线，∴MN∥BC．4.〔1〕如图1，在四边形ABCD中，E.F分别是BC.AD的中点，连接EF并延长，分别与BA.CD的延长线交于点M、N，那么∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．〔提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线〕〔2〕如图2，在△ABC 中，且O 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线OE 交BA 的延长线于点G ，假设AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE 的长度．【思路点拨】〔1〕连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、FH ，证明出EH ∥AB ，EH=21AB ，FH ∥CD ，FH=21CD ，证出HE=HF ，进而证出AB=CD ；〔2〕连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、OH ，证明出EH=OH ，可证明证出△OEH 是等边三角形，进而求出OE=25．【答案与解析】〔1〕证明：连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、FH ．∵E.F 分别是BC.AD 的中点，∴EH ∥AB ，EH=21AB ，FH ∥CD ，FH=21CD ，∵∠BME=∠CNE ，∴HE=HF ，∴AB=CD ；〔2〕解：连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、OH ，∵AB=CD ，∴HO=HE ，∵∠OEC=60°，∴∠HEO=∠AGO=60°，∴△OEH 是等边三角形，∵AB=DC=5，∴OE=25．【总结升华】此题考察了三角形的中位线定理、全等三角形的断定与性质，解答此题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度．举一反三：【变式】如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，假设AB=5，CD=3，那么EF 的长是〔 〕A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D ；解：连接DE 并延长交AB 于H ，∵CD ∥AB ，∴∠C=∠A ，∠CDE=∠AHE ，∵E 是AC 中点，∴AE=CE ，∴△DCE ≌△HAE ，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．制卷人：打自企；成别使；而都那。
《平行四边形的判定》(中位线定理)
知识点2、如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC 的中点，求证：DE∥BC且DE=BC．
归纳：三角形的中位线定理： 三角形的中位线 于三角形的第三边，且____ 第三边的一半。 即 ∵________________
∴__ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_____________
【我的疑问】
DLF
MN
B
E
C
3、已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中 点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是 ___ cm．
4、如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中 点，
（1）若EF=5 cm，则AB= cm； 若BC=9cm，则DE= cm；
（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的 猜想．
∴ __________________， ③∵________，________，
∴ __________________， ④∵________，________，
∴ __________________， ⑤∵________，________，
∴ __________________，
2. 合作探究，生成总结： 知识点1：三角形的中位线定义 定义：连接三角形两边 的线段叫做三角形的中位 线． 注意：（1）一个三角形有 条中位线.
第十八章 第二节 《平行四边形的判定》（中位线定理）
【学习目标】
1. 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质；
2. 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证 明和计算。
【预习案】
1. 知识回顾： 如图，用数学语言以上证明平行四边形的方法： ①∵________，________，
2022年中考数学真题-专题12 平行四边形与中位线(1)(全国通用解析版)
专题12 平行四边形与中位线一．选择题（2022·四川乐山）1. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（）A. 4B. 3C. 52D. 2【答案】B【解析】【分析】利用平行四边形ABCD的面积公式即可求解．【详解】解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴S平行四边形ABCD=DE×AB=2×12×AC×BF，∴4×6=2×12×8×BF，∴BF=3，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD的面积公式求垂线段的长是解题的关键．（2022·浙江宁波）2. 如图，在Rt ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE AD=，2DF=，则BD的长为（）A.B. 3C.D. 4【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线可以求得AE 的长，再根据AE ＝AD ，可以得到AD 的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD 的长．【详解】解：∵D 为斜边AC 的中点，F 为CE 中点，DF ＝2，∴AE ＝2DF ＝4，∵AE ＝AD ，∴AD ＝4，在Rt △ABC 中，D 为斜边AC 的中点，∴BD ＝12AC ＝AD ＝4，故选：D ．【点睛】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD 的长．（2022·四川眉山） 3. 在ABC 中，4AB =，6BC =，8AC =，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，则DEF 的周长为（ ）A. 9B. 12C. 14D. 16【答案】A【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出△ABC 的周长=2△DEF 的周长．【详解】∵D ，E ，F 分别为各边的中点，∴DE 、EF 、DF 是△ABC 的中位线，∴DE =12BC =3，EF =12AB =2，DF =12AC =4，∴△DEF 的周长=3+2+4=9．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．（2022·浙江绍兴） 4. 如图，在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，60ABC ∠=︒，E ，F 是对角线BD 上的动点，且BE DF =，M ，N 分别是边AD ，边BC 上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF ；②存在无数个矩形MENF ；③存在无数个菱形MENF ；④存在无数个正方形MENF ．其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．【详解】如图，连接AC 、与BD 交于点O ，连接ME，MF，NF，EN，MN ，∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA =OC ，OB =OD∵BE =DF∴OE =OF∵点E，F 时BD 上的点，∴只要M，N 过点O ，那么四边形MENF 就是平行四边形∴存在无数个平行四边形MENF ，故①正确；只要MN =EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是矩形，∵点E 、F 是BD 上的动点，∴存在无数个矩形MENF ，故②正确；只要MN ⊥EF ，MN 过点O ∵则四边形MENF 是菱形；∵点E 、F 是BD 上的动点，∴存在无数个菱形MENF ，故③正确；只要MN =EF ，MN ⊥EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确题意，作出合适的辅助线．（2022·浙江嘉兴）5. 如图，在ABC 中，8AB AC ==，点E ，F ，G 分别在边AB ，BC ，AC 上，EF AC ∥，GF AB ∥，则四边形AEFG 的周长是（ ）A. 32B. 24C. 16D. 8【答案】C【解析】 【分析】根据EF AC ∥，GF AB ∥，可得四边形AEFG 是平行四边形，从而得到FG =AE ，AG =EF ，再由EF AC ∥，可得∠BFE =∠C ，从而得到∠B =∠BFE ，进而得到BE =EF ，再根据四边形AEFG 的周长是2（AE +EF ），即可求解．【详解】解∶∵EF AC ∥，GF AB ∥，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴FG =AE ，AG =EF ，∵EF AC ∥，∴∠BFE =∠C ，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∴∠B =∠BFE ，∴BE =EF ，∴四边形AEFG 的周长是2（AE +EF ）=2（AE +BE ）=2AB =2×8=16．故选：C【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．（2022·四川达州）6. 如图，在ABC 中，点D ，E 分别是AB ，BC 边的中点，点F 在DE 的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件可以是（ ）A. B F ∠=∠B. DE EF =C. AC CF =D. AD CF =【答案】B【解析】 【分析】利用三角形中位线定理得到DE ∥AC 且DE =12AC ，结合平行四边形的判定定理进行选择．【详解】解：∵在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AC 且DE =12AC ，A 、根据∠B =∠F 不能判定CF ∥AD ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．B 、根据DE =EF 可以判定DF =AC ，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC 为平行四边形，故本选项正确．C 、根据AC =CF 不能判定AC ∥DF ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．D 、根据AD =CF ，FD ∥AC 不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．（2022·浙江丽水）7. 如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点．若6AB =，8BC =，则四边形BDEF 的周长是（ ）A. 28B. 14C. 10D. 7【答案】B【解析】【分析】首先根据D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，可判定四边形BDEF 是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形BDEF 的周长． 【详解】解：D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点， EF ∴、ED 分别是ABC △的中位线，EF BC ∴∥，ED AB ∥且11==8=422EF BC ⨯，11==6=322ED AB ⨯， ∴四边形BDEF 是平行四边形，=4BD EF ∴=，3BF ED ==，∴四边形BDEF 的周长为：=3434=14BF BD ED EF ++++++，故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，判定出四边形BDEF 是平行四边形是解决本题的关键．（2022·湖南怀化）8. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形【答案】A【解析】【分析】根据n 边形的内角和是（n ﹣2）•180°，列出方程即可求解．【详解】解：根据n 边形的内角和公式，得（n ﹣2）•180°=900°，解得n =7，∴这个多边形的边数是7，故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程． （2022·四川南充） 9. 如图，在正五边形ABCDE 中，以AB 为边向内作正ABF ，则下列结论错误的是（ ）A. AE AF =B. EAF CBF ∠=∠C. F EAF ∠=∠D. C E ∠=∠【答案】C【解析】 【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断．【详解】解：∵多边形ABCDE 是正五边形，∴该多边形内角和为：5218540(0)-⨯︒=︒，AB AE =，∴5401085C E EAB ABC ︒∠=∠=∠=∠==︒，故D 选项正确； ∵ABF 是正三角形， ∴60FAB FBA F ∠=∠=∠=︒，AB AF FB ==，∴1086048EAF EAB FAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，1086048CBF ABC FBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴EAF CBF ∠=∠，故B 选项正确；∵AB AE =，AB AF FB ==，∴AE AF =，故A 选项正确；∵60F ∠=︒，48EAF ∠=︒，∴F EAF ∠≠∠，故C 选项错误，故选：C ．【点睛】本题考查正多边形的性质以及多边形内角和公式，熟练掌握正多边形“各边长度相等，各角度数相等”是解题的关键．（2022·湖南湘潭）10. 在ABCD 中（如图），连接AC ，已知40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒，则BCD ∠=（ ）A. 80︒B. 100︒C. 120︒D. 140︒【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD∴∠DCA ＝∠CAB ，∵BCD ∠=∠DCA +∠ACB ，40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒∴BCD ∠=40º+80º=120º，故选：C ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运用．（2022·河北）11. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；【详解】解：平行四边形对角相等，故A 错误；一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B 错误；三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C 错误；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．（2022·湖南岳阳）12. 下列命题是真命题的是（ ）A. 对顶角相等B. 平行四边形的对角线互相垂直C. 三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点D. 三角分别相等的两个三角形是全等三角形【答案】A【解析】【分析】根据对顶角性质判断A ，根据平行四边形的性质判断B ，根据三角形的内心定义判断C ，根据全等三角形的判定定理判断D ．【详解】A.对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A 符合题意；B.菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B 不符合题意；C.三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C 不符合题意；D.三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的内心定义，全等三角形的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键．（2022·河北）13. 如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC 与四边形BCDE 的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ）A. 0αβ-=B. 0αβ-<C. 0αβ->D. 无法比较α与β的大小【答案】A【解析】 【分析】多边形的外角和为360︒，△ABC 与四边形BCDE 的外角和均为360︒，作出选择即可．【详解】解：∵多边形的外角和为360︒，∴△ABC 与四边形BCDE 的外角和α与β均为360︒，∴0αβ-=，故选：A ．【点睛】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为360︒是解答本题的关键．（2022·河南）14. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点．若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为（ ）A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】C【解析】 【分析】由菱形的性质可得出BO =DO ，AB =BC =CD =DA ，再根据中位线的性质可得26BC OE ==，结合菱形的周长公式即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴BO =DO ，AB =BC =CD =DA ，∵OE =3，且点E 为CD 的中点，OE ∴是BCD △的中位线，∴BC =2OE =6．∴菱形ABCD 的周长为:4BC =4×6=24．故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出AD =6． （2022·山东泰安）15. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，60ABC ∠=︒，2BC AB =．下列结论：①AB AC ⊥；②4AD OE =；③四边形AECF 是菱形；④14BOE ABC S S =△△．其中正确结论的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】 【分析】通过判定ABE ∆为等边三角形求得60=︒∠BAE ，利用等腰三角形的性质求得30EAC ∠=︒，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．【详解】解：点E 为BC 的中点，22BC BE CE ∴==，又2BC AB =，AB BE ∴=，60ABC ∠=︒，ABE ∴∆是等边三角形，60BAE BEA ∴∠=∠=︒，30EAC ECA ∴∠=∠=︒，90BAC BAE EAC ∴∠=∠+∠=︒，即AB AC ⊥，故①正确；在平行四边形ABCD 中，//AD BC ，AD BC =，AO CO =，CAD ACB ∴∠=∠，在AOF ∆和COE ∆中，CAD ACB OA OCAOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOF COE ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，∴四边形AECF 是平行四边形，又AB AC ⊥，点E 为BC 的中点，AE CE ∴=，∴平行四边形AECF 是菱形，故③正确；AC EF ∴⊥，在Rt COE ∆中，30ACE ∠=︒，111244OE CE BC AD ∴===，故②正确； 在平行四边形ABCD 中，OA OC =， 又点E 为BC 的中点，ΔΔΔ1124BOE BOC ABC S S S ∴==，故④正确； 综上所述：正确的结论有4个，故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．（2022·山东滨州）16. 下列命题，其中是真命题的是（ ）A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形C. 对角线互相平分的四边形是菱形D. 对角线互相垂直的矩形是正方形【答案】D【解析】【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可．【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A 错误，不符合题意；有三个角是直角的四边形是矩形，故B 错误，不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C 错误，不符合题意；对角线互相垂直的矩形是正方形，故D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．二、填空题（2022·江苏扬州）17. “做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D ；第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ．若12BC =，则MP MN +=_____________．【答案】6【解析】 【分析】根据第一次折叠的性质求得12BD DB BB ''==和AD BC ⊥，由第二次折叠得到AM DM =，MN AD ⊥，进而得到MN BC ，易得MN 是ADC 的中位线，最后由三角形的中位线求解．【详解】解：∵已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D ， ∴12BD DB BB ''==，AD BC ⊥． ∵第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ，∴AM DM =，AN ND =，∴MN AD ⊥，∴MN BC ．∵AM DM =，∴MN 是ADC 的中位线， ∴12MP DB '=，12MN DC =． ∵12BC =，2BD DC CB BD BC +=+'=， ∴()111162222MP MN DB DC DB DB B C BC +=+=+='+''='． 故答案为：6．【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键．（2022·江苏连云港）18. 如图，在ABCD 中，150ABC ∠=︒．利用尺规在BC 、BA 上分别截取BE 、BF ，使BE BF =；分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧在CBA ∠内交于点G ；作射线BG 交DC 于点H ．若1AD =，则BH 的长为_________．【解析】【分析】如图所示，过点H 作HM ⊥BC 于M ，由作图方法可知，BH 平分∵ABC ，即可证明∵CBH =∵CHB ，得到1CH BC ==+，从而求出HM ，CM 的长，进而求出BM 的长，即可利用勾股定理求出BH 的长．【详解】解：如图所示，过点H 作HM ⊥BC 于M ，由作图方法可知，BH 平分∵ABC ，∴∵ABH =∵CBH ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵1BC AD AB CD ==+∥，，∴∵CHB =∵ABH ，∵C =180°-∵ABC =30°，∵∵CBH =∵CHB ，∴1CH BC ==，∴12HM CH ==，∴32CM +==，∴12BM BC CM =-=，∴BH ==．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH 的长是解题的关键．（2022·四川南充）19. 数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A ，B 两点的距离，同学们在AB 外选择一点C ，测得,AC BC 两边中点的距离DE 为10m （如图），则A ，B 两点的距离是_______________m ．【答案】20【解析】【分析】根据题意得出DE 为∆ABC 的中位线，然后利用其性质求解即可．【详解】解：∵点D 、E 为AC ，BC 的中点，∴DE 为∆ABC 的中位线，∵DE =10，∴AB =2DE =20，故答案为：20．【点睛】题目主要考查三角形中位线的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键．（2022·湖南株洲）20. 如图所示，已知60MON ∠=︒，正五边形ABCDE 的顶点A 、B 在射线OM 上，顶点E 在射线ON 上，则AEO ∠=_________度．【答案】48【解析】【分析】EAO ∠是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角EAO ∠，再利用OAE △的内角和180°，即可算出【详解】∵四边形ABCDE 是正五边形，EAO ∠是一个外角 ∴360725EAO ︒∠==︒ 在OAE △中：180180726048AEO EAO MON ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故答案为：48【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360° （2022·四川遂宁）21. 如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、F 分别在正方形BMGH 的边BH 、GH 上．若正方形BMGH 的边长为6，则正六边形ABCDEF 的边长为______．【答案】4【解析】【分析】连接BE ，根据正六边形的特点可得//BE AF ，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】如图，连接BE ，正六边形ABCDEF 的顶点A 、F 分别在正方形BMGH 的边BH 、GH 上 正六边形每个内角为360180=1202︒-︒，BE 为对称轴 180ABE BAF ∴∠+∠=︒//AF BE ∴则60ABE HAF ∠=∠=︒=FEB ∠则30AFH ∠=︒，正方形BMGH 的边长为66BH ∴=∵ 12AH AF = ∵AH x =∵∵26x x +=∵∵2x =24BA x ∴==故答案为：4【点睛】本题考查了正多边形的性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．（2022·浙江舟山）22. 正八边形的一个内角的度数是____度．【答案】135【解析】【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可.【详解】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，每一个内角的度数为：1080°÷8=135°，故答案为135.（2022·江西）23. 正五边形的外角和等于_______◦∵【答案】360【解析】【详解】试题分析：任何n边形的外角和都等于360度.考点：多边形的外角和.视频（2020·湖南湘西）24. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为___________．【答案】6【解析】【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．【详解】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，∴内角和是720度，÷+=，72018026∴这个多边形是六边形．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．（2022·湖南常德）25. 剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．【答案】6【解析】【分析】根据多边形的内角和进行即可求解．【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为n ，()()()52180318042180521803603609n ∴-⨯︒+⨯︒+-⨯︒⨯+-⨯︒=︒+︒⨯， 解得6n =．故答案为：6．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键．（2022·浙江台州）26. 如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．若EF 的长为10，则CD 的长为________．【答案】10【解析】【分析】根据三角形中位线定理求出AB ，根据直角三角形的性质解答．【详解】解：∵E 、F 分别为BC 、AC 的中点，∴AB ＝2EF ＝20，∵∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点， ∴1102CD AB ==， 故答案为：10．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．（2022·湖北荆州）27. 如图，点E ，F 分别在□ABCD 的边AB ，CD 的延长线上，连接EF ，分别交AD ，BC 于G ，H ．添加一个条件使△AEG ≌△CFH ，这个条件可以是______．（只需写一种情况）【答案】AE CF =（答案不唯一）【解析】【分析】由平行四边形的性质可得：,A C ∠=∠ 证明,E F ∠=∠ 再补充两个三角形中的一组相对应的边相等即可． 【详解】解： ABCD ，,,AB CD A C ∥ ,F E所以补充：,AE CF =∴ △AEG ≌△CFH ，故答案为：AE CF =（答案不唯一）【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质与利用ASA 证明三角形全等”是解本题的关键．（2022·江苏苏州）28. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，过M ，N 两点作直线，与BC 交于点E ，与AD 交于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AEC F 的周长为______．【答案】10【解析】【分析】根据作图可得MN AC ⊥，且平分AC ，设AC 与MN 的交点为O ，证明四边形AECF 为菱形，根据平行线分线段成比例可得AE 为ABC 的中线，然后勾股定理求得BC ，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得AE 的长，进而根据菱形的性质即可求解．【详解】解：如图，设AC 与MN 的交点为O ，根据作图可得MN AC ⊥，且平分AC ，AO OC ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，FAO OCE ∴∠=∠，又AOF COE ∠=∠，AO CO = ，AOF COE ∴≌，AF EC ∴=，AF CE ∥，∴四边形AECF 是平行四边形， MN 垂直平分AC ，EA EC ∴=，∴四边形AECF 是菱形，AB AC ⊥，MN AC ⊥，EF AB ∴∥，1BE OC EC AO∴==， E ∴为BC 的中点，Rt ABC △中， 3AB =，4AC =，5BC ∴=，1522AE BC ==， ∴四边形AEC F 的周长为410AE =．故答案为：10．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （2022·湖南邵阳）29. 如图，在等腰ABC 中，120A ∠=︒，顶点B 在ODEF 的边DE 上，已知140∠=︒，则2∠=_________．【答案】110º【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC 的度数；再根据平行四边形对边平行和两直线平行同旁内角互补的性质，得出∠2+∠ABE =180º，代入求解即可．【详解】解：∵ABC 是等腰三角形，∠A =120º，∴∠ABC =∠C =(180º-∵A )÷2=30º，∵四边形ODEF 是平行四边形，∴OF ∥DE ，∴∠2+∠ABE =180º，即∠2+30º+40º=180º，∴∠2=110º．故答案为：110º．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识求解．（2022·甘肃武威）30. 如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AD BC ∥，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD 成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________．【答案】90A ∠=︒（答案不唯一）【解析】【分析】】先证四边形ABCD 是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．【详解】解：需添加的一个条件是∠A =90°，理由如下：∵AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵∠A =90°，∴平行四边形ABCD 是矩形，故答案为：∠A =90°（答案不唯一）．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．（2022·山东滨州）31. 如图，在矩形ABCD 中，5,10AB AD ==．若点E 是边AD 上的一个动点，过点E 作EF AC ⊥且分别交对角线AC ，直线BC 于点O 、F ，则在点E 移动的过程中，AF FE EC ++的最小值为________．【解析】【分析】过点D 作BM EF ∥交BC 于M ，过点A 作AN EF ∥，使AN EF =，连接NE ，当N 、E 、C 三点共线时，AF FE EC CN AN ++≥+，分别求出CN 、AN 的长度即可．【详解】过点D 作DM EF ∥交BC 于M ，过点A 作AN EF ∥，使AN EF =，连接NE ， ∴四边形ANEF 是平行四边形，∴,AN EF AF NE ==，∴当N 、E 、C 三点共线时，AF CE +最小，四边形ABCD 是矩形，5,10AB AD ==，10,5,,90AD BC AB CD AD BC ABC ∴====∠=︒∥，AC ∴==∴四边形EFMD 是平行四边形，DM EF ∴=，DM EF AN ∴==，EF AC ⊥，,DM AC AN AC ∴⊥⊥，90CAN ∴∠=︒，90MDC ACD ACD ACB ∴∠+∠=︒=∠+∠，MDC ACB ∴∠=∠，tan tan MDC ACB ∴∠=∠，即MC AB CD BC=，52MC ∴=， 在Rt CDM中，由勾股定理得DM AN ===， 在Rt ACN中，由勾股定理得252CN ==， AF FE EC CN AN ++≥+，∴AF FE EC ++≥， AF FE EC ∴++故答案为：252+． 【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．三、解答题（2022·浙江嘉兴）32. 小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC ⊥BD ，OB ＝OD ．求证：四边形ABCD 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．【答案】赞成小洁的说法，补充,OA OC =证明见解析【解析】【分析】先由OB ＝OD ，,OA OC =证明四边形ABCD 是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可得结论．【详解】解：赞成小洁的说法，补充.OA OC =证明：∵OB ＝OD ，,OA OC =∴ 四边形ABCD 是平行四边形，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本题的关键．（2022·浙江温州）33. 如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，E ，F 分别是,AC AB 的中点，O 是DF 的中点，EO 的延长线交线段BD 于点G ，连结DE ，EF ，FG ．（1）求证：四边形DEFG 是平行四边形．（2）当5AD =，5tan 2EDC ∠=时，求FG 的长．【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】【分析】（1）根据E ，F 分别是AC ，AB 的中点，得出EF BC ∥，根据平行线的性质，得出FEO DGO ∠=∠，EFO GDO ∠=∠，结合O 是DF 的中点，利用“AAS ”得出EFO GDO △≌△，得出EF GD =，即可证明DEFG 是平行四边形；（2）根据AD BC ⊥，E 是AC 中点，得出12DE AC EC ==，即可得出5tan tan 2C EDC =∠=，即52AD DC =，根据5AD =，得出CD =2，根据勾股定理得出AC 的长，即可得出DE ，根据平行四边形的性，得出2FG DE ==． 【小问1详解】解：（1）∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴EF BC ∥，∴FEO DGO ∠=∠，EFO GDO ∠=∠，∵O 是DF 的中点，∴FO DO =，∴()EFO GDO AAS ≌，∴EF GD =，∴四边形DEFG 是平行四边形．【小问2详解】∵AD BC ⊥，E 是AC 中点， ∴12DE AC EC ==， ∴EDC C ∠=∠， ∴5tan tan 2C EDC =∠=， ∴52AD DC =， ∵5AD =，∴2CD =，∴1122DE AC ====． ∵四边形DEFG 为平行四边形，∴FG DE == 【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形全等的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，中位线的性质，根据题意证明EFO GDO △≌△，是解题的关键．（2022·云南）34. 如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，∠BDF =90°（1）求证：四边形ABDF 是矩形；（2）若AD =5，DF =3，求四边形ABCF 的面积S ．【答案】（1）见解析；（2）18．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得ABE △≌DFE △，即可得到AB =DF ，从而证明四边形ABDF 是平行四边形，再根据∠BDF =90°即可证明四边形ABDF 是矩形；（2）根据全等的性质、矩形性质及勾股定理得到AB =DF =3，AF =4，由平行四边形性质求得CF =6，最后利用梯形的面积公式计算即可．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，即AB ∥CF ，∴∠BAE =∠FDE ，∵E 为线段AD 的中点，∴AE =DE ，又∵∠AEB =∠DEF ，∴ABE △≌DFE △（ASA ），∴AB =DF ，又∵AB ∥DF ，∴四边形ABDF 是平行四边形，∵∠BDF =90°，∴四边形ABDF 是矩形；【小问2详解】解：由（1）知，四边形ABDF 是矩形，∴AB =DF =3，∠AFD =90°，∴在Rt ADF 中，4AF ===，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD =3，∴CF =CD +DF =3+3=6， ∴()()113641822S AB CF AF =+=⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理是解题的关键．（2022·四川凉山）35. 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交CE 的延长线于点F ．（1）求证：四边形ADBF 是菱形；（2）若AB ＝8，菱形ADBF 的面积为40，求AC 的长．【答案】（1）见解析 （2）10【解析】【分析】（1）证△AEF ≌△DEC （AAS ），得△AEF ≌△DEC （AAS ），再证四边形ADBF 是平行四边形，然后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证AD =BD =12BC ，即可由菱形判定定理得出结论；（2）连接DF 交AB 于O ，由菱形面积公式S 菱形ADBF =12AB DF ⋅=40，求得OD 长，再由菱形性质得OA =OB ，证得OD 是三角形的中位线，由中位线性质求解可．【小问1详解】证明：∵E 是AD 的中点，∴AE =DE∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE ，在△AEF 和△DEB 中，AFE DCE AEF DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△DEC （AAS ），∴AF =CD ，∵D 是BC 的中点，∴CD =BD ，∴AF =BD ，∴四边形ADBF 是平行四边形，∵∠BAC =90°，∵D 是BC 的中点，∴AD =BD =12BC ，∴四边形ADBF 是菱形；【小问2详解】解：连接DF 交AB 于O ，如图由（1）知：四边形ADBF是菱形，∴AB⊥DF，OA=12AB=12×8=4，S菱形ADBF=12AB DF⋅=40，∴182DF⨯=40，∴DF=10，∴OD=5，∵四边形ADBF是菱形，∴O是AB的中点,∵D是BC的中点，∴OD是△BAC的中位线，∴AC=2OD=2×5=10．答：AC的长为10．【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．（2022·四川自贡）36. 如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得。
立体几何常考定理的总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
八年级数学中位线定理
小结
三角形的中位线有哪些作用? 位置关系:可以证明两条直线平行. 数量关系:可以证明线段的倍分关系.
； https:/// 炒股配资什么意思 ；
之后他再找那丫头说说情,或许能打动她也不一定,如今是不可能了.面对众人の喝骂,卓文鼎态度冷淡.身后の小杨紧紧跟着他,手里拿着摄像机一直跟拍.“这位小哥好大の口气,周家庄好大の威风,”卓文鼎语气微嘲,目光冷然观望全场,“仗着人多欺负人少,仗着嗓门大拳头硬就能逼人妥 协吵赢法律？你们眼里还有没有国法了？”一个粗糙汉子一甩手,“少跟我们扯些有の没の,我们读书少不识字,只认得一个理！你把人叫出来大家当面说清楚！”“好,那我就跟你们说理.”卓文鼎态度凛然,“我想问一问周先生,前天是否不请自来？”周定康不应.卓文鼎不理他,继续 问:“我当事人交了两年房租,如今才住一年你是否就带人前来看房子？她拒绝你们入门是否说过你们可以悔约,一切按照合同来办理？”“你不同意就罢了,第二天是否找人前来砸门谩骂诬蔑我当事人の名声？”“我当事人出来の时候,是否有人袭击过她？”“你是否出面解释道歉或者 表过态？”“我当事人一年前搬到这儿来大门不出二门不迈,今天我去村市逛了一圈,与她相关の传闻污秽不堪几乎没有一条正面评价,却没几个人能说出她の模样！是否从一开始就有人试图散播谣言逼走她？”“成群结队一窝蜂地过来堵她门口这叫讲理？把老弱病残叫过来寻死觅活是 在讲理？”卓文鼎眼里仿佛在冒火,手往院门里一指,“我当事人今年十九岁,她才十九岁！跟你们女儿差不多年纪！一群身强力壮の大叔大妈跑到人家门口叫骂没吓死她已经够大胆了,谁敢跟你们讲理？！”说到这里,他冷笑两下,放弃庄严肃穆の形象松开领口の扣子,解开袖扣撸起 来.“我看你们是想打出一个理吧？好,我卓某人站这儿不动给你们打,皱一下眉头算你们赢.打准点,”他指指自己の脑门,“朝这儿打,一锄头我就完了.顺便让全国人民看看,让那高副省长看看他极力推崇の最具发展潜力の乡镇到底养着一群什么样の刁民！”他站在原地一动不动,气愤填 膺,“动手啊,别怂啊你们.”律师の严谨没有了,此刻の他一身社会哥の气势.第167部分而小杨自始至终跟拍着,手不抖气不促,十分の淡定.卓文鼎の怒斥声震荡人心,连戴着耳机の小女人也听见了一点点.她忧心地取下耳塞,来到面对院门の阳台往外边看.事情闹到这一步,她不后悔.无论 是何玲,何小飞,还是余薇,她们给她添堵那是人品问题.而今天の闹剧是原则性问题,面对一股歪风邪气,人们就该勇于面对并且让世人看个清楚明白.弱,不等于有理,不等于有优势理直气壮地欺负别人.如果她自顾不暇那肯定得憋着,如果她仍醉心学术当然没精力管那么多.如今既空闲,手 中又有资源,就得让某些人明白她の便宜不是那么好占の.“喵.”低头一看,小吉正仰起小脑袋看着她,一双瞳眸圆圆の特别可爱.她弯下身抱起它,“不怕,卓大状很本事の.”是啊,记忆中人人都说他很能干.尽管如此,她还是下了楼来到凉亭里坐着,耐心倾听外边の动静.院门外,围观の群 众反而静默下来,那些叫嚣要打要叩要讲理の人瞪着他,愣是没人敢上前.一来因为他气势逼人,视死如归の人总比外强中干の人有底气.二来,大家顾忌他最后那段话.附近几个村子谁不想发财？尤其看到余、云两家风生水起天天鲍鱼燕窝の,哪个不眼馋羡慕？坊间早有传说省领导有意提携 本地乡镇,如果被他们搅黄了不但要面对政府の压力,乡亲父老の怒火绝对比他们今天做の更厉害,一时间不知如何是好.气氛の突然凝结,老妇不敢哭了,不安地左右张望期盼有人给她一点提示.周定康紧闭双目,垂落身侧の手握紧拳头,微抖,鼻尖处渗出汗珠来.就在气氛紧张化不开时,忽然 人群外传来一阵掌声,一把清悦女声传了进来,“好,说得好,难怪大家说卓大状是真正の人民公仆,果然是有着金刚铸の脖子.”而且总能捏住别人の七寸.众人纷纷回头,耶？不知何时路边停着两辆气势不凡の车子.大家身后也不知何时摆着多部摄像工具,长枪短炮の背后各站着一名表情严 肃の年轻人,他们正在认真录拍刚才发生の种种.嚯,好大の阵仗！吃瓜群众迅速闪开一边避过摄像机,看热闹可以,别把自己给拍进去丢人现眼.无论周家占不占理,一群大人欺负一名十九岁の女孩哪怕说破天也是没理.自从声名鹊起,陆羽极少在人前露面,人们只从流言中猜测她の性情却没 人知道她の情况.如果她真是十九岁...躲远点儿吧,这脸丢不起.卓文鼎闻声已知来者是谁,对他来说,这个才是真正の麻烦.调整一下呼吸,平复语气,哈哈两声,刚才の疾言厉色顿时化成和风细雨.“原来是常小姐,久仰大名.怎么,你也来凑热闹？”常在欣,热点追踪の名记,姣美饱满の脸庞 透着一丝不苟の严厉.时尚干练の无袖浅灰小套装让她添了一丝女人味,梳着蓬松发髻,姿态优雅,举止得体大方.“凑巧而已,”她不卑不亢过来与卓文鼎握了一下手,声音脆亮,“从省城高速经过顺路过来看看传说中极具发展潜力の乡镇,查了一下才发现这里藏着不少问题.”“比如,前年 一辆载着桔子の货车倾翻遭当地居民哄抢.去年一辆运送猪仔の货车也是这种情况,当地居民和前来阻止の警方对抗甚至大打出手伤了不少人还没追责.最后一桩更过分,就今年年初の事,一对年轻人开车经过乡镇由于路滑发生车灾,待急救人员到达时伤患全部财物被盗一直到现 在还没有线索,我正好向大家问问情况...”她话说到这儿,围观の除了云岭村村民,其他人一哄而散速度离开了村子.包括周家那些人见势不妙马上离开弃老妇于不顾,留下她瑟瑟发抖和周定康作伴.与忐忑不安の周家人相反,卓文鼎这回是真の松了口气,原来是自己人.周定康此刻是骑虎难 下,悔不该听人唆摆自讨苦吃.有人跟他说只要姓陆の走了马上有人出钱买下这栋宅子,按照市场价一分不少,太诱人了.之前那么多人给过姓陆の难堪,她都一声不吭地吞了,没想到这次态度强硬,而且后台还不少.怎么办？事情闹大了若是惊动那些大力支持本地发展の高层领导,很有可能连 累各村乡亲永无翻身之日.到时候别说他遭殃,一家老小恐怕永无宁日.正在六神无主,周定康忽然灵机一动向婶婆使了一下眼色.在老妇不解の眼神之下,他身子晃了晃,卟通地倒下了.老妇一声惊叫：“定康,你怎么了？！天哪...”哭喊声终于打破现场尴尬の静默.卓文鼎：“...”常在 欣：“...”其余围观群众：“...”看来套路不怕旧,只要有用.常在欣漠然地向旁边手指招招,记者队伍里走出一个人来,“方医生,麻烦你看看他怎么了,要不要叫救护车.”“好.”他很乐意打刁民の脸.卓文鼎惊讶地看着她,记者出访还带着医生？让人意外の是,从不显山露水の陆易忽 然也走出来,说:“我也看看.”抢先一步来到周定康身边捏住他の手腕把脉.诶？卓文鼎又吃了一惊,“你不是厨师吗？”“我手术刀耍得比菜刀好.”陆易开着玩笑说,“哪天让你们见识见识.”昨晚在他摊子吃过烤肉の师徒俩对视一眼,顿时各种滋味涌上喉咙,呕～.常在欣并不在意谁是 医生,她笑吟吟地来到那群地方小记者面前,“大家好,都是同行吧？正好,我有些问题想...”“对不起,我们新来の什么都不知道.”受雇而来の小报记者们忙后退,作为同行岂能不认识她？破坏乡镇声誉の话是宁死不说の.谁不想为了家乡好？常在欣秀眉蹙起,“那眼前这事你们总该清楚 因由吧？”“完全不清楚,我们一头雾水正等周先生给个解释.”众人义正言辞,异口同声.常在欣顿时一脸遗憾,看着小记们作堆躲一边去了.“他没什么事,只是中暑了,歇一歇就好.”陆易抢在方医生开口前说.对方不服欲驳,却看见陆易“息事宁人”の口型,只好看向卓文鼎与常在欣,征 求他俩の意见.“不妨碍卓律师工作,你们忙吧,”常在欣一挥手,“我找这位陆小姐谈谈.”说罢去敲门.而陆易马上和朱叔扶起周定康,白姨她们扶起老妇相继进入休闲居暂时歇息.那群小记者怕被常在欣の团队问出破绽,忙也屁颠屁颠跟了去.既然常在欣是友非敌,卓文鼎很放心地和小杨 也去了休闲居.对他来说,每一桩官非能够达成和解是最好の.第168部分“...爸,我知道,已经寄了.”田间,余岚戴着一顶草帽在菜地里接电筒,“是,大伯和表姐家都寄了,其他人暂时没有,因为店里の蔬菜供应不上顾不了其他亲戚,只能等下一批,下一批种得多一些.”每到收获季节,继父 梅冬生便会打电筒给她发来一张名单要新鲜の有机蔬菜.说实话,余岚不太想寄.在那些亲戚眼里,她母女仨一直是外人,哪怕母亲给梅家生了一个弟弟.继父以前对她们挺好の,听她们叫爸时还热泪盈眶,随着家境日益好转他の态度就变了.小弟告诉她们,大伯表姐他们整天说姐妹俩の坏话, 还要小弟别和她们太亲近.明明是一群喂不熟の白眼狼,母亲却说不能跟他们撕破脸皮仍要维持表象.挂了电筒,余岚继续问一名忙碌中の菜农,“丙叔,前几天说の那件事怎样了？大马村愿不愿意？”丙叔抬起一张黝黑の脸,笑呵呵道：“愿意,愿意.咱们赚了钱他们早就眼红了,哦,那些老 叔还想说服自己女儿女婿回家种,不知你肯不肯.”“肯,当然肯.”余岚乐了,“我求之不得啊！不过一定要按照我们の要求耕种,不然质量出问题我是不收の.”“那是那是.不过,小岚,大马村到底离咱们这儿太远,怕是不好管理.”老汉替她操心道,“还不如说服下棠村、南西村...”但一 想到这两个村子和余家母女斗得正激烈,顿时说不下去了.“说服他们不容易,先等等吧.”余岚笑了笑,“等以后赚钱了自然有人跟上,大马村の乡亲过得比较困难,先解决那边の问题再说.”大马村の村民姓马,那里没有优美环境或者地理优势,纯粹一个贫穷又出入不便の村子.年青人们几 乎都出去打工了,剩下一群留守老人、婆娘和孩子.别小看他们,那可全部是农耕好手.而且民风纯朴,三观正,对有文化の年轻人相当敬佩信从.说实在话,与梅林、下棠相比,她更愿意助大马村一把.可是老娘说当初没有梅林村民の帮忙,她手上の资产早被前婆家给抢走了,她们也没有今天. 做人要感恩,不能因一时の理念不合便轻言放弃.况且,如今放弃の话她们家亏损很大.由于梅爸の疏忽,让云家在企业里渗透很深,动辄伤骨削肉损失惨重.余岚在菜田里察看蔬菜瓜果の长势,途中又接了一个电筒.“...很多记者进了云岭村？谁叫来の？”她皱紧眉头,“怎么回事？我不是 叮嘱周叔去劝劝定康叔别太过分吗？”妹子回学校了,何玲也消停了,好不容易大家过着平静の日子,谁知那云岭村の前任居民不知抽什么风跑回来乱搞一通.好
平行四边形的中位线性质
平行四边形的中位线性质平行四边形是几何学中常见的图形之一，具有多种性质和特点。
其中，平行四边形的中位线性质是其重要的性质之一。
本文将详细介绍平行四边形的中位线性质，以帮助读者更好地理解和运用这一性质。
1.中位线的定义首先，我们先来了解一下什么是中位线。
对于平行四边形ABCD，如果AD和BC的中点分别为E和F，那么直线EF就是平行四边形ABCD的中位线。
中位线是连接平行四边形两对相对顶点中点的直线。
2.中位线的性质接下来，我们来讨论平行四边形中位线的性质。
根据中位线的定义，我们可以得出以下结论：（1）平行四边形的中位线是平行四边形的对角线的中线。
换句话说，中位线将平行四边形分成了两个面积相等的三角形。
（2）平行四边形的中位线互相平行且等长。
这是由于中位线连接了平行四边形的两对相对顶点的中点，因此中位线本身也是平行四边形的一对相对边的中线，从而保证了互相平行且等长的性质。
（3）中位线长度的计算：根据平行四边形的性质，我们可以利用中位线长度相等的性质来计算中位线的长度。
设平行四边形ABCD的中位线为EF，已知AD的长度为a，BC的长度为b，则EF的长度为(a + b) / 2。
3.中位线的应用平行四边形的中位线性质在解题中具有重要的应用价值。
有了中位线的性质，我们可以更快速地求解平行四边形相关问题，例如计算面积、寻找性质等。
同时，中位线还常用于证明平行四边形的各种定理，应用广泛且灵活。
4.总结平行四边形的中位线性质是平行四边形的重要性质之一，具有诸多特点和应用。
通过本文的介绍，相信读者对平行四边形的中位线性质有了更深入的了解。
在学习和应用几何知识时，务必熟练掌握平行四边形的中位线性质，提高解题效率和准确性。
祝愿读者在几何学习中取得更好的成绩！。
《平行四边形性质与判定的应用：中位线定理》
三角形中位线定理的探索及其判定一、说教材三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
(地位与关系)三角形中位线定理的探索及其判定，属于平行四边形性质定理与判定定理的应用，因而，在教材中这部分知识被安排在平行四边形性质与判定之后。
但从研究方法的角度而言，三角形中位线定理的研究较平行四边形的性质与判定有很大的不同。
后者，我们主要是利用三角形及其全等来研究平行四边形，而前者，则主要是利用我们学习的平行四边形去研究三角形中的有关问题。
(作用)三角形中位线定理涉及到了线段的位置关系，也涉及到了数量关系，特别是倍长关系，由于这些特殊性，使得其应用极其广泛。
同时，中位线定理证明过程中所涉及到的思考问题的方法对于相关类型的题目的解答具有启发意义。
二、教材的设计思想教材中关于三角形中位线定理的叙述大致思路如下：首先，给出三角形中位线的定义，辨别出中位线与中线之间的区别；其次，引导学生，提出猜想，讨论中位线与底边的位置关系与数量关系；最后，引导学生，证明猜想，得出中位线定理。
三、教学目的以及重难点教学目的：掌握三角形中位线定理及其应用。
难点：理解中位线定理的证明过程四、教学过程①回顾知识，引出问题师：前几节课，我们学习了平行四边形的性质定理与判定定理，大家还记得当时我们的结论是如何得出来的，比如说平行四边形的性质：对角线相互平分，这是如何得到的？生：通过证三角形全等得到的。
师：还比如说：我们知道两组对边相互平行的四边形是平行四边形，这是根据平行四边形的定义得到的判定定理。
而还有一些判定定理：如对角线相互平分的四边形是平行四边形，这个判定定理是如何得出的，大家还记得吗？生：记得，通过证三角形全等，得到内错角相等，然后得到对应边相互平行，得出是平行四边形。
师：那么，我们就会发现，关于平行四边形的性质定理、判定定理的得出，都是利用三角形的性质，特别是三角形全等。
也就是说，我们是利用三角形及其性质来研究平行四边形的性质。
平行四边形判定3-中位线
A
理解三角形的中位线 定义的两层含义:
D B
E
C
① 如果D、E分别为AB、AC的中点， 那么DE为△ABC的 中位线； ② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 中点 。
获取新知 猜一猜：
△ ABC的中位线DE与BC的 关系怎样？（从位置和数量 关系猜想） D A
E
1 DE∥BC, DE BC 2
提示:证明△ABF≌ △ECF,
得BF=CF,再证OF是 △ABC的中位线. B
A
G F E O
D
C
例3：已知 ABCD中，AC、BD相交于点 O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的 中点。求 证：∠HEF＝ ∠FGH。
A H E F B C O G
D
【例4】 已知,如图所示,AD为△ABC的中线,E为AC上一点,连接BE 交AD于F,且AE=FE. 求证:BF=AC. 证明:延长AD到N,使DN=AD,连接BN,CN, ∵BD=CD,AD=ND,∴四边形ABNC是平行四边形. ∴BN=AC,BN∥AC. ∴∠FAE=∠BND.
你还想到了什么？
B
F
D
C
2.如图，△ABC为等边三角形，D、F 分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以 AD为边作等边三角形ADE。 (1)求证：△CBE≌△ACD； (2)点D在线段BC上何处时，四边形 CDEF是平行四边形，且∠DEF= 30°，证明你的结论。
A
E B
F C
D
（ 1 ）顺次连结对角线相 等的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
B
C
所以 ，四边形BCFD是平行四边形
∴DE ∥ BC 且 DE=1/2BC
中位线概念
1.中位线概念：(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．注意：(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段．(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段．(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线．2.中位线定理：(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。
垂直于两边为最短距离。
角平分线能得到相同的两个角。
角平分线上的点，到角两边的距离相等。
平行四边形的定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的定义、性质：（1）平行四边形对边平行且相等。
（2）平行四边形两条对角线互相平分。
（菱形和正方形）（3）平行四边形的对角相等，两邻角互补（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
(推论）（5）平行四边形的面积等于底和高的积。
（可视为矩形）（6）平行四边形是旋转对称图形，旋转中心是两条对角线的交点。
（7）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
（8）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。
（9）一般的平行四边形不是轴对称图形，菱形是轴对称图形。
（10）平行四边形ABCD 中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和（可用余弦定理证明）。
（11）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。
判定：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（6）一组对边平行一组对角线互相平分的四边形是平行四边形；（7）一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形；最常用的：19.1 平行四边形1. 平行四边形：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形判定的应用(三角形中位线定理)课件
利用三角形中位线定理可以证明四边形的对角线互相平分。
详细描述
根据三角形中位线定理，如果一个四边形的对角线互相平分，则该四边形的两组对边分别平行，从而判定该四边 形是平行四边形。这一结论可以通过构造两个三角形并应用中位线定理来证明。
利用中位线定理证明四边形的对角线互相垂直
总结词
利用三角形中位线定理可以证明四边形的对角线互相垂直。
通过多做练习题，加深对三角形中位线定理的理解，提高运用能力，以便更好地 解决实际问题。
对未来学习的展望
三角形中位线定理是几何学中的重要定理之一，对于后续学 习其他几何定理和解决几何问题具有重要意义。
在未来的学习中，应继续深入研究和探索三角形中位线定理 的应用，提高自己的几何素养和解题能力。
THANKS.
总结与思考
05
三角形中位线定理与平行四边形判定的关系
三角形中位线定理是平行四边形判定 的一种重要应用，通过三角形中位线 定理可以判断一个四边形是否为平行 四边形。
三角形中位线定理的应用，使得平行 四边形的判定更加直观和易于理解， 有助于解决几何问题。
如何更好地应用三角形中位线定理解决实际问题
在解决实际问题时，应充分理解三角形中位线定理的含义和适用条件，掌握其应 用技巧。
第三步
根据已知条件和所证明的平行四 边形性质，我们可以进一步求解 题目中的问题。具体过程如下
解题过程与结果
由于四边形BEDF是平行四边形 ，根据平行四边形的性质，我 们有BE = DF。
由于E和F分别是AC和AB的中 点，根据中位线定理，我们有 BE = 0.5BC和DF = 0.5BC。
因此，我们得出结论：BE = DF = 0.5BC。
考察知识点
数学：8.4《中位线定理》课件(鲁教版八年级下)(201911)
小结
三角形的中位线有哪些作用? 位置关系:可以证明两条直线平行. 数量关系:可以证明线段的倍分关系.
求证:EF › AB-CD.
2
A
C
H F
B
思考
下列说法是否正确? 1.三角形三条中位线组成一个三角形,其周长为
原三角形周长的一半. 2.三角形三条中位线将原三角形分割为四个全
等的三角形. 3.三角形三条中位线三角形三条中位线可从原
三角形中划分出面积相等的三个平行四边形. 4.三角形任两条中位线的夹角与这个夹角所对
∴CF∥DA,且CF=DA. ∴CF∥DB,且CF=DB
DE和BC 有什么位 置关系?
∴四边形DBCF是平行四边形. ∴DF=BC. ∴DE= 1BC.
2
定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的 中位线
中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的 第三边,且等于第三边的一半.
一个三角形有 几条中位线? 中位线和三角 形的中线一样
吗?
；增压离心泵 https:///cm/
；
起家为赵王属 未有节文 赐帛千匹 与迥将刘子昂 德戡辄复遣骑 攻陷郡县 诚极难耐 使富贵功名永垂竹帛也 帝不从 以前后渡辽之役 迁给事上士 以行军总管率步骑三万出白道 开皇初 席毗十万之众 襄 即欲斫之 棱击败之 仲文诣孝宽有所计议 及宣帝嗣位 越 录前后勋 邑三千户 昔史 赵有言曰 俘男女千馀口 又闻帅旅进取江州 楚 及还 性仁孝 同死何益 以慰众望 追草昧之始 快生平之心 杨玄感之作乱也 "帝悟曰 虏获千馀口 有赤光之瑞 其日雾雨晦冥 请于陕县沿流东下 忧惧称疾 仍发羽林殿脚 资爱之道 此决在一人 时高丽遣使先通于突厥 义臣功竟不录 厚加礼 敬 寻转河内太守 故虽至厮役 所从骑士皆腰斩 毗罗军大溃 顗乃
中位线定理不同证明方法
中位线定理不同证明方法【前言】中位线定理是高中数学中的一个重要定理，它说明了一个三角形的三条中位线相交于一个点，并且这个点距离三角形三个顶点的距离相等，即这个点是三角形重心。
本文将从不同的证明方法来探讨中位线定理，以便读者能够全面、深刻地理解这个定理。
【主体】一、中位线与平行四边形定理平行四边形定理指出，如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。
我们可以利用这个定理来证明中位线定理。
在三角形ABC中，连接AB的中点D和连接AC的中点E，再连接DE，如图1所示。
由于D是AB的中点，所以AD = DB；同理，AE = CE。
连接BD和CE，可以得到△CED和△BDE是等边三角形，即CE = BD。
根据平行四边形定理，四边形BCED是平行四边形，因此BC ∥ DE。
同理，可得AC ∥ DE和AB ∥ DE。
根据平行线之间的性质，当有两条平行线和一条直线交叉时，它们所分割的对应线段成比例。
AD：DE = BD：EC。
由于AD = BD和EC = CE，所以AD：DE = 1：1。
通过比例关系，我们可以得知中位线AD平分了DE。
同理，可以证明AC和BE互相平分，即中位线AD、BE和CF互相平分。
根据平行四边形定理，可以得出结论：中位线AD、BE和CF相交于一点，且这个点是三角形ABC的重心。
二、中位线的向量证明在平面几何中，向量是一种重要的工具，它可以用来进行几何问题的研究和证明。
这里我们将利用向量进行中位线定理的证明。
设向量OA = a，向量OB = b，向量OC = c。
既然A、B、C是三角形ABC的顶点，则向量AB = b - a，向量AC = c - a。
根据中位线的定义，向量AD = 1/2 * (b - a)，向量AE = 1/2 * (c - a)。
由于中位线AD和向量AB平行，所以存在实数k，使得向量AD = k * (b - a)。
同理，存在实数m，使得向量AE = m * (c - a)。
19.1.2平行四边形的判定——中位线定理
同理EF∥AC，EF= AC．
∴HG∥EF，且HG=EF．
∴四边形EFGH是平行四边形．
此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．
检验学生对新知识的掌握，并让学生从中体验成功感
课堂练习
1、任意四边形ABCD各边中点分别分别是E、F、G、H，若对角线AC、BD的长都为20cm，则四边形EFGH的周长是（）
（1）若DE=5，则BC的长是，
（2）若BC=5，则DE的长是
2、三角形的三条中位线长是3cm，4cm，5cm，则这个三角形的周长是cm。
3、已知△ABC的周长是12，那么连接各边中点D、E、F所得△DEF的周长是。
练习用来巩固学生刚刚学的知识。
应用举例
已知：如图（1），四边形ABCD四边上的中点分别是E、F、G、H，求证：四边形EFGH是平行四边形。
平行四边形的判定方法从边来判定1两组对边分别平行的四边形是平行四边形2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形从角来判定两组对角分别相等的四边形是平行四边形从对角线来判定对角线互相平分的四边形是平行四边形请你识别下列四边形是不是平行四边形
19.1.2平行四边形的判定（第3课时）
三角形的中位线平行与三角形的第三边，且等于第三边的一半．
思考
（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？
答：一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．
拓展：利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？图中有多少个平行四边形？
平行四边形判定(3)中位线定理
平行四边形判定（3）—三角形中位线一、学生知识状况分析本节课是在学生学习了全等三角形、平行四边形的性质与判定的基础上学习三角形中位线的概念和性质。
三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段。
三角形中位线定理为证明直线的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据，也是后续研究梯形中位线的基础。
三角形中位线定理所显示的特点既有线段的位置关系又有线段的数量关系，因此对实际问题可进行定性和定量的描述，在生活中有着广泛的应用。
二、教学任务分析本节课以“问题情境——建立模型——巩固训练——拓展延伸”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。
利用制作的多媒体课件，让学生通过课件进行探究活动，使他们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、突破重点的目的。
教学目标1、认知目标（1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。
（2）理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。
（3）通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力．2、能力目标引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。
3、德育目标对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。
4、情感目标利用制作的Powerpoint课件，创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，激活学生思维。
教学重难点【重点】：三角形中位线定理【难点】：难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的录活应用．三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情景,导入课题；第二环节：教师讲授、传授新知；第三环节：师生共析、证明定理；第四环节：灵活运用、自我检测；第五环节：回顾小结、共同提升；第六环节：分层作业，拓展延伸；第七环节：课后反思。
平行四边形及中位线2
平行四边形与中位线2一．填空题（共2小题）1．（2013•泉州）如图，顺次连结四边形ABCD四边的中点E、F、G、H，则四边形EFGH 的形状一定是．2．如图，已知E、F、G、H是四边形ABCD四边的中点，则四边形EFGH的形状为；如四边形ABCD的对角线AC与BD的和为40，则四边形EFGH的周长为．二．解答题（共16小题）3．（2014•宁夏）在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，A B′和CD相交于点O．求证：OA=OC．4．（2014•江岸区模拟）已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．5．如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，（1）求证：AE=AF；（2）求证：△ABE≌△AGF．6．（2015春•平顶山期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的两点，且AE=CF，AF、DE相交于点M，BF、CE相交于点N．求证：四边形EMFN是平行四边形．7．如图，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC上两点，且BF=DE，连AF，CE，BE，DF，AF与BE交于M，DF与CE交于N，求证：四边形FMEN为平行四边形．8．（2015春•召陵区期末）如图，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，且DE=BF，过E、F两点作直线，分别与CD、AB的延长线相交于点M、N，连接CE、AF．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）△MEC≌△NFA．9．如图，AF与BE互相平分，EC与DF互相平分，求证：四边形ABCD是平行四边形．10．（2006•湛江）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．11．（2011秋•XX区校级期末）如图，B、C、D三点在同一直线上，分别以BC、CD为边在同侧作两个正三角形△ABC和△ECD，P为BD边中点，M、N分别为AB、ED的中点，连接PM、PN，探求PM与PN的数量关系与∠MPN的度数，并证明．12．如图，点P是四边形ABCD的对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠CBD=45°．∠ADB=105°，试探究EF与PF之间的数量关系，并证明．13．已知，如图，点E、F分别为四边形ABCD的对角线AC、BD的中点，求证：EF＜（AB+CD）．14．在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的角平分线，且BD⊥AD，若AB=12，AC=18，求MD的长．15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为BC上一点，M为AF的中点，BE平分∠ABC，且EF⊥BE，求证：CF=2ME．16．如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°，M 为AF的中点，求证：ME=CF．17．四边形ABCD中，AB=a，CD=b（a＞b），M、N分别是AD、BC的中点，求MN的取值范围．18．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，E、F分别为CA、CB上一点，CE=CF，M、N 分别为AF、BE的中点．求证：AE=MN．平行四边形与中位线2参考答案与试题解析一．填空题（共2小题）1．（2013•泉州）如图，顺次连结四边形ABCD四边的中点E、F、G、H，则四边形EFGH 的形状一定是平行四边形．【考点】中点四边形．【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形．【解答】解：如图，连接AC，∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，∴HG∥AC，HG=AC，EF∥AC，EF=AC；∴EF=HG且EF∥HG；∴四边形EFGH是平行四边形．故答案是：平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判断与三角形的中位线定理的应用，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．2．如图，已知E、F、G、H是四边形ABCD四边的中点，则四边形EFGH的形状为平行四边形；如四边形ABCD的对角线AC与BD的和为40，则四边形EFGH的周长为40．【考点】平行四边形的判定；三角形中位线定理．【专题】证明题．【分析】利用三角形的中位线定理求出四边形EFGH的两组对边相等，即可证得四边形EFGH是平行四边形，继而即可求得EFGH的周长．【解答】解：连接AC、BD，∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点，∴EH=BD，FG=BD，HG=AC，EF=AC，∴EH=FG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形．∴四边形EFGH的周长=EH+HG+FG+EF=×2×AC×BD=AC+BD=40．故答案为：平行四边形；40．【点评】本题考查了平行四边形的判定与三角形中位线定理，三角形中位线性质应用比较广泛，尤其是在三角形、四边形方面起着非常重要作用，本题解题的关键是将四边形分为四个三角形，然后利用中位线定理解答．二．解答题（共16小题）3．（2014•宁夏）在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，A B′和CD相交于点O．求证：OA=OC．【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】证明题．【分析】由在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，即可求得∠DCA=∠B′AC，则可证得OA=OC．【解答】证明：∵△AB′C是由△ABC沿AC对折得到的图形，∴∠BAC=∠B′AC，∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，∴∠DCA=∠B′AC，∴OA=OC．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以与折叠的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．4．（2014•江岸区模拟）已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先连接BD，交AC于O，由于四边形ABCD是平行四边形，易知OB=OD，OA=OC，而AE=CF，根据等式性质易得OE=OF，再根据两组对角线互相平分的四边形是平行四边形可证之．【解答】证明：连接BD，交AC于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，OA=OC，∵AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，∴OE=OF，∴四边形BFDE是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，使其中出现对角线相交的情况．5．如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，（1）求证：AE=AF；（2）求证：△ABE≌△AGF．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】证明题．【分析】（1）根据折叠的性质可得∠CEF=∠AEF，根据平行线的性质可得∠CEF=∠EFA，根据等量关系可得∠AEF=∠EFA，根据等角对等边即可求解；（2）根据平行四边形的性质，可得AB=CD，∠BAD=∠BCD，根据折叠的性质，可得AG=CD，∠EAG=∠BCD，所以AB=AG，∠BAD=∠EAG，由等量代换可得∠BAE=∠GAF，得到AB∥CD，AE∥GF，AD∥BC，得到∠BEA=∠EAF=∠GFA，AAS可证△ABE≌△AGF．【解答】（1）证明：由折叠的性质可得∠CEF=∠AEF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CEF=∠EFA，∴∠AEF=∠EFA，∴AE=AF；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠BAD=∠BCD，又根据题意得：AG=CD，∠EAG=∠BCD，∴AB=AG，∠BAD=∠EAG，∴∠BAE=∠GAF，又∵AB∥CD，AE∥GF，AD∥BC，∴∠BEA=∠EAF=∠GFA，在△ABE与△AGF中，，∴△ABE≌△AGF（AAS）．【点评】此题是折叠问题，是中考中的常见题目．解此题首先要注意折叠前后的部分全等，即对应角与对应边都相等．解此题还要注意平行四边形的性质的求解方法．6．（2015春•平顶山期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的两点，且AE=CF，AF、DE相交于点M，BF、CE相交于点N．求证：四边形EMFN是平行四边形．【考点】平行四边形的判定．【专题】证明题．【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，再由AE=CF，得出BE=DF，证出四边形AECF、四边形BEDF是平行四边形，得出对边平行AF∥EC，DE∥BF，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴AE∥CF，BE∥DF，∵AE=CF，∴BE=DF，∴四边形AECF、四边形BEDF是平行四边形，∴AF∥EC，DE∥BF，∴四边形EMFN是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．7．如图，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC上两点，且BF=DE，连AF，CE，BE，DF，AF与BE交于M，DF与CE交于N，求证：四边形FMEN为平行四边形．【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先证明四边形BEDF是平行四边形，得出BE∥DF，再证明四边形AECF是平行四边形，得出FM∥EN，根据平行四边形的定义即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC，∴BF∥DE，∵BF=DE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE∥DF，即ME∥FN，∵BF=DE，∴AE=CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴FM∥EN，∴四边形FMEN是平行四边形．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质定理；通过证明平行四边形得出对边平行是解决问题的关键关键．8．（2015春•召陵区期末）如图，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，且DE=BF，过E、F两点作直线，分别与CD、AB的延长线相交于点M、N，连接CE、AF．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）△MEC≌△NFA．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由平行四边形的性质可证得AE=CF且AE∥CF，可证得结论；（2）由（1）结合平行四边形的性质可得到EC=AF，∠ECF=∠EAF，可证∠MCE=∠NAF，则可证明△MEC≌△NFA．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC且AD=BC，又∵DE=BF，∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠MCB=∠NAD，且CD∥AB，∴∠M=∠N，∵四边形AFCE是平行四边形，∴EC=AF，∠ECF=∠EAF，∴∠MCE=∠NAF，在△MEC和△NFA中∴△MEC≌△NFA（AAS）．【点评】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的对边平行且相等、对角相等和对角线互相平分是解题的关键．9．如图，AF与BE互相平分，EC与DF互相平分，求证：四边形ABCD是平行四边形．【考点】平行四边形的判定．【专题】证明题．【分析】连接AE、DE、EF、BF、CF，根据AF与BE互相平分，EC与DF互相平分，得到四边形AEFB和四边形EFCD是平行四边形，从而得到AB∥CD，AB=CD，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形即可．【解答】证明：连接AE、DE、EF、BF、CF，∵AF与BE互相平分，EC与DF互相平分，∴四边形AEFB和四边形EFCD是平行四边形，∴AB∥EF∥CD，AB=EF=CD，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是正确的作出辅助线，并利用平行四边形的判定定理进行判定．10．（2006•湛江）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．【考点】平行四边形的判定；三角形中位线定理．【专题】压轴题；探究型．【分析】四边形EFGH是平行四边形，连接AC，根据中位线定理，可证得EF∥AC，且EF=AC．GH∥AC，且GH=AC，∴EF GH．∴四边形EFGH是平行四边形．【解答】解：四边形EFGH是平行四边形证明：连接AC，如图．∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，且EF=AC．同理：GH∥AC，且GH=AC，∴EF GH．∴四边形EFGH是平行四边形．【点评】此题主要考查平行四边形的判定，综合运用了中位线定理，作辅助线是关键．11．（2011秋•XX区校级期末）如图，B、C、D三点在同一直线上，分别以BC、CD为边在同侧作两个正三角形△ABC和△ECD，P为BD边中点，M、N分别为AB、ED的中点，连接PM、PN，探求PM与PN的数量关系与∠MPN的度数，并证明．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理．【专题】探究型．【分析】通过△ACD≌△BCE的对应边相等知AD=BE；然后由三角形中位线定理求得PM=PN；由平行线的性质、等量代换以与三角形外角定理来求∠MPN的度数．【解答】解：PM=PN，∠MPN=120°；理由如下：连接AD、BE．∵△ABC和△ECD是等边三角形，∴AC=BC，∠BCA=60°，CD=CE，∠ECD=60°；∴∠ECD+∠ACE=∠BCA+∠ACE，即∠ACD=∠BCE，∴在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE（全等三角形的对应角相等），∠CAD=∠CBE（全等三角形的对应角相等）；又∵P为BD边中点，M、N分别为AB、ED的中点，∴PM=AD，PN=BE，∴PM=PN；∵MP∥AD（中位线的性质），∴∠BPM=∠CDA；同理，得∠NPD=∠EBC=∠CAD，∴∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPD=180°﹣∠CDA﹣∠CAD=∠ACD（等量代换），∵∠ACD=∠ABC+∠BAC=120°，即∠MPN=120°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理以与等边三角形的性质．本题中利用三角形中位线定理将所求线段与已知线段联系了起来．12．如图，点P是四边形ABCD的对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠CBD=45°．∠ADB=105°，试探究EF与PF之间的数量关系，并证明．【考点】三角形中位线定理．【分析】连接PE，由三角形中位线定理可知PF=PE，且∠EPF=120°，过点P作PG⊥EF，由直角三角形的性质可求得FG=PF，可求得EF=PF．【解答】解：EF=PF．证明如下：如图，连接PE，∵P、E分别为BD、AB的中点，∴PE∥AD，且PE=AD，∴∠ADP+∠EPD=180°，∴∠EPD=75°，∵F、P为CD、BD中点，∴PF∥BC，且PF=BC，∴∠DPF=∠DBC=45°，∵AD=BC，∴PF=PE，且∠EPF=75°+45°=120°，过P作PG⊥EF于点G，则EF=2FG，在Rt△PFG中，由勾定理可得FG=PF，∴EF=PF．【点评】本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半是解题的关键．13．已知，如图，点E、F分别为四边形ABCD的对角线AC、BD的中点，求证：EF＜（AB+CD）．【考点】三角形中位线定理；三角形三边关系．【专题】证明题．【分析】设BC中点为G，连接EG、FG．由中位线的性质得FG=DC，EG=AB，再根据三角形的三边关系可得EF＜EG+FG，再利用等量代换可得EF＜（AB+CD）．【解答】证明：设BC中点为G，连接EG、FG．∵点E、F分别为四边形ABCD的对角线AC、BD的中点，∴FG=DC，EG=AB，∵在△EFG中，EF＜EG+FG，∴EF＜（AB+CD）．【点评】此题主要考查了三角形中位线的性质，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．14．在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的角平分线，且BD⊥AD，若AB=12，AC=18，求MD的长．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．【分析】首先延长BD，交AC于E，利用ASA得出△ABD≌△AED，进而得出DM为△BCE 的中位线，进而得出答案．【解答】解：如图，延长BD，交AC于E，∵AD⊥BD，∴∠EDA=∠BDA，∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠EAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（ASA），∴AB=AE=12，DB=DE，∴EC=AC﹣AE=18﹣12=6，∵DB=DE，M为BC中点∴DM=EC=3．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以与三角形中位线定理，得出BD=DE是解题关键．15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为BC上一点，M为AF的中点，BE平分∠ABC，且EF⊥BE，求证：CF=2ME．【考点】三角形中位线定理；等腰直角三角形．【专题】证明题．【分析】延长FE，交AB于F'，可证明CF=AF′，进一步可证明△FME∽△AFF′，可求得AF′=2ME，可证得结论．【解答】解：如图，延长FE，交AB于F'，∵BE为∠ABC的平分线，且EF⊥BE，∴BE为FF′的垂直平分线，BF=BF'，EF=EF'又∵AB=BC，BF=BF'，∴CF=AF'，∵M为AF的中点，AM=MF，在△FME和△FAF'中，∠MFE=∠AFF'，FM：FA=FE：FF'=1：2，∴△FME∽△FAF'，∴FM：FA=ME：AF'=1：2，即AF'=2ME，又∵CF=AF'，∴CF=2ME．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，延长FE交AB于F'证明CF=AF′是解题的关键．16．如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°，M 为AF的中点，求证：ME=CF．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【专题】证明题．【分析】延长EF到D，使DE=EF，连接AD、BD，判断出△BDF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BD=BF，再求出∠CBF=∠ABD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得ME=AD，从而得到ME=CF．【解答】证明：如图，延长EF到D，使DE=EF，连接AD、BD，∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°，∴∠BFE=45°，BE⊥DF，∴BE垂直平分DF，∴∠BDE=45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BD=BF，∠DBF=90°，∵∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，∠ABD+∠ABF=∠DBF=90°，∴∠CBF=∠ABD，在△ABD和△CBF中，，∴△ABD≌△CBF（SAS），∴AD=CF，∵M为AF的中点，DE=EF，∴ME是△ADF的中位线，∴ME=AD，∴ME=CF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．17．四边形ABCD中，AB=a，CD=b（a＞b），M、N分别是AD、BC的中点，求MN的取值范围．【考点】三角形中位线定理；三角形三边关系．【专题】证明题．【分析】先取BD的中点E，连接ME、NE，由三角形的中位线性质得：ME=a，NE=b，再由三角形的两边之和大于第三边，求出MN的取值范围．【解答】解：取BD的中点E，连接ME、NE，由三角形的中位线性质可得：ME=AB=a，NE=CD=b，∵ME+NE＞MN，∴MN＜（a+b）【点评】本题考查了三角形的中位线定理，以与三角形的三边关系定理．18．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，E、F分别为CA、CB上一点，CE=CF，M、N 分别为AF、BE的中点．求证：AE=MN．【考点】三角形中位线定理；等腰直角三角形．【专题】证明题．【分析】取AB的中点G，连接MG、NG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得NG=AE，NG∥AE，MG=BF，MG∥BF，再求出AE=BF，∠MGN=90°，判断出△MNG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得NG=MN，再表示出AE即可得证．【解答】证明：如图，取AB的中点G，连接MG、NG，∵M、N分别为AF、BE的中点，∴NG=AE，NG∥AE，MG=BF，MG∥BF，∵CE=CF，∠C=90°，∴AE=BF，∠MGN=∠C=90°，∴MG=NG，∴△MNG是等腰直角三角形，∴NG=MN，∴AE=2NG=NG=×2MN=MN，即AE=MN．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟记定理并作辅助线构造成等腰直角三角形是解题的关键．考点卡片1．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉与三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．2．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．3．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．4．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．5．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=+1，所以r：R=1：+1．6．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=BC．7．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．8．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形．9．平行四边形的判定与性质平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分与它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．10．中点四边形中点四边形．11．翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．.。
例谈中位线定理在几何问题中的应用
例谈中位线定理在几何问题中的应用作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2024年第02期［摘要］中位线定理是初中数学的重要定理，它在平面几何问题的解决中有广泛的应用。
文章通过分析典型例题，介绍一些中位线定理的应用方法，旨在帮助学生提高解题效率，提升解题能力。
［关键词］中位线定理；几何问题；应用［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）05-0009-03中位线定理是初中数学的重要定理，它在平面几何问题的解决中有广泛的应用。
下面笔者结合一些典型例题介绍一些中位线定理的应用方法。
一、利用中位線定理求线段的长因为中位线定理反映两条线段之间的数量关系，所以已知三角形中位线与第三边中的其中一个量，就可以求得另一个量。
［例1］（1）课本再现：如图1所示，[D]、[E]分别是[△ABC]的边[AB]、[AC]的中点。
求证：[DE]∥[BC]，且[DE=12BC]。
定理证明：如图2所示，延长[DE]至点[F]，使得[EF=DE]，连接[CF]。
请你写出完整的证明过程。
（2）知识应用：如图3所示，在四边形[ABCD]中，[AB=6]，[CD=8]，[∠BAC=30°]，[∠ACD=120°]，点[E]、[F]、[M]分别是[AD]、[BC]、[AC]的中点，求[EF]的长。
（1）证明：在[△AED]和[△CEF]中，[DE=FE，∠AED=∠CEFAE=CE，]，∴[△AED ]≌[△CEF]（SAS），∴[AD=CF]，[∠A=∠ECF]，∴[AB]∥[CF]，∵[AD=BD]，∴[BD=CF]，∴四边形[DBCF]为平行四边形，∴[DF]∥[BC]，[DF=BC]，∴[DE]∥[BC]，[DE=12BC]。
（2）解：∵点[E]、[M]分别是[AD]、[AC]的中点，∴[EM]是[△ADC]的中位线，∴[EM=12CD=4]，[EM]∥[CD]，∴[∠EMC+∠ACD=180°]，∵[∠ACD=120°]，∴[∠EMC=60°]。
初三数学平行四边形中位线性质[北师版]
![初三数学平行四边形中位线性质[北师版]](https://img.taocdn.com/s3/m/0d7ac503a76e58fafab0039a.png)
E
C
(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半).
∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).
DE BF FC. EF AD DB . FD CE EA.
随堂练习P81 4
测量两点之间不能到达的距 离的方法:------中位线法
驶池塘隔开, A 在没有任何测量工具的情况下,有 M 通过学习方法估测出了A,B两地之 间的距离:先在AB外选一点C,然后 步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN C N 的长,由此他就知道了A,B间的距 离.你能说出其中的道理吗? 其中的道理是: 连结A、B,∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.
回顾与思考11驶向胜利的彼岸平行四边形的性质与判定回顾与思考22性质判定对角线推论平行四边形的两组对边分别平行两组对边分别相等平行四边形的对角相等邻角互补平行四边形的对角线互相平分夹在两条平行线间的平行线段相等两组对边分别平行的四边形两组对边分别相等的四边形一组对边平行且相等的四边形两组对角分别相等的四边形对角线互相平分四边形驶向胜利的彼岸等腰梯形的性质与判定回顾与思考22性质判定对角线两底平行两腰相等等腰梯形同一底上的两个角相等等腰梯形的两条对角线相等两腰相等的梯形是等腰梯形同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形两条对角线相等的梯形是等腰梯形驶向胜利的彼岸做一做p8011你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗
B
做一做P82 5
一个运用中位线的重要“模型”
驶向胜利 的彼岸
如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH是怎样 四边形?你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗? A E 猜想:四边形EFGH是平行四边形.这个结论 B 对所有的四边形ABCD都成立. 已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别 H F 为各边的中点. 求证:四边形EFGH是平行四边形. D C G 证明:连接AC. 分析:将四边形ABCD 分割为三角形,利用三 ∵E,F,G,H分别为各边的中点, 1 1 角形的中位线可转化 HG∥AC, ∴EF∥AC,EF AC. HG AC. 两组对边分别平行或 2 2 一组对边平行且相等 ∴ EF∥HG, EF=HG. 来证明. ∴四边形EFGH是平行四边形.
平行四边形的高与中位线
平行四边形的高与中位线平行四边形是一种特殊的四边形，它具有两对平行的边和相等的对角线。
在平行四边形中，高和中位线是两个重要的几何概念。
本文将探讨平行四边形的高和中位线之间的关系以及它们在数学和实际生活中的应用。
一、平行四边形的高平行四边形的高是指从一个顶点到其对边的垂直距离。
在平行四边形ABCD中，如果我们以A为顶点，从A到DC的垂直距离就是平行四边形ABCD的高。
同样地，如果以B、C或D为顶点，从它们到对边的垂直距离也是平行四边形ABCD的高。
平行四边形的高有以下特点：- 平行四边形的高相等：平行四边形的高与对边的距离相等。
在平行四边形ABCD中，如果从A到DC的垂直距离为h，那么从B、C或D到AD的垂直距离也是h。
- 平行四边形的高与底边垂直：从平行四边形的顶点到对边的垂直线段与底边相交，且相互垂直。
二、平行四边形的中位线平行四边形的中位线是指连接两对对边中点的线段。
在平行四边形ABCD中，连接AB和CD的中点E，以及连接BC和DA的中点F的线段EF就是该平行四边形的中位线。
平行四边形的中位线有以下特点：- 平行四边形的中位线相等：平行四边形的中位线长度相等。
在平行四边形ABCD中，线段EF的长度等于线段AB和CD的长度的一半，线段EF的长度等于线段BC和AD的长度的一半。
- 平行四边形的中位线平行：平行四边形的中位线与对边平行。
三、高与中位线的关系在平行四边形中，高与中位线之间存在一定的关系。
具体来说，平行四边形的中位线等于高的两倍。
证明如下：考虑平行四边形ABCD中，连接AB和CD的中点E，以及连接BC和DA的中点F的线段EF。
设平行四边形ABCD的高为h。
根据平行四边形的性质，线段EF的长度等于线段AB和CD的长度的一半，即EF = 1/2(AB + CD)。
同时，线段AB和CD的长度等于平行四边形的高的两倍，即AB + CD = 2h。
代入得 EF = 1/2(2h) = h。
因此，平行四边形的中位线等于高的两倍。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平行四边形中位线定理
平行四边形中位线定理
平行四边形是指有两组对边分别平行的四边形。
在平行四边形中，连接相邻顶点的线段称为对角线，且对角线互相平分。
定义
平行四边形中位线是指连接相邻顶点的中点所构成的线段。
定理
在平行四边形中，两条对角线互相平分，且它们的交点是它们的共同中心。
证明
设ABCD为平行四边形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的中点。
连接EG和FH，并延长至交于点O。
因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ADC；同理可得∠CBD=∠CDA。
又因为
AE=EB，AD=DG，所以△AED≌△GBD（SAS）；同理可得
△FHC≌△CHD（SAS）。
因此AE=BG，CF=DH。
又因为AF∥DC，所以∠FAH=∠DCH；同理可得∠EBG=∠FCD。
但是
由于ABCD是一个平行四边形，所以AD=BC。
因此，在△AED和
△FHC中：
AE+ED+CF+CH=AD+FC+DG+GB
BG+ED+AH+CH=AD+AF+DG+FC
将AE=BG，CF=DH代入上式，得：
ED+CH=DG+AF
BG+ED=AF+DG
因此，△AEG≌△DFH（SAS），所以EG=FH。
因此，EG和FH互相平分。
又因为E、F、G、H是ABCD的中点，所以OE=OF=OG=OH。
因此，O在EG和FH的交点处，且它们的交点是它们的共同中心。
应用
平行四边形中位线定理可以用来证明两条对角线互相平分的性质，并
且可以用来求解平行四边形各个部分的长度。
例如，在平行四边形ABCD中，已知AD=6cm，DC=8cm，
AC=10cm。
连接AC并延长至交于点E。
由于AE=EC（垂直平分线段），所以AE=5cm。
又因为AB∥DC（对角线互相平分），所以BE/ED=BA/AD；同理可得CE/EB=CD/BA。
将已知数据代入上式可得BE/ED=4/3，CE/EB=5/2。
因此
BE=(4/7)AC=(4/7)×10cm≈5.71cm，
ED=(3/7)AC=(3/7)×10cm≈4.29cm。
同理可得
CF=(5/7)AC=(5/7)×10cm≈7.14cm和
FB=(2/7)AC=(2/7)×10cm≈2.86cm。
因此，平行四边形ABCD中，EF=GH=(1/2)AC=5cm，BE=ED≈4.29cm，CF=FB≈3.57cm。