惠州市华杯赛初二测试题(含答案)-

惠州市华杯赛测试题二（初二）
1．圆上的100个点将该圆周等分为100段等弧. 随意将其中的一些点染成红点，要保证至少有4个红点是一个正方形的4个顶点.那么最少要染红个点。

解:至少要染红76个点.
如图所示：圆的一对直径AC，BD互相垂直时，则ABCD恰
是一个正方形. 反过来，如果圆上的四点A、B、C、D恰是一个
正方形ABCD的4个顶点，则对角线AC，BD恰是该圆的一对
互相垂直的直径. 圆上的100个点将该圆等分为100段等弧.恰有
25对互相垂直的直径，由互相垂直的直径的4个端点恰可构成25
个不同的正方形. 最不利的情形是：每对互相垂直的直径的4个
端点中染红3个点，则总计在圆的100个等分点中染红了75个点，
其中任意的4个红点都不是一个正方形的4个顶点.
这时，我们只要再染一个红点，即染76个红点，而76 =3×25+1，就必定会出现一个正方形的4个顶点都是红点. 因此，要保证至少有一个正方形的4个顶点为红点，至少要将这100个等分点中的76个点染成红点.
2．只有一个数码是6，且能被3整除的五位数共有_______个.
解:如果将6去掉，得到的4位数一定是3的倍数。

3的倍数中最大的4位数是9999，最小的4位数是1002，.
≥
≥
≥k
k一共3000个。

这3000个数中，至
9999≥
334
3
3333
1002
,
少有一位数是6的有1200个（个位数是6的有300个；十位是6的有300个，同样百位是6的有300个，千位是6的有300个）。

至少有两位数是6的有180个（个个位十位同时是6有30个；个位百位同时是6有30个；个位千位同时是6有30个；十位百位同时是6有30个；十位千位同时是6有30个；百位千位同时是6有30个）。

至少有三位数是6的有12个。

四位数都是6的有1个。

因此，4 为数中能被3整除，且不含数码6的数有
+
3000=
-
1200
-
+
(
个）。

180
1969
1
12
每一个这样的数有5个位置安插数码6，可以得到9845个数。

答。

9845个。

3.20)1(x (1+x)20除以1-x 2的余式.为_________________.
解:设(1+x)20除以1-x 2所得的商为Q(x), 余式为px+q, 则由带余除法恒等式得
(1+x)20=(1-x 2)Q(x)+px+q
令 x=1, -1分别代入上式, 得
220=p+q, 0=-p+q
解之得 p=q=219, ∴ 所求余式为219(x+1).
4．用大小相同的正六边形瓷砖按如图4所示的方式来铺
设广场，中间的正六边形瓷砖记为A ，定义为第一组，
在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖，定义
为第二组，在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷
砖来铺满，定义为第三组，…，按这种方式铺下去，
用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满_______组，
此时还剩余__________块瓷砖。

解：26；54 5. 甲、乙两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘
的条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪1万元，每年加工龄工资200元，B 公司，半年薪5000元，每半年加工龄工资50元，从经济收入的角度考虑的话，选择哪家公司有利一些？
解： 分别列出第一年、第二、……、第n 年的实际收入：
第一年：
A 公司：10000(元) （A 一年发一次薪；
B 半年发一次薪）
B 公司：5000+5050=10050(元)
第二年：
A 公司：10200(元)
B 公司：5100+5150=10250(元)
……
一般地，第n 年
A 公司：10000+(n-1)•200(元)
B 公司：[5000+(n-1)•100]+[5000+(n -1)•100+50]=10050+(n -1)•200
也就是说，在B 公司工作，永远比A 公司工作的年收入多50元，所以选择B 公司有利一些.
6. 已知ax +by =7, ax 2+by 2=49, ax 3+by 3=133, ax 4+by 4=406, 试求: 1995(x +y )+6xy -217(a +b )的值.
分析 ax 2+by 2可用ax +by , x +y , a +b , xy 的关系式表示出来, 类似地, ax 3+by 3可用ax 2+by 2, ax +by , x +y , xy 的关系式表示出来, ax 4+by 4可用ax 3+by 3, ax 2+by 2, x +y , xy 的关系式表
示出来, 再将已知条件代入, 即可求得x +y , xy , a +b 的值, 于是可以求出所要求的值.
解．. 因为 (ax +by )(x +y )=(ax 2+by 2)+xy (a +b )
(ax 2+by 2)(x +y )=(ax 3+by 3)+xy (ax +by )
(ax 3+by 3)(x +y )=(ax 4+by 4)+xy (ax 2+by 2)
所以 7(x +y )=49+xy (a +b ) (1)
49(x +y )=133+7xy (2)
133(x +y )=406+49xy (3)
由(2)、(3)解得 x +y =2.5, xy =-1.5
代入(1)得 a +b =21
∴ 1995(x +y )+6xy -2
17(a +b ) =1995×2.5+6×(-1.5)-2
1721⨯ =4987.5-9-178.5=4800.
7．每天早上，李刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步。

他们每天相向而行，并且准时在途中相遇。

有一天，李刚提早出门，因此比平时早7分钟与张大爷相遇。

已知李刚步行速度是70米 / 分，张大爷步行速度是40米 / 分。

问那一天李刚比平时早出门多少分钟？
解。

设平常相遇的时刻为0，那么这一天相遇的时刻是-7，设李刚平日在-t 时刻出门，大爷在-T 时刻出门。

则李、张二家的路程是
,4070))(0(40))(0(70T t T t L +=--+--=
设这一天李刚在-x 时刻出门，比平日早x-t 分钟。

因此，
),7(40)7(70))(7())(7(70-+-=---+---=T x T x L
比较以上两个式子，
.
11,770)(70,
40702804049070=-=-+=-+-t x t x T t T x
即李刚提前11分钟出门。

答:李刚提前11分钟出门。

8．n 个球放在3p+1个箱子中（可以放0个），无论怎样放都有4个箱子的球数一样多，若n 的最大值与n 的最小值的比为97
99，求n 的最大值。

解:当12
)1(3-+->p p p n 时，拿出3p 个箱子，每3个一组，p 个组，分别放入0，1，2，……,p-1个球，以共有
2)1(3-p p 个球，余下12)1(3->--p p p n 个球，全部放入最后一个箱子中。

这样就没有4个箱子有同样的球数。

当12
)1(3-+-=p p p n 时，都有4个箱子中的球数相同。

所以，12)1(3-+-=
p p p n 是最大值。

要使得n 最小，就得用3p 个箱子，每3个一组，p 个组，分别放入0，1，2，……,p-1个球，以共有2)1(3-p p 个球，余下一个箱子放0个球，一共2
)1(3-p p ，所以，n 的最小值是2
)1(3-p p 。

我们得到， 3(1)11512(1)2211,100.3(1)1503(1)32
p p p p p p p p p p
-+--==+=+=-- ∴3100(1001)100114949.2
n ⨯-=+-=的最大值。