svm算法公式

svm算法公式

SVM算法公式

支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种常用的机器学习算法，被广泛应用于分类和回归问题的解决中。它的核心思想是通过找到一个最优超平面来划分不同类别的数据点，从而实现分类的目标。

SVM算法的公式可以用如下方式表达：

1. 数据准备

假设我们有一个包含N个样本的训练集D={(x1, y1), (x2, y2), ... , (xN, yN)}，其中xi表示第i个样本的特征向量，yi表示第i个样本的类别标签。特征向量xi具有n个维度，即xi=(x1i, x2i, ... , xni)。

2. 寻找最优超平面

SVM的目标是找到一个最优超平面，使得该超平面能够最大化样本点到该超平面的间隔，并且能够正确地将不同类别的样本点分开。最优超平面可以用如下公式表示：

w·x + b = 0

其中，w表示超平面的法向量，b表示超平面的截距。w·x表示w 和x的内积。根据这个公式，我们可以将样本点分为两类：w·x + b > 0的样本点属于一类，w·x + b < 0的样本点属于另一类。

3. 线性可分情况

如果训练集D是线性可分的，即存在一个超平面完全能够将两类样本点分开，那么我们可以通过一个优化问题来求解最优超平面。优化问题可以用如下公式表示：

min 1/2 ||w||^2

s.t. yi(w·xi + b) ≥ 1, i=1,2,...,N

其中，||w||表示向量w的范数，yi表示第i个样本点的类别标签。这个优化问题的目标是最小化w的范数，同时满足所有样本点的分类约束条件。

4. 线性不可分情况

如果训练集D不是线性可分的，那么我们可以通过引入松弛变量(xi, ξi)来解决这个问题。松弛变量可以将样本点分类约束条件放宽，使得一些样本点可以位于超平面的错误一侧。此时，优化问题可以用如下公式表示：

min 1/2 ||w||^2 + C Σξi

s.t. yi(w·xi + b) ≥ 1 - ξi, i=1,2,...,N

ξi ≥ 0, i=1,2,...,N

其中，C是一个正则化参数，用来平衡最小化w的范数和最小化松弛变量的重要性。当C趋近于无穷大时，模型更加关注于分类的准确性；当C趋近于0时，模型更加关注于将样本点分离开。

5. 核函数的引入

在实际应用中，我们经常会遇到非线性可分的情况。为了解决这个问题，我们可以通过引入核函数来将样本点从原始的特征空间映射到一个高维的特征空间。这样，原本在低维空间中线性不可分的问题可能在高维空间中变为线性可分的问题。

核函数可以将两个样本点的内积计算转化为在高维特征空间中的计算，从而避免了实际进行高维特征空间的计算。常用的核函数有线性核、多项式核、高斯核等。

SVM算法通过找到一个最优超平面来实现分类的目标。它可以处理线性可分和线性不可分的情况，并通过引入核函数来解决非线性可分的问题。SVM算法在实际应用中表现出良好的性能，被广泛应用于图像分类、文本分类、生物信息学等领域。