高一数学教案：实际问题的函数建模
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本文题目：高一数学教案：自建函数模型解决实际问题第二课时自建函数模型解决实际问题课前预习学案一、预习目标：知道5种基本初等函数及其性质二、预习内容：函数图像定义域值域性质一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数三.提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标：能够通过题意，自建模型，解决实际的问题学习重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。
学习难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。
二、探究过程：例1、某桶装水经营部每天的房租、工作人员等固定成本为200元，每桶水的进价是5元。
销售单价与日销售量的关系如图所示:销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12日均销售量/桶 480[来 440 400 360 320 280 240请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润?探索以下问题：(1)随着销售价格的提升，销售量怎样变化?成一个什么样的函数关系?(2)最大利润怎么表示?润大利润=收入-支出本题的解答过程：解：本题总结例2.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表(身高：cm;体重：kg)身高 60 70 80 90 100 110体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50身高 120 130 140 150 160 170体重 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.051) 根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。
高中数学北师大版必修1-2_实际问题的函数建模_教学设计_教案教案
教学准备1. 教学目标1．了解数学建模的过程，进一步感受函数与现实世界的联系，强化用数学方法解决实际问题的意识．2．尝试用函数刻画实际问题，通过研究函数的性质解决实际问题．2. 教学重点/难点重点：理解问题背景，建立合理的相关函数解析式，应用函数与方程、不等式的相关知识来解决实际问题．难点：理解题意，把实际问题抽象、概括得到合理的数学模型．3. 教学用具4. 标签教学过程导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105 m，g(20)＝2 m.也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解．思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图像性质，本节我们通过实例比较它们的应用．推进新课①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力，湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数.④分别用表格、图像表示上述函数.⑤指出它们属于哪种函数模型.⑥讨论它们的单调性.⑦继续扩大x的取值范围，比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型？活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．①总价等于单价与数量的积．②面积等于边长的平方．③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、…….④列表画出函数图像．⑤引导学生回忆学过的函数模型．⑥结合函数表格与图像讨论它们的单调性．⑦让学生自己比较并体会．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型．讨论结果：①y＝x.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y＝logax＋b，我们把它叫作对数型函数．函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦认定是函数关系可以通过研究函数的性质把握问题，使问题得到解决．思路1例1 某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机．该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而未应用实例思路1例1 某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机．该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，可以认为平均库存量为x件，每个元件的库存费是一年2元．请核算一下，每年进货几次花费最小？解：无论分几次进货，公司进货的总数是8 000个元件，元件费用是固定不变的，影响总费用变化的量只是库存费和购货手续费，若想减少库存费，就要增加进货次数，而进货次数的增加又使手续费的总量增加了，这就需要将二者对总费用的影响用数学关系表示清楚，进而求最小的花费．设购进8 000个元件的总费用为F，一年总库存费为E，手续费为H，其他费用为C(C为常数)，则例2 电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由于对AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量．经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据(见下表)．现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系．解：我们取磁钢面积x为横坐标、用胶量y为纵坐标，建立直角坐标系．根据上表数据在直角坐标系中描点，得出图8.从图中我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近．画出这条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数y＝ax＋b表示用胶量与磁钢面积的关系．取点(56.6,0.812)，(189.0,2.86)，将它们的坐标代入y＝ax＋b，点评：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．例3 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图像，通过观察函数的图像，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.0022的图像(图9)．观察函数的图像，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y＝1.002x，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1 000]上递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x＝1 000时，y ＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．变式训练市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x＞0)，销售数量就减少kx%(其中k为正常数)．目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个．点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.思路2例1 某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置．设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)(单位：小时，可不为整数)．(1)写出g(x)，h(x)解析式；(2)比较g(x)与h(x)的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？解：(1)由题意，知需加工G型装置4 000个，加工H型装置3 000个，所用工人分别为x人，216－x人．例2 民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图11，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图12.(注：利润与投资单位：万元)(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式．(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元)变式训练某商场计划投入一笔资金采购一批紧销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓储费用700元，请根据商场情况，如何购销获利较多？设商场投资元，在月初出售，到月末可获利元，在月末出售，可获利元，则＝15%＋10%(＋15%)＝0.265，＝0.3－700.利用函数图像比较大小，在直角坐标系中，作出两函数的图像如图13所示，得两图像的交点坐标为(20 000，5 300)．由图像，知当x＞20 000时，y2＞y1.当x＝20 000时，y1＝y2；当x＜20 000时，y2＜y1.∴当投资小于20 000元时，月初出售；当投资等于20 000元时，月初、月末出售均可；当投资大于20 000元时，月末出售.光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k，通过x块玻璃以后强度为y.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的以下．(lg3≈0.477 1)。
高中数学函数应用模型教案
高中数学函数应用模型教案
目标：学生能够在实际问题中运用函数模型解决问题。
一、引入
1. 通过一个实际问题引入本节课的主题：如何利用函数模型解决实际问题。
2. 引导学生思考函数模型在日常生活中的应用和重要性。
二、概念讲解
1. 复习函数的概念：输入、输出、定义域、值域等。
2. 解释函数模型在解决实际问题中的作用：通过建立数学模型来描述实际情况，并利用函数求解问题。
3. 引入常见的函数模型：线性函数、二次函数、指数函数等，并解释其特点和应用场景。
三、案例分析
1. 给出一个实际问题，如某商品的需求量随时间变化的情况，要求学生建立相应的函数模型。
2. 引导学生分析问题，确定变量间的关系，并建立对应的函数模型。
3. 让学生利用函数模型解决问题，如预测未来需求量、制定合理的生产计划等。
四、练习与拓展
1. 针对不同类型的函数模型，设计练习题让学生巩固所学内容。
2. 拓展延伸，让学生探索更复杂的实际问题，并运用函数模型解决。
五、总结与展望
1. 总结本节课的主要内容，强调函数模型在解决实际问题中的重要性。
2. 展望下节课的内容，引入更多的实际问题让学生继续探索函数模型的应用。
以上是一份高中数学函数应用模型的教案范本，希朋针对实际教学情况做出适当调整。
高一数学教学案4.2实际问题的函数建模北师大版必修1
观察此表，
型号
特小型
小型
中型
大型
特大型
超大型
型号/(L/个)
5
14
33
45
76
92
规格/(个/包)
30
30
20
20
10
10
售价/(元/包)
75
210
330
450
380
460
发现该市在制定每包售价时，有一定的规则，如果现在按照这个规则制造一种新规格的垃圾袋，并以25个装成一包出售，设每个容量为xL。每包售价为y元，试确定x与y之间的关系。
四课后反思
五课后巩固练习
1.某人2007年1月1日到银行存入一年存款a元，若按年利率为x的复利计算，则到2012年1月1日可取回款（）
A B C D
2.老师今年用7200元买了一台笔记本。由于电子技术的飞速发展，计算机的价格每隔一年降低三分之一。三年后老师这台笔记本价值元。
3.某商场经营一批进价为12元/个的小商品。在4天的试销中，对此商品的销售单价x（元）与相应的日销量y(个)作了统计，其数据如下：
例：（1）正比例函数模型： (R为常数)
2.总结解决实际应用题的基本步骤
二师生互动
例1有甲乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式： ， ，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润。对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？
X
16
20
24
28
y
42
30
18
6
实际问题的函数建模教案
实际问题的函数建模教案第一章：引言1.1 课程目标让学生了解函数建模的基本概念，理解函数建模在实际问题中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
1.2 教学内容1.2.1 函数建模的定义与意义1.2.2 函数建模的步骤与方法1.2.3 函数建模在实际问题中的应用案例分析1.3 教学方法采用讲授法、案例分析法、小组讨论法等。
1.4 教学准备教材、多媒体设备、实际问题案例资料。
1.5 教学步骤1.5.1 导入新课：通过一个实际问题引出函数建模的概念。
1.5.2 讲解与演示：讲解函数建模的定义与意义，展示函数建模的步骤与方法。
1.5.3 案例分析：分析几个实际问题案例，让学生了解函数建模在实际中的应用。
1.5.4 小组讨论：让学生分组讨论，尝试运用函数建模解决实际问题。
第二章：线性函数建模2.1 课程目标让学生掌握线性函数建模的基本方法，能够运用线性函数解决实际问题。
2.2 教学内容2.2.1 线性函数的定义与性质2.2.2 线性函数建模的步骤与方法2.2.3 线性函数建模在实际问题中的应用案例分析2.3 教学方法采用讲授法、案例分析法、小组讨论法等。
2.4 教学准备教材、多媒体设备、实际问题案例资料。
2.5 教学步骤2.5.1 导入新课：通过一个实际问题引出线性函数建模的概念。
2.5.2 讲解与演示：讲解线性函数的定义与性质，展示线性函数建模的步骤与方法。
2.5.3 案例分析：分析几个实际问题案例，让学生了解线性函数建模在实际中的应用。
2.5.4 小组讨论：让学生分组讨论，尝试运用线性函数建模解决实际问题。
第三章：二次函数建模3.1 课程目标让学生掌握二次函数建模的基本方法，能够运用二次函数解决实际问题。
3.2 教学内容3.2.1 二次函数的定义与性质3.2.2 二次函数建模的步骤与方法3.2.3 二次函数建模在实际问题中的应用案例分析3.3 教学方法采用讲授法、案例分析法、小组讨论法等。
3.4 教学准备教材、多媒体设备、实际问题案例资料。
北师大版高中数学必修一教学案实际问题的函数建模
年级高一
学科数学
课题
实际问题的函数建模
授课时间
撰写人
学习重点
初步了解数学模型解决实际问题的过程
学习难点
实际问题抽象为数学问题的过程
学习目标
1.了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想
2.初步学会运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题
教学过程
一自主学习
1.写出我们已学习过的常见的函数模型
四课后反思
五课后巩固练习
1.某人2007年1月1日到银行存入一年存款a元，若按年利率为x的复利计算，则到2012年1月1日可取回款（）
A B C D
2.老师今年用7200元买了一台笔记本。由于电子技术的飞速发展，计算机的价格每隔一年降低三分之一。三年后老师这台笔记本价值元。
3.某商场经营一批进价为12元/个的小商品。在4天的试销中，对此商品的销售单价x（元）与相应的日销量y(个)作了统计，其数据如下：
例：（1）正比例函数模型： (R为常数)
2.总结解决实际应用题的基本步骤
二师生互动
例1有甲乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式： ， ，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润。对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？
例2某市实施“垃圾费用随袋征收”政策，垃圾袋的型号、规格及售价如表：
观察此表，
型号
特小型
小型
中型
大型
特大型
超大型
型号/(L/个)
5
14
33
45
76
92
规格/(个/包)
30
北师大版高中数学必修1《四章 函数应用 2 实际问题的函数建模 2.3 函数建模案例》优质课教案_6
《函数模型的应用实例》设计§3.2.2函数模型的应用实例（第二课时）教学设计一、教学内容解析1、本节课是普通高中课程标准实验教科书·数学必修1（人民教育出版社A版），3.2.2 函数模型的应用实例.（第二课时），属于“事实性知识”。
2、“函数模型的应用实例”是《函数的应用》这一章的核心内容，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽。
本节课是上一节“几类不同增长的函数模型”的延续和发展，同时又为今后的选修中的线性回归及大学将学习的曲线拟合做了一个铺垫。
它要求学生能够对现实情境中采集的数据借助计算机或图形计算器进行观察分析，选择较为接近的函数模型，结合实际问题比较模型的优劣，最后应用所选择的模型解决实际问题.这种建立函数模型，刻画现实问题的基本方法是学生必须掌握的，函数建模的方法和函数拟合的思想在现实生活中的应用是非常广泛并且及其重要的.它的出现既强化了学生应用数学的意识，提高了学生应用数学的能力又让学生感受到达到目标并不是一帆风顺的，需要我们有不怕挫折，勇于探索、不断尝试的精神及较强的团队意识。
3、本小节重点：（1）收集数据信息、拟合数据，建立函数模型解决实际问题.（2）初步形成用函数观点处理问题的意识.二、教学目标设置1、知识与技能：（1）会收集图表数据信息，能整理数据，会使用图形计算器.（2）能拟合函数解决实际问题.2、过程与方法：（1）体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法.（2）经历建立函数模型解决实际问题的过程，体会函数拟合、数形结合、函数方程、待定系数等数学思想方法.（3）通过转化实际应用问题为数学问题的过程，培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换、数学建模等数学能力.3、情感、态度与价值观：（1）培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，以及求真务实的科学态度.（2）通过整个解决实际问题的过程，认识到生活处处皆数学，并感受到通过分组讨论、合作交流获得成功带来的快乐.三、学生学情分析1、学生具备的认知基础：①已掌握一些基本初等函数相关知识②初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程③初步掌握了图形计算器和温度传感器的使用方法.2、有待提高的实际能力：①数形转化的意识有待加强.②从实际问题中抽象出数学问题的能力有待加强.3、教学难点: ①数据拟合②选择模型③求解模型.4、突破难点策略：借助图形计算器强大的拟合和解方程功能有效的进行了突破.对例1学生可能遇到的困难是：①不理解数据表格中销售单价与日均销售量的函数关系；②不会用销售单价x表示日均销售量和日均销售利润；③不能准确写出函数的定义域.④书写不规范.不说明x的含义. 面对这些困难我将采取学生讨论、相互评价和老师点评相结合的方式解决。
4.2实际问题的函数建模 教案 秋学期高中数学北师大版必修一
实4.2实际问题的函数建模际问题的函数建模学习目标：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.学习重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.学习难点：将实际问题转变为数学模型.知识点一 常见的函数模型自学导引在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合适的函数模型是解决这种关系的关键．怎样选择恰当的函数模型呢？问题1：在人口增长，复利计算中，选择什么样的函数模型呢？提示：指数函数模型．问题2：在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系是什么样的函数模型？ 提示：二次函数模型．问题3：在使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这里常要说的里氏震级M ，使用的是什么样的函数模型？提示：对数函数模型．新知自解常用到的函数模型：(1)正比例函数模型：y ＝kx (k ≠0)；(2)反比例函数模型：y ＝k x(k ≠0)； (3)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)；(4)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(5)指数函数模型：y ＝m ·a x ＋b (a >0，且a ≠1，m ≠0)；(6)对数函数模型：y ＝m log a x ＋c (m ≠0，a >0，且a ≠1)；(7)幂函数模型：y ＝k ·x n ＋b (k ≠0).知识点二 函数建模自学导引某公司拟投资100万元获利，打算5年后收回本金和利息，有两种获利方式可供选择：一种是年利率10%按单利计算；另一种是年利率9%按每年复利一次计算．问题1：按单利(每年的本金不变，均为最初的投资)计算，5年后收回的本金和利息是多少？提示：100×(1＋10%×5)＝150(万元)．问题2：按复利(今年的本金和利息全作为明年的本金)计算，5年后收回的本金和利息是多少？提示：100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．问题3：该公司应该选择哪种方式投资？提示：第二种．按复利投资．新知自解用数学眼光看问题，用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模，可以用图表示数学建模的过程．1．函数模型就是用函数知识对我们日常生活中普遍存在的实际问题进行归纳加工，运用函数的方法进行求解，最后实际问题得以解决．2．解函数应用题的步骤把握热点考向高频考点题组化考点一一次、二次、分段函数模型[例1]某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条拆线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示．(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P＝f(t)；写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q＝g(t)．(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg ，时间单位：天)[思路点拨] 本题由函数图像给出基本条件，解题时要抓住图像特征，抓住关键点的坐标，确定函数关系式解题．[精解详析] (1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋300，0≤t ≤200，2t －300，200<t ≤300.设g (t )＝a (t －150)2＋100(a ≠0)，将t ＝50，Q ＝150代入得a ＝1200. ∴g (t )＝1200(t －150)2＋100(0≤t ≤300)． (2)设纯收益为y 元，当0≤t ≤200时，y ＝f (t )－g (t )＝(－t ＋300)－[1200(t －150)2＋100] ＝－1200t 2＋12t ＋1752＝－1200(t －50)2＋100. 当t ＝50时，y 取到最大值，且最大值为100.当200<t ≤300时，y ＝f (t )－g (t )＝(2t －300)－[1200(t －150)2＋100]＝－1200t 2＋72t －1 0252＝－1200(t －350)2＋100.当t ＝300时取到最大，最大值为87.5.故从2月1日起第50天上市的西红柿纯收益最大．[一点通] 处理此类问题的一般思路是：认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图像、表格信息确定解析式，对于分段函数图像要特别注意虚实点，写准定义域，同时要注意它是一个函数．题组集训1．某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t (件)与每件的销售价x (元/件)可看成是一次函数关系：t ＝－3x ＋204.(1)写出商场卖这种服装每天的销售利润与每件的销售价x 之间的函数关系式(销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差)；(2)通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？解：(1)由题意，销售利润y 与每件的销售价x 之间的函数关系为：y ＝(x －42)(－3x ＋204)， 即y ＝－3x 2＋330x －8 568；(2)配方，得y ＝－3(x －55)2＋507.∴当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元．2．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只． 乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模最大？说明理由．解：(1)由图可知，直线y 甲＝kx ＋b 经过(1,1)和(6,2)，可求得k ＝0.2，b ＝0.8. ∴y 甲＝0.2(x ＋4)．同理可得y 乙＝4(－x ＋172)． 故第二年甲鱼池的个数为26个，平均生产量为1.2万只，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)；(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只；(3)设第x 年规模最大，即求y 甲·y 乙＝0.2(x ＋4)·4(－x ＋172)＝－0.8x 2＋3.6x ＋27.2的最大值．。
实际问题的函数建模教案
实际问题的函数建模教案第一章：引言1.1 课程目标：理解函数建模的概念和重要性。
掌握将实际问题转化为函数模型的基本方法。
1.2 教学内容：函数建模的定义和应用领域。
实际问题与函数模型的关系。
函数建模的基本步骤。
1.3 教学方法：讲授法：介绍函数建模的基本概念和方法。
案例分析法：通过实际案例展示函数建模的应用。
1.4 教学活动：导入：通过一个简单的实际问题引出函数建模的概念。
讲解：介绍函数建模的定义和应用领域。
案例分析：分析一个实际问题，展示如何将其转化为函数模型。
第二章：一次函数建模2.1 课程目标：理解一次函数的概念和性质。
学会使用一次函数建模解决实际问题。
2.2 教学内容：一次函数的定义和性质。
一次函数建模的方法和步骤。
一次函数在实际问题中的应用。
2.3 教学方法：讲授法：介绍一次函数的基本概念和性质。
案例分析法：通过实际案例展示一次函数建模的应用。
2.4 教学活动：讲解：介绍一次函数的定义和性质。
案例分析：分析一个实际问题，展示如何使用一次函数建模解决。
练习：让学生尝试解决一个一次函数建模的实际问题。
第三章：二次函数建模3.1 课程目标：理解二次函数的概念和性质。
学会使用二次函数建模解决实际问题。
3.2 教学内容：二次函数的定义和性质。
二次函数建模的方法和步骤。
二次函数在实际问题中的应用。
3.3 教学方法：讲授法：介绍二次函数的基本概念和性质。
案例分析法：通过实际案例展示二次函数建模的应用。
3.4 教学活动：讲解：介绍二次函数的定义和性质。
案例分析：分析一个实际问题，展示如何使用二次函数建模解决。
练习：让学生尝试解决一个二次函数建模的实际问题。
第四章：指数函数建模4.1 课程目标：理解指数函数的概念和性质。
学会使用指数函数建模解决实际问题。
4.2 教学内容：指数函数的定义和性质。
指数函数建模的方法和步骤。
指数函数在实际问题中的应用。
4.3 教学方法：讲授法：介绍指数函数的基本概念和性质。
案例分析法：通过实际案例展示指数函数建模的应用。
2019-2020年高中数学必修一《建模函数解决实际问题》教案
2019-2020年高中数学必修一《建模函数解决实际问题》教案 函数建模是利用所学的函数知识解决实际问题的一种实践。
即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题转化为函数问题，建立起函数模型，然后运用所学函数知识进行求解，最后将求出函数问题的解验证、讨论还原为实际问题的解，这个过程就叫函数建模。
其一般过程包括以下四个主要步骤：1．分析问题、作出假设：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种数量关系，用数学语言来描述问题。
根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
2．建立模型：根据问题的要求和假设，利用恰当的数学方法建立各量之间的函数关系。
3．求解函数模型：利用所学函数知识进行求解所建立的数学模型。
4．分析、检验函数模型的解，还原为实际问题的解。
请看下面例题：一、建立二次函数模型解决实际问题例1、 据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3 000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x ()0>x 万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高%2x ,而进入企业工作的农民的人均收入为a 3000元()0>a .（1）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大.解（1）由题意得()()3000100%213000100⨯≥+⋅⋅-x x即0502≤-x x ,解得500≤≤x .又∵0>x ,∴500≤<x .从而x 的取值范围为(]50,0。
(2)设这100万农民的人均年收入为y 元,则()()1003000%213000100ax x x y ++⨯⨯-=()10030000013000602+++-=x a x ()30001301062+++-x a x 。
实际问题的函数建模学生教案
1对1个性化辅导教案1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点求出具体的函数表达式，确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．(2)常用到的五种函数模型： ①直线模型：一次函数模型y ＝kx ＋b (k ≠0)，图像增长特点是直线式上升(x 的系数k ＞0)，通过图像可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y ＝kx (k ＞0)．②反比例函数模型：y ＝kx(k ＞0)型，增长特点是y 随x 的增大而减小．③指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (b ＞0，且b ≠1，a ≠0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b ＞1，a ＞0)，常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y ＝m log a x ＋n (a ＞0，a ≠1，m ≠0)型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢(底数a ＞1，m ＞0)．⑤幂函数模型，即y ＝a ·x n ＋b (a ≠0)型，其中最常见的是二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大(a ＞0)．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，分析图像特点，分析变量x 的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模(1)定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模． (2)过程：如下图所示．[小问题·大思维]1当t ＝3时，2t －2＝23－2＝6，t 2＝32＝4，由表格知当t ＝3时，u ＝4.04，模型u ＝t 2－12能较好地体现这些数据关系．[研一题][例1]某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表：(1)根据提供的图像，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；(2)根据表中提供的数据，确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．[悟一法]在用函数刻画实际问题的过程中，除了用函数解析式刻画外，函数图像也能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力．另外，本例题涉及到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型．[通一类]1．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由．(3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？[研一题][例2]我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[悟一法]用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：(1)解函数关系已知的应用题①确定函数关系式y＝f(x)中的参数，求出具体的函数解析式y＝f(x)；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．(2)解函数关系未知的应用题①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．[通一类]2．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售量就增加10个．为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？[研一题][例3]18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：使两x(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？某林区2012年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；(2)作出函数y＝f(x)的图像，并应用图像求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如OA延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB行至点B，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧BDC行至点C后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA行至点A后停止．设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)＝0)，则函数y＝S(t)的图像大致是()4.如图表示某人的体重与年龄的关系：①体重随年龄的增长而增加；②25岁之后体重不变；③体重增加最快的是15岁至25岁；④体重增加最快的是15岁之前．上述判断正确的是________(填序号)．5．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)(a为初始量)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只．6．某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；……，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75%销售．现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙店购买，则所需金额为y2元．(1)分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；(2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？一、选择题1．某产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数关系式为y＝3x＋4，则当产量为4时，利润y等于()A．4元B．16元C．85元D．不确定2．某中学的研究性学习小组为考察珠江口某小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回．设t为出发后的某一时刻，s为汽艇与码头在时刻t时的距离，下列图像中能大致表示s＝f(t)的函数关系的为()3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则x ，y 的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a ，b 为待定系数)( ) A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋bx4．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t (小时)的函数表达式是( )A ．x ＝60t ＋50t (0≤t ≤6.5)B ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t （0≤t ≤2.5）150（2.5＜t ≤3.5）150－50t （3.5＜t ≤6.5）C ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t （0≤t ≤2.5）150－50t （t ＞3.5） D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t （0≤t ≤2.5）150（2.5＜t ≤3.5）150－50（t －3.5）（3.5＜t ≤6.5）二、填空题5．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t (单位：天)的函数．日销售量为f (t )＝2t ＋100，价格为g (t )＝t ＋4，则该种商品的日销售额S (单位：元)与时间t 的函数关系式为S (t )＝________．6．一个高中研究性学习小组对本地区2010年至2012年快餐公司发展情况进行了调查，制成该地区快餐公司个数的函数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均情况条形图(如下图)．根据图中提供的信息，可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭________万盒．7．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10 m 处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6 m 时，球到达最高点，此时球高3 m ，已知球门高2.44 m ，________踢进球门(填“能”“否”)．8．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________．三、解答题9．为应对国际金融危机对企业带来的不利影响，2012年底某企业实行裁员增效，已知现有员工200人，每人每年可创纯利润1万元，据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人(被裁的员工)0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的34.设该企业裁员x 人后纯收益为y 万元．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围； (2)问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？10．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x 与当年灌溉面积y .现有连续10年的实测资料，如下表所示.对1。
高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建模教案2 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学
4 .2 .2 函数模型的应用实例〔Ⅱ〕一、教学目标1.知识与技能：能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.2.过程与方法：进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.二、教学重点重点利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.难点将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.三、学法与教法1.学法：自主学习和尝试，互动式讨论.2.教法：尝试、讨论法四、教学过程〔一〕创设情景，揭示课题.现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.〔二〕实例尝试，探求新知例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如下图.1〕写出速度v关于时间t的函数解析式；2〕写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象；3〕求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；4〕假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象.本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式.例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：0rt y y e =其中t 表示经过的时间，0y 表示0t =时的人口数，r 表示人口的年均增长率. 下表是1950~1959年我国的人口数据资料：〔单位：万人〕1〕如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率〔精确到0.0001〕，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2〕如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？ 探索以下问题：1〕本例中所涉及的数量有哪些？2〕描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？ 3〕根据表中数据如何确定函数模型？4〕对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评价？如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？本例的题型是利用给定的指数函数模型0rty y e =解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数0y 与t . 完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式.引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定t 的近似值.课堂练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量t 与月份的x 关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(,,)x y ab c a b c =+其中为常数.4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.探索以下问题：1〕本例给出两种函数模型，如何根据数据确定它们？ 2〕如何对所确定的函数模型进行评价？本例是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体的函数模型. 引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模评价的依据.本例渗透了数学思想方法，要培养学生有意识地运用. 〔三〕. 归纳小结，发展思维.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；1〕根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系； 2〕利用待定系数法，确定具体函数模型； 3〕对所确定的函数模型进行适当的评价； 4〕根据实际问题对模型进行适当的修正.从以上各例体会到：根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式. 在实际应用时，经常需要将函数对应关系的一种形式向另一种转化.〔四〕布置作业：教材P 120习题32〔A 组〕第6~9题. 五、教后反思：函数模型的应用实例〔Ⅲ〕一、教学目标1、知识与技能：能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。
高一数学教案：实际问题的函数建模
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本文题目：高一数学教案：实际问题的函数建模第二节实际问题的函数建模(1)实际问题的函数刻画学时: 1学时【学习引导】一、自主学习1.阅读课本页2.回答问题：(1)课本内容分成几个层次?每个层次的中心内容是什么?(2)层次间有什么联系?(3)如何样用数学知识刻画实际问题(如何样解承诺用题)?(4)本节的重点，难点是什么?3. 完成页练习.4. 小结.二、方法指导1.读题是解决实际问题的重要环节，一样的实际问题的叙述都比较长，需要逐字逐句地把问题看明白，这是建立数学模型的前提2. 同学们应注意在解决问题时应选择适当的函数模型进行拟合实现问题解决3.同学们学习过程中应了解一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数，分段函数等函数模型.【摸索引导】一、提问题1.什么缘故要用函数来刻画实际问题?2.用函数来刻画应用题应注意哪些问题，具体步骤是什么?二、变题目1.某种细菌在培养过程中,每15分种分裂一次(由一个分裂成两个),这种细菌由1个繁育成4096个需通过( )小时小时小时小时2.一根弹簧,挂重100N的重物时,伸长20cm,当挂重150N的重物时,弹簧长( )3.今有一组数据如下表1.99 3 4 5.1 6.121.5 4.04 7.5 12 18.01则选取拟合函数时,最好选( )4.一等要三角形的周长是20,则其底边长关于其腰长的函数关系式是____________________5.下表显示出函数值随自变量变化的一组数据,由此判定它最可能的函数模型是( )4 5 6 7 8 9 1015 17 19 21 23 25 27一次函数模型二次函数模型指数函数模型对数函数模型6.某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还能够每份0.08元的价格退回报社.在一个月(30天)里,有20天每天能够卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,设每天从报社买进的报纸数量相同,则应该每天从报社买进多少份,才能使每月所获得的利润最大?并运算该销售点每天最多可赚多少元?7. 某桶装水经营部每天房租,工作人职员资等固定成本为200元,每桶水进价为5元,销售单价与日销售量的关系如下表:销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12日销售量(桶) 480 440 400 360 320 280 240请依照以上数据作出分析,那个经营部如何样定价才能获得最大利润?最大利润是多少?【总结引导】1. 本节课的重点是了解数学建模的差不多步骤，体会数学建模的差不多思想.2. 数学建模与传统应用题的区别：题设不同，过程不同，结论不同.3.实际问题的函数刻画要紧有以下步骤:(1)_____________________,审清题意.(2) 设_________________________,表示题目中的有关量.(3)依照题目中的等量关系用相关的符号来建立_____________,并用函数的观点解答问题4.常用的一些实际生产,生活中的等量关系如下:(1)利润=_________________;(2)矩形的面积=_______________;(3)平均增长率=________________.【拓展引导】1.一种商品连续两次降价后,现又想通过两次提价复原原价,你明白每次应提价多少吗?2.某服装公司从2021年1月份开始投产，前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件和1.36万件。
2.2用函数模型解决实际问题-北师大版高中数学必修第一册(2019版)教案
2.2 用函数模型解决实际问题-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案一、教学目标1.掌握函数模型的概念；2.理解表示函数模型的语言；3.掌握利用函数模型解决实际问题的方法和步骤；4.能够运用函数模型解决实际问题。
二、教学重点和难点教学重点1.函数模型的概念；2.利用函数模型解决实际问题的方法和步骤。
教学难点1.利用函数模型解决实际问题的具体思路和方法。
三、教学内容与进度安排教学内容课时数函数模型的概念 1利用函数模型解决实际问题 2四、教学过程函数模型的概念1. 导入教师将实物或图片放在课桌前，引导学生关注，从中得到一些信息，并引出“函数模型”的概念。
2. 理解函数模型教师通过实例，向学生阐述函数模型的概念，即通过一个输入得到一个输出的关系。
3. 表示函数模型的语言教师介绍表示函数模型的几种语言，例如：•解析式；•表格形式；•图形形式；•词语形式。
利用函数模型解决实际问题1. 复习教师复习函数的概念，引导学生从函数的定义出发，理解函数模型。
2. 案例分析教师通过具体的案例，向学生介绍如何利用函数模型解决实际问题。
例如：•计算人口增长量；•计算房价变化；•计算销售额变化。
3. 方法和步骤教师向学生介绍利用函数模型解决实际问题的方法和步骤，例如：•确定问题的变量和关系；•建立函数模型；•分析函数的性质，利用函数解决实际问题。
练习学生根据教师提供的练习题，独立完成计算。
五、教学方法与技巧1.让学生通过观察实物或图片获得信息，进而理解函数模型的概念；2.复习函数的定义，帮助学生理解函数模型的概念；3.举具体案例让学生思考如何利用函数模型解决实际问题；4.通过练习让学生巩固掌握；六、作业1.完成课后练习；2.根据实际问题，自行寻找相关数据，利用函数模型解决问题。
七、板书设计函数模型的概念：通过一个输入得到一个输出的关系表示函数模型的语言：解析式；表格形式；图形形式；词语形式利用函数模型解决实际问题的方法和步骤：1. 确定问题的变量和关系；2. 建立函数模型；3. 分析函数的性质，利用函数解决实际问题。
高一数学必修一教案《函数模型及其应用》
精心整理高一数学必修一教案《函数模型及其应用》【篇一】【内容】建立函数模型刻画现实问题量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和计算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析过程来选择适当的函数模型和函数模型的构建过程。
在这个过程中，要使学生着重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。
【教学目标】(1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本过程.态度了解函处理生的小组合作探究来突破本节课的难点,这样,在小组合作学习与探究过程中实现教学目标中对知识和能力的要求(目标1,2,3)在如何用函数建模刻画现实问题的基本过程中让学生亲身体验函数应用的广泛性，同时提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生主动参与、自主学习、勇于探索的科学态度,从而实现教学目标中的德育目标(目标4)【学生学习中预期的问题及解决方案预设】①描点的规范性;②实际操作的速度;③解析式的计算速度④计算结束后不进行检验这样以.教学前言：函数模型是应用最广泛的数学模型之一,许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题,使问题得到解决.教学内容师生活动设计意图探究新知引入：教师：大家觉得我胖吗?学生回答教师：我们在街上见到一个人总是会判断这个人的胖瘦，我们衡来衡量BMI 大于学生说，教师把相关数据填在用PPT展示的一张表格上教师：好，有了这些数据我们就可以来研究了，那接下来我们怎么来处理刚收集到的这些数据呢?学生回答(预期:画散点图——连线——找函数)教师：好，大家按小组先画图连线然后讨论一下你们小组认为哪个函数的图像符合学生活动并回答教师：好，那大家分一下工，你们几个小组来计算这个函数解析呢?教师:那大家来检验一下哪个模型更符合数据情况学生分小组进行检验教师:好了,我们利用刚才收集的数据通过我们的努力得出了一个式子,它也就是符合大家的情况的一个胖瘦的标准,既是我们班的一个标准,能用来衡量其它班的同学吗?那我们来计算一下老师的结果是什么样的.教师:可见用世界肥胖标准对老师的体重进行的评价和所建立的数学模型计算的结果是基本一致的。
2019-2020年高中数学必修一4.2《实际问题的函数建模》教案
2019-2020年高中数学必修一4.2《实际问题的函数建模》教案一、教学目标1、知识与技能：能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。
2、过程与方法：体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。
3、情感、态度、价值观：深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。
二、教学重点、难点：重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。
难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。
三、学法与教法：1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。
2、教法：探究交流，讲练结合。
四、教学过程（一）创设情景，揭示课题2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。
这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。
这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。
本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。
（二）尝试实践探求新知例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表（身高：cm；体重：kg）.1201）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。
实际问题的函数建模教案
实际问题的函数建模教案第一章：引言1.1 课程目标通过本章的学习，学生将了解实际问题的函数建模的基本概念和方法，并能够运用函数模型解决简单的实际问题。
1.2 教学内容实际问题的函数建模的定义和意义函数模型的类型和特点实际问题建模的基本步骤1.3 教学方法讲授法：讲解实际问题的函数建模的基本概念和方法案例分析法：分析实际问题，引导学生运用函数模型解决问题1.4 教学评估课堂讨论：学生能够参与课堂讨论，理解实际问题的函数建模的基本概念和方法课后作业：布置相关案例分析题，检验学生对函数模型的应用能力第二章：线性函数建模2.1 课程目标通过本章的学习，学生将了解线性函数建模的基本概念和方法，并能够运用线性函数模型解决简单的实际问题。
2.2 教学内容线性函数的基本概念和性质线性函数建模的方法和步骤线性函数模型在实际问题中的应用2.3 教学方法讲授法：讲解线性函数的基本概念和性质案例分析法：分析实际问题，引导学生运用线性函数模型解决问题2.4 教学评估课堂讨论：学生能够参与课堂讨论，理解线性函数建模的基本概念和方法课后作业：布置相关案例分析题，检验学生对线性函数模型的应用能力第三章：二次函数建模3.1 课程目标通过本章的学习，学生将了解二次函数建模的基本概念和方法，并能够运用二次函数模型解决简单的实际问题。
3.2 教学内容二次函数的基本概念和性质二次函数建模的方法和步骤二次函数模型在实际问题中的应用3.3 教学方法讲授法：讲解二次函数的基本概念和性质案例分析法：分析实际问题，引导学生运用二次函数模型解决问题3.4 教学评估课堂讨论：学生能够参与课堂讨论，理解二次函数建模的基本概念和方法课后作业：布置相关案例分析题，检验学生对二次函数模型的应用能力第四章：指数函数建模4.1 课程目标通过本章的学习，学生将了解指数函数建模的基本概念和方法，并能够运用指数函数模型解决简单的实际问题。
4.2 教学内容指数函数的基本概念和性质指数函数建模的方法和步骤指数函数模型在实际问题中的应用4.3 教学方法讲授法：讲解指数函数的基本概念和性质案例分析法：分析实际问题，引导学生运用指数函数模型解决问题4.4 教学评估课堂讨论：学生能够参与课堂讨论，理解指数函数建模的基本概念和方法课后作业：布置相关案例分析题，检验学生对指数函数模型的应用能力第五章：多项式函数建模5.1 课程目标通过本章的学习，学生将了解多项式函数建模的基本概念和方法，并能够运用多项式函数模型解决简单的实际问题。
数学高一-高一数学必修一学案 4.2 实际问题的函数建模
2 实际问题的函数建模1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．怎样用函数知识刻画实际问题呢？一般可以从以下两步进行：1．认真读题，缜密审题．应用问题往往文字较多，已知信息繁杂，因此读题是解应用题的起点．读题就像语文阅读一样，要弄清楚整个题目有几层意思，每层意思是什么，要解决什么问题，与其相关的因素有哪些，等等．在读题时必须要对关键字、词、句、式仔细分析，重要部分做标记，或边读边列，才能捕捉到题中函数模型与数量的关系．2．引进数学符号，建立函数模型．理解了题意还需要用数学去刻画它，换句话说，是用数学的眼光看实际问题，用数学的语言表达实际问题，也就是数学建模．选用函数模型，要根据题中的各个量，合理选取参数，设定变元，寻找它们之间的内在联系(等量关系)，建立相应的函数模型．例如，在教材问题3中，除去一条曲线和上面的几个点，在题干上几乎没有数字，也没有类似于“相等”“大于”或“乘积”这样的明确关系，其实那条曲线也可以完全不要．面对这样的问题，就要分析每一句话，弄清其含义．“河道”被抽象为曲线，“沿河边”的电缆也就是这条曲线上的“曲线段”，“监测站”可以被看作是曲线上的点……然后是建模，曲线被拉直，电缆的总长度并没有发生变化，但是，这样就可以给直线加上方向、原点和单位长度，直线变成数轴了，原问题就成为求绝对值函数值这样一个明确且熟悉的数学问题了．通过以上两步，就完成了用数学知识对实际问题的“刻画”，用数学刻画实际问题是数学应用的第一步．【例1－1】据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2013年的冬季冰雪覆盖面积为m ，从2013年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数关系式是( )．A ．y ＝500.95x m ⋅B ．y ＝(5010.05x -)·mC ．y ＝0.9550－x ·mD ．y ＝(1－0.0550－x )·m解析：设每年的冰雪覆盖面积减少率为a .∵50年内覆盖面积减少了5%，∴(1－a )50＝1－5%，解得a ＝5010.95x -.∴从2013年起，经过x 年后，冰雪覆盖面积15050[1(10.95)]0.95.x x y m m =--=⋅答案：A【例1－2】汽车油箱为长方体形状容器，它的长为a cm ，宽为b cm ，高为c cm ，汽车开始行驶时油箱内装满汽油．已知汽车的耗油量是n cm 3/km ，汽车行驶路程y (km)与油箱内剩余油量的液面高度x (cm)的函数关系式为( )．A ．y ＝n ab(c －x )(0≤x ≤c ) B ．y ＝ab n (c －x )(0≤x ≤c )C．y＝cab(n－x)(0≤x≤c)D．y＝abc(n－x)(0≤x≤c)解析：因为汽车行驶时耗油量等于长方体容量的体积减去油箱内剩余油量，所以n·y＝a·b·c－a·b·x，故y＝abn(c－x)(0≤x≤c)．答案：B【例1－3】某商店将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个．商店老板统计发现，若该商品每涨价1元，其销售量就减少20个．该商品售价与所获利润有什么函数关系？分析：由题意知，商品售价的取值范围是[90,110)，当商品售价在[90,110)内每取一个值时，所获利润总有唯一确定的值与之对应，因此变量利润是变量商品售价的函数．由于利润＝(售价－进价)×销售量，为了表达两个变量间的函数关系，首先用字母表示变量，设商品售价为x元时，所获利润为y元，用含x的代数式表示出因涨价而减少的销售量，即可得到y与x的函数关系式．解：设商品售价定为每个x元时，所获利润为y元，x∈[90,110)，此时销售量为400－20(x－90)＝2 200－20x.由题意得y＝(2 200－20x)(x－80)＝－20(x－95)2＋4 500，即商品售价x与所获利润y之间的函数关系式为y＝－20(x－95)2＋4 500，x∈[90,110)．谈重点用函数刻画实际问题的关键用函数刻画实际问题的关键在于理解题意，这就要求：一要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；二要不断拓宽知识面，提高自己的间接生活阅历，如经常了解一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等方面的知识，也可以是涉及角度、面积、体积、造价等方面的最优化问题，逐步渗透、细水长流，循序渐进地培养实际问题数学化的意识和能力；三要抓住题目中的关键词或关键量，特别是关于变量的相等关系，这是函数解析式的原型，例如本题中的利润．2．利用给定的函数模型解决实际问题利用给定的函数模型解决实际问题时，这类应用题提供的变量关系是确定的，是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力．求解时一般按以下几步进行：第一步：认真审题．读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学问题，尤其是理解叙述中的名词、概念，以及题中单位之间的关系．分析出已知是什么，求什么，涉及哪些知识．确定自变量与函数的关系．审题时要抓住题目中的关键量，要勇于尝试、探索，敏于发现、归纳，善于联想，实现实际问题向数学问题的转化．第二步：引进数学符号，建立函数模型．设自变量为x，函数为y，用含x的表达式表示各相关变量，根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识以及其他相关知识建立函数关系式，即建立函数模型．第三步：用数学方法将所得到的函数模型问题予以解答，求得结果．第四步：再转化成实际问题，进行检验作出规范解答．例如：某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．这是一个一次函数、指数函数相结合的题目，根据条件设出解析式或结合图像中的已知点求解析式是解答的关键．(1)当t ∈[0,1]时，函数的解析式为y ＝kt ，将M (1,4)代入得k ＝4，∴y ＝4t .又当t ∈(1，＋∞)时，函数的解析式为12t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 将点(3,1)代入得a ＝3.∴312t y -⎛⎫= ⎪⎝⎭.综上有y ＝f (t )＝34,01,1, 1.2t t t t -≤≤⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩(2)由f (t )≥0.25，解得116≤t ≤5. ∴服药一次治疗疾病的有效时间为115541616-=小时． 【例2－1】北京市的一家报刊摊点，从报社买进某种报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获得利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？解：设每天从报社买进x (250≤x ≤400)(x ∈N )份报纸，每月获得总利润y 元，则y ＝0.10(20x ＋10×250)－0.15×10(x －250)＝0.5x ＋625，x ∈[250,400]．函数y 在[250,400]上单调递增，∴当x ＝400时，y max ＝825元．即摊主每天从报社买进400份时，每月获得的利润最大，最大利润为825元．【例2－2】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示．(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P ＝f (t )；写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q ＝g (t )．(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg ，时间单位：天)分析：本题由函数图像给出基本条件，解题时要抓住图像特征，抓住关键点的坐标，确定函数关系式解题．解：(1)f (t )＝300,0200,2300,200300.t t t t -+≤≤⎧⎨-<≤⎩ 设g (t )＝a (t －150)2＋100， 将t ＝50，g (t )＝150代入得1200a =. ∴g (t )＝1200(t －150)2＋100(0≤t ≤300)． (2)设t 时的纯收益为y 元，当0≤t ≤200时，y ＝f (t )－g (t )＝(－t ＋300)－21150100200t ⎡⎤(-)+⎢⎥⎣⎦＝2211187.5(50)1002002200t t t -++=--+. 当t ＝50时，y 取到最大值，最大值为100.当200＜t ≤300时，y ＝f (t )－g (t )＝(2t －300)－21150100200t ⎡⎤(-)+⎢⎥⎣⎦＝217512.52002t t -+- ＝21(350)100200t --+. 当t ＝300时取到最大值，最大值为87.5.故从2月1日起第50天上市的西红柿纯收益最大．解技巧分段函数求最值的步骤1．根据图形运动的特殊情况确定临界值和确定自变量的取值范围；2．分别画出不同情况下的图形；3．分别列出不同情况下的函数关系式；4．求出各个函数在各自自变量取值范围内的最大(小)值，通过比较得到图形运动中的最大(小)值．3．用函数模型解决实际问题函数模型是应用最广泛的数学模型之一．所谓的函数模型，就是把实际问题用函数语言抽象概括得到的关于实际问题的数学描述，抓住题中所蕴含的数学信息，恰当、准确地建立函数模型，用相应的模型对我们日常生活中普遍存在的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题以及其他与几何、物理等知识有关的实际问题进行归纳加工，建立相应的函数，确定变量的限制条件，运用函数的方法进行求解，最后就可以解决一些实际问题了．常见的函数模型有：(1)直线模型．．．．：即一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)，其增长特点是直线上升(x的系数k＞0)，通过画图可以很直观地认识它．(2)指数函数模型．．．．．．：y＝a·b x＋c(b＞0，b≠1，a≠0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(b＞1，a＞0)，通常形象地称为指数爆炸．(3)对数函数模型．．．．．．：y＝m log a x＋n(m≠0，a＞0，a≠1)，其增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(a＞1，m＞0)．(4)幂函数模型．．．．．：y＝a·x n＋b(a≠0)，其中最常见的是二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小(或增大)，后增大(或减小)．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，结合图像特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题相结合，如取整等．谈重点两种模型课本从两个方面展开对数学模型的学习，一是机理模型，二是拟合模型．1．机理模型对于一个实际问题，如果在建模过程中，我们的注意力集中在使用数学语言描述问题中主要因素之间的相互联系或制约的关系，这样构建出来的模型称之为机理模型．这一类模型描述的是实际问题中主要因素间相互作用的机理，通过对模型所进行的数学的分析，比较容易使人们加深对所研究的实际问题的认识．因此，机理模型是相当广泛的一类数学模型．2．拟合模型我们知道，数据是从实际问题中直接观测得到的，它包含与问题相关的大量信息，如果我们面临的问题比较复杂，不能通过适当的假设来发现问题中的主要因素及其相互作用的机理时，数据资料往往能够为我们寻找所讨论的问题中有关变量的关系给出很好的提示．我们称直接从拟合数据资料出发组建的数学模型为拟合模型．由于组建模型时缺乏有关因素之间作用机制的细致讨论，模型的使用和分析的深度受到了限制．一般来说，这类模型会告诉我们可能会发生什么情况，但无法说清楚为什么会是这样．通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．大多数实际问题都不能事先知道函数模型，对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是：①能够根据原始数据、表格，绘出散点图．②通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般是不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．③根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．④利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．【例3－1】灌满开水的热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度是θ1度，室内气温是θ0度，t分钟后，开水的温度可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，这里，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量．现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100 ℃，过1小时后又测得瓶内水温变为98 ℃.已知某种奶粉必须用不低于85 ℃的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100 ℃的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉？(假定该地白天室温为20 ℃)分析：先用待定系数法来确定k的值，然后根据给出的时间列出方程解出水的温度与85 ℃相比即可，大于这个度数可以用，否则不可以用．解：根据题意，有98＝20＋(100－20)e－60k，整理得e－60k＝3940，∴139ln6040k=-.利用计算器，解得k≈0.000 422 0.故θ＝20＋80e－0.000 422 0t.从早上六点至中午十二点共过去六小时，即360分钟．当t＝360时，θ＝20＋80e－0.000 422 0×360＝20＋80e－0.151 9，由计算器算得θ≈89 ℃＞85 ℃，即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉．析规律利用待定系数法求函数关系式一般来说，若题目给出了含参数的函数关系式，或可确定其函数模型，此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中相关参数(未知系数)的值，就可以得到确定的函数解析式．然后再利用相应的解析式及对应函数的性质解决实际问题．【3－2】某旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金．如果每间客房每日增加2元，客房出租就会减少10间，若不考虑其他因素，公司将房间租金提高多少时，每天客房的租金总收入最高？分析：列出函数的解析式，转化为求函数的最大值．解：设客房租金每间提高2x元时，客房租金总收入为y元，由题意得y＝(20＋2x)(300－10x)＝－20x2＋400x＋6 000＝－20(x －10)2＋8 000(0≤x ＜150，x ∈N )，则当x ＝10时，y 有最大值为8 000，即将客房租金提高到20＋2×10＝40(元/间)时，每天客房租金总收入最高为8 000元． 解技巧 确定函数模型的步骤当实际应用题中没有给出函数模型而函数模型又唯一时，其解题步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景；第二步：恰当地设未知数，列出函数解析式，将实际问题转化成函数问题，即实际问题函数化；第三步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；第四步：将所得函数问题的解还原成实际问题的结论．(1)根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y (kg)与身高x (cm)的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．(2)若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm ，体重为78 kg 的在校男生的体重是否正常？分析：根据表格的数据画出散点图．经观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线．根据这些点的分布情况，可以考虑用y ＝a ·b x 这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y 与身高x 的函数关系．解：(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．根据点的分布特征，可考虑以y ＝a ·b x 作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．不妨取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y ＝a ·b x ，得701607.90,47.25.a b a b ⎧=⋅⎨=⋅⎩用计算器算得a ≈2，b ≈1.02. 这样，我们就得到一个函数模型：y ＝2×1.02x .将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图像，如图所示．可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将x＝175代入y＝2×1.02x，得y＝2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以这个男生偏胖．析规律函数应用的基本过程根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图像判断问题所适用的函数模型，利用计算器或计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程．应注意的是，用已知的函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对模型进行修正．。
【高一】《用函数模型解决实际问题》教学设计
【高一】《用函数模型解决实际问题》教学设计学生虽然对这种函数建模问题并不陌生，但是要建立起正确的函数模型却不是一件容易的事。
这种题型题目较长，相关的内容较多，问题不是一眼就可以看出答案，需要建立的函数模型也多种多样，不少还会涉及到求二次函数的最值问题，学生往往是无从下手，对自己失去信心。
针对这种情况，我觉得直接让学生一步到位就找出解决问题的途径是很困难，老师在这里就应该发挥自己的主导地位，带领学生由问题入手，逐步分析，自己设计出一个一个的小问题，最后把这些小问题串起来，把题目中的大问题解决。
为了解决实际问题，需要建立多种功能模型。
只有根据问题的需求建立合适的功能模型，才能成功地解决问题。
在教学过程中，教师应注意分类的思想，帮助学生将函数建模问题分为若干类，以便于学生形成自己的知识体系。
一．一次函数模型的应用为了帮助失学的孩子，一位同学每个月都会把自己的零用钱存入储蓄箱，准备在收集到足够的200元钱后一起寄出去。
两个月后，储蓄箱中原来的60元变成了90元。
（1）盒内的钱数（元）与存钱月份数的函数解析式，并画出图象。
（2）这个学生能在几个月内第一次汇款吗？这种题型只要建立起一次函数就可以很快地解决问题，而且学生以前也有接触过，对他们而言这种问题难度不大，主要是让他们对函数建模有个感觉。
二、二次函数模型的应用建立二次函数模型解决实际问题是整本书中出现得最多的一种方法，这种多用于根据二次函数的性质求出最值，求利润问题也多属于这种类型。
一家商店买了一批衣服，每件卖90元，每天卖30件。
在一定范围内，这批衣服的售价每下降1元，每天就多卖一件。
请写下利润（元）和售价（元）之间的函数关系。
当售价为元时，每天的最大利润是多少？学生首次接触这种类型的题，往往是束手无策，这时教师可引导他们从他们最熟悉的问题做起：利润=单件售价×售出件数，设售价为x，则下面只需要找出售出件数即可，而售出件数又与价钱降低的幅度有关，所以设计下列相关问题让学生去找答案：价格低于原价：90-x售出件数比原来多了：（90－x）×1＝90－x那么现在售出的数量是：30+（90-x）=120-x因此，利润y=x（120－x）只要学生们根据这些小问题逐一提问，这个问题就很容易解决。
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2.同学们应注意在解决问题时应选择适当的函数模型进行拟合实现问题解
决
3.同学们学习过程中应了解一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，
幂函数，分段函数等函数模型.
【思考引导】
一、提问题
1.为什幺要用函数来刻画实际问题?
2.用函数来刻画应用题应注意哪些问题，具体步骤是什幺?
2.某服装公司从2007年1月份开始投产，前4个月的产量分别为1万件、
1.2万件、1.3万件和1.36万件。由于产品质地优良，款式新颖，前几个月的
产品销售情况较好，为使销售部在接受订单时不至于过多或过少，需要预测
以后几个月的产量。现有两个函数模型可用于模拟产品的产量y与月份x的
关系：(其中a,b,m,n,p均为常数)，选用那个模型更能合理预测以后几个月的
二、变题目
1.某种细菌在培养过程中,每15分种分裂一次(由一个分裂成两个),这种细菌
由1个繁殖成4096个需经过( )
小时小时小时小时
2.一根弹簧,挂重100N的重物时,伸长20cm,当挂重150N的重物时,弹簧长( )
3.今有一组数据如下表
1.99 3 4 5.1 6.12
1.5 4.04 7.5 12 18.01
学时: 1学时
【学习引导】
一、自主学习
1.阅读课本页
2.回答问题：
(1)课本内容分成几个层次?每个层次的中心内容是什幺?
(2)层次间有什幺联系?
(3)怎样用数学知识刻画实际问题(怎样解答应用题)?
(4)本节的重点，难点是什幺?
3.完成页练习.
4.小结.
二、方法指导
1.读题是解决实际问题的重要环节，一般的实际问题的叙述都比较长，需
高一数学教案：实际问题的函数建模
【摘要】欢迎来到高一数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规
律,培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文：“高一数
学教案：实际问题的函数建模”希望能为您的提供到帮助。
本文题目：高一数学教案：实际问题的函数建模
第二节实际问题的函数建模(1)
实际问题的函数刻画
ƒ: ( , ) ( + , ),则(5,2)的原像是.
4.已知A=B=R,∈A,∈B,ƒ:→=+b,若1,8的原像相应是3
和10,则5在ƒ下的像是.
则选取拟合函数时,最好选( )
4.一等要三角形的周长是20,则其底边长关于其腰长的函数关系式是
____________________
5.下表显示出函数值随自变量变化的一组数据,由此判断它最可能的函数
模型是( )
4 5 6 7 8 9 10
15 17 19 21 2325 27
一次函数模型二次函数模型指数函数模型对数函数模型
6.某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份
①集合A中不同元素在集合B中有不同的像;②集合A,B是非空的数集;③
集合B中的每一个元素在A中都有原像;④集合A中任何一个元素在集合B
中都有唯一的像.使对应ƒ成为从定义域A到值域B上的函数的条件是
( ).
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
3.集合A,B是平面直角坐标系中的两个点集,给定从A到B的映射
【思考引导】
一、提问题
1.函数有哪几要素?
2.函数是一到N的映射中，下列说法正确的是( )
A.M中有两个不同的元素对应的象必不相同
B.N中有两个不同的元素的原象可能相同
C.N中的每一个元素都有原象
D.N中的某一个元素的原象可能不只一个
2.设A,B是两个集合,并有下列条件:
0.50元,卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(30天)里,
有20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,设每天从报社买
进的报纸数量相同,则应该每天从报社买进多少份,才能使每月所获得的利润最
大?并计算该销售点每天最多可赚多少元?
7.某桶装水经营部每天房租,工作人员工资等固定成本为200元,每桶水进
2.数学建模与传统应用题的区别：题设不同，过程不同，结论不同.
3.实际问题的函数刻画主要有以下步骤:
(1)_____________________,审清题意.
(2)设_________________________,表示题目中的有关量.
(3)根据题目中的等量关系用相关的符号来建立_____________,并用函数的
价为5元,销售单价与日销售量的关系如下表:
销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12
日销售量(桶) 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?最大利
润是多少?
【总结引导】
1.本节课的重点是了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想.
【摘要】欢迎来到高一数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,
培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文：“高一数学教
案：对函数的进一步认识”希望能为您的提供到帮助。
本文题目：高一数学教案：对函数的进一步认识
学时: 1学时
【学习引导】
一、自主学习
1.阅读课本P32P33
2.回答问题
(1)课本内容分成几个层次?每个层次的中心内容是什幺?
(2)层次间有什幺联系?
(3)什幺是映射?什幺是一一映射原像和像分别指什幺?
(4)函数和映射有什幺区别和联系?
3.完成P33练习.
4.小结.
二、方法指导
本节通过简单的对应图示了解一一映射的概念，同学们在学习应该认识到
事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式.于此同时同学们的观察能
力、判断能力、论述能力都得应该到相应的提高.
观点解答问题
4.常用的一些实际生产,生活中的等量关系如下:
(1)利润=_________________;
(2)矩形的面积=_______________;
(3)平均增长率=________________.
【拓展引导】
1.一种商品连续两次降价后,现又想通过两次提价恢复原价,你知道每次应
提价多少吗?
产量?
高一数学教案：实际问题的函数建模参考答案
【思考引导】
一.提问题
1.把复杂的文字语言转化到我们熟悉的数字，符号语言上来，从而利用所
学知识解决实际问题.
2.①认真读题，缜密审题②引进数学符号，建立数学模型